8.影响线(1)
《结构力学》4_龙驭球_第4章_影响线(1)
FP=1
FP=1
FR
Y 1 3/4 1/2
FR=1 l/4 FP=1 1/4 X
FR=3/4 l/2 FR=1/2
FP=1
----反力FR的影响线 •影响线定义 单位移动荷载作用下某固定位置 （支座或截面）某量值（支反力、 内力等）随荷载位置移动而变化 的规律，一般用图形表示。
3l/4
FP=1 FP=1
FN BC B Ⅰ C
FP=1
A
FRA B C D
FP=1
E F
FRG
FNbc h FRG 4d 0 MC M FNbc h M C FNbc C h
FP =1 在C点右边，取截面 Ⅰ－Ⅰ左部为隔离体
G
FRG
FNbc h FRA 2d 0 MC MC FNbc h M C FNbc h
如果桁架改为上承，即FP =1 沿上弦移动，有些杆的影响 线局部与下承时不同。
FRG
1 6
1 3
1 下承
⑴ I.L FN dD FP = 1 在结点 d 时， FNdD 1
FP = 1 在其他结点时， FNdD 0 ⑵ I.L FN cC 作截面Ⅱ－Ⅱ，利用相应 梁结间BC（b c）的剪力列式：
FRG
Fx 0 FybC FRG
2 3
I.L FNCD
FP = 1 在 C 点右边，取截面 Ⅰ－Ⅰ左部为隔离体
1
Fx 0 FybC FRA
0 FybC FQBC
1 6
I.L FybC
1
I.L FNbC ： FNbC
lbC FybC l ybC
a
b Ⅱ c FP=1 FNcC
《结构力学》第8章：影响线
确定连续梁的最不利荷载位置时，首先用机动法做出其影响线的 轮廓，然后，将任意分布的均布活荷载作用在影响线的正区域， 便得到该量值的最大值的最不利荷载位置；将任意分布的均布活 荷载作用在影响线的负区域，便得到该量值的最小值的最不利荷 载位置。荷载的最不利位置确定后，便可求出某量值的最大值和 最小值。
建筑力学
结构力学
1. 简支梁的内力包络图
首先沿梁的轴线将梁分为若 干等分，计算出吊车移动时 各截面的最大弯矩值，并按 同一比例画在梁的轴线上， 然后连成光滑曲线，得到的 图形即为吊车梁的弯矩包络 图，如图8.9 (b)所示。同 样，可计算出梁上各截面的 最大和最小剪力值，画出剪 力包络图，如图8.9(c)。
（1） 任意布置的均布荷载作用时
工程中的人群、堆货等荷载 ，是可以按任意方式分布的 均布荷载。其最不利荷载的 位置为：将其布满对应影响 线所有纵标为正号的区域。
建筑力学
图8.6 最不利荷载位置时的均布荷载布置
结构力学
（2）系列移动集中荷载作用时
汽车、火车及吊车的轮压等移动荷载，可以简化为一系列彼此间 距不变的系列移动集中荷载。当荷载系列移动到最不利荷载位置 时，所求的量值S应为最大，因此，系列荷载由该位置无论再向 左或向右移动，量值S都会减小。据此，可以从讨论量值的增量 入手来确定最不利荷载位置。 现根据量值的增量 S的增减来分析量值S取得极值时的荷载位置：
剪力包络图的绘制方法和步骤与弯矩包络图相同。
建筑力学
结构力学
8.7 小 结
本章主要研究静定单跨梁和连续梁的影响线绘制，以及利用影 响线确定最不利荷载位置，进而求出该量值的绝对最大值作为结构 设计的依据；还介绍了简支梁及连续梁的内力包络图的绘制。 1.竖向单位集中荷载P＝1沿结构移动时，表示某量值变化规律的图 形，称为该量值的影响线。要注意内力影响线与内力图的根本区别 。内力影响线上的竖标值是当单位集中荷载移动到该位置时，指定 截面的内力值；而内力图中的竖标值是荷载位置固定不变时，该截 面上的内力值。 2.绘制影响线的方法有两种：静力法和机动法。静力法是绘制结构影 响线的最基本方法，应熟练掌握。用静力法或机动法都可以做出单跨 静定梁的影响线，而用机动法只可以做出连续梁影响线的轮廓。单跨 静定梁的支座反力和内力影响线是由直线段组成；连续梁的支座反力 和内力影响线是由曲线组成。
影响线及其应用
MC 0
MC RB b 0
x
MC RB b l b
x 0 Mc 0
B
x
l
ab MC l
RB （2）当P=1作用在CB段时，
研究CB：
Mc 0 MC RA a 0
lx MC RA a l a
x 0
x
l
MC
ab l
MC 0
弯矩响线也可根据反力影响线绘制。
A
D CE
F
B
a
b
QC P1 y1 P2 y2 P3 y3
l
ab/l y1
y2
y3
S P1 y1 P2 y2 Pn yn
MC影响线
b/l y2 y1
y3
a/l
QC影响线
n
S Pi yi i1
第8章
2、分布荷载位置固定时，求某量值的大小
q(x)
A
DC
E
a
b
l
ab/l y1
y2
y3
MC影响线
yC
yD
yE
MC影响线
yD
yC
yE
M图
分析以上两种情况，竖标相同，物理意义不同。
第8章
四、伸臂梁的影响线
试绘制图示伸臂梁的反力影响线，及C和D截面的弯矩、剪力影响线。
x
x1
A
B
作RA、RB、MC、QC影响线时，可
C
D
取A点为坐标原点，方法同简支梁；作
a
b
l
c d
QD、MD影响线时，可取D为坐标原点。
DⅠ Ⅱ F l=8d
H P=1
（b） 2d/h1
3d/2h1
NCE影响线
结构力学教程——第8章 影响线
P1 P2 Pk
PN
C
a
b
dx dy1
y1 y2 yk h
yN
MC影响线
dyk+1 dx
MC (x) =P1y1 + P2y2 + Pkyk +…+ PNyN
dMC (x) =P1dy1 + P2dy2 + Pkdyk +…+ PNdyN
dMC (x) =dy1 (P1+ P2 +…+ Pk)+dyk+1 (Pk+1+ Pk+2 +…+ PN)
横坐标以 下的图形，影响线系数取负号。
例：机动法作简支梁C点弯矩和剪力的影响线。 x P=1
A
C
B
a
b
l
解：弯矩的影响线
ab/l
1
b
A
C
B
MC
x P=1
A
C
B
a
b
l
解：剪力的影响线
b/l
1
A
C
B
QC
a/l
小结
机动法作影响线的步骤
撤去与Z相应的约束，代以未知力Z。 使体系沿Z的正方向发生位移，作出δP图， 既为Z的影响线的轮廓。 令δz=1，可定出影响线的竖距。 横坐标以上的图形，影响线系数取正号；
P1
RL Pk RR
a
b
RL Pk RR
a
b
R L Pk 7 2 > R R 4.5
求QC
q
A
C
B
dx
b
l
QC
a
y
l
QC
3d_??????
朽木易折，金石可镂。
第三章影响线及其应用（参考答案）一、是非题：1、（O）2、（O）3、（X）4、（O）5、（X）6、（O）二、挑选题：1、（A）2、（C）3、（B）4、（B）5、（C）6、（C）7、（B）8、（B）9、（D）三、填充题：1、MK 、D、MK2、13、40kN4、15、–37kN·m6、–ql/47、40kN、K、C8、120kN·m 四、千里之行，始于足下。
第 79 页/共 6 页1、C _1 M C 影 响 线 （m) 1+_1 M D 影 响 线 （m) 2、1/2lR A 影 响 线/2a a /2M E 影 响 线 3、DE 1/2D E a/2影响线M C 影响线R B4、A M 影 响 线 AB C D E F +--4m4m 4m 5、朽木易折，金石可镂。
a /21Q E 影响线M k 影响线6、(1) 左B Q 影 响 线 A 1B H I E G1/4(2)M F 影 响 线A1B H I E F 1/27、l l/2M A 影 响 线8、(1)M C 影 响 线DE F 23G(2) 右C Q 影 响 线DEF 23G 1//4千里之行，始于足下。
第 81 页/共 6 页9、M B 影 响 线A B D E 4m10、M A 影 响 线（设内侧受拉为正） A B C D 11、影响线影响线Q F 左MC 1l12、a N 影 响 线1 13、N x d a =-1（d <x <3d ） A C 14、a N 影 响 线15、11/53/54/53/5R A 影响线M C 影响线QC 影响线2/51/53/52/51/56/5朽木易折，金石可镂。
16、右C Q 影 响 线E G HF 1/2+17、M A 影 响 线1m2m M A =018、M A M A 影 响 线= - 520kN m 4m19、 11D EF G Q C 影 响 线 C 1+A Q C = 70kN20、R B 影 响 线23112kN 72 max =B R21、R B 影 响 线千里之行，始于足下。
影响线
2d Z
A
Z
B
d Z 3
C 2d P ( x) M 3 Z C
P图
虚功方程为:
M C M C P P ( x ) 0 M C ( ) P P ( x) 0 M C Z P P ( x ) 0 P ( x) MC Z
(2)对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个 截面的弯矩当移动荷载在什么位臵时取得最大 值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。 此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络 图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载P=1在结构上移动时结构内力和位移的 变化规律。
Y 0
N 2 RB
4h2 d 2 4h2 d 2 0 QEF 2h 2h
当P=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：
Y 0
N 2 RA
4h 2 d 2 4h2 d 2 0 QEF 2h 2h
0 ——相应简支梁节间EF的剪力。 QEF
4h2 d 2 2h
1 Z 3
Z
A
P 1
2 Z 3
C
1 Z 3
P ( x)
B
1 Z 3
QC
虚功方程为:
P图
Z
1 2 Q C ( Z Z ) P P ( x ) 0 3 3 Q C Z P P ( x ) 0 P ( x) QC Z
K D B (2)在结点荷载作用下，当移动荷载P=1作用在 C﹑D截面之间时，根据叠加原理可得（图b)： x P=1 x d x b) d d K C D d
东南大学 结构力学第八章 影响线
1. FRA的影响线
B
A
l
MB 0
lx FR A l
（0 x l）
FP=1 x
FR A
FR B
2. FRB的影响线
1
MA 0
FRA的影响线
FR B
x l
（0 x l）
1
FRB的影响线
简支梁的弯矩影响线（下侧受拉为正）
MC的影响线
FP=1
B
当FP=1在C截面以左时, 取C截面以右CB段研究
3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示
的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线）
• 计算方法：1.静力法
2.机动法（虚功原理）
弯矩图与弯矩影响线的比较
FP
A
a
C
D b
ab l F
FP=1
B
AB梁的弯矩图
A
a
C
D b
ab
l
总结:
B
MC的影响线
1.由于荷载的位置由不变到可变,从而使得Z由不变到可变。
3) 荷载位置：
•求影响线时,FP=1是移动荷载; •内力图中,荷载位置固定。
4) FQC左的值与FQC右的值.
b
1
l
FQC影响线
a
l
1
在FQC影响线图中，当FP=1作用于C截面时,竖标
竖标
a l
=FQC右，如下图所示。
b l
=FQC左；
FP=1
FP=1
A
B
A
B
C
C
FQC左
FQC右
习题 (1) 用静力法作图示结构A,B,D支座反力影响线
结构力学(第4版)教学课件8-1
E F1 G
23
N2 N2
A C N1 N1 D
YA
力在G点右侧:
mF 0
B
YB N1 YA
A C 1D aa a
1
I.L.YA
力在F点左侧: mF 0 N1 2YB 1
2.N2影响线
力在G点右侧: FY 0 N 2 2YA 2
力在F点左侧: FY 0 N 2 2YB 1
a/l 1
练习:作YA , MA , MK , QK
影响线.
P=1 A l/2 K l/2
第8章 移动荷载作用下的结构分析
练习:作YA , MA , MK , QK MA x
P=1 x
影响线.
A l/2
K
l/2
解: mA 0 MA x
YA
Fy 0 YA 1
xl/2
MK
P=1
MA影响线
l
FP=1
C
K
A
D B
由刚才的分析可见，结点传力情形的主梁影响线 是每节间为直线。则绘制思路可考虑首先确定各 结点的影响线数值，按比例画上竖标，然后每节 间以竖标顶点连直线，所得图形即主梁影响线。
第8章 移动荷载作用下的结构分析
例题：绘制移动荷载作用下支座A的反力影响线以及截面K 的弯矩和剪力影响线。 FP=1
例：作YA 、 M1 、 M2 、 Q2 、 MB 、 Q3 、 YC 、 Q4 、 QC左 、 QC右 影响线
A
1
2 B 3C
4D
2m
Q2影响线
1m 1m 1m 1m 1m 1m
2m 1m 1m
MB影响线 Q3影响线
1
Q2
1
（
MB
桥梁8—内力影响线
桥梁结构内力影响线一、影响线的基本概念（1）移动荷载移动荷载是指荷载的作用位臵在结构上是可以移动的，如：桥梁的车辆、人群荷载，吊车梁的吊钩等，它仍然属于静力问题。
（2）最不利荷载位臵工程设计中经常需要确定结构中某指定位臵的某项量值S（如反力，弯矩、剪力和竖向位移等）在移动荷载作用下产生的最大量值，即研究移动荷载的最不利荷载位臵。
（3）影响线影响线是指在单位集中移动荷载P=1作用下，某截面内力变化规律的图形。
影响线上某一纵坐标表示单位荷载移动到该位臵时，该截面的某量值的大小。
影响线是研究移动荷载的最不利位臵和计算内力、位移最大值和最小值的有效工具。
移动荷载通常是由多个间距不变的竖向集中荷载或竖向均布荷载所组成，我们可以首先研究一个竖向的单位集中荷载P=1在结构上移动时，某一量值的变化规律，然后根据线性叠加原理进一步研究各种实际移动荷载作用下，某一截面、某量值变化规律的图形。
图1a为一简支梁，当竖向单位集中荷载P=1在梁上移动时，支座反力RA 的变化规律及其图形。
图1上式即为R A 的影响线方程，它是x 的一次函数，故R A 的影响线是一条直线。
当x = 0时，R A = 1当x =l 时，R A = 0图1b 中的影响线形象地表明了支座反力R A 随单位集中移动荷载P =1在梁上移动时的变化规律。
竖向单位集中荷载P =1是不带任何单位的，是一个无名数，则反力R A 的影响线的纵矩也是无名数。
绘制影响线的基本方法有两种，静力法和机动法。
设：A 点为坐标原点，横坐标x 为单位集中移动荷载P =1的作用位臵，该点的纵坐标y 表示此情况下支座反力R A 的大小。
由平衡条件∑M B =0，设反力向上为正，则：用静力法绘制影响线时，可先把荷载P=1放在任意位臵，根据所选坐标系，以横坐标x 表示其作用点的位臵，然后由静力平衡条件求出所求量值S 与荷载P =1作用的位臵x 之间的关系。
表示这种关系的方程称为影响线方程。
8-影响线及其应用
第八章影响线及其应用§8-1影响线的概念回顾：在前面各章中，我们所讨论的荷载均是恒载（大小、方向、在结构上作用位置也就是作用点都不变）。
结构在恒载作用下，反力、内力及变形是一定的。
例题中F荷载分别作用于A、B、C、D、E点（4等分）时引起R A、R B及M图…但在工程实际中，我们经常会碰到这样的情况：1）人在独木桥上走，人的重力大小、方向不变，对桥面的作用位置在变，桥墩两边受力及桥板内力也在变化。
2）工业厂房中吊车梁承受的吊车荷载。
3）桥梁上行驶的火车、汽车等荷载。
这些结构所受的荷载有一个共同的特点：荷载的大小、方向未变，但在结构上的作用位置在移动。
一、移动荷载：（活载的一种）结构在移动荷载作用下：结构的反力、内力、位移随荷载位置移动而变化，不仅不同截面的某一量值（反力、M、F S、F N或位移等）的变化规律不同；而且同一截面的不同量值在同样移动荷载作用下的变化规律往往也不相同。
如：F=1作用于A处：支座反力及跨中截面的弯矩、剪力B处：C处：D处：E处：二、本章主要内容就是要研究结构上各量值（反力、内力等）随荷载位置移动而变化的规律。
（某指定截面某指定量值）具体而言，本章主要研究三方面内容。
1、如何找出及表示出某量值随荷载移动而变化的规律及变化的范围。
2、求出移动荷载移动到某具体位置时某量值的大小。
3、确定产生某一量值的最大值时移动荷载的位置，也就是说该量值的最不利荷载位置，进而求出某量值的最大值→作为结构设计的依据。
移动荷载的类型很多，例如：单个集中、多个集中（间距不变）、均布。
结构中某指定处某一量值，受不同的移动荷载作用时，变化规律各不相同，但无须逐个加以讨论，根据叠加法（弹性范围内，结构中某量值和荷载值成线性比例关系），只要抽对某量值的影响。
所以只要找出竖向单位集中荷载在结构上移动时某量值的变化规律，便可顺利解决各种移动荷载对该量值的影响。
三、影响线的概念为了研究某指定位置处某一量值随F=1的位置移动而变化的规律，我们引入影响线的概念。
8章影响线及内力包络图
d−x x y D = yC + yE d d
说明在C、E两点间MD I.L.为一直线，
8.3
P=1 A C
d
机动法作影响线
B
间接荷载作用下 SK I.L.的绘制方法： 的绘制方法： 的绘制方法 1、先按直接荷载作 用画出S 用画出 K I.L.
D
2 d 2
E l=4d
yC
5d 8
15d 16
3d 4
一般用结点法或截面法建立影响线方程
a a
b c b Ι1 c
N1
8.3 机动法作影响线 上承
d d e e ff g g
N1
D D E F E 下承 F
A A
C B C B C Ι P=1 P=1 C
h h P = 1在Ⅰ−Ⅰ以左, 取右隔离体 N1 ⋅ h + RG ⋅ 4d = 0 G G o
+ + P=1 A RA P=1 P=1 P=1 B
RAI.L. 1
8.1 概述
P=1 C a 图 + MCI.L. D yD
Introduction
P=1 C b 图 D yD “M”
2、影响线与内力图的区别：
影响线：单位荷载移动引起，某一量值的变化规律。 影响线：单位荷载移动引起，某一量值的变化规律。 内力图：固定荷载引起，各截面的内力值。 内力图：固定荷载引起，各截面的内力值。
x A l P=1 B RB
x
P=1
δ (x)
δ =1
RB
RB ⋅ δ − P ⋅ δ ( x ) = 0
RB = δ (x)
即图示虚位移图可代表ＲＢ的影响线。
8.3
机动法作影响线
结构力学-第4章影响线
影响线和包络图在该桥设计中的应用
详细阐述影响线和包络图在该桥设计中的应用过程，包括影响线和包络图的绘制、最不利位置的确定、最大内力的计 算等。
设计结果分析与评价
对该桥的设计结果进行分析和评价，包括结构安全性、经济性等方面的评估。同时，可以与其他设计方 案进行对比分析，以进一步验证影响线和包络图在工程设计中的有效性和优越性。
通过绘制建筑结构的包络图，可以找到结构在地震作用下的最大变形和位移，为结构的刚 度设计和稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在建筑结构优化设计中的作用
利用影响线和包络图，可以对建筑结构进行优化设计，如调整结构布置、改变构件截面等 ，以提高结构的抗震性能和经济效益。
工程案例分析：某大桥设计过程剖析
工程背景介绍
结构优化设计
根据影响线的形状和分布，对结 构进行优化设计，以改善结构的 受力性能。
80%
工程实例分析
结合具体工程实例，利用影响线 理论进行结构分析和设计，验证 理论的正确性和实用性。
03
超静定结构影响线绘制与应用
超静定梁影响线绘制实例
实例一
实例三
一次超静定梁的影响线绘制。通过选取 基本体系和基本未知量，利用力法方程 求解多余未知力，并绘制影响线。
影响线用于确定桥梁结构在移动荷载作用下的最不利位置
通过绘制桥梁结构的影响线，可以确定移动荷载在桥梁上的最不利位置，从而进行结构分析和设 计。
包络图用于确定桥梁结构的最大内力
通过绘制桥梁结构的包络图，可以找到桥梁在移动荷载作用下的最大内力，为桥梁的强度设计和 稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在桥梁优化设计中的作用
影响线在结构优化中的应用
结构力学第8章影响线及其应用
在实际工程中，活载又可分为移动活载和可动 活载两类。汽车荷载吊车荷载都属移动荷载，而人群、 风、雪等活载则属可动活荷载。
为了清晰和直观起见，最好把量值随FP＝1移动 而变化的规律用函数图形表示出来，这种图形称为影 响线。它的定义如下：当一个方向不变的单位荷载沿 一结构移动时，表示某指定截面的某一量值变化规律 的函数图形，称为该量值的影响线。
结构力学
§8-2 用静力法作静定梁影响线
下面先以简支梁为例，介绍按静力法绘制其 反力、弯矩和剪力影响线的方法。
结构力学
8-2-1 简支梁的影响线
1. 反力影响线
设要绘制简支梁(图8-4a)反力FAy的影响线。为 此，取梁的左端A为原点，令x表示FP＝1至原点A的 距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条 件由MB＝0，
1
结构力学
b
l
FQC影响线
a
1
l
8-2-2 影响线与内力图的比较
影响线和内力图虽然都是表示某种函数关系的 图形，但两者的自变量和因变量是不相同的。现以 简支梁弯矩影响线和 弯矩图为例说明如下：
A x FP=C1 D B
A x FP=C1 D
a
b
l
a
b
l
ab
l
M
D C
b
(a)
MC影响线
MD F P ab
F
A Ay
1
F
C Ay
3 4
F
D Ay
1 2
F
E Ay
1 4
FABy 0
的变化规律。如果要
FAy影响线
表 示 FBy 或 其 它 量 值 的
变化规律，则需另行
作 出 FBy 的 影 响 线 或 其 结它构相力学应 量 值 的 影 响 线 。
第8章影响线及其应用小结
第8章 影响线及其应用小结一、影响线的概念当一个方向不变的单位集中荷载(P=1)在结构上移动时，表示结构某指定处的某一量值(支反力、剪力、轴力、弯矩、位移等)变化规律的图形，称为该量值的影响线。
要注意它和内力图的区别。
内力图是表示在固定荷载作用下，各截面内力分布规律的图形。
由于单位移动荷载(P=1)是无量纲的，因此，某量值影响线纵标的量纲=该量值的量纲/力的量纲。
例如，反力、剪力、轴力影响线纵标无量纲，弯矩和线位移影响线纵标的量纲分别为[长度]和[长度]／［力］)。
影响线的正负号规定如下：反力以向上为正，轴力以拉力为正，剪力以使隔离体有顺时针转动趋势为正，弯矩使梁下边纤维受拉为正；与上述情形相反则为负。
正影响线纵标绘在基线上方，负的绘在下方，并标注“+”、“—”号。
二、影响线的作法1．用静力法或机动法作静定结构的影响线 (1)静力法静力法是指用静力计算方法求某量值的影响线方程，然后再根据方程绘出图形。
其步骤如下：1)选取坐标原点，将P=1放在任意位置，以变量x 表示P=1作用点的位置； 2)取隔离体，建立平衡方程，求出某量值与x 之间的函数关系，即影响线方程； 3)根据影响线方程绘出图形，即影响线。
(2)机动法机动法是利用虚功原理作影响线。
作某量值Z 的影响线时，要撤去与量值Z 相应的约束，形成一个机构。
令机构沿S 正向产生单位虚位移1Z δ=，则荷载作用点的竖向位移图()p x δ即为量值Z 的影响线。
由虚功原理可得 ()()p Z x x δ=2．超静定力的影响线超静定力的影响线可用力法或位移法，力矩分配法直接求出，这也属于静力法。
另一种方法是利用超静定影响线与挠度图的比例关系作出影响线的大致形状，这相当于机动法。
超静定力影响线属于一般了解的内容。
三、影响线的应用1．利用影响线求各种荷载作用下的影响(1)集中荷载作用设集中荷载组P 1，P 2，…P n 作用点处某量值Z 的影响线纵标为y l ，y 2，…y n 则由之产生的总影响量为iiZ P y =∑(2)分布荷载作用当变化规律为已知的分布荷载q(x)作用于某确定位置时，由之产生的影响量为()()b aZ q x y x dx=⎰，式中，y 为影响线的纵标，积分的上、下限视q(x)的分布范围而定。
结构力学 8影响线及其应用
P1 P2 Pk
C a b
PN
y2 yk h yN R L Pk RR a b MC影响线 dy1 Pk R R RL dx ---临界荷载判别式 a b 此式表明:临界力位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。
h h ( PK 1 PN ) 0 a b h h ( P1 P2 Pk 1 ) ( PK PN ) 0 a b 临界力位于影响线顶点时的荷载位置称为临界位置。 ( P1 P2 Pk )
A
B
C
2 Ⅱ
3. I.L N2
D E F G
取截面Ⅱ－Ⅱ
l = 6d
P=1 A
c
4d 3h
P=1
B
Mc 0
M c N2 h
RA
RG
I .LN 2
a
b
Y 3
c
Y N3
d
e
f
g
Y 4、斜杆N3－ I .L N 3
N 3
A B C D E F G
h
Ｐ＝１在Ｂ以左：
Y N 3 RG
RA
结构力学
Structural mechanics
8 影响线及其应用
华夏学院土木与建筑工程系
8 影响线及其应用
目的：解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。
内容： 1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围； 2）确定内力的最大值及相应的荷载位置 ——最不利荷载位置； 3）简支梁的绝对最大弯矩； 4）内力包络图。
yD yc yE
纵梁 横梁
P 1作用：
P=1
主梁
C
E X D C d E B
A
D
8 影响线的概念汇总
⑹ 竖杆轴力 NeE的影响线
桁架下承时：
NeE 0 若改为上承，则 略有不同： 当P=1在结点e时
NeE 1 当P=1在其它结 点时 NeE 0
小结
桁架影响线具有结点荷载作用下影响线性质。 单跨静定梁式桁架反力影响线与相应单跨静定
（续）
影响线的定义：
当一个指向不变（通常是竖直向下）的单位集 中荷载沿结构移动时，表示一定截面某一量值 变化规律的图形，称该结构该量值的影响线。 注意： ① 一种量值（指反力、内力、位移等）对应一 种影响线；结构类型不同，影响线也不同； ② 研究最简竖向荷载 P = 1 （无量纲）；影响 线竖标的量纲（量值/力）。 ③ 根据叠加原理，多个移动荷载视为单位移动 荷载的组合，求其总影响；
P=1
C
A
B
a
b
l
b/l
(+)
(-
) a/l
QC IL
（续）
简支梁的弯矩影响线
（弯矩以梁下缘纤维受拉为正）
左直线： MC RB b （P=1在AC段作用） 右直线： MC RA a （P=1在CB段作用）
特点：影响线形状呈三角形，左右直线连续； 顶点对应于C截面，其竖标为 ab 。
l
P=1
P.472 （待超静定结构解法学习后继续）
证明：作M D 影响线
当P=1加在C点时，
MD =yC 当P=1加在E点时，
MD =yE 当P=1距C点为x时，
单位力
CE段为 x 的一次式。
反力
反力
叠加
● 直接荷载和结点荷载下影响线比较
● 桥梁结构体系影响线实例
RB IL MK IL QK IL
结构力学--第8章影响线计算
第1节 基本概念 第2节 静力法作影响线 第3节 机动法作影响线 第4节 间接荷载作用的影响线 第5节 影响量计算 第6节 最不利荷载确定 第7节 包络图与绝对最大弯矩 第8节 连续梁影响线
第1节 影响线基本概念
●移动荷载:大小和方向不变，仅作用位置变化的荷载（且与时间无关）。
FBy
F1 F2 Fk
A
FA
C Ka a
22
l
l
2
2
a
b
FR为合力
M K为K左侧所有荷载对K作用点
的力矩总合。
Fn
B
x l a 22
FB
M max
FR l
l 2
a 2 2
MK
MK I.L.
第7节 绝对最大弯矩例题
●求图示简支梁的绝对最大弯矩。
A
FA
50 kN 100kN
4m
C
K
B
12m
FB
FR为合力 M K为K左侧所有荷载对K作用点
D
E
4m
4m
第3节 机动法作影响线（虚功法）
●用机动法作B支座反力的影响线。
x FP 1
A
C
B
虚功原理:
a
b
FBy I.L.
l
0.5l
FB y
1
FP
x l
0
FB y
x l
FP 1
A
C
实际力状态
B
FB y
FA y
x
l
1
A
C
B
虚拟位移状态
★使机构沿着所求力方向产生单位位移， 得到机构位移图就是所求反力或内力的影 响线。
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Q MC C
M C = RB b x RB = b( l1 ≤ x ≤ a ) l
b
lx ) = a(c ≤ x ≤ l + l2MC l RA
a
QC
ab/l
MC影响线
bl1/l
利用已知量值的影响线作其他未知量 值的影响线， 值的影响线，常会带来较大的方便
al2/l
l1
l2
D
QC = RA lx (RA≤ x ≤ l + l2 ) = a l
1
MC QMC C
QC = RB x = ( l1 ≤ x ≤ a ) RB l
QC
l /l QC影响线 1
b/l l2/l
1
a/l
x
P=1
d MD x P=1
QD
∑Y = 0 Q
QD影响线
D
= 1(0 ≤ x ≤ d )
1
1
x
P=1
MD
x
P=1
QD
∑M
MD影响线
D
= 0 M D = x (0 ≤ x ≤ d )
l
(0 ≤ x ≤ a )
l1
l2
D
RA
∑M
l1 1+ l
1 RA影响线
B
= 0,
lx ( l1 ≤ x ≤ l + l2 ) RA = l
0
l2
l
l1
l2
D
∑M
A
= 0,
RB
x RB = ( l1 ≤ x ≤ l + l2 ) l
1 RB影响线 0 1+l2/l
பைடு நூலகம்
l1/l
l1
l2
D
M C = RA a
5d/2 3d/2
5d/8 yC
15 d 16
yE 3d/4 yF 0
0
结点荷载作用下M 结点荷载作用下MD影响线
1
5/8
1/2 0
0 1/4 结点荷载作用下Q 结点荷载作用下 D影响线 3/8
1
结点荷载作用下影响线的一般做法
先作在直接荷载作用下有关量值的影响 并用虚线表示； 线，并用虚线表示； 用直线连接相邻结点处的纵坐标，得到 用直线连接相邻结点处的纵坐标， 结点荷载作用下相应量值的影响线。 结点荷载作用下相应量值的影响线。 注意： 注意： 这种绘制影响线的做法,可以用 这种绘制影响线的做法 可以用 来绘制多跨静定梁的影响线
影响线与内力图的关系—— 影响线与内力图的关系——
都是表示某种函数关系的图形，但自变量和 都是表示某种函数关系的图形， 因变量不同. 因变量不同.
P=1 D C
a
ab/l
D MC
b
MC影响线
因变量 P=1的位置参数 的位置参数
MC=f(x)
影响线与内力图的关系—— 影响线与内力图的关系——
P D
E
= 0,
RB
RB 3d N de = h
Nde影响线（下承） 影响线（下承）
3d/2h 3d/h 3d/h
Ⅰ
Ⅰ
作用在E以右 当P=1作用在 以右时， 作用在 以右时 取Ⅰ—Ⅰ左为隔离体 Ⅰ
作用在D以左 当P=1作用在 以左时， 作用在 以左时 取Ⅰ—Ⅰ右为隔离体 Ⅰ
RA
∑M
N DE
d
= 0,
静力法作桁架 影响线的基础
RA
1
RA影响线 同简支梁R 同简支梁 A影响线
Ⅰ
Ⅰ
作用在E以右 当P=1作用在 以右时， 作用在 以右时 取Ⅰ—Ⅰ左为隔离体 Ⅰ Nde
Nde
作用在D以左 当P=1作用在 以左时， 作用在 以左时 取Ⅰ—Ⅰ右为隔离体 Ⅰ
RA
∑M
E
=0
RA 3d N de = h
∑M
结 点 荷 载 作 用 下 影 响 线 的 做 法
0 3d/2
P=1
P=1 P=1
P=1
P=1
P=1
5d/2
15 d 16
yc
yE
yF 0
直接荷载作用下 MD影响线
x C
YC = dx d
P=1 E
YE = x d
根据影响线定义及叠加原理
M D = YC yC + YE y E dx x = yC + y E d d
∑M
A
= 0,
1 x RB l = 0 x RB = (0 ≤ x ≤ l ) l
1
RB的影响线
0
注意几点： 注意几点：
影响线的意义： 表示荷载作用点位置，是变量， 影响线的意义：x表示荷载作用点位置，是变量，
y表示当p=1移动到此位置时引起的某量值数值 表示当p=1移动到此位置时引起的某量值数值 p=1 正值画在基线以上，负值画在基线以下。 影响线的正负：正值画在基线以上，负值画在基线以下。 影响线的单位：某量Z影响线纵坐标的单位等于Z值的单 某量Z影响线纵坐标的单位等于Z 位除以力的单位。
1
RA影响线
1
1
QBr影响线
1
QCr 影响线
1
1 2/3
QBr影响线
QBl影响线
1/6 5/6 1/6 1/3 2/9
1
Qel 影响线
0 0
Qer 影响线
0 0
静力法作桁架的影响线
桁架的承载方式：通过纵梁传到铰结 桁架的承载方式： 点处，所以属于结点荷载情况。 点处，所以属于结点荷载情况。分为 上弦承载和下弦承载。 上弦承载和下弦承载。 结点法 截面法
第八章
影响线
8.1 影响线的概念
恒载 结构所受的荷载
移动荷载
活载
可动荷载
最不利荷载位置 绝对最大弯矩
影响线的概念：当一个单位移动荷载P=1沿结构移动时 影响线的概念：当一个单位移动荷载 沿结构移动时， 沿结构移动时，
表示结构上某一指定截面 指定量值的 指定截面的 表示结构上某一指定截面的指定量值的 变化规律曲线，称为该量值 的影响线 的影响线。 变化规律曲线，称为该量值Z的影响线。
x
P=1
K
RA
1
QK = RA lx (a ≤ x ≤ l ) = l
QK = RB l
RB
b l= x (0 ≤ x ≤ a )
QK影响线
al
1
x
P=1
K
RA a
(l x ) a(a ≤ x ≤ l ) =
MK影响线
M K = RA a l
M K = RB b
ab/lb x =
RB b
RA
∑Y = 0,
YdE = RA
∑ Y = 0,
YdE = RB
1 1/2 YDE影响线
1/3 1
Ⅱ
Ⅱ 作用在C 当P=1作用在 以左时， 作用在 以左时 取Ⅱ— Ⅱ右
NcC
作用在D以右 当P=1作用在 以右时， 作用在 以右时 以Ⅱ—Ⅱ左为隔离体 Ⅱ
NcC
∑Y = 0,
N cC = RB
RB
NDE
NDE
∑M
N DE
d
= 0,
RA 2d = h
RB 4d = h
RB
4d/h 2d/h
4d/3h
NDE影响线
Ⅰ
作用在E以右 当P=I作用在 以右时， 作用在 以右时 以Ⅰ—Ⅰ左作为隔离体 Ⅰ
Ⅰ
作用在D以左 当P=1作用在 以左时， 作用在 以左时 取Ⅰ—Ⅰ右作为隔离体 Ⅰ
NdE
NdE
RB
1
NcC 影响线（上承） 影响线（上承）
0
1
5/6
NeE 影响线（下承） 影响线（下承）
0
0
0
0
0
0
NeE 影响线（上承） 影响线（上承）
1
∑Y = 0,
N cC = RA
RA
1 NcC影响线（下承） 影响线（下承）
1/6
2/3 1
荷 载 上 承 的 情 况
支反力和上弦杆、下弦杆轴力及斜腹杆 支反力和上弦杆、 竖向分力的影响线同下承情况， 竖向分力的影响线同下承情况，但竖向 腹杆轴力影响线发生变化。 腹杆轴力影响线发生变化。
Ⅱ
Ⅱ
d
QB影响线
x A
d1
P=1
B RB
d2
1
d1/l d2/l
QBl 影响线
1 1
1
QBr 影响线
影响线做法总结如下： 影响线做法总结如下：
将单位移动荷载P=1放在结构上任意位置， 将单位移动荷载P=1放在结构上任意位置，适 P=1放在结构上任意位置 当选择坐标原点， P=1作用位置 为变量； 作用位置x 当选择坐标原点，以P=1作用位置x为变量； 用截面法截取隔离体，通过平衡方程， 用截面法截取隔离体，通过平衡方程，求出 所求量值的影响线方程； 所求量值的影响线方程； 根据影响线方程，作影响线。 根据影响线方程，作影响线。
a
C
b
M图 图
MD 梁上不同截 面的弯矩值 Pab/l 所在截面的 位置函数
Mx=g(x)
8.2 静力法作静定单跨梁的影响线
x P=1
RA 1 RA影响线
∑M
RA l = 1 (l x )
B
= 0,
lx (0 ≤ x ≤ l ) RA = l
x
P=1
RB
∑M
RB影响线
A
= 0,
1
RB l = 1 x x RB = (0 ≤ x ≤ l ) l