自主招生材料教师版 - 第三讲 不等式
上海骨干教师自主招生高中英语应试辅导第3讲 语法知识补充与四级真题练习
第三讲：语法知识补充与四级真题练习一、非谓语动词●动词不定式 (bare) infinitive●动名词 gerund (doing, being done, having done) 动词、名词性●分词：现在分词present participle (doing, being done, having done, having beendone) 和过去分词 past participle 动词、形容词、副词性1.不定式和动名词做宾语〔1〕后接二者做宾语的动词a. 没有差异 like, love, hate, begin, continue,b. 有差异 forget, remember, regret, try, mean,stop〔2〕只能接一种的动词a. 只能接不定式 agree, aim, ask, attempt, decide, determine, demand, desire, expect, intend, manage, order, pretend, promise, wantb. 只能接动名词 advise, appreciate, avoid, finish, enjoy, suggest, recommend, admit, consider, mind, resist, give up, put off, keep on, can’t help, require, need, want2. 后接不带to的不定式〔1〕感官、使役动词see, notice, watch, hear, let, make, feel, look at, listen to, (help) doing or do〔2〕其他had better, would rather, prefer … rather than, why not.3. 不定式做宾语补足语allow, ask, cause, command, enable, encourage, expect, forbid, invite, oblige, order, permit, request, require, tell, urge, want4. 动名词的复合结构one’s doingDo you mind opening the door?Do you mind my opening the door?I appreciate your coming to see me.5. 分词的差异和选用〔1〕差异现在分词主动正在进行过去分词被动已经完成〔2〕选用〔首先应用一个简单句只能有一个独立的谓语这一原那么〕a. 看其与逻辑主语之间的关系b. 意义6. 独立主格结构特点：分词的逻辑主语与主句主语不一致。
泰州中学高三数学提优讲义(教师版)不等式
★★专题三★★ 不等式【基础知识强化】1．已知集合A ＝{}0，1，B ＝{}a 2，2a ，其中a ∈R .定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 【答案】(0,2)2．设123log 2,ln2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系 ．【答案】c a b <<3．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：【解析】由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________． 【答案】(－3，－1)∪(1,2)4．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于 ． 【答案】45．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤；≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥【答案】 ①，③，⑤6．对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】a ≥157．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【答案】2338．已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是_______．（答案用区间表示）【答案】（3，8）9．当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n的最小值为________． 【答案】2 210．已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，PQ 中点M (x 0，y 0)满足y 0＞x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫－12，－15 11．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k =______.【答案】7312．若不等式(－1)n -1(2a －1)＜n )23(对一切正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－58，54 13．已知x ∈(0，π)，则函数f (x )＝1＋cos x ＋8sin 2x2sin x 的最小值为________．【答案】414．已知实数x ，t ，满足8x ＋9t ＝s ，且x ＞－s ，则x 2＋(s ＋t )x ＋st ＋1x ＋t 的最小值为________．【答案】6【典型例题精讲】〖例1〗为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系式：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．【解析】(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用C 1(x )＝6x . 故f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)由f (x )＝2)55353400(-+++x x ≥2(2400－5)＝70，当且仅当4003x ＋5＝3x ＋5，即x ＝5时等号成立，得f (x )min ＝70.当隔热层修建为5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．〖例2〗设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3.由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 恒成立，得m <0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0.故0<x 1<x 2.对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，所以f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0. 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0. 于是当m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0. 〖例3〗已知函数f (x )＝sin x ＋cos x 和g (x )＝2sin x ·cos x . (1)若a 为实数，试求函数F (x )＝f (x )＋ag (x )，x ∈[0，π2]的最小值h (a )；(2)若对任意x ∈[0，π2]，使|af (x )－g (x )－3|≥12恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)F (x )＝f (x )＋ag (x )＝sin x ＋cos x ＋2a sin x cos x .设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x cos x ＝t 2－1，所以φ(t )＝t ＋a (t 2－1)＝at 2＋t －a ， 由x ∈[0，π2]，得t ∈[1，2]．若a ＝0，则h (a )＝φ(1)＝1；若a ＞0，则φ(t )＝a ⎝⎛⎭⎫t ＋12a 2－a －14a ，因为t ＝－12a ＜0， 所以φ(t )在[1，2]上单调递增，所以h (a )＝φ(1)＝1；若a ＜0，则当－12a ≤1＋22，即a ≤1－2时，h (a )＝φ(2)＝a ＋2；当－12a ＞1＋22，即1－2＜a ＜0时，h (a )＝φ(1)＝1.综上所述，h (a )＝⎩⎨⎧1， a ＞1－2，a ＋2，a ≤1－2，(2)由|af (x )－g (x )－3|≥12，得|a (sin x ＋cos x )－2sin x cos x －3|≥12.设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x cos x ＝t 2－1，且由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得t ∈[1，2]． 所以|at －t 2－2|≥12恒成立，即t 2－at ＋2≤－12或t 2－at ＋2≥12恒成立．由t 2－at ＋2≤－12，得a ≥t ＋52t ，因为t ∈[1，2]，且t ＋52t 在[1，2]上递减，所以t ＋52t ≤72，所以a ≥72.由t 2－at ＋2≥12，得a ≤t ＋32t .因为t ∈[1，2]，所以t ＋32t≥2t ·32t ＝6，当且仅当t ＝32t ，即t ＝62时等号成立，所以a ≤ 6. 综上所述a ≤6或a ≥72.〖例4〗某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值． (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的 距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若 电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α—β最大？【解析】(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋htan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d≤h 2H (H －h ).当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时tan(α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是55 5 m. 【创新试题集锦】1．若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .若21x -比1远离0，则x 的取值范围是 .【答案】),2(2,+∞-∞- ）（2. 若a 、b 是正常数，a ≠b ，x 、y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝4x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值为________．【答案】353．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＜0，则关于x 的不等式f (mx 2)－2f (x )＞f (m 2x )－2f (m )(0＜m ＜2)的解集为________． 【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧><m x m x x 2或 4．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，则c 的最大值为________．【答案】2－log 235. 设b >0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n +1＋1.解：(1)(ⅰ)若b ＝1，则a 1＝1，a n ＝na n －1a n －1＋(n －1)(n ≥2)，则n a n＝a n －1＋(n －1)a n －1＝1＋n －1a n －1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴na n ＝n ，∴a n ＝1.(ⅱ)若b ≠1，则a n n ＝ba n －1a n －1＋(n －1)，∴n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1，∴n a n －1b －1＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1a n －1－1b －1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n a n －1b －1是首项为－1b (b －1)，公比为1b 的等比数列，∴n a n －1b －1＝－1b (b －1)·⎝⎛⎭⎫1b n －1，∵n a n ＝1b －1－1b (b －1)·⎝⎛⎭⎫1b n －1，∴a n ＝n (b －1)b nb n －1.(2)证明：当b ＝1时，2a n ＝2≤2成立.当b ≠1时，a n ＝n (b －1)b n b n －1＝nb 1－⎝⎛⎭⎫1b n 1－1b ＝nb1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1， 要证2a n≤b n ＋1＋1，只要证a n ≤b n ＋1＋12，只要证nb 1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n－1≤b n ＋1＋12即证2nb ≤(bn ＋1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1.∵(bn ＋1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1＝b n ＋1＋b n ＋…＋b 2＋1＋1b ＋1b 2＋1b n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1＋1b n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1b n －2＋…＋(b 2＋1)≥＝2nb .∴2nb ≤(b n +1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1，从而2a n ≤b n +1＋1成立． 6. 已知函数2()log f x x =.（1）当)(]33,3(N m m m x ∈+∈时，定义)3()(m x f x g -=. 设)(n g n a n ⋅=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求1a 、2a 、3a 、4a 和n S 3；（2）对于任意a 、b 、[,)∈+∞c M ，且a b c ≥≥. 当a 、b 、c 能作为一个三角形的三边长时，()f a 、()f b 、()f c 也总能作为某个三角形的三边长，试探究M 的最小值.【解析】(1) 若1(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴(1)(1)0f ϕ==，∴1100a =⨯= 若2(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴(2)(2)1f ϕ==，∴2212a =⨯= 若3(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴2(3)(3)log 3f ϕ==，∴323log 3a = 若4(3,33]m m ∈+，∴1m =，∴(4)(1)0f ϕ==，∴4400a =⨯= 当31()n m m N =+∈时，()(3)(1)0n f n m f ϕ=-==，∴00n a n =⨯= 当32()n m m N =+∈时，()(3)(2)1n f n m f ϕ=-==，∴1n a n n =⨯= 当33()n m m N =+∈时，2()(3)(3)log 3n f n m f ϕ=-==，∴2log 3n a n =3log 23321323log )3963(1)13852(3log 315043log 312012222343213⨯⨯++⨯-+=+++++⨯-++++=++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=n nn n n n n a a a a a S nn []3log )33(1322+++=n n n(2) 由题意知，c b a +> 若(),(),()f a f b f c 能作为某个三角形的三边长222log log log c b a bc a ⇔+>⇔>又：(1)(1)1bc b c b c ≥+⇔--≥当2,2b c ≥≥时，有(1)(1)1b c --≥成立，则一定有bc a >成立.,1,0log 2>∴>c c 即10≤<M 不合题意.又当21<<M 时，取2,,b M c M a M ===，有2M M M +>,即b c a +>，此时,,a b c 可作为一个三角形的三边长，但22222log log 2log log M M M M +==，即()()()f b f c f a +=，所以()f a 、()f b 、()f c 不能作为三角形的三边长.综上所述，M 的最小值为2.解法2：a b c ≥≥，由题意知，b c a +>若(),(),()f a f b f c 能作为某个三角形的三边长222log log log b c a ⇔+>bc a ⇔> 设1a c p =+ , 2b c p =+ 120p p ≥≥若1200p p =⇒=，则1a b c ==>，(),(),()f a f b f c 显然能作为某个三角形三边长 若10p ≠，由（1）知12c p p >-.由(2)知bc a >⇒12c p a c b c p +>=+1221p p c p -=++ 而21c p p +>，则1212210p p p p c p p --≤≤⇒+121222111122p p p p pc p p p --≤<+=-≤+故：2c ≥。
2017年云南教师资格面试指导：初中数学说课：不等式
2017年云南教师资格面试指导：初中数学说课：不等式云南教师资格考试请访问云南教师考试网，为了更好的协助大家备考云南教师招聘考试，中公云南教师考试网为大家准备了云南教师资格证的相关考试题型，大家可以参考学习，云南教师考试网祝大家早日成功。
一、教材分析：浙教版八年级上册第五章5.1认识不等式，5.2不等式的基本性质，5.3一元一次不等式，5.4一元一次不等式组。
让学生认识不等式，知道不等式的基本性质，掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式和一元一次不等式组的应用。
二、目标分析：1.知识目标：认识不等式，了解不等式的性质。
2.能力目标：解不等式以及利用不等式解决实际应用问题。
三、重难点分析：1.教学重点：(1)解不等式和不等式组。
(2)利用不等式解决实际问题。
2.教学难点：一元一次不等式解集的意义和不等式解集在数轴上的表示。
教学难点突破办法：通过观察，分析、概括，使学生对不等式的解集有初步的理解，然后通过数轴直观地表示出不等式的解集，从而加深学生对不等式的解集的理解。
四、中考考点分析：1.比较大小。
2.二次函数有关系数a，b，c的单选形式出现的多项选择题。
3.一元二次方程实数根的情况以及抛物线与直线交点个数的讨论。
4.求一元一次不等式的解集并在数轴上表示解集。
5.利用不等式表示函数自变量的取值范围和函数值的范围。
尤其是在分段函数中表示自变量的取值范围。
6.不等式在方案设计题目中的运用。
五、教法分析：由于个性化课外辅导中心与学校大班教学有着本质上的区别，因此，在对学生进行不等式章节的辅导过程中，要一改学校那种按部就班的教学模式，针对学生的实际情况，瞄准学生的薄弱环节，通过讲例题，做习题，讲练结合，系统归纳，以达到查漏补缺的目的。
比如，有的学生不会解不等式，有的学生则是在不等式应用这一块比较差，所以要具体问题具体分析，尊重个性，讲求实效。
六、学法分析：将学生由已经熟知的等式引入不等式，让学生记住五种不等号，树立起符号感。
上海市六年级数学自招班 第02讲 不等式 教师版
（7） a x ___ ____ b x ； （8） ay _____ ______ by ( y 0 )。
： 举一反三
用不等号填空：
（1）当 a 0 ， b 0 时， a 0 ； b
（2）若 x y 0 ， xy 0 ，则 x 0 ， y 0 ；
（3）若 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 a bc 0
23
5
举一反三： 用不等式表示下列语句：
（1） a 与 b 两数和的平方不大于 100 ； （2） a 与 b 的平方和不小于 100 ； （3） x 的 1 与 x 的 5 倍的和是非负数；
4 （4） a 的 3 倍与 b 的10 倍的和不等于 6
解：（1） a b2 100 ；（2） a 2 b2 100 ；（3） 1 x 5 x 0 ；（4） 3a 10b 6
0.02
0.03 x
0.5 x
0.1
；
0.02
0.3
解： x 4 数轴略； 19
（2） 4( x 1) 3(2 x 5) 24
解得： x 5 数轴略 2来自（4） 2x 1 2x 5 6x 7 1
2
3
4
解得： x 1 数轴略 2
（6）
1 2
x
1 x
2
1
2 5
x
1 ；
解得： x 1 数轴略
4
2
【精析 2】检验下列各数是不是不等式
x
x7
的解；
3
2
（1） 0 ；
（2） 5 ；
（3） 6
解：（1）不是；（2）（3）是。
3
举一反三：
下列各数哪些是不等式 7 x 5 8 x 3 的解； （1） 0 （2） 5 （3） 6 （4） 8 （5） 8.5 （6） 9
学生版——自主招生——(专题六)不等式——放缩法
1 (n 2)
6 2(2n 1)
(2)求证 : 1 1 1 4 16 36
1 11 4n2 2 4n
1 13 135
(3)求证 :
2 2 4 246
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
2n 1 1
(4) 求证： 2( n 1 1) 1 1 1 23
1 2( 2n 1 1)
n
【例 3】 求证 : 6n
111
(n 1)( 2n 1)
49
15 n2 3
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提高题分析
【例 1】（ 2008 年清华 )设函数 f (x) x xln x .数列 an 满足 0 a1 1. an 1
f ( an ) .
设 b ( a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证明 : ak 1 b .
a1 ln b
(I) 求证：函数 g (x) f ( x) 在(0, ) 上是增函数； x
(II) 当 x1 0, x2 0时,证明 : f ( x1 ) f (x2 ) f ( x1 x2 ) ；
f ( x) 在 x 0上恒成立 .
(III) 已知不等式 ln( 1 x ) x在 x 1且 x 0 时恒成立，
求证：
2! 3!
(1
1 )
e和 (1 1)(1
1)
n!
9 81
1 (1 3 2n )
e.
【例 5】 求证 : (1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3
【例 6】 证明 : ln 2 ln 3 ln 4 345
ln n n(n 1) (n N *, n 1) n1 4
【例 7】 已知 a1
【 例 2 】 （ 2011 年 华 约 试 题 改 编 ) 已 知 n,m N , x 1, Sm 1m 2m 3m n m 1 (m 1)Sn (n 1) m 1 1 .
2022年全国各地自招数学好题汇编之专题04 不等式及不等式组(word版含答案)
专题04 不等式及不等式组一．选择题（共12小题）1．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm 4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（）A．B．C．1D．1 5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（）A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5 7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍．A．2B．2.5C．3D．4 8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1 9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1 10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（）A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5 11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3 12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3二．填空题（共7小题）13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为元．14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于．15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是．17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为．18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝．三．解答题（共3小题）20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．22．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：（2）解不等式：专题04 不等式及不等式组参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•武进区校级自主招生）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．2．（2021•浦东新区校级自主招生）有一个解集为﹣2＜x＜2，它可能是下面哪个不等式组的解集？（a，b均为实数）（）A．B．C．D．【解答】解：∵﹣2＜x＜2，∴x＞﹣2且x＜2，∴﹣x＜1且x＜1，即解集为﹣2＜x＜2的不等式组是，而只有D的形式和的形式相同，∴只有D解集有可能为﹣2＜x＜2．故选：D．3．（2021•江岸区校级自主招生）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（）A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm【解答】解：设长方体木块长xcm、宽ycm，桌子的高为acm，由题意得：，两式相加得：2a＝150，解得：a＝75，故选：B．4．（2020•和平区校级自主招生）已知关于x的不等式组的负整数解只有一个，则实数a的取值范围为（）A．B．C．1D．1【解答】解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，∵不等式组的负整数解只有1个，∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解得≤a＜1，故选：A．5．（2020•原阳县校级自主招生）不等式≥0的解集是（）A．[1，2]B．[1，2]∪[3，+∞）C．[1，2]∪（3，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：由题意得，≥0，则或，解得x＞3或1≤x≤2，所以不等式的解集是x＞3或1≤x≤2．故选：C．6．（2020•赫山区校级自主招生）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜5B．a≤5C．a＞5D．a≥5【解答】解：，由①得x＜a﹣1，由②得x≥4，∵不等式组有解，∴解集应是4≤x＜a﹣1，则a﹣1＞4，即a＞5，实数a的取值范围是a＞5．故选：C．7．（2017•涪城区校级自主招生）普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（）倍．A．2B．2.5C．3D．4【解答】解：设普通火车速度为vm/min，城际快车速度为nvm/min，已知普通火车从绵阳至成都历时大约2h＝120min，由v＝可得两地距离：s＝v×120，普通火车与城际快车两列对开，途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，即：s普+s城＝s，所以：v×80+nv×20＝s，所以：v×80+nv×20＝v×120，解得：n＝2．故选：A．8．（2018•武昌区校级自主招生）关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＝﹣1C．a≥﹣1D．a≤﹣1【解答】解：，由不等式①，得x＜﹣2，由不等式②，得x≥a﹣1，∵关于x的不等式组无解，∴a﹣1≥﹣2，解得a≥﹣1，故选：C．9．（2018•即墨区自主招生）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[﹣0.5]＝﹣1，则下列说法正确的是（）A．[2x]＝2[x]B．[﹣x]＝﹣[x]C．[x+y]≤[x]+[y]D．设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1【解答】解：A、设x＝﹣1.4，[2x]＝[﹣2.8]＝﹣3，2[x]＝﹣4，所以A选项错误；B、设x＝﹣1.8，则[﹣x]＝1，﹣[x]＝2，即[﹣x]≠﹣[x]，所以B选项错误；C、设x＝y＝1.8，对A，[x+y]＝[3.6]＝3，[x]+[y]＝1+1＝2，所以C选项错误．D、设函数y＝x﹣[x]，则0≤y＜1，故D选项正确．故选：D．10．（2018•台儿庄区校级自主招生）若关于x的不等式组的所有整数解的和是10，则m的取值范围是（）A．4＜m＜5B．4＜m≤5C．4≤m＜5D．4≤m≤5【解答】解：解不等式3﹣2x≤1，得：x≥1，解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，则不等式组的解集为1≤x＜m，∵不等式组的整数解的和为10，∴不等式组的整数解为1、2、3、4，则4＜m≤5，故选：B．11．（2017•温江区校级自主招生）对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，则a的取值范围为（）A．a＞1或a＝0B．a＞3C．a＞3或a＝0D．1＜a＜3【解答】解：由ax+2a﹣3＞0得，ax＞3﹣2a，当a＞0时，不等式的解集为x＞，对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，∴＜﹣1，解得，a＞3；当a＝0时，不等式无解，舍去；当a＜0时，不等式的解集为x＜，∵对于任意的﹣1≤x≤1，ax+2a﹣3＞0恒成立，∴＞1，解得，a＞1（与a＜0矛盾，舍去）；综上，a＞3．故选：B．12．（2017•市北区校级自主招生）满足不等式组的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3【解答】解：解不等式|x|＜3得﹣3＜x＜3，解不等式x+1＞0，得x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故选：C．二．填空题（共7小题）13．（2021•渝中区校级自主招生）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为460元．【解答】解：∵第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和，∴第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1，∵第二批采制后清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等，即云雾毛尖、滴翠剑茗的数量各占，∴增加后清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为：：＝8：5：5，设总共有a盒茶叶，∴成本为×500a+×420a+×380a＝a（元），销售额应为×（1+16%）a＝a（元），清明香的销售额为640××（1﹣）a＝a（元），另外两种茶的销售总额为a﹣a＝a（元），设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为（640+x）元，因此可建立方程xa+×（640+x）•a＝a，解得x＝460，因此滴翠剑茗单价最低为460元，故答案为：460．14．（2020•谷城县校级自主招生）已知x＜0，则2+3x+的最大值等于2﹣4．【解答】解：∵x＜0，∴3x+≤﹣2＝﹣4，∴2+3x+≤2﹣4，当且仅当3x＝时等号成立，取得最小值2﹣4．故答案为：2﹣4．15．（2020•九龙坡区自主招生）某商场分别组装了甲、乙两种坚果营养袋，它们都由a、b、c三种坚果组成，甲种坚果营养袋每袋装有100克a坚果，300克b坚果，100克c坚果；乙种坚果营养袋每袋装有200克a坚果，100克b坚果，200克c坚果，甲、乙两种坚果营养袋每袋成本价均为袋中a、b、c三种坚果的成本价之和．已知b种坚果每100克的成本价为1元，乙种坚果营养袋每袋售价为5元，成本利润率为25%，甲种坚果营养袋每袋的成本利润率为，则这两种坚果营养袋的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是4：9．（已知：成本利润率＝利润÷成本；销售利润率＝利润÷售价）【解答】解：设a种坚果每100克的成本价为x元，c种坚果每100克的成本价为y元，由于乙种坚果营养袋每袋的成本利润率为25%，则5﹣（2x+1+2y）＝25%（2x+1+2y），∴x+y＝，则甲种坚果营养袋每袋的成本价为x+3+y＝元，乙种坚果营养袋每袋成本价为2x+2y+1＝4元，甲种坚果营养袋每袋售价为（1+）×＝6元，设商场销售甲种坚果m袋、乙种坚果n袋，由于两种坚果营养袋的销售利润率为，则，∴9m＝4n，∴m：n＝4：9，即商场销售甲、乙两种坚果营养袋的数量之比是4：9，故答案为：4：9．16．（2021•宝山区校级自主招生）关于x的方程mx﹣1＝|2x﹣4|有解，则m的取值范围是m≥或m＜﹣2．【解答】解：当x⩾2时，mx﹣1＝2x﹣4，∴（m﹣2）x＝﹣3，∴，∴2﹣m＞0且，∴，当x＜2时，mx﹣1＝4﹣2x，∴（m+2）x＝5，，∴，解得m＜﹣2 或，综上所述或m＜﹣2，故答案为或m＜﹣2．17．（2021•巴南区自主招生）某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为9：40．【解答】解：设公司对A村、B村、C村进行增加投资的数额分别为3x，3x，8x，则增加投资的的总额为14x，设公司原来向C村投资数额为2c，向A村投资的数额为a，向B村投资的数额为b，∵新投资总额是对C村投资额的倍，∴a+b+2c＝×2c，∴a+b＝5c．∴该公司对三个村的投资总额为a+b+2c＝7c．∵该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，∴．化简，得：．∴该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为：＝＝．故答案为：9：40．18．（2021•江岸区校级自主招生）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是3≤a＜4．【解答】解：解不等式x+a≥0得：x≥﹣a，解不等式1﹣2x＞x﹣2得：x＜1，∴﹣a≤x＜1．∵此不等式组恰有四个整数解，∴这4个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，∴﹣4＜﹣a≤﹣3，∴3≤a＜4，故答案为：3≤a＜4．19．（2020•和平区校级自主招生）和都是方程ax﹣y＝b的解，则a+b＝7．【解答】解：将方程的解代入方程得：，解得：，∴a+b＝3+4＝7，故答案为：7．三．解答题（共3小题）20．（2020•沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：第一步，用x表示y，得y＝；第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．【解答】解：（1）∵（15，20）＝5，（4，8）＝4，∴原方程变形为：5x+4y＝99，∴x＝，∴99﹣4y是5的倍数，∴当y＝1时，x＝19，∴是原方程的解；（2）∵5x+4y＝99有整数解，∴，，，，，∴原方程有5组正整数解．21．（2020•浙江自主招生）求使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c恰好有两个解的所有实数c的范围．【解答】解：①当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6＝c，解得：由＜1，∴c＞3②当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6＝c，解得：c＝3，有无数多解；③当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6＝c，解得：，得：1＜c⩽3④当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6＝c，解得：由，得：c⩾1故当c＞3时，原方程恰有两解：当1＜c＜3时，原方程恰有两解：故答案为：c＞3或1＜c＜322．（2021•黄州区校级自主招生）（1）解方程组：（2）解不等式：【解答】解：（1），①×2﹣②得﹣x＝﹣2，解得x＝2，把x＝2代入①得y＝﹣1，元方程组的解是；（2）去分母得：2x＞12﹣3（x﹣1），去括号得：2x＞12﹣3x+3，移项，合并同类项得：5x＞15，系数化为1得：x＞3．。
近年自主招生试题中的数列有界问题
近年自主招生试题中的数列有界问题・３２・中学数学研究２０１４年第６期近年自主招生试题中的数列有界问题山东省东营市胜利第一中学近几年各名校自招试题中屡屡出现从数列的有界性考查递推数列，解决的方法是不等式放缩或数列极限的定义，知识和能力上要高于高考要求，与高等数学接轨，相当于竞赛的一试或预赛程度，要求学生思维灵活，应具有较强的恒等变形能力和技巧，适当拓展部分课外知识．下面结合具体实例分析，供读者参考．’预备知识：１．数列极限的占一Ⅳ定义：设｛口。
｝为数列，８为定数，若对任给的正数ｇ，总存在正整数Ⅳ，使得当７／，＞Ⅳ时有Ｉ口。
一口Ｉ＜占，则称数列｛口。
｝收敛于ｎ，定数。
称为数列｛口。
｝的极限，并记作ｌｉｍａ。
＝口．２．单调递增有上界（或单调递减有下界）数列存在极限．３．不等式的传递性：若口＜ｂ，ｂ＜ｃ，则口＜ｃ．例１（２０１４年“华约”自招试题）已知数列｛口。
｝满足：口１＝０，口。
＋１＝ｎｉｐ“＋ｑ口。
．（１）若ｑ＝１，求口。
；（２）若ＩｐＩ＜１，ＩｑＩ＜１，求证：数列｛口。
｝有界．解：（１）因为口＝１，所以Ｄ。
＋ｌ＝ｎｐ“＋口。
，所以口ｎ＋１一ａｎ＝ｎｐ“．（ｉ）若Ｐ＝０，贝０口。
＋１＝ｎ。
，所以ａ。
＝口１＝０．（ｉｉ）若ｐ＝１，贝０ａ。
＋ｌ一口。
＝，Ｉ，于是当，ｌ≥２鱼Ｌ』Ⅱ！≠卫生二蛆：掣；又口。
：０也适时，有ｎ。
＝∑（ｎ。
一ａ－ｉ＿１）＋口。
＝∑（ｉ—１）＝合，所她＝血产（ｉｉｉ）当ｐ≠０且Ｐ≠１时，由口。
＋，一口。
＝ｎｐ“，得口。
＝∑（８ｉ一８¨）＋口。
＝∑（ｉ—１）ｐ卜１，即口。
＝（，ｌ一１）Ｐ８—１＋（凡一２）ｐ“一２＋…＋２ｘｐ２＋１×Ｐ，则ｐａ。
＝（１１，一１）ｐ“＋（ｎ一２）ｐ４－１＋…＋２Ｘｐ３＋１＋ｐ３＋ｐ２＋ｐ）＝（ｎ一１），ｐ“一訾＝（ｎ—ｘｐ２，两式相减得（ｐ一１）口。
＝（ｎ一１）Ｐ“一（Ｐ”１＋…万方数据（２５７０２７）李加军吴盛盛ｌ矽一智＝止垮竿血，所雌＝鱼Ｌ』卷铲．经验证，ｐ＝。
高中自主招生数学知识讲解-函数 不等式 数列等 20131201
2）柯西不等式 设 a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , 当且仅当 bi 0(i 1, 2, 证明： 若 ai i 1, 2,
, bn 是实数，则有
2 2 an )(b12 b2 2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2
2 2 (a1 a2
anbb )2
, n) 或存在一个数 k ，使得 ai kbi (i 1, 2,
, n) 时，等号成立。
n 全部为零，则不等式显然成立；
2 f ( x) (a12 a2 2 an ) x 2 2(a1b1 a 2 b2 2 anbn ) x (b12 b2 2 bn )
(m 1)m
m 1 m 1
而且
m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 2
所以有
1 m
3
1 m 1
1 m 1
所以
1 1 2
3
1 3
3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 n 1 n 1 n
3
2
1 tan 2 sec2
1 cot 2 csc 2
三倍角公式
sin 3 3sin 4sin 3
cos 3 4 cos3 3cos
万能公式
2sin cos 2 tan 2 2 2 sin 2sin cos 2 2 sin 2 cos 2 1 tan 2 2 2 2
自招的数学学习有很大不同。 首先备考时间较短，只有一到两个月时间； 第二，可供参考的真题非常有限，只有 10 套左右，无法进行大量练习； 第三，每年的自招题目在考察范围和难度上波动性较大。 因此在自招备考时，对真题的利用要更高效，对每道题尽可能多挖掘一些东西； 解答完一道题后，要重新理一下题目的思维过程，找到题目思路的“触发点” ，争取遇到 类似的题目能举一反三。
高校自主招生数学讲义 等式与不等式
第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s tx x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学）（2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学） 14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.xf x x =-- （1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求ta n x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营） 2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生）3. 已知方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2sin3f x x x x =-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos2sin2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营）相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学）（2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）。
上海高中自主招生—专题讲座·数学(试读文档)
高中自主招生是每一位初中学生都可以尝试的活动鉴于现在市面
上自招的材料比较少而且多数培训机构都打着自招的牌子这或许会
让大家很难去选择所以我们就想着尽我们的能力编写一套复习材料 给大家一些帮助
我们建议大家可以从七年级升八年级的暑假开始学习这套材料本
书分为!"讲难度在课本以上竞赛以下每讲都分为知识要点例题
%第一讲!代数式 !
已知 是方程 的一根 求 的值 !!$" 8
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已知 求 的值 例题"!
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解析!这样的题目在自招的试卷中出现的次数也是非常的多应熟练选用合适的公式!
熟用完全平方公式注意符号
【精品】2016年自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)
b)2 ，当且仅当
a x. x
b
，即 x
1 x. 1 x
a 时， a b
取得最小值。 ► 解法二：用平均值不等式
a b (x 1 x)(a b ) a b a(1 x) bx a b 2 ab ， 同 时
x 1 x
x 1 x
x 1 x
a12 a22 an2 a1 a2 an ，此即上面提到的平方平均 算术平均。
n
n
（2）当 bi
1 ai
（i
1, 2,
n ）时，有 (a12 a22
an
2
)(
1 a12
1 a22
1 an 2
)
n2
。
（3）当
ai ,bi R
（
i 1, 2, n
b(a b) b a b a
2
2
► 解： b(a b) a 1 4 2 b(a b) a2
a2 1 a 2 4 4 ，因此 a2 1 的最小值是 4．
b(a b)
a2
b(a b)
a 2
当
b
时取得最小值．
2
2
► 说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等 式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．
x 1 x
a12、a22 ，如再能出现 b12、b22 ，则可用，注意到1 x x 1.
► 解法一：用柯西不等式
a b (x 1 x)(a b ) ( x. a 1 x. b )2 ( a b)2 ，
初升高自主招生研讨—方程与不等式(答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（答案）【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________．【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______.【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根 C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=， 则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p+-=的根12,x x 满足44122x x +≤p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法名师讲义新人教B版必修
D ． (－∞，－ 7)∪ (1，＋∞ )
解析：选 B 由 7－ 6x－ x2>0 ，得 x2＋ 6x－ 7<0 ，即 (x＋7)(x－ 1)<0 ，所以－ 7< x<1 ，故选
B.
3．在 R 上定义运算⊙： a⊙b＝ ab＋2a＋ b，则满足 x⊙ (x－ 2)<0 的实数 x 的取值范围为 ( )
x
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＜ 3. 即不等式 qx2＋ px＋ 1＞ 0 的解集为 { x| － 2＜ x＜ 3} ． (1)一元二次不等式 ax2＋ bx＋ c＞ 0(a≠ 0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的
根，也是函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 与 x 轴交点的横坐标． (2)二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象在 x 轴上方的部分， 是由不等式 ax2＋ bx＋ c＞ 0 的 x 的值
构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2＋ bx＋ c＜0 的 x 的值构成的，三者之间相互 依存、相互转化．
[活学活用 ] 1．若不等式 f(x)＝ ax2－ x－ c>0 的解集为 (－ 2,1)，则函数 y＝ f(x)的图象为 ( )
解析：选 B 因为不等式的解集为 (－ 2,1)，所以 a<0 ，排除 C、 D ，又与坐标轴交点的横 坐标为－ 2,1，故选 B.
由图可得原不等式的解集为
1 x － 3< x<2 .
3－ 3 (2)原不等式等价于 3x2－ 6x＋ 2≥ 0.Δ＝ 12>0，解方程 3x2－ 6x＋ 2＝ 0，得 x1＝ 3 ， x2＝ 3＋ 3
， 3
作 出 函 数 y ＝ 3x2 － 6x ＋ 2 的 图 象 ， 如 图 ② 所 示 ， 由 图 可 得 原 不 等 式 的 解 集 为
(教师用书)高中数学 第3章 不等式章末归纳提升课件 北师大版必修5
设 f(x)＝mx2－mx－6＋m. (1)若对于 m∈[－2，2]，f(x)＜0 恒成立，求实数 x 的取 值范围； (2)若对于 x∈[1，3]，f(x)＜0 恒成立，求实数 m 的取值 范围．
【思路点拨】 (1)中已知 m 的取值范围，要求 x 的取值 范围，可以把 f(x)看作 m 的函数． (2)求 f(x)在 x∈[1，3]上的最大值即可．
5 970A 30A 元，从而 y＝ ＋1A(元)， n
6 000 当且仅当 15n＝ ，n＝20(层)时，总费用 y 最少． n 故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时，最少总费用为 1 000A 元．
某投资公司计划投资 A、B 两种金融产品，根据市场调 查与预测，A 产品的利润 y1 与投资金额 x 的函数关系为 y1＝ 180 18－ ，B 产品的利润 y2 与投资金额 x 的函数关系为 y2 x＋10 x ＝ (注：利润与投资金额单位：万元)． 5
(1)该公司已有 100 万元资金，并全部投入 A、B 两种产 品中，其中 x 万元资金投入 A 产品，试把 A、B 两种产品利 润总和表示为 x 的函数，并写出定义域； (2)试问：怎样分配这 100 万元投资，才能使公司获得最 大利润？其最大利润为多少万元？
【解】 (1)其中 x 万元资金投入 A 产品，则剩余的(100 －x)万元资金投入 B 产品，利润总和 180 100－x f(x)＝18－ ＋ 5 x＋10 x 180 ＝38－ － (x∈[0，100])． 5 x＋10 x＋10 180 (2)∵f(x)＝40－( ＋ )，x∈[0，100]， 5 x＋10
12 3 (2)法一 ∵f(x)＝m(x－ ) ＋ m－6＜0 在 x∈[1，3]上恒 2 4 成立，
高考数学总复习 133不等式选讲课件 北师大版
6．排序不等式 定理 1 设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 a≥b，c≥d， 那么 ac＋bd≥ ad＋bc ，当且仅当 a＝b(或 c＝d)，时取 “＝”号． 定理 2 (排序不等式)设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn， 则(顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥
[点评] (1)解这类绝对值符号内是一次式的不等式， 其一般步骤是：
①令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的 根；
②把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区 间；
③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解 这些不等式，求出它们的解集；
④取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集． 对于形如|x－a|＋|x－b|>c 或|x－a|＋|x－b|<c 的不等 式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图 像去解不等式，更为直观、简捷，这又一次体现了数形结 合思想方法的优越性！
解．
②
当 x≥3 时，x＋3＋x－3>8，即 x>4，此时不等式的解
集为{x|x>4}．
③
取①②③式的并集得原不等式的解集为
{x|x<－4 或 x>4}．
解法 2：不等式|x＋3|＋|x－3|>8 表示数轴上与 A(－3)， B(3)两点距离之和大于 8 的点，而 A、B 两点距离为 6.因 此线段 AB 上每一点到 A、B 的距离之和都等于 6.
2．高考考查的重点是：绝对值不等式的解法和性质运 用、不等式的证明、基本不等式、柯西不等式、数学归纳 法的应用，利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值等．
云南省昆明市嵩明一中高三数学高考基础知识教案：不等式缺答案人教版
不等式的概念和性质〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题.〖复习建议〗不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
〖双基回顾〗常见的性质有8条：1、反身性（也叫对称性）：a ＞b ⇔b ＜a2、传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c3、平移性：a ＞b ⇔a +c ＞b +c4、伸缩性：⎩⎨⎧>>0c b a ⇔ac ＞bc ；⎩⎨⎧<>0c ba ⇔ac ＜bc 5、乘方性：a ＞b ≥0⇔a n＞b n（n ∈N ，n ≥2） 6、开方性：a ＞b ≥0⇔n a ＞n b （n ∈N ，n ≥2） 7、叠加性：a ＞b ，c ＞d ⇔a +c ＞b +d 8、叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0⇔a ·c ＞b ·d 一、知识点训练： 1、下列结论对否：()N n bd ac d c b a n n ∈〉⇒=〉,,1 （ ） ()b a cbc a 〉⇒〉222 （ ）()ba ab b a 1103〈⇒〈〉且 （ ）()bd ac d c b a 〉⇒〈〈〈〈0,04 （ ）()N n b a b a n n ∈〉⇒〉,5 （ ） ()b a b b a 〈〈-⇒〈6（ ）2、ba b a 11〈⇔〉成立的充要条件为 3、用“＞”“＜”“＝”填空：(1)a <b <c <0则ac bc ；a c bc ；；(2) 0<a <b <c <1，则a cb c；a ba c；log c a log c b ；a lg cb lgc ；a r c si na a r c si nb .二、典型例题分析：1、比较下面各小题中a 与b 的大小：(1)a =m 3－m 2n －3mn 2与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3(2)a =3x 2－x ＋1与b =2x 2＋x －1 (3)10231=-=b a 与 .2、a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较m =t a log 21与n =21log +t a的大小. 3、bx ax x f -=)(，1≤)1(f ≤2，13≤)2(f ≤20，求)3(f 的取值范围. 三、课堂练习： 1、若ba 〉，则下列不等式成立的是………………………………………… （ ）(A )ba 11〈 (B ))0(22≠〉c bc ac (C ) 0)lg(〉-b a (D ) b a lg lg 〉 2、设dc b a ≥〉,，那么下列不等式成立的是………………………………… （ ） (A )22)()(c b d a -〈- (B ) 22)()(c b d a -≥-(C ) 22)()(c b d a -≤- (D ) 以上都不对3、已知0〈〈b a ，则下列不等式能成立的是 ………………………………………（ ）(A )1〈ba (B )b a -〉 (C ) ba 11〈 (D ) 22ab 〉4、已知01,0〈〈-〈b a ，则下列不等式成立的是 …………………………………（ ）(A )2ab ab a 〉〉 (B ) a ab ab 〉〉2 (C ) 2ab a ab 〉〉 (D ) a ab ab 〉〉25、若0〈〈b a ，则下列不等关系中不能成立的是 ………………………………… ( ) (A ) ba 11〉 (B ) ab a 11〈- (C ) b a 〉(D ) 22b a 〉 四、课堂小结：1、不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的理论依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零.2、处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负.3、作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意.五、能力测试： 姓名 得分1、下列命题中正确的是……………………………………………………………… ( ) (A )22,b a b a 〉〉则若 (B ) b a b a 〉〉则若,22 (C ) 22,b a b a 〉〉则若 (D ) 22,b a b a 〉〉则若 2、设011〈〈ba ，则有 …………………………………………………………（ ）(A ) 22b a 〉 (B ) ab b a 2〉+ (C ) 2b ab 〈 (D ) b a b a +〉+223、若0,=++〉〉c b a c b a ,则有………………………………… ( )(A ) ac ab 〉 (B ) bc ac 〉 (C ) bc ab 〉 (D )以上皆错 4、若,〉〉〉b a bd ac ,则 ………………………………………………………( )(A ) 0〉〉d c (B ) d c 〉 (C ) d c 〈 (D )c 、d 大小不确定5、以下命题：⑴a >b ⇒|a |>b ⑵a >b ⇒a 2>b 2⑶|a |>b ⇒ a >b ⑷a >|b | ⇒ a >b 正确的个数有………………………………………………………………………（ ）(A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个6、已知a ＞2,比较12++=a ab 与2的大小. 7、比较下列各数的大小：(1))11(log ),1(log an a m a a +=+= （提示：分a ＞1，a ＜1讨论） (2)n n a -+=1与1--=n n b （提示：分子有理化后再比较） 8、如果二次函数)(x f y =的图象过原点，并且1≤)1(-f ≤2,3≤)1(f ≤4,求)2(-f 的取值范围.不等式的解法——分式与高次〖考纲要求〗在熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法的基础上初步分式与高次不等式的解法.〖复习建议〗分式与高次不等式的一般解法：序轴标根法，能注意到其中的一些特殊点与解集的关系，能注意到区间端点与解集的关系.一、知识点训练： 1、下列不等式与012≤+x x同解的是……………………………………………（ ）(A)01≤+xx (B)0)1(≤+x x (C)0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x2、不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 .3、不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .4、不等式x x<1的解集为 .二、典型例题分析：1、解不等式：(x －1)·(x －2)·(x －3)·(x －4)>1202、解不等式：0)5)(1)(3()2(2>-+++x x x x3、解不等式：232532≥-+-x x x4、若不等式6163922<+--+<-x x mx x 对一切x 恒成立,求实数m 的范围5、求适合不等式11)1(02<+-<x x 的整数x 的值.6、解关于x 的不等式a x x-<-11三、课堂练习： 1、不等式1213≥--xx 的解集为…………………………………………………（ ）(A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2}(C) {x |x >2或者x ≤43} (D){x |x ＜2}2、不等式21≥+x x的解集为 . 3、如果不等式1122+-->++-x x b x x x a x 的解集为（21，1），则b a ⋅= .四、课堂小结：分式与高次不等式的解题基础是一元二次不等式的解法，常用方法是序轴标根法，但是要注意标根时的起点位置. 五、能力测试： 1、与不等式023≥--xx 同解的不等式是……………………………………（ ）(A)(x －3)(2－x )≥0 (B)lg(x －2)≤0 (C) 032≥--x x(D)(x －3)(2－x )>02、如果x 1<x 2<…<x n ，n ≥2,并且{x |(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0}⊃{x |x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2<0}，那么自然数n …………………………………………………………………………（ ）(A)等于2 (B)是大于2的奇数(C) 是大于2的偶数 (D)是大于1的任意自然数3、不等式(x －1)(x ＋2)(3－x )>0的解集为 .4、不等式01)3()4)(1(2≤+---x x x x 的解集为 . 5、a >0,b >0，那么不等式a xb <<-1的解集为 . 6、已知不等式11<-x ax的解集为{x |x <1或x >2}，那么a = . 7、解不等式：x x x x x <-+-+222322（提示：)1)(2(2223++-=---x x x x x x ） 8、不等式)(122322N n n x x x x ∈>++++对一切x 都成立，求n 的值.9、解关于x 的不等式)0( 12)1(>>--a x x a不等式的解法——指数 对数（无理不等式）〖考纲要求〗新的考纲虽然没有明确要求掌握简单的指数、对数无理不等式的解法，但是却要求掌握函数的单调性，会利用函数单调性比较大小，而这也正是我们这一讲的出发点..〖复习建议〗1、掌握解指数、对数不等式的方法，一般来说，与解指数、对数方程的方法类似.即：(1)同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意对其进行讨论.并注意到对数真数大于零的限制条件.(2)转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（注意转化的等价性）.(3)换元法：多用于不等式两边是和的形式，或取对数后再换元，并注意所换“元”的范围.2、掌握基本无理不等式的转化方法. 一、知识点训练：1、当)(log )(log ,10x g x f a a a <<<与时等价的不等式是…………………（ ）（A ）)()(x g x f < （B ）)()(0x g x f << （C ）)()(0x f x g << （D ）以上都不对2、当)()(,1x g x f a a a >>与时等价的不等式是 ………………………（ ）（A ）0)()(>>x g x f （B ）)()(0x g x f <<（C ）)()(x g x f > （D ）)()(x g x f <3、不等式log log 221>x 的解集为………………………………………（ ）（A ）{x |x <2} （B ）{x |0<x <2} （C ）{x |1<x <2} （D ）{x |x >2} 4、不等式(x－1)2≥+x 的解为…………………………………………（ ）(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠15、不等式129->-x x 的解集为 ； 二、典型例题分析：1、解不等式66522252.0++-+-≥x x x x 2、解不等式154log <x .3、如果x =3是不等式：)33(log )2(log 2+<--x x x a a 的一个解，解此关于x 的不等式.4、解关于x 的不等式：222)21(2--+>x x x*5、解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a 三、课堂练习：1、不等式x x 283)31(2--> 的解集为 ； 2、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为 ； 3、不等式1323>--x 的解集是 ……………………………………（ ）（A ）φ （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧><≤6232x x x 或 （C ）{}6>x x（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤232x x四、课堂小结：掌握指数、对数、无理不等式的常规解法—取对数法、换底法、换元法、利用函数单调性，将它们转化为代数不等式.在进行转化时，应充分注意函数定义域，保证同解变形.在转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及到最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”. 五、能力测试： 1、与不等式112≤--x x 同解的不等式是 ……………………………………（ ） （A ）1120≤--≤x x （B ）112≤--x x （C ）012≥--x x （D ）01≤-x x2、不等式2)1lg(2>-x 的解为 ……………………………………………（ ）（A ）x >11 （B ）x <－9 （C ）x <－9或x >11 （D ）－9<x <11 3、设c <0，下列不等式成立的是 ……………………………………………（ ）（A ）c c 22> （B ）c c )21(> （C ）c c )21(2> （D ）c c )21(2<4、不等式3331>--x的解集为…………………………………………（ ）（A ）{x |x ≤1} （B ）{x |43＜x ≤1} （C ）{x |43＜x ＜1} （D ）R 5、不等式xx x121log <的解集为 …………………………………………（ ）（A ）{}21<<x x （B ）{}21><x x x 或 (C )φ （D ）{}210><<x x x 或6、)1(log )12(log ->-x x a a 的同集不等式为 ………………………………（ ） (A )1112,1>-->x x a 时 (B )1,1>>x a 时 (C )1,10><<x a 时 (D ）0112log >--x x a7、{}=->==A C x x x A R I U 则,2, 8、不等式lg x ＋lg(x －3)<1的解集为 . 9、解关于x 的不等式：5252≤--x *10、解不等式1)11(log >-xa不等式的证明—比较法〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题.〖复习建议〗掌握求差法与求商法比较两个数的大小。
2021-2022年高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第三节 不等式选讲 文
2021年高考数学精英备考专题讲座第三讲数列与不等式第三节不等式选讲文不等式选讲是一个选考内容,纵观近年关于课程标准的高考试题,含绝对值不等式的试题常以选做题的形式出现,属于中档偏易题.最值与恒成立问题是高考的常考点,不等式的证明常与数列相结合,考查数学归纳法、放缩法等技能方法,属于中高档题,甚至是压轴题,难度一般控制在之间.考试要求：⑴理解绝对值及其几何意义.①绝对值不等式的变式：.②利用绝对值的几何意义求解几类不等式：①；②；③.⑵了解不等式证明的方法：如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.题型一含绝对值不等式例（xx全国课标卷理科第24题）设函数,其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值。
点拨：⑴解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.⑵可考虑采用零点分段法.解：（Ⅰ）当时，可化为,由此可得或,故不等式的解集为或.( Ⅱ) 由的此不等式化为不等式组或即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故.易错点：⑴含绝对值的不等式的转化易出错；⑵不会运用分类讨论的数学思想,去掉绝对值符号.变式与引申：若，求证： .题型二 不等式的性质例.⑴设,则的最小值是( ).A. B. C. D.⑵设且,求的最大值.点拨：⑴观察分母能发现其和为,则添加可配凑成21111()()()ab a a b ab a a b a ab a a b --++=++-+,再利用基本不等式求解；⑵观察已知条件,可将所求式子转化为,再利用基本不等式求解.(1)【答案】D 解：22111111()()()()224ab a a b ab a a b ab a a b a a ab ab ab a a b ---++=-+++=++-+≥+=,当且仅当,时等号成立.如取,满足条件.选D.（2）∵,∴221()]222y x ++. 又2222113()()22222y y x x ++=++=,∴,即 易错点：忽视基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”条件. 变式与引申2：已知,且,求证:.题型三 不等式的证明例3 已知,且,求证：.点拨：由,得,,.可使问题得证.解：∵ ,∴,2211121242a b ab +=-≥-⋅=,, ∴2222221111()()4a b a b a b a b+++=++++.易错点：⑴易出现2222211111()()42()48a b a b ab a b a b ab+++=++++≥++≥的错误；⑵忽视基本不等式中等号成立的条件.变式与引申3： 是和的等比中项，则的最大值为( ).A. B. C. D.题型四 不等式与函数的综合应用例4已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈.当时.求证：.点拨：本题中所给条件并不足以确定参数,的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用 、来表示,,因为由已知条件有,,可使问题获证.证明：由1(1),(1)[(1)(1)]2f a b c f a b c b f f =++-=-+⇒=--，从而有 11||[(1)(1)](|(1)||(1)|)22b f f f f =--≤+-,∵,∴1||(|(1)||(1)|)12b f f ≤+-≤. 易错点：⑴不会用、来表示、、及其它们的和差关系式,从而解题思路受阻；⑵不能灵活运用绝对值,对问题进行转化.变式与引申4：设二次函数，函数的两个零点为.（1）若求不等式的解集；（2）若且，比较与的大小．本节主要考查：⑴不等式的性质(基本不等式与柯西不等式)应用；⑵含绝对值不等式的解法； ⑶逆求参数取值范围；⑷函数方程思想、分类讨论思想、转化化归思想以及比较法、分析法、综合法等数学思想方法.点评：⑴运用不等式性质解有关问题时,要随时对性质成立的条件保持高度警惕,避免错误发生；⑵应用绝对值不等式解题时,要注意绝对值不等式中等号成立的条件；解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,主要思路有：①利用绝对值的几何意义；②零点分段讨论；③平方转化；④借助图象直观获解.⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式选讲的重点考查内容之一,解题中常用技巧是注意创设应用基本不等式的条件,合理地拆分项或配凑因式,即把已知式子转化成基本不等式和柯西不等式的模型.在应用求最值时,“一正、二定、三相等”三个条件不可缺一. ⑷证明不等式的常用方法：①比较法,即作差比较法与作商比较法；②综合法—-由因导果；③分析法---执果索因；④放缩法,常出现在与数列和式有关的不等式证明中,运用时应注意观察“放与缩”的方向和“放与缩”的量的大小,把握好放缩的“度”,熟记一些常用放缩技巧和放缩的结构形式. ⑸不等式作为工具,常与函数、导数、数列、解析几何结合在一起,有着广泛的应用,应给予关注.习题3-31.(xx 陕西文科第3题)设，则下列不等式中正确的是 （ ）（A ） （B ）（c ） (D)2．不等式的解集是( ).A. B. C. D.3．不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( ).A. B. C. D.4.(xx 年山东卷文科第16题）.已知()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .5.设,是大于的常数,若的最小值是,则的值等于______.【答案】当且仅当1112,3,,,632y x z x x y z =====即时,等号成立.变式与引申3：选B解：由条件可知,用三角代换设,,则3cos 32sin()a b αααϕ+=+=+∴选B.变式与引申4：（1）由题意知，当时，不等式 即为.当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为.（2）()()()(1)a x m x n x m x m ax an --+-=--+ 且，∴∴， 即．习题3-3对任意实数恒成立,则,解得或.故.4.【答案】2【解析】因为函数()log (23)a f x x x b a =+-<<在（0，上是增函数， (2)log 22log 230,a a f b a b b =+-<+-=-<(3)log 33log 340a a f b a b b =+->+-=->， 即.5.【答案】 解：21cos 1cos ()(cos 1cos )12(1)16a a a t t t t a -++-≥++=.∴.。
新人教B版必修高中数学第三章不等式..《不等式的性质》
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：a b
cd
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
论得 1 1 0
cd
又因为a>b>0，所以 a 1 b 1
cd
即
由性质3可以得出 a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
推论1：不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
推论2：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c， 又因为c>d，所以b+c>b+d， 根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/7/312021/7/31Jul y 31, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/7/312021/7/312021/7/312021/7/31
谢谢大家
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc， 又因为c>d，b>0，所以bc>bd， 根据不等式的传递性得 ac>bd。 几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。