自主招生考试常用不等式

自主招生考试常用的不等式

1．柯西不等式))(()(2

n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成

立条件为n

n b a b a b a ==22

11。 证明：构造一元二次函数22

21122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-+

+-，则

22

2

222

212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-++++++

+≥

等价于判别式小于等于0，即

0))((4)(42

n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，

得证，且等号成立条件，n

n b a b a b a ==22

11。 2．四个平均的关系： 平方平均n

a a a Q n 2

n

2221+++=

，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均

n

n

n a a a G 21=，调和平均n

n a a a H 111

1

21+++= 。

满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。调和平均不常

用。

3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21

，n b b b ≤≤≤ 21，则有

112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）

（乱序和） （逆序和） 。 其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。

4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有

n

b b b n a a a n b a b a b a n

n n n +++⋅+++≥+++ 21212211。

附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。

5．关于凸函数的琴生不等式：

（1）函数的凹凸性：

定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

①

则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．

注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）

②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．

常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=lg sin ,=log cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢

⎣

⎭

，上， 常见的（下）凸函数，[)231

0+=,=,=,=

n n y x y x y x y x

∞，上， ③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则()f x 为

上凸函数。

二、凸函数有琴生不等式性质：

若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有n

x f x f x f n x x x f n n )

()()()(

2121+++≤+++ ；

若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有n

x f x f x f n x x x f n n )

()()()(

2121+++≥+++ 。

附：应用21

)(x

x f =

，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 2

213

22221)

(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。 而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的

222212221)111(n

n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。

加权形式：

[]()()()

+121211221122R +++=1(),(++

)+++n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有

[]()()()

+121211221122R +++=1(),(++

)++

+n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有

常用不等式：

121212121212

++

++++(t>1);

++

++++(0

t t

t n

n t

t t

t

n

n n

n n

x x x x x x n n x x x x x x n

n x x x x x x n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

⎛⎫≥ ⎪⎝⎭

例1. 解方程组222

94

862439

x y z x y z ⎧++=

⎪⎨⎪-+-=⎩

例2.

2

123BC CA AB ,(++)++2S

123P d ,d ,d S a a a a b c d d d ∆∆≥

为ABC 内一点，它到三边、、的距离分别为为ABC 的面积

求证：

例3. 有小于1的正数121233

3

1122

11

1

,,

,,++

+=1+++

>4---n n n n

x x x x

x x x x x x x x 且，求证： 例4. 设222

111,,c ++=1,+++++a b a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

为正数，且求的最小值

例5.

已知111

>0,>0,+++

<++2+n a b a b a b

a b

求证：