自主招生考试常用不等式
一道自主招生不等式问题的加强及证明
即 ／（） ．ｎ—— ２ｚ ——————ｎ＋２ ｚ ２—－ ｌ ——— ——．ｅ．￣ ］ —ｘ—— （————－ｍ ———． （——）— — ６ｆ —— － ——一 — — —— － ） ［ｎ — —
．
与 加 强［］ 数 学 通 讯 ２ １ ，（ 半 月 ） Ｊ． ００９下 ．
（ 稿 日期 ：Ｏ Ｏ Ｏ — ５ 收 ２１—９２）
是“ 天上掉 下个林 妹妹 ” 本 文 笔者 用 构造 函数 的 ， 方法 来 证 明该 不 等 式 ， 开 文 Ｅ ｉ神 秘 证 明 的 揭 ｌ
面 纱． 证 明 设 厂ｚ （ ）： （ — Ｘ ） — ） 则 ｚ 。（ ，
一］ ｚ
， 为 ｚ ∈ （ １ ， 以 ｚ— 。＞ 。， 因 ｏ， ） 所
Ｘ 一 ｉ ｌ ｘ
ｚ２ 一 ｉ
文 ［ ］将 此 不 等 式 加 强 并 证 明 了 如 下 不 １
等式 ： 若ｚ， ， １ ２ …… ， ｚ 为小 于 Ｉ 的正数 且 １ ｚ ＋ｚ
＋ … ＋ 一 ｌ 则 ，
ｆ）［ ］递 ，［， 上 减 Ｅ， （在。 上 增在 ｚ 递 ，ｘ ｘ ， ｚ ２ ］
＋ ｚ 一 Ｉ，
ｏ 知ｇ ｇ） ０ 以 ， （ （ ＜ ， 娩∈（，， 易 ）１ 所 １ 故 ）
／（ ） Ｒ上有 ３ ｚ在 个零点 ｚ ， ，ｚ其大小关系为 ｚ，
ｚ＜０ 。 ＜ ＜ ｚ ＜ １由导函数 ／（） ， 的图象知
求证：
＋
＋ … ＋
” 一 ｚ
＞ ４ ．
故上述 不 等式 可 化为
上
．
— ≥ 二 ［ｎ ３ ， —多 ｌ ） ］ 二 ｊ 一’
Ｘ；－ － Ｘ３
厂（ ） （ —３ 。（ ｚ ： １ ｘ ）ｍ—ｚ ＋ 一ｚ 即ｆ （ ） ） ， ｚ 一
学生版——自主招生——(专题六)不等式——放缩法
1 (n 2)
6 2(2n 1)
(2)求证 : 1 1 1 4 16 36
1 11 4n2 2 4n
1 13 135
(3)求证 :
2 2 4 246
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
2n 1 1
(4) 求证： 2( n 1 1) 1 1 1 23
1 2( 2n 1 1)
n
【例 3】 求证 : 6n
111
(n 1)( 2n 1)
49
15 n2 3
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提高题分析
【例 1】（ 2008 年清华 )设函数 f (x) x xln x .数列 an 满足 0 a1 1. an 1
f ( an ) .
设 b ( a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证明 : ak 1 b .
a1 ln b
(I) 求证：函数 g (x) f ( x) 在(0, ) 上是增函数； x
(II) 当 x1 0, x2 0时,证明 : f ( x1 ) f (x2 ) f ( x1 x2 ) ；
f ( x) 在 x 0上恒成立 .
(III) 已知不等式 ln( 1 x ) x在 x 1且 x 0 时恒成立，
求证：
2! 3!
(1
1 )
e和 (1 1)(1
1)
n!
9 81
1 (1 3 2n )
e.
【例 5】 求证 : (1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3
【例 6】 证明 : ln 2 ln 3 ln 4 345
ln n n(n 1) (n N *, n 1) n1 4
【例 7】 已知 a1
【 例 2 】 （ 2011 年 华 约 试 题 改 编 ) 已 知 n,m N , x 1, Sm 1m 2m 3m n m 1 (m 1)Sn (n 1) m 1 1 .
自主招生不等式(附答案)
第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。
2019年高校自主招生试题中的不等式问题
不等式题目 (共 35 道题目), 清华大学的优秀中学生暑期综合
营试题中出现 1 道不等式题目, 在北京大学的三位一体招生
数学试题中出现 3 道不等式题目 (共 20 道题目), 北京大学综
合营中不等式题目更是占到文理科共 7 道题目中的 3 道. 在
其他高校的招生考试中, 不等式题目也常有出现. 今年, 高校
评析 在上述方法中, 由均值不等式和配凑系数法, 不妨
设需要配凑的系数为 x 和 y, 则:
xy · ab(a + 8b) = a · xb · (ya + 8yb)
[ a + xb + (ya + 8yb) ]3 ( (1 + y)a + (x + 8y)b )3
≤
=
,
3
3
这 里 x, y, 要 满 足 题 目 要 求 和 均值 不 等 式 的 取 等 条 件,
赛一试中的不等式难度; 从方法上看, 配凑系数法和换元法
的考察较为频繁, 求导法、放缩法和数学归纳法也常有涉及,
有时也经常与解析几何、函数与方程、三角函数、向量、因式
分解等知识板块链接起来, 范围很广, 应予以重视.
例 1 (2019 年 上 海 交 大 自 招 考 试) 实 数 a, b 满 足
4a2 − 5ab + 4b2 = 19, 求 a2 + b2 的最大值.
招生政策面临重大调整,“强基计划”完全取代了实行 17 年
的自主招生政策, 但基于选拔人才的初衷和“一校一策”的依
托, 预计题目类型不会发生重大改变, 因此参考 2019 年的自
招试题, 对于备考和研究新的招生考试, 依然有着很重要的
经典不等式23种不等式
经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。
2、小于等式：若x<y，则x≤y。
3、不等式：若x≠y，则x≠y。
4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。
5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。
6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。
7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。
8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。
9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。
10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。
11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。
12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。
13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。
14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。
15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。
16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。
17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。
18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。
19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。
20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。
21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。
22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。
23、条件不等式：若A>B且C>D，则AC>BD。
自主招生分类汇编不等式
一道2009年清华自主招生试题的解法题目：若,x y 为实数，且1x y +=，证明：对于任意正整数n ，有222112nn n xy -+≥.证明1：由“若0,0a b ≥≥则222()22a b a b ++≥”联想到“若*0,0,a b n N ≥≥∈，则()22n n na b a b ++≥” 下面用数学归纳法证明上述结论. 10当1n =时显然成立当2n =时，2222()()0222a b a b a b ++--=≥， 所以1n =，2n =时，命题成立20假设n k =时不等式成立，即()22k k k a b a b ++≥ 所以1()222k k k a b a b a b ++++∙≥ 只需证明11222k k k k a b a b a b +++++∙≤， 即证明11kkk k a b b a ab +++≤+. 而11()()0k k k k k k a b b a a b a b b a +++--=--≤,故1n k =+时不等式成立.综上可得：若*0,0,a b n N≥≥∈，则()22n n na b a b ++≥. 运用上面的结论有2222221()[()]2222n n n n n x y x y x y +++≥≥≥ 即222112nn n xy -+≥证明2：（1班苏启舟同学提供）依题意，,x y 中至少有一个大于0，不妨设0x > i)若0,0x y >≤，又1x y +=，则1x ≥， 所以2221112nn n xy -+≥>ii) 若0,0x y >>，不妨设x y ≥，则12x ≥ 则221222111()[222nn n nxx x x ---=-+ 2231()2n x -+222111()()]22n n x --+++ （1） 221222111()[222n n n ny y y y ---=-+2232221111()()()]222n n n y y ---++++ （2） 由（1）-(2)得2221212111()[()22n n n n n x y x x y ---+-=--22221()2n n x y --+-223231()()2n n x y --+- 221()()]2n x y -++-所以222112n nn x y -+≥.注：上述问题还有一些其他解法，请同学们尝试，并提供给数学组。
上海高中自主招生 专题11 解不等式(教案)
专题11解不等式（教案）前言：不等式是指用不等号连接两个算式（可以是代数式，也可以是各种实值函数的表达式）所得得式子。
对于含有未知数字母的不等式，寻求它的解，或是确定其无解的过程，称为解不等式。
一、专题知识1.基本公式（1）关于x 的不等式ax b >的解：①当0a >时，b x a >；②当0a <时，b x a<；③当0a =时：（ⅰ）当0b ≥，解集为空集；（ⅱ）当0b <时，解集为R 。
（2）一元二次不等式：20ax bx c ++>或20(0)ax bx c a ++<≠1若0∆>：（ⅰ）当0a >时，20ax bx c ++>的解在方程20ax bx c ++=的两根之外，即x x >大或x x <小；20ax bx c ++<的解在方程20ax bx c ++=的两根之间，即x x x <<小大；（ⅱ）当0a <时，20ax bx c ++>的解在方程20ax bx c ++=的两根之间，即x x x <<小大；20ax bx c ++<的解在方程20ax bx c ++=的两根之外，即x x >大或x x <小。
②若0∆=：当0a >时，20ax bx c ++>的解为2b x a≠-；20ax bx c ++<的解为空集。
③若0∆<：（i ）当0a >时，20ax bx c ++>的解为一切实数；20ax bx c ++<的解为空集。
（ii ）当0a <时，20ax bx c ++>的解为空集；20ax bx c ++<的解为一切实数。
2.基本结论（1）不等式的基本原理：①0a b a b->⇔>②0a b a b-<⇔<③0a b a b-=⇔=（2）不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变。
历年自主招生试题分类汇编不等式.doc
历年自主招生试题分类汇编——不等式5. （ 2014 年北约） 已知 xy1 且 x, y 都是负数 ,求 xy1的最值 .xy【解】由 x 0, y 0可知 ,xy 1 | x y | 1 | x | | y | 1 , 所以 | xy | | x || y | (| x | | y|)2 1 ,即 xy (0, 1] ,444令 t xy(0, 1] ,则易知函数 y t 1 在 (0,1] 上递减 ,所以其在 (0, 1] 上递减 ,4 t 4 于是 xy11 17有最小值 4 4,无最大值 .xy4解答二： 1( x) ( y) 2 xy 得 0 xy 1，而函数 f (t) t 1 在 (0,1) 上单调递4t减，在 (1,) 单调递增， 故 f ( xy)f (1) ，即 xy 1 17 ，当且仅当 x y1 时4xy 42取等号．10. （ 2014 年北约） 已知 x 1, x 2 ,L ,x n R ,且 x 1x 2 L x n 1,求证: ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x n ) ( 2 1)n .【证】 (一法 :数学归纳法 )①当 n 1 时,左边 2 x 12 1 2 1 右边 ,不等式成立 ;②假设 n k( k 1,k N * ) 时 ,不等式 ( 2 x 1)(2 x 2 )L ( 2 x k ) ( 2 1)k成立 .那么当n k 1 时 , 则 x x L x xk 11 由于这k 1 个正数不能同时都大于也不能同时都1 2 k ,1,小于 1,因此存在两个数 ,其中一个不大于 1,另一个不小于 1,不妨设 x k 1,0 x k 11,从而 ( x k 1)(x k 1 1) 0x k x k 1 1 x k x k 1 ,所以( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x k )( 2 x k 1)( 2 x 1 )( 2 x 2 )L [22( x k x k 1 ) x k x k 1 ]( 2 x 1 )( 2 x 2 )L ( 2 x k x k 1 )( 2 1) ( 2 1)k ( 2 1) ( 2 1)k 1其中推导上式时利用了 x 1x 2 L x k 1 (x k x k 1 ) 1 及 n k, n k 1 时不等式也成时的假设 故立.综上①②知 ,不等式对任意正整数 n 都成立 .(二法 )左边展开得 ( 2 x 1 )( 2 x 2 )L ( 2 x n )n( 2) n ( 2) n 1x i ( 2) n 2 (x i x j ) L( 2) n k (x i 1 x i 2 L x i k ) x 1x 2 L x ni 11 i j n1 i 1 i2 L i k n由平均 不等式得11x i 1 x i 2 L x i k ) C nkk 11 i 1 i2 L i k nx i 1 x i 2 L x i kC n k (C n k(( x 1x 2 L x n ) C n 1 ) C n kC n k1 i 1 i2 L i kn故 ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x n )2) n ( 2) n 1C n 1 ( 2) n 2 C n 2 L ( 2) n k C n k LC n n ( 2 1)n ,即 .(三法 )由平均 不等式有n 2n21nx knx k 1n(n⋯⋯① ;n() n⋯⋯②)2 x k2 x kk 12 x kk 12 x kk 1k 11 2 ( x 1 x 2 L x n )n , 即 ( 2 x 1 )( 2n①+②得 n nn1x 2 )L ( 2 x n ) ( 2 1)成立 .(k 12 x k ) n1n22( 四 法 )由AM GM不 等 式 得 ：( ) n ，n i 1 x i 2n( x i2)i 11 (nnx i12 1) ， 两 式 相 加 得 ： 1， 故nni 1x i 2( x i 2)n( x i2)ni 1i 1n1)n ．( 2 x i ) ( 2i 11．（ 2011 年北 文） 0，求 ： sin tan ．2【解析】 不妨 f ( x)xsin x ， f (0) 0 ，且当 0x ， f ( x) 1 cos x 0 ．于是2f ( x) 在 0x上 增．∴ f ( x) f (0) 0 ．即有 x sin x ．2同理可 g (x) tan x x0 ．g(0)0 ，当 0 x1 1 0 ．于是 g ( x) 在 0x上 增。
初升高自主招生研讨—方程与不等式(答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（答案）【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________．【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______.【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根 C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=， 则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p+-=的根12,x x 满足44122x x +≤p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
2023年自主招生数学专题讲义不等式
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式旳证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数波及到不等式旳证明；交大试题中，不等式部分一般占10%-15%，其中波及到某些考纲之外旳特殊不等式 常用不等式及其推广：需要合适补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、 2121212,,2((112111n n n n na b R a b a bn a a a a na a a n n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥柯西不等式旳证明分析：，a a a A n 22221+++= 设证明：柯西不等式旳推论一柯西不等式旳推论二nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则柯西不等式旳应用柯西不等式练习1、2.已知21x y +=,求22x y +旳最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+旳最小值．第三部分 真题精析：例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例22sin cos ,sin cos 2sin cos 1sin cos ,sin cos ,22x x y y x x x xt x x t x x t ==++-⎡+==∈⎣令令则且（，复旦）（，同济）关键环节提醒：2(1)2(1)121k k k k k k k k k k +=<=<=-+++-。
初升高自主招生——方程与不等式(含答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、一元一次方程、一元二次方程（1）含字母讨论（特别注意：一切实数解与无解的应用）（2）判别式与配方法（3）韦达定理（判别式前提、变形）（4）构造求参2、其他方程（分式方程、无理方程、高次方程、方程组等）（1）思想：降次、消元（2）换元法（整体思想、换元检验）（3）因式分解（猜、凑、待、除、添、拆）（4）技巧：对称换元、主元转换、特殊赋值3、绝对值相关（1）分类讨论（2）公式展开（3）平方法4、不等式问题（1）一元二次不等式（2）均值不等式5、其他（1）整数根问题（韦达定理、初等数论、区间长度等）（2）新定义问题【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+ 【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________． 【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______. 【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p +-=的根12,x x 满足44122x x +≤，则p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
高考自主招生讲义第6讲 不等式的证明及应用
第六讲 不等式的证明与应用一、知识方法拓展1. 作差比较与作商比较法作差比较：A ³B ÛA -B ³0 作商比较法：A ³B ³0ÛA B³1 注：作完差之后，我们一般采用配方或因式分解只有正数的比较大小我们才会采用作商比较 2. 逐步调整法特征：变量的个数大等于三个；变量之间满足对称性；等号在相等或极端值时取到。
注：逐步调整法可以和反证法相结合；这样步骤显得更精简些。
3.绝对值不等式公式：A -B £A ±B £A +B等号成立条件：A 与B 同号或异号时取到注：不等式中加减号的选取依照具体题目的特点而定，关键是削去变量。
不等式中的等号成立条件一定要牢固掌握 不等式可以从两个进行推广 4．构造法与放缩法构造法：一般我们可以构造函数，三角形或四边形来解决不等式的证明问题；这些问题需要我们丰富的联想和扎时的基础。
放缩法：一般运用在多变量求和的不等式中，许多式子在没有放缩时是无法求和的，经常是需要放缩之后，通过裂项相削来求和。
所以，这类题目经常和数列结合在一起考。
5．不等式的衍生问题不等式经常和函数，数列等内容结合在一起考，属于比较重要和综合的考点；特别是对上海考生而言，学得要要比全国卷的考生学得简单很多，这更要求我们在打牢基础的同时，积极思考，注意类比和推广，这样才能掌握好这块内容。
二、热身练习： 1．若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.注： 22222-+-x x x =21()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x =-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ∵-4＜x ＜1,∴-(x-1)＞0,()11--x ＞0. 从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2；21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-12．已知a ＞b ＞0,求证：bb a ab b a a b a 8)(28）（22-<-+<-. 注： 欲证bb a ab b a a b a 8)(28）（22-<-+<-只需证bb a b a a b a 8)(2)(8）（222-<-<-∵a ＞b ＞0,∴只需证,22222bb a b a ab a -<-<-即.212b b a ab a +<<+该式显然成立∴bb a ab a 212+<<+成立，且以上各步都可逆3．已知a,b,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N,n ＞2时比较c n 与a n +b n 的大小. 注：nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛.∵a 2+b 2=c 2, ∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b =1,∴0＜c a ＜1,0＜c b ＜1.∵n ∈N,n ＞2,∴nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b ,∴n n n c b a +=nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜222c b a +=1,∴a n +b n ＜c n.4．已知a ＞0,a 2-2ab+c 2=0,bc ＞a 2.试比较a,b,c 的大小.注： ∵bc ＞a 2＞0,∴b,c 同号.又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b=ac a 222+＞0,∴c ＞0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c≥0. 当b-c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222a bc a c a b ⇒a c a 222+·c ＞a 2⇒(a-c)(2a 2+ac+c 2)＜0.∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac+c 2＞0,∴a-c ＜0,即a ＜c,则a ＜c ＜b ； 当b-c=0,即b=c 时,∵bc ＞a 2,∴b 2＞a 2,即b≠a. 又∵a 2-2ab+c 2=(a-b)2=0⇒a=b 与a≠b 矛盾, ∴b-c≠0.综上可知:a ＜c ＜b.三、精解名题：1．求证：对于任何实数,a b ，三个数：||,||,|1|a b a b a +--中至少有一个不小于12。
单招升学数学知识点总结
单招升学数学知识点总结一、不等式1. 不等式的基本概念：不等式是数学中一个非常重要的概念，它是两个表达式之间的关系，通常用大于、小于、大于等于、小于等于等符号来表示。
2. 不等式的基本性质：(1) 不等式两边可同时加（减）同一个数；(2) 不等式两边可同时乘（除）同一个正数；(3) 不等式两边同时乘（除）同一个负数，不等号方向需变化。
3. 一元一次不等式：(1) 解法：移项，化简，判别正负，得出解集。
(2) 注意事项：乘除等变号时需注意不等号方向变化。
4. 不等式的应用：不等式在实际问题中有广泛的应用，如经济、生活等方面的问题都可以通过不等式进行分析和解决。
二、函数1. 函数的基本概念：函数是一个非常重要的数学概念，通常表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数有定义域、值域等属性，可以通过图像、表达式、映射关系等方式来表示。
2. 基本初等函数：(1) 一次函数：f(x) = kx + b (k≠0)(2) 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)(3) 指数函数：f(x) = a^x (a>0, a≠1)(4) 对数函数：f(x) = Loga x (a>0, a≠1)(5) 三角函数：sin(x), cos(x), tan(x)等3. 函数的性质：函数有奇偶性、周期性、单调性等性质，可以通过导数、图像、表达式等方式来判断和分析。
4. 函数的应用：函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如最优化问题、动力学问题、生产经营问题等。
三、导数1. 导数的概念：导数是函数在某一点的变化率，也可以理解为切线的斜率。
导数可由极限定义、泰勒展开、牛顿莱布尼兹公式等方式来表示。
2. 常见函数的导数：(1) 常数函数：f(x) = c，其导数为f'(x) = 0(2) 幂函数：f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)(3) 指数函数：f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x * ln(a)(4) 对数函数：f(x) = loga(x)，其导数为f'(x) = 1/(x * ln(a))(5) 三角函数：sin(x), cos(x), tan(x)等3. 导数的求法：(1) 导数的基本求法：利用极限、定理、求导法则等方式来求导数。
常用不等式doc
常用不等式.doc常用不等式1.算术-几何平均不等式：对任意实数 a, b，有 a + b ≥ 2√ab 成立。
2.绝对值不等式：对任意实数 a, b，有|a| + |b| ≥ 2√|ab| 成立。
3.权方和不等式：对任意实数 a_1, a_2,a_n 和 b_1, b_2,b_n，有 (a_1^2 +a_2^2 + , + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + , + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + , + a_nb_n)^2 成立。
4.柯西不等式：对任意实数 a_1, a_2,a_n 和 b_1, b_2,b_n，有 (a_1^2 +a_2^2 + , + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + , + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + , + a_nb_n)^2 成立。
当且仅当 a_1/b_1 = a_2/b_2 = , = a_n/b_n 时取等号。
5.排序不等式：对任意实数 a_1, a_2,a_n，有a_1a_2,a_n ≤{a_1,a_2,a_n}! / {1!1,1!} 成立，等号在且仅在所有 a_i 都相等时取得。
6.切比雪夫不等式：对任意实数序列 a_1, a_2,a_n，有 n^(-1) Σ_{i=1,n}(a_i - μ)^2 ≥ (σa)^2 成立，其中μ 是序列的均值，σa 是序列的标准差。
7.施瓦茨不等式：对任意实数序列 a_1, a_2,a_n 和 b_1, b_2,b_n，有Σ_{i=1,n} a_i^2 Σ_{i=1,n} b_i^2 ≥ (Σ_{i=1,n} a_ib_i)^2 成立。
当且仅当存在常数 c 使得 a_i = c*b_i 对所有 i 成立时取等号。
8.赫尔德不等式：对任意实数序列 a_1, a_2,a_n，有Σ_{i=1,n} a_i^2 ≤n^(1/2) Σ_{i=1,n} a_i^4 / (n Σ_{i=1,n} a_i^2)^(1/2) 成立。
常用不等式公式
常用不等式公式一、基本不等式1. 求和不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an和正整数n，有以下不等式成立：a1+a2+...+an ≥ n√(a1a2...an)（均值不等式）2. 平均数不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an和正整数n，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)（平均值不等式）3. 平方均值不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：√((a1^2+a2^2+...+an^2)/n) ≥ (a1+a2+...+an)/n（平方均值不等式）4. 三角形不等式：对于任意三条边长a,b,c构成的三角形，有以下不等式成立：a+b > cb+c > ac+a > b（三角形两边之和大于第三边）二、常见不等式1. 柯西-斯瓦茨不等式：对于任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立：(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 ≤ (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)（柯西-斯瓦茨不等式）2. 马尔可夫不等式：对于任意非负实数a和正实数b，有以下不等式成立：P(X≥b) ≤ E(X)/b（马尔可夫不等式）3. 切比雪夫不等式：对于任意实数a1,a2,...,an和正实数ε，有以下不等式成立：P(|X-E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^2（切比雪夫不等式）4. 杨辉三角不等式：对于任意非负整数n和0≤k≤n，有以下不等式成立：(1+x)^n ≥ 1+nx（杨辉三角不等式）三、特殊不等式1. 阿姆斯特朗不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)^2 ≥ a1^3+a2^3+...+an^3（阿姆斯特朗不等式）2. 黑暗不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)^2 ≥ 4(a1a2+a2a3+...+anan)（黑暗不等式）3. 奇数幂和不等式：对于任意正实数a和自然数n，有以下不等式成立：(a+1)^n > a^n+1（奇数幂和不等式）四、不等式的应用1. 不等式在数学推导中的应用：不等式在代数、几何、概率等数学领域中广泛应用，可以用于证明和推导其他数学定理。
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自主招生考试常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
证明：构造一元二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++-，则222222212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++≥等价于判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系： 平方平均na a a Q n 2n2221+++=，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均nnn a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。
5．关于凸函数的琴生不等式：（1）函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：①若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）②下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．常见的上凸（凹）函数，0=sin ,=cos ,=lg sin ,=log cos 2y x y x y x y x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上， 常见的（下）凸函数，[)2310+=,=,=,=n n y x y x y x y x∞，上， ③()f x 的二阶导数''()0f x ≥，则()f x 为下凸函数；()f x 的二阶导数''()0f x ≤，则()f x 为上凸函数。
二、凸函数有琴生不等式性质：若)(x f 在区间I 为下凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ ；若)(x f 在区间I 为上凸函数，则对I x x x n ∈,,,21 ， 总有nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++ 。
附：应用21)(xx f =，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 221322221)(111n n a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。
而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的222212221)111(nn a a a n a a a +++≥+++ ，等号成立条件n a a a === 21。
加权形式：[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≤对任意一列，，，，，函数是上的凸函数，有[]()()()+121211221122R +++=1(),(++)+++n n n n n n a a a a a a f x a b f a x a x a x a f x a f x a f x ∈≥对任意一列，，，，，函数是上的凹函数，有常用不等式：121212121212++++++(t>1);++++++(0<t<1);+++tt tt nn tt ttnn nn nx x x x x x n n x x x x x x nn x x x x x x n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎛⎫≥ ⎪⎝⎭例1. 解方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例2.2123BC CA AB ,(++)++2S123P d ,d ,d S a a a a b c d d d ∆∆≥为ABC 内一点，它到三边、、的距离分别为为ABC 的面积求证：例3. 有小于1的正数12123331122111,,,,+++=1+++>4---n n n nx x x xx x x x x x x x 且，求证： 例4. 设222111,,c ++=1,+++++a b a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为正数，且求的最小值例5.已知111>0,>0,+++<++2+n a b a b a ba b求证：例6. 求证：22,,++3(+y-1)x y R x y xy x ∀∈≥对恒成立。
例7证明：方程133334-2=1(y 0)-2<x x y x,y y y≠的任一组整数解（）都满足例8.求证：31+<3n例9.已知正数列12,,,n a a a ，对大于1的n ，有123+++=,2n a a a n 12+1=,2n n a a a 1211n a a a 试证：，，，中至少有个小于.例10. 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值例11. 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122nn i n a a a a R a n++++∈≥，则．例12 a b c +∈R ，，，且a + b + c = 39．例13.()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥．一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++= ()()g x g x x x++(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++- 1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：122nn i n a a a a R a n++++∈≥，则．证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式： 12121(lg lg lg )lg nn a a a a a a nn++++++≤即122nn a a a a n+++≤例3 a bc +∈R ，，，且a + b + c = 39≤．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有 1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f nn ++++++≥即12()()()[()]n nx x x f x f x f x f +++≥．。