《应用微积分》3.4函数的微分

dy A x
微分 dy叫做函数增量y的线性主部 .(微分的实质)
1) dy 为自变量增量 x 的线性函数。
2) y dy o(x)是比 x 高阶的无穷小。
3) 当 A 0 ，dy 与 y 是等价无穷小。
y o(x) 事实上： 1 1 (x 0) A x dy
主讲教师：
第 3 章 导数与微分
导数概念 求导法则 高阶导数 函数的微分
1 2 3
微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法
4
引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. x x 设边长由x0变到x0 x,
0
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 , 2 A ( x 0 x ) 2 x 0
y f ( x) 在点 x0
其微分是
证
必要性：设函数 y f ( x) 在点 x0 可微 由定义知： 从而
y o ( x ) A x x
于是 当 x 0 时
f ( x 0 ) lim
y A x 0 x
即 f ( x) 在点 x0可导 且 A f ( x0 )
1 1 x 1
1 x
2
1 d (ln x ) dx x
d (arcsinx) 1 1 x2 1 dx
2
d (arccosx)
1 (arc cot x)' 1 x2
1 (arctan x)' 1 x2
1 d (arctan x) dx 2 1 x 1 d (arc cot x) dx 2 1 x
解
先求函数在任意点
x 的微分
dy ( x 2 x 1)' x (2x 1)x
x 0.1 时的微分 再求函数当 x 2 ，
dy | x2 (2 x 1)x | x 2 3 0.1 0.3
x 0.1 x 0.1
例2
解
求函数 y cos(3 x) 的微分。 因 y sin (3 x) ，故 dy sin (3 x)dx
dy f ( x0 )x
所以 f ( x) 在点 x0 可微，且
1) 导数与微分的联系：可导
可微，
区别： f ( x) 在点x0点导数 f ( x0 ) 是定数，而微分 dy f ( x0 )x 是 x 的线性函数。 2) 通常把自变量 x 的增量 x 称为自变量的微分， 记作 dx ，即 dx x 于是函数 y f ( x) 在点 x0 的微分又可记作 dy f ' ( x0 )dx
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做微分学.
微分
dy f ' ( x)dx
思 考 题
因为一元函数的可微性与可导性是等价的，
所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”， 这说法对吗？
思考题解答
说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部 而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增 量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概 念.
1 x2
dx
求导法则 （1）(u v)' u 'v' （3）(uv)' u' v uv' (1) (3)
微分法则
d (u v) du dv
(2) （2）(Cu)' Cu' （ C是常数）
d (Cu ) Cdu
d (uv) vdu udv
u vdu udv u u ' v uv' （ 4） (v 0) ( 0) （4）d ' 2 2 v v v v
9 x 2 dx 2 xdx sin xdx x cos xdx (9 x 2 2 x sin x x cos x)dx
求下列函数的微分 ① y sin(x 2)
2
2 y x ln x ②
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
函数的增量问题
导数的概念
3) 函数 y f ( x) 在任意点 x 的微分，称为函数的微分， 记作 dy 或 df ( x) 从而
dy f ' ( x) dx
，即 dy f ' ( x)dx
函数的导数就是函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商， 因此导数也称为“微商”。
2 y x x 1 在 x 2 x 0.1 的微分. 例1 求函数
(1)
( 2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小 o(x),
y 3 x x .
2 0
既容易计算又是较好的近似值
问 题
这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有 函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义3.2
设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0 及 x0 x 在这区间内 , 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数y f ( x)在点 x0 可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0 相应于自变量增 量 x的微分, 记作 dy或 df ( x0 ), 即
图中线段 PN是 y 与 dy 之差， 它是 x 的高阶无穷小量.
导数公式
( x )' x

n1
微分公式
d ( x ) x 1dx
(sin x)' cos x
d (sin x) cos xdx
d (cos x) sin xdx
(cosx)' sin x
x y e cos(3 x) （ 5）
（ 6）
y
sin x 1 cos x
（7） y sin(cos 1 )
x
2
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) .
2
x 0 x
x0
(1)
( 2)
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分 ( 2) : x的高阶无穷小 ,当x 很小时可忽略
再例如, 设函数 y x 在点 x0处的改变量
3
为x时, 求函数的改变量y.
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(a x )' a x ln a
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d (a x ) a x ln adx
(e x )' e x
1 (log a x)' x ln a
d (e x ) e x dx
1 d (log a x) dx x ln a
1 (ln x)' x
(arcsin x)'
(arccosx)'
例3
解
设
因
y arctan x ，求dy 。
1 1 y ， 1 x 2 x
故 dy
1 2(1 x) x
dx
例4
解
3 2 y 3 x x x sin x 的微分。 求函数
dy d (3x 3 x 2 x sinx)
3d ( x 3 ) d ( x 2 ) d ( x sinx)
, D y »dy 当 D x 很小时
x 无关的常数，但与 f ( x) 在点 x0 4) A是与
的值有关。
定理 3.6
（可微的条件） 函数 y f ( x) 在点 x0 可微的充分必要条件是函数
可导 且当函数 y f ( x) 在 x0 点可微时
dy f ( x0 )x
y Ax o(x)
如图所示， MT 是曲线上点 M 处的切线，设 MT 的倾角为
曲线上另一点为N, 从图可知， dy f ' ( x0 )dx tan x 而 tan QP
MQ
MQ x,
所以 dy QP 由此可见，函数 y f ( x) 的微分 dy 就是过 M
点的切线的纵坐标的改变量。
充分性： 如果
f ( x) 在点 x0
可导 即：
y f ( x 0 ) 存在 x 0 x lim
由极限与无穷小的关系 其中 0 由此有 即
y f ( x0 ) x
(当 x 0 )
y f ( x0 )x x
y Ax o(x)
1．设
y f ( x) 2 x ，当 1
时，求 x 1, x 0.0201
与 y
dy
2．求下列函数的微分：
x x 2 y ( e e ) （ 1）
（2） y( x) (2x3 4)3
（3） y arctan 1 ln x （ 4）
x y cos 3x ln tan 2
(tanx)' sec x
2
d (tan x) sec2 xdx
d (cotx) csc2 xdx
(cot x)' csc x
2
(sec x)' sec x tan x
(csc x)' csc x cot x
d (sec x) sec x tan xdx
d (csc x) csc x cot xdx