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高三下期文科数学培优材料(四)

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2020-2021学年(全国卷)高考冲刺模拟(四)数学(文)试卷及答案解析

2020-2021学年(全国卷)高考冲刺模拟(四)数学(文)试卷及答案解析

重点中学高考冲刺模拟（四）数学（文）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分 注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生需将自已的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干静，再选涂其他选项第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（原创，容易）1.复数ii -3-12）（的值是（ ）A ．i 4341+-B ．i 4341-C ．i 5351+-D ．i 5351- 【答案】D【解析】i i i i i i i i i i 53511062)3)(3()3(2323)1(2-=-=+-+-=--=--．【考点】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算． （原创，容易）2.已知全集为实数集R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则=)(B C A R I （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1( 【答案】C【解析】{},31|<<-=x x A {},21|≥<=x x x B ，或 {}21|<≤=x x B C R {}21|)(<≤=⋂∴x x B C A R【考点】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法.（原创，容易）3.为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批216套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家庭720户，540户，360户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18 【答案】A【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为4892216360540720360216=⨯=++⨯．【考点】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用．3162-4=（原创，容易）4.将函数)63sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为（ ）A ．2)43sin(2)(--=πx x g B ．2)43sin(2)(++=πx x g C ．2)123sin(2)(+-=πx x g D ．2)123sin(2)(--=πx x g 【答案】C【解析】根据三角函数图象的平移变换可得，将)(x f 的图象向左平移4π个单位得到函数)4(π+x f 的图象，再将)4(π+x f 的图象向上平移2个单位得到函数2)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 2)4(++πx f 2)123sin(22]6)4(31sin[2+-=+-+=πππx x . 【考点】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解.（原创，容易）5.在区间[0，6]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式2log 12≤≤x 的概率为（ ）．A ．61 B ．31 C ．21 D ．32【答案】B【解析】解不等式2log 12≤≤x ，可得42≤≤x ，∴在区间[0，6]上随机取一实数x ，该实数x 满足不等式2log 12≤≤x 的概率为【考点】本题考查几何概型．（改编，中档）6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为（ ） A. 2B. 224+ C. 244+ D. 246+ 【答案】C【解析】底面是等腰直角三角形边长分别是，、、222侧棱长是2的直三棱柱易得侧面积244+【考点】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用.（原创，中档）7.“41-=<b a ，”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y +=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y +=对称，所以圆心（1，-3）在直线b x y +=上，所以,4,13-=+=-b b 所以由圆056222=++-+a y x y x 得,020-364>+a 2<a 所以，所以充要条件是42-=<b a ，，易知选A【考点】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查．（改编，中档）8.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10<<m B ．1-<m C ．1≥m D ．1>m 【答案】D【解析】画出可行域如图，可求得A （1,3），由已知得直线l 过点A 时截距最大，此时需要直线l 的斜率大于02=+-y x 的斜率，即大于1【考点】本题考查了线性规划知识.（改编，中档）9.已知函数11sin )1()(22++++=x xa x x f （a R ∈），2(ln(log 5))5f =，则5(ln(log 2))f =（ ） A ．5- B ．1-C ．3D ．4【答案】B【解析】21sin 211sin )1()(222+++=++++=x xa x x x a x x f1sin )1(2)()(22+++=-=x xa x x f x g 令，则()x g 为奇函数，32))5(ln(log ))5(ln(log 22=-=f g ，3))5ln(log ())2(ln(log 25-=-=g g ，1232))2(ln(log ))2(ln(log 55-=+-=+=g f ，故选B.【考点】：函数的奇偶性的应用及对数与函数值问题.（选编，难题）10.已知)0,0(1222221>>=-b a by a x C F F ：是双曲线，的左、右焦点，若直线x y 3=与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形PF 1QF 2是矩形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 525+B ．525-C ．13+D ．13-【答案】C.【解析】由题意知为正三角形2OPF ∆，中，在直角三角形由定义得2112,2,F PF c a PF c PF +==,32,4)2(,4)2(222222e e e e e c c a c =+∴=++=++即∴e=+1．故选：C ．【考点】双曲线的简单性质．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（原创，容易）11.已知向量b a ,满足2=a ，2||=b ，4)3()(=-⋅+b a b a ，则a 与b 的夹角为. 【答案】32π【解析】由4)3()(=-⋅+b a b a 得，4||2322=-⋅+b b a a ，即422432=-⋅+⨯b a ，得2-=⋅b a .∴21222||||,cos -=⨯-=>=<b a b a b a ，∴>=<b a ,32π. 【考点】本题考查向量的数量积、模及夹角知识.(改编，容易)12.执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.【答案】54【解析】根据程序框图可知，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和371311751=++++. 【考点】本题考查程序框图.（原创，中档）13.在等差数列}{n a 中，20171-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2017S 的值等于. 【答案】2017- 【解析】,212)1(11d n a n S d n n na S n n -+=∴-+=，Θ2,2810810=∴=-d S S 又201720162017201720172017-=⨯+-⨯=∴）（S【考点】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式.（改编，中档）14.已知的最小值则y x xy y x y x 2,822,0,0+=++>>是. 【答案】4【解析】2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422≥-+++y x y x 即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 【考点】本题考查了考察基本不等式和一元二次不等式的解法.（选编，难题）15.函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若方程()13f x mx =-恰有四个不等的实数根, 则实数m 的取值范围是．【答案】），（32131e由BC 绕点C 转至切线BA 过程中，()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-有四个交点，所以m 的取值范围是），（32131e，故答案为），（32131e . 【考点】本题考查1、分段函数的解析式及图象；2、导数的几何意义、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想.(1)解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（选编，容易）16.（本题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积53S =21a =sin sin B C +的值．【解析】（1）由22sin 3cos()0A B C ++=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=， ………………3分解得：1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=. ………………6分（2）由11sin 22S bc A bc ====20bc =. 由余弦定理，得22222cos ()321a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以9b c +=. ………………9分 由正弦定理，得：sin sin sin sin sin ()914b c A B C A A b c a a a +=+=⨯+==. ………………12分【考点】本题考查了三角函数与解三角形.（选编，容易）17.（本题满分12分）甲乙两人用四张扑克牌（红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，将牌洗匀后，背面朝上，按如下规则抽取：甲先抽，乙后抽，抽取的牌不放回，各抽取一张。

2021年高三数学下学期第四次模拟考试 文(含解析)

2021年高三数学下学期第四次模拟考试 文(含解析)

2021年高三数学下学期第四次模拟考试 文（含解析） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()()()()()321+3i 1+3i 1+3i 213i 1+3i 8==--=-。

2．若向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，所以22()0,+=+cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅+=⋅⋅=即，所以，所以与的夹角为。

3．记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点M 落在区域内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意可得集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤16}所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合B={（x ，y ）|x+y-4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB，S △AOB = ，根据几何概率的计算公式可得P= 。

故选A ．4.把函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f (x )=（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的反函数为，函数项左平移一个单位得到函数的图像，所以函数f (x )=。

5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A. B. 4 C. 2 D.【答案】B【解析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC ⊥底面ABC ，PD ⊥交线BC ，AE⊥BC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2．∴V P-ABC= 。

6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知物线的焦点为（2,0），所以双曲线的，所以则该双曲线的离心率为。

7．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取出的两瓶中有一瓶是蓝色的概率为，取出的两瓶墨水都是蓝色的概率为，所以取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率。

2022-2023学年河南省高三下学期阶段性测试(四)文科数学试题 Word版含答案

2022-2023学年河南省高三下学期阶段性测试(四)文科数学试题 Word版含答案

2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =≠，则A B ⋂=（ ） A ．{}0x x ≥B ．{}1x x >C ．{}011x x x ≤<>或D ．{}01x x ≤<2．若()12i 112i z +=+，则z =（ ） A ．34i +B ．34i -C ．43i +D ．43i -3．已知函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，则“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件4．已知向量a ，b 的夹角为56π，且3a =，1b =，则2a b +=（ ）A ．1B C ．2D5．已知函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()f x x =，则()4f -=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．46．若1cos 2cos sin sin 2cos θθθθθ--=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3B ．2C D ．17．已知A 为抛物线C ：24y x =上在第一象限内的一个动点，()1,0M -，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，若tan 3AMO ∠=，则直线AF 斜率的绝对值为（ ）A ．2B ．C ．13D ．438．若棱长均相等的正三棱柱的体积为O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．1129π C ．6πD ．1123π 9．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y （单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型()1aty ea +=∈R 对y 与t 的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（ ）第t 个月 1 2 3繁殖数量y1.4e2.2e2.4eA ．3e 百只 B ． 3.5e百只 C ．4e 百只D ． 4.5e百只10．函数()31123f x x x=+-的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则3a cb-的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．712,35⎛⎤⎥⎝⎦ C ．133,4⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]2,512．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左顶点为A ，点0,2b B ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 与双曲线的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，若线段PQ 的垂直平分线经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．52D ．233二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区间[]2,3-上随机取一个数x ，则1x >的概率为______．14．已知实数x ，y 满足约束条件10,10,240,x y x x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为______．15．已知函数()()cos ,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移4T（T 为()f x 的最小正周期）个单位长度得到()g x 的图象，则()0g =______．16．已知圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的底面在圆锥的底面内，当圆柱与圆锥体积之比最大时，圆柱与圆锥的底面半径之比为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和252n n nS -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设10,10,2,10,n n n a n b b n -≤⎧=⎨>⎩求数列{}n b 的前30项和．18．（12分） 某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日销售收入（单位：万元）并分成六组制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值x ；（同一区间数据以中点值作代表）（Ⅱ）该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.050 0.025 0.010 0k3.8415.0246.63519．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC BC ⊥，PA PB =，APC BPC ∠=∠． （Ⅰ）证明：PC AD ⊥；（Ⅱ）若AB CD ∥，PD AD ⊥，3PC =，且点C 到平面P AB 的距离为62，求AD 的长．20．（12分） 已知函数()32213f x x x ax =-+-，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为4-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在唯一的()00,2x ∈，满足()()01f x f =-，求a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为23，且3⎫⎪⎪⎭为C 上一点． （Ⅰ）求C 的标准方程；（Ⅱ）点A ，B 分别为C 的左、右顶点，M ，N 为C 上异于A ，B 的两点，直线MN 不与坐标轴平行且不过坐标原点O ，点M 关于原点O 的对称点为M '，若直线AM '与直线BN 相交于点P ，直线OP 与直线MN 相交于点Q ，证明：点Q 位于定直线上．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224,4824t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若P 为C 上一动点，求P 到l 的距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()112222f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设()f x 的最小值为M ，若正实数a ，b 满足221a b M a b +=++，证明：32a b +≥．2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案 C命题意图 本题考查集合的交运算． 解析 {}011A B x x x ⋂=≤<>或． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的四则运算． 解析 ()()()()112i 12i 112i 1520i34i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，则34i z =+．3．答案 D命题意图 本题考查极值点的概念以及充分必要条件的判断．解析 由极值点的定义，若0x 为()f x 的极值点，则有()00f x '=，而由()00f x '=不一定推得0x 为()f x 的极值点，例如()3f x x =，故“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的必要不充分条件． 4．答案 A命题意图 本题考查平面向量的运算． 解析 ()22222443431ab a ba ab b +=+=+⋅+=+⨯=． 5．答案 C命题意图 本题考查奇函数的概念．解析 因为()f x 是奇函数，所以()()44f f -=-，又()442f ==-，所以()42f -=． 6．答案 A命题意图 本题考查三角恒等变换．解析 由题意()2112sin 1tan 2sin cos θθθθ--=-，即1tan 2θ=，1tantan 142tan 3141tan tan 142πθπθπθ++⎛⎫+===⎪⎝⎭--． 7．答案B命题意图 本题考查抛物线的性质．解析设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1210tan 314AMy AMO k y -∠===+，解得1y 或1y =12A ⎛ ⎝或(2,A ，又()1,0F ，所以0112AF k ==--AF k ==AF k =． 8．答案 D命题意图 本题考查三棱柱的外接球．解析 设该正三棱柱棱长为x ，底面三角形的外接圆半径为r ，则21sin 602x x ︒⋅⋅=，∴4x =，则r =O 半径为R ，则22216284233x R r ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，228112=4=4=33S R πππ⨯表． 9．答案 C命题意图 本题考查回归分析． 解析 由题意，1aty e+=两边取自然对数得ln 1y at =+，令ln u y =，则1u at =+．()1231ln ln ln 23u y y y =++⨯=，()123123t t t t =++⨯=，∵回归直线必过样本点的中心，∴221a =+，得12a =，∴12tu =+，则12t y e +=．当6t =时，4y e =．10．答案 B命题意图 本题考查函数零点问题．解析 易知()f x 的定义域为{}0x x ≠，()422211x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，解得10x -<<或01x <<，∴()f x 在()1,0-和()0,1上单调递减，令()0f x '>，解得1x <-或1x >，∴()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增．当1x =-时，()f x 取得极大值()10103f -=-<，易知()f x 在(),0-∞上没有零点；当1x =时，()f x 取得极小值()2103f =-<，且1820381f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()7206f =>，可知()f x 在()0,+∞上有2个零点．综上所述，()f x 的零点个数为2． 11．答案 C命题意图 本题考查解三角形．解析 ∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==且0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3sin sin sin33sin 4sin C A B B B B =+==-，由正弦定理可得333sin sin 6sin cos 3sin 4sin sin sin a c A C B B B Bb B B---+==()226cos 41cos 34cos 6cos 1B B B B =+--=-++，令1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则23461a c t t b -=-++，由二次函数性质知2134613,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦，∴3133,4a c b -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 12．答案 B命题意图 本题考查双曲线的性质和离心率的求法． 解析 不妨设点P 在直线b y x a =上，由题可知(),0A a -，∴2AB b k a =，∴:22AB b bl y x a =+，由,22,b by x a b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得,,P P x a y b =⎧⎨=⎩∴(),P a b ，同理,33a b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴PQ 的中点为2,33a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PQ 的垂直平分线方程为2233b a a y x b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，将0,y x a=⎧⎨=⎩代入整理得222b a =，则e ==二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案35命题意图 本题考查几何概型的计算．解析 在区间[]2,3-上随机取一个数x ，若1x >，则[)(]2,11,3x ∈--⋃，所以1x >的概率为()()12313325-++-=+．14．答案 9命题意图 本题考查线性规划．解析 根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数表示的直线经过点()2,3时，3z x y =+取得最大值9．15．答案 3命题意图 本题考查三角函数的图象和性质． 解析 由图可知2A =，22362T πππ=-=，∴T π=，22πωπ==．由()226k K πϕπ⨯+=∈Z ，及2πϕ≤，得3πϕ=-，∴()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴()52cos 22cos 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴()502cos36g π==- 16．答案23命题意图 本题考查导数的应用．解析 设圆锥的底面半径为R ，圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长为2R ，设其底角为α，则圆锥的高为tan R α，圆锥的体积为3tan 3R πα．设圆锥内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，则tan tan r R hR R αα-=，即()tan h R r α=-，则圆柱的体积为()()2223tan tan r h r R r Rr r ππαπα=-=-，()0,r R ∈．圆柱与圆锥体积之比为23233r r R R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()01r t t R =<<，()23f t t t =-，则()()22323f t t t t t '=-=-．由()0f t '=，得23t =，当203t <<时，()0f t '>，当213t <<时，()0f t '<，所以当23t =时，()f t 取得最大值，即圆柱与圆锥体积之比最大，此时23r R =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．命题意图 本题考查数列求通项和数列求和． 解析（Ⅰ）111522a S -===-， 当2n ≥时，有252n n n S -=，()()211512n n n S ----=，两式相减得()()()2215151322n a n n n n n n ⎡⎤=---+-=-≥⎣⎦，当1n =时，12a =-符合上式，故3n a n =-．（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则()()()301210111220212230T b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+． 由题意得1210121010b b b a a a S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，()11122012101022b b b b b b S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，()21223011122010102224b b b b b b S S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⨯=，∴()230107710501752T S ==-=． 18．命题意图 本题考查频率分布直方图和独立性检验．解析 （Ⅰ）依题意有()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，得 3.0a =．0.350.150.450.250.550.300.650.200.750.080.850.020.537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）依题意作2×2列联表：()221001858121218.36730707030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．因为18.367 5.024>，所以有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关． 19．命题意图 本题考查线线垂直的证明，以及点到面距离的求法． 解析（Ⅰ）如图，连接AC ，∵PA PB =，APC PBC ∠=∠，PC PC =，∴PAC PBC ≌△△， ∴90PCA PCB ∠=∠=︒，即PC AC ⊥．∵PC BC ⊥，AC BC C ⋂=，PC ⊥平面ABCD ， 又AD ⊂平面ABCD ，∴PC AD ⊥．（Ⅱ）取AB 的中点E ，连接PE ，CE ．∵PA PB =，∴PE AB ⊥，由（Ⅰ）知AC BC =，∴CE AB ⊥， ∵PE CE E ⋂=，∴AB ⊥平面PCE ，又AB ⊂平面P AB ，∴平面PAB ⊥平面PCE ．过C 作CH PE ⊥于H ，则CH ⊥平面P AB ，由条件知6CH =． 易知PC CE ⊥，设CE m =，则23PE m + 由1122PC CE PE CH ⋅=⋅2633m m =+，得3m =，∴3CE = ∵PD AD ⊥，AD PC ⊥，PC PD P ⋂=，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD CD ⊥， 又∵AB CD ∥，∴AD AB ⊥，∴四边形AECD 为矩形，∴3AD CE ==20．命题意图 本题考查导数的几何意义，以及函数与方程的综合问题． 解析（Ⅰ）()222f x x x a '=-+，由题意知()04f a '==-．所以()()()2224212f x x x x x '=--=+-，则当1x <-或2x >时，()0f x '>，当12x -<<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()2,+∞，单调递减区间为()1,2-． （Ⅱ）由()()01f x f =-，得()()010f x f --=， 即()()()323200021113x x a x ⎡⎤⎡⎤-----+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()20000002111113x x x x x a x =+-+--+++ ()()200011253503x x x a =+-++=． 根据已知，可得方程20025350x x a -++=在区间()0,2内仅有一个实根，设函数()22535g x x x a =-++，其图象的对称轴为()50,24x =∈，所以只需()()()258350,00,20,a g g ∆=-+>⎧⎪>⎨⎪<⎩或0∆=，解得513a -<<-或58a =-，即a 的取值范围是55,138⎛⎫⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．21．命题意图 本题考查椭圆方程和定直线的证明． 解析 （Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意得222222,371019,c a a ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得229,5,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴C 的标准方程为22195x y +=． （Ⅱ）由题可知()3,0A -，()3,0B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,M x y '--，设:MN l x my n =+．联立22,1,95x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()()2225910590m y mny n +++-=，∴1221059mn y y m -+=+，()21225959n y y m -=+，1122,3,3AM BN y k x y k x '⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩∴()11:33AM y l y x x '=+-，()22:33BN yl y x x =--， 又∵点P 为直线AM '和BN 的交点，∴112233,33,P P P P x y y y x y x y -⎧⋅=+⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪⎩故可得1212332P P x x x y y y ⎛⎫--=+⎪⎝⎭121233P my n my n y y y ⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭()121223P y y m n y y y ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦()()2102359P mn m n y n ⎡⎤-⎢⎥=+-⋅-⎢⎥⎣⎦， ∴33P P m x y n =+，故3:3OP m l x y n =+． 联立3:,3:,OP MN m l x y n l x my n ⎧=⎪+⎨⎪=+⎩消去y 得3Q x =-，因此，点Q 位于定直线3x =-上．22．命题意图 本题考查极坐标与参数方程．解析 （Ⅰ）()2222164t x t =+，()()22222444t y t -=+， ∴()()()()2222222222216441444t t t y x t t +-++===++， 又22282162244t y t t -==-+>-++， ∴曲线C 的普通方程为()22124y x y +=≠-． （Ⅱ）设P 到l 的距离为d ．令cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，设()cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈且32πα≠，则d ==1tan 2ϕ=， ∴d的取值范围是22⎡⎢⎣⎦． 23．命题意图 本题考查不等式的证明． 解析 （Ⅰ）由题意知()14,,4111,,4414,.4x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩令()3f x =，得34x =-或34， 结合图象可知()3f x <的解集为3344x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由题意可知2121a b a b +=++，∴4121121a b -+-=++， ∴41221a b +=++． 令2m a =+，1n b =+，则412m n +=，()()141141333535432222n m a b m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+-=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23m n ==，即1a =，12b =时等号成立．。

河南省开封市通许县2023届高三冲刺(四)文科数学试题含解析

河南省开封市通许县2023届高三冲刺(四)文科数学试题含解析

2023届高三冲刺卷（四）全国卷文科数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(1)i 1z z +=-，则z =（）A.1-B.1C.i- D.i【答案】C 【解析】【分析】应用复数的除法求复数即可.【详解】由题设(i 1)1i z +=-，则21i (1i)i 1i 2z --===-+.故选：C2.已知集合{}28A x x =<<，{}2560B x x x =--≤，则A B = （）A.{}68x x <<B.{}18x x -<<C.{}12x x -≤< D.{}26x x <≤【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据交集运算求解.【详解】由2560x x --≤，可得()()610x x -+≤，解得16x -≤≤,所以{}{}256016B x x x x x =--≤=-≤≤.因为{}28A x x =<<，所以A B = {}26x x <≤.故选:D.3.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D4.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（）A.20 B.30C.40D.45【答案】A 【解析】【分析】由题图可求合唱的比例，由饼状图求出绘画的比例，从而可求解.【详解】选取的学生中，合唱的比例为7015%35%30⨯=，所以绘画的比例为120%20%15%35%10%----=，所以选取的学生中，参加绘画社团的学生数为3010%2015%⨯=.故选:A.5.如图为某几何体的正视图与侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据各项中的俯视图，结合已知图确定底面形状求体积，即可判断是否符合要求.【详解】由正视图、侧视图知：几何体的高2h =，若俯视图为A 、B ，即几何体底面是等腰直角三角形，则114222323V =⨯⨯⨯⨯=，不满足；若俯视图为C ，即几何体底面是正方形，则1822233V =⨯⨯⨯=，满足；若俯视图为D ，与正视图矛盾，没有对应几何体，不满足.故选：C6.函数()f x 满足21()2x f x x -=-，则下列函数中为奇函数的是（）A.(1)2f x +-B. (2)2f x +- C.(2)2f x -+ D.(1)2f x ++【答案】B 【解析】【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.【详解】A ：213(1)2211x f x x x ++-=-=--，定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称，不符合；B ：233(2)22x f x x x ++-=-=，定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，且33x x =--，符合；C ：25413(2)2244x x f x x x ---+=+=--，定义域为{|4}x x ≠，不关于原点对称，不符合；D ：2141(1)2211x x f x x x +-++=+=--，定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称，不符合；故选：B7.已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）A.直线1BC 与1AC 所成的角为60︒B.直线1BC 与1AB 所成的角为45︒C.直线1BC 与平面11ABB A 所成的角为60︒D.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30︒【答案】D 【解析】【分析】对于选项A ，设,,,O E F M 分别是11111,,,A C CC BC B C 的中点，连接,,,,OE OF OM EF FM ，可得直线1BC 与1AC 所成的角为OEF ∠或其补角，根据勾股定理即可判断；对于选项B ，由11//AB DC ，可得直线1BC 与1AB 所成的角为1BC D ∠或其补角，根据正方体的性质即可判断；对于选项C ，由11C B ⊥平面11ABB A 可得直线1BC 与平面11ABB A 所成的角为11C BB ∠,根据正方体的性质即可判断；对于选项D ，根据线面垂直的判定定理证明1OC ⊥平面11BB D D ，可得1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，解三角形即可判断.【详解】对于A ：设,,,O E F M 分别是11111,,,A C CC BC B C 的中点，连接,,,,OE OF OM EF FM ，所以11//,//OE A C EF BC ，所以直线1BC 与1AC 所成的角为OEF ∠或其补角.2222211213224OE C O C E ⎛⎛⎫=+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,22222111222EF EC CF ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2222215124OF OM MF ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以222OE EF OF +=,即OE EF ⊥，即90OEF ∠=︒，所以直线1BC 与1AC 所成的角为90︒，故A 错误；对于B ：由正方体的性质可得11//AB DC ，所以直线1BC 与1AB 所成的角为1BC D ∠或其补角，易知1BC D 是等边三角形，所以160BC D ∠=︒,所以直线1BC 与1AB 所成的角为60︒，故B 错误；对于C ：由正方体的性质11C B ⊥平面11ABB A ，所以直线1BC 与平面11ABB A 所成的角为1145C BB ∠=︒,故C 错误；对于D ：因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1OC ⊂平面1111D C B A ，所以1BB ⊥1OC .在正方形1111D C B A 中，因为O 是11A C 中点，所以111B D OC ⊥.因为1111111,,BB B D B BB B D =⊂ 平面11BB D D ，所以1OC ⊥平面11BB D D ,所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角.因为12OC =,1BC =1111sin 2OC C BO BC ∠==,所以130C BO ∠=︒，所以直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30︒，故D 正确.故选:D.8.已知13a =，13e 1b =-，4ln 3c =，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c<a<bD.b<c<a【答案】C 【解析】【分析】构造()()e 101xf x x x =--<<，利用导数判断其单调性可比较,a b 的大小关系.构造()()()ln 101g x x x x =+-<<，利用导数判断其单调性可比较,a c 的大小关系.【详解】13a =，13e 1b =-，41ln ln 133c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，设()()e 101xf x x x =--<<，所以()e 10xf x '=->，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，即()e 101xx x -><<.所以131e 13->，即a b <.设()()()ln 101g x x x x =+-<<，则()11011x g x x x-'=-=<++，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()00g x g <=，即()()ln 101x x x +<<<.所以11ln 133⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即c a <.所以c<a<b .故选:C.9.将函数()cos 2f x x =的图象向右平移π6个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的()11ωω>，得到函数()g x 的图象，若在区间[)0,π内有5个零点，则ω的取值范围是（）A.23291212ω≤<B.23291212ω<≤C.29351212ω≤< D.29351212ω<≤【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换可得()πcos 23g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据余弦函数的图象可得9ππ11π2π232ω<-≤，求解即可.【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向右平移π6个单位长度，得到πππcos 2cos 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的()11ωω>，得到函数()πcos 23g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.[)0,πx ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，cos y x =在y 轴右方的零点为π3π5π7π9π11π,,,,,,222222x =因为函数()g x 的图象在区间[)0,π内有5个零点，所以9ππ11π2π232ω<-≤，解得29351212ω<≤.故选:D.10.已知直线:10l x my +-=过抛物线2:2C y px =的焦点，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为52，则m =（）A.2± B.12±C.12D.2【答案】B 【解析】【分析】由直线l 所过定点及抛物线的焦点所在位置可求2p =，设()()1122,,,A x y B x y ,联立直线l 与抛物线的方程，求出12x x +，根据512M x +=即可求解.【详解】因为直线:10l x my +-=过定点()1,0，抛物线2:2C y px =的焦点在x 轴，且直线l 过抛物线的焦点，所以抛物线的焦点坐标为()1,0，所以12p=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =.联立2104x my y x+-=⎧⎨=⎩，消去x ，可得()241y my =-，即2440y my +-=.设()()1122,,,A x y B x y ,因为()()22441416160m m ∆=-⨯⨯-=+>,所以124y y m +=-.所以()212121211224x x my my m y y m +=-+-=-+=+.因为AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为52，且抛物线C 的准线方程为=1x -,所以512M x +=，解得32M x =.所以12322x x +=，即2243m +=，解得12m =±.故选:B.11.已知函数()sin 2f x x x =-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.π6x =为()f x 的一个极值点C.点π,02M ⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心D .函数()f x 有且仅有一个零点【答案】B 【解析】【分析】根据(π)()f x f x +=、(π)()f x f x -=是否成立判断A 、C ；利用导数研究()f x 在π(0,)4x ∈上的单调性，进而判断π6x =是否为极值点判断B ；由(0)0f =，应用零点存在性判断()f x 零点的个数判断D.【详解】A ：(π)πsin(22π)πsin(2)()f x x x x x f x +=+-+=+-≠，错；B ：()12cos 2f x x '=-，在π(0,4x ∈上，则π2(0,2x ∈π2(0,3x ∈时()0f x '<，ππ2(,)32x ∈时()0f x '>，故π23x =，即π6x =是一个极小值点，对；C ：(π)πsin(2π2)πsin(2)()f x x x x x f x -=---=-+≠，故π,02M ⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，错；D ：由解析式知：(0)0f =，ππππ()sin 06636f -==<-，ππ2π03332π(i 6s n f -=-=>，所以ππ(,)63x ∈上存在零点，故不止一个零点，错.故选：B12.已知()3232,0,ln ,0,x x x f x x x x⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()g x f x m =-有两个零点，则m 的取值范围为（）A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.(2,0)- C.1(,2),2e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.1,2e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分别利用导数求出函数()f x 在(],0-∞与()0,∞+上的单调性与最值，画出函数()f x 的图象，由题意可得y m =与()y f x =的图象有两个交点，数形结合求解即可.【详解】当0x ≤时，()3232f x x x =+-,则()()23632f x x x x x '=+=+,当(),2x ∞∈--时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当()2,0x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以0x ≤时，()()()()32max 223222f x f =-=-+⨯--=.当0x >时，()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，当()0,e x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以0x >时，()()max ln e 1e e ef x f ===.画出函数()f x 的图象如图所示：因为函数()()g x f x m =-有两个零点，所以y m =与()y f x =的图象有两个交点，由图可知2m <-或12em <<.所以m 的取值范围为()1,2,2e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.故选:C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两点(1,2)A -，(2,4)B ，若向量(2,)a m =与AB 垂直，则m =__________．【答案】3-【解析】【分析】求出()3,2AB = ，根据0a AB ⋅=即可求解.【详解】因为(1,2)A -，(2,4)B ，所以()3,2AB =.因为向量(2,)a m = 与AB垂直，所以2320AB a m ⋅=⨯+=，解答3m =-.故答案为:3-.14.ABC 的三个顶点到直线l 的距离分别为1，2，3，则该三角形的重心G 到直线l 的距离为__________（答案不唯一，填一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心G 到直线l 的距离的范围，由此确定正确答案.【详解】以平面ABC 内一点O为原点，建立平面直角坐标系，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），，设三角形的重心G 到直线l 的距离为G l d →，则G l d →1=3，则当112233,,Ax By C Ax By C Ax By C ++++++同号时，G l d →取得最大值为()1123=23⨯++，当1122330,0,0Ax By C Ax By C Ax By C ++<++<++>，或1122330,0,0Ax By C Ax By C Ax By C ++>++>++<时，G l d →取得最小值为()1123=03⨯+-，也即l 过重心G .所以02G l d →≤≤.故答案为:1（答案不唯一）.15.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形AOB ，其中120AOB ∠=︒，2OC =，5OA =，点E 在 CD上，则EA EB ⋅的最小值是__________．【答案】372-【解析】【分析】若F 为 AB 中点，由()()EA EB EO OA EO OB ⋅=+⋅+ 、OA OB OF +=，应用向量数量积的运算律化简得172EA EB EO OF ⋅=⋅- ，根据,EO OF位置关系求最小值.【详解】如下图，2()()()EA EB EO OA EO OB EO EO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅，若F 为 AB 中点，且120AOB ∠=o ，则OA OB OF += ，则211725522EA EB EO OF EO OF ⎛⎫⋅=+⋅+⨯⨯-=⋅- ⎪⎝⎭，要使其最小，只需,EO OF共线，此时，由图知此时17173725cos18010222EA EB ⋅=⨯⨯-=--=-.故答案为：372-.16.已知A 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，点(2,3)P 在C 上，F 为C 的左焦点，若APF 的面积为92，则C 的离心率为__________．【答案】2【解析】【分析】由题设可得3a c +=，结合点在双曲线上及参数关系求出双曲线参数,a c ，即可得离心率.【详解】由题设知：||AF a c =+，则139||||222APF P S y AF AF === ，所以3a c +=且c a >，易知：302a <<，又22491a b-=，故222249b a a b -=，且222+=a b c ，所以2222224()9()c a a a c a --=-，则42222213(4)(3)(4)a a c a a a -=-=--，化简得322346(1)(26)0a a a a a a --+=---=，解得1a =或1a =±（舍），综上，1a =，故2c =，则离心率为2ca=.故答案为：2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17.已知数列{}n a 满足1(1)1n n n a na ++-=且12a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设13n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）1n a n =+（2）(213)14n n n S +⋅-=【解析】【分析】（1）由题设得11111n n a a n n n n+-=-++，应用累加法求通项公式即可；（2）应用错位相减及等比数列前n 项和公式求n S .【小问1详解】由题设11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，即11111n n a a n n n n+-=-++，而121a =，所以2111()...()1211n n n a a a a a a n n n -=-++-+-111(...(1)212n n =-++-+-11n=+，且2n ≥，所以1n a n =+，显然12a =也满足上式，故1n a n =+.【小问2详解】由（1）知：1(1)3n n b n -=+⋅，所以0121233343...(1)3n n n S -=⋅+⋅+⋅+++⋅，则2113233343...(1)333n n n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅，两式相减得：013121313333...(1)1(1)132333n nnn n n S n --=++++++-+⋅=+-+⋅--31(1)23n n n +=-+⋅，所以(213)14n n n S +⋅-=.18.在三棱台DEF ABC -中，M ，N 分别是AC ，CF 的中点，AB BC ⊥，CF ⊥平面ABC ，且2AB BC CF ===，1EF =．（1）求证：CD BN ⊥；（2）求三棱锥D BMN -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据等腰三角形、棱台、线面垂直的性质证四边形DFCM 为矩形，并求得相关线段的长度，再证Rt Rt MCN CFD 得到CD MN ⊥，根据面面垂直的判定、性质证BM ⊥平面ACFD ，进而得到BM CD ⊥，最后由线面垂直的判定和性质证结论.（2）由D BMN B MND V V --=，结合棱锥体积公式求体积即可.【小问1详解】由AB BC ⊥，2AB BC ==，则AC =，M 是AC 的中点，即MC =，由DEF ABC -为棱台，易知DE EF ⊥，且1DE EF ==，故DF =又//DF MC ，且DF MC =，故四边形DFCM 为平行四边形，又CF ⊥平面ABC ，MC ⊂平面ABC ，则CF MC ⊥，所以四边形DFCM 为矩形，又2CF =，N 是CF 的中点，故1NC =，在Rt ,Rt MCN CFD 中，2NC MC DF CF ==且90MCN CFD ∠=∠=︒，所以Rt Rt MCN CFD ，易得90MNC FCD ∠+∠=︒，则CD MN ⊥，由CF ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ACFD ，则平面ABC⊥平面ACFD ，由等腰三角形性质知BM AC ⊥，BM ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面ACFD AC =，所以BM ⊥平面ACFD ，CD ⊂平面ACFD ，则BM CD ⊥，又MN BM M ⋂=，,MN BM ⊂面BMN ，则CD ⊥面BMN ，由BN ⊂面BMN ，则CD BN ⊥.【小问2详解】由D BMN B MND V V --=，由（1）知：BM ⊥平面ACFD ，所以111223323B MND MND V BM S -=⋅== .所以三棱锥D BMN -的体积为23.19.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断．为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了200人，得到如下22⨯列联表：男生女生总计更喜欢“冰墩墩”50a c 更喜欢“雪容融”b70d 总计100100200参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．附表：2K k≥0.1000.0500.0100.001 0k 2.706 3.841 6.63510.828（1）完善列联表，并求女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是多少？（2）是否有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．【答案】（1）3 10；（2）有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．【解析】【分析】（1）根据50100701005070baa cb d+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩完善列联表，再求频率即可；（2）根据公式求出2K，对比临界值表即可求解.【小问1详解】由列联表可得50100701005070baa cb d+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得30,50,80,120a b c d====，故完善列联表如下：男生女生总计更喜欢“冰墩墩”503080更喜欢“雪容融”5070120总计100100200故女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是30310010=.【小问2详解】()22200507050308.333 2.70610010080120K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,所以有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．20.已知点(3,1)A 在椭圆2222:18x y C a a +=-上，直线l 交C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率之和为0．（1）求直线l 的斜率；（2）求OMN 的面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）代入(3,1)A ，求出212a =，得到曲线方程，当直线l 的斜率不存在时，不合要求，设:l y kx b =+，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，由0AM AN k k +=求出()()61310k b k -+-=，得到1k =；（2）由0∆>求出44b -<<，求出6162MN =，并得到点O 到直线l 的距离为d =，表达出OMN S =，从而求出OMN 的面积的最大值.【小问1详解】由题意得280a ->，解得28a >，(3,1)A 代入椭圆方程中，221918a a +=-，解得212a =或6（舍去），故22:1124x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，,M N 关于x 轴对称，此时有对称性可知，直线AM ，AN 的斜率之和不为0，舍去；设:l y kx b =+，联立椭圆方程22:1124x y C +=得，()2221363120k x kbx b +++-=，则()()()22222236413312121240k b kbb k ∆=-+-=--->，则22124b k <+，设()()1122,,,M x y N x y ，则21212226312,1313kb b x x x x k k--+==++，()()()()()()21121212123131113333AM AN x y x y y y k k x x x x --+----+=+=----()()()()()()211212313133x kx b x kx b x x -+-+-+-=--()()()()12121221366033kx x b k x x b x x +--+-+==--，故()22231262136601313b kb k b k b k k-⋅---⋅-+=++，即224618660k kb k b -++-+=，故()()()6161310b k k k -+--=，即()()61310k b k -+-=，当310b k +-=时，13b k =-，此时直线():1331l y kx k k x =+-=-+，显然直线l 恒过(3,1)A ，矛盾，当1k =时，经检验，满足题意，故直线l 的斜率为1；【小问2详解】设:l y x b =+，联立椭圆方程22:1124x yC +=得，22463120x bx b ++-=，()2236163120b b ∆=-->，解得44b -<<，2MN ===，点O 到直线l 的距离为d ==，故11222OMNS MN d =⋅=⋅==故当28b =，即b =±时，OMN S △取得最大值，最大值为.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.已知函数()2e xf x ax =-．（1）若函数()f x 的图象与直线1y x =-相切，求实数a 的值；（2）若函数()()1g x f x x =-+有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2e 14-;（2）2e 10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a 的方程组，解之即可;（2）由题意可得21e 0xax x -+=-只有一个根，易知0x ≠，可转化为y a =与()2e 1xx h x x-+=的图象只有一个交点，根据导数研究函数()h x 的单调性，数形结合即可求解.【小问1详解】设直线1y x =-与函数()f x 的图象相切于点()00,x y ，因为()e 2xf x ax '=-,所以00000200e 211=e x x ax y x y ax ⎧-=⎪=-⎨⎪-⎩①②③，由②③可得0200e 1x ax x -=-④，易知00x ≠.由①得00e 12x a x -=，代入④可得002000e 1e 12x x x x x --⋅=-，即000002e e 22xxx x x -+=-，即()0002e2x x x -=-，解得02x =.故22e 1e 1224a --==⨯.【小问2详解】令()()10g x f x x =-+=，可得21e 0x ax x -+=-，由题意可得21e 0x ax x -+=-只有一个根.易知0x =不是方程21e 0x ax x -+=-的根，所以0x ≠，所以由21e 0xax x -+=-，可得2e 1x x a x-+=.设()2e 1x x h x x -+=，则y a =与()2e 1xx h x x -+=的图象只有一个交点.()()()24e 12e 1xx x x x h x x---+'=()()3e 12xx x+-=，当(),0x ∈-∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当()0,2x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.设()e 1xx t x =-+，则()e 1xt x '=-，当(),0x ∈-∞时，()0t x '<，函数()t x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0t x '>，函数()t x 单调递增.所以()()02t x t ≥=.所以()210e x x h x x+-=>.又()222e 21e 1224h -+-==，0x →时，()h x →+∞，x →+∞时，()h x →+∞，画出函数()h x 的图象如图所示：由图可知，若y a =与()2e 1x x h x x-+=的图象只有一个交点，则2e 104a -<<.所以实数a 的取值范围是2e 10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（02πθ≤<，θ为参数）．直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，(1,1)P ，过(1,0)F 且与直线l 平行的直线m ，与C 相交于D ，E 两点，求PA PBFD FE ⋅+的值．【答案】（1）答案见解析（2）12cos θ-【解析】【分析】（1）消参求曲线C 的普通方程，讨论π2θ≠或3π2、π2θ=或3π2并消参求直线方程；（2）由题设排除π2θ=或3π2的情况，将两直线的参数方程代入曲线普通方程，结合韦达定理求目标式的值.【小问1详解】由cos sin y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩C 的普通方程为2212x y +=，由1cos ,(02π)1sin x t y t θθθ-=⎧≤<⎨-=⎩，若π2θ≠或3π2时1tan 1y x θ-=-，则直线l 的普通方程为tan tan 10x y θθ--+=，若π2θ=或3π2时1x =；综上，曲线C 的普通方程为2212x y +=，直线l 的普通方程为tan tan 10x y θθ--+=（π2θ≠或3π2），或1x =（π2θ=或3π2）.【小问2详解】若π2θ≠或3π2，将1cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩代入2212x y +=，则22()2(1cos 1si )n 2t t θθ+++=，整理得22(1sin )2(cos 2sin )01t t θθθ++++=，令12,PA t PB t ==，则12211sin t t θ=+，可设直线m 为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩代入2212x y +=，则2221()2cos sin 2t t θθ+=+，整理得22(1sin )2cos 10t t θθ++=-，令34,FD t FE t ==，则3422cos 1sin t t θθ+=-+，此时12cos PA PB FD FE θ⋅=-+；若π2θ=或3π2，此时直线l 与直线m 重合，均为1x =，不满足题设；综上，12cos PA PBFD FE θ⋅=-+.23.已知函数()1f x m x =-+，R m ∈，且()0f x ≥的解集为[2,0]-．（1）求m 的值；（2）设a 、b 、c 为正数，且a b c m ++=，求的最大值．【答案】（1）1m =（2【解析】【分析】（1）根据公式法解绝对值不等式，结合已知解集求参数值；（2）由（1）得1a b c ++=，应用柯西不等式求目标式的最大值，注意取值条件.【小问1详解】由题设1m x ≥+的解集为[2,0]-，显然0m >，所以11m x m --≤≤-，即[1,1][2,0]m m ---=-，可得1m =.【小问2详解】由（1）知：1a b c ++=，2111)(212121)(111)a b c ++≤+++++++3[2()3]15a b c =+++=，当且仅当13a b c ===++。

2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题四及答案解析(7页)

2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题四及答案解析(7页)

2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题四1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4] D ．(0,4)答案 B解析 当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i答案 D解析 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k 2，若∠AOB＝120°，则有11＋k 2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34答案 C解析 将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49 答案 A解析 如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|P A →|＝23，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln ((－x )2＋1－x )＝ln 1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时，x 2＋1＋x 单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3 B ．4－π3 C ．8－π3 D ．4－2π3答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分； Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112B.52C.12D.32 答案 B解析 函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b答案B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12，∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52， 即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12x B ．y ＝±2x C ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析 根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即b a ＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x ，所以选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.答案 1e解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e . 13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000.又在△ABC 中，BC sin ∠A ＝AB sin ∠ACB，∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＝2b n －1，则a 56＝________.答案 1024解析 当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n (n －1)2＋1，由c n ＝n (n －1)2＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1024.。

山西省高考数学备考复习(文科)专题四：数列

山西省高考数学备考复习(文科)专题四：数列

山西省高考数学备考复习（文科）专题四：数列姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共20题；共40分)1. （2分） (2020高二下·诸暨期中) 已知数列{an}满足：an （n∈N*）．若正整数k （k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（）A . 16B . 17C . 18D . 192. （2分）设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知数列满足，若，则（）A . 2B . -2C .D .4. （2分） (2018高三上·广东月考) 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误的是（）A .B .C .D . 与均为的最大值5. （2分）(2017·深圳模拟) 等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b，则 =（）A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 36. （2分） (2020高一下·吉林期末) 在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 =（）A .B .C .D . 07. （2分）已知等比数列中，公比，且，，则=（）A . 2B . 3或6C . 6D . 38. （2分）设为等比数列的前项和，若，则（）A .B .C .D .9. （2分）已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A . 64B . 100C . 110D . 12010. （2分）(2018·孝义模拟) 设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·抚顺期中) 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分）运行下图框图输出的S是254，则①应为（）.A .B .C .D .13. （2分） (2019高二上·吉林月考) 已知数列前n项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中:①数列必为等比数列；② 时，；③ ；④存在p，对任意的正整数，都有正确的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 414. （2分） (2016高二上·会宁期中) 已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1 ， a3 ， a2成等差数列，则公比q的值为（）A . ﹣2B .C .D . 115. （2分）(2017·襄阳模拟) 已知数列{an}满足a1=2，（n∈N*），则a1•a2•a3…a2017=（）A . ﹣6B . 6C . ﹣2D . 216. （2分） (2020高一下·成都期末) 在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533-1606)所著的《算法统宗》中，有许多用诗歌形式表达的数学问题，如八子分棉歌：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传．”则此问题(第八数)的答案为（）（单位：斤）A . 150B . 167C . 184D . 20117. （2分）(2018·南阳模拟) 已知只有50项的数列满足下列三个条件：①;② ；③ .对所有满足上述条件的数列共有个不同的值，则（）A . 10B . 11C . 6D . 718. （2分） (2020高一下·佛山月考) 已知数列……那么是这个数列的第（）项.A . 23B . 24C . 19D . 2519. （2分） (2016高一下·舒城期中) 等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（）A . 9B . 10C . 11D . 1220. （2分） (2018高二上·宾阳月考) 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A . 0.27,78B . 0.27,83C . 2.7,78D . 2.7,83二、填空题 (共9题；共9分)21. （1分） (2019高二下·南宁期末) 已知等差数列的前项和为，________；22. （1分）(2021·汉中模拟) 设等比数列的第四项是的展开式中的常数项，且首项，则通项公式为 ________.23. （1分） (2015高二上·太和期末) 等差数列{an}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=________．24. （1分）(2020·河南模拟) 在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：① ；② ；③ ；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是________.25. （1分） (2018高二上·武邑月考) 下面数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an ， bn ， cn)，请写出cn 的表达式cn＝________.26. （1分） (2018高二上·桂林期中) 数列由，确定，则 ________.27. （1分） (2020高二上·射阳期中) 在等差数列中，，其前项和为，若，则的值为________.28. （1分）若等比数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，a4=8，则S5=________29. （1分） (2017高二上·泰州开学考) 已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于________．三、综合题 (共7题；共70分)30. （10分）(2019·淄博模拟) 已知在等比数列中，，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和 .31. （10分） (2015高三上·如东期末) 已知等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且数列{bn}的前n项和为Sn ．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若Sn+1﹣2Sn=2，试问数列{bn}中是否存在一点bk ，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=ar ，b2=as≠ar ， b3=at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．32. （10分）(2018·枣庄模拟) 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且成等差数列，。

2019高考数学(文科)二轮培优(全国版)讲义：考前冲刺三 第四类Word版含答案

2019高考数学(文科)二轮培优(全国版)讲义：考前冲刺三 第四类Word版含答案

第四类概率问题重在“辨”——辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，同时，还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理分划复杂事件.【例4】(2018·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：(2)若x<13或x≥21，则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率.解(1)频率分布直方图为(辨析1)估计平均数为x －＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.(辨型1)由频率分布直方图，x ∈[17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18. (2)记技术指标值x <13的2件不合格产品为a 1，a 2，技术指标值x ≥21的4件不合格产品为b 1，b 2，b 3，b 4，(辨析2)则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15个基本事件.记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M ，则事件M 包含如下基本事件(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8个基本事件.故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为P ＝815.(辨型2) 探究提高 1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算. 2.求解该类问题要注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成. 【训练4】 (2018·日照一模)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表(1)求出a ，b ，x ，y 的值；(2)若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率.解 (1)由题意可知，82＝0.16b ，解得b ＝0.04； ∴样本容量n ＝80.16＝50，∴[80，90)内的频数为50×0.08＝4， a ＝50－8－20－4－2＝16；∴[60，70)内的频率为1650＝0.32，∴x ＝0.3210＝0.032； 又[90，100]内的频率为0.04，∴y ＝0.0410＝0.004. (2)由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，设第4组的4人分别为a 1，a 2，a 3，a 4；第5组的2人分别为b 1，b 2； 则从中任取2人，所有基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15个.又至少一人来自第5组的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a2，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共9个，所以p＝915＝35，故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为3 5.。

2020全国新高考培优高考仿真模拟(四)文科数学(解析版)

2020全国新高考培优高考仿真模拟(四)文科数学(解析版)

2020高考仿真模拟模拟试卷(四)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x ∈Z |x 2<4}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B 中的元素个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．无数 答案 B 解析A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，2，所以A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12，1，2.故选B.2．中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是( )A ．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B ．这两年的最大仓储指数都出现在4月份C ．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D ．2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显 答案 D解析 通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大， 这两年的最大仓储指数都出现在4月份， 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年，所以A ，B ，C 正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%，差异不明显，所以D 错误．故选D.3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 B解析 若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，如图1，则α与β不一定垂直，故①为假命题；若m ⊥α，m ⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β，故②为真命题；若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β，故③为真命题；若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，如图2，则α与β可能相交，故④为假命题．故选B.图1 图24．已知复数z 1＝21＋i，z 2＝a ＋i(a ∈R )，若z 1，z 2在复平面中对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→(O 为坐标原点)，且|OZ 1→＋OZ 2→|＝2，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－3D ．1或－3答案 D解析 由题意知OZ 1→＝(1，－1)，OZ 2→＝(a,1)，因此OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋1,0)，故(a ＋1)2＝4，解得a ＝1或－3，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．30＋π B．30＋2π C．18－π4D ．18－π 答案 C解析 易知，所求几何体为一个长方体中间挖去一个小圆柱．所以，V ＝3×2×3－π×14×1＝18－π4，故选C.6．定义某种运算⊕，a ⊕b 的运算原理如图所示．设f (x )＝(0⊕x )(2⊕x )，则f (x )在区间[－1,1]上的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意，f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤0，0，0<x ≤1.故f (x )在区间[－1,1]上的最大值为1.故选C.7．如图，在等腰三角形ABC 中，已知∠BAC ＝120°，阴影部分是以AB 为直径的圆与以AC 为直径的圆的公共部分，若在△ABC 内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.3π9－1 B ．1－3π9C.3π9－12D.12－3π9答案 C解析如图所示，取BC的中点D，AC的中点O，连接AD，DO，设AB＝2，在△ACD中，AD＝1，CD＝3，S△ACD＝32，∴S△ABC＝3，在扇形OAD中，∠AOD＝60°，S扇形AOD＝12·π3·1＝π6，S△AOD＝34，∴S阴影＝2⎝⎛⎭⎪⎫π6－34＝π3－32，∴P＝S阴影S△ABC＝π3－323＝3π9－12.故选C.8．过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，其面积分别为S1，S2，当|S1－S2|最大时，直线l的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0C．x－y－2＝0 D．y－2x＋1＝0答案 A解析因为点P坐标满足x2＋y2≤4，所以点P在圆x2＋y2＝4内，因此，当OP与过点P 的直线垂直时，|S1－S2|最大，因为直线OP的斜率为k OP＝1－01－0＝1，所以直线l的斜率为k＝－1，因此，直线l的方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0.故选A.9．函数f(x)＝12x＋sin x的图象大致是( )答案 C解析 因为f (x )＝12x ＋sin x 为奇函数，所以排除B ，D ；当x >0且x →0时，f (x )>0，排除A.故选C.10．已知半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ ＝π3，则t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪(0，3]B ．[－3，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233 答案 A解析 根据题意，设PQ 的延长线与x 轴交于点T ，|PB |＝|t |，由于PB 与x 轴垂直，且∠BPQ ＝π3，则在Rt △PBT 中， |BT |＝3|PB |＝3|t |，当P 在x 轴上方时，PT 与半圆有公共点Q ，PT 与半圆相切时，|BT |有最大值3，此时t 有最大值3，当P 在x 轴下方时，当Q 与A 重合时，|BT |有最大值2，|t |有最大值233，则t 取得最小值－233，t ＝0时，P 与B 重合，不符合题意， 则t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪(0，3]．故选A.11．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x －a ＋2与曲线y ＝e x ＋b －1相切，则1a ＋1b的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 由y ＝x －a ＋2得y ′＝1；由y ＝e x ＋b －1得y ′＝e x ＋b ；因为y ＝x －a ＋2与曲线y ＝e x ＋b －1相切，令e x ＋b ＝1，则可得x ＝－b ，代入y ＝e x ＋b －1得y ＝0；所以切点为(－b,0)．则－b －a ＋2＝0，所以a ＋b ＝2.故1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝1＋b 2a ＋a 2b ≥2，当且仅当b 2a ＝a 2b，即a＝b ＝1时等号成立，此时1a ＋1b取得最小值2.选B.12．在△ABC 中，B ＝30°，BC ＝3，AB ＝2，D 是边BC 上异于B ，C 的点，B ，C 关于直线AD 的对称点分别为B ′，C ′，则△BB ′C ′面积的最大值为( )A.32B.337 C.237D.3－32答案 A解析 由B ＝30°，BC ＝3，AB ＝2，可得△ABC 为直角三角形，且C ＝90°，则以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴建立如图所示的直角坐标系．则A (1,0)，B (0，3)，C (0,0)，设D (0，λ)(0<λ<3)，则直线AD ：y ＝－λ(x －1)，即λx ＋y －λ＝0.设BB ′与AD 交于点E ，则BE ＝|3－λ|1＋λ2，又因为直线BE ：y －3＝1λx ，即x －λy ＋3λ＝0.此时C 到直线BE 的距离为h ＝|3λ|1＋λ2，所以BB ′＝2×|3－λ|1＋λ2，C ′到BB ′的距离为h ＝|3λ|1＋λ2，则所求面积S ＝12×2×|3－λ|1＋λ2×|3λ|1＋λ2 ＝3λ－3λ21＋λ2，因为S ′＝(1－3λ)(3λ＋3)(1＋λ2)2，所以当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33时，S ′>0；当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3时，S ′<0.所以当λ＝33时，S max ＝32，选A. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.答案 －3解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tanπ4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝－3.14．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则AD →·BC →＝________. 答案 2解析 ∵BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·()AC →－AB →＝－13AB →·AC →＋23AC →2－13AB →2＝－13×1×2×12＋23×22－13×1＝2. 15．在等差数列{a n }中，若1≤a 1≤3,2≤a 4≤4，则a 10的最大值是________． 答案 10解析 依题意，设数列{a n }的公差为d ，再设a 10＝ma 1＋ka 4，则a 1＋9d ＝ma 1＋k (a 1＋3d )＝(m ＋k )a 1＋3kd ，所以⎩⎨⎧m ＋k ＝1，3k ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝－2，k ＝3，所以a 10＝－2a 1＋3a 4，又1≤a 1≤3,2≤a 4≤4，所以0≤a 10≤10.因为a 1＝1，a 4＝4时，a 10＝10，所以a 10的最大值是10.16．甲、乙、丙3人在同一个环形场地锻炼．甲以13(圈/分钟)的速度慢跑，乙以14(圈/分钟)的速度快走，丙以16(圈/分钟)的速度慢走．计时开始时，3个人的前进方向相同，且甲在乙后面13圈，乙在丙后面16圈(如图所示)．那么，经过________分钟，甲和乙2人第一次相遇；1个小时之内，甲、乙、丙3人________(填“能”或“不能”)第一次同时相遇．答案 4 不能解析 设经过t 分钟，甲和乙2人第一次相遇．依题意，13t －14t ＝13，解得t ＝4.所以，经过4分钟，甲和乙2人第一次相遇在B 处．设经过k 分钟，甲和丙2人第一次相遇．同理，经过16分钟，甲和乙2人第二次相遇(甲超过乙一圈)仍在B 处，且甲和乙2人以后每次相遇总在B 处．依题意，13k －16k ＝12，解得k ＝3.所以，经过3分钟，甲和丙2人第一次相遇在A处．同理，经过9分钟，甲和丙2人第二次相遇(甲超过丙一圈)仍在A 处．且甲和丙2人以后每次相遇总在A 处．又因为甲和乙2人每次相遇都在B 处．故甲、乙、丙3人不可能同时相遇．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为5 3.(1)求角C 的弧度数；(2)记θ＝max{A ，B ，C }(即θ为角A ，B ，C 中的最大角)，求tan θ. 解 (1)依题意，在△ABC 中，S △ABC ＝12ab sin C ＝10sin C ＝53，所以sin C ＝32，所以C ＝π3或2π3. (2)若C ＝2π3，则角C 最大，此时θ＝C . 所以tan θ＝－3； 若C ＝π3，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋25－20＝21，c ＝21，于是角B 最大，此时θ＝B .因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋21－25821＝2114，sin B ＝1－cos 2B ＝5714，所以tan θ＝tan B ＝533. 综上，tan θ＝533或－ 3. 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，设AC∩BD＝O，且∠PDO＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)如图，连接OP，由(1)知，BD⊥平面PAC，又PO⊂平面PAC，知BD⊥PO.在Rt△POD中，因为∠PDO＝π3，所以∠DPO＝π6，得PD＝2DO.又因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝3，于是梯形ABCD的面积S＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，PA ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13S ·PA ＝13×9×4＝12.19．(本小题满分12分)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)进行分组，得到下列统计图．(1)分别估算两个车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数；(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75 min 的工人中随机抽取2人，求抽取2人中至少1人生产时间少于65 min 的概率．解 (1)第一组工人20人，其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人， ∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为620×200＝60. 第二组工人40人．其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30人，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为3040×400＝300. (2)第一组平均时间为x －1＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78.第二组平均时间为x －2＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5，∵x －1>x －2，∴乙车间工人生产效率更高．(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min 的工人有6人，其中生产时间少于65 min 的有2人，分别用A 1，A 2表示，生产时间不少于65 min 和少于75 min 的工人用B 1，B 2，B 3，B 4表示，抽取2人基本事件空间为Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)}，共15个基本事件，这15个基本事件发生的可能性是相等的．设事件A 表示“2人中至少1人生产时间少于65 min”，则事件A 表示“2人的生产时间都不少于65 min”，包含(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共6个基本事件，∴P (A )＝1－P (A )＝1－615＝35. 20．(本小题满分12分)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 是抛物线C上的一个动点，过A 点作l 的垂线AH ，H 为垂足．已知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，且|AH |＋|AB |的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点B 的直线n 与抛物线C 交于点P .若|PF |＝λ|PB |，求实数λ的取值范围．解 (1)易知，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2， 根据抛物线的定义，|AH |＋|AB |＝|AF |＋|AB |≥|FB |＝p ，当且仅当A 点与坐标原点重合时等号成立．依题意，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)若直线n 的斜率不存在，则|PF |＝|PB |，λ＝1；若直线n 的斜率存在，设直线n 的方程为y ＝kx －1，根据对称性，不妨设k >0， 则过P 点作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则|PF |＝|PQ |. 因为|PF |＝λ|PB |，于是|PQ |＝λ|PB |，λ＝|PQ ||PB |.在直角三角形PQB 中，sin ∠PBQ ＝|PQ ||PB |， 所以λ＝sin ∠PBQ .因为函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以λ随着∠PBQ 的增大而增大； 又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以∠PBQ 随着tan ∠PBQ 的增大而增大， 所以λ随着k 的增大而增大．所以，当直线n 与抛物线C 相切时，λ的值最小． 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx －1得14x 2－kx ＋1＝0. 令Δ＝k 2－1＝0得k ＝1. 此时，∠PBQ ＝π4，λ＝sin π4＝22， 所以此时λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.综上，实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ln xx －1. (1)当a ＝1时，判断f (x )有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； (2)若f (x )<x ＋1，求a 的取值范围． 解 函数f (x )＝ax ln xx －1，则x >0且x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． (1)当a ＝1时，f (x )＝x ln x x －1，则f ′(x )＝x －ln x －1(x －1)2， 令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，①当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (x )>g (1)＝0， ∴f ′(x )>0，f (x )无极值点；②当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，g (x )>g (1)＝0， ∴f ′(x )>0，f (x )无极值点． 综上，当a ＝1时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )<x ＋1，得ax ln x x －1<x ＋1，即x x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0.令h (x )＝a ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝a x －1－1x 2＝－(x 2－ax ＋1)x 2.①当a ≤0时， x ∈(0,1)时，⎩⎨⎧ln x ＜0，x －1＜0；ax ln xx －1<0<x ＋1， x ∈(1，＋∞)时，⎩⎨⎧ln x ＞0，x －1＞0，ax ln xx －1<0<x ＋1， ∴ax ln xx －1<x ＋1成立，即a ≤0符合题意． ②当0<a ≤2时，x 2－ax ＋1≥2x －ax ≥0， ∴h ′(x )≤0；当x ∈(0,1)时，h (x )为减函数，h (x )>h (1)＝0， ∴x x －1⎝⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0成立； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )为减函数，h (x )<h (1)＝0， ∴x x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0成立； 即0<a ≤2符合题意．③当a >2时，由h ′(x )＝0，得x 2－ax ＋1＝0， 且Δ＝a 2－4>0；设x 2－ax ＋1＝0两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， ∴x 1＋x 2＝a >0，x 1x 2＝1， ∴0<x 1<1<x 2；由h ′(x )>0，得x 2－ax ＋1<0， 解集为(x 1,1)∪(1，x 2)，∴h (x )在(x 1,1)上为增函数，h (x 1)<h (1)＝0， ∴x 1x 1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x 1－x 1＋1x 1>0，∴a >2不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝3＋sin φ(φ为参数)．(1)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1， 即x 2＋y 2＋2x －23y ＋3＝0，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ－3sin θ)＋3＝0. (2)把θ＝α代入ρ2＋2(cos θ－3sin θ)ρ＋3＝0得ρ2＋2(cos α－3sin α)ρ＋3＝0.设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＋ρ2＝2(3sin α－cos α)，ρ1 ρ2＝3. 所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝2(3sin α－cos α)3＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6，又射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ， ∴π2<α<5π6， ∴π3<α－π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6≤1，∴233<1|OA |＋1|OB |≤43，∴1|OA |＋1|OB |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤233，43. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|，记f (x )的最小值为m . (1)解不等式f (x )≤5；(2)若正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝5，求证：2a 2＋3b2≥2m .解 (1)①当x >1时，f (x )＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1≤5， 即x ≤2，∴1<x ≤2；②当－2≤x ≤1时，f (x )＝(1－x )＋(x ＋2)＝3≤5， ∴－2≤x ≤1；③当x <－2时，f (x )＝(1－x )－(x ＋2)＝－2x －1≤5，即x ≥－3，∴－3≤x <－2. 综上所述，原不等式的解集为{x |－3≤x ≤2}．(2)证明：∵f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x ＋2)|＝3， 当且仅当－2≤x ≤1时，等号成立． ∴f (x )的最小值m ＝3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ×12＋3b ×132＝5，即2a 2＋3b 2≥6，当且仅当2a×13＝3b ×12，即3a ＝2b 时，等号成立．。

(优辅资源)普通高等学校高三招生全国统一考试模拟(四)数学(文)试题Word版含答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数(四)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集BA BC D2．已知复数z i为虚数单位)A B C D3．某单位组织全体员工共300人听取了习总书记作的“党的十九大报告”之后，从中抽取15人分别到A，B，C三个部门进行“谈感想，定目标”的经验交流．现将300人随机编号为1，2，3，…，300，分组后在第一组中采用简单随机抽样的方法抽得的号码是8号，抽到的15人中号码落入区间[1，150]去A区，号码落入区间[151，250]去B区，号码落入区间[251，300]去C区，则到B区去的人数为A． 2 B．4 C．5 D．84率为1的直线l交椭圆于点A，BA B C D5．下列不等式中，恒成立的是A．①②B．③④C．①③D．②④6．在△ABC中，内角A，B，CA的值为A B C D7A．①②B．①④ C．②④D．①③④8A BC D9方程为ABCD10．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为ABD 11ABC D12．已知等比数前n项和，且k k的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高三数学下学期冲刺试题四文 试题

高三数学下学期冲刺试题四文 试题

一中2021届高三冲刺卷〔四〕创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日数学文科试卷考前须知：1．在答题之前，所有考生必须将姓名、准考证号填写上在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效。

3．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

卷I 〔选择题 一共60分〕：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 1. 不等式011>-x成立的充分不必要条件是( ) A. 1>x B. 1->x C.1-<x 或者10<<x D. 11x -<< 2. 数列{a n }中，11a =，2112a =+，31123a =++，411234a =+++，，11234n a n =+++++，，那么数列{a n }的前n 项和S n =〔 〕A ． 1n n +B ．1n n + C. 221n n + D ．21n n +3. 假设函数)sin()(ϕω-=x x f 的图象〔局部)如以下图所示，那么ω和ϕ的取值是〔 〕 A.3,1πϕω== B. 3,1πϕω-==C. 6,21πϕω==D.6,21πϕω-==4. 假设复数z 满足=1z ，那么34i z --的最小值为〔 〕 A ．1B ．2C ．3D ．45. 点D 是ABC ∆所在平面内一点，且满足4AD DB =-，假设(,)CD xCA yCB x y R =+∈，那么x y -=〔 〕A. 43-B.1C. 53-D. 536.3sin 322πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，那么cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕A. 32B. 32- C. 12 D. -127. 如下图的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ,那么空白框中的语句及最后输出的n 值分别是〔 〕A. n =n +1和6B. n =n +2和6C. n =n +1和8D. n =n +2和88. 过点)2,4(P 作圆422=+y x 的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，那么△OAB 的外接圆方程为〔 〕 A.5)1()2(22=-+-y x B. 20)2()4(22=-+-y x C. 5)1()2(22=+++y xD. 20)2()4(22=+++y x9.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 10sin ac B C =，7a b +=，且15cos25C =，那么c =〔 〕 A ．4 B ．5 C.26D ．710.双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x E 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作一条直线与两条渐近线分别相交于A ，B 两点，假设A F B F 112=，OB F F 221=，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．2B ．3C ．2D ．311. 抛物线)0(2:2>=p px y E 的焦点为F ，点A ，B 为抛物线E 上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．过弦AB 的中点M 作抛物线E 准线的垂线MN ，垂足为N ，那么ABMN 的最大值为( )A ．33 B ．1 C ．332 D ．2 12.如图,点P 是正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1外的一点,过点P 作直线l ,记直线l 与直线AC 1，BC 的夹角分别为1θ，2θ，假设1sin(50)θ-︒21cos(140)=2θ=︒-，那么满足条件的直线l 〔 〕 A ．有1条 B ．有2条 C ．有3条D ．有4条卷Ⅱ(非选择题 一共90分)二．填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13. 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，假设在第三组中抽得号码为12号的学生，那么在第八组中抽得号码为____的学生.14. 设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪-+≥⎨⎪+-≤⎪⎪⎩，那么2z x y =-的取值范围为 .()(2)x f x e x a =+的极小值点为12x =-，那么()f x 的图像上的点到直线30x y --=的最短间隔 为 .ABCD 中，23AB AD BC BD DC =====,二面角A BD C --的大小为120︒，那么四面体ABCD 的外接球的外表积为 .三．解答题：本大题一一共6小题，一共70分.17. 〔本小题满分是12分〕在数列{a n }中，11a =，23a =，且对任意的n ∈N *，都有2132n n n a a a ++=-.〔1〕证明数列{}+1n n a a -是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；〔2〕设12nn n n b a a +=，记数列{b n }的前n 项和为S n ，假设对任意的n ∈N *都有1n n S m a ≥+，务实数m 的取值范围.18. 〔本小题满分是12分〕 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，122AA AB ==，13BAA π∠=，D 为AA 1的中点， 点C 在平面ABB 1A 1内的射影在线段BD 上.(1)求证：B 1D ⊥平面CBD ；(2)假设△CBD 是正三角形，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积.19. 〔本小题满分是12分〕汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用假设干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和平安技术、排放检验状况，对到达报废HY 的机动车施行强迫报废．某环保组织为理解公众对机动车强迫报废HY 的理解情况，随机调查了100人，所得数据制成如以下联表：(1)假设从这100人中任选1人，选到理解机动车强迫报废HY 的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强迫报废HY 是否理解与性别有关〞？(2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图7所示的折线图，假设该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度y %与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍．附：K 2= 2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++(n ＝a ＋b ＋c ＋d )P (K 2≥k 0) k 0参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： 12211ˆˆˆni ii ni x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，. 20. 〔本小题满分是12分〕 在平面直角坐标系xoy 中，点A ，B 的坐标分别为(2,0),(2,0)-．直不理解 理解 总计 女性 ab50 男性 153550 总计pq100线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． 〔1〕求Γ的方程；〔2〕直线AP ，BP 分别交直线:4x =于点M ，N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21. 〔本小题满分是12分〕 1x =为函数()()2ln f x x ax x x =-+的一个极值点.〔1〕务实数a 的值，并讨论函数f (x )的单调性； 〔2〕假设方程()22f x mx x =+有且只有一个实数根，务实数m 的值.选考题：一共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题计分．22.在极坐标系中，直线:2l pcos θ=-,曲线C 上任意一点到极点O 的间隔 等于它到直线l 的间隔 .(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)假设P ，Q 是曲线C 上两点，且OP OQ ⊥,求11+OP OQ的最大值. 23.函数()23f x x m x m =--+()0m >. 〔1〕当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；〔2〕对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，务实数m 的取值范围.一中2021届高三冲刺卷〔四〕数学文科答案1-5ADDDC 6-10CDABC 11-12AD 二．填空题13. _37 14. [－1，6] 15. 16. 28π 三．解答题17. 解：〔Ⅰ〕由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-． 又11a =，23a =，所以212a a -=.所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分所以12nn n a a +-=. …………………4分所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-21222n =++++21n =-. …………6分〔Ⅱ〕因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--1112121n n +=---.………8分 所以12n n S b b b =+++223+1111111212121212121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭+11=121n --. ………10分又因为对任意的n ∈N *都有1n n S m a ≥+，所以+11112121n n m ≤----恒成立， 即1min 1112121n n m +⎛⎫≤-- ⎪--⎝⎭,即当1n =时，13m ≤-. ………12分 18. (1)证明：设点C 在平面11ABB A 内的射影为E ，那么E BD ∈，CE CBD ⊂平面，且11CE ABB A ⊥平面，因111B D ABB A ⊂平面，所以1CE B D ⊥.………………………2分在ABD ∆中，1AB AD ==，3BAD π∠=，那么323ABD ADB πππ-∠=∠==，在11A B D ∆中，1111A B A D ==，1123B A D π∠=，那么11112326A B D A DB πππ-∠=∠==， 故1362B DB ππππ∠=--=，故1BD B D ⊥.……………………………………………4分因CEBD E =，故1B D CBD ⊥平面.……………………5分(2) 1111133ABC A B C A ABC C A AB V V V ---==，……………………………………………6分 由(1)得11CE ABB A ⊥平面，故CE 是三棱锥1C A AB -的高，………………………7分CBD ∆是正三角形，1BD AB AD ===，CE =，………………………8分11111||||sin 12sin 223A AB S AB AA BAA π=⋅∠=⨯⨯⨯=，………………………9分11111334C A AB A AB V S CE -=⋅==，………………………11分故三棱柱的体积1111334ABC A B C C A AB V V --==，故三棱柱111ABC A B C -的体积为34.…12分 19. 【解析】(1)设“从100人中任选1人，选到理解机动车强迫报废HY 的人〞为事件A ， 由得P (A )＝35100b +＝35，所以a ＝25，b ＝25，p ＝40，q ＝60. K 2的观测值k ＝2100(25352515)40605050⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.167>3.841，故有95%的把握认为“对机动车强迫报废HY 是否理解与性别有关〞. (2)由折线图中所给数据计算，得t ＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42，故ˆb＝2.840＝0.07，ˆa ＝0.42－0.07×6＝0, 所以所求回归方程为ˆy ＝0.07t.故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO 浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的4.2倍.20. 〔Ⅰ〕设点P 坐标为(),x y ，那么 直线AP 的斜率2AP y k x =+〔2x ≠-〕；直线BP 的斜率2BP y k x =-〔2x ≠〕． 由有1224y y x x ⨯=-+-〔2x ≠±〕，化简得2214x y +=〔2x ≠±〕． ······· 4分 故点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=〔2x ≠±〕．〔注：没写2x ≠或者2x ≠-扣1分〕〔Ⅱ〕设()00,P x y 〔02x ≠±〕，那么220014x y +=． ············· 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M y y x =+； · 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-；·· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ···· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+． 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， 9分 所以切线方程为()00004x y y x x y -=--． 令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===． ···································· 10分设MQ QN =λ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ， 所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ．·················· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ． 将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQ NQ=． ························ 12分21. 〔1〕()()2ln f x x ax x x =-+，()0,x ∈+∞．()()()2ln 1f x x x a x a '=+---．∵ 1x =为函数()()2ln f x x ax x x =-+的一个极值点， ∴ ()()1110,2f a a '=--==，经历证，符合题意故()()22ln f x x x x x =-+，()()()()22ln 1112ln f x x x x x x '=+--=-+． 令()0f x '=，解得1x =或者x =．∴ 当x ∈时，()0f x '>，函数()f x单调递增；当x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 〔2〕方程()()222ln 2f x x x x x mx x =-+=+，整理得()()222ln f x x x x x mx =--=．因为()0,x ∈+∞，所以有()()222ln 2ln 1x x x x x x m x x----==．令()()2ln 121(1)ln x x g x x xxx--==--，那么()22ln 1x x g x x+-'=． 令()2ln 1h x x x =+-，()210h x x'=+>，故()h x 在()0,+∞上是增函数．∵ ()10h =， ∴ 当()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；∴ ()()min 110g x g ==-<．∵ 当0x →或者x →+∞时，()g x →+∞，∴ 方程()22f x mx x =+有且只有一个实数根时，实数1m =-． 22. 答案及解析：解:(Ⅰ)设点()M p θ，是曲线C 上任意一点，那么 2cos ρρθ=+,即2=1cos ρθ- (II) 设()12,2P Q πρθρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭+，、,那么112sin cos 2+22OP OQ θθ+-=≤. 23. 〔1〕当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩……………………1分因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者者141x x >⎧⎨--≥⎩…………3分 解得：332x -≤<-或者者312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.…………………………5分 〔2〕对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-…………………………………6分 因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()min 213t t ++-=………………………………………7分因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭……………………………9分 所以532m <， 所以实数m 的取值范围605m <<.…………………………………………………………………10分创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。

高三年级(下)第四次模拟考试数学(文科)试卷.docx

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开始0,1,1S A i ===1S S A=+1i i =+ 5?i >是 输出S 否A A i =+高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作（下）高三年级第四次模拟考试数学（文科）试卷 命题人：说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合2{|}A x x x =≤，{|01}B x x =<≤，则下列结论正确的是 （A ）A B = （B ）A B =∅ （C ）A B A = （D ）A B A =2．在复平面内，复数311+z i i=+所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．已知命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为（A ）,10x x e x ∃∈--≥R （B ）,10xx e x ∀∉-->R （C ）,10x x e x ∀∈-->R （D ）,10xx e x ∀∈--≥R4．若1cos()2πθ+=-，则sin()2πθ+= （A ）12-（B ）12 （C ）32- （D ）325．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒. 某人开车到这个路口时，恰好为绿灯的概率为 （A ）25 （B ）815 （C ）13 （D ）356．已知直线l 过点(0,1)-，l 与圆222x y y +=有两个公共点，则l 的斜率的取值范围是 （A ）(,3)(3,)-∞-+∞ （B ）(3,3)-（C ）11(,)(,)22-∞-+∞ （D ）11(,)22- 7．函数()ln f x x x =+的零点所在的区间为 （A ）(1,0)- （B ）1(0,)e（C ）1(,1)e（D ）(1,)e8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）129．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（A ）85 （B ）53 （C ）32 （D ）12710．已知实数,x y 满足条件10220220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（A ）12（B ）1 （C ）22 （D ）8 11．已知四面体ABCD ，⊥AD 平面BCD ，BC CD ⊥，2,4AD BD ==，则四面体ABCD 外接球的表面积等于 （A ）π3520 （B ）π20 （C ）π320 （D ）π310012．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为 （A ）33（B ）32（C ）22（D ）12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分） 13．已知向量,a b 满足||3b =，a 在b 方向上的投影是32，则a b ⋅= ．14．直线2y x =+被圆22:4410M x y x y +---=所截得的弦长为 ．15．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列．若13a =，则=4S ． 16．若关于x 的方程ln 0ax x-=恰有3个根，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数()(sin cos cos sin )(0,0)222x x f x M M πϕϕϕ=+><<的最大值是2，且(0)1f =．（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，(2)2f A =，2sin 2b C c =．求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）为了解某校学生喜爱打篮球是否与性别有关，采用随机抽样方法抽取了50名学生进行问卷调查， 得到如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生5 女生 10 合计50已知在这50名学生中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）记不喜爱打篮球的5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，这5名男生喜爱打乒乓球， 如果从他们当中任选2人作为一对组合参加乒乓球男子双打比赛，求A 、B 中恰好有1人被选中的概率．下面的临界值表供参考：)(02k K P ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -的底面A B C D 为菱形，PD ⊥底面A B C D ，2AD =,60DAB ∠=，E 为BC 的中点.（Ⅰ）证明：AD ⊥平面PDE ；（Ⅱ）若2PD =，求点E 到平面PAC 的距离.20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）点(,)(0)A a a a ->在抛物线C 上，是否存在直线:4l y kx =+与抛物线C 交于点,M N ，使得MAN ∆是以MN 为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知()xf x e ax b =--，a b ∈R ，.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在坐标原点处的切线是x 轴，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求ab 的最大值.请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆O 外有一点P ，过点P 作圆O 的切线PM ，M 为切点. 过PM 的中点N 作割线NAB ，交圆O 于A 、B 两点. 连接PA 并延长，交圆O 于点C ，BC MC =. 连接PB 交圆O 于点D .（Ⅰ）求证：△APM ∽△ABP ； （Ⅱ）求证：四边形PMCD 是平行四边形.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为(2,)4π，直线l 的参数方程为32221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l上.(Ⅰ)求点A 对应的参数t ；(Ⅱ)若曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 与曲线C 交于M N 、两点，求MN .24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x x =+（Ⅰ）解不等式14)(--<x x f ，（Ⅱ）已知1(,0)m n m n +=>，若11||()(0)x a f x a m n--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围．。

高三数学下学期模拟卷四文 试题

高三数学下学期模拟卷四文 试题

HY 中学2021届高三数学下学期模拟卷〔四〕文测试范围：学科内综合．一共150分，考试时间是是120分钟第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕1．全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，那么()U A B = 〔 〕 A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}4D ．{}52．在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，那么复数12z z 的一共轭复数的虚部为 〔 〕 A ．32 B ．32-C ．12 D ．12-3．?周髀算经?有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问种日影长为 〔 〕 A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．执行如下图程序框图输出的值是S 〔 〕A ．2021B ．1921C ．215231D ．3575065．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:i x1 i y假设根据表中数据画出散点图，那么样本点i i 都在曲线1y x =+x 值被污损，将方程1y x =+作为回归方程，那么根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为 〔 〕 A ．1.2B ．1.36．以下函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的是 〔 〕 A ．()tan f x x = B ．()sin f x x x =+C ．2()ln2xf x x-=+ D ．()x xf x e e -=-7．变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，假设222x y x k ++≥恒成立，那么实数k 的最大值为 〔 〕 A ．40B ．9C ．8D ．728．12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，假设1OF M △周长为3c a +〔c 为双曲线的半焦距〕，13F MO π∠=，那么双曲线E 的渐近线方程为〔 〕A ．2y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±9．某简单组合体的三视图如下图，那么该几何体的体积为 〔 〕A ．164π+B ．484π+C ．4812π+D ．4816π+10．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,,6BCD BC CD AB ⊥=，假设该三棱锥的外接球的体积为500π3，那么BC CD ⋅的最大值为 〔 〕 A ．252B ．32C ．50D ．6411．在DEF △中，34DB DE =,13DA DF =,4DE =,9cos 16D =，假设DAB △的面积为157sin E = 〔 〕 A 37B ．18C 7D ．3412．假设()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--〔1x >〕恰有1个零点，那么实数a 的取值范围为 〔 〕 A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞ C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．将答案填在题中的横线上．〕13．非零向量a,b ，2||=a ，向量a 在向量b 上的投影为1-，()⊥+a a 2b ，那么=b .14．某中学为了理解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中一共抽取19名学生进展调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,,a b c ，假设圆222:()()A x a y b c -+-=与圆223:()()254B x m y m -+-=外切，那么实数m 的值是 . 15．函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，那么()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．过抛物线2:4G y x =的焦点F 的直线交抛物线自下到上于,A B ，C 是抛物线G 准线上一点，假设2AC AF =-，那么以AF 为直径的圆的方程为 .三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．〔12分〕数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设n b =n a n +，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．〔12分〕中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人理解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了理解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩〔满分是100分〕作为样本，将所得数据进展分析整理后画出频率分布直方图如以下图所示，抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.〔1〕求n的值和估计参赛人员的平均成绩〔保存小数点后两位有效数字〕；〔2〕抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取1人，求这两人恰好都为女士的概率.19．〔12分〕在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.〔1〕求证：DE BC ⊥；〔2〕假设平面ABCD ⊥平面BCE ，2AB =，求点C 到平面BDE 的间隔 .20．〔12分〕12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122F M MF =-，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12. 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设过(0,2)的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅〔其中O 为坐标原点)的取值范围.21．〔12分〕()sin xf x e ax x =-+.〔1〕函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，务实数a 的值.〔2〕当0x ≥时，()1f x ≥，务实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号．22．〔10分〕选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位一样，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π.〔1〕将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的HY 形式； 〔2〕直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．〔10分〕选修4—5不等式选讲〔1〕函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，务实数m 的最小值. 〔2〕正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2021届模拟04文科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】由题可知，{}0,1,2,3,4,5U =,{}0,1,2,3,4A =，{}4,5B =，那么{}()0,1,2,3U A B =，应选B.2．【答案】B 【解析】由题知，1212i,1i z z =-+=+，所以1212i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)22z z -+-+-===+++-，其一共轭复数为13i 22-，故虚部为32-，应选B.3．【答案】B 【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，那么19959()985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺，应选B. 4．【答案】D 【解析】由程序框图知，输出11111324352123S =++++⨯⨯⨯⨯ 111111[(1)()()232435=-+-+-++111111357()]1)2123222223506-=+--=（，应选D. 5．【答案】C 【解析】由表中数据额可得，1y = 1.1+2.1+2.3+3.3+4.2=2.65（），由线性回归方程ˆ1yx =+得， 1.6x =，即10.21 2.2 3.2 1.65x ++++（）=，解得 1.4x =，应选C. 6．【答案】B 【解析】由任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=知()f x 是奇函数，由任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->知()f x 是增函数，因为()tan f x x =在定义域上是奇函数，但在定义域上不是单增函数，故A 错；因为()sin f x x x =+是奇函数，()1cos 0f x x '=+≥，所以在定义域上是增函数，故B 正确；由增性排除C,D.应选B.7．【答案】D 【解析】作出可行域如图中阴影局部所示，设22222(1)1z x y x x y =++=++-表示可行域内点(,)P x y 与点(1,0)A -间隔 的平方减去1，由题知min z k ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线，由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的间隔=，所以2min 712z =-=，应选D.8．【答案】C 【解析】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点，由三角形中位线定理知221||||,//2OM PF OM PF =，由双曲线定义知12||||2PF PF a -=，因为1OF M △周长为111211||||||||||322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+，所以12||||6PF PF a +=，解得 12||4,||2PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，即222(2)(4)(2)242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为2y x =±，应选C.9．【答案】A 【解析】由三视图知，该三视图对应的几何体为如下图的四棱锥P ABCD -和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体，四棱锥可以看成是以两直角边分别为3,4的直角三角形为底面，高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积13的棱锥得到的，故该几何体的体积为22111434431643243ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，应选A.第9题图 第12题图10．【答案】B 【解析】AB ⊥平面BCD ,,AB CD AB BD ∴⊥⊥,BC CD ⊥,∴CD ⊥平面ABC ,∴CD AC ⊥，取AD 的中点为O ，那么12OA OB OC OD AD ====,∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，因为该三棱锥的外接球的体积为500π3，所以该球的半径为5，所以AD =10，在Rt ABD △中，6AB =,∴8BD =,BC CD ⊥,∴22264BC CD BD +==，∴22322BC CD BC CD +⨯=≤，当且仅当BC CD =时，BC CD ⋅取最大值32，应选B.11．【答案】A 【解析】设31,43DB DE DA DF ==，那么,B A 在直线,DE DF 上，且3||||34DB DE ==，1||||3DA DF =，由9cos 16D =得，sin D =，所以1||||sin 2DAB S DA DB D =△1||32DA =⨯||2DA =，所以||6DF =，由余弦定理知，222||||||2||||cos EF DE DF DE DF D =+-229462462516=+-⨯⨯⨯=， 解得||5EF =，由正弦定理得，||||sin sin DF EF E D=，所以6||sin 16sin ||5DF D E EF ===，应选A.. 12．【答案】B 【解析】由()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--(1)x >恰有1个零点，方程ln (1)ln 0ax x e a x x +--=(1)x >恰有1个解，即方程()ln xa x e e x=-+(1)x >恰有1个解，即函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >在(1,)+∞上恰有1个交点，因为2ln 1()ln x g x x-'=，当1x e <<时，()0g x '＜，当x e >时，()0g x '＞，所以()g x 在区间(1,)e 上都是减函数，在(,)e +∞是增函数，当x e =时，()g x 取极小值()g e e =，直线()y a x e e =-+过点(,)e e ，斜率为a ，显然(,)e e 是函数()ln xg x x=(1)x >的图象与直线()y a x e e =-+(1)x >的一个交点，这两个图象不能有其他交点，作出函数ln xy x =(1)x >与()y a x e e =-+的图象，由图可知，当x e ＞时，直线()y a x e e =-+应在函数()ln xg x x=〔1x >〕的图象上方，设()()()ln xx a x e e x e xϕ=--->， 即()0x ϕ<恒成立，因为()0e ϕ=,∴只需()x ϕ为减函数，所以2ln 1()0ln x x a xϕ-'=-≤， 即2ln 1ln x a x -≥恒成立，设2ln 1()()ln x m x x e x-=>，设ln 1t x =-，那么0t >，211()1(1)42t m t t t t ===+++，当且仅当1t t =，即1t =，即ln 11x -=， 即2x e =时，max 1[()]4m t =，所以14a ≥，当0a =时，直线()y a x e e =-+与ln xy x =(1)x >相切，也合适，故满足题意a 的取值范围为1{0}[,)4+∞，应选B.13．【答案】2【解析】()⊥+a a 2b ，∴(2)|20⋅+=+⋅=2a a b a |b a ，∴21||22⋅=-=-b a a ，由向量a 在向量b 上的投影为1-知，1||⋅=-a bb ，∴=-⋅b a b =2 14．【答案】0或者16【解析】由分层抽样方法知，抽样比例为50:1，所以,,a bc 分别为8,6,5，所以圆A 的圆心为〔8,6〕，半径为5，圆B 的圆心为3(,)4m m ，半径为5，由两圆外切知：223(8)(6)554m m -+-=+，解得0m =或者16m =.15．【答案】3(0,]2【解析】由题知，2A =，541264T πππ=-=，所以2T ππω==，解得2ω=，由2sin(2)26πφ⨯+=，||2πφ<，解得6πφ=，所以()2sin(2)6f x x π=+，所以2()()cos22sin(2)cos23sin 2cos2cos 26g x f x x x x x x xπ==+=+311sin 4cos4222x x =++1sin(4)62x π=++，因为04x π<≤，所以74666x πππ+<≤，所以1sin(4)126x π-<+≤，所以130()sin(4)422g x x π<=++≤，所以()g x 在区间[0,)4π的值域为3(0,]2. 16．【答案】22234()()339x y -++=【解析】过A 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，由抛物线定义知，||||AD AF =，因为2AC AF =-，所以点C 在直线l 上，且||2||AC AF =，显然EFC DAC △△∽，所以EF FC DA AC=，即232DA =，所以4||||3FA DA ==，即413A x +=，所以13A x =，所以2343A A y x =-=-，所以FA 的中点即圆心坐标为23(,)33-，所以以AF 为直径圆的方程为22234()()339x y -++=.17．【解析】〔1〕由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a an n+=⨯++， 即113(1)1n n a an n++=++，111,130a a =∴+=≠，10na n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，〔4分〕∴13n na n+=，∴3n n a n n =⨯-；〔6分〕〔2〕由〔1〕知，3nn b n =⨯，〔7分〕∴221323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， ①〔8分〕∴23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ②〔9分〕①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n T n n +++---=++++-⨯=-⨯=--，〔11分〕 ∴1(21)3344n n n T +-=+.〔12分〕18．【解析】〔1〕由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，〔2分〕 ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.〔4分〕×10×40=5， ×10×40=4，〔6分〕设抽取的40人中成绩在[80,90)之间男士为123,,A A A ，女士为12,B B ， 成绩在[90,100]之间的男士为45,A A ，女士为35,B B ，〔7分〕从成绩在[80,90〕,[90,100]的被抽取人员中各随机选取1人，有{1A ,4A },{1A ,5A }，{1A ,3B },{1A ,4B },{2A ,4A },{2A ,5A },{2A ,3B },{2A ,4B },{3A ,4A },{3A ,5A },{3A ,3B }， {3A ,4B },{1B ,4A },{1B ,5A },{1B ,4B },{1B ,3B },{2B ,4A },{2B ,5A },{2B ,4B },{2B ,3B }，一共有20种不同取法，其中选中的2人中恰好都为女士的取法有{1B ,4B },{1B ,3B }，{2B ,4B },{2B ,3B }一共4种不同取法，〔10分〕 应选中的2人中恰好都为女士的概率为41205=.〔12分〕 19．【解析】〔1〕取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ，BCE △为正三角形，∴EO BC ⊥，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥，DO EO O =，∴BC ⊥平面DOE ，∴BC DE ⊥.〔5分〕〔2〕由〔1〕知，DO BC ⊥，平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，〔6分〕 在等边BCE △和BCD △中，3DO OE =，在Rt DOE △中，2222336ED DO EO ++（）（）在DBE △中，22222222(6)1cos 24BD BE DE DBE BD BE +-+-∠==⋅， ∴215sin 1cos DBE DBE ∠=-∠，∴11515222DBE S =⨯⨯△9分〕 设C 到平面DBE 的间隔 为d ，C DBE D BCE V V --=，∴1133DBE BCE S d S DO =⨯△△，即2115123333d ⨯=，解得215d ，∴C 到平面DBE 的间隔 215.〔12分〕 20．【解析】 〔1〕连接2PF ，122F M MF =-，∴122F F F M =，∴2F 是线段1F M 的中点，P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN =， 由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN △周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=， 由离心率为12知，12c a =，解得2,1a c ==，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.〔4分〕（2）当直线l 的斜率不存在时，直线0x =，代入椭圆方程22143x y +=解得y = 此时3OA OB ⋅=-，〔5分〕当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+， 椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，22(34)1640k x kx +++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，那么1221634k x x k +=-+，122434x x k =+， 222(16)44(34)48(41)0k k k ∆=-⨯⨯+=-＞，解得214k ＞〔8分〕 ∴12y y =12(2)(2)kx kx ++=2222121222243212122()44343434k k k k x x k x x k k k -+++=-+=+++， 1212OA OB x x y y ⋅=+222412123434k k k -=+++=2222216121216253344343k k k k k --=-=-++++， 214k ＞，∴2434k +＞，∴2110434k <+＜，∴225250434k <+＜， ∴1334OA OB -⋅＜＜，〔11分〕 综上所述，OA OB ⋅的取值范围为13[3,)4-.〔12分〕21．【解析】〔1〕由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，〔2分〕1=，解得2a=.〔4分〕〔2〕设()()()sin1xh x f x g x e ax x=-=-+-，∴()cosxh x e a x'=-+，〔5分〕设()cosxm x e a x=-+，∴()sinxm x e x'=-，当0x≥时，1xe≥，1sin1x-≤≤，∴()0m x'≥，∴()m x即()h x'在[0,)+∞上是增函数，(0)2h a'=-，〔7分〕当2a≤时，20a-≥，那么当0x≥时，()(0)20h x h a''=-≥≥，∴函数()h x在[0,)+∞上是增函数，∴当0x≥时，()(0)0h x h=≥，满足题意，〔9分〕当2a>时，(0)20h a'=-＜，()h x'在[0,)+∞上是增函数，x趋近于正无穷大时，()h x'趋近于正无穷大，∴存在00,x∈+∞（）上，使()0h x'=，当00x x<<时，()()0h x h x''=＜，∴函数()h x在0(0,)x是减函数，∴当00x x<<时，()(0)0h x h=＜，不满足题意，〔11分〕综上所述，实数a的取值范围为(,2]-∞.〔12分〕22．【解析】〔1〕由2247cos2ρθ=-得，222227cos sin240ρρθρθ-+-=，将222,cos,sinx y x yρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y+=，∴曲线C的直角坐标方程为22143x y+=，〔3分〕由题知直线l的HY参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t是参数〕.〔5分〕〔2〕设直线l与曲线C交点,A B对应的参数分别为12,t t，将直线l的HY参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩〔t是参数〕代入曲线C方程22143x y+=整理得，27180t--=，∴1212187t t t t+=-，〔8分〕∴1224||||7AB t t=-=.〔10分〕23．【解析】〔1〕113,21()3,2231,2x xf x x xx x⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，〔2分〕∴()f x在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数，(2)7,(3)8f f-==，∴()f x在区间[2,3]-上的最大值为8，∴8m≥，∴实数m的最小值为8.〔5分〕〔2〕a b ab+=，0,0a b>>，∴111a b+=，∴22222222211()()22()28b a b aa b a ba b a b a b+=++=+++++≥，当且仅当2222a bb a=且b aa b=，即a b=时，22a b+取最小值8.∴22a b+的最小值为8.〔10分〕。

(优辅资源)广东省汕头高三下学期(4月)模拟考试文科数学试卷 Word版含答案

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2016-2017学年度第二学期汕头市金山中学高三文科数学校模考试卷命题人：刘宜辉第I 卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合()(){}{},|210,|03U R A x x x B x x ==-+≤=≤<，则()U C A B =（ ）A ．()1,3-B ．(][),13,-∞-+∞ C ．[]1,3- D ．()[),13,-∞-+∞2．“23sin =θ”是“3πθ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为（ ）A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 4. 一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5的五个球，从中有放回地每次取一个球，共取3次，取得三个球的编号之和不小于13的概率为（ ）1254.A 1257.B 252.C 254.C5．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．B ．C ．D ．6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）23123.++πA 23213.++πB 2313.++πC 2313.++πD 7、下列四个图中，函数1|1|ln 10++=x x y 的图象可能是（ ）8. 若函数()sin 202y x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象的对称中心在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有一个，则ϕ的值可以是（ ） A ．12π B ．6π C. 3π D ．512π 9.已知二次函数1)12()1(2++-+=x n x n n y ，当n 依次取1,2,3,4,,10⋅⋅⋅⋅⋅⋅时，其图像在x 轴上所截得的线段的长度的总和为（ ） A.1 B ．1110 C.1112 D.121110.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且,B DCD A B B D C D ⊥==，点P 在棱AC上运行，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是A ．B ． C.D ．11．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ．且满足OP FE OE =+，则双曲线的渐近线方程为A 20y ±=B ．20x =20y ±=D ．20x ±=12．已知函数f （x ）=若方程f （﹣x ）=f （x ）有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣e ）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（1，+∞）D ．（e ，+∞）第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作ABCD1A1B1CA)(C1B答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、复数()()2221z a a a a i=-+--的对应点在虚轴上，则实数a的值是.14．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为15．不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：①∀（x，y）∈D，y≥ax；②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a．则实数a的取值范围为．16.已知椭圆1925:22=+yxC，21,FF是该椭圆的左右焦点，点()1,4A,P是椭圆上的一个动点，当1APF∆的周长取最大值时，1APF∆的面积为三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）在ABC∆中，角CBA,,的对边分别为cba,,，且ACacbcoscos332=-．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若角6π=B，BC边上的中线7=AM，求边b．18. （本小题满分12分）如图(1)是一个水平放置的正三棱柱111CBAABC-，D是棱BC 的中点．正三棱柱的正（主）视图如图(2)．⑴求正三棱柱111CBAABC-的体积；⑵证明：11//ADCBA平面；⑶图(1)中垂直于平面11BBCC的平面有哪几个？（直接写出符合要求的所有平面即可，不必说明或证明）19．（本小题满分12分）某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a ，若某住户某月用电量不超过a 度，则按平价(即原价)0.5(单位：元/度)计费；若某月用电量超过a 度，则超出部分按议价b(单位：元/度)计费，未超出部分按平价计费．为确定a 的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图解答以下问题(同一组数据用该区间的中点值作代表)．(1)若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a ； (2)在(1)的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a 度的住户用电量保持不变，月用电量超过a 度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量； (3)在(1)(2)条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b. 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点()1,0F ，直线:1l x =-，动直线l '垂直l 于点H ，线段HF 的垂直平分线交l '于点P ，设点P 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）以曲线C 上的点()()000,0P x y y >为切点作曲线C 的切线1l ，设1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，且1l 恰与以定点()(),02M a a >为圆心的圆相切，当圆M 的面积最小时，求ABF ∆与PAM ∆面积的比.21．已知函数．（1）求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（2）设G （x ）=xf （x ）﹣lnx ﹣2x ，证明．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22、已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点()1,0M ,倾斜角为.6π （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A,B 两点，求MA MB +. 选修4-5：不等式选讲23、已知函数()2,f x x a a a R =-+∈，()21g x x =-．(1)若当()3g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值； (2)若不等式()()3f x g x -≥有解，求a 的取值范围．2016-2017学年度第二学期汕头市金山中学高三文科数学校模拟考答案二、填空题：13. 0或2 14.1 15. [﹣2，1] 16. 556 三、解答题：17.解：（I ）在ABC ∆cos cos CA =，∴(2)cos cos b A C =，∴2sin cos cos cos )B A A C C A A C B =+=+=，∴cosA = ∴6A π=．（Ⅱ）∵6A B π==，∴2,3a b C B A ππ==--=，∵BC 边上的中线AM =∴在ACM ∆中，由余弦定理可得：2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅，即：22127()2cos 223b b b b π=+-⨯⨯， ∴整理解得2b =．18.解：依题意，在正三棱柱中，3=AD ，31=AA ，从而2=AB ……2分，所以正三棱柱的体积121AA AD AB Sh V ⨯⨯⨯==……4分，3333221=⨯⨯⨯=……5分． ⑵连接C A 1，设E AC C A =11 ，连接DE ……6分，因为C C AA 11是正三棱柱的侧面，所以C C AA 11是矩形，E 是C A 1的中点……7分，所以DE 是BC A 1∆的中位线，B A DE 1//，因为1ADC DE 平面⊂，11ADC B A 平面⊄，所以11//ADC B A 平面…9分． ⑶平面ABC 、平面111C B A 、平面D AC 1……12分（每对个给1分）． 19. 解析 (1)由频率分布直方图，可算得各组数据对应的频率及频数，如下表： 频数由表可知，区间0.7 (3)分(2)由(1)知，月用电量在[0，80)内的70户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变，节电量为0度；月用电量在[80，100)内的25户住户，平均每户用电90度，超出部分为10度，根据题意，每户每月节电10×60%＝6度，25户每月共节电6×25＝150度；月用电量在[100，120]内的5户住户，平均每户用电110度，超出部分为30度，根据题意，每户每月节电30×60%＝18度，5户每月共节电18×5＝90度． 故样本中100户住户每月共节电150＋90＝240度，用样本估计总体，得全市每月节电量约为240×200 000100＝480 000度． …………8分(3)由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不发生改变，故“超出部分”对应的总电费也不变．由(1)(2)可知，在100户住户组成的样本中，每月用电量的“超出部分”共计10×25＋30×5＝400度，实行“阶梯电价”之后，“超出部分”节约了240度，剩余160度，因为“阶梯电价”前后电费总额不变，所以400×0.5＝160×b ，解得b ＝1.25. …………12分 20. 解（1）由题意得，点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分 点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，点的轨迹的方程为…4分（2）由24y x =，当0y >时，y y '=∴=∴以P 为切点的切线1l的斜率为k =∴以()()000,0P x y y >为切点的切线为)00y y x x -=- 即200014y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得2100:420l x y y y -+=…………6分 令则， 令则，……7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．∴当时，满足题意的圆的面积最小．………9分∴，．，．……………11分∴．△与△面积之比为．………………12分21.解：（1），且，所以切线方程，即．……3分（2）证明：由G（x）=xf（x）﹣lnx﹣2x（x＞0），．，所以G'（x）在（0，+∞）为增函数， (5)分又因为G'（1）=e﹣3＜0，，所以存在唯一x0∈（1，2），使，…………6分即，且当x∈（0，x0）时，G'（x）＜0，G（x）为减函数，x∈（x0，+∞）时G'（x）＞0，G（x）为增函数，所以，x0∈（1，2），记，（1＜x＜2），，所以H（x）在（1，2）上为减函数，所以，所以．…………12分22. （1）对于C：由2224cos4cos4x y xρθρρθ==∴+=得，……2分对于:l有()1212xty t为参数⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……4分（2）设A,B 两点对应的参数分别为12,t t将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程2240x y x +-=得2211+410242t t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得230t --= ……6分121212123t t t t MA MB t t t t ∴+==-∴+=+=-==……10分23.解：(1)当3g x ≤（）时，|2|13x -≤，求得3213x -≤-≤，即12x -≤≤．......（2分） 由6f x ≤（）可得||26x a a -≤-，即 626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤ (3)）根据题意可得，31a -≤-，求得2a ≤，故a 的最大值为2．…………………（5分）(2) ()()221||||f x g x x a x a -=---+ 2212|||||2|11||x a x x a x a ---≤--+≤-，221|||||1|x a x a a a ∴---+≤-+…………………………………（7分）不等式()()3f x g x -≥有解，||13a a ∴-+≥，…………………………………（8分） 即13a a -≥-或13a a -≤-解得：2a ≥或空集，即所求的a 的范围是[2)+∞，．……10分。

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江西省新余市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，向量与的夹角为，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，则被3除的余数为（）A．3B．2C．1D．0第(3)题已知函数，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题集合＝（）A．B．C．D．第(5)题三位四进制数中的最大数333等于十进制数的是（）A．63B．83C．189D．252第(6)题在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（）A．B．C．D．第(7)题若半径为的小球可以在棱长均为的四棱锥内部自由转动，则的最大值为（）A．B．C．D．第(8)题已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（）A．B．C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设函数，下列说法正确的是（）A ．当时，的图象关于直线对称B ．当时，在上是增函数C．若在上的最小值为，则的取值范围为D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为第(2)题已知函数，则（）A．当时，恒成立B ．当时，是的极值点C．若有两个不同的零点，则的取值范围是D ．当时，只有一个零点第(3)题如图，在正方体中，，分别为边，的中点，点为线段上的动点，则（）A．存在点，使得平面B．存在点，使得平面C．对任意点，平面平面D．对任意点，平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若集合，，则_________.第(2)题在的展开式中，含的项的系数是___________，常数项是___________.第(3)题太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆和两个对称的半圆弧组成的，线段过点且两端点分别在两个半圆弧上，是大圆上一动点，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．(1)求证：平面；(2)求点到平面距离．第(2)题随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？第(3)题如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.(1)证明：；(2)若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.第(4)题还原糖不达标会影响糖果本身的风味，同时还原糖偏高又会使糖果吸潮，易使糖果变质，不耐贮存，影响糖果的质量.还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等.现采用碘量法测定还原糖含量，用0.05mol/L硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液，记录耗用硫代硫酸钠的体积数（mL），试验结果见下表.葡萄糖溶液体积24681012硫代硫酸钠体积0.902.503.504.706.007.24参考数据217.2824.84364(1)由如图散点图可知，与有较强的线性相关性，试求关于的线性回归方程；(2)某工厂抽取产品样本进行检测，所用的硫代硫酸钠溶液大约为2.90mL，则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液?附：回归方程中，，.第(5)题如图所示，在等边中，，，分别是，上的点，且，是的中点，交于点．以为折痕把折起，使点到达点的位置（），连接，，．(1)证明：；(2)设点在平面内的射影为点，若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．。

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江西省新余市2024高三冲刺（高考数学）人教版质量检测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设函数一定正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知数列满足，对于任意的且，都有，则（）A．B．C．D．第(3)题已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（）A．16B．12C．10D．8第(4)题已知集合，，则A．B．C．D．第(5)题复平面内复数满足，则的最小值为（）A．1B．C．D．3第(6)题从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（）A．，B．，C．，D．，第(7)题①对具有线性相关关系的变量，，其回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是；下列说法中正确的个数有（）②某校共有学生1003人，用简单随机抽样的方法先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取为20人，则每个学生被抽到的概率③若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立；为；④若随机变量，满足，则.A ．1B ．2C ．3D ．4第(8)题波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，两点在轴上，以为直径的圆与抛物线：交于点，.已知是方程的一个解，则点的坐标为（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知抛物线的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）A ．的准线方程为B ．周长的最小值为C．直线的倾斜角为D ．四边形不可能是平行四边形第(2)题设P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，点M 在线段PO 上，且，是底面圆的内接正三角形，AD 为底面圆的直径，，，则（ ）A ．平面POCB．直线PD 与OC 所成角的余弦值为C ．在圆锥侧面上，点A 到PD 中点的最短距离为D ．三棱锥外接球的表面积为第(3)题已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的有（ ）A ．是周期函数B ．满足C ．在上单调递减D．是满足条件的一个函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数，满足不等式组，则的最大值为______．第(2)题若，则的最大值为______，的最小值为______．第(3)题二项式的展开式的常数项是____ ．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．第(2)题如图椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．过椭圆的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于C ，D 两点，并与y 轴交于点M ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，直线AD 与直线BC 交于点N ．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，当点M异于A，B两点时，求证：为定值．第(3)题已知函数．（1）求的对称轴；（2）在中，已知，，，求.第(4)题已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．(1)求椭圆的标准方程；(2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．第(5)题在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度（单位：，得到如下的样本数据的频率分布直方图.(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.。

江苏省苏州市2024高三冲刺(高考数学)统编版模拟(培优卷)完整试卷

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江苏省苏州市2024高三冲刺（高考数学）统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(2)题某同学制作了一个工艺品，如图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一截面圆的周长为，则原来被截之前的球的表面积为（）A．B．C．D．第(3)题设集合，集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(5)题设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（）A．B．C．D．第(6)题菠萝眼常有两种剔除法：用图甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线现有一个波萝准备去眼，假设：该菠萝为圆柱体，菠萝有个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上如图甲若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为，且侧棱与底面成夹角的正四棱锥若使用三角刀，可挖出根螺纹条，其侧面展开图如图丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼，的距离为若将根螺纹条看成个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为，顶角为，则当菠萝眼的距离接近于（）时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多参考数据：A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（）A．双曲线的方程为B．若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为C．D．过点作垂直的延长线于H，则第(2)题已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是（）A．-1B．C．D．2第(3)题已知椭圆方程为，则下列说法错误的是（）．A．B．存在m值使椭圆的离心率C．椭圆的焦距不确定D．椭圆的焦点在y轴三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若，则_____．第(2)题有一张面积为的矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外接球的表面积为___________.第(3)题在的展开式中，的系数为_________．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值.第(2)题在平面四边形中，，，，内角与互补，若平分，求的长.第(3)题已知双曲线C：的离心率为，A，B分别是C的左､右顶点，点在C上，点，直线AD，BD与C的另一个交点分别为P，Q．(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线PQ经过定点．第(4)题某工厂对一批产品的质量进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图.已知样本中产品净重小于100克的个数是36个.（I）求样本中净重在（克）的产品个数；（II）若规定净重在（克）的产品为一等品，依此抽样数据，求从该工厂随机抽取的3个产品中一等品个数的分布列和数学期望.第(5)题在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，已知a1+a2=a3，3a2﹣a5=1，b2=a1a4，b2+b5=36.（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n.。

江西省南昌市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(培优卷)完整试卷

江西省南昌市2024高三冲刺(高考数学)统编版摸底(培优卷)完整试卷

江西省南昌市2024高三冲刺（高考数学）统编版摸底(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.则下列选项错误的是（）A．清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B．清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半第(2)题已知集合，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（）A．B．C．D．第(3)题甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（）A．B．C．D．第(4)题直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为( )A．B．C．D．第(5)题已知集合，若，则（）A．B．0C．2D．4第(6)题复数，则A．B．C．D．第(7)题设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（）A．11B．12C．20D．22第(8)题不等式的解集为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（）．A．B．C．当或6时，取得最大值为30D．数列与数列共有671项互为相反数第(2)题设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（）A．B．C．D．第(3)题给出下列说法，其中正确的是（ ）A．若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等D．经验回归直线恒过样本点的中心（），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，则的最小值为___．第(2)题将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为______，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为_______.第(3)题曲线（t为参数）的焦点坐标是______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数,.（1）求函数的单调递减区间；（2）设，.①求证：函数存在零点；②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.第(2)题在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，.(1)求的面积；(2)若是边上一点，且，求的长.第(3)题设函数（为自然对数的底数，）.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；（3）若函数有且仅有个不同的零点，且，，求证：.第(4)题在①数列是各项均为正数的递增数列，，且，，成等差数列；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：设数列的前项和为，________________．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）第(5)题若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.。

2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学(四) 解析版

2021届高三第二次模拟考试卷 文科数学(四) 解析版
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数 ，则 （）
A．2B． C．1D．
2．已知全集 ，集合 ， 是 的子集，且 ，则下列结论中一定正确的是（）
A． B． C． D．
3．已知等比数列 的前n项和为 ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
【解析】（1）由题意知
．
令 ， ，则 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ， ，即 或 ， ．
又 为锐角三角形，故 ，
因为 ，所以由正弦定理可知， ， ．
所以
．
因为 是锐角三角形，所以 ， ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ．
19．【答案】（1）茎叶图见解析，男： ，女： ；（2）列联表见解析，有90%把握认为；（3） ．
2021届高三第二次模拟考试卷
文科数学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
故选B．
3．【答案】D
【解析】 ，例如 ，但是数列 不单调递增，故不充分；
数列 单调递增，例如 ，但是 ，故不必要，
故选D．
4．【答案】C
【解析】当输入 时，则 ， ， 成立；
当输入 时，则 ， ， 成立；
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高三下期文科数学培优材料（四）
2010.4.9
1．设Q P c Q b P ⊆==},2,1,{},1,{，若}9,8,7,6,5,4,3,2{,∈c b ，则b=c 的概率为（ ）
A ．8
1 B ．41 C ．21 D ．4
3 2．已知y x ,满足条件323005+++=⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-x y x z x y x y x 则的最小值为（ ） A ．
4 B ．613 C ．31 D ．3
2- 3．已知函数x x g x x x f sin 2)(,cos sin )(=+=，动直线t x =与)()(x g x f -的图象分别交于点P 、Q 两点，则|PQ|的取值范围为（ ）
A ．)1,0[
B ．)2,0[
C ．]2,0[
D ．]2,1[
4．已知c 为线段AB 延长线上一点，P 为直线AB 外一动点，满足a 2||||=+，c PB PA 2||=-，||||PB PC PB PA PC AP =，I 为PC 上一点，且
)0||||(
>++=λλAP AC |
|BA ） A ．a B ．－a C ．c a - D ．a c -
5．已知点M 是抛物线x y 42=的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C 22)1()4(-+-y x =1
上，则||||MF MA +的最小值为_________
6．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=3，
PB=2，PC=1，设M 是底面ABC 内一点，定义
),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别是三棱锥M —PAB 、三
棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的体积，若),,21()(y x M f =，且
81≥+y
a x 恒成立，则正实数a 的最小值为_________。

7．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且4sin ,3cos ==A b B a 。

（1）求边长a ；
（2）若△ABC 的面积S=10，求△ABC 的周长l 。

8．已知数列}{n a 为等差数列，设n n n x a x a x a x f +++= 221)(，其中n 为正偶数，且
,)1(,)1(2n f n f n n =-=
（1）求数列}{n a 的通项公式
（2）证明：
)3(3)2
1(45≥<<n f n
9．设j i R y x ,,,∈为直角坐标平面内y x ,轴正方向上的单位向量，若向量
y x )2(++=，y x )2(-+=，且8||||=+。

（1）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；
（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设+=，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

10．如图（a ）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，︒=∠60DAB ，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，（如图（b ））。

（1）求三棱锥P —DCE 的外接球的表面积；
（2）求D 、P 两点之间的球面距离；
（3）已知△ABC 的重心M 是其三条中线的交点，且点M 分每一条中线的比为2:1，并有关系式)(31OC OB OA OM ++=
（O 为空间中任一点）。

类比三角形猜测三棱锥中是否有类似的“重心”和性质？并说明理由。

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