函数导学案

集合与函数的概念导学案
一、集合有关概念 1、集合：（原始概念）具有某种共同特征的事物的全体 2、元素：确定性；互异性；无序性。

二、集合与集合的关系
1、子集：若
，则
；
若集合中元素个数为 2、真子集：
，且
中至少有一个元素不属于
； 若集合中元素个数为真子集为
个
3、空集：
(1)是任何集合的子集； (2)是任何非空集合的真子集。

例、求满足
的集合有___________个；满足
的集合有___________个。

三、集合的运算及运算律 1、交集： 2、并集：
3、补集： a 、交换律： b 、结合律：；
四、求函数的定义域：
示例：求函数y ＝4－x 2＋
1
x －1
的定义域 五、求函数的值域与最值： 示例：求下列函数的值域：
①y ＝2x ＋1，x ∈{1，2，3，4，5} ②y ＝x 2－2x －3，x ∈[0，3]
③y ＝2x －x ＋1 ④y ＝1
x 2－2x ＋3
六、求函数的解析式：
示例：若f (x )为二次函数，且f (0)＝2，f (2－x )－f (x )＝0，f (1)＝－2，求f (x )的解析式 解：∵f (x )为二次函数，∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ∵f (0)＝2，f (2－x )－f (x )＝0，f (1)＝－2， ∴c ＝2，a ＋b ＋c ＝－2，∴a ＋b ＝－4，
ax 2＋bx ＋c ＝a (2－x )2＋b (2－x )＋c ， ∴b ＝－2a ， ∴a ＝4，b ＝－8，
∴f (x )＝4x 2－8x ＋2 (待定系数法) 已知f (x ＋1 )＝x ＋3，求f (x )的解析式子 （换元法）
解：令x ＋1＝t ，则t ≥1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋3＝t 2－2t ＋4，t ≥1， ∴f (x )＝x 2－2x ＋4，x ≥1，
七、判断、证明函数的单调性
判断函数y ＝x ＋1
x －1
的单调性，证明你的结论
解：函数y ＝x ＋1
x －1
在区间(1，＋∞)递数，在区间(－∞,1) 递数
任取x 1，x 2 ∈(－∞，1), x 1＜x 2，y 1－y 2＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)
(x 1－1)(x 2－1)，
∵x 1，x 2∈(1，＋∞)，∴x 1－1＞0，x 2－1＞0，又∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，
∴f (x )＝x ＋1
x －1
在区间(1，＋∞)上是减函数．
八、判断函数的奇偶性：
示例；判断下列函数的奇函数：①f (x )=x 3＋5x ②f (x )=|x |(x 2＋1) ③f (x )=1－x 2＋x 2－1 方法：①先求函数定义域，并判断定义域是否关于数“0”对称；
②计算f (－x )，
③根据f (－x )与f (x )的关系判断函数的奇偶性
已知函数f (x )=(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3是偶函数,则m ＝___________． 九、作函数的图象：
示例：作下列函数的单调性，并根据函数图象说出函数的值域，单调区间 ①f (x )=2x ＋1 ②f (x )=x 2＋3x －4 ③y ＝|x －2|＋|2x ＋3| ④y ＝|x |(x ＋1)
十、函数性质的应用：
示例：偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ，求当x ＜0时， f (x )的解析式 解：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ，
∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝x 2＋x ， ∴当x ＜0时， f (x )＝x 2＋x
定义在(－1，1)上的奇函数f (x )，若f (x )在(－1，1)上递减，若f (2a －1)＋f (a －1)＞0，
求实数a 的取值范围
解：∵f (x )为奇函数，∴f (2a －1)＋f (a －1)＞0可化为f (2a －1)＞－f (a －1)＝f (1－a )
∵f (x )在(－1，1)上递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜2a －1＜1，－1＜1－a ＜1，2a －1＜1－a ．
∴0＜a ＜2
3
奇函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，判断f (x )在区间(0, ＋∞)上的单调性，并证明
解：f (x )在区间(0, ＋∞)上的单调递增
任取x 1，x 2 ∈(0, ＋∞), x 1＜x 2，则－x 1，－x 2∈ (－∞，0),－x 1＞－x 2， ∵f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，∴f (－x 1)＞f (－x 2)， ∵f (x )为奇函数，∴－f (x 1)＞－f (x 2)，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在区间(0, ＋∞)上的单调递增
十一、判断一个对应是否是映射？
判断下列映射是不是集合A 到集合B 的映射;
①A ={1，2，3}，B ={1，4，5，6}，对应法则f :求平方．
②A ={1，2，－1，－2}，B ={1，－1，2，－2}，对应法则f :求平方根． ③A ={1，2，3}，B ={1，3
2，3
3}，对应法则f :求立方根． ④A ={0，1，2，
3}，B ={0，1，12，1
3}，对应法则f :求倒数．
判别方法：Ａ中的每一个元素在f 下，在Ｂ中都有惟一的元素与之对应
训练案
1、设全集U R =，集合2
{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是（ ）
A. P=M
B. P M ⊆
C. M P ⊆
D. ()U C M P =∅
2、已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}
2
|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）
图是 ( )
3、设集合22
{|},{|}A s s t B t s t ====，则下列关系正确的是( ) A ．A B ⊆ B. A B = C. A B B =
Ｄ.
A B B =
二、填空题
4、集合{}0,2,A a =,{}
2
1,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为
_________．
5、设集合{(,)|46},{(,)|327}A x y x y B x
y x y =+=
=+=，则满足()C A B ⊆ 的集合C 是__________-
6、函数2(),()21,f x x g x x ==-则(0)g =__________; [(0)]f g =__________; 三、解答题
7、（共30分）
(1)求下列函数的定义域。

(每小题5分，共15分)
①1()2f x x =- ②0
()f x =
③()f x =
8、设集合22
{|20},{|220}A x x x B x x kx =--==-+=,若A B A = ，求实数k 的取值范围。