8、如图,在平行四边形ABCD中,(提示：平行四边形对边相等且平行)
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习(答案解析)
一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒A解析：A【分析】 由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24C解析：C【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．3．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =（ ）A ．6B ．12C ．15D ．30C解析：C【分析】 延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得222462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．【详解】解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，ADG ABE(SAS)∴△≌△，,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒，GAF=EAF ∴∠∠，又AF=AF ，AFG AEG ∴△≌△(SAS)，EF=FG ∴，设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，()()22246=2x x ∴+-+，解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522∴⨯⨯△△， 故选：C ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.4．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°A解析：A【分析】 根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．【详解】 解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B +∠D ＝100°，∴∠B ＝12×100°＝50°， 故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．5．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205B解析：B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．6．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A ．3B ．23C ．33D ．43D解析：D【分析】 根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；【详解】如图，AC 与BD 相较于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，∴AC BD ⊥，2AO =，又∵∠ABC=60゜，∴30ABO ∠=︒，∴24AB AO ==，∴224223BO =-=，∴243BD BO ==；故选D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．8．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．10．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=A 解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．8【分析】过点A 作AM ⊥BC 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N 证明△AFN ≌△BFE 得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90解析：8【分析】过点A 作AM ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，证明△AFN ≌△BFE ，得出AN=BE=3，再利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵DE BC ⊥，∴∠C+∠BFE=90，∠B+∠BFE=90°，∵∠BFE=∠AFD ，∠B=∠C ，∴∠BFE=∠AED=∠CDE ，∴AD=AF ，过点A 作AM ⊥BC ，在△ABC 中，∵AB=AC ，∴M 为BC 的中点，∴BM=12BC =6， 在Rt △ABM 中，AM=2222106AB BM -=-=8∵F 为AB 中点，FE ⊥BC ， ∴FE 为△ABM 的中位线，BF=AF=12AB =5， ∴AD=AF=5，BE=132BM =， 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，∵AF=BF ，∠AFN=∠BFE ，∠ANF=∠BEF=90°，∴△AFN ≌△BFE ，∴AN=BE=3，在Rt △AND 中，DN=2222534AD AN -=-=，∵AD=AF ，AN ⊥DF ，∴DF=2DN=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正确作出辅助线是解题的关键．12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD的长根据两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=12×6=3，∵AB＝5，由勾股定理得：224AB OA-=，∴BD=2OB=8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．13．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．14．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2×2=14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a．【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．【详解】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，A，∵点()9,9AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，⊥，∠EAD=90°，∵AB AC∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，=，AE=AD，∵AB AC∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-a，∴CD=9-a，OC=OD+CD=9+9-a=18-a，故答案为：18-a．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．17．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．18．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若1DE=，则BF的长为__________．【分析】连接FE根据题意得CD=2AE=设BF=x则FG=xCF=2-x 在Rt△GEF中利用勾股定理可得EF2=（-2）2+x2在Rt△FCE中利用勾股定理可得EF2=（2-x ）2+12从而得到关于 解析：51-【分析】连接FE ，根据题意得CD=2，AE=5，设BF=x ，则FG=x ，CF=2-x ，在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2=（5-2）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2=（2-x ）2+12，从而得到关于x 方程，求解x 即可．【详解】解：连接EF ，如图，∵E 是CD 的中点，且CE=1∴CD=2，DE=1∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2∴2222215AD DE +=+设BF=x ，由折叠得，AG=AB=2，FG=BF=x ，∴52，在Rt △GFE 中，2222252)EF FG GE x =+=+在Rt △CFE 中，CF=BC-BF=2-x ，CE=1∴22222(2)1EF FC CE x =+=-+∴222252)(2)1x x +=-+解得：=51x ，即51,51【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝42，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为_____．【分析】连接CE过点C作交AB的延长线于点H设AE=x则BE=8-xCE=AE=x在根据勾股定理即可得到x的值【详解】如图：连接CE过点C作交AB的延长线于点H平行四边形ABCD中设AE=x则BE=解析：20 3【分析】连接CE，过点C作CH AB，交AB的延长线于点H，设AE=x，则BE=8-x，CE=AE=x，在根据勾股定理，即可得到x的值．【详解】如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，平行四边形ABCD 中，135,2ABC AD ∠=︒=45,2CBH BC ∴∠=︒=90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ，则BE=8-x ，EF 垂直平分AC ，CE AE x ∴==， 在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，()222484x x ∴+-+=， 解得：203x =， AE ∴的长为203， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE BF =，连接AE ，CF ．（1）求证：E F ∠=∠；（2）连接AF ，CE ，当BD 平分ABC ∠时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．解析：（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD=CB ，AD ∥BC ，从而可以得到∠ADE=∠CBF ，然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ，从而得出结论；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ADE=∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，AD CB ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴∠E=∠F ；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴AB=AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，∵DE=BF ，∴OE=OF ，又∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．解析：（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒 【分析】 （1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t ＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN ，当N 从C 运动到D 时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t ，∵BM 2=BN 2=NH 2+BH 2=122+（16-2t ）2，∴（16-t ）2=122+（16-2t ）2，即3t 2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．解析：（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴AP=2253-=4，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．24．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．解析：证明见解析．【分析】连接AC ，证ABE ACF ≌即可【详解】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．∵60B ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴ABE ACF ≌．∴AE AF =．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 25．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．（1）求证：AM ∥CN ；（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB CD =．∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点，∴12CM CD =，1AN AB 2=． ∴CM AN =．又∵AB ∥CD ， ∴四边形ANCM 是平行四边形∴AM ∥CN ．（2）设BH 与CN 交于点E ，∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，∴BH ⊥CN ，∵N 是AB 的中点，∴EN 是△BAH 的中位线，∴BE=EH ，∴CN 是BH 的垂直平分线，∴CH=CB ，∴△BCH 是等腰三角形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 26．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC． 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形． （2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC ．如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ， ∴2DD a OC a'='=2． 【点睛】 本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．27．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案解析：（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．28．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．解析：（1）见解析；（2）CE=CF ，理由见解析；（3）522【分析】（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；（2）证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =，AH=BG ，再证明△DHG 是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG ，最后由BEFG 是正方形可得结论；（3）分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可．【详解】解：（1）证明：90BEC =︒∠，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ， BE BG ∴=，90EBG ∠=︒，90BGA ∠=︒，则90BGF ∠=︒，90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BEFG 是正方形；（2）CE CF =，理由如下：过D 点作DH AF ⊥，垂足为H ，如图，四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，90BGA ∠=︒，90DAH BAG ∴∠+∠=︒，90BAG ABG ∠+∠=︒，DAH ABG ∴∠=∠，在Rt ADH 和Rt BAG 中，90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ，DH AG ∴=，∵∠DGH =180°-∠AGD =45°∴在Rt △DHG 中，∠GDH =45°∴DH =GH =AG∴1122AG GH AH BG === 又AG CE =，EF BG =，2EF CE ∴=，CE CF ∴=；（3）①点F 在AB 右侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．设正方形BEFG 的边长为x ，则BE x =，17CE x =-，在Rt BEC △中，13BC =，根据勾股定理可得，222BE CE BC +=，即222(17)13x x +-=，解得112x =，25(x =不符合条件，舍去)，即12BG BE ==，17125AG CE ==-=，∵四边形BEFG 是正方形，∴∠BAD =90°．∵DK ⊥AG ，∴∠K =90°．∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°∠ADK +∠KAD =90°∴∠BAG =∠ADK在Rt △ABG 和Rt △DAK 中，90G K AB ADBAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以Rt△ADK≌Rt BAG，则AK=BG=12，DK=AG=5，∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF∴FK=AG=5在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF=2252+=DK FK②点F在AB左侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．方法同①，可得FK=AG=12，在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF22122+=DK FK综上所述，DF的长为522【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．。
【初二数学】八年级春季班-10-平行四边形判定及综合-学生版
八年级下学期春季班（学生版）最新讲义本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形，以及利用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运用判定定理．平行四边形判定定理①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定及综合内容分析知识结构模块一：平行四边形判定知识精讲【例1】 判断题：（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（ ） （2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）（3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ ）（4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形 （）【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 是对角线BD 的三等分点．求证：四边形AECF 是平行四边形（请用两种方法证明）． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，Y ABCD 中，AF =CE ，MF ∥NE .求证：EF 和MN 互相平分． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D ．从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形?请具体写出这些组合． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDEMFNA BCDEF【例5】 已知：AC 是Y ABCD 的一条对角线，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，垂足分别是M 、N ．求证：四边形BMDN 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12BC ，点E 是BC 的中点， 求证：AB ∥DE ，∠C =∠AEB ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，在Y ABCD 中，∠DAB =60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE =AD ，CF =CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的∠DAB =60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知在Y ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，BE =DF ，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG =CH ，联结GE ，EH ，HF ，FG ，求证：四边形GEHF 是平行四边形．若G 、H 分别在线段BA ，DC 上，其余条件不变，则（1）结论否成立? （说明理由）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDE A BCDEF G H【例9】 如图所示，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 、CF ⊥AD ，DN =BM ．求证：EF 与MN 互相平分． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】 如图，过Y ABCD 的顶点A 的直线l （形外），分别过B 、C 、D 作直线l 的垂线，E 、F 、G 为垂足．求证：CF =BE +DG ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别在BC 、AD 上，且BE =13BC ，DF =13AD ，AE 、CF 分别交BD 于点M 、N ，求证：四边形AMCN 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，BF ⊥AC 于F ，CG ⊥BD 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDE FGLA BCDEF M N OPN M BCAEFABCD【例13】 如图，以△ABC 的三边分别作等边△DAC 、△ABE ，△BCF ，求证：四边形ADFE是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】 已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH ∥AB ，交BC 于H ． 求证：CE =BH ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例15】 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P ．求证：∠BPM ＝45°． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例16】 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEF【例17】 如图所示，平行四边形ABCD 中，∠BAD 的角平分线AF 交BC 于E ，交DC 的延长线于点F ，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连接DB 、DG ，求∠BDG 的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例18】 在Y ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 点任意作两条直线交Y ABCD的AB 、CD 边于E 、F ，交BC 、DA 边于G 、H ，那么四边形EGFH 是什么图形?证明你的结论． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 如图，Y ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BC =2AB ，M 是BC 的中点． 试求∠EMC 与∠BEM 的数量关系． 【难度】★★ 【答案】 【解析】模块二：综合题例题解析ABCDEFG A BC DE M【例20】 平面直角坐标系中有三点A （2，1），B （3，1），C （4，3），求平面内第四点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 已知平面内有两点A （1-，0）B （3，0）P 点在y 轴上，M 点在直线1y x =-上，若以A 、B 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求M 点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =63，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，顶点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，联结PQ ，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t 秒 （t ≥0）．（1） 直接用含t 的代数式分别表示：BQ =___________，PD =__________；（2） 是否存在t 的值，使四边形PDBQ 是平行四边形?若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】AB CDPQ【例23】 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是平行四边形，点A 的坐标为(34)-，，点C 在x 轴的正半轴上，且OA =OC ，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）联结BM ，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 直线3-6y x =+与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△APQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当63S =时，求出点Q 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】xA OQPB y【例25】 已知：反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，其中一次函数的图形经过点 ()()1a b a b k ++，和，．（1）求反比例函数的解析式；（2）已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A 、P （2，0），平面内存在一点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形，求Q 点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例26】 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB =BC ，6AB =，60B MAN ∠=∠=︒．绕顶点A 逆时针旋转MAN ∠，边AM 与射线BC 相交于点E （点E 与点B 不重合），边AN 与射线CD 相交于点F ．（1）当点E 在线段BC 上时，求证：BE CF =；（2）设BE x =，ADF △的面积为y ．当点E 在线段BC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）联结BD ，如果以A 、B 、F 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A M ND CBEFACB （备用图）【例27】如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以P A、PC为邻边作平行四边形P ADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，联结DE．（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系?请选择其中的一个图形证明你的猜想；（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论?请直接写出．【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测【习题1】若AD是△ABC的中线，延长AD到E使DE=AD，联结BE、CE，那么四边形ABEC 是_____四边形．【难度】★【答案】【解析】11/ 1812 / 18【习题2】 如图，直线l 与双曲线交于A 、C 两点，将直线l 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α≤45°），与双曲线交于D 、B 两点，则四边形ABCD 的形状一定是_______________________， 理由是________________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A ．两组角分别相等的四边形B ．平行四边形C ．对角线互相垂直的四边形D ．对角线相等的四边形【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题4】 已知四边形ABCD 的对角线相交于O ，给出下列5个条件①AB ∥CD ，②AD ∥BC ，③AB =CD ，④∠BAD =∠DCB ，从这四个条件中任选2个一组，能推出四边形ABCD 为平行四边形的有（ ） A ．6组 B ．5组C ．4组D ．3组【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图，在Y ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上点，AE =CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点，求证：四边形ENFM 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDxyl OAB CDEFM N13 / 18【习题6】 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，ED ∥BC ，EF ∥AC ，求证：EB =FC ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 如图，四边形EFGH 是平行四边形ABCD 的内接平行四边形，即顶点E 、F 、G 、H 分别在平行四边形ABCD 的四边上．求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 如图，在Y ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ． 求证：四边形AECF 是平行四边形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 已知平行四边形ABCD 和平行四边形DCFE ，求证：ADE BCF ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDEFABCDEFGHABC DE FABCD EF14 / 18【习题10】 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB >，A B ∠∠、的平分线交于点E ，D C ∠∠、的平分线交于点F ，联结EF ．求证：EF BC AB =-．【难度】★★【答案】 【解析】【习题11】 如图，在四边形ABCD 中，//AD BC 且AD BC >，6BC cm =，点P Q 、分别从A C 、同时出发，点P 以1/cm s 的速度由A 向D 运动，点Q 以2/cm s 的速度由C 向B 运动，几秒时，四边形ABQP 是平行四边形?【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题12】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3, 0)，点B 的坐标为A (0, 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为平行四边形，且BC =BD ，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDEF ADCB PQ ABOxy【习题13】如图所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC边的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少?【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（）A．1:2:3:4B．2:2:3:3C．2:3:2:3D．2:3:3:2.【难度】★【答案】【解析】【作业2】下列给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角相等，另一组对角互补【难度】★【答案】【解析】15/ 1816 / 18【作业3】 下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是 平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） A ．1个 B ． 2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 如图，在Y ABCD 中，∠B 、∠D 的平分线分别交对边于点E 、F ，交四边形的对角线AC 于点G 、H ，求证：AH =CG ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 如图，Y ABCD 的两边AB 、DC 的中点分别是E 、F ，延长BA 、DC 到G 、H ，使AG =CH ．求证：EH ∥GF ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 如图，Y ABCD 中，E 、G 分别为AD 、BC 的三等分点，DH =BF ，求证：∠FEH =∠HGF ．ABC D EF GH ABCDE FGH17 / 18【答案】 【解析】【作业7】 E 为ABC ∆中AC 边上一点，//ED AB 交BC 于点D ，F 为AB 边上一点，AF DE =， 延长FD 到点G ，使DG FD =，联结AG ，求证：DE 、AG 互相平分．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，E 、F 分别是Y ABCD 的边AD 、BC 的中点，且AG =CH ．求证：EF 与HG 互相平分． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 已知，平行四边形ABCD 中，8AB =，60C ︒∠=，A ∠的角平分线与B ∠的角平分线相交于点E ，EF AB ⊥．求EF 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业10】 已知，ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，点E 、F 分别在AC 、AB 两边上，且AE BF =，//EG AB 交AD 于点G ，求证：BG EF =．A BCD EFGHABCDEF ABCDEF G A BCDEF G18 / 18【答案】 【解析】【作业11】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业12】 如图，平行四边形ABCD 中，4AB cm =，8BC cm =，AB ⊥BC ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O .如图，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周.即点P 自A F B A →→→停止，点Q 自C D E C →→→停止.在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值；②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，0ab ≠），已知A 、C 、P 、Q 四 点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC Oxy AB CDEFPQ。
初中数学湘教版八年级下册第2章 四边形2.2 平行四边形-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（）A. 12个B. 9个C. 7个D. 5个【答案】B【分析】根据平行四边形的定义即可求解．【解答】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．选B.【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定，本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．2.【答题】如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC 上方交于点D，连结AD，CD，则有（）A. ∠ADC与∠BAD相等B. ∠ADC与∠BAD互补C. ∠ADC与∠ABC互补D. ∠ADC与∠ABC互余【答案】B【分析】首先根据已知条件可以证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可作出判定．【解答】解：如图，依题意得AD=BC、CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠BAD=180°，∴B正确．选B.【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，先根据已知条件判定平行四边形是解题的关键．3.【答题】已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①③；（2）两组对边相等②④；（3）一组对边平行且相等①②或③④，所以有四种组合．【解答】依题意得有四种组合方式：（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．选C.【点评】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．4.【答题】如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为______°.【答案】25【分析】由，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=110°，即可求出∠DAE的度数.【解答】解：∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD=CD，∴AD=DE，∵∠DAE=∠DEA，∵∠BAD=60°，∠F=110°，∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=110°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣110°=130°，∴∠DAE= =25°，故答案为：25°.5.【答题】如图，在周长为10cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为______cm.【答案】5【分析】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE=ED，从而可得出△ABE的周长=AB+AD，再由平行四边形的周长为10cm，即可得出答案.【解答】解：∵点O是BD中点，EO⊥BD，∴EO是线段BD的中垂线，∴BE=ED，故可得△ABE的周长=AB+AD，又∵平行四边形的周长为10cm，∴AB+AD=5cm.故答案为：5cm.6.【答题】如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB=6，那么对角线AC+BD=______.【答案】22【分析】本题考查的是平行四边形的性质.【解答】因为△ABO的周长为17，AB=6，所以OA+OB=11，∵OA=OC，OB=OD，所以AC+BD=22.故答案为22.【点评】本题的关键是平行四边形的对角线互相平分的性质的运用，求出对角线一半的和，从而求出对角线的和.7.【答题】若平行四边形的周长为80cm，两条邻边的比为3：5，则较短的边为______cm.【答案】15【分析】设平行四边形的两条邻边的分别为3x，5x，再由周长为80cm求出x的值，即可得出答案.【解答】解：设平行四边形的两条邻边的分别为3x，5x，∵平行四边形的周长为80cm，∴2（3x+5x）=80cm，解得x=5cm.∴3x=15cm；故答案为：15cm.8.【答题】如图，在▱ABCD中，∠B=60°，∠BCD的平分线交AD点E，若CD=3，四边形ABCE的周长为13，则BC长为______.【答案】5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出DE=CD=3，再求出AE+BC=7，BC﹣AE=3，即可求出BC的长.【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC，∠D=∠B=60°，∴∠DEC=∠ECB，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD=3，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD=3，∵四边形ABCE的周长为13，∴AE+BC=13﹣3﹣3=7①，∵AD﹣AE═DE=3，即BC﹣AE=3②，由①②得：BC=5；故答案为：5.9.【答题】在▱ABCD中，对角线AC、BD交于一点O，AB=11cm，△OCD的周长为27cm，则AC+BD=______cm.【答案】32【分析】首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为27，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=11cm，OA=OC，OB=OD，∵△OCD的周长为27cm，∴OD+OC=27﹣11=16cm，∵BD=2DO，AC=2OC，∴BD+AC=2（OD+OC）=32cm，故答案为：32.10.【答题】若▱ABCD中，∠A=40°，对角∠C=______°.【答案】40【分析】由▱ABCD中，∠A=40°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案.【解答】解：∵▱ABCD中，∠A=40°，∴∠C=∠A=40°.故答案为：40°.【点评】此题考查了平行四边形的性质.注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键.11.【答题】如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，BD平分∠EBC.若平行四边形ABCD的周长为10，则△AEB的周长为______.【答案】5【分析】证出BE=DE，得出△AEB的周长=AB+AD即可.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠ADB，∴BE=DE，∴△AEB的周长=AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD，∵▱ABCD的周长为10，∴AB+AD=5，∴△ABE的周长=AB+AD=5；故答案为：5.12.【答题】如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，∠EBC=40°，且BE=BC，CE=CD，则∠A=______°.【答案】110【分析】先根据平行四边形的性质得出∠2=∠3，再根据BE=BC，CE=CD，∠1=∠2，∠3=∠D，进而得出∠1=∠2=∠3=∠D，求出∠D=70°，即可得出∠A的度数.【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB，AB∥CD，∴∠2=∠3，∠A+∠D=180°，∵BE=BC，CE=CD，∴BE=BC=10，CE=CD=6，∠1=∠2，∠3=∠D，∵∠EBC=40°，∴∠D=∠1=∠3=70°，∴∠A=180°﹣70°=110°；故答案为：110°.13.【答题】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于______.【答案】2【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2.14.【答题】在平行四边形ABCD中，∠A=70°，则∠C=______度.【答案】70【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠A=∠C，代入求出即可.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵∠A=70°，∴∠C=70°，故答案为70.15.【答题】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC=______°.【答案】135【分析】延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BC∥DE，结合∠ABC=90°，即可得出∠ADE=90°，再根据翻折的性质即可得出∠ADF=∠EDF=45°，从而得出∠BDC=45°，由∠ADC、∠BDC互补即可得出结论.【解答】解：延长CD到点F，如图所示.∵四边形BCDE是平行四边形，∴BC∥DE，∵∠ABC=90°，∴∠BDE=90°，∴∠ADE=90°.∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，∴∠ADF=∠EDF= ∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADF=45°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=135°.故答案为：135°.【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是求出∠BDC=45°.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等的角是关键.16.【答题】在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AB=2，AC=6，BD=8，那么△COD的周长为______.【答案】9【分析】△COD的周长=OC+OD+CD，根据平行四边形的对角线互相平分的性质求得OC与OD的长，根据平行四边形的对边相等可得CD=AB=2，进而求得答案.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA= AC=3，OD=OB= BD=4，CD=AB=2，∴△COD的周长=OC+OD+CD=3+4+2=9.故答案为9.17.【答题】如图，已知AD∥BC，CE=5，CF=8，则AD与BC间的距离是______．【答案】5【分析】根据平行线间的距离的定义解答．【解答】解：由图可知，平行线AD与BC间的距离CE，∵CE=5，∴AD与BC间的距离是5．故答案为：5．【点评】本题考查了平行线之间的距离，熟记定义并准确识图是解题的关键．18.【答题】如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为______．【答案】2【分析】根据作图过程可得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴DE=AD-AE=5-3=2；故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．19.【答题】如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为______°．【答案】110【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．20.【答题】如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB 的延长线于点F，则∠BEF的度数为______°．【答案】50【分析】由“平行四边形的对边平行”、“两直线平行，同位角相等”以及“直角三角形的两个锐角互余”的性质进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°-40°=50°．故答案是：50°．【点评】本题考查了平行四边形的性质．利用平行四边形的对边平行推知DC∥AB是解题的关键．。
人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件
10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线
专题22 平行四边形 易错题之填空题(32题)--八年级数学下册同步易错题精讲精练北师大版解析版
专题22 平行四边形易错题之填空题（32题）平行四边形的性质有关的易错题1．（2020·江苏镇江市·八年级期末）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．【答案】14【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．点睛：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2019·山东泰安市·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB 和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．【答案】24.【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图,在▱ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__________.【答案】30°.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥DC，∠ABC=∠D∴∠DAB+∠D=180°，∵∠D=100°，∴∠DAB=80°, ∠ABC=100°又∵∠DAB的平分线交DC于点E∴∠EAD=∠EAB=40°∵AE=AB∴∠ABE=12(180°-40°)=70°∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.考点：1.角平分线的性质；2.平行四边形的性质.4．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．【答案】20【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠EBC ，∴∠ABE=∠AEB ，∴AB=AE ，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD 的周长=4+4+6+6=20，故答案为20．考点：平行四边形的性质．5．（2019·山西晋中市·八年级期末）如图,E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点,AF 与DE 相交于点P ,BF与CE 相交于点Q,若215APD S cm ∆=，225BQC S cm ∆=，则阴影部分的面积为__________2cm ．【答案】40【分析】作出辅助线，因为△ADF 与△DEF 同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．【详解】如图，连接EF∵△ADF 与△DEF 同底等高，∴S ADF =S DEF 即S ADF −S DPF =S DEF −S DPF ，即S APD =S EPF =15cm 2，同理可得S BQC =S EFQ =25cm 2，∴阴影部分的面积为S EPF +S EFQ =15+25=40cm 2.故答案为40.【点睛】 此题考查平行四边形的性质，解题关键在于进行等量代换.6．（2020·北京市八年级期末）已知：在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别交AD 于E 、BC 于F ，S △AOE =3，S △BOF =5，则▱ABCD 的面积是_____．【答案】32【详解】分析：利用平行四边形的性质可证明△AOF ≌△COE ，所以可得△COE 的面积为3，进而可得△BOC 的面积为8，又因为△BOC 的面积=14▱ABCD 的面积，进而可得问题答案． 详解：：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAC=∠BCA ，∠AEF=∠CFE ，又∵AO=CO ，在△AOE 与△COF 中EAC BCA AEF CFE AO CO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AOE ≌△COF∴△COEF 的面积为3，∵S △BOF =5，∴△BOC 的面积为8，∵△BOC 的面积=14▱ABCD 的面积， ∴▱ABCD 的面积=4×8=32，故答案为32．点睛：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．7．（2018·上海市八年级期末）▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB ＝_____．【答案】9．【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3∴AB﹣BC=3，又∵▱ABCD的周长是30，∴AB+BC=15，∴AB=9．故答案为9．8．（2020·射阳县八年级期末）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________．【答案】36°【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°；故答案为36°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．Part2 与平行四边形的判定有关的易错题9．（2020·云南大理白族自治州·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．【答案】AF=CE（答案不唯一）．【详解】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.＝，＝,点D在AC上，DC＝4cm,将线段DC 10．（2019·山东泰安市·八年级期末）如图，△ABC中，AB AC BC12cm、分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是cm.沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E F【答案】13.【详解】∵CD沿CB平移7cm至EF∴=EF CD CF//,7∴=-===∠=∠5,4,BF BC CF EF CD EFB C,AB AC B C4EB EF ∴==44513EBF C EB EF BF ∴=++=++=考点：平移的性质；等腰三角形的性质.11．（2019·浙江杭州市·八年级期末）如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F .若4AE =，6AF =，且□ABCD 的周长为40，则□ABCD 的面积为_______．【答案】48【解析】∵▱ABCD 的周长=2(BC+CD)=40，∴BC+CD=20①，∵AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，∴S ▱ABCD=4BC=6CD ，整理得,BC=32CD ②， 联立①②解得，CD=8，∴▱ABCD 的面积=AF ⋅CD=6CD=6×8=48.故答案为48.12．（2018·山东烟台市·八年级期末）如图，ABCD 的对角线BD 上有两点E 、F ，请你添加一个条件，使四边形AECF 是平行四边形，你添加的条件是___________.【答案】BE=DF【分析】添加一个条件：BE=DF ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可使四边形AECF 是平行四边形．【详解】解：可添加条件：BE=DF．证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键．13．（2020·辽宁营口市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm 的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．【答案】3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12,AD∥BC，∵四边形PDQB是平行四边形，∴PD=BQ，∵P的速度是1cm/秒，∴两点运动的时间为12÷1=12s，∴Q运动的路程为12×4=48cm，∴在BC 上运动的次数为48÷12=4次．第一次PD=QB 时，12−t=12−4t ，解得t=0，不合题意，舍去；第二次PD=QB 时，Q 从B 到C 的过程中，12−t=4t−12，解得t=4.8；第三次PD=QB 时，Q 运动一个来回后从C 到B ，12−t=36−4t ，解得t=8；第四次PD=QB 时，Q 在BC 上运动3次后从B 到C ，12−t=4t−36，解得t=9.6.∴在运动以后，以P 、D. Q 、B 四点组成平行四边形的次数有3次，故答案为3.点睛：本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．14．（2020·内蒙古包头市·八年级期末）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB =，6AC =，点D 、E 分别是BC 、AD 的中点，//AF BC 交CE 的延长线于F ，则四边形AFBD 的面积为______．【答案】12【分析】由于AF ∥BC ，从而易证△AEF ≌△DEC （AAS ），所以AF=CD ，从而可证四边形AFBD 是平行四边形，所以2AFBD ABD S S =四边形，又因为BD=DC ，所以2ABC ABD S S =，所以AFBD ABC S S =四边形，从而求出答案；【详解】解：∵AF ∥BC ， ∴∠AFC=∠FCD ，在△AEF 与△DEC 中，AFC FCD AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC(AAS)，∴AF=DC ，∵BD=DC ，∴AF=BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴2AFBD ABD S S =四边形，又∵BD=DC ，∴2ABC ABD S S =，∴AFBD ABC S S =四边形，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S △ABC=12AB×AC=12×4×6=12， ∴四边形AFBD 的面积为：12；故答案为：12.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.15．（2019·山东烟台市·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BCD 和∠ABC 的平分线分别交AD 于E 、F 两点，AB=6，BC=10，则EF 的长度是_____．【答案】2【分析】由在平行四边形ABCD 中,∠BCD 和∠ABC 的平分线分别交AD 于E,F 两点,易得△ABF 与△CDE 是等腰三角形,即可证得AF=DE=AB=CD=6,又EF=AF+DE -AD 可得EF 的长度.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD//BC,AB=CD.∵BF 为∠ABC 的平分线，∴∠ABF=∠BCF=∠AFB.∴△ABF 为等腰三角形∴AB=AF=6,同理可得：△CDE 为等腰三角形CD=DE=6,故：EF=AF+DE -AD=6+6-10=2故答案：2.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质.16．（2018·山东济宁市·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12 cm ，BC =8 cm ，P ，Q 分别从A ，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动，__________秒后四边形ABQP 是平行四边形．【答案】8 3 .【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，因此设x秒后四边形ABQP是平行四边形，进而表示出AP＝xcm，CQ＝2xcm，QB＝（8﹣2x）cm再列方程解出x的值即可．【详解】解：设x秒后，四边形ABQP是平行四边形，∵P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，∴AP＝xcm，CQ＝2xcm，∵BC＝8cm，∴QB＝（8﹣2x）cm，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴x＝8﹣2x，解得：x＝83．故答案为83．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．Part3 与三角形中位线有关的易错题17．（2019·舞钢市八年级期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．【答案】3【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．∴EF=12AB=3厘米．18．（2020·江苏南京市·八年级期末）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____．【答案】18【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．19．（2020·思南县八年级期末）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．【答案】15．【详解】∵ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．∴OE=BC．∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +12（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．20．（2019·江苏南通市期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．【答案】11．【解析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=12 AD，EF=GH=12BC，然后代入数据进行计算即可得解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC5=．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=12AD，EF=GH=12BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．21．（2020·辽宁辽阳市·八年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．【答案】100【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×50=100米．故答案为100．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．22．（2019·广东湛江市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝________cm．【答案】8【解析】分析：由已知条件易得CF是Rt△ABC斜边上的中线，DE是Rt△ABC的中位线，由此可得AB=2CF=2DE，从而可得DE=CF=8cm.详解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，∴AB=2CF，AB=2DE，∴DE=CF=8（cm）.故答案为：8.点睛：熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键.23．（2020·扶沟县八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝12BC，连接EF.若AB＝10，则EF的长是________．【答案】5【详解】如图，连接DC，根据三角形中位线定理可得，DE=12BC，DE∥BC，又因CF=12BC，可得DE=CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形CDEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得EF=DC．在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DC=12AB=5，所以EF=DC=5．故答案为5.24．（2019·福建三明市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是______．【答案】6【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．【详解】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12AB=3，∴DE=2OD=6．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．Part4与多边形的内角和与外角和有关的易错题25．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【答案】8【详解】解：设边数为n，由题意得，180（n-2）=360⨯3解得n=8.所以这个多边形的边数是8.26．（2021·西藏日喀则市·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，则n=________.【答案】8【分析】直接根据内角和公式()2180n-⋅︒计算即可求解.【详解】（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．故答案为8．【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：()2180n-⋅︒.27．（2019·北京八年级期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为540°或360°或180°.点睛：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.28．（2020·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）一个多边形的各内角都相等，且每个内角与相邻外角的差为100°，那么这个多边形的边数是__________．【答案】9【分析】设这个多边形的内角为n°，则根据题意列出方程求出n的值，再根据多边形的外角和等于360度和多边形的内角和公式求出多边形的边数和内角和．【详解】设这个多边形的内角为n°，则根据题意可得：n−(180−n)=100，解得：n=140.故多边形的外角度数为：180°−140°=40°，∵多边形的外角和等于360度，∴这个多边形的边数为：360°÷40°=9，故答案为9.【点睛】本题考查的是多边形，熟练掌握多边形的边形内角和与外角和是解题的关键.29．（2021·青海西宁市·八年级期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=度．【答案】360°．【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．30．（2019·石家庄市八年级期末）如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．【答案】36°【分析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为36°．31．（2019·河北八年级期末）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2=_______度．【答案】240°【解析】∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°。
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。
(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测题(答案解析)(5)
一、选择题1．如图，周长为24的平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AC CD ⊥且BE CE =，若6AC =，则AOE △的周长为（ ）．A ．6B ．9C ．12D ．152．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB=6，BC=10，则EF 长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.53．如图，在ABCD 中，4CD =，60B ︒∠=，:2:1BE EC =，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．2C ．123D ．1254．在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB 各顶点坐标分别是：(0,2)(2,2),(3,),(3,)A B M a N b -，，且1,MN a b =<，那么四边形AMNB 周长的最小值为（ ）A ．625+B ．613+C 34251D 34131 5．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 6．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形7．如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD//BC，AB=CD B．∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COBC．OA=OC，OB=OD D．AB=AD，CB=CD8．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD，且点E是CD的中点，有如下结论：①AE⊥EF；②AF=CF+CD；③AF=CF+AD；④AB＝BF，其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①③④∆的周长是36m，则AC的长为( ) 9．如图，平行四边形ABCD的周长是56cm，ABCA．6cm B．12cm C．4cm D．8cm10．如图，在平行四边形ABCD中，EF过两条对角线的交点O，若===则四边形EFCD的周长是（）AB BC OE1,7,3A．17B．14C．11D．1011．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°12．如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ⊥，若4AB =，6AC =，则BO 的长为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．11二、填空题13．已知，如图，//,AB DC AF 平分,BAE DF ∠平分CDE ∠，且AFD ∠比∠E 的2倍多30°，则AED =∠_____度．14．边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．15．一枚小小的硬币上有很多的文化信息．铸造时间就体现了一段时期社会背景事件，还有就是硬币的铸造工艺与防伪技术，正面图案的含义万分，背面的国徽更是权力与主权的象征等等，如下图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是______°．16．如图，小亮从点A 出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°…… 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，共走了_____米．17．已知平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于点E，若AB＝AE，则∠BAD＝_____度．18．如图，在ABCD中，CD＝2，∠B＝60°，BE∶EC＝2∶1，依据尺规作图的痕迹，则ABCD的面积为________．19．将正三角形、正方形、正五边形，按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点∠+∠+∠=__________度．都在另一个图形的一条边上，则12320．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，已知∠DAB＝60°，A（﹣2，0），点P 在AD上，连接PO，当OP⊥AD时，点P到y轴的距离为_____．三、解答题21．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点求证：2AM＝BE22．一个多边形的每个外角都等于40°，求这个多边形的内角和．23．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ．求证：BE=CF ．24．如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都相等，连接AD .（1）若148∠=︒，求2∠的度数；（2）求证：//AB DE .25．如图，已知△ABC 中，AB=3，AC=5，∠BAE ＝∠CAE ，BE ⊥AE 于点E ，BE 的延长线交AC 于点D ，F 是BC 的中点，求EF 的长．26．如图，正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 在AB 边上，且2AE cm =，动点M 从点C 开始，以2/cm s 的速度沿折线C －B －E 移动，动点N 同时由点D 开始，以1/cm s 的速度沿边DC 移动，几秒钟时四边形EMND 是平行四边形？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】依据平行四边形ABCD 的周长为24，即可得到AB+BC=12，再根据AO=12AC ，OE=12AB ，AE=12BC ，即可得到△AOE 的周长． 【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长为24，∴AB+BC=12，∵平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，且BE=CE ，∴AO=12AC=3，OE=12AB ， ∵AC ⊥CD ，且BE=CE ， ∴Rt △ABC 中，AE=12BC ， ∴△AOE 的周长=AO+AE+OE=3+12（BC+AB ）=3+12×12=9， 故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC ∠=∠，由角平分线可得ABF FBC ∠=∠，所以AFB ABF ∠=∠，所以6AF AB ==，同理可得6DE CD ==，则根据EF AF DF AD =+-即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，10AD BC ==，6DC AB ==，∴AFB FBC ∠=∠，∴BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，∴AFB ABF ∠=∠，∴6AF AB ==，同理可得6DE DC ==，∴66102EF AF DE AD =+-=+-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．3．C解析：C【分析】由作图痕迹可得EF 为AB 的中垂线，结合60B ∠=︒判断出△ABE 为等边三角形，从而结合边长求出ABCD 在BC 边上的高为BC 的长度，最终计算面积即可．【详解】设尺规作图所得直线与AB 交于F 点，根据题意可得EF 为AB 的中垂线，∴AE=BE ，又∵60B ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形，边长AB=CD=4，∴BF=2，BE=4，EF == ∴ABCD在BC 边上的高为又∵:2:1BE EC =，BE=4，∴EC=2，BC=2+4=6，∴ABCD S =故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键．4．A解析：A【分析】如图，把()02A -，向上平移一个单位得：()101A -，，作1A 关于直线3x =的对称点()261A -，， 连接2A B ，交直线3x =于N ， 连接1A N ，则此时四边形AMNB 的周长最短，再利用勾股定理可得：()()22022225AB =-+--=，()()22262125A B =-+--=，利用AMNB C 四边形2AB MN A B =++从而可得答案．【详解】解：如图，把()02A -，向上平移一个单位得：()101A -，，作1A 关于直线3x =的对称点()261A -，， 连接2A B ，交直线3x =于N ， 连接1A N ，122A N BN A N BN A B ∴+=+=，由111//MN AA MN AA ==，， ∴ 四边形1AMNA 是平行四边形，12,A N AM A N ∴==所以此时：四边形AMNB 的周长最短，()()()2022261A B A --，，，，，， ()()22022225AB ∴=-+--=， ()()22262125A B =-+--=，2AMNB C AM AB BN MN A N BN AB MN =+++=+++四边形2AB MN A B =++251525 6.=+=故选：.A【点睛】本题考查的是图形与坐标，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．5．B解析：B【分析】先根据多边形的外角和等于360︒可得其内角和的度数，再根据多边形的内角和公式即可得．【详解】设这个多边形的边数为n ，这个多边形的内角和是外角和的4倍，∴其内角和为36041440︒⨯=︒，由多边形的内角和公式得：180(2)1440n ︒-=︒，解得10n =，故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键． 6．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A 、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A 不符合题意；B 、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意；C 、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C 符合题意；D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．7．C解析：C【分析】由平行四边形的判定可求解．【详解】A、由AD∥BC，AB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；B、由∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB不能判定四边形ABCD为平行四边形；C、由OA=OC，OB=OD能判定四边形ABCD为平行四边形；D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．8．A解析：A【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM=EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF．【详解】延长AD，交FE的延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠M=∠EFC，∵E是CD的中点，∴DE=CE，在△DEM和△CEF中，M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEM ≌△CEF （AAS ），∴EM=EF ，∵AE 平分∠FAD ，∴AM=AF ，AE ⊥EF ．即AF=AD+DM=CF+AD ；故①，③正确，②错误．∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，∴AB 不一定等于BF ，故④错误．故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．D解析：D【分析】ABC ∆的周长=AB+BC+AC ，而AB+BC 为平行四边形ABCD 的周长的一半，代入数值求解即可．【详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AD=BC ，∵▱ABCD 的周长是56cm ，∴AB+BC=28cm ，∵△ABC 的周长是36cm ，∴AB+BC+AC=36cm ，∴AC=36cm−28cm=8cm.故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．10．B解析：B【分析】由在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，易证得AOE COF ∆≅∆，则可得DE CF AD ，26EF OE ，继而求得四边形EFCD 的周长．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，OA OC =，1CD AB ==，7AD BC ==EAO FCO ∴∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ()AOE COF ASA ∴∆≅∆，AE CF ∴=，3OE OF ==，6EF ∴=，∴四边形EFCD 的周长是：17614CD DE EF CF CD DE AE EF CD AD EF ，故选：B ．【点睛】题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 11．A解析：A【分析】由▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，可得到AD ＝DE 即△ADE 是等腰三角形，再由且∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，即可求出∠DAE 的度数．【详解】∵▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且CD ＝CD ，∴AD ＝DE ，∵∠DAE ＝∠DEA ，∵∠BAD ＝60°，∠F ＝100°，∴∠ADC ＝120°，∠CDE ═∠F ＝100°，∴∠ADE ＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠DAE ＝（180°﹣140°）÷2＝20°，故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．12．A解析：A【分析】由题意根据平行四边形的性质可得AO=CO=12AC=3，再利用勾股定理可得BO 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=1AC=3，2∵AB⊥AC，AB=4，∴229165=+=+=．BO AB AO故选：A．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．二、填空题13．60【分析】过F作FG∥AB即可得出AB∥GF∥CD再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到∠AFD=∠3+∠4依据四边形内角和等于360°即可得出∠AED的度数【详解】解：如图所示过F作FG∥解析：60【分析】过F作FG∥AB，即可得出AB∥GF∥CD，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFD=∠3+∠4，依据四边形内角和等于360°，即可得出∠AED的度数．【详解】解：如图所示，过F作FG∥AB，∵AB∥DC，∴AB∥GF∥CD，∴∠1=∠DFG，∠2=∠AFG，∴∠AFD=∠1+∠2，∵AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，∴∠1=∠3，∠2=∠4，设∠E=α，则∠AFD=2α+30°，∴∠AFD=∠3+∠4=2α+30°，∵四边形AEDF中，∠E+∠3+∠4+∠AFD=360°，∴α+2（2α+30°）=360°，解得α=60°，故答案为：60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用四边形内角和进行计算求解．14．9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【详解】∵四边形ABFG 是正方形∴又∵五边形BCDEF 是正五边形∴正五边形的内角和为∴∴∵∴∴即∴；故答案是9【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理准确分析 解析：9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【详解】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．15．140°【分析】根据多边形的内角和定理：求出该多边形的内角和继而可求出每个内角的度数【详解】解：正九边形的内角和为：则每个内角的度数为：故答案为：【点睛】本题考察多边形的内角和定理解题的关键是熟练掌 解析：140°【分析】根据多边形的内角和定理：()1802n ︒⨯-，求出该多边形的内角和，继而可求出每个内角的度数．【详解】解：正九边形的内角和为：()180921260︒⨯-=︒， 则每个内角的度数为：12601409︒=︒， 故答案为：140︒．【点睛】本题考察多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理． 16．【分析】根据多边形的外角和=360°求解即可【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴边数==12即12×15米=180米故答案为：180【点睛】本题考查了多边形的外角和能熟记多边形的外角和定理是解此解析：【分析】根据多边形的外角和=360°求解即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴边数=360=12，30即12×15米=180米，故答案为：180．【点睛】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°．17．120【分析】由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE为等边三角形则∠BAE＝60°进而可求出∠BAD的度数【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠EAD＝∠AEB∵AE平分∠BAD解析：120【分析】由平行四边形的性质和已知条件易证△ABE为等边三角形，则∠BAE＝60°，进而可求出∠BAD的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵AB＝AE，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠BAD＝2∠BAE＝120°，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定和性质，正确证明△ABE是等边三角形是解题关键．18．【分析】分析作图痕迹可知△ABE是等边三角形从而可求其面积继而求得△ABC的面积再分析求得平行四边形的面积【详解】过点A作AF⊥BC垂足为点F连接AC由题意知：△ABE是等边三角形∵四边形ABCD是解析：33【分析】分析作图痕迹，可知△ABE是等边三角形，从而可求其面积，继而求得△ABC的面积，再分析求得平行四边形的面积．【详解】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，连接AC，由题意知：△ABE是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，∵∠B＝60°，∴在Rt△ABF中，BF=1，AF=22AB-BF=3，△ABE的面积为：11AB AF=23=3 22⨯⋅⨯⨯，∵BE∶EC＝2∶1∴△ABC与△ABE的底之比为3：2，而它们等高，∴△ABC的面积为：332，∴平行四边形ABCD的面积为：33．【点睛】考查垂直平分线的性质、等边三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质等，比较综合，但难度不大．19．102°【分析】根据领补角的定义正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可【详解】解：由题意得如图所示正五边形的每个内角为108°正方形的每个内角为90°正三角形的每个内角为60°所以因为所以可得故解析：102°【分析】根据领补角的定义、正多边形的内角和及三角形内角和进行求解即可．【详解】 解：由题意得，如图所示，正五边形的每个内角为108°，正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，所以2418010872∠+∠=︒-︒=︒，3618060120∠+∠=︒-︒=︒，151809090∠+∠=︒-︒=︒，因为54+6180∠+∠∠=︒，所以可得1+2372+120+90180102∠∠+∠=︒︒︒-︒=︒． 故答案为102°．【点睛】本题主要考查三角形内角和、正多边形的内角，关键是根据图形得到角之间的等量关系，然后利用三角形内角和进行求解即可．20．【分析】首先根据点A 的坐标求得OA 的长然后求得PO 的长从而求得点P 到y 轴的距离即可【详解】解：∵A （﹣20）∴OA ＝2∵∠DAB ＝60°OP ⊥AD ∴∠AOP=30°∴AP=1∴OP ＝作PE ⊥y 轴∵∠ 解析：32【分析】首先根据点A 的坐标求得OA 的长，然后求得PO 的长，从而求得点P 到y 轴的距离即可．【详解】解：∵A （﹣2，0），∴OA ＝2，∵∠DAB ＝60°，OP ⊥AD ，∴∠AOP=30°，∴AP=1，∴OP ＝3，作PE ⊥y 轴，∵∠POA＝30°，∴∠OPE＝30°，∴OE=2∴PE＝32，∴点P到y轴的距离为32，故答案为32．【点睛】考查了平行四边形的性质，能够将点的坐标转化为线段的长是解答本题的关键，难度不大．三、解答题21．详见解析【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=90︒证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．【详解】如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，∵AM∥CN，点M是CD的中点，∴AM是△DCN的中位线，∴CN=2AM，AD=AN，∴AE=AN，∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠BAC=∠DAE=90︒∴∠EAN=90︒，∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，∴∠CAN=∠BAE，∵AB=AC，AE=AN，∴△BAE≌△CAN，∴BE=CN，∴2AM=BE．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．22．1260︒【分析】先利用外角和360度除以每个外角的度数求出边数，再利用多边形内角和公式计算得出答案．【详解】解：这个多边形的边数为36040=9（条），∴180(92)1260︒⨯-=︒，∴这个多边形的内角和是1260︒．【点睛】此题考查多边形的角度计算，多边形的外角和定理，多边形的内角和计算公式，根据多边形的每个外角都等于40°求出多边形的边数是解题的关键．23．证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．试题∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．考点：平行四边形的判定与性质．24．(1)248∠=︒；（2）证明见解析；【分析】（1）先求六边形ABCDEF 的每个内角的度数，再根据四边形的内角和是360°，求∠2的度数．（2）由（1）中∠ADC 的度数，可得∠BAD=∠ADE ，利用内错角相等，两直线平行，可证AB ∥DE ．【详解】（1）∵六边形ABCDEF 的每个内角的度数是（6-2）×180°÷6=120°∴∠FAB=120°,∵∠1=48°∴∠FAD=∠FAB-∠1=120°-48°=72°,∴∠2=360°-120°-120°-72°=48°．（2）∵∠1=48°,∠2=48°，∴AB ∥DE ．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．注意平行于同一条直线的两直线平行．25．1【分析】由已知得到AEB AED ≌后，再根据三角形全等的性质和中位线的性质可以得到解答 ．【详解】解：在AEB △和AED 中90BAE DAE AE AEAEB AED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∵AEB AED △≌△∴BE ED =，AD AB =∵BF FC = ∴1111()()(53)12222EF CD AC AD AC AB ==-=-=-= 【点睛】 本题考查三角形的综合应用，灵活应用三角形全等的判定和性质以及中位线的性质是解题关键．26．103秒 【分析】 根据平行四边形的性质可知当EM 平行且等于DN 时，四边形EMDN 为平行四边形，所以可设经过t （t ≥3）秒后，EM 等于DN ，据此列出方程求解即可．【详解】解：设t （t ≥3）秒时四边形EMND 为平行四边形．由题意知，此时点M 运动到BE 上，则26BM t =-，DN t =，()426ME t =--， 由ME DN =可得，()426t t --=， 解得，103t =． 所以103秒时四边形EMND 为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等列出方程是解决此题的关键．。
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第2章四边形 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
∴2x+3x= 180°,
解得 x= 36°.
∴ ∠A = ∠C=72°, ∠B= ∠D=108°.
(2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解： (2)在平行四边形ABCD中, ∵AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm, ∴3y+4y=14，解得y=2. ∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
D
B
C
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一 起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条， 线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC.
B
FC
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
练一练
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=___5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°_ ， ∠D=___5_0_°_.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= __1_6___.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_1_0_0_°_，∠B=__8_0_°__.
第2章 四边形
八年级数学下（XJ） 教学课件
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
2021年春青岛版八年级数学下册6.1平行四边形及其性质自主学习同步测评1(附答案)
2021年青岛版八年级数学下册6.1平行四边形及其性质自主学习同步测评1（附答案）1．下列说法正确的是（）A．平行四边形的四条边都相等B．平行四边形的对角线相等C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的对边平行且相等2．在平行四边形ABCD中，若∠A＝60°，则∠B的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°3．已知▱ABCD的周长为56，AB＝4，则BC＝（）A．4B．12C．24D．284．在▱ABCD中，若∠A+∠C＝260°，则∠C的度数为（）A．50°B．100°C．120°D．130°5．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（）A．60B．30C．20D．166．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝30°，CD⊥BD，CD＝2，AC，BD交于点O，则AC的长是（）A．4B．C．D．57．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24．若△OAB的周长是20，则AB的长为（）A．8B．9C．10D．128．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对角分别相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对边分别相等9．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（）A．84°B．96°C．98°D．106°10．如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则BC长为（）A．20B．5C．10D．1511．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24，CD＝8，则△ABO的周长是（）A．14B．16C．18D．2012．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE ＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）A．3B．4C．5D．13．▱ABCD中，∠BAC＝60°，AC、BD相交于点O，且∠BOC＝2∠ACB，若AB＝4，则BD的长为．14．如图，▱ABCD中，∠ADC＝120°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝度．15．如图，平行四边形ABCD中，点M是边BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM＝3，BD＝6，则该平行四边形的面积为．16．在平行四边形ABCD中，若AB：BC＝2：3，周长为30cm，则AB＝cm，BC＝cm．17．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，则对角线BD＝．18．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD＝5，EC＝3，则AB的长为．19．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC ＝84°，则∠ADE的度数为．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长为．21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝60°，则平行四边形的面积是．22．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，则DE的长度为．23．如图，平行四边形中，∠ADC＝118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF 交于点H，则∠BHF＝度．24．如图▱ABCD，点M是边AD上的一点，且BM平分∠ABC，MN⊥CD于点N，若∠DMN ＝30°，则∠BMN的度数为．25．如图，▱ABCD中，点E、F分别在BC、DE上，AF＝AB，∠AFD＝∠DCE．求证：AD ＝DE．26．已知，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝AF．（1）如图1，当EC＝4，AE＝8时，求▱ABCD的对角线BD的长；（2）如图2，若点M为CD的中点，连接EM，AM．求证：AM＝EM．27．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接AF，CE，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．参考答案1．解：A．平行四边形的对边分别相等，四边形不一定相等，选项A错误；B．平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，选项B错误；C．平行四边形的邻角互补，对角相等，选项C错误；D．平行四边形的对边平行且相等，选项D正确；故选：D．2．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣60°＝120°．故选：D．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD的周长为56，∴AB+BC＝28，∵AB＝4，∴BC＝24，故选：C．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝260°，∴∠C＝130°，故选：D．5．解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故选：C．6．解：∵∠DBC＝30°，CD⊥BD，CD＝2，∴BC＝4，∴DB＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO＝DB＝，AC＝2AO＝2CO，∴CO＝＝，∴AC＝2，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AC+BD＝24，∴AO+BO＝12，∵△OAB的周长是20，∴AO+BO+AB＝20，∴AB＝8，故选：A．8．解：A、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；B、对角线相等，平行四边形不具有的性质，故此选项正确；C、对角线互相平分，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；D、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项错误；故选：B．9．解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CED＝∠ADF＝42°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝42°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，故选：B．10．解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多10，∴BC﹣AB＝10，①∵平行四边形ABCD的周长为40，∴BC+AB＝20，②由①+②，可得2BC＝30，∴BC＝15．故选：D．11．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝8，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AC+BD＝24，∴AB+OA+OB＝8+AC+BD＝8+12＝20，∴△ABO的周长是20．故选：D．12．解：连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝5∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵DE＝3，∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AC＝AE＝4，故选：B．13．解：如图，作BE⊥AC于点E，延长CE到点C′，使EC′＝EC，连接BC′，∴BE是CC′的垂直平分线，∴BC＝BC′，∴∠C′＝∠ACB，∵∠BOC＝∠C′BO+∠C′，∴∠BOC＝∠C′BO+∠ACB，∵∠BOC＝2∠ACB，∴2∠ACB＝∠C′BO+∠ACB，∴∠ACB＝∠C′BO，∴∠C′＝∠C′BO，∴OB＝OC′，设OE＝x，∴C′E＝CE＝OE+OC＝x+OC，∴CC′＝2CE＝2（x+OC）＝2x+2OC，∵AC＝2OC，∴AC′＝CC′﹣AC＝2x，∴OC′＝AC′+OA＝2x+OC，∴OB＝OC′＝2x+OC，在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝2，BE＝2，∴OB＝OC′＝2+3x，在Rt△OBE中，根据勾股定理，得OB2＝OE2+BE2，∴（2+3x）2＝x2+（2）2，解得x＝或x＝﹣2（舍去），∴OB＝2+3x＝，∴BD＝2OB＝7．故答案为：7．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝120°，∵BE⊥DC，DF⊥BC，CD∥AB，∴∠BED＝90°，∠HFB＝90°，∠BED+∠EBA＝180°，∴∠EBA＝90°，∴∠HBF＝120°﹣90°＝30°，∴∠BHF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60．15．解：连接DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴△ABD的面积＝△BCD的面积，∵点M是边BC的中点，∴△BDM的面积＝△CDM的面积＝△BCD的面积，∵线段AM、BD互相垂直，AM＝3，BD＝6，∴四边形ABMD的面积＝，∴△ABD的面积＝，∴四边形ABCD的面积＝2×6＝12，故答案为：12．16．解：∵平行四边形ABCD的周长是30cm，即2（AB+BC）＝20，又AB＝BC，解之可得AB＝6cm，BC＝9cm．故答案为6，9．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴OA＝AC＝，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2；故答案为：2．18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AB＝CD，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝5，∴CD＝CE+DE＝5+3＝8，∴AB＝CD＝8，故答案为：8．19．解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x＝（180°﹣84°），∴x＝24°，∠ADE＝24°，故答案为：24°．20．解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝DC＝4，BC＝AD＝6，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴EA＝EC，∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝6，则△CDE的周长为：DE+EC+DC＝AD+DC＝6+4＝10．故答案为：10．21．解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，又∵∠EAF＝60°，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∵AB＝4，BC＝6，∴BE＝2，∴AE＝＝2，∴平行四边形的面积是：2×6＝12．故答案为：12．22．解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABF，∴AB＝AE，同理可得：BC＝CF，∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴AE＝3cm．CF＝5cm，∴DE＝5﹣3＝2cm，故答案为：2cm．23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∵∠ADC＝118°，DF⊥BC，∴∠ADF＝90°，则∠EDH＝28°，∵BE⊥DC，∴∠DEH＝90°，∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣28°＝62°．故答案为：62．24．解：∵MN⊥CD于点N，∠DMN＝30°，∴∠D＝90°﹣30°＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝120°，∠ABC＝60°，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝30°，∴∠AMB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠BMN＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：120°．25．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∵BM⊥EF，DN⊥EF∴∠DNE＝∠BMF＝90°，∵AD∥BC，∴∠DEN＝∠BFM，∴△DNE≌△BMF（AAS），∴DN＝BM，即BM＝DN．25．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，又∵AF＝AB，∴AF＝DC，又∵∠AFD＝∠DCE，∴△DF A≌△ECD（AAS），∴AD＝DE．26．解：（1）连接AC，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，∵EC＝4，AE＝8，AE⊥BC，∴，设AB＝BC＝x，则BE＝BC﹣EC＝x﹣4，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，则82+（x﹣4）2＝x2，解得，x＝10，即AB＝BC＝10，∴，∴，解得，BD＝8；（2）如图，延长AM、EC交于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠FCM，∠DAM＝∠F，∵点M为CD的中点，∴DM＝CM，在△ADM和△FCM中，，∴△ADM≌△FCM（AAS），∴AM＝FM＝，∴EM是Rt△AEF斜边AF上的中线，∴，即AM＝EM．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）四边形AECF是平行四边形；连接AF，CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E、F分别为OB，OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形。
【精编版】数学中考专题训练——平行四边形的判定和性质
中考专题训练——平行四边形的判定和性质1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．参考答案与试题解析1．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵BE＝DF，∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，F是BC延长线上一点，且CF＝BC，连接CE、DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DF的长．【分析】（1）只要证明DE＝CF，DE∥CF即可解决问题；（2）过D作DH⊥BE于H，想办法求出DH、HF即可解决问题；【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵E是AD的中点，∴DE＝AD，∵CF＝BC∴DE＝CF，又∵AD∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形．（2）过D作DH⊥BE于H，在▱ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥CD，∴∠DCF＝60°，∵AB＝4，∴CD＝4，∴CH＝2，DH＝2，∴FH＝1，在Rt△DHF中，DF＝＝．3．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）求EF的长．（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，进而得出DE＝FC；【分析】（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：∵DE∥FC，DE＝FC∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝＝．4．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？【分析】（1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE＝DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC于点O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可；（2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题；（3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等；【解答】（1）证法一：∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF又∵AE＝CF∴△BAE≌△DCF（SAS）∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD即：∠BEF＝∠DFE∴BE∥DF，而BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证法二：连接BD，交AC于点O．∵ABCD是平行四边形∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）又∵AE＝CF∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）四边形BFDE是平行四边形∵ABCD是平行四边形∴AB＝CD且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）∴∠BAE＝∠DCF∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF∴△BAE≌△DCF（AAS）∴BE＝DF∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（3）四边形BFDE不是平行四边形因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．5．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE ∥BD，EF⊥BC，CF＝．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，AB＝DE＝CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用三角函数即可求得到CE的长，则求得CD，进而根据AB＝CD求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AB∥DE，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∵AB∥EC，∴∠ECF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝30°∵CF＝，∴CE＝2CF＝2，∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，∴AB＝CD＝DE，∴CE＝2AB，∴AB＝．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）如图2，连接DF交AC于点G，连接EG，当∠BAC＝90°，在不添加任何辅助线和字母的情况下，直接写出图中所有长度为2EG的线段．【答案】（1）证明见解析；（2）CD，AF，BD，AD，CF．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDAF是平行四边形，∴AG＝GC，AD＝CF，∵E为AD的中点，∴EG是△ADC的中位线，∴2EG＝DC，∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝AD，由（1）可知，CD＝AF＝BD＝2EG，即所有长度为2EG的线段是CD，AF，BD，AD，CF．7．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．（1）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，【分析】得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD＝FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠CEB，根据三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵∠BAE＝70°，∴∠BCD＝70°，∵∠DCE＝20°，∴∠BCE＝70°﹣20°＝50°，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．8．如图，过△ABC的顶点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交线段AB于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若AB＝4，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长．【分析】（1）先证△AEF≌△CED（AAS），得AF＝CD，再由CD∥AB，即AF∥CD，即可得出结论；（2）过C作CM⊥AB于M，先证△BCM是等腰直角三角形，得BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，由AM+BM＝AB求出AM＝2﹣2，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵CD∥AB，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又∵CD∥AB，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示：则∠CMB＝∠CMA＝90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠DCB＝180°，∴∠B＝180°﹣135°＝45°，∴△BCM是等腰直角三角形，∴BM＝CM，∵∠BAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+AM＝4，解得：AM＝2﹣2，∴AC＝2AM＝4﹣4．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．（1）求证：四边形BECF为平行四边形；（2）若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后证明△ADF为等边三角形，可得ED＝DF，进而可以证明四边形BECF为平行四边形；（2）根据AB＝6和勾股定理可得BF的长，然后证明BE＝BD，进而可得四边形BECF 的周长．【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠AED＝30°，∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°，∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°，∴△ADF为等边三角形，∴AD＝DF，∵ED＝AD，∴ED＝DF，∵BD＝DC，∴四边形BECF为平行四边形；（2）∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵△ADF为等边三角形，∴AF＝AD＝3，∴BF＝＝＝3，∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝3，∴四边形BECF的周长为：2（BF+BE）＝2（3+3）＝6+6．10．如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB+∠C＝180°．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形．（2）若AB＝，DB＝4．求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据∠ADB＝∠CBD＝90°，可得DE∥CB，由∠AEB+∠C＝180°．证明BE∥CD，进而可得四边形BEDC是平行四边形；（2）根据勾股定理先求出AD的长，再设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，EB＝EA＝8﹣x．根据勾股定理列式计算得x的值，进而可以求出四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠CBD＝90°，∴DE∥CB，∵∠AEB+∠C＝180°，∵∠AEB+∠BED＝180°，∴∠C＝∠BED，∴∠CDB＝∠EBD，∴BE∥CD，∴四边形BEDC是平行四边形；（2）∵四边形BEDC是平行四边形．∴BC＝DE，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD＝＝＝8．设DE＝x，则EA＝AD﹣DE＝8﹣x，∴EB＝EA＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+DB2＝EB2，∴x2+42＝（8﹣x）2．解得x＝3．∴BC＝DE＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝AD•DB+DB•BC＝16+6＝22．11．如图所示，在△ABC中，点D为边AB的中点，点E为AC边上一点，延长ED交AE 的平行线于点F，连接AF、BE．（1）猜想四边形AEBF的形状，并证明你的结论．（2）若BE⊥CE，CE＝2AE＝4，BC＝9，求DE的长．【分析】（1）根据已知条件证明△AED≌△BFD，可得ED＝FD，可得四边形AEBF是平行四边形；（2）根据BE⊥CE，可得四边形AEBF是矩形，根据CE＝2AE＝4，BC＝9，再利用勾股定理即可求DE的长．【解答】解：（1）四边形AEBF是平行四边形，证明：∵点D为边AB的中点，∴AD＝BD，∵AE∥BF，∴∠AED＝∠BFD，在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（AAS），∴ED＝FD，∵AD＝BD，∴四边形AEBF是平行四边形；（2）∵BE⊥CE，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形AEBF是矩形，∴EF＝AB，DE＝AB，在Rt△BEC中，CE＝4，BC＝9，根据勾股定理，得BE2＝BC2﹣CE2＝92﹣42＝65，在Rt△ABE中，AE＝2，BE2＝65，根据勾股定理，得AB＝＝＝，∴DE＝AB＝．12．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE．（1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍．【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形；（2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE，∴DE∥AC，∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，BE＝AE，∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEF，∴∠F＝∠CED，∴AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，由（1）知CE＝AB，∴AC＝CE＝BE，又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形，∴AE⊥CF，∵CE＝BE，∴∠B＝∠DCE＝30°，∴∠BED＝∠BAC＝60°，∵DF∥AC，∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°，∴BD＝CD＝DE，∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°，∴∠CED＝60°，∴∠FEG＝∠CED，∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°，∴△EFG≌△CED（AAS），∴EG＝DE，FG＝CD，∴FG＝DE，∵CG＝FG，∴CG＝DE，∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB．13．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长到点F，使BF ＝BE，连接EC并延长到点H，使CH＝CE，连接FH，点G在FH上，∠ADG＝∠AFG，连接DG．（1）求证：四边形AFGD为平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中长度为FH的一半的所有线段．【分析】（1）只要证明AD∥FG，AF∥DG即可；（2）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，∵EB＝BF，EC＝CH，∴BC∥FH，BC＝FH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AD∥FH，∴∠DAF+∠AFG＝180°，∵∠ADG＝∠AFG，∴∠DAF+∠ADG＝180°，∴AF∥CD，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵BF＝BE，CH＝CE，∴BC＝FH，∴AD＝FH，∵四边形AFHD是平行四边形，∴FG＝AD＝FH，∴HG＝FH，∴长度为FH的一半的所有线段为：AD，BC，FG，HG．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD＝2∠MCD，∠ACB＝90°，AC＝BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）．【分析】（1）由CN∥AB，MA＝MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD＝MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．（2）由∠AMD＝2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB＝90°，AC＝BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠DAM＝∠NCM，在△ADM和△CNM中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴MD＝MN，∴四边形ADCN是平行四边形．（2）解：∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD+∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MC＝MD，∴AC＝DN，∴▱ADCN是矩形，∵AC＝BC，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴▱ADCN是正方形，∴AN＝AD＝BD＝CD＝CN．15．如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件“∠DAB＝∠60°”，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC＝∠BFC，∠EAF＝∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°．∴∠ADE＝∠CBF＝60°．∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠FCE＝120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA＝∠CBA，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC＝AB．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF．∴∠AED＝∠CFB．又∵AD＝BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED＝∠BFC，∠EAD＝∠FCB．又∵∠DAB＝∠BCD，∴∠EAF＝∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．【分析】（1）求出AP＝BQ和AP∥BQ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出高AM和ON的长度，求出△DOC和△OQC的面积，再求出答案即可．【解答】解：（1）当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝5cm，AO＝CO，BO＝OD，∴∠P AO＝∠QCO，在△APO和△CQO中∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝2.5cm，∵BC＝5cm，∴BQ＝5cm﹣2.5cm＝2.5cm＝AP，即AP＝BQ，AP∥BQ，∴四边形ABQP是平行四边形，即当t＝2.5s时，四边形ABQP是平行四边形；（2）过A作AM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝4cm，∵由三角形的面积公式得：S△BAC＝＝，∴3×4＝5×AM，∴AM＝2.4（cm），∵ON⊥BC，AM⊥BC，∴AM∥ON，∵AO＝OC，∴MN＝CN，∴ON＝AM＝1.2cm，∵在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA（SSS），∴S△DCA＝S△BAC＝＝6cm2，∵AO＝OC，∴△DOC的面积＝S△DCA＝3cm2，当t＝4s时，AP＝CQ＝4cm，∴△OQC的面积为 1.2cm×4cm＝2.4cm2，∴y＝3cm2+2.4cm2＝5.4cm2．17．如图1，在△ABC中，D是BC边上一点，且CD＝BD，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）如图2，若AB＝AC＝13，BD＝5，求四边形AFBD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定求出AF＝CD，求出AF＝BD，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出四边形AFBD的矩形，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝AF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）解：∵AB＝AC，CD＝BD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形，∵AB＝AC＝13，BD＝5，∴由勾股定理得：AD＝＝12，∴四边形AFBD的面积是12×5＝60．18．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点G为BD上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．（1）证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；（2）利用全等三角形的判定求解．【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；（2）BG＝y，DE＝t，当0≤t≤时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或（不合题意，舍去），当＜t≤时，则BF＝3t﹣8，若△DEG与△BFG全等，则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，即：或，解得：或，所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次，第一次是2秒时，y＝6，第二次是4秒时，y＝6，第三次是5秒时，y＝5．19．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PF∥AC交AB于点F，PE∥AB交BC于点D，交AC于点E．（1）当点P在BC边上（如图1）时，请探索线段PE，PF，AB之间的数量关系式为PE+PF＝AB．（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，请说明理由．（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB之间有怎样的数量关系，直接写出结论．【分析】（1）先求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF＝AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE＝∠C，然后求出∠B＝∠BPE，利用等角对等边求出PE＝BE，然后求解即可；（2）根据等边对等角可得∠B＝∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠CDE，然后求出∠C＝∠CDE，再根据等角对等边可得CE＝PD+PE，然后求出四边形PF AE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE＝AF，然后求出PD+PE+PF＝AC，等量代换即可得证；（3）证明思路同（2）．【解答】解：（1）答：PE+PF＝AB．证明如下：∵点P在BC上，∴PD＝0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PF＝AE，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠B＝∠BPE，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+AE＝AB，∵PD＝0，∴PE+PF＝AB；故答案为：PE+PF＝AB（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝PD+PE，∵PF∥AC，PE∥AB，∴四边形PF AE是平行四边形，∴PE＝AF，∴PD+PE+PF＝AC，∴PD+PE+PF＝AB；（3）证明：同（2）可证DE＝CE，PE＝AF，∵AE+CE＝AC，∴PF+PE﹣PD＝AC，∴PE+PF﹣PD＝AB．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE．试说明QA＝QE．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD＝AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝AB ＝AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，根据三角形的中位线的性质得到DQ＝FQ，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ECF＝∠EAD＝135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED＝EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF＝AD，∵AD＝AC，∴AC＝CF，∵DP∥AB，∴FP＝PB，∴CP＝AB＝AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知AC＝CF，∵CQ∥AD，∴DQ＝FQ，∵在Rt△DAF与Rt△DEF中，∴AQ＝EQ＝DF．。
第4章 平行四边形 单元检测卷-2020-2021学年八年级数学下学期高频考点专题突破(解析版)
第4章平行四边形章末检测卷（浙教版）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021ꞏ江苏苏州市ꞏ九年级零模）一个n 边形的每个外角都是45°，则这个n 边形的内角和是（）A ．1080°B ．540°C ．2700°D ．2160°【答案】A【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．【详解】解：由一个n 边形的每个外角都是45°，可得：360845n ︒==︒，∴这个多边形的内角和为：()821801080-⨯︒=︒，故选A ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．2．（2020ꞏ山东阳谷ꞏ初二期末）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.【解析】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，∴A 、C 、D 不符合，不是中心对称图形，B 选项为中心对称图形.故选：B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.3．（2021ꞏ山东东营市ꞏ八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D ．有两组对角相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A 、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A 不符合题意；B 、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意；C 、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C 符合题意；D 、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．4．（2021ꞏ山东烟台市ꞏ八年级期末）如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（）A ．26B ．29C ．2243D ．1253【答案】A 【分析】由题意可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC 边的高即可．【详解】解：如图，连接AD 、EF ，则可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD 的面积为120，AD=20，∴BC=AD=20，12EF×AD=12×120，∴EF=6，又AD=20，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5．（2020ꞏ福建南平市ꞏ七年级期中）如图，点,A B 为定点，直线//,l AB P 是直线l 上一动点．对于下列各值：①线段AB 的长；②APB ∠的度数；③PAB △的周长；④PAB △的面积．其中不会随点P 的移动而变化的是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【分析】由A 、B 为定点可得AB 长为定值，进而可判断①；当P 点移动时，∠APB 的度数发生变化，PA +PB 的长也发生变化，于是可判断②、③；由直线l ∥AB 可得P 到AB 的距离为定值，于是可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵A 、B 为定点，∴AB 长为定值，∴①线段AB 的长不会随点P 的移动而变化；当P 点移动时，∠APB 的度数发生变化，∴②∠APB 的度数会随点P 的移动而变化；当P 点移动时，PA +PB 的长发生变化，∴③△PAB 的周长会随点P 的移动而变化；∵点A ，B 为定点，直线l ∥AB ，∴P 到AB 的距离为定值，∴④△APB 的面积不会随点P 的移动而变化；综上，不会随点P 的移动而变化的是①④．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、同底等高的三角形的面积相等以及平行线间的距离等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．6．（2020ꞏ江苏南通市ꞏ南通第一初中）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.7．（2021ꞏ上海九年级专题练习）四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB CD =，AD BC =；③AO CO =，BO DO =；④AB ∥CD ，AD BC =．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（）A ．1组；B ．2组；C ．3组；D ．4组．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．【详解】①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键．8．（2021ꞏ山东潍坊市ꞏ八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．18C ．20D ．24【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．9．（2021ꞏ山东潍坊市ꞏ八年级期末）如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】首先根据AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【详解】∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形，∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一）又∵点F 是BC 的中点，∴EF 为△CBD 的中位线，∴152EF BD ==，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．10．（2021ꞏ山东泰安市ꞏ九年级期末）如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．6B ．8C ．3D ．4【答案】A【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【详解】解：如图,连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =24，∴S △ACF =14×24=6，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =6，∴S 阴=6．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．11．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级期末）如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD )a b +【答案】C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出33BE AE a ==，33DF AF b ==，得出23AB BE a ==，23AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积2126BE AE a =⨯=，ADF ∆的面积26=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22()36ab a b =-+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即得出结论．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥ 于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，33BE AE a ∴==，33DF AF ==，23AB BE a ∴==，23AD DF ==，∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；ABE ∆ 的面积21122BE AE a =⨯=⨯，ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯=，平行四边形ABCD 的面积33BC AE a ab =⨯=⨯=，∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22()36a b =-+≠平行四边形ABCD 面积的一半；综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．12．（2021ꞏ山东泰安市ꞏ九年级期末）如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD S AD BD =⋅ ；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】求得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，即可得到S ▱ABCD =AD•BD ；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE ，进而得出DB 平分∠CDE ；依据Rt △AOD 中，AO ＞AD ，即可得到AO ＞DE ；依据O 是BD 中点，E 为AB 中点，可得BE=DE ，利用三角形全等即可得OE ⊥BD 且OB=OD ．【详解】解：在ABCD 中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED ，∴△ADE 是等边三角形，12AD AE AB ∴==，∴E 是AB 的中点，∴DE=BE ，1302BDE AED ︒∴∠=∠=，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S▱ABCD=AD•BD，故①正确；∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE∵OE=OE∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）B a b关于原点成中心13．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）在直角坐标系中．点A-和点(,)a b的值为_____．对称，则-【答案】-【分析】直接利用关于原点成中心对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．B a b关于原点成中心对称，∴a=-b=【详解】解：∵点A-和点(,)则a-b的值为：a-b=-=-．故答案为：-．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．14．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级开学考试）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是A B C，则平行四边形第四个顶点D的坐标为__________．(1,2),(3,0),(5,4)【答案】（3，6），（-1，-2），（7，2）【分析】分三种情况讨论，由平行四边形的性质即可得出答案．【详解】解：观察图象可知满足条件的点D的坐标为（3，6），（-1，-2），（7，2），故答案为：（3，6），（-1，-2），（7，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键要注意分情况求解，不能忽略任何一种可能的情况．15．（2020ꞏ四川遂宁市ꞏ射洪中学九年级月考）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB =13，AC =8，则DF 的长为_________．【答案】2.5【分析】延长CF 交AB 于H ，证明△AFH ≌△AFC ，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH ，求出HB ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长CF 交AB 于H，∵AE 平分∠BAC ，∴∠HAF=∠CAF,在△AFH 和△AFC 中，90HAF CAF AF AF AFH AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AFH ≌△AFC （ASA ），∴AH=AC ，CF=FH ，∵AB=13，AC=8，∴AH=AC=8，∴HB=AB-AH=13-8=5，∵CF=FH ，CD=DB ，∴DF=12HB=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD的延长线于点F ．已知AB =120A ∠=︒，5BF =：则FD =__________，ABCD S = __________．62-【分析】结合题意，通过证明AEB DEF △≌△，得到AB FD =，即可得到FD ；过点F 作FH BC ⊥于点H ，延长AD 交FH 于点G ，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得30DFG ∠= ，从而得CH 的值；再根据勾股定理计算，得FH 和BC 的值，结合平行四边形ABCD 性质以及FD CD =，DG 是CFH △中位线，从而得到DG ，通过计算即可得到答案．【详解】∵E 是AD 边上的中点∴AE ED=∵平行四边形ABCD ∴//AB CD ∴BAE EDF∠=∠∵AEB DEF ∠=∠∴AEB DEF △≌△∴AB FD=∵AB =∴FD AB ==过点F 作FH BC ⊥于点H ，延长AD 交FH 于点G∵ABCD ∴//AD BC ∴AG FH ⊥，即90DGF ∠=∵120A ∠=︒，且ABCD ∴18060ADC A ∠=-∠=∴60FDG ADC ∠=∠= ∴9030DFG FDG ∠=-∠= ∴12CH CF =∵平行四边形ABCD ∴==CD AB ∴CF CD DF =+=∴12CH CF ==∴3FH ===∴4BH ===∴4BC BH CH =-=-∵//AD BC ，FD CD ==∴DG 是CFH △中位线∴1322FG GH FH ===∴(34622ABCD BC S GH ⨯=⨯=-= ，62-．【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．17．（2021ꞏ安徽阜阳市ꞏ九年级期末）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点E 、F 分别是边AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕EF 翻折，使点A 落在边BC 的三等分点处，则AE 的长为．【答案】143或285【分析】设点A 落在BC 边上的A′点，分两种情况：①当A′C=13BC=2时；②如图2，当A′B=13BC=2时，过A′点作AB 延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．【详解】设点A 落在BC 边上的A′点．①如图1，当A′C=13BC=2时，A′B=4，设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′M 垂直于AB ，交AB 延长线于M 点，在Rt △A′BM 中，∠A′BM=60°，∴BM=2，．在Rt △A′EM 中，利用勾股定理可得：x 2=（10-x ）2+12，解得x=285．即AE=285；②如图2，当A′B=13BC=2时，设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′N 垂直于AB ，交AB 延长线于N 点，在Rt △A′BN 中，∠A′BN=60°，∴BN=1，在Rt △A′EN 中，利用勾股定理可得：x 2=（9-x ）2+3，解得x=143．即AE=143；所以AE 的长为5.6或143．故答案为5.6或143．【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．18．（2020ꞏ山东济南市ꞏ八年级期末）如图，在 ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S = ；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确的序号有【答案】①②④【分析】由点F 是AD 的中点，结合 ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S = ，由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．【详解】∵点F 是AD 的中点，∴2FD=AD ，∵在 ABCD 中，AD=2AB ，∴FD=AB=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠BCF ，∴∠DCF=∠BCF ，即：12DCF BCD ∠=∠，∴①正确；∵AB ∥CD ，∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，又∵AF=DF ，∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），∴EF=HF ，∵CE AB ⊥，∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，∴EF CF ==12EH ，∴②正确；∵EF=HF ，∴2HEC CEF S S = ∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，∴BE CH <,∴BEC HCE S S < ,∴2BEC CEF S S < ，∴③错误；设∠AEF=x ，则∠H=x ，∵在Rt∆ECH 中，CF=FH=EF ，∴∠FCH=∠H=x ，∵FD=CD ，∴∠DFC=∠FCH=x ，∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，∴FG ∥CD ∥AB ，∴∠AEF=∠EFG=x ，∵EF=CF ，∴∠EFG=∠CFG=x ，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，∴3DFE AEF ∠=∠．∴④正确．【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级其他模拟）在66⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在图1、图2、图3中各画一个以A ，B 为顶点的四边形，满足以下要求：（1）在图1中画出一个面积为6，且是中心对称的四边形；（2）在图2中画出一个面积为9，且是轴对称的四边形；（3）在图3中画出一个既是轴对称又是中心对称的四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）画一个底为2，高为3的平行四边形即可；（2）画一个上底为2，下底为4，高为3的梯形即可；（3）以AB 为边画一个正方形即可．【详解】解：（1）如图，四边形ABCD 即为所作；（2）如图，四边形ABCD 即为所作；（3）如图，四边形ABCD 即为所作．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握相应图形的性质，以及网格的性质．20．（2021ꞏ山东烟台市ꞏ八年级期末）如图，在ABC 中，CD 是AB 边的中线，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ．求证：2BF CF =．【答案】见解析【分析】取AF 的中点M ，连接DM ，则DM 是△ABF 的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．【详解】证明：取AF 的中点M ，连接DM ，∵CD 是AB 边的中线，∴D 是AB 边的中点，∴2BF DM =，//DM BC ．∴MDE FCE ∠=∠，DME CFE ∠=∠．∵E 是CD 的中点，∴DE CE =，在△MDE 和△FCE 中，MDE FCE DME CFE DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDE FCE ≌△△．∴DM CF =，∴2BF CF =．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．21．（2021ꞏ渝中区ꞏ重庆巴蜀中学九年级期末）已知：在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 和BC 上，点G 、H 在对角线AC 上，且BF=DE ，AH=CG ，连接FH 、HE 、BG 、FG ．（1）求证：FG=EH ．（2）若EG 平分∠AEH ，FH 平分∠CFG ，FG//AB ，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）77°【分析】（1）根据平行四边形的性质可得//AD BC ，AD BC =，通过证明AEH △≌CFG △即可得证；（2）利用角平分线的定义可得35GFH CFH ∠=∠=︒，再根据平行四边形的性质求出18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴EAH FCG ∠=∠，∵BF DE =，∴AD DE BC BF -=-，即AE CF =，在AEH △和CFG △中，AE CF EAH FCG AH CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEH △≌CFG △，∴FG=EH ；（2）∵FH 平分∠CFG ，∠GFH=35°，∴35GFH CFH ∠=∠=︒，∵FG//AB ，∴70B GFC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴70D B ∠=∠=︒，∴18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∴77GHF CFH ACB ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．22．（2021ꞏ安徽九年级一模）如图，在□ABCD 中，点P 在对角线AC 上一动点，过点P 作PM //DC ，且PM =DC ，连接BM ，CM ，AP ，BD ．（1）求证：△A DP ≌△BCM ；（2）若PA =12PC ，设△ABP 的面积为S ，四边形BPCM 的面积为T ，求S T的值．【答案】（1）证明见解析；（2）13【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AD=BC ，∠ADC+∠BCD=180︒，由PM //DC ，且PM =DC ，证得四边形PMCD 是平行四边形，得到PD=CM ，∠PDC+∠DCM=180︒，推出∠ADP=∠BCM ，即可证得结论；（2）作BH ⊥AC 于H ，DG ⊥AC 于G ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到△ABC ≌△CDA ，BH=DG ，求得2BCP ABP S S = ，ADP ABP S S = ，利用△A DP ≌△BCM ，得到ADP BCM S =S ，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠ADC+∠BCD=180︒，∵PM //DC ，且PM =DC ，∴四边形PMCD 是平行四边形，∴PD=CM ，∠PDC+∠DCM=180︒，∴∠ADP=∠BCM ，∴△A DP ≌△BCM ；（2）解：作BH ⊥AC 于H ，DG ⊥AC 于G ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△ABC ≌△CDA ，∴BH=DG ，∴12ABP BCP S AP S CP == ，即2BCP ABP S S = ，12112ABPADP AP BH S S AP DG ⋅⋅==⋅⋅ ，即ADP ABP S S = ，∵△A DP ≌△BCM ，∴ADP BCM S =S ，∴S T =13ABP BCP ADP S S S =+．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，同底等高或同高的三角形的面积关系，证明△A DP≌△BCM并利用其全等的性质解决问题是解题的关键．23．（2020ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ九年级月考）如图，在△AFC中，∠FAC=45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB=FC，过点A作AD⊥AF，且AD=BC，连接CD．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．【答案】（1）见解析；（2）∠CHB；∠BCH；∠BAD；∠FCA；∠CFA【分析】（1）由题意易得∠FEA=∠FEC=90°，∠FAC=∠EFA=45°，进而可证Rt△AEB≌Rt△FEC，则有BE=CE，然后可证BC∥AD，最后求解问题即可；（2）由（1）及题意可直接进行解答．【详解】（1）证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA=∠FEC=90°，∵∠FAC=45°，∴∠FAC=∠EFA=45°∴AE=EF，∵AB=FC，∴Rt△AEB≌Rt△FEC(HL)，∴BE=CE，∵AD⊥AF，∴∠FAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠CBE=∠BCE=∠CAD=45°，∴BC∥AD，∵BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）得：∠CBE=∠BCE=∠CAD=∠BFA=45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CHB，∠BAC=∠DCA，∵AB平分∠FAC，∴∠BAC=∠BAF，∵∠ABE=∠BFA+∠BAF，∠BCH=∠BCE+∠DCA，∴∠ABE=∠BCH=∠BAD，∵∠CFA=∠CFH+∠BFA，∠HCE=∠CFE，∴∠ABE=∠CFA，∵∠DCA+∠FCA=90°，∴∠ABE=∠FCA，∴与∠ABE相等的角有：∠CHB；∠BCH；∠BAD；∠FCA；∠CFA．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及角的和差关系，熟练掌握平行四边形的性质与判定及角的和差关系是解题的关键．24．（2020ꞏ全国八年级课时练习）如图，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，点M为边AD上一动点，点E在DA 的延长线上，且AM＝AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN＝∠BGN．（2）求NGAB的值．（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．【答案】（1）详见解析；（2；（3）四边形BDNG是平行四边形，证明详见解析.【分析】（1）连接BM，推出BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，根据SAS证△BMN≌△BEN，推出∠BMN＝∠BEN，证出∠BMN＝∠BGN即可；（2）过G作GH⊥AB，垂足为H，证△BGH≌△ABE，推出BH＝AE＝AN，求出NGGHAB，代入求出即可；（3）根据ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG＝BE，得出BG∥DN，BG＝DN，根据平行四边形的判定判断即可．【解析】（1）证明：连BM，∵∠BAD＝90°，∴BA⊥EM，∵AE＝AM，∴BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，在△BEN和△BMN中BE BMEBA MBABN BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BMN≌△BEN，∴∠BMN＝∠BEN，∵BE＝BG＝BM，∴∠BMN＝∠BGN，∴∠BEN＝∠BGN．（2）解：由（1）得，∠GBE＝∠GNE＝90°，∴△NME等腰直角三角形，∴AE＝AN，过G作GH⊥AB，垂足为H，∴∠H＝∠BAE＝∠GBE＝90°，∴∠HGB+∠HBG＝90°，∠HBG+∠ABE＝90°，∴∠HGB＝∠EBA，在△BGH和△ABE中H BAEHGB ABEBG BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGH≌△ABE，∴BH＝AE＝AN，HN＝AB＝GH，NGGHAB，∴NGAB=．（3）解：四边形BDNG是平行四边形，理由是：∵∠DAN＝∠BAE＝90°，AN＝AE，AB＝AD，∴△ADN≌△BAE，∴DN⊥BE，DN＝BE＝BG，又∵BG⊥BE，BG＝BE，∴BG∥DN，BG＝DN∴四边形BDNG为平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题型较好，但有一定的难度．25．（2020ꞏ广东深圳市ꞏ八年级期末模拟）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；（3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM=CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（﹣2，），（4，）；（2）（2）；（3）EP 的值为3或65．【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD 的长，再由平行四边形的性质求出BD 的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME ′是平行四边形，可得OP =EM ，因为PM 是定值，推出PB +ME ′=OP +PB 的值最小时，BP +PM +ME ′的长度最小；（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ADO 中，∵∠A =60°，∴∠AOD =30°．∵AD =2，∴OD A （﹣2，），∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AB =OC =6，∴DB =6﹣2=4，∴B （4，）；（2）如图1中，连接OP ．∵EF 垂直平分线段OD ，PM ⊥OC ，∴∠PEO =∠EOM =∠PMO =90°，∴四边形OMPE 是矩形，∴PM =OE ．∵OE =OE ′，∴PM =OE ′，PM ∥OE ′，∴四边形OPME ′是平行四边形，∴OP =EM ，∵PM 是定值，∴PB +ME ′=OP +PB 的值最小时，BP +PM +ME ′的长度最小，∴当O 、P 、B 共线时，BP +PM +ME ′的长度最小．∵直线OB 的解析式为y =2x ，∴P （2．故答案为（2．（3）如图2中，当PM =PN 时，∵AOCB 是平行四边形，∴∠MCN =∠A =60°．∵MC =CN ，∴△MNC 是等边三角形，∴∠CMN =∠CNM =60°．∵PM ⊥OC ，∴∠PMN =∠PNM =30°，∴∠PNF =30°+60°=90°，∵∠PFN =∠BCO =60°，∴∠NPF =30°，NF =1，∴PF =2NF =2，∵EF =2BD OC =5，∴PE =5﹣2=3．如图3中，当PM =MN 时，∵PM =MN =CM ，∴EP =OM =6如图4中，当点P 与F 重合时，NP =NM ，此时PE =EF =5．综上所述：满足条件的EP 的值为3或65．【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．26．（2020ꞏ浙江杭州市ꞏ八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒【分析】（1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，∴（16-t）2=122+（16-2t）2，即3t2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，。
(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》检测题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，作边长为4的等边11OA B ，延长11A B 至点2A ，使得121112B A A B =，再以 12B A 为边作等边122B A B ．延长22A B 至点3A ，使得23B A ＝222A B ，再以23B A 为边作等边233B A B ，以此类推……．若点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，则2021CC 的长度为（ ）A ．6058B ．6060C ．6062D ．6064 2．正多边形的每个外角为60度，则多边形为（ ）边形．A ．4B ．6C ．8D ．10 3．如图，将△ABC 沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A '，若∠C ＝120°，∠A ＝25°，则∠A 'DB 的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°4．如图，下面不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB //CD,AB CD =B ．,AB CD AD BC ==C ．B DAB 180,AB CD ︒∠+∠==D ．B D,BCA DAC ∠=∠∠=∠5．如图，□ABCD 中，AB =3，BC =5，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，则CE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图所示，EF 过▱ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，那么四边形EFCD 的周长是( )A ．10B ．11C ．12D ．137．如图，下列哪组条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形（ ）A ．AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AB ∥CD ，AD ∥BC C ．OA ＝OC ，OB ＝ODD ．AB ∥CD ，AD ＝BC 8．某三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48 9．如图，在四边形ABCD 中，90,32,7A AB AD ︒∠===，点,M N 分别为线段,BC AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点,EF 分别为,DM MN 的中点，则EF 长度的最大值为( )A 7B ．2.5C ．5D ．3.510．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．菱形的一条对角线平分一组对角B ．在△ABC 中，若AC 2+BC 2＝AB 2，则△ABC 是直角三角形C ．若a >02a aD ．平行四边形的对角线互相平分11．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．∠BDC ＝∠ABDB ．∠DAB ＝∠DCBC ．AD ＝BCD ．AC ⊥BD 12．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=8，BC=5，点E 是AB 上的点，AC 为平行四边形AECF 的对角线，则EF 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题13．如图，在ABD △中，90A ∠=︒，1AB AD ==，将ABD △沿射线BD 平移，得到EGF △，再将ABD △沿射线BD 翻折，得到CBD ，连接EC 、GC ，则GC EC +的最小值为_____．14．边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．15．正五边形每个内角的度数是_______．16．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．17．过n 边形的一个顶点有9条对角线，则n 边形的内角和为______．18．如图，在平行四边形纸片ABCD 中，2cm AB =，将纸片沿对角线AC 对折至CF ，交AD 边于点E ，此时BCF △恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．19．如图，在四边形ABDC 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，并且E 、F 、G 、H 四点不共线．当AC ＝6，BD ＝8时，四边形EFGH 的周长是_____．20．平行四边形ABCD 中，若2B A ∠=∠，则C ∠的度数为__________．三、解答题21．如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (﹣2，3)、B (﹣6，0)、C (﹣1，0)．（1）画出△ABC 关于原点成中心对称的三角形△A ′B ′C ′；（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90°，画出图形；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．22．如图，点E 在ABCD 外，连接BE ，DE ，延长AC 交DE 于F ，F 为DE 的中点．（1）求证：//AF BE ；（2）若2AD =，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，2AC CF =，求BE 的长．23．如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．（1）求证：AB∥DC；（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．24．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE ＝6，CE＝8，AE＝10．（1）求AB的长；（2）求平行四边形ABCD的面积；25．如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．26．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点E，BE的延长线交AC于点D，F是BC的中点，求EF的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由作法知两类等边三角形11OA B ，122B A B 边长分比为4，2,由点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，利用中位线可求123452CC C C C C ==== 同理34564C C C C ===求出26CC =由此求出2k 6CC k =，利用相等线段关系2021202020202021110106CC CC C C CC =+=⨯+即可求出．【详解】由作法知11OA B ，233B A B ，455B A B ……都是边长为4的等边三角形,122B A B ，344B A B ，566B A B ……都是边长为2的等边三角形,∵点C 、1C 、2C 、3C ……分别是1OA 、11A B 、32A B 、33A B ……的中点，∴CC 1=111OB =4=222⨯=C 2C 3=C 4C 5=……， ∵1211111111=2=222B A A B B C B C =⨯=， ∵23B A ＝222A B ，∴232222=22B A B C A B =即2222B C A B =，∴121224C C B B ==，同理34564C C C C ===，∴2112246CC CC C C =+=+=，∴2242226k k CC C C C C +====，∴422426CC CC C C =+=⨯，∴644626636CC CC C C =+=⨯+=⨯，∴2k 6CC k =，∴20212020202020212110101010626062CC CC C C CC CC =+=+=⨯+=，故选择：C ．【点睛】本题考查图形规律探究问题，从图形分布入手：由图形特点⇒找出特殊情况⇒推广到一般情况⇒总结规律．2．B解析：B【分析】利用多边形的外角和360除以外角60得到多边形的边数．【详解】=6，多边形的边数为36060故选：B．【点睛】此题考查多边形的外角和定理，正多边形的性质，利用外角和除以外角的度数求正多边形的边数是最简单的题型．3．B解析：B【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE＝∠B，又根据∠C＝120°，∠A＝25°可求出∠B 的值，继而求出答案．【详解】由题意得：∠A'DE＝∠B＝180°−120°−25°＝35°，∠BDE＝180°−∠B＝145°，故∠A'DB＝∠BDE−∠A'DE＝145°−35°＝110°．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质及三角形中位线定理，有一定难度，根据题意得出各角之间的关系是关键．4．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选C．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．5．B解析：B【分析】利用平行四边形性质得∠DAE=∠BEA，再利用角平分线性质证明△BAE是等腰三角形,得到BE=AB即可解题.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BC-BE=5-3=2，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,属于简单题,熟悉平行线加角平分线得到等腰三角形这一常用解题模型是解题关键.6．C解析：C【解析】试题根据平行四边形的性质，得AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OF=OE=1.5，CF=AE，根据平行四边形的对边相等，得CD=AB=4，AD=BC=5，故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD=OE+OF+AE+ED+CD=1.5+1.5+5+4=12．故选C.7．D解析：D【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【详解】根据平行四边形的判定，A、B、C均符合是平行四边形的条件，D则不能判定是平行四边形．故选D．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．8．C解析：C【分析】先根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即求出原三角形的边长分别为6、8、10，再根据勾股定理的逆定理判断原三角形的形状，即可根据三角形面积公式求得面积．【详解】解：∵三角形三条中位线的长为3、4、5，∴原三角形三条边长为3264285210⨯=⨯=⨯=，，，2226810+=，∴此三角形为直角三角形，168242S ∴=⨯⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，属于基础应用题，熟知性质定理是解题的关键．9．B解析：B【分析】连接BD 、ND ，由勾股定理得可得BD=5，由三角形中位线定理可得EF=12DN ，当DN 最长时，EF 长度的最大，即当点N 与点B 重合时，DN 最长，由此即可求得答案.【详解】连接BD 、ND ，由勾股定理得，= ∵点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，∴EF=12DN ， 当DN 最长时，EF 长度的最大，∴当点N 与点B 重合时，DN 最长，∴EF长度的最大值为1BD=2.5，2故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．D解析：D【分析】根据这些命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A、菱形的一条对角线平分一组对角的逆命题是一条对角线平分一组对角的四边形是菱形，逆命题是假命题；B、在△ABC中，若AC2+BC2＝AB2，则△ABC是直角三角形的逆命题是若△ABC是直角三角形，则AC2+BC2＝AB2，逆命题是假命题；C、若a＞02a a2a a，则a＞0，逆命题是假命题；D、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，逆命题是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出这些命题的逆命题，比较简单．11．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，故选项A正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，故选项B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故选项C正确；由四边形ABCD是平行四边形，不一定得出AC⊥BD，故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．12．A解析：A【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OE⊥AB时，EF取最小值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴BC⊥AB，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=1BC=2.5，2∴EE=2OE=5，∴EF的最小值是5．故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及垂线段最短，解题关键是熟练掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．二、填空题13．【分析】如图连接DE作点D关于直线AE的对称点T连接ATETCT首先证明BAT共线求出TC证明四边形EGCD是平行四边形推出DE＝CG推出EC＋CG＝EC＋ED＝EC＋TE根据TE＋EC≥TC即可解【分析】如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC＋CG＝EC＋ED＝EC ＋TE，根据TE＋EC≥TC即可解决问题．【详解】解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．∵∠A ＝90°，AB ＝AD ＝1，将△ABD 沿射线BD 平移，得到△EGF ，再将△ABD 沿射线BD 翻折，得到△CBD ，∴AB ＝BC ═AD ＝1，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝45°，∵AE//BD ，∴∠EAD ＝∠ABD ＝45°，∵D ，T 关于AE 对称，∴AD ＝AT ＝1，∠TAE ＝∠EAD ＝45°，∴∠TAD ＝90°，∵∠BAD ＝90°，∴B ，A ，T 共线，∴CT 2222215BT BC +=+∵EG ＝CD ，EG//CD ，∴四边形EGCD 是平行四边形，∴CG ＝DE ，∴EC ＋CG ＝EC ＋ED ＝EC ＋TE ，∵TE ＋EC≥TC ，∴GC ＋5∴GC ＋EC 5 5【点睛】本题考查轴对称，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．14．9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【详解】∵四边形ABFG 是正方形∴又∵五边形BCDEF 是正五边形∴正五边形的内角和为∴∴∵∴∴即∴；故答案是9【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理准确分析 解析：9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【详解】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．15．【分析】先求出正n 边形的内角和再根据正五边形的每个内角都相等进而求出其中一个内角的度数【详解】解：∵正多边形的内角和为∴正五边形的内角和是则每个内角的度数是故答案为：【点睛】此题主要考查了多边形内角 解析：108︒【分析】先求出正n 边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为2180()n -⨯︒，∴正五边形的内角和是5218540(0)-⨯︒=︒，则每个内角的度数是5405108︒÷=︒．故答案为：108︒【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．16．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角解析：④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．17．1800°【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得n-3=9求出n 的值最后根据多边形内角和公式可得结论【详解】解：由题意得：n-3=9解得n=12则该n 边形的内角和是：（12-2解析：1800°【分析】根据n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n 的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．【详解】解：由题意得：n-3=9，解得n=12，则该n 边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，故答案为：1800°．【点睛】本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．18．【分析】为等边三角形点A 为BF 的中点可得求得再证明出点E 为AD 的中点得到可求出面积【详解】解：折叠至处AB=AF=2cmBC=BF=CF=4cm 为等边三角形又四边形ABCD 为平行四边形cmCD=AB2cm【分析】BCF △为等边三角形，点A 为BF 的中点，可得90BAC ∠=︒，求得12ACD S AC CD =，再证明出点E 为AD 的中点，得到12ACE ACD S S =，可求出面积． 【详解】解：ABC 折叠至ACF 处，∴AB=AF=2cm ，BC=BF=CF=4cm ，BCF △为等边三角形，AC BF ∴⊥，90BAC ∠=︒，又四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ， 90ACD ∴∠=︒，AC ==，CD=AB=2cm ，12ACD S AC CD ∴==212⨯=2cm ，点A 为BF 的中点，//AE BC ，∴AE 为BCF △的中位线，1122AE BC AD ∴==， ∴点E 为AD 的中点， 12ACE ACD S S ∴==12⨯2cm 为折叠重合部分的面积，2cm ．【点睛】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键． 19．14【分析】根据三角形中位线定理得到FG ∥EHFG ＝EH 根据平行四边形的判定定理和周长解答即可【详解】∵FG 分别为BCCD 的中点∴FG ＝BD ＝4FG ∥BD ∵EH 分别为ABDA 的中点∴EH ＝BD ＝4E解析：14【分析】根据三角形中位线定理得到FG ∥EH ，FG ＝EH ，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．【详解】∵F ，G 分别为BC ，CD 的中点，∴FG ＝12BD ＝4，FG ∥BD ， ∵E ，H 分别为AB ，DA 的中点， ∴EH ＝12BD ＝4，EH ∥BD ， ∴FG ∥EH ，FG ＝EH ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ＝GH ＝12AC ＝3， ∴四边形EFGH 的周长＝3+3+4+4＝14，故答案为14【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．20．60°【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°∠A=∠C 再由∠B=2∠A 可求出∠A 的度数进而可求出∠C 的度数【详解】解：如下图∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠A+∠B=180°∠A=∠解析：60°【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠B=2∠A可求出∠A的度数，进而可求出∠C的度数．【详解】解：如下图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=180°，∴∠A=∠C=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质．熟知平行四边形的对角相等，邻角互补是解答此题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）第四个顶点D的坐标为(﹣7，3)或(3，3)或(﹣5，﹣3)【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B的对应点的坐标；（3）分AB、BC、AC是平行四边形的对角线三种情况解答．【详解】解：(1)如图所示，先求出点A、B、C的关于点O对称的点A′（2，-3）、B′（6，0），C′（1,0），描点A′（2，-3）、B′（6，0），C′（1,0），连结A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′即为所求；(2)如图所示，求出A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后A″（-3，-2）、B″（0，-6）、C″（0，-1），描点A″（-3，-2）、B″（0，-6）、C″（0，-1），连结A″B″、B″C″、C″A″，则△A″B″C″即为所求；(3)如图所示，以AB为对角线，AB中点横坐标=2642--=-，纵坐标=30322+=，（-4，3 2），D1横坐标=-8-（-1）=-7，纵坐标=2×32-0=3，D1（-7,3），以AC为对角线，AC中点（-32，32），D2的横坐标=2×（-32）-（-6）=3，纵坐标=2×32-0=3，D2（3,3），以BC为对角线BC中点坐标为（-3.5,0）D3横坐标=2×（-3.5）-（-2）=-5，纵坐标=0-3=-3，D3（-5，-3），第四个顶点D的坐标为(﹣7，3)或(3，3)或(﹣5，﹣3)．【点睛】本题考查中心对称性质，旋转对称性质，平行四边形性质，中点坐标公式，掌握中心对称性质，旋转对称性质，平行四边形性质，中点坐标公式，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（1）见解析；（2）23【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据平行四边形的性质可以判定OF为△DBE的中位线，即可证明；（2）根据AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，可求出AC的长，再根据中位线的性质即可求解；【详解】解：（1）连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB OD=，∵DF EF =，∴OF 为△DBE 的中位线∴//AF BE ．（2）∵AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°， ∴3AC =∵OF 是DBE 的中位线，∴2BE OF =．∴222BE OC CF AC CF =+=+．∵2AC CF =， ∴223BE AC ==【点睛】本题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的性质，正确掌握知识点是解题的关键； 23．（1）见解析；（2）平行四边形，理由见解析【分析】（1）由旋转的性质得出∠BCE ＝∠ACD ，由等腰三角形的性质得出∠B ＝∠BAC ，∠B ＝∠BCE ，由平行线的判定可得出结论；（2）由平行四边形的判定可得出结论．【详解】（1）证明：由旋转的性质得∠BCE ＝∠ACD ，∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ，∵CE ＝BE ，∴∠B ＝∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BAC ，∴AB ∥CD ；（2）解：四边形BEDC 是平行四边形，由旋转的性质得CD ＝CE ，∵CE ＝BE ，∴CD ＝BE ，∵AB ∥DC ，∴四边形BEDC 是平行四边形．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定、熟练掌握旋转的性质是解本题的关键；24．（1）10；（2）128．【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出AB=AE，进而再利用题中数据即可求解结论；（2）易证△CED为直角三角形，则CE⊥AD，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=10；（2）∵四边形ABCD是平行四边形．∴CD=AB=10，在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8，∴ED2+CE2=CD2，∴∠CED=90°．∴CE⊥AD，∴平行四边形ABCD的面积=AD•CE=（10+6）×8=128．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用及角平分线的性质等问题，解题的关键是熟练掌握有关性质．25．证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．试题∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．考点：平行四边形的判定与性质．26．1【分析】≌后，再根据三角形全等的性质和中位线的性质可以得到解答．由已知得到AEB AED【详解】解：在AEB△和AED中90BAE DAE AE AEAEB AED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∵AEB AED △≌△∴BE ED =，AD AB =∵BF FC = ∴1111()()(53)12222EF CD AC AD AC AB ==-=-=-= 【点睛】 本题考查三角形的综合应用，灵活应用三角形全等的判定和性质以及中位线的性质是解题关键．。
八年级数学期中复习(一)平移与旋转、平行四边形华东师大版知识精讲
初二数学期中复习（一）平移与旋转、平行四边形华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：期中复习（一）平移与旋转、平行四边形［教学目标］1. 理解平移、旋转的基本概念，掌握平移旋转的基本特征，并能利用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，以及应用图形的基本变换于实际生活中。
2. 认识平行四边形，掌握平行四边形特征及识别方法，并能根据图形特征及识别方法解决简单的推理与计算等问题，学会合情推理与数学说理。
二. 重点、难点：教学重点：1. 图形的平移变换、旋转变换、中心对称的基本特征。
2. 平行四边形的特征和识别方法。
教学难点：1. 能按要求作出简单的平面图形的平移后的图形，旋转后的图形，理解中心对称图形。
2. 综合利用平行四边形的特征和识别方法来解决实际问题。
［知识网络］图形之间的变换关系轴对称—连结对应点的线段被对称轴垂直平分平移—连结对应点的线段平行或在同一条直线上且相等对应线段平行或在同一条直线上，并且相等旋转对应点与旋转中心的距离相等每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度旋转对称——中心对称在轴对称、平移、旋转这些图形变换下，线段的长度不变；角的大小不变()()⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪【典型例题】例1. 如图所示，请你先观察，然后确定第四张图形为（）分析：首先观察图形，从（1）到（2）再到（3）是怎么变换得到的，按照规律确定（4）的图状。
解：C例2. 如图，这是两张大小、形状完全相同的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面的图案绕O点顺时针旋转，至少旋转____________度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形。
分析：提示两点：1. 把图形抽象成线段；2. 目前图形是轴对称图形，要构造成旋转180°与自身重合的中心对称图形，该图应作何种变换→旋转→怎么转→至少多少度。
解：60例3. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，D为AE上一点。
中考数学复习专题之平行四形的性质与判定,考点过关与基础练习题
24.平行四边形➢考点分类考点1平行四边形的性质例1如图所示，在ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB=CF(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⟂AF.考点2平行四边形的判定例2如图所示，DE是ABC的中位线，延长DE至F，使EF=DE，连接BF.(1)求证：BF=DC(2)求证：四边形ABFD是平行四边形.考点3平行四边形综合探究例3如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于F．（1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG 的度数（2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数．➢真题演练1．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．20B．21C．22D．232．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝200°，则∠A＝（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO 并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE=14S△ABC．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝4，AC ＝5，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．105．如图，在▱ABCD 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝105°，点E 在AD 上，∠EBA ＝60°，则ED AE的值是（ ）A ．23B ．√3C ．√32D ．√336．如图，⟂ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE 平分⟂BAD ，交BC 于点E ，且⟂ADC ＝60°，AD ＝2AB ，连接OE ，下列结论：⟂⟂CAD ＝30°；⟂OD ＝AB ；⟂S 平行四边形ABCD ＝AC •CD ；⟂S 四边形OECD =32S ⟂AOD ：⟂OE =14AD ．其中成立的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①OE ＝OF ；②AB ＝BF ；③∠DOC ＝∠OCD ；④∠CFE ＝∠DEF ，其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AO＝2，BC＝5，则AE的长为．9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为．10．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG ＝1.5，则S▱AEPH＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC，垂足为H，与AF交于点G，若AC=24，GF=6√5，则EG的长为．12.在平行四边形ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，求证：P A＝PE；（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DE﹣DA=√2DP．13．已知：如图，▱ABCD 中，F 是AB 中点，连接DF ，DF 延长线交CB 的延长线于点E ，连接AE ． 求证：（1）△AFD ≌△BFE ；（2）若BF ＝BC ，∠EDC ＝60°，判断四边形AEBD 的形状，并证明你的结论．➢ 课后练习1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，分别交BC ，BD 于点E 、P ．连接OE ，∠ADC ＝60°，AB =12BC ＝1，则下列结论： ①∠CAD ＝30°；②BD ＝2√3；③S 平行四边形ABCD ＝AB •AC ； ④AD ＝4OE ．其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，若AE ＝4，DE ＝3，AB ＝5，则AC 的长为（ ）A ．3√2B ．4√2C ．5√2D ．5√223．如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列结论正确的有（）个．①F A：FB＝1：2；②BE：CF＝1：2；③AE：BC＝1：2；④S△ABE：S△FBC＝1：4．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．2√2B．6√2C．5√5D．4√55．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E 不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中正确个数是（）①∠DCF=12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4B．3C．2D．16．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，且CE＝BC，AE＝DE，AE＝4，∠DAE ＝60°，则下列结论：①∠AEB＝90°；②平行四边形ABCD周长是24；③∠ABE＝∠EBC＝30°；④BE2＝48；⑤E为CD中点．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于G，交AD延长线于F，若BC＝6，DF＝4，EF＝2AE，则△ABE的面积为．8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF＝60°，BE＝1，平行四边形ABCD面积为6√3．则AF＝．9．如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（填序号）．10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为．11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(√3，0)，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD 于点F，连接AF，CE．（1）若∠BCF＝50°，求∠ADC的度数；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．➢冲击A+如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D做DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．。
难点详解华东师大版八年级数学下册第十八章平行四边形必考点解析试题(含答案解析)
八年级数学下册第十八章平行四边形必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BE垂直平分CD于点E，且AD＝4，则平行四边形ABCD的对角线AC的长为（）A．4 B．C．D．2、如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．150°3、如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，ABCD的面积为48，OA＝3，则BC 的长为（）A．6 B．8 C．12 D．134、下面各命题都成立，那么逆命题成立的是（）A．邻补角互补B．全等三角形的面积相等C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等B．一组对边平行，另一组对边相等C．两组对角分别相等D．一组对边平行且相等BD长为半6、如图，在平行四边形ABCD 中，BC＝2AB＝8，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于12径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（）A．B．6 C．7 D．7、如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．108、如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD交于点O，OF AC，垂足为O，OF交AD于点F，则CDF的周长为（）A．12 B．18 C．24 D．269、平行四边形的一组对角的平分线（）A．一定相互平行B．一定相交C．可能平行也可能相交D．平行或共线10、在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（）A．24<m<39 B．14<m<62 C．7<m<31 D．7<m<12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为S1______S2．（填“>”或“=”或“<”）2、如图，ABCD 中，对角线AC BD 、交于O ，且4,60AB AC ABC ==∠=︒，则BOC 的周长为_________．3、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．4、如图，翠屏公园有一块长为12m ，宽为6m 的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m 的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m ），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m 2．5、在□ABCD 中，:3:2A B ∠∠=，那么C ∠=__________°．6、如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，E 为AB 中点，若CE =3，则CD =____．7、如图，点E、F是ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）．8、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=4cm，AD=5cm，则平行四边形ABCD的周长是___cm．9、如图，平行四边形ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x 轴，当双曲线3y经过点D时，则平行四边形ABCD面积为___．x10、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=24，△COD的周长为20，则AB 的长为_________．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，直线BD 可以将ABCD 分成全等的两部分，这样的直线还有很多．（1）多画几条这样的直线，看看它们有什么共同的特征；（2）尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现．2、如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA 和OC 的中点，四边形BFDE 是平行四边形吗？请说明理由．3、如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB =，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：C ABE DF ≌△△； （2）当AE CE =时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于B 的2倍的所有角．4、如图，如果四边形ABCD 和BEFC 都是平行四边形，那么四边形AEFD 是平行四边形吗？小明认为四边形AEFD 是平行四边形，并且给出了证明．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，=，①∴AD BC=．②AB CD又∵四边形BEFC也是平行四边形，=，③∴BC EF=．④BE CF由①③，得=．⑤AD EF由②④，得+=+，⑥AB BE DC CF即AE DF=．∴四边形AEFD是平行四边形．小明的考虑全面吗？为什么？你是怎样想的？把你的想法写出来．5、如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到AB、CF与BF的长，再根据勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∴BC＝BD＝AD＝4，又∵∠BAD＝60°，∴∠ABD＝60°，∠ADB＝60°，∴△ABD中，AB＝AD＝4，∵∠CBF＝∠DAB＝60°，∠F＝90°，∴∠BCF＝30°，BC＝2，FC＝∴FB＝12∴Rt△ACF中，AC=故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．2、C【解析】【分析】首先利用平行四边形的对角相等和角A 的度数求得∠C 的度数，然后根据垂直的定义求得∠CED =∠CFB =90°，最后利用四边形的内角和求得答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A =60°，∴∠C =∠A =60°，∵DE ⊥BC 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴∠CED =∠CFB =90°，∴∠EHF =360°-∠C -∠CFB -∠CED =360°-90°-90°-60°=120°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对角相等及四边形的内角和为360°，难度不大．3、B【解析】【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC 的值，由AC ⊥BC ，可得ABCDSAC BC =⋅，代入即可求出BC 边长.【详解】解：∵在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA =OC ，∵OA =3，∴AC =2OA =6，∵AC ⊥BC ，∴648ABCDS AC BC BC =⋅==， ∴BC =8.故选：B【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.4、D【解析】【分析】逐个写出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 选项，逆命题：互补的两个角是邻补角．互补的两个角顶点不一定重合，该逆命题不成立，故A 选项错误；B 选项，逆命题：面积相等的两个三角形全等．底为4高为6的等腰三角形和底为6高为4的等腰三角形面积相等，但这两个等腰三角形不全等，该逆命题不成立，故B 选项错误；C 选项，逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．这两个实数也有可能互为相反数，该逆命题不成立，故C 选项错误；D 选项，逆命题：平行四边形是两组对角分别相等的四边形．这是平行四边形的性质，该逆命题成立，故D 选项正确．故答案选：D ．【点睛】本题考查判断命题的真假，写一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换后的新命题就是这个命题的逆命题．5、B【解析】【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】解：A、两组对边分别相等是平行四边形；故本选项不符合题意；B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项符合题意．C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；D、一组对边平行且相等是平行四边形；故本选不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的判定．注意熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．6、A【解析】【分析】连接DH，根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线，证明△DHC是等边三角形，然后证明∠AHD=90°，根据勾股定理可得AH的长．【详解】解：如图，连接DH，根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，∴DH=BH，∵点H为BC的中点，∴BH=CH，BC=2CH，∴DH=CH，在▱ABCD中，AB=DC，∵AD=BC=2AB=8，∴DH=CH=CD=4，∴△DHC是等边三角形，∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，∴∠DAH=∠BHA，∵AB=BH，∴∠BAH=∠BHA，∴∠BAH=∠DAH=30°，∴∠AHD=90°，∴AH故选：A．本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．7、C【解析】【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键.8、B【解析】【分析】=，由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OF AC⊥，根据线段垂直平分线的性质，可得AF CF又由平行四边形ABCD的周长为36，可得AD+CD的长，继而可得CDF的周长等于AD+CD，从而可得【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长为36，∴AD+CD=18，∵OF AC⊥，=，∴AF CF∴CDF的周长=18.++=++=+=CD DF CF CD DF AF CD AD故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9、D【解析】【分析】分两种情况：如果平行四边形的邻边不相等，那么它的一组对角的平分线互相平行；如果平行四边形的邻边相等，那么它的一组对角的平分线共线．【详解】解：如图，ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD ∥BC ，∴∠BAD ＝∠BCD ，∠2＝∠3，∵AE 、CF 分别平分∠BAD 、∠BCD ， ∴112,422BAD BCD ∠=∠∠=∠，∴∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AE ∥CF ；当ABCD 是菱形时，AE 与CF 共线．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，将平行四边形分类讨论是解决本题的关键．10、C【解析】【分析】 作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得1122AE CE AC ===，1192BE DE BD ===，然后在ABE ∆中，利用三角形三边的关系即可确定m 的取值范围．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴1122AE CE AC ===，1192BE DE BD ===， 在ABE ∆中，AB m =，∴19121912m -<<+，即731m <<，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．二、填空题1、=【解析】【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO =∠FBO ，∵点O 是▱ABCD 的对称中心，∴OB =OD ，在△DEO 与△BFO 中EDO FBO OD OBDOE BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△DEO ≌△BFO （ASA ），∴S △DEO =S △BFO ，∵S △ABD =S △CDB ，∴S 1=S 2．故答案为：=．【点睛】此题主要考查了中心对称，平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2、6+【解析】【分析】由题意得△ABC 是等边三角形，根据平行四边形的性质BO ⊥AC ，从而由勾股定理求得OB 的长，即可求得△BOC 的周长．【详解】∵AB =AC ，∠ABC =60°∴△ABC 是等边三角形∴BC =AB =4∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴122OA OC AC ===∴BO⊥AC，∠OBC=130 2ABC∠=︒∴由勾股定理得：OB==∴△OBC的周长为：BC+OC+OB=426++=+故答案为：6+【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，判定△ABC是等边三角形是关键．3、平行【解析】略4、48【解析】【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解．【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为261222648m⨯-⨯⨯=．故答案为：48【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．5、108【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，∠C=∠A，又由平行线的性质与∠A：∠B=3：2，即可求得∠A的度数，继而可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C=∠A，∴∠A+∠B=180°，∵∠A：∠B=3：2，∴∠A=108°，∴∠C=108°．故答案为：108．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．6、故答案为：34或3【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB．用的数学思想是分类讨论思想．8．6【解析】【分析】由AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB的长，然后由平行四边形的性质，求得答案．【详解】解：∵AC⊥BC，E为AB中点，∴AB=2CE=2×3=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6．故答案为：6．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的对边相等．7、DE BF（答案不唯一）【解析】【分析】由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵DE=BF∴OD-DE=OB-BF即OE=OF∴四边形AECF是平行四边形故答案为：DE=BF（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．8、28【解析】【分析】只要证明AD=DE=5cm，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=5cm，CD=AB，∴∠EAB=∠AED，∵∠EAB=∠EAD，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=5cm，∵EC=4cm，∴AB=DC=9cm，∴四边形ABCD的周长=2（5+9）=28（cm），故答案为：28．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9、6【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOD＝32，再根据平行四边形的性质可得S▱ABCD＝4S△AOD＝6，进而得出答案．【详解】连接OD，∵点D在反比例函数3yx=的图象上，∴S△AOD＝13 22k=，∵O是AC的中点，∴S△AOD＝S△COD，∵▱ABCD的对角线AC在y轴上，∴S△ABC＝S△ACD＝12S▱ABCD，∴S▱ABCD＝4S△AOD＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义等知识，关键是反比例函数比例系数k的几何意义．10、8【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，由△COD的周长是20，可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，AB=CD，∵AC+BD=24，∴AO+BO=12，∵△COD的周长是20，∴AO+BO+AB=20，∴AB=CD=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．三、解答题1、（1）它们的共同特点是都经过ABCD的中心，即对角线的交点；（2）中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．【解析】【分析】（1）根据题意，多画几条满足题意的直线，即可发现共同特征；（2）由中心对称图形的性质，结合所画的图形就可以得到答案．【详解】解：（1）如下图：这些直线都经过平行四边形两条对角线的交点O，可以看到，过点O的任意一条直线都可将平行四边形分成全等的两部分．（2）如上图，直线AC 将ABCD 分成,ABC CDA △△两部分，将ABC 绕点O 逆时针或是顺时针旋转180可与CDA 相互重合，所以中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．【点睛】本题考查平行四边形的性质、中心对称图形的性质，牢记知识点并能够灵活应用是解题关键．2、四边形BFDE 是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得对角线互相平分，即,OA OC BO DO ==，由已知条件可得11,22OE AO OF CO ==，进而可得OE OF =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形BFDE 是平行四边形．【详解】解：四边形BFDE 是平行四边形，理由如下，四边形ABCD 是平行四边形，,OA OC BO DO ∴==，E ，F 分别是OA 和OC 的中点，11,22OE AO OF CO ∴==， OE OF ∴=，∴四边形BFDE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2）,,,.BAD AFC AEC BCD【解析】【分析】（1）先证明,,,AB CD B D AD BC 再证明,BE DF =从而可得结论；（2）证明,ABE DCF 是等边三角形，再分别求解,B ∠ ,,,,BAD AFC AEC BCD 从而可得答案.【详解】证明（1） 平行四边形ABCD 中，，,,,AB CD B D AD BC点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，,BE DF ∴=∴ C ABE DF ≌△△（2） 2BC AB =，,,AD BC AB DC,AB BE CE CD DF AF,AE CE = C ABE DF ≌△△,AB BE CE CD DF AF AE CF,ABE DCF 是等边三角形，60,BAEBEA DFC DCF D B 120,AEC AFC四边形ABCD 是平行四边形，,AD BC ∥ 而60,B D120BAD BCD ，所以等于B 的2倍的角有：,,,.BAD AFC AEC BCD【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明“,ABE DCF 是等边三角形”是解（2）的关键.4、小明的考虑不全面，原因见解析，想法见解析【解析】【分析】小明的考虑不全面．他只分析了点B 和点C 分别在直线AE 和DF 上这种特殊情况下四边形AEFD 的形状．如图，连接,AE DF ，当点B 和点C 不在直线AE 和DF 上时，根据平行四边形的性质与判定证明四边形AEFD 是平行四边形．【详解】小明的考虑不全面．他只分析了点B 和点C 分别在直线AE 和DF 上这种特殊情况下四边形AEFD 的形状．正确证法：如图，连接,AE DF∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,//AD BC AD BC =，又∵四边形BEFC 也是平行四边形，∴,//BC EF BC EF =，∴,//AD EF AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．5、证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形性质得出AB DC =，//AB CD ，推出C FBE ∠=∠，CDF E ∠=∠，证CDF BEF ≌△△，推出BE DC =即可．【详解】证明：F 是BC 边的中点，BF CF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴=，//AB CD ，C FBE ∴∠=∠，CDF E ∠=∠，在CDF 和BEF 中C FBE CDF E CF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)CDF BEF ∴≌△△，BE DC ∴=，AB DC =，AB BE ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△△．CDF BEF≌。
八年级平行四边形(二)
【答案】B
4、如图，在平行四边形ABCD中，AB= AC，若平行四边形ABCD的周长为38 ，△ABC的周长比平行四边形ABCD的周长少l0 ，求平行四边形ABCD的一组邻边的长．
【提示】△ABC的周长： =28
平行四边形ABCD的周长：
【答案】
5、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB=6 ,BC=l0 ,试求：
题型二：证明线段互相平分
例1、已知：如图．平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别在AD、BC上，AG =CH．求证：EF与GH互相平分．
【提示】根据本题要证得结论可以分析出本题只要证明四边形GFHE是平行四边形即可.连结GF、FH、HE、EG
例2、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H.求证：GF∥EH.
【注意】边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。
知识点3：平行四边形的判定
根据定义来判定：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。
1．平行四边形判定定理l:如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
【提示】AD EF BC.
1、专题精讲
题型一：证明线段相等
例1、己知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD的延长线于点E、F，求证：AE=CF.
【提示】易证△DOF≌△BOE，DF=BE,AF CE，证得四边形AECF为平行四边形.（△DOF≌△BOE及已知条件，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得四边形AECF为平行四边形.）
04平行四边形(基础题)-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练
04平行四边形（基础题） -【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练一、单选题1．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）．A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等2．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．对边相等. 3．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，将□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD 的周长（ ）A．6B．7C．12D．14 4．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相平分，则图中全等三角形的对数是（）A．1B．2C．3D．45．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图在□ABCD中，已知AC=5cm，若△ACD 的周长为16cm，则□ABCD的周长为（ ）A ．22cmB ．23cmC ．24cmD ．25cm6．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，G ，H 分别是对角线BD ，AC 的中点，若5HF =，则EG 的长为（ ）A ．10B ．2.5C ．5D ．3.57．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD 的周长为80，BOC V 的周长比AOB V 的周长多20，则BC 长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30二、填空题8．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）在ABC V 中，D 、E 分别为AB 和AC 中点，若6BC =，则DE 的长为___________．9．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）点D 、E 、F 分别是ABC V 三边的中点，若DEF V 的周长是16．则ABC V 的周长是______．10．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，若ABCD Y 的周长为72cm ，过点D 分别作,AB BC 边上的高,DE DF ，且8cm,10cm DE DF ==，则ABCD Y 的面积为___________．11．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC BC ，，分别取AC BC ，的中点D ，E ，测得30m DE =，则AB 的长是___________m ．12．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点D ，E ，F 分别为ABC V 三边的中点．若ABC V 的周长为10，则DEF V 的周长为______．三、解答题13．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）已知四边形,,ABCD CD AC AB AC ⊥⊥，垂足分别为C 、A ，AD BC =．(1)求证：Rt ACD Rt CAB △≌△．(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形．14．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）已知：如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =，DF BE =，DF BE ∥．(1)求证：AFD CEB △≌△．(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形．15．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，垂足为O ，过点D 作BD 的垂线交BC 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ACED 是平行四边形．(2)若4AC =， 1.5AD =，34BD DE =，求BC 的长．18．（2022·广西百色·九年级统考期末）且BC DE =．(1)求证：ABC FDE △≌△；(2)连接AE ，CF ，求证：四边形参考答案：1．B【分析】根据平行四边形的判定定理，即可求解．【详解】∵①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．∴ A 、D 、C 均符合是平行四边形的条件，B 则不能判定是平行四边形．故选B ．2．A【详解】根据平行四边形性质可知：B. C. D 均是平行四边形的性质，只有A 不是．故选A.点睛：本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.3．D【分析】利用平行四边形的性质求解即可【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∴平行四边形ABCD 的周长＝3+3+4+4＝14，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答此题的关键．4．D【分析】根据OA ＝OC ，OD ＝OB 推出四边形ABCD 是平行四边形，根据全等三角形的判定定理SAS ，SSS ，推出即可．【详解】解：共4对，△ABD ≌△CDB ，△ACD ≌△CAB ，△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，理由是：∵OA ＝OC ，OD ＝OB∴四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ，AD ＝BC在△ABD 和△CDB 中AB CD AD BC BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，17．证明见解析【分析】先根据平行四边形的性质可得,OA OC ADBC =P ，再根据平行线的性质可得,OAE OCF OEA OFC ∠=∠∠=∠，然后利用AAS 定理证出AOE COF ≅V V ，最后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，,OA OC AD BC ∴=P ，,∴∠=∠∠=∠OAE OCF OEA OFC ，在AOE △和COF V 中，OAE OCF OEA OFC OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS ∴≅V V ，OE OF ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．18．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AD BF =得到AD DB DB BF +=+，即AB FD =，由BC DE ∥得到12∠=∠，即可证明ABC FDE △≌△；（2）连接AE ，CF ，由（1）知ABC FDE △≌△，可得34∠∠=，AC EF =，则AC EF P ，即可证得结论．【详解】（1）证明：如图所示：∵AD BF =，∴AD DB DB BF +=+．∴AB FD =．∵BC DE ∥，∴12∠=∠．在ABC V 和FDE V 中，∵12AB FD BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC FDE △≌△()SAS ．（2）连接AE ，CF ，由（1）知ABC FDE △≌△，∴34∠∠=，AC EF =．∴AC EF P ．∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，证明ABC FDE △≌△是解题的关键．。
(人教版)西安市八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测(有答案解析)
一、选择题1．下列命题是真命题的是（ ）A ．三角形的三条高线相交于三角形内一点B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．对于所有自然数n ，237n n -+的值都是质数D ．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等2．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130° 3．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ） A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．正方形 4．已知矩形ABCD ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（ ） A ．AC BD ⊥ B ．AC BD = C ．AC 平分BAD ∠ D ．ADB ABD ∠=∠ 5．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．86．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，E 、F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长不变C ．线段EF 的长逐渐减小D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 7．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）A ．①③④B ．②③⑤C ．①③④⑤D ．②③④⑤ 8．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,EF ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．129．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个10．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75º11．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（ ）A ．240+B ．213+C ．13D ．612．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒二、填空题13．如图所示，在平行四边形ABCD 中2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 边于点E ，且4AE =，则AB 的长为______．14．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为_____． 15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为_____．16．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．17．如图，B ，E ，F ，D 四点在一条直线上，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．18．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，若PAB △与ABC 全等，PC ________．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．20．如图，将Rt △ABC 沿着点B 到A 的方向平移到△DEF 的位置，BC ＝8，FO ＝2，平移距离为4，则四边形AOFD 的面积为__．三、解答题21．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝3，延长AC 到E ，使得CE ＝CD ，连接BE ．（1）求证：∠ACB ＝90°；（2）求线段BE 的长度．22．如图，已知，四边形ABCD 是平行四边形，AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，EF BC ⊥交BC 延长线于点F ，求证：四边形ABFD 是等腰梯形．23．在ABC 中，AB AC =，点D 在边BC 所在的直线上，过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，//DE AB 交直线AC 于点E ．（1）当点D 在边BC 上时，如图①，求证：DE DF AC +=．（2）当点D 在边BC 的延长线上时，如图②，线段DE ，DF ，AC 之间的数量关系是_____，为什么？（3）当点D 在边BC 的反向延长线上时，如图③，线段DE ，DF ，AC 之间的数量关系是____（不需要证明）．24．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．25．如图，在长方形ABCD 中，DC ＝6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2，那么折叠的△ADE 的面积为多少？26．如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接DE 交AC 于点M ．（1）如图1，若2,30,AB C AD BC =∠=︒⊥，求CD 的长；（2）如图2，若45ADB ∠=︒，点N 为ME 上一点，12MN BC =，求证：AN EN CD =+；（3）如图3，若30C ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点，直线DE 与直线AC 交于点M ，当ADM △为等腰三角形时，请直接写出此时CDM ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A进行判断；根据平行四边形的判定对B进行判断；取n=6可对C进行判断；根据三角形全等的知识可对D进行判断．【详解】解：A、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A选项错误；B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B选项错误；C、当n=6时，n2-3n+7=25，25不是质数，所以C选项错误；D、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项准确．故选：D．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．2．A解析：A【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠B即可得解．【详解】解：□ABCD中，∠B＝∠D，∵∠B+∠D＝100°，∴∠B＝1×100°＝50°，2故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．3．A解析：A【分析】画出图形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E，F，G，H是菱形各边的中点，∴EF∥BD，FG∥AC，∴EF⊥FG，同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据矩形的性质及正方形的判定进行分析即可．【详解】⊥，解：四边形ABCD是矩形，AC BD∴矩形ABCD是正方形；四边形ABCD是矩形，AD BC∴，//∴∠=∠，DAC BCAAC平分BAD∠，BAC DAC∴∠=∠，∴∠=∠，BAC ACB=，∴AB BC∴矩形ABCD是正方形；∠=∠，ADB ABD=，∴AB AD∴四边形ABCD是矩形，∴矩形ABCD是正方形；故选：B．【点睛】本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法．5．B解析：B【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AC＝124＝2，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．6．B解析：B【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．【详解】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选：B．【点睛】主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．7．D解析：D【分析】根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠BCD=180°-α，∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩，∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；∴EH ⊥GH ，④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．8．A解析：A【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE S S =，然后求解即可．【详解】解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP SS =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∵PM=AE=1，PF=NC=3， ∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】 本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 9．C解析：C【分析】证明△OFB ≌△CFB ，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确； 根据OC=OB ，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM ，故结论④是错误的；证NE ∥BM ，AN=NO=OM ，所以BM=3NE ，AO=2OM ，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，AC 、BD 互相平分，∵O 为AC 中点，∴BD 也过O 点，∴OB=OC ，∵∠COB=60°，OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB=BC=OC ，∠OBC=60°，∵FO=FC ，BF=BF∴△OBF ≌△CBF （SSS ），∴△OBF 与△CBF 关于直线BF 对称，∴FB ⊥OC ，OM=CM ；∴①正确，∵AB ∥CD ，∴∠OCF=∠OAE ，∵OA=OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE=OF ，FC=AE ，∴DF=BE ，DF ∥BE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S SOM BM AO NE =⋅⋅ =3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.10．C解析：C【分析】由翻折可知：△BDF≌△BCD，所以∠EBD=∠CBD，∠E=∠C=90°，由于△EDF是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°．【详解】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD，∵矩形的对边AD∥BC，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB，∴∠EBD=∠ADB，∵△EDF是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE，∴∠DBF=12∠DFE=22.5°，∴∠CBD =22.5°，∴∠BDC=67.5°，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．11．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF的长为2，然后作出点F关于BC的对称点F′，连接DF′交BC于点E，此时DEF周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF为矩形，得出FF′=3，然后在Rt△DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF周长的最小值．【详解】解：如图，作点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ．此时DE+EF 最小∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，∴DF=12BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，2'2222313DF DF FF +=+='∴△DEF 周长的最小值=DF+DE 13故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．12．B解析：B【分析】先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．【详解】由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，又∵''30A EB ∠=︒，∴75NEM ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．二、填空题13．4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DCAD ∥BC 推出∠DEC=∠BCE 求出∠DEC=∠DCE 推出DE=DC=AB 得出AD=2DE 即可求出AB 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB=D解析：4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC ，AD ∥BC ，推出∠DEC=∠BCE ，求出∠DEC=∠DCE ，推出DE=DC=AB ，得出AD=2DE ，即可求出AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AD ∥BC ，∴∠DEC=∠BCE ，∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCE=∠BCE ，∴∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC=AB ，∵AD=2AB=2CD ，CD=DE ，∴AD=2DE ，∴AE=DE=4，∴DC=AB=DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出DE=AE=DC 是解决问题的关键．14．5【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：∵62+82＝100＝102∴该三角形是直角三角形∴×10＝5故答案为：5【点睛】解析：5【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：∵62+82＝100＝102，∴该三角形是直角三角形， ∴12×10＝5． 故答案为：5【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出直角三角形是解题的关键．15．【分析】连接CM 由题意易证即得到PC=DC=3设AN=x 则PN=xBN=3-xCN=3+x 在中利用勾股定理即可求出x 即可得到CN 的长【详解】如图连接CM 由题意可知在和中∴∴PC=DC=3设AN=x 则解析：133【分析】连接CM ，由题意易证DMC PMC ≅，即得到PC=DC=3．设AN=x ，则PN= x ，BN=3-x ，CN=3+ x ．在Rt BCN △中利用勾股定理即可求出x ，即可得到CN 的长．【详解】如图，连接CM ，由题意可知122AM DM PM AD ====， 在Rt DMC 和Rt PMC 中，PM PD MC MC =⎧⎨=⎩， ∴DMC PMC ≅，∴PC=DC=3． 设AN=x ，则PN= x ，BN=3-x ，CN=3+ x ．在Rt BCN △中，222BC BN CN +=，即2224(3)(3)x x +-=+，解得：43x =， ∴CN=3+413333CN +==．故答案为：133． 【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．16．3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF 【详解】解：过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB=解析：3【分析】过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF ．【详解】解：过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，∵150ABC ∠=︒，∴∠ABM=30°，∴AM=12AB=12×6=3， ∵AM ⊥CB ，EF BC ⊥，∴AM ∥EF ，∵//AE BC ，∴四边形AMFE 是平行四边形，∵AM ⊥CB ，∴四边形AMFE 是矩形，∴EF=AM=3，故答案为：3．．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．17．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD 交于点O ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDAO=COBO=DO ∵正方形AECF 的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12AC 2=50， ∴AC=10cm ，∴AO=CO=5cm ，∵菱形ABCD 的面积为120cm 2， ∴12×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，∴BO=DO=12cm ， ∴22AB AO BO +25144+， 故答案为13． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 18．5cm 或cm 或cm 【分析】利用勾股定理列式求出AB 然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时AP 与BC 是对应边时四边形ACBP 是矩形然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时根据对称性可知AB ⊥P解析：5cm 或245cm 或75cm ． 【分析】利用勾股定理列式求出AB ，然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时，AP 与BC 是对应边时，四边形ACBP 是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时，根据对称性可知AB ⊥PC ，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P 与点C 在AB 的同侧时，利用勾股定理求出BD ，再根据PC=AB-2BD 计算即可得解．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =， 由勾股定理得，2222435AB AC BC cm =+=+=，如图，①点P 与点C 在AB 的两侧时，若AP 与BC 是对应边，则四边形ACBP 1是矩形， ∴P 1C=AB=5cm ，若AP 与AC 是对应边，则△ABC 和△ABP 关于直线AB 对称，∴AB ⊥PC设AB 与P 2C 相交于点D ，则S △ABC =12×5•CD=12×3×4， 解得CD=125， ∴P 2C=2CD=2×125=245， ②点P 3与点C 在AB 的同侧时，由勾股定理得，22221293()55BD BC CD =-=-=， 过点P 3作P 3E ⊥AB ，垂足E ，连接P 3C ，如图，则有12×5•P 3E=12×3×4， ∴P 3E=125∴P 3E=CD 又P 3E ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴P 3E//CD ，∴四边形P 3CDE 是平行四边形，又∠CDE=90°∴四边形P 3CDE 是矩形，∴P 3C=DE∵3P AB △≌ABC∴P 3A=BC ，∠P 3AB=∠CBA又∠P 3EA=∠CDB=90°∴△P 3AE ≌△CBD∴AE=BD∴P3C=AB-2BD=5-2×95=75，综上所述，PC的长为5cm或245cm或75cm．故答案为：5cm或245cm或75cm．【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．19．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．20．【分析】根据平移的性质判断AD＝CF＝BE＝4AD∥CF再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可【详解】如图连接CF由平移的性质知AD＝CF ＝BE＝4AD∥CF∴四边形ACFD为平行四边形∴＝解析：28【分析】根据平移的性质，判断AD＝CF＝BE＝4，AD∥CF，再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可．【详解】如图，连接CF ．由平移的性质知，AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，∴四边形ACFD 为平行四边形．∴ACFD S ＝AD •BC ＝4×8＝32，∵FO ＝2，∴S △FOC ＝12OF •BE ＝1242⨯⨯＝4， ∴AOFD S 四边形＝ACFD FOC S S -＝32-4＝28．故答案为28．【点睛】本题考查图形的平移以及平行四边形的判定．根据题意得出AOFD S 四边形＝ACFD FOC SS -是解答本题的关键． 三、解答题21．（1）见解析；（211【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定AC ⊥BC ；（2）在直角△BCE 中，利用勾股定理来求BE 的长度．【详解】证明：（1）∵在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝3∴AC 2＝4，BC 2＝8，AB 2＝12，∴AC 2+BC 2＝AB 2． ∴∠ACB ＝90°；（2）由（1）知，∠ACB ＝90°，则∠BCE ＝90°．∵D 是AB 的中点，AB ＝3CE ＝CD ，∴CE ＝CD ＝12AB 3 ∴在直角△BCE 中，由勾股定理得：BE 22BC EC +22(22)(3)+11【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．22．见解析．【分析】首先证明四边形ABDE 是平行四边形，即可得AB=DE ，等量代换可得CD=DE ，根据直角三角形斜边中线的性质定理可得DF ＝CD ＝DE ，进而可得AB=DF ，再说明线段AB 和DF 不平行即可求证结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB CD =．∴AB ∥DE ；又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴AB DE =．∴CD DE =．∵EF BC ⊥，∴DF ＝CD ＝DE ．∴AB DF =．∵CD 、FD 交于点D ，∴线段AB 与线段FD 不平行．∴四边形ABFD 是等腰梯形．【点睛】本题考查平行四边形的判定及其性质、梯形的判定，直角三角形的斜边中线的性质定理，解题的关键是掌握两腰相等的梯形是等腰梯形．23．）（1）见解析；（2）DF AC DE =+，见解析；（3）DE AC DF =+【分析】（1）证明四边形AFDE 是平行四边形，且△DEC 和△BDF 是等腰三角形即可证得；（2）结论：当点D 在边BC 的延长线上时，在图②中，DF AC DE =+，证明方法类似（1）；（3）结论：当点D 在边BC 的反向延长线上时，在图③中，DE AC DF =+．证明方法类似（1）．【详解】证明：（1）∵//DF AC ，//DE AB ．∴四边形AFDE 是平行四边形．∴DF AE =． ∵AB AC =． ∴B C ∠=∠． ∵//DE AB ． ∴EDC B ∠=∠． ∴EDC C ∠=∠． ∴DE EC =． ∴DE DF EC AE AC +=+=．（2）DF AC DE =+．理由：∵//DF AC ，//DE AB ，∴四边形AFDE 是平行四边形．∴AE DF =．∵//DE AB ，∴B BDE ∠=∠．∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．∵DCE ACB ∠=∠，∴BDE DCE ∠=∠．∴DE CE =．∴AC DE AC CE AE DF +=+==．（3）DE AC DF =+理由：∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴DF=AE ，∠EDC=∠ABC ，又∵∠AB=AC ，∴∠ABC=∠C∴∠EDC=∠C ，∴DE=EC ，∴DE EC AE AC AC DF ==+=+．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒【分析】（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．【详解】证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，//EG AB ∴，且12GE AB =， 同理可证：//HF AB ，且12HF AB =，//EG HF ∴，且EG HF =，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH EF ⊥，理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，12GF CD ∴=， 由（1）知12GE AB =， 又AB CD =，GE GF ∴=， 又四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，GH EF ∴⊥；（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，//EG AB ∴，//HF AB ，12GE AB =， //EG HF ∴，同理可证//EH GF ，12GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，∵AB CD =，GE GF ∴=，∴四边形EGFH 是菱形，20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE 平分∠GEH ，∴∠GEF=11502522GEH ∠=⨯︒=︒． 故答案为：25︒．【点睛】 本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．25．503cm 2 【分析】 由面积法可求BF 的长，由勾股定理可求AF 的长，即可求CF 的长，由勾股定理可求DE 的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝AD ，∵S △ABF ＝12AB×BF ＝24cm 2， ∴BF ＝8cm ，在Rt △ABF 中，AF =10（cm ），∵沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，∴AD ＝AF ＝10cm ，DE ＝EF ，∴BC ＝10cm ，∴FC ＝BC ﹣BF ＝2cm ，在Rt △EFC 中，EF 2＝EC 2＋CF 2，∴DE 2＝（6﹣DE ）2＋4，∴DE ＝103（cm ）， ∴S △ADE ＝12×AD×DE ＝1101023⨯⨯＝503（cm2）， 答：折叠的△ADE 的面积为503cm 2． 【点睛】 此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求线段的长度，熟记矩形的性质是解题的关键．26．（1）3；（2）见解析；（3）60︒或15︒或37.5︒【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=12AB=1，即可得出CD 的长；（2）在BD 上截取DF=EN ，可证出AEN ADF △≌△，由全等三角形的性质得AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，可得出,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，则AMN ABF △≌△，可得12BF MN BC ==，即F 是BC 的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD ；（3）由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD ，②AM=AD ，③AD=MD ，根据等腰三角形的性质求出AMD ∠的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，2,30AB C =∠=︒，∴BC=2AB=4，60B ∠=︒，∵AD BC ⊥∴90,30ADB BAD ∠=︒∠=︒，∴BD=12AB=1， ∴CD =BC-BD=4-1=3；（2）证明：如图2，在BD 上截取DF=EN ，∵把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，∴AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，∵45ADB ∠=︒，∴45ADF AEN ∠=∠=︒，∴AEN ADF △≌△，∴AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，∵90EAD ∠=︒，EAN DAF ∠=∠，∴90NAF ∠=︒，∵90BAC ∠=︒，ANE AFD ∠=∠，∴,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，∵AN=AF ，∴AMN ABF △≌△，∴12BF MN BC ==，即F 是BC 的中点， ∴AF=FC=DF+CD=EN+CD ，∵AN=AF ，∴AN EN CD =+；（3）解：由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒， ∴45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD 时，∵AM=MD ，∴45EDA MAD ∠=∠=︒，∴90AMD ∠=︒，∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=60︒；②AM=AD 时，∵AM=AD ，∴45EDA AMD ∠=∠=︒，∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=15︒；③AD=MD 时，∵AD=MD ，∴AMD MAD ∠=∠，∴45EDA ∠=︒， ∴1804567.52AMD MAD ︒-︒∠=∠==︒， ∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=37.5︒．∴当ADM △为等腰三角形时，CDM ∠的度数为60︒或15︒或37.5︒．【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．。
平行四边形章末重难点题型
专题1.6 平行四边形章末重难点题型【北师大版】【考点1 多边形的对角线】【方法点拨】从n边形的一个顶点出发，最多能画（n-3）条对角线，这些对角线能把n边形分成（n-2）个三角形。
共2)3(nn条对角线.【例1】（2019秋•杏花岭区校级期末）在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（）A．5B．6C．7D．8【变式1-1】（2019春•泰安期中）从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2019个三角形，则这个多边形的边数为（）A．2020B．2019C．2018D．2017【变式1-2】（2019春•东昌府区期末）多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是（）A．8B．9C．10D．11【变式1-3】一个凸n边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则n为（）A．4B．5C．6D．5或6【考点2 多边形的内角和与外角和】【方法点拨】多边形的外角和固定不变为360°，多边形的内角和为180（n-2）(其中n为边数）.【例2】（2019秋•仁怀市期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（）A．八B．九C．十D．十二【变式2-1】（2019秋•博白县期末）已知多边形的每个内角都是108°，则这个多边形是（）A．五边形B．七边形C．九边形D．不能确定【变式2-2】（2019秋•定州市期末）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140°B．180°C．220°D．320°【变式2-3】（2019秋•恩施市期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．10或11或12【考点3 平行四边形性质中的边角关系】【方法点拨】掌握平行四边形的边角性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的对边相等，且平行。
湘教版2021-2022学年八年级下册数学期中试卷(含答案)
湘教版八年级下册数学期中试卷一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．内角和为360°B．邻角互补C．对角线相等D．对角相等2．（3分）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．HL3．（3分）下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（）A．一组对边相等且平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．两条对角线互相平分D．两组对边分别相等4．（3分）已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．155．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，AD＝10，则点D到AB的距离是（）A．8 B．5 C．6 D．46．（3分）用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，若AE＝2，平行四边形ABCD的周长等于24，则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．7 D．88．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝，则四边形PEBF的周长为（）A．B．2C．2 D．111．（3分）如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（）A．16cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm212．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝．14．（3分）若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为．15．（3分）平行四边形ABCD中，AB、BC、CD的长度分别为2x+1，3x，x+4，则平行四边形ABCD的周长．16．（3分）已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是cm2．17．（3分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为．18．（3分）如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则△A2021B2021C2021的周长是．三．解答题（总分66分）19．（6分）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．20．（6分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE．21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AC上，且∠BDC＝60°，AC ＝12，求BD、BC的长．22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：DE∥BF．23．（8分）如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，其中对角线AC的长为10．计算：（1）对角线BD的长度．（2）菱形ABCD的面积．24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF＝CE；（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．25．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角角平分线的交点，ED ⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．26．（12分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．【分析】利用平行四边形的性质依次判断可求解．【解答】解：∵平行四边形的性质有对角相等，邻角互补，内角和为360°，∴平行四边形的性质不一定具有对角线相等，故选：C．2．【分析】根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP＝EP，AP＝AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP＝∠AEP＝90°，在Rt△ADP和△AEP中，∴Rt△ADP≌△AEP（HL），故选：D．3．【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意；C、两条对角线互相平分是平行四边形，故本选项不符合题意；D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B．4．【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【解答】解：依题意得：x2﹣4＝0，y2﹣3＝0，∴x＝2，y＝，斜边长＝＝，所以正方形的面积＝（）2＝7．故选：C．5．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的定义得到∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝5，根据角平分线的性质得到答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，又AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AD，又AD＝10，∴CD＝5，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB∴DE＝CD＝5，故选：B．6．【分析】此题需要动手操作或画图，用两块完全相同的直角三角形可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形．【解答】解：根据题意，能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形．故选D．7．【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC＝∠DCE，进而得出DE ＝DC＝AB求出即可．【解答】解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，AD＝BC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵四边形ABCD的周长等于24，AE＝2，∴AB+AD＝12，∴AB+AE+DE＝12，∴AB＝5．故选：A．8．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．9．【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD 的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，∴OD＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝MN＝1，∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故选：C．10．【分析】首先根据正方形的性质和勾股定理可求出AB的长，再由条件可知：四边形PEBF 为矩形，三角形AEP和三角形PFC为等腰直角三角形，所以PE+PF+BE+BF＝2AB，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB＝BC，∴AB2+BC2＝AC2，∵AC＝，∴AB＝BC＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∴四边形PEBF为矩形，△AEP和△PFC为等腰直角三角形，∴PF＝BE，PE＝AE，∴PE+PF+BE+AE＝2AB＝2，即四边形PEBF的周长为2，故选：C．11．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCE＝60°，判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，∵∠ECD＝30°，∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，∴△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，则EG＝EF＝×4＝2cm，∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．故选：C．12．【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP＝BQ，据此列出方程求解即可．【解答】解：由题意，点P在CD上，设运动时间为t秒，则CP＝12﹣3t，BQ＝t，根据题意得到12﹣3t＝t，解得：t＝3，故选：B．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．14．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x，（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10，（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x＝2．故第三边长为10或2．故答案为：10或2．15．【分析】根据平行四边形的对边相等可列出方程，从而解出x，这样就可得出各边的长，继而得出周长．【解答】解：∵平行四边形的对边相等，∴2x+1＝x+4解得：x＝3，即得AB＝7、BC＝9、CD＝7、DA＝9，∴平行四边形ABCD的周长是：AB+BC+CD+DA＝32，故答案为：32．16．【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条角平分线即为对角线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长，进而可得这个正方形的面积．【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，则根据正方形的性质可知：x2+x2＝42＝16，解可得x＝2cm；则它的面积是x2＝8cm2，故答案为8cm2．17．【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．【解答】解：连接O1B、O1C，如图：∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形＝1，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形＝1，∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n﹣1）．故答案为：n﹣118．【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出结论．【解答】解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，∴△A1B1C1的周长是16，∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，∴△A2B2C2的周长是×16＝8，同理，△A3B3C3的周长是××16＝×16＝4，…，以此类推，△A n B n∁n的周长是×16＝，∴△A2021B2021C2021的周长是＝．故答案是：＝．三．解答题（总分66分）19．【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n 边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）×180＝360×4，n﹣2＝8，n＝10．答：这个多边形的边数是10．20．【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，根据直角三角形全等的判定定理推出即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，在Rt△ADF和Rt△CBE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）．21．【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ABD＝30°，则∠A＝∠ABD，再由等角对等边得出BD＝AD，设CD＝x，则BD＝AD＝2x，求出x＝4，即可求出BC的值．【解答】解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°．∴∠A＝∠ABD＝30°，∴BD＝AD．在Rt△BCD中，∠C＝90°，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD，设CD＝x，则BD＝AD＝2x，∴x+2x＝12，∴x＝4，∴BD＝8，∴BC＝＝＝4．22．【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由中点的性质可得DF＝BE，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点．∴DF CD，BE＝AB，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF．23．【分析】（1）由菱形的性质可知AC⊥BD，在Rt△ABE中可求得BE的长，则可求得BD 的长；（2）利用菱形的面积公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且AE＝EC＝AC＝5，且BE＝DE＝BD，∵菱形的边长为13，∴AB＝13，在Rt△ABE中，BE＝＝＝12，∴BD＝2BE＝24；（2）∵AC＝10，BD＝24，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×10×24＝120．24．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC＝2DE，求出EF∥AC，EF＝AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF＝CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC＝CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC＝2DE，∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC＝CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．25．【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF＝ED＝EM．再证明四边形EFDC 是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．【解答】证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．26．【分析】（1）由题意可证OE＝OC，OF＝OC，即可得OE＝OF；（2）根据三角形内角和定理可求∠ECF＝90°，根据勾股定理可求EF的长，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得OC的长；（3）当点O在AC的中点时，且OE＝OF可证四边形AECF是平行四边形，再根据∠ECF＝90°，可证四边形AECF是矩形．【解答】证明：（1）∵CF平分∠ACD，且MN∥BD∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO∴OF＝OC同理可证：OC＝OE∴OE＝OF（2）由（1）知：OF＝OC＝OE∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC∴∠OCF+∠OCE＝∠OFC+∠OEC而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC＝180°∴∠ECF＝∠OCF+∠OCE＝90°∴∴（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形理由如下：∵当点O移动到AC中点时∴OA＝OC且OE＝OF∴四边形AECF为平行四边形又∵∠ECF＝90°∴四边形AECF为矩形。