函数几何综合性问题
一次函数代数几何综合问题
一次函数代几综合问题一．填空题（共6小题）1．如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、B．若以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是．2．一次函数y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为．3．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为．4．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为．5．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、A n B n C n C n﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、A n均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、C n均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点A n的坐标为．6．如图，直线1：与x轴、y轴分别相交于点A、B，△AOB与△ACB关于直线l对称，则点C的坐标为．二．解答题（共24小题）7．已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y 轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值．8．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式；（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．9．认真阅读材料，然后回答问题：我们知道，在数轴上，x=1表示一个点．而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程2x﹣y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1可以得出：直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它左侧的部分，如图2；y≧2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它上方的部分，如图3．回答下列问题：请你自己作一个直角坐标系，并在直角坐标系中（1）用作图象的方法求出方程组的解．（2）用阴影表示，所围成的区域．10．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1和l2相交于点A，它们的解析式分别为l1：y=x，l2：y=﹣x+．直线l2与两坐标轴分别相交于点B和点C，点P在线段OB上从点O出发．以每秒1个单位的速度向点B运动，同时点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B→O→C→B的方向向点B运动，过点P作直线PM⊥OB分别交l1，l2于点M，N．连接MQ．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）（1）求点A的坐标；（2）点Q在OC上运动时，试求t为何值时，四边形MNCQ为平行四边形；（3）试探究是否存在某一时刻t，使MQ∥OB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知，将边长为5的正方形ABCO放置在如图所示的直角坐标系中，使点A在x轴上，点C在y轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．（1）当t=1时，求直线MC的解析式；（2）设△AMN的面积为S，求S关于t的函数解析式并写出相应t的取值范围；（3）在该平面直角坐标系中，第一象限内取点P（2，y），是否存在以M、N、C、P为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图①，以四边形AOCD的顶点O为原点建立直角坐标系，点A、C、D的坐标分别为（0，2）、（2，0）、（2，2），点P（m，0）是x轴上一动点，m是大于0的常数，以AP为一边作正方形APQR（QR落在第一象限），连接CQ．（1）请判断四边形AOCD的形状，并说明理由：（2）连接RD，请判断△ARD的形状，并说明理由：（3）如图②，随着点P（m，0）的运动，正方形APQR的大小会发生改变，若设CQ所在直线的表达式为y=kx+b（k≠0），求k的值．14．如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，AB在x轴正方向上，E、F分别是AD、BC的中点，M在DC上，将△ADM沿折痕AM折叠，使点D折叠后恰好落在EF上的P点处．（1）求点M、P的坐标；（2）求折痕AM所在直线的解析式；（3）设点H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．（1）点N的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．16．已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点，另一直线经过点B和点D（11，6）．（1）求AB、BD的长度，并证明△ABD是直角三角形；（2）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标；（3）一动点P速度为1个单位/秒，沿A﹣﹣B﹣﹣D运动到D点停止，另有一动点Q从D点出发，以相同的速度沿D﹣﹣B﹣﹣A运动到A点停止，两点同时出发，PQ的长度为y（单位长），运动时间为t（秒），求y关于t的函数关系式．17．如图：直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点C（x，y）是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6；（3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．19．如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知，直线y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）求三角形ABC的面积S△ABC；（2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．21．如图，在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）已知OC⊥AB于C，求C点坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：①BC的长为；②DE的长为；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点C1和B1，连接B1C1交OA于P．B1D平分∠OB1C1，交OA于点D，过点D作DE⊥B1C1，垂足为E，请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当B1E=6，C1E=4时，求直线B1D的解析式．23．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．24．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（8，0）和点B（0，6）．（1）确定此一次函数的解析式．（2）求坐标原点O到直线AB的距离．（3）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PM垂直于x轴于M，作PN垂直于y轴于N，记L=PM+PN，问L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此时P点到原点O的距离，若不存在请说明理由．25．已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在坐标轴上，且PO=2AO．求△ABP的面积．26．已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为．27．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴，y轴于B、A两点，D、E分别是OA、OB的中点，点P从点D出沿DE方向运动，过点P作PQ⊥AB于Q，过点Q作QR∥OA交OB于R，当点Q与B点重合时，点P停止运动．（1）求A、B两点的坐标；（2）求PQ的长度；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的点R的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．（1）填空：点C的坐标是（，），点D的坐标是（，）；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y 轴建立直角坐标系（如图）．（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；（2）求直线BD的函数关系式；（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．30．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学 一次函数综合类问题四大类
大类一、一次函数与几何综合班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，uj7BM即为水平宽度，则=AMkBM，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；②若k1·k2=-1，则直线l1⊥l2．3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．【精讲精练】1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．MA B第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_________．3. 如图，直线483y x =-+交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ，则点C 的坐标为4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________． 5. 如图，已知直线l ：y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．第5题图 第6题图 第7题图6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE :EA =5:3，EC=BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处．若以点A 为原点，以直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线FC 的表达式为__________________．7. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定点Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点．（1）a 的取值范围是________________；（2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范围是____________8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．第9题图9. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以点P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标．大类二、一次函数之存在性问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题． 【精讲精练】 1.如图，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值． （2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=点C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.点C 是直线y =kx +3上与A ，B 不重合的动点．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．？求出此时（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若Array存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．大类三、一次函数之动点问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【精讲精练】1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒． （1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t4.如图，直线y =+与x 轴交于点A，与直线y =交于点P ．（1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．大类四、一次函数之面积问题 班级：_________ 姓名：__________【知识点睛】1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线， 通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 ① 割补求面积（铅垂法）：12△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、 精讲精练1. 如右图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．2. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △PAB =___________．第2题图 第3题图3. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，直线CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =4.5，则k =__________．4. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，B (6，6)，C (8，2)，求四边形OABC 的面积．6. 如图，直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C (1，2)，坐标轴上是否存在点P ，使S △ABP =S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7. 如图，已知直线m 的解析式为112y x =-+，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，且∠BAC =90°，点P 为直线x =1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．8.如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分类一参考答案】 二、精讲精练1．232．⊥，-1 3．7(0)3-， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55--， 5．y =+ 6．4163y x =-+ 7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:9 10．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0)【分类二参考答案】 二、精讲精练1．333(4444或(或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43k =（2）A (6，4) （3）123413(120)03P P P P 或(-)或，或(，)3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3（3）123433(30)(22P P P P +，或或或(，) 4．1261224()(46)5555--，或(，)或，5．（1）33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩（2）1217919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555P P ，或(-，) 【分类三参考答案】1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)(48)t S t <=⎨⎪+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(0M 或3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2） （3）22(03)(34)t S t <=⎨⎪+-<<⎪⎩≤第21页/共21页 5．（1）(40)(04)A B ，,， （2）2112S t =.（3）2221(02)2388(24)2t tS t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤ 【分类四参考答案】二、精讲精练1．72 2．8 3．52 4．925．24 6．123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --，或，或，或，7．（1）52；（2）12(13)(12)P P -，或，8．（1）10；（2）12162242()()3333M M -，或，。
一次函数与几何图形综合题(含答案)
一次函数与几何图形综合题(含答案)近日，举行了一次关于一次函数与几何图形综合的专题讲座。
在思想方法方面，介绍了函数方法和数形结合法。
函数方法是通过观察运动和变化来分析数量关系，并将其抽象升华为函数模型，从而解决问题的方法。
数形结合法则是将数与形结合起来，分析研究并解决问题的一种思想方法，对于与函数有关的问题，使用数形结合法能够事半功倍。
在知识规律方面，讲座介绍了常数k和b对直线y=kx+b(k≠0)位置的影响。
当b大于0时，直线与y轴的正半轴相交；当b等于0时，直线经过原点；当b小于0时，直线与y轴的负半轴相交。
当k和b异号时，即b大于0时，直线与x轴正半轴相交；当k和b同号时，即k和b的乘积小于0时，直线与x轴负半轴相交。
当k大于0且b大于0时，图象经过第一、二、三象限；当k大于0且b等于0时，图象经过第一、三象限；当b大于0且b小于0时，图象经过第一、三、四象限；当k小于0且b大于0时，图象经过第一、二、四象限；当k小于0且b等于0时，图象经过第二、四象限；当b小于0且b小于0时，图象经过第二、三、四象限。
讲座还介绍了直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx(k≠0)的位置关系。
当b大于0时，将直线y=kx向上平移b个单位，即可得到直线y=kx+b；当b小于0时，将直线y=kx向下平移|b|个单位，即可得到直线y=kx+b。
另外，当k1不等于k2时，y1与y2相交；当k1等于k2且b1不等于b2时，y1与y2平行但不重合；当k1等于k2且b1等于b2时，y1与y2重合。
最后，讲座还通过一个例题对知识规律进行了精讲。
题目是直线y=－2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB。
要求求出AC的解析式。
的性质，需要灵活运用几何知识和代数知识。
在解答过程中，要注意清晰的逻辑思路和准确的计算，避免出现错误。
2) 在OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q。
我们来探究一下BP与PQ的数量关系，并证明结论。
例讲初中数学一次函数与几何综合问题
(下转第 ５７ 页)
学习指导
２０２３ 年 １２ 月下半月
这些错误都是解题 教 学 的 宝 贵 资 源 ．
教师应指导学困
题能力 ．
生从思想 上 重 视 错 题,并 明 确 错 题 是 宝 贵 的 知 识 财
富;在解题教 学 中,聚 焦 错 题,引 领 学 生 分 析、反 思 错
误产生的原因,并找到正确的解题方法 ．
°,点 P 是
∠AOB 内 的 定 点 且 OP ＝ ３,若 M ,N 分 别 是 射 线
OA ,
OB 上 异 于 点 O 的 动 点,求 △PMN 周 长 的 最
小值 ．
(
１)平行四边形的 存 在 性 口 诀:平 行 四 边 存 在 性,
对边平行且相等,等量关系里面有 ．
常通过平行四 边 形
性质得到对边的位置关系与数量关系 ．
１)
借助表达式设出点的坐标,将 点 的 坐 标 转 化 为 横 平 竖
点O,
B 重合),作 CD 平 行 于y 轴 交 直 线l２ 于 点 D ,
究几何特征,考 虑 线 段 间 关 系,通 过 设 线 段 长 进 而 表
解:(
１)在 y＝－x＋２４ 中,令 x＝０,则 y＝２４,所
以 A(
０,
２４)．
以在解决一次函数与几何 综 合 问 题 时,可 以 从 如 下 解
故 S△ABO ＝
题技巧来破解:数形结 合 记 心 头,大 题 小 做 来 转 化,潜
在条件不能忘,化动为 静 多 画 图,分 类 讨 论 要 严 密,方
程函数是工具,计算 推 理 要 严 谨,创 新 品 质 得 提 高 ．
做
不出,找相似,有 相 似,用 相 似;构 造 定 理 所 需 的 图 形
函数与几何综合专项测试(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：对于函数与几何综合的问题有哪几种分析思路？问题2：反比例函数与几何综合问题的处理思路是什么？问题3：反比例函数与几何综合常见的结论和模型有哪些？如何证明？函数与几何综合专项测试一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，正方形ABCD的顶点B，C均在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点A(m，2)和CD边上的点，过点E的直线交x轴于点F，交y 轴于点G(0，-2)，则点F的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合2.如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，5)，C(6，1)．若函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数图象的对称性3.如图，点在双曲线上，过点P的直线与坐标轴分别交于A，B两点，且．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C，点D．则四边形ABCD的面积最小值为( )A.10B.8C.6D.不确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合4.在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C(0，n)是y轴正半轴上一点．若把坐标平面沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴上，则点C的坐标是( )A. B.C.(0，3)D.(0，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）5.如图，直线y=-x+b（）与双曲线（）交于A，B两点，连接OA，OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，有下列结论：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB=k；④当时，ON-BN=1．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图，△AOB为正三角形，点B坐标为（2，0），过点C（-2，0）作直线交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等，则直线的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题7.如图，已知直线经过A（0，1），B（1，0）两点，P是x轴正半轴上的一动点，且OP的垂直平分线交直线于点Q，交x轴于点M，直线经过点A且与x轴平行．若在直线上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点C的坐标为( )A.（1，1）B.（1，1）或（2，1）C.（2，1）D.（1，1）或（0，1）答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形存在性8.如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线上，⊙P恒过点F(0，n)，且与直线y=-n始终保持相切，则n的值为( )A.aB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合9.已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合10.二次函数的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数之面积问题。
中考数学-函数与几何综合问题(共25题)(解析版)
专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,2 3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN= AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB =8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN=MN，∠ANM=90°，∴∠MNK+∠ANJ=90°，∴∠MNK=∠NAJ，∴△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，∴MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB=8，∴-2x-12-x=8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线y =-43x +2上的一动点，动点E m ，0 ，F m +3，0 ，连接BE ，DF ，HD ．当BE +DF 取最小值时，3BH +5DH 的最小值是．【答案】392【分析】作出点C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，此时BE +DF 的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得F 113，0 ，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，此时3BH +5DH 的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴B 0，2 ，A 6，0 ，作点B 关于x 轴的对称点B 0，-2 ，把点B 向右平移3个单位得到C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，过点B 作B E ∥CD 交x 轴于点E ，则四边形EFCB 是平行四边形，此时，BE =B E =CF ，∴BE +DF =CF +DF =CD 有最小值，作CP ⊥x 轴于点P ，则CP =2，OP =3，∵∠CFP =∠AFD ，∴∠FCP =∠FAD ，∴tan ∠FCP =tan ∠FAD ，∴PF PC =OB OA ，即PF 2=26，∴PF =23，则F 113，0 ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =-2113k +b =0，解得k =3b =-11 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -11，联立，y =3x -11y =-13x +2 ，解得x =3910y =710，即D 3910，710；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，直线y =-43x +2与x 轴的交点为Q 32，0 ，则BQ =OQ 2+OB 2=52，∴sin ∠OBQ =OQ BQ =3252=35，∴HG =BH sin ∠GBH =35BH ，∴3BH +5DH =535BH +DH =5HG +DH =5DG ，即3BH +5DH 的最小值是5DG =5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y =a (x -1)(x -5)a >12的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点M 3，1 的直线将△ABC 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．【答案】910或2+25或2+12【分析】先求得A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，直线BM 解析式为y =-12x +52，直线AM 的解析式为y =12x -12，1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线AM 过BC 中点，②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线ME ∥AC ，⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得AE AB =12，进而根据tan ∠MEN =tan ∠CBO ，即可求解．【详解】解：由y =a (x -1)(x -5)，令x =0，解得：y =5a ，令y =0，解得：x 1=1,x 2=5，∴A 1,0 ，B 5,0 ，C 0,5a ，设直线BM 解析式为y =kx +b ，∴5k +b =03k +b =1解得：k =-12b =52 ∴直线BM 解析式为y =-12x +52，当x =0时，y =52，则直线BM 与y 轴交于0,52，∵a >12，∴5a >52，∴点M 必在△ABC 内部．1)、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线AM 的解析式为y =mx +n∴k +b =03k +b =1解得：m =12n =-12 则直线AM 的解析式为y =12x -12①如图1，直线AM 过BC 中点，，BC 中点坐标为52, 52a ，代入直线求得a =310<12，不成立； ②如图2，直线BM 过AC 中点，直线BM 解析式为y =-12x +52，AC 中点坐标为12,52a ，待入直线求得a =910；③如图3，直线CM 过AB 中点，AB 中点坐标为3,0 ，∴直线MB 与y 轴平行，必不成立；2)、当分成三角形和梯形时，过点M 的直线必与△ABC 一边平行，所以必有“A ”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥AB ，∴△CEN ∽△COA∴CE CO =CN CA =12，∴5a -15a =12，解得a =2+25；⑤如图5，直线ME∥AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO∴BE AB =12，又AB=4，∴BE=22，∵BN=5-3=2<22，∴不成立；⑥如图6，直线ME∥BC，同理可得AEAB=12，∴AE=22，NE=22-2，tan∠MEN=tan∠CBO，∴1 22-2=5a5，解得a=2+12；综上所述，a=910或2+25或2+12．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B的坐标；(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B-4,0(2)tan∠MND=13(3)存在，等腰三角形的个数是8个，Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4 -4,3【分析】(1)解方程得到OB，OC的长，从而得到点B的坐标；(2)由OD:OC=2:1，OC=2，得OD=4．由AD=BC=6，M是AD中点，得到点M的坐标，代入直线y =-x+b中，求得b的值，从而得到直线的解析式，进而求得点E，点F的坐标，由坐标特点可得∠FEO= 45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．从而△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2: 1，进而得到NK=2CK，易证∠KEN=∠KNE=45°，可得EK=NK=2CK，因此EC=CK，由EC=OC -OE=2-1=1可得CK=1，NK=2，EK=2，从而通过解直角三角形在Rt△ENK中，得到EN=EK cos∠KEN =22，在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=22，因此求得NH=EN-EH=322，最终可得结果tan∠MND=CHNH=13；(3)分PN=PQ，PN=NQ，PQ=NQ三大类求解，共有8种情况．【详解】(1)解方程x2-6x+8=0，得x1=4，x2=2．∵OB>OC，∴OB=4，OC=2．∴B-4,0；(2)∵OD:OC=2:1，OC=2∴OD=4．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6．∵M是AD中点，∴MD=3．∴M-3,4．将M-3,4代入y=-x+b，得3+b=4．∴b=1．∴E1,0，F0,1．∴∠FEO=45°．过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．∵△DOC∽△NKC，DO:OC=NK:CK=2:1．∴NK=2CK∵∠KEN=∠FEO=45°∴∠KNE=90°-∠KEN=45°∴∠KEN=∠KNE∴EK=NK=2CK∴EC=CK∵EC=OC-OE=2-1=1∴CK=1，NK=2，EK=2∴在Rt△ENK中，EN=EKcos∠KEN =2cos45°=22在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cos∠CEH=1⋅cos45°=22∴NH =EN -EH =22-22=322∴tan ∠MND =CH NH =22322=13(3)解：由(2)知：直线EF 解析式为y =-x +1，N 3,-2 ，设P 0,p ，Q q ,-q +1 ，①当PN =QN =5时，3-0 2+-2-p 2=52，3-q 2+-2+q -1 2=52，解得p =-6或p =2，q =6+522或q =6-522，∴Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，P 10,-6 ，P 20,2 ，如图，△P 1Q 1N 、△P 1Q 2N 、△P 2Q 1N 、△P 2Q 2N 都是以5为腰的等腰三角形，；②当PQ =QN =5时，由①知：Q 16-522,52-42 ，Q 26+522,-52+42 ，∵6+522>5，∴PQ 2不可能等于5，如图，△P 3Q 1N ，△P 4Q 1N 都是以5为腰的等腰三角形，；③当PN=PQ=5时，由①知：P10,-6，P20,2，当P10,-6时，0-q2+-6+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=4，∴Q34,-3，如图，当P20,2时，0-q2+2+q-12=5，解得q1=3(舍去)，q2=-4，∴Q4-4,3，如图，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q坐标为Q16-522,52-42，Q26+522,-52+42，Q34,-3，Q4-4,3【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是⊙O 的切线，证明见解析(2)1+52(3)y =x 0<x ≤1【分析】(1)依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB =90°，从而∠CAB +∠ABC =90°，然后根据∠DBC =∠CAB ，可以得解；(2)由题意，据S 1⋅S =S 2 2得CD CD +AC =AC 2，再由tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC ，进而进行变形利用方程的思想可以得解；(3)依据题意，连接OM ，分别在Rt △OFM 、Rt △AFE 、Rt △BFN 中，找出边之间的关系，进而由FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，可以得解．【详解】(1)解：BD 是⊙O 的切线．证明：如图，在△ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∴∠ACB =90°．又点A ，B ，C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB =90°，∴∠CAB +∠ABC =90°．又∠DBC =∠CAB ，∴∠DBC +∠ABC =90°．∴∠ABD =90°．∴BD 是⊙O 的切线．(2)由题意得，S 1=12BC ⋅CD ，S 2=12BC ⋅AC ，S =12AD ⋅BC ．∵S 1⋅S =S 2 2，∴12BC ⋅CD ⋅12AD ⋅BC =12BC ⋅AC 2．∴CD •AD =AC 2．∴CD CD +AC =AC 2．又∵∠D +∠DBC =90°，∠ABC +∠A =90°，∠DBC =∠A ，∴∠D =∠ABC ．∴tan ∠D =BC CD =tan ∠ABC =AC BC．∴CD =BC 2AC．又CD CD +AC =AC 2，∴BC 4AC2+BC 2=AC 2．∴BC 4+AC 2⋅BC 2=AC 4．∴1+AC BC 2=AC BC4．由题意，设tan D 2=m ，∴AC BC2=m ．∴1+m =m 2．∴m =1±52．∵m >0，∴m =1+52．∴tan D 2=1+52．(3)设∠A =α，∵∠A +∠ABC =∠ABC +∠DBC =∠ABC +∠N =90°，∴∠A =∠DBC =∠N =α．如图，连接OM ．∴在Rt △OFM 中，OF =OM 2-FM 2=1-x 2．∴BF =BO +OF =1+1-x 2，AF =OA -OF =1-1-x 2．∴在Rt △AFE 中，EF =AF ⋅tan α=1-1-x 2 ⋅tan α，AE =AF cos α=1-1-x 2cos α．在Rt △ABC 中，BC =AB ⋅sin α=2sin α．(∵r =1，∴AB =2)AC =AB ⋅cos α=2cos α．在Rt △BFN 中，BN =BF sin α=1+1-x 2sin α，FN =BF tan α=1+1-x 2tan α．∴y =FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=x 2⋅12+21-x 2+12-21-x 2=x 2⋅2-21-x 2+2+21-x 24-41-x 2 =x 2⋅1x 2=x 2⋅1x=x ．即y =x ．∵FM ⊥AB ，∴FM 最大值为F 与O 重合时，即为1．∴0<x ≤1．综上，y =x 0<x ≤1 ．【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．【答案】(1)k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2(2)①函数y 2的图像的对称轴为x =-13；②函数y 2的图像过两个定点0，1 ，-23,1 ，理由见解析(3)能构成正方形，此时S >2【分析】(1)根据题意得到a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0即可解答；(2)①求出y 1的对称轴，得到s =-3r ，表示出y 2的解析式即可求解；②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0求解即可；(3)由题意可知y 1=ax 2+bx +c ，y 2=cx 2-bx +a 得到A 、B 的坐标，表示出CD ，EF ，根据CD =EF 且b 2-4ac >0，得到a =c ，分a =-c 和a =c 两种情况求解即可．【详解】(1)解：由题意可知：a 2=c 2，a 1=c 2，b 1=-b 2≠0，∴m =3，n =2，k =-1．答：k 的值为-1，m 的值为3，n 的值为2．(2)解：①∵点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，∴对称轴为x =r +s 2=-2r 2，∴s =-3r ，∴y 2=sx 2-2rx +1，∴对称轴为x =--2r 2s =r s =-13．答：函数y 2的图像的对称轴为x =-13．②y 2=-3rx 2-2rx +1=-3x 2+2x r +1，令3x 2+2x =0，解得x 1=0,x 2=-23，∴过定点0，1，-2 3 ,1．答：函数y2的图像过定点0，1，-2 3 ,1．(3)解：由题意可知y1=ax2+bx+c，y2=cx2-bx+a，∴A-b2a ,4ac-b24a,B b2c,4ac-b24c，∴CD=b2-4aca ，EF=b2-4acc，∵CD=EF且b2-4ac>0，∴a =c ；①若a=-c，则y1=ax2+bx-a,y2=-ax2-bx+a，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，∴CD=2y A ，∴b2+4a2|a|=2⋅-4a2-b24a，∴2b2+4a2=b2+4a2，∴b2+4a2=4，∴S正=12CD2=12⋅b2-4aca2=12⋅b2+4a2a2=2a2，∵b2=4-4a2>0，∴0<a2<1，∴S正>2；②若a=c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S>2．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB C Q．(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB C C的面积；(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB C C的面积为S，求S关于x的函数表达式．【答案】(1)43+8(2)S=323xx2+12+43【分析】(1)连接BD、BQ，根据菱形的性质以及已知条件可得△BDC为等边三角形，根据∠QPB=45°，可得△PBQ为等腰直角三角形，则PB=23，PQ=26，根据翻折的性质，可得∠BPB =90°，PB=PB ，则BB =26，PE=6；同理CQ=2，CC =22，QF=2；进而根据S四边形BB C C=2S梯形PBCQ-S△PBB+S △CQC，即可求解；(2)等积法求得BE =23x x 2+12，则QE =12x 2+12，根据三角形的面积公式可得S △QEB =123x x 2+12，证明△BEQ ∼△QFC ，根据相似三角形的性质，得出S △QFC =43x x 2+12，根据S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC 即可求解．【详解】(1)如图，连接BD 、BQ ，∵四边形ABCD 为菱形，∴CB =CD =4，∠A =∠C =60°，∴△BDC 为等边三角形．∵Q 为CD 中点，∴CQ =2，BQ ⊥CD ，∴BQ =23，QB ⊥PB ．∵∠QPB =45°，∴△PBQ 为等腰直角三角形，∴PB =23，PQ =26，∵翻折，∴∠BPB =90°，PB =PB ，∴BB =26，PE =6；.同理CQ =2，∴CC =22，QF =2，∴S 四边形BB C C =2S 梯形PBCQ -S △PBB +S △CQC =2×12×2+23 ×23-12×23 2+12×22=43+8；(2)如图2，连接BQ 、B Q ，延长PQ 交CC 于点F ．∵PB =x ，BQ =23，∠PBQ =90°，∴PQ =x 2+12．∵S △PBQ =12PQ ×BE =12PB ×BQ ∴BE =BQ ×PB PQ =23x x 2+12，∴QE =12x 2+12，∴S △QEB =12×23x x 2+12×12x 2+12=123x x 2+12．∵∠BEQ =∠BQC =∠QFC =90°，则∠EQB =90°-∠CQF =∠FCQ ，∴△BEQ ∼△QFC ，∴S △QFC S △BEQ =CQ QB 2=223 2=13，∴S △QFC =43x x 2+12．∵S △BQC =12×2×23=23，∴S =2S △QEB +S △BQC +S △QFC =2123x x 2+12+23+43x x 2+12=323x x 2+12+43．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x2+23x的图象与x 轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为．【答案】(1)A2，0，B1，3；(2)①∠EDA的大小不变，理由见解析；②线段BF的长度存在最大值为12；(3)239【分析】(1)y=0得-3x2+23x=0，解方程即可求得A的坐标，把y=-3x2+23x化为顶点式即可求得点B的坐标；(2)①在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，证明△AED是等边三角形即可得出结论；②由BM= AB-AF=2-AF，得当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，进而解直角三角形即可求解；(3)设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，证四边形OACB是菱形，得BC∥OA，进而证明△MBE≌△MHD得DH=BE，再证△BME∽△NAM，得ANBM=MNBE=AMME即1BM=MNBE=3，结合三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵y=-3x2+23x=-3x-12+3，∴顶点为B1，3，令y=0，-3x2+23x=0，解得x=0或x=2，∴A2，0；(2)解：①∠EDA的大小不变，理由如下：在AB上取点M，使得BM=BE，连接EM，∵y=-3x-12+3，∴抛物线对称轴为x=1，即ON=1，∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴△BAC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠C=60°，∵A2，0，B1，3，O0，0，ON=1，∴OA=2，OB=12+32=2，AB=2-12+32=2，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AC=BC=2，∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，∵∠MBE=60°，BM=BE，∴△BME是等边三角形，∴∠BME=60°=∠ABE，ME=BE=BM，∴∠AME=180°-∠BME=120°，BD∥EM，∵∠DBE=∠ABO+∠ABC=120°，∴∠DBE=∠AME，∵BD∥EM，∴∠FEM+∠BED=180°-120°=60°=∠AEF=∠MEA+∠FEM，∴∠BED=∠MEA，∴△BED≌△MEA，∴DE=EA，又∠AED=60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE=60°，即∠ADE的大小不变；②，∵BF=AB-AF=2-AF，∴当AF最小时，BF的长最大，即当DE⊥AB时，BF的长最大，∵△DAE是等边三角形，∴∠DAF=12∠DAE=30,∴∠OAD=60°-∠DAF=30°，∴AD⊥OB，∴AD=OA×cos∠OAD=2×cos30°=3，∴AF=AD×cos∠DAF=2×cos30°=32，∴BF=AB-AF=2-32=12，即线段BF的长度存在最大值为12；(3)解：设DE的中点为点M，连接AM，过点D作DH⊥BN于点H，∵OA=OB=AC=BC=2，∴四边形OACB是菱形，∴BC∥OA，∵DH⊥BN，AN⊥BN，∴DH∥BC∥OA，∴∠MBE=∠MHD，∠MEB=∠MDH，∵DE的中点为点M，∴MD=ME，∴△MBE≌△MHD，∴DH =BE ，∵∠ANM =90°，∴∠MBE =180°-90°=90°=∠ANM ，∠NMA +∠NAM =90°，∵DE 的中点为点M ，△DAE 是等边三角形，∴AM ⊥DE ，∴∠AME =90°，∴∠BME +∠NMA =180°，∴∠BME =∠NAM ，∴△BME ∽△NAM ，∴AN BM =MN BE =AM ME 即1BM =MN BE=3，∴BM =33， ∴MN =BN -BM =233，∴DH =BE =MN 3=23，∴S △BDE =S △BDM +S △BEM =12×33×23+12×33×23=239，故答案为239．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．【答案】(1)C (3,1)，D (0,2)，E (6,0)(2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)【分析】(1)根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；(2)①设F (m ,0),然后利用勾股定理求解，m =2，过点C 作CG ⊥x 轴，垂足为G ．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；②根据题意得出tan ∠PFK =13，设点P 的坐标为t ,-t 2+3t +1 ，根据题意得13<t <3．分两种情况分析：(i )当点P 在直线KF 的左侧抛物线上时，tan ∠P 1FK =13,13<t <2．(ii )当点P 在直线KF 的右侧抛物线上时，tan ∠P 2FK =13,2<t <3．求解即可．【详解】(1)解：∵直线y =-13x +2交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，当x =0时，y =2,∴D 0,2 ，当y =0时，x =6,∴E 6,0 ．∵直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点，∴-x 2+3x +1=-13x +2，∴3x 2-10x +3=0，解得x 1=13,x 2=3．∵点B 在点C 的左侧，∴点C 的横坐标为3，当x =3时，y =1．∴C (3,1)；(2)如图，①抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，当x =0时，y =1,．∴A (0,1),∴OA =1,在Rt △AOF 中，∠AOF =90°，由勾股定理得AF 2=OA 2+OF 2，设F (m ,0),∴OF =m ,∴AF 2=1+m 2，∵E (6,0),．∴OE =6,∴EF =OE -OF =6-m ，∵AF 2+EF 2=21,∴1+m 2+(6-m )2=21,∴m 1=2,m 2=4，∵OF <EF ,∴m =2,∴OF =2，∴F (2,0)．∵D (0,2),∴OD =2，∴OD =OF ．∴△DOF 是等腰直角三角形，∴∠OFD=45°．过点C作CG⊥x轴，垂足为G．∵C(3,1),∴CG=1,OG=3，∵GF=OG-OF=1,∴CG=GF,∴△CGF是等腰直角三角形，∴∠GFC=45°,∴∠DFC=90°,∴△DFC是直角三角形．②∵FK平分∠DFC,∠DFC=90°,∴∠DFK=∠CFK=45°∴∠OFK=∠OFD+∠DFK=90°,∴FK∥y轴．∵3tan∠PFK=1，∴tan∠PFK=13．设点P的坐标为t,-t2+3t+1，根据题意得13<t<3．(i)当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tan∠P1FK=13,13<t<2．过点P1作P1H⊥x轴，垂足为H．∴P1H∥KF,∠HP1F=∠P1FK，∴tan∠HP1F=13．∵HF=OF-OH,∴HF=2-t，在Rt△P1HF中，∵tan∠HP1F=HFP1H =13,∴P1H=3HF，∵P1H=-t2+3t+1，∴-t2+3t+1=3(2-t),∴t2-6t+5=0,∴t1=1,t2=5(舍去)．当t=1时，-t2+3t+1=3,∴P1(1,3)(ii)当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tan∠P2FK=13,2<t<3．过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M．∴P2M∥KF,∴∠MP2F=∠P2FK，∴tan∠MP2F=13,∵MF=OM-OF,∴MF=t-2在Rt △P 2MF 中，∵tan ∠MP 2F =MF P 2M=13,∴P 2M =3MF ，∵P 2M =-t 2+3t +1，∴-t 2+3t +1=3(t -2),∴t 2=7,∴t 3=7,t 4=-7(舍去)．当t =7时，-t 2+3t +1=37-6,∴P 2(7,37-6)∴点P 的坐标为(1,3)或(7,37-6)．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】(1)4-x ；x(2)y =4x 2-12x +160<x ≤2 -4x +162<x ≤4(3)x =43或x =83【分析】(1)根据正方形中心对称的性质得出OM =OP ,OQ =ON ，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明△ANP ≌△CQM 即可；(2)分0<x ≤2，2<x ≤4两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；(3)根据(2)的图形，分类讨论即可求解．【详解】(1)解：依题意，AP =x ×1=x cm ，则PB =AB -AP =4-x cm ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ,∠DAB =∠DCB =90°，∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴OM =OP ,OQ =ON ，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ =PN ，MQ ∥NP ，∴∠PNQ =∠MQN ，又AD ∥BC ，∴∠ANQ =∠CQN ，∴∠ANP =∠MQC ，在△ANP ,△CQM 中，∠ANP =∠MQC∠NAP =∠QCM NP =MQ，∴△ANP ≌△CQM ，∴MC =AP =x cm故答案为：4-x ；x ．(2)解：当0<x ≤2时，点Q 在BC 上，由(1)可得△ANP ≌△CQM ，同理可得△PBQ ≌△MDN ，∵PB =4-x ,QB =2x ,MC =x ，QC =4-2x ，则y =AB 2-2S △MCQ -2S △BPQ=16-4-x ×2x -x 4-2x=4x 2-12x +16；当2<x ≤4时，如图所示，则AP =x ，AN =CQ =2x -CB =2x -4，PN =AP -AN =x -2x -4 =-x +4，∴y =-x +4 ×4=-4x +16；综上所述，y =4x 2-12x +160<x ≤2-4x +162<x ≤4 ；(3)依题意，①如图，当四边形PQMN 是矩形时，此时∠PQM =90°，∴∠PQB +∠CQM =90°，∵∠BPQ +∠PQB =90°，∴∠BPQ =∠CQM ，又∠B =∠BCD ，∴△BPQ ~△CQM ，∴BP CQ =BQCM ，即4-x 4-2x =2x x，解得：x =43，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ =MQ ，∴4-x 2+2x 2=x 2+4-2x 2，解得：x =0(舍去)；②如图所示，当PB =CQ 时，四边形PQMN 是轴对称图形，4-x =2x -4，解得x =83，当四边形PQMN 是菱形时，则PN =PQ=4，即-x +4=4，解得：x =0(舍去)，综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，x =43或x =83．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45°，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A(4,3)，求FC的长；(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1-S2，AN=n，求S关于n的函数表达式．【答案】(1)22.5°(2)FC=154(3)S=1n22【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出∠AOG=∠AOE，再由题意得出∠EOG=45°，即可求解；(2)过点A作AP⊥x轴，根据勾股定理及点的坐标得出OA=5，再由相似三角形的判定和性质求解即可；(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN=ON，∠FNO=90°，过点N作GQ⊥BC于点G，交OA于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出CG=OQ,CO=QG，结合图形分别表示出S1，S2，得出S=S1-S2=NQ2，再由等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】(1)解：∵正方形OABC，∴OA=OC，∠A=∠C=90°，∵OE=OF，∴Rt△OCF≌Rt△OAE(HL)，∴∠COF=∠AOE，∵∠COF=∠AOG，∴∠AOG=∠AOE，∵AB交直线y=x于点E，∴∠EOG=45°，∴∠AOG=∠AOE=22.5°，即∠COF=22.5°；(2)过点A作AP⊥x轴，如图所示：∵A (4,3)，∴AP =3,OP =4，∴OA =5，∵正方形OABC ，∴OC =OA =5，∠C =90°，∴∠C =∠APO =90°，∵∠AOP =∠COF ，∴△OCF ∽△OPA ，∴OC OP =FC AP即54=FC 3，∴FC =154；(3)∵正方形OABC ，∴∠BCA =∠OCA =45°，∵直线y =x ，∴∠FON =45°，∴∠BCA =∠FON =45°，∴O 、C 、F 、N 四点共圆，∴∠OCN =∠FON =45°，∴∠OFN =∠FON =45°，∴ΔFON 为等腰直角三角形，∴FN =ON ，∠FNO =90°，过点N 作GQ ⊥BC 于点G ，交OA 于点Q ，∵BC ∥OA ，∴GQ ⊥OA ，∵∠FNO =90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△FGN ≌△NQO (AAS )∴GN =OQ ,FG =QN ，∵GQ ⊥BC ，∠FCO =∠COQ =90°，∴四边形COQG 为矩形，∴CG =OQ ,CO =QG ，∴S 1=S ΔOFN =12ON 2=12OQ 2+NQ 2 =12GN 2+NQ 2 =12GN 2+12NQ 2，S 2=S ΔCOF =12CF ⋅CO =12GC -FG GN +NQ =12GN 2-NQ 2 =12GN 2-12NQ 2，∴S =S 1-S 2=NQ 2，∵∠OAC =45°，∴△AQN 为等腰直角三角形，∴NQ =22AN =22n ，∴S =NQ 2=22n 2=12n2【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，-1,0 ，12(2)2,3(3)m =217，13≤k <17【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可求得b =32、c =2，从而可得OB =4，OC =2，由y =0，可得-12x 2+32x +2=0，求得A -1,0 ，在Rt △COB 中，根据正切的定义求值即可；(2)过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，由tan ∠OCA =tan ∠ABC =12，即∠OCA =∠ABC ，再由∠PCB =2∠ABC ，可得∠EPC =ABC ，证明△PEC ∼△BOC ，可得EP OB=EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，可得t4=-12t 2+32t 2，再进行求解即可；(3)①作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．根据SAS 证明△BQE ≌△HDF ，可得BE +QF =FH +QF ≥QH ，即Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，设G (n ,0)，则Q n ,-12n 2+32n +2 ，根据QG =BG 求出点Q 的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；②作PT ∥y 轴，交BC 于点T ，求出BC 解析式，设T a ,-12a +2 ，P a ,-12a 2+32a +2 ，利用三角形面积公式表示出S ，利用二次函数的性质求出S 的取值范围，结合①中结论即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点B (4,0)，C (0,2)，∴-8+4b +c =0c =2 ，解得：b =32c =2 ，∴抛物线解析式为：y =-12x 2+32x +2，∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B (4,0)两点，∴y =0时，-12x 2+32x +2=0，解得：x 1=-1，x 2=4，∴A -1,0 ，∴OB =4，OC =2，在Rt △COB 中，tan ∠ABC =OC OB=24=12，故答案为：32，2，-1,0 ，12；(2)解：过点C 作CD ∥x 轴，交BP 于点D ，过点P 作PE ∥x 轴，交y 轴于点E ，∵AO =1，OC =2，OB =4，∴tan ∠OCA =AOCO=12，由(1)可得，tan ∠ABC =12，即tan ∠OCA =tan ∠ABC ，∴∠OCA =∠ABC ，∵∠PCB =2∠OCA ，∴∠PCB =2∠ABC ，∵CD ∥x 轴，EP ∥x 轴，∴∠ACB =∠DCB ，∠EPC =∠PCD ，∴∠EPC =ABC ，又∵∠PEC =∠BOC =90°，∴△PEC ∽△BOC ，∴EP OB =EC OC，设点P 坐标为t ,-12t 2+32t +2 ，则EP =t ，EC =-12t 2+32t +2-2=-12t 2+32t ，∴t4=-12t 2+32t 2，解得：t =0(舍)，t =2，∴点P 坐标为2,3 ．(3)解：①如图2，作DH ⊥DQ ，且使DH =BQ ，连接FH ．∵∠BQD +∠BDQ =90°，∠HDF +∠BDQ =90°，∴∠QD =∠HDF ，∵QE =DF ，DH =BQ ，∴△BQE ≌△HDF (SAS )，∴BE =FH ，∴BE +QF =FH +QF ≥QH ，∴Q ，F ，H 共线时，BE +QF 的值最小．作QG ⊥AB 于点G ，∵OB =OD ，∠BOD =90°，∴∠OBD =45°，∵∠QBD =90°，∴∠QBG =45°，∴QG=BG．设G(n,0)，则Q n,-12n2+32n+2，∴-12n2+32n+2=4-n，解得n=1或n=4(舍去)，∴Q(2,3)，∴QG=BG=4-1=3，∴BQ=DH=32，QD=52，∴m=QH=322+522=217；②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T，待定系数法可求BC解析式为y=-12x+2，设T a,-12a+2，P a,-12a2+32a+2，则S=12-12a2+32a+2+12a-2×4=-a-22+4，∴0<S≤4，∴0<14m2-k≤4，∴0<17-k≤4，∴13≤k<17．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①t=3；②t=6；③D125,6 5【分析】(1)由A(0,2),B(2,0)得到OA=OB=2，又由∠AOB=90°，即可得到结论；(2)由∠EOD=90°，∠AOB=90°得到∠AOE=∠BOD，又有AO=OB，OD=OE，利用SAS即可证明△AOE≌△BOD；(3)①求出直线AC的解析式和抛物线y1的解析式，联立得x2-t+3x+3t=0，由Δ=(t+3)2-4×3t= (t-3)2=0即可得到t的值；②抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，则抛物线y2的顶点Pt-22,(t-2)22t，将顶点P t-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2得到t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,根据t>2即可得到t的值；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，先证明△ODN≌△EOM(AAS)，则ON=EM,DN=OM，设EM=2OM=2m,由OA∥EM得到OC:CM=OA:EM,则tt+m =22m,求得m=tt-1,得到D2tt-1,tt-1，由抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3=-2tx2+2t(t-2)x-2(t-1)2,把D2tt-1,tt-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,得到3t2-19t+6=0,解得t1=13,t2=6,由t>2，得t=6,即可得到点D的坐标．【详解】(1)证明：∵A(0,2),B(2,0)，∴OA=OB=2，∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形(2)如图，∵∠EOD=90°，∠AOB=90°，∴∠AOB-∠AOD=∠DOE-∠AOD，∴∠AOE=∠BOD，∵AO=OB,OD=OE，∴△AOE≌△BOD(SAS)；(3)①设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A(0,2),C(t,0)，∴b=2kt+b=0 ，∴y AC=-2tx+2，将C(t,0),B(2,0)代入抛物线y1=ax2+bx-4得，0=at2+bt-40=4a+2b-4，解得a=-2t,b=2t(t+2)，∴y1=-2t x2+2t(t+2)x-4，∵直线y AC=-2t x+2与抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4有唯一交点∴联立解析式组成方程组解得x2-t+3x+3t=0∴Δ=(t+3)2-4×3t=(t-3)2=0∴t=3②∵抛物线y1=-2tx2+2t(t+2)x-4向左平移2个单位得到y2，∴抛物线y2=-2tx-t-222+(t-2)22t，∴抛物线y2的顶点P t-22,(t-2)22t，将顶点Pt-22,(t-2)22t代入y AC=-2t x+2，∴t2-6t=0，解得t1=0,t2=6,∵t>2，∴t=6；③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N,∴∠EMO=∠OND=90°，∵∠DOE=90°，∴∠EOM+∠MEO=∠EOM+∠NOD=90°，∴∠MEO=∠NOD，∵OD=OE，∴△ODN≌△EOM(AAS)，∴ON=EM,DN=OM，∵OE的解析式为y=-2x，∴设EM=2OM=2m,∴DN=OM=m，∵EM⊥x轴,∴OA∥EM,∴△CAO~△CEM，∴OC:CM=OA:EM,∴t t+m =2 2m,∴m=tt-1,∴EM=ON=2OM=2m=2tt-1，DN=OM=m=tt-1，∴D2tt-1,t t-1,∵抛物线y2再向下平移2(t-1)2个单位，得到抛物线y3，∴抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴D2tt-1,t t-1代入抛物线y3=-2t x2+2t(t-2)x-2(t-1)2,∴3t2-19t+6=0,解得t 1=13,t 2=6,由t >2，得t =6,∴2t t -1=126-1=125,t t -1=66-1=65，∴D 125,65．【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)S =-32x 2+23x(2)当x =2时，S 的最大值为23【分析】(1)过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，证明△AOC 是等边三角形，可得DE =x ，进而证明△CDF ∽△COB ，得出DF =34-x ，根据三角形面积公式即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：如图所示，过点A 作AG ⊥OC 于点G ，连接AC ，∵顶点A 的坐标为2,23 ，∴OA =22+232=4，OG =2，AG =23∴cos ∠AOG =OG AO=12，∴∠AOG =60°∵四边形OABC 是菱形，∴∠BOC =∠AOB =30°，AC ⊥BD ,AO =OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO =60°，∵DE ⊥OB ，∴DE ∥AC ,∴∠EDO =∠ACO =60°∴△EOD 是等边三角形，。
中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
二次函数与几何图形综合题解题技巧
二次函数与几何图形综合题解题技巧一、求二次函数解析式。
根据y=mx+b，把一元二次方程mx+b=0化为ax+by+c=0的系数a=b，然后通过解方程得出y=mx+b的值，由于不知道b、 a的具体值，可以通过函数与几何图形的综合分析来得到它们的大致范围。
例如，已知点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2）;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式;（ 5， 2）处画出一个关于坐标轴对称的抛物线，使其解析式为y=x+b。
求这些二次函数的表达式。
1。
设二次函数解析式为y=mx+b。
分析：二次函数与一元二次方程有密切联系，解一元二次方程是解二次函数的基础。
设一元二次方程为x+b=0，则根据对称性可得，函数解析式为x+b=mx+c。
2。
设二次函数解析式为y=ax+by+c。
分析： a、 b、 c都是实数，且a>0，b>0。
设函数解析式为x+b=ax+by+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。
求出二次函数的解析式，即可求出a、 b、 c的值。
3。
设二次函数解析式为y=ax+by+c。
分析：根据对称性，可得y=bx+c， a、 b、c均为实数，且a>0， b>0。
设函数解析式为x+b=bx+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。
4。
设二次函数解析式为y=ax+by+c。
分析：解方程得y=mx+c，由对称性，得x+c=y+b，代入上式，可得， y=x+b/c。
二、用几何图形解题。
二、用几何图形解题，最好能画出这些图形的图像，再列式解答。
因为几何图形看似复杂，但并不难，常见的如圆的周长、扇形面积、矩形的面积等等。
以下是应用这两种方法解二次函数综合题的例子，供同学们参考： 1。
求出二次函数的解析式，画出抛物线y=mx+b。
分析：首先将点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2） ;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式；再设函数解析式为x+b=mx+c，代入上式得y=mx+c/c。
一次函数与几何综合(通用版)(含答案)
一次函数与几何综合（通用版）试卷简介:一次函数与几何综合一、单选题(共10道，每道10分)1.如图,已知一条直线经过A(0,2),B(1,0)两点,将这条直线向左平移与x轴,y轴分别交于点C,点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意可求得直线AB的解析式为y=-2x+2，AB∥CD．由DB=DC，DO⊥BC可得，OC=OB=1，∴C（-1，0）．由AB∥CD可设直线CD的解析式为y=-2x+b，把C点坐标代入可得，b=-2，∴直线CD的函数解析式为y=-2x-2．试题难度：三颗星知识点：一次函数图象与几何变换2.如图,一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则光线从点A到点B 经过的路径长为( )A. B.C. D.5答案：D解题思路：如图，延长AC交x轴于点B′．则点B，B′关于y轴对称，CB=CB′．作AD⊥x轴于点D，则AD=3，DB′=3+1=4，AB′=5．∴AC+CB=AC+CB′=AB′=5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．试题难度：三颗星知识点：坐标与图形性质3.如图,△ABC的内心在y轴上,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),直线AC的解析式为,则tanA的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：根据三角形内心的定义可知∠ABO=∠CBO，∵C（2，0），B（0，2），∴OB=OC，∠CBO=∠ABO=45°，，∴∠ABC=90°即AB⊥BC，可求得直线AB的表达式为：，由得，，即A（-6，-4），∴，在Rt△ABC中，．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题4.如图,直线⊥x轴于点(1,0),直线⊥x轴于点(2,0),直线⊥x轴于点(3,0)…,直线⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线,,,…,分别交于点,…,;函数y=2x的图象与直线,,,…,分别交于点,…,.如果△的面积为,四边形的面积为,四边形的面积为,…,四边形的面积为,那么=( )A.4025B.4023C. D.答案：C解题思路：∵函数y=x的图象与直线，，，…，分别交于点，∴∵函数y=2x的图象与直线，，，…，分别交于点∴，，……．当n=2013时，．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题5.如图,在平面直角坐标系中,直线经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°.点M在x轴上,⊙M的半径为2,⊙M与直线相交于A,B两点.若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，当点M在原点右边时，过点M作MN⊥AB，垂足为N，则，∵△ABM为等腰直角三角形，∴AN=MN，∴，∵AM=2，∴，∴，∵直线与x轴正半轴的夹角为30°，∴，∴点M的坐标为，由对称性可知，点M′的坐标为．试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性6.已知在直角坐标系中有两条直线,直线所对应的函数解析式为y=x-2,如果将坐标纸折叠,使与重合,则点(-1,0)与点(0,-1)也重合,那么直线所对应的函数解析式为( )A.y=x-2B.y=x+2C.y=-x-2D.y=-x+2答案：B解题思路：∵折叠坐标纸可以使点（-1，0）与点（0，-1）重合，∴是沿直线y=x折叠的（也就是对称轴为直线y=x）．∵y=x-2过点（0，-2），（2，0），折叠后的对应点为（-2，0），（0，2），即直线过两点（-2，0），（0，2）．可以求得：y=x+2．试题难度：三颗星知识点：一次函数图象与几何变换7.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围是( )A.3<b<6B.2<b<6C.3≦b≦6D.2<b<5答案：C解题思路：题干意思是指直线与小正方形有交点时，求b的取值范围．我们知道直线是由直线向上平移b个单位得到的，若直线与小正方形有交点，可知当直线经过A（1，1）时b的值最小，此时b=3；当直线经过C（2，2）时，b最大，此时b=6．∴能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≦b≦6．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题8.已知矩形ABCD中,AB=9,AD=3,将此矩形置于平面直角坐标系中,使AB在x轴正半轴上,若经过点C的直线与x轴交于点E,则四边形AECD的面积为( )A.9B.18C.6D.21答案：B解题思路：在矩形ABCD中，要求四边形AECD的面积，只需求出△EBC的面积即可，即求BE的长．∵点C的纵坐标是3，代入直线解析式可得点C（10，3），∴OB=10，∵直线与x轴交于点E，∴点E（4，0），∴OE=4，BE=6，则△EBC的面积为9，∴四边形AECD的面积为18．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题9.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点C的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：由于点A，B是固定点，要使△ABC是等腰三角形，只需根据一线两圆，判断与直线的交点即可．①作线段AB的垂直平分线，交直线于点，则是以AB为底的等腰三角形；②以点A为圆心，AB长为半径作圆，交直线于两点，，则，分别是以为底的等腰三角形；③以点B为圆心，AB长为半径作圆，我们发现该圆与直线无交点，原因在于：过点B作直线的垂线BM，垂足为M，．试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性10.如图,在以点O为原点的平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上,且,反比例函数的图象经过点C,则所有可能的k值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由题意得，A（2，0），B（0，1），．显然当点为线段AB的中点时，有，此时点的坐标为，．如图，以点O为圆心，的长为半径作圆，交直线AB于另一点，则点也符合条件．过点O作OE⊥AB于点E，过点作⊥x轴于点F，则，．在中，，，则；在中，，且，则，∴点，综上：，试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题。
一次函数与几何综合(题型齐全)
一次函数与几何图形综合考点一、面积问题一次函数求面积的常用方法：（1）直接法（公式法）适用于规则图形，三角形中至少有一边与坐标轴重合或平行时，常用直接法求面积；（2）割补法（分割求和、补形作差）适用于不规则四边形，将四边形分割成两个三角形，分别计算两个三角形的面积再求和。
或者将四边形放在一个规则图形中（需要时做辅助线），此时四边形的面积可以看作一个规则图形面积减去补充的规则图形面积；（3）铅锤法（底相同，高运算）适用于三边均不与坐标轴平行的三角形（不规则三角形）；（4）平行线面积转化适用于存在平行线的情况下，利用平行线的性质，平行线间的距离处处相等做高；题型一：直接求图形面积1、正比例函数()110y k x k =≠与一次函数()220y k x b k =+≠的图象的交点坐标为()43A ，，一次函数的图象与y 轴的交点坐标为()03B -，．(1)求正比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB 的面积．2、如图，一次函数5y x =-+和1y kx =-的图象与x 轴分别交于A 、C 两点，与y 轴分别交于B 、D 两点，两个函数图象的交点为点E ，且E 点的横坐标为2．(1)求k 的值；(2)不解方程组，请直接写出方程组51x y kx y +=⎧⎨-=⎩的解；(3)求两函数图象与x 轴所围成的ACE △的面积．3、如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求ABC 的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，直线132x m l y =+：与直线2l 交于点()23A -，，直线2l 与x 轴交于点()40C ，，与y 轴交于点B ，将直线l 2向下平移8个单位长度得到直线3l ，3l 与y 轴交于点D ，与1l 交于点E ，连接AD ．(1)求直线2l 的解析式；(2)求△ADE V 的面积；5、如图，直线l 1：y ＝x +m 与y 轴交于点B ，与x 轴相交于点F ．直线l 2：y ＝kx ﹣9与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，两条直线相交于点D ，连接AB ，且OA ：OC ：AB ＝1：3：．（1）求直线l 1、l 2的解析式；（2）过点C 作l 3∥l 1交x 轴于点E ，连接BE 、DE ．求△BDE 的面积．5、如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与正比例函数2y x =-的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，5OB =，点A 的纵坐标为4．(1)求一次函数的解析式；(2)点D 和点B 关于x 轴对称，将直线2y x =-沿y 轴向上平移8个单位后分别交x 轴，y 轴于点,M N ，与直线()0y kx b k =+≠交于点E ，连接DE ，DC ，求ECD 的面积．题型二：已知面积求点的坐标1、如图，一次函数y kx b =+与反比例函数a y x=的图象在第一象限交于点()4,3A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA OB =．(1)求一次函数y kx b =+与反比例函数a y x =的表达式；(2)已知点C 在x 轴上，且ABC 的面积是8，求此时点C 的坐标；2、如图，在平面直角坐标系中直线13:2l x m +与直线2l 交于点()2,3A -，直线2l 与x 轴交于点()4,0C ，与y 轴交于点B ，过BD 中点E 作直线3l y ⊥轴．(1)求直线2l 的解析式和m 的值；(2)点P 在直线1l 上，当6PBC S = 时，求点P 坐标；。
中考数学真题- 函数与几何综合问题
函数与几何综合问题一、解答题1．（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ． （1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ． ①若BA BO =，求证：CD CO =．①若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．2．（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，分别交x 轴、y 轴于()2,0A ，()0,8B ，连结AB ．直线CM 分别交M 于点D ，E （点D 在左侧），交x 轴于点()17,0C ，连结AE ．（1）求M 的半径和直线CM 的函数表达式．（2）求点D ，E 的坐标．（3）点P 在线段AC 上，连结PE ．当AEP ∠与OBD 的一个内角相等时，求所有满足条件的OP 的长．3．（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与y 轴的正半轴交于点A ，与反比例函数4y x=的图像交于,P D 两点．以AD 为边作正方形ABCD ，点B 落在x 轴的负半轴上，已知BOD 的面积与AOB 的面积之比为1:4．（1）求一次函数y kx b =+的表达式： （2）求点P 的坐标及CPD △外接圆半径的长．4．（2021·江苏中考真题）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，90AEF ∠=︒，设BE m =．（1）如图1，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ， ①当13m =时，求线段CF 的长；①在PQE ¢V 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值；（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式．5．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M -、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B 、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______； （2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围； （3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．6．（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:42l y x =+分别与x 轴，y 轴相交于A 、B 两点，点(),P x y 为直线l 在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作PAO的外接圆C，延长PC交C于点Q，当POQ△的面积最小时，求C的半径．7．（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B （0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F 的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．8．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数33y x42=+的图象与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点(),3A a ，与x 轴相交于点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C ，交x 轴正半轴于点D ，当ABD △是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标．9．（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0ky k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值． 10．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点B ，求k 的值．11．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1k y x=（0x >）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点E 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，点P 的坐标为______．12．（2021·广西中考真题）如图①，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，14BC =，8AD =，6BD =点E 是AD 上一动点（不与点A ，D 重合），在ADC 内作矩形EFGH ，点F 在DC 上，点G ，H 在AC 上，设DE x =，连接BE ．（1）当矩形EFGH 是正方形时，直接写出EF 的长；（2）设ABE △的面积为1S ，矩形EFGH 的面积为2S ，令12S y S =，求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）如图①，点(,)P a b 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P 的直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于M ，N 两点，求OMN 面积的最小值，并说明理由．13．（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． （理解）（1）如图1，,AC BC CD AB ⊥⊥，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE ．已知AD a =，()0BD b a b =<<．①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）；①比较大小：CE __________CD （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数()10y x x=>的图像上，横坐标分别为m 、n ．设11,p m n q m n =+=+，记14l pq =． ①当1,2m n ==时，l =__________；当3,3m n ==时，l =________；①通过归纳猜想，可得l 的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 14．（2021·四川中考真题）已知反比例函数my x=的图象经过点(2,3)A ．（1）求该反比例函数的表达式； （2）如图，在反比例函数my x=的图象上点A 的右侧取点C ，作CH ①x 轴于H ，过点A 作y 轴的垂线AG 交直线CH 于点D ．①过点A ，点C 分别作x 轴，y 轴的垂线，交于B ，垂足分别为为F 、E ，连结OB ，BD ，求证：O ，B ，D 三点共线；①若2AC OA =，求证：2AOD DOH ∠=∠．15．（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD 的两边,AB BC 的长分别为3，8，C ，D 在y 轴上，E 是AD 的中点，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点E ，与BC 交于点F ，且1CF BE -=． （1）求反比例函数的解析式； （2）在y 轴上找一点P ，使得23CEPABCD SS =矩形，求此时点P 的坐标．16．（2021·湖南中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·湖北中考真题）抛物线21y x =-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边）．（1）ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点C 的坐标是()0,3，点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标； ①如图（2），若点D 在抛物线上，且ACDE 的面积是12，求点E 的坐标；（2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点，若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证FG FH +的值是定值． 18．（2021·湖南中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；①连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值．19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点． （1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时， ①求点M 的坐标： ①若点15,4B y ⎛⎫⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．20．（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．21．（2021·四川中考真题）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =，3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大．求出点P 的坐标（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ．使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D ¢处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D ¢左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．23．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于除原点O 和点A ，且其顶点B 关于x 轴的对称点坐标为()2,1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F ，使得抛物线2y ax bx c =++上的任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线2y =-的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F 的坐标；①过点F 的直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于,M N 两点．证明：当直线l 绕点F 旋转时，11MF NF+是定值，并求出该定值；（3）点()3,C m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQBC 周长最小，直接写出,P Q 的坐标．24．（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()()14y x x n =-+-与x 轴交于点A 和点()(),04B n n ≥-，顶点坐标记为()11,h k ．抛物线()222229y x n n n =-+-++的顶点坐标记为()22,h k ．（1）写出A 点坐标；（2）求1k ，2k 的值（用含n 的代数式表示）； （3）当44n -≤≤时，探究1k 与2k 的大小关系； （4）经过点()229,5M n n+-和点()22,95N n n -的直线与抛物线()()14yx x n =-+-，()222229y x n n n =-+-++的公共点恰好为3个不同点时，求n 的值．25．（2021·山西中考真题）如图，抛物线21262y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D ． ①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；①设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当DMN AOC S S =△△时，请直接写出DM 的长．26．（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”． （1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时． ①求c 的取值范围； ①求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式； （2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．28．（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程． （4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．29．（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与坐标轴交于()()0,2,4,0A B -两点，直线:28BC y x =-+交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为,G DG 分别交直线,BC AB 于点,E F ．（1）求抛物线212y x bx c =++的表达式； （2）当12GF =，连接BD ，求BDF 的面积；（3）①H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标；①在①的条件下，第一象限有一动点P ，满足2PH PC =+，求PHB △周长的最小值．30．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．①设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．31．（2021·江苏中考真题）如图，二次函数()21y x m x m =-++（m 是实数，且10m -<<）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其对称轴与x 轴交于点C ，已知点D 位于第一象限，且在对称轴上，OD BD ⊥，点E 在x 轴的正半轴上，OC EC =．连接ED 并延长交y 轴于点F ，连接AF ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示）； （2）已知点Q 在抛物线的对称轴上，当AFQ △的周长的最小值等于125，求m 的值．32．（2021·贵州中考真题）如图，抛物线()2=2+0y ax x c a -≠与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线的顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P 、Q 、B 、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P 、Q 的坐标；（3）已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与①BCD 相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y m x x -++⋅=->与x 轴交于()()1,0,,0A B m -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P 位于直线BC 上方的抛物线上，当PBC 面积最大时，求点P 的坐标； （3）设直线12y x b =+与抛物线交于,B G 两点，问是否存在点E （在抛物线上）．点F （在抛物线的对称轴上），使得以,,,B G E F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点,E F 的坐标；若不存在，说明理由． 34．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标； （3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．35．（2021·湖北中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A 出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ①sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．36．（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O 的半径为，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．37．（2021·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，OA AB =，且线段OA 的长是方程2450x x --=的根，过点B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，4tan 3BAE ∠=，动点M 以每秒1个单位长度的速度，从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，到达点B 停止．过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，以MD 为边作正方形MDCF ，点C 在线段OA 上，设正方形MDCF 与AOB ∆重叠部分的面积为S ，点M 的运动时间为()0t t >秒．（1）求点B 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当点F 落在线段OB 上时，坐标平面内是否存在一点P ，使以M A O P 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．。
一次函数与几何图形综合题10及答案
专题训练：一次函数与几何图形综合1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB(1) 求AC 的解析式；(2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。
(3) 在〔2〕的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2．(此题总分值12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；xyo BA CPQxyo BA CPQM第2题图①(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，假设AM=4，BN=3，求MN 的长。
(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜测PB 的长是否为定值，假设是，请求出其值，假设不是，说明理由。
3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，直线1l 的解析式为3y x =+，〔1〕求直线2l 的解析式；〔3分〕〔2〕过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作第2题图②第2题图③ CB Al 2l 1xyl于F分别，请画出图形并求证：BE＋CF＝EF作CF⊥3〔3〕△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BP＝CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值。
一次函数与几何的综合教案
一次函数与几何的综合教案教学目标：1. 知识与技能：学生理解一次函数与几何图形的综合问题，掌握如何将几何问题转化为函数表达式，以及如何利用函数的性质解决几何问题。
2. 过程与方法：通过实例引导学生观察、分析、归纳、推理，培养学生的数形结合思想，提高学生的数学思维能力。
3. 情感态度与价值观：通过解决实际问题和合作交流，让学生体验数学学习的乐趣，增强学生学习数学的信心。
教学内容：1. 一次函数与线段、三角形、四边形等几何图形的综合问题。
2. 解题思路和方法。
教学重点与难点：重点：理解一次函数与几何图形的综合问题，掌握解题思路和方法。
难点：如何将几何问题转化为函数表达式，以及如何利用函数的性质解决几何问题。
教具和多媒体资源：1. 黑板和粉笔。
2. PPT课件，展示相关例题和解析。
3. 教学软件，如GeoGebra等，用于动态展示函数与几何的关系。
教学方法：1. 激活学生的前知：回顾一次函数和几何图形的相关知识，为新课做准备。
2. 教学策略：采用实例引导、小组讨论、讲解与示范相结合的方法进行教学。
3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，合作解决实际问题。
教学过程：1. 导入：通过实例导入新课，如“在一次越野比赛中，运动员的行程y（千米）随时间x（小时）的变化而变化，当0≤x≤2时，y=10x；当2<x≤4时，y=5x+10。
那么这位运动员在哪个时间段内是匀速行驶的？”引导学生观察和思考问题，发现其中的数学模型和规律。
2. 讲授新课：首先讲解一次函数与线段的综合问题，通过例题让学生理解如何将线段长度问题转化为一次函数问题，并利用函数的性质求解。
然后讲解一次函数与三角形的综合问题，引导学生如何利用函数性质解决三角形面积和周长问题。
最后讲解一次函数与四边形的综合问题，让学生了解如何利用函数的性质解决四边形的面积和周长问题。
在讲解过程中，注重数形结合思想的渗透，引导学生理解几何图形与一次函数的关系。
3. 巩固练习：设计相关练习题，让学生独立完成。
二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练
二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题.doc
中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题下面我们先来看一道典型例题。
中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点分析：一次函数综合题.题干分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB ＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB ＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。
解题反思：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键。
动态综合问题一直是中考数学压轴题非常喜欢考查的内容，解决此类问题需要考生根据变量之间的关系，对动态几何中的“变量”进行分类讨论,如运动的点、运动的线等等。
考生要想正确解决此类问题，关键在于要抓住点与线的运动和变化,数量之间的关系也随之发生着变化,再把这些“变化”的几何问题就转化为函数问题。
中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析2：如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B 不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．考点分析：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．题干分析：（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E 的坐标为（t+4，8）；（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，EC/AB=AE/OB可求得EC=t/2，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣t/2），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，OF/OH=FC/DH即从（t+4）/（t+8）=（8﹣t/2）/8而可解得t的值；（3）三角形OCF的面积=OF•FC/2从而可得S与t的函数关系式．解题反思：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t 的式子表示点C的坐标是解题的关键。
中考数学函数与几何结合问题练习题
中考数学：函数与几何结合问题练习题1. 题目：已知函数f(x)=2x+3，求函数f(x)在直线y=2x-1上的截距。
解析：截距就是函数与直线相交的点的纵坐标。
所以我们只需要将函数f(x)与直线y=2x-1联立，解方程即可。
将函数f(x)代入直线方程，得到2x+3=2x-1，化简得到3=-1，显然等式不成立。
所以函数f(x)与直线y=2x-1没有交点，因此没有截距。
2. 题目：已知函数f(x)=3x-2，求函数f(x)在直线y=x+1上的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=x+1联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到3x-2=x+1，化简得到2x=3，解得x=3/2。
将x=3/2代入直线方程，得到y=3/2+1=5/2。
所以函数f(x)在直线y=x+1上的截距为(3/2, 5/2)。
3. 题目：已知函数f(x)=x^2+2x，求函数f(x)在直线y=2x的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=2x联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到x^2+2x=2x，化简得到x^2=0，解得x=0。
将x=0代入直线方程，得到y=2(0)=0。
所以函数f(x)在直线y=2x上的截距为(0, 0)。
4. 题目：已知函数f(x)=3x^2-4x+1，求函数f(x)在直线y=3的截距。
解析：同样地，我们将函数f(x)与直线y=3联立，解方程。
将函数f(x)代入直线方程，得到3x^2-4x+1=3，化简得到3x^2-4x-2=0。
解方程得到x≈-0.732和x≈1.065。
将x≈-0.732代入函数f(x)，得到f(-0.732)=3(-0.732)^2-4(-0.732)+1≈3.529。
将x≈1.065代入函数f(x)，得到f(1.065)=3(1.065)^2-4(1.065)+1≈1.126。
所以函数f(x)在直线y=3上的截距为(-0.732, 3.529)和(1.065, 1.126)。
浅说函数与几何综合题的解题策略及复习
浅说函数与几何综合题的解题策略及复习函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一;函数中的几何问题,能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖,能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法,因而成为近几年各地中考的一类热门试题;这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如200１年的中考压轴题是以直角三角形为背景,揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成;2002年的中考压轴题是以矩形为背景,揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景,揉合直角三角形的知识构成；因此,将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点,也是今后中考命题的一大趋势；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题(这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是:根据已知几何图形间的位置和数量关系(如平行、全等、相似，特别是成比例)建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系,求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题(如三角形、四边形,特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题;本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。
一、函数与几何综合题例析（一） “几函”问题：１、线段与线段之间的函数关系:由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来,并整理成函数关系式,在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题;解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围。
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函数几何综合性问题第一板块：有关函数自身特征的问题问题1（2011连云港）如图，抛物线y ＝12x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y ＝－2x 上．（1）求a 的值；（2）求A ，B 的坐标；（3）以AC ，CB 为一组邻边作□ABCD ，则点D 关于x 否在该抛物线上？请说明理由．问题2（2010常州）如图，一次函数122y x =-+的图像上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为(042)a a a <<≠且，过点A 、B 分别作x的垂线，垂足为C 、D ，AOC BOD ∆∆、的面积分别为12S S 、，则12S S 、的大小关系是（ ）A. 12S S >B. 12S S =C. 12S S <D. 无法确定第二板块：有关函数几何中数量关系或范围问题问题3（2012•常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 在正比例函数y=x 的图象上，点P 的横坐标为m （m ＞0），以点P 为圆心，m 为半径的圆交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点（点D 在点C 的上方）．点E 为平行四边形DOPE 的顶点（如图）．（1）写出点B 、E 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）连接DB 、BE ，设△BDE 的外接圆交y 轴于点Q （点Q 异于点D ），连接EQ 、BQ ，试问线段BQ 与线段EQ 的长是否相等？为什么？（3）连接BC ，求∠DBC ﹣∠DBE 的度数．问题4 (2012北京）已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式； （2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n 的取值范围。
问题5（2012河北）在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
（1） 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2） 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围。
问题6（2012北京）如图15-1和图15-2，在△ABC 中，AB =13，BC =14，cos ∠ABC =513探究 如图15-1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，的面积S △ABC = ． 拓展 如图15-2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD=x ，AE=m ，CF=n ，（当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD =0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ； （2）求（m +n ）与x 的函数关系式，并求（m +n ）的 最大值和最小值； （3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ， 指出这样的x 的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．第三板块：最值及存在性问题问题7（2012扬州）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图15-2问题8（2012苏州）如图，已知抛物线与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.xyPO CBA（1）如图①所示，过点P作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，利用垂径定理与勾股定理求出点B的坐标；同理可求得点D的坐标，过点D作DR⊥PE于点R，则△EDR为等腰直角三角形，从而求出点E的坐标；（2）如图②所示，首先推出△BDE为直角三角形，由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，因此∠BQE=90°；然后证明Rt△EQK∽Rt△QBO，通过计算线段之间的比例关系，可以得到这两个三角形全等，所以BQ=EQ；（3）如图②所示，本问要点是证明Rt△BDE∽Rt△BOC，得到∠OBC=∠DBE，进而计算可得∠DBC﹣∠DBE=45°．解：（1）如图①，连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M．由题意可知，OM=PM=m，PB=m．在Rt△PBM中，由勾股定理得：BM===2m，∴OB=OM+BM=m+2m=3m，∴B（3m，0）；连接PD，过点P作PN⊥y轴于点N，同理可求得DN=2m，OD=3m．过点D作DR⊥PE于点R，∵平行四边形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°；由题意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°，∴∠EDR=45°，即△EDR为等腰直角三角形，∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，∴E（m，4m）．（2）相等．理由如下：依题意画出图形，如图②所示．由（1）知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，又OB=OD=3m，即△OBD为等腰直角三角形，∴∠∠BDO=45°，∴∠BDE=90°，即△BDE为直角三角形．由圆周角定理可知，BE为△BDE外接圆的直径，∴∠BQE=90°．过点E作EK⊥y轴于点K，则有EK=m，OK=4m．∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°，∴∠EQK=∠QBO．∴Rt△EQK∽Rt△QBO，∴，即，解得OQ=m或OQ=3m，∵点Q与点D不重合，∴OQ=m，∴OQ=EK，即相似比为1，此时两个三角形全等，∴BQ=EQ．（3）如图②所示，连接BC．由（1）可知，如图①，CD=2DN=4m，∴OC=CD﹣OD=m．由（2）可知，△BDE为直角三角形，△EDK与△BDO均为等腰直角三角形，∴DE=EK=m，BD=OB=3m．在Rt△BDE与Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE=m，BD=3m，∴，∴Rt△BDE∽Rt△BOC，∴∠OBC=∠DBE，∴∠DBC﹣∠DBE=（∠OBD+∠OBC）﹣∠DBE=∠OBD=45°．扬州(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．解：(1)将A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得：∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．(2)连接BC，直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入上式，得：∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3；当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．(3)抛物线的解析式为：x＝－＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10；①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．解：⑴B（b，0），C（0，）；⑵假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.设点P坐标（x，y），连接OP，则，∴.过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°. ∴四边形PEOD是矩形. ∴∠EPD=90°.∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°.∴∠EPC=∠BPD.∴△PEC≌△PDB. ∴PE=PD，即x=y.由，解得：.由△PEC≌△PDB得EC=DB，即，解得符合题意.∴点P坐标为（，）.⑶假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴.∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°.由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA.∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.（Ⅰ）当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO=.由得：，解得：. ∵，∴，.∴点Q坐标为（1，）.（Ⅱ）当∠OQC=90°时，△QOA≌△OCQ. ∴，即.又. ∴，即.解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意. ∴点Q坐标为（1，4）.∴综上可知：存在点Q（1，）或（1，4），使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.。