高三基础知识天天练3-1. 数学 数学doc人教版
2022高三数学二轮复习天天练 数学天天练习31 新人教版
高三数学天天练311、设全集{}4,3,2,1,0=U ，{}4,3,0=A ，{}3,1=B ，则)(B A C U ⋃= 。
2的模是 。
3、若命题2:,210p x x ∀∈+>R ，则该命题的否定是 。
4、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-⋅=-0,01),cos()(1x e x x x f x π，若1)()1(=+a f f ，则的值为 。
5、已知等差数列满足：6,821-=-=a a 。
若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 。
6、设曲线2ax y =在点（1，）处的切线与直线062=--y x 平行，则 。
7、有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，已知4a B π==， ，求角A”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示6A π=试在横线上将条件补充完整。
8、若函数2()min{2,log }f x x x =-+，其中min{,}p q 表示两者中的较小者，则不等式2)(-<x f 的解集为 。
9、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：第1个图中共有7块地面砖，则第个图案中共有地面砖块。
10、已知函数1)(2+++=bx xa x x f 在]1,1[-上为奇函数，则)21(f 的值为 。
学生姓名______ 得分：_____11数列25),2(122}{31=≥-+=-a n a a a n n n n 其中满足若存在一个实数使得}2{n n a λ+为等差数列，求第1个 第2个 第3个填空题答案纸：1、______________2、_____________3、______________4、______________5、_____________6、______________7、______________ 8、_____________ 9、______________10、_____________三十一参考答案1、；2、；3、012,2≤+∈∃x R x ；4、21-5、-16、 17、6=b （或写成2623+=c ） 8、),4()41,0(+∞⋃ 9、25+n 10、5211、–1。
高三基础知识天天练2-11.数学数学doc人教版
⾼三基础知识天天练2-11.数学数学doc⼈教版第2模块第11节[知能演练]⼀、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如右图所⽰，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0答案：C2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A. 答案：A 3．若a >3，则⽅程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：令f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23a (∵a >3，∴23a >2)．∴当04．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有⼤于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：y ′＝a ·e ax ＋3＝0，当a ＝0时，显然不合题意，∴a ≠0. ∴e ax ＝－3a .∴x ＝1a ln(－3a )．由题意，得1a ln(－3a )>0，∴a <0，0<－3a <1.∴a <－3. 故应选B. 答案：B ⼆、填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最⼤值与最⼩值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.∵f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，∴M －m ＝f (－2)－f (2)＝32. 答案：32 6．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，∴－1m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，∴－1答案：(－1,0] 三、解答题7．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]上的最⼤值和最⼩值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－32，＋∞)，f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3，令f ′(x )>0，∴x >－12或－32令f ′(x )<0，∴－12.∴f (x )在区间(－32，－1)和(－12，＋∞)上为增函数，在区间(－1，－12)上为减函数．(2)当x 在区间[－34，14]上变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：f (－34)＝916＋ln 32，f (－12)＝14＋ln2，f (14)＝116＋ln 72，由表知函数f (x )在x ＝－12处取最⼩值14＋ln2.f (－34)－f (14)＝12＋ln 37＝12(1－ln 499)<0.故函数f (x )在x ＝14处取最⼤值116＋ln 72.8．已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )≥0恒成⽴，∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明：设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，x .∴F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数．⼜F (x )在[1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成⽴．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[⾼考·模拟·预测]1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)·e x ，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x >0解得：x >2.答案：D2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极⼩值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)解析：∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )图象如右图．∴ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，3－6b >0，得0答案：D3．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得，f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，求得－1x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：由于f ′(x )＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )·(x ＋1)′(x ＋1)2＝2x ·(x ＋1)－(x 2＋a )·1(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，⽽函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝12＋2×1－a (1＋1)2＝0，解得a ＝3，故填3.答案：35．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(Ⅱ)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a内是增函数，在函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼤值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼩值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极⼤值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极⼩值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.[备选精题]6．若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满⾜：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为函数f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为⾃然对数的底数)．(1)求F (x )＝h (x )－φ(x )的极值；(2)函数h (x )和φ(x )是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的⽅程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵F (x )＝h (x )－φ(x )＝x 2－2eln x (x >0)，∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2(x －e)(x ＋e)x .当x ＝e 时，F ′(x )＝0.∵当0e 时，F ′(x )>0，此时函数F (x )递增，∴当x ＝e 时，F (x )取极⼩值，其极⼩值为0.(2)由(1)可知函数h (x )和φ(x )的图象在x ＝e 处有公共点，因此若存在h (x )和φ(x )的隔离直线，则该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则直线⽅程为y －e ＝k (x －e)，即y ＝kx ＋e －k e.由h (x )≥kx ＋e －k e(x ∈R )，可得x 2－kx －e ＋k e ≥0，当x ∈R 时恒成⽴．∴Δ＝(k －2e)2，∴由Δ≤0，得k ＝2 e.下⾯证明φ(x )≤2e x －e ，当x >0时恒成⽴．令G (x )＝φ(x )－2e x ＋e ＝2eln x －2e x ＋e ，则G ′(x )＝2ex －2e ＝2e(e －x )x ，当x ＝e 时，G ′(x )＝0. ∵当00，此时函数G (x )递增；当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )递减，∴当x ＝e 时，G (x )取极⼤值，其极⼤值为0. 从⽽G (x )＝2eln x －2e x ＋e ≤0，即φ(x )≤2e x －e(x >0)恒成⽴，∴函数h (x )和φ(x )存在唯⼀的隔离直线y ＝2e x －e.。
高三基础知识天天练化学3单元质量检测人教版
单元质量检测(时间90分钟，满分100分)第Ⅰ卷(选择题，共48分)一、选择题(本题包括16小题，每小题3分，共48分)1．红珊瑚栖息于200～2000米的海域，产于台湾海峡、南中国海，它与琥珀、珍珠被统称为有机宝石．在中国，珊瑚是吉祥富有的象征，一直用来制做珍贵的工艺品．红珊瑚是无数珊瑚虫分泌的石灰质大量堆积形成的干支状物，其红色是因为在海底长期积淀某种元素，该元素是() A．Na B．Fe C．Si D．Cu解析：红珊瑚是无数珊瑚虫分泌的石灰质大量堆积形成的干支状物，而Fe(OH)3是红褐色物质，NaOH是易溶于水的，Cu(OH)2是蓝色的，硅酸盐也不是红色的，故只有B正确．答案：B2．美国科学家在《Science》上发表论文，宣布发现了铝的“超级原子”结构——Al13和Al14. 已知这类“超级原子”最外层电子数之和为40个时处于相对稳定状态．下列说法中，正确的是() A．Al13、Al14互为同位素B．Al13超原子中Al原子间通过离子键结合C．Al14最外层电子数之和为42，与第ⅡA族元素原子的性质相似D．Al13和Al14都具有较强的还原性，容易失去电子生成阳离子解析：Al13和Al14都是由多个Al原子构成的超原子，不是Al的同位素；Al13超原子中铝原子间是通过金属键结合的，不是离子键；Al14最外层电子数之和为3×14＝42个价电子，比稳定结构(40个最外层电子)多2个电子，应与ⅡA族元素性质相似；Al13具有3×13＝39个最外层电子，比稳定结构少1个电子，容易得到1个电子，应与卤素性质相似，具有较强的氧化性．答案：C3．如图所示装置，试管中盛有水，气球a盛有干燥的固体过氧化钠颗粒，U形管中注有浅红色的水已知，过氧化钠与水反应是放热的．将气球用橡皮筋紧缚在试管口，实验时将气球中的固体颗粒抖落到试管b的水中，将发生的现象是()A．U形管内红色褪去B．试管内溶液变红C．气球a被吹大D．U形管水位d<c解析：2Na2O2＋2H2O===4NaOH＋O2↑，因该反应生成O2且放出热量，故气球变大，U形管内液面c端下降，d端上升，故C 正确，D错误；该反应是在试管内发生的且无酚酞，故A、B均错误．答案：C4．按下图装置通入X气体，并在管P处点燃，实验结果是澄清石灰水变浑浊，则X、Y可能是()A．H2和Fe2O3B．CO和CuOC．H2和Na2CO3D．CO和Na2CO3解析：能使澄清石灰水变浑浊的气体应为CO2，可以是CO与CuO在加热条件下反应产生的．答案：B5．下列各组溶液，不另加其他试剂就可以将它们分别开的是() A．NaCl，HCl，NaAlO2，NaHCO3B．Na2SO4，KNO3，(NH4)2SO4，MgCl2C．FeCl3，NaOH，AlCl3，HNO3D．AgNO3，NaCl，Na2SO4，NaI解析：不另加试剂鉴别多种物质有两种主要方法，其一是利用物理性质(主要是颜色)鉴别出其中的一种或几种，再以这种物质作为试剂，看能否区别出余下的物质；其二是假设其中的一种为已知，并以它作为试剂，看能否鉴别余下的物质．本题C中FeCl3呈棕黄色，将其加入其余三种物质中有红褐色沉淀产生的是NaOH，再将NaOH加入其他两种溶液中，有白色沉淀生成的是AlCl3，无变化的是HNO3.答案：C6．铁氧体(Fe3O4) 法是处理含铬废水的常用方法．其原理是：用FeSO4把废水中Cr2O2－7还原为Cr 3＋，并通过调节废水的pH ，使生成物组成符合类似于铁氧体(Fe 3O 4或Fe 2O 3·FeO)的复合氧化物(Cr x ＋3Fe ＋32－x O 3·Fe ＋2O). 处理含1 mol Cr 2O 2－7废水至少需要加入a mol FeSO 4·7H 2O.下列结论正确的是( )A ．x ＝1，a ＝5B ．x ＝0.5，a ＝8C ．x ＝2，a ＝10D ．x ＝0.5，a ＝10解析：据Cr 原子守恒，复合氧化物(Cr x ＋3Fe ＋32－x O 3·Fe ＋2O)的物质的量为2x mol ，由Fe 原子守恒有2x ×(3－x )＝a ，再根据电子守恒得2x×(2－x )＝1×6，联立解得x ＝0.5，a ＝10，故选D.答案：D7．下列各选项均有X 、Y 两种物质，将X 缓缓滴入(通入)Y 溶液中，无论X 是否过量，均能用同一离子方程式表示的是( )解析：A 项中X 33CO 2－3＋2H＋===CO 2↑＋H 2O.B 项中，X 不足时，反应为AlO －2＋4H ＋===Al 3＋＋2H 2O ；X 过量时，反应为AlO －2＋H＋＋H 2O===Al(OH)3↓.C 项中，X 不足时，反应为2Fe 3＋＋S 2－===2Fe 2＋＋S ↓；X 过量时，反应为2Fe 3＋＋3S 2－===2FeS ↓＋S ↓. D项中无论CO 2过量与否，反应均为CO 2＋+答案：D8．一定体积CO 2和O 2的混合气体通过足量的Na 2O 2后，所得气体体积变为原来的3/4，则CO 2在原混合气体中的体积分数为( )A ．25%B ．40%C ．50%D ．75%解析：设原有混合气体共4体积，则反应后气体减少1体积．由2CO2＋2Na2O2===2Na2CO3＋O2ΔV2 1 1V(CO2) 1所以V(CO2)＝2φ(CO2)＝2/4×100%＝50%答案：C9．俄罗斯西伯利亚研究人员开发出一种生物活性吸附剂，可以吸附水中的几乎全部微生物和噬菌体．据俄《科学信息》杂志报道，这种新的吸附剂由成本低廉、环保性能好的棉纤维素和主要成分为氢氧化铝的勃姆石制造而成. 下列有关说法中不．正确的是() A．Al(OH)3既能够与盐酸反应又能够与NaOH溶液反应B．纤维素和淀粉不是同分异构体C．纤维素能够与醋酸发生酯化反应D．实验室中Al(OH)3可以由偏铝酸盐和氨水制备解析：Al(OH)3具有两性，可与酸或强碱反应；其实验室制备方法是用铝盐与弱碱氨水反应(氢氧化铝不溶于氨水)；纤维素与淀粉都是高分子化合物，可用[(C6H10O5)n]表示，但其聚合度(n)不同，所以不是同分异构体；纤维素中分子中存在醇羟基，所以可以发生酯化反应．答案：D10．下列各组离子一定能大量共存的是() A．在含大量Fe3＋的溶液中：NH＋4、Na＋、Cl－、SCN－B．在强碱性溶液中：Na＋、K＋、AlO－2、CO2－3C．在c(H＋)＝10－13 mol/L的溶液中：NH＋4、Al3＋、SO2－4、NO－3D．在pH＝1的溶液中：K＋、Fe2＋、Cl－、NO－3解析：A项中Fe3＋与SCN－反应；B项中在有OH－时该组离子能共存；C项中溶液中OH－与NH＋4作用生成NH3·H2O；D项中溶液中有H＋时NO－3会将Fe2＋氧化，故只有B符合题意．答案：B11．托盘天平的两盘中各放一只盛有等体积、等物质的量浓度盐酸的小烧杯，调整天平平衡后向两烧杯中分别加入等质量的Fe粉和Zn粉，下列现象不．可能出现的是() A．开始天平加锌的一端上升B．最终天平加锌的一端上升C．最终天平仍平衡D．最终加铁的一端上升解析：本题考查金属的化学性质，较难题．如果酸过量，由于锌的活动性大于铁，开始时锌产生氢气的速度快，加锌的一端上升，A对；但最终加锌的一端的增重大于加铁的一端的增重，最终加铁的一端上升，D对；如果金属过量，则加锌的一端和加铁的一端增重相同，最终天平仍平衡，C对．答案：B12．有两瓶失去标签的物质的量浓度相同的Na2CO3和NaHCO3稀溶液．下列鉴别方法和所得到的结论不．正确的是() A．取少量未知溶液，分别滴加Ba(NO3)2溶液，有沉淀生成的为Na2CO3溶液B．取少量未知溶液，分别滴加CaCl2溶液，有沉淀生成的为Na2CO3溶液C．分别滴加酚酞试液，红色较深的是Na2CO3溶液D．用pH试纸测定两溶液的pH，pH较小的为Na2CO3溶液解析：Ba(NO3)2、CaCl2均能与Na2CO3反应产生白色沉淀，而均不能与NaHCO3反应，故A、B正确；Na2CO3的碱性比NaHCO3的碱性强，pH大，故C正确，D错误．答案：D13．有a、b、c、d、e 5种金属．已知：①e的氧化产物比d的氧化产物氧化能力强；②a投入e的盐溶液可得e的单质，而c投入e的盐溶液却不能获得e的单质；③在以a、d 为极板形成的原电池中，d极上发生还原反应；④e投入b的盐溶液中，在e的表面有b析出；⑤c的碳酸盐的溶解度大于它的酸式碳酸盐．由此可推知五种金属的活动性由强到弱的顺序为() A．adbec B．cadeb C．aedbc D．cabed解析：金属的活动性：①e<d，②a>e，③a>d，④e>b，而据⑤判断c应为碱金属元素，故c最活泼，综合分析比较得出：c>a>d>e>b，故选B.答案：B14．将5.4 g Al投入到200.0 mL 2.0 mol/L的某溶液中有氢气产生，充分反应后有金属剩余．该溶液可能为() A．HNO3溶液B．Ba(OH)2溶液C．H2SO4溶液D．HCl溶液解析：n(Al)＝5.4 g27 g/mol＝0.2 mol，n(H2SO4)＝0.4 mol，n(HCl)＝0.4 mol，但H2SO4是二元酸，而HCl是一元酸，和0.2 mol Al反应，H2SO4过量，HCl不足，n[Ba(OH)2]＝0.4 mol，可知与Al反应时，Ba(OH)2过量不会有金属剩余．A中Al与HNO3反应无氢气产生，B中Ba(OH)2过量，2Al＋2OH－＋2H2O===2AlO－2＋3H2↑，C中H2SO4过量，所以选D.答案：D15．将铁片投入下列溶液中，不放出气体，并且Fe片质量减轻的是()A．CuSO4B．H2SO4 C．AgNO3 D．FeCl3解析：A项中Fe置换出Cu而使Fe片质量增大；B项中产生气体；C项中Fe置换出Ag而使Fe质量增大；D项发生反应：Fe＋2FeCl3===3FeCl2而符合条件，故选D.答案：D16．下列实验操作正确的是() A．向过量稀硫酸中加入除去油污的废铁屑，是制备硫酸亚铁的可行方案B．向碳酸钠粉末中加入乙二酸溶液，生成大量气泡，说明乙二酸的酸性比碳酸强C．向铝屑与硫酸反应后的溶液中加入氢氧化钠溶液，是制备氢氧化铝的最佳方案D．在测定硫酸铜晶体中结晶水含量时，将CuSO4晶体加热至晶体完全变白色后，在空气中冷却后称量解析：过量稀硫酸与废铁屑(含氧化铁)反应生成的硫酸亚铁中混有硫酸铁，产品不纯，应加入过量铁屑，A错；根据强酸制弱酸原理知，乙二酸与碳酸钠反应生成碳酸，碳酸分解产生二氧化碳和水，B正确；硫酸与铝反应生成硫酸铝，再与氢氧化钠溶液反应生成氢氧化铝，因为氢氧化铝溶于氢氧化钠溶液，不易控制加入氢氧化钠溶液的量，C错；硫酸铜在空气中冷却时吸收空气中水分，使测定硫酸铜晶体中结晶水含量偏低，D错．答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共52分)二、非选择题(本题包括6小题，共52分)17．(8分)国务院强调“南水北调”工程必须坚持“三先三后”的原则．在调水工程中，沿途工业污水的任意排放是造成水质恶化的最大隐患．检测某工厂废液中，含有大量的Mg2＋、Al3＋、Cu2＋、Ag＋.试分析回答下列问题：(1)该废液中可能大量存在的一种阴离子是________(选填序号)．A．SO2－4B．NO－3C．Cl－D．CO2－3(2)检验废液中铝元素的含量，需将其从废水样品中分离出来，所用的试剂可以是________，铝元素发生变化的离子方程式是______________________．(3)为了回收废液中的金属银，某同学设计了如下方案：若依该方案获得银108 g ，为保证不污染环境和氯气的循环利用，理论上应提供标准状况下的氢气________L.解析：(1)SO 2－4、Cl －与Ag ＋不共存；CO 2－3与Cu 2＋、Ag ＋、Mg 2＋、Al 3＋都不共存．(2)利用Al(OH)3的两性将Al 元素从废水样品中分离出来．(3)根据题中转化关系图，2Ag ～Cl 2～H 2 即n (H 2)＝12n (Ag)＝12×108 g 108 g/mol ＝0.5 molV (H 2)＝0.5 mol ×22.4 L/mol ＝11.2L答案：(1)B (2)NaOH 溶液 Al 3＋＋4OH －===AlO －2＋2H 2O (3)11.218．(8分) KHCO 3溶液中含溶质20 g ，加入一定质量的单质或化合物X ，恰好使溶液中溶质只有K 2CO 3，请你填写出X 可能的化学式和质量．(1)______________________________ (2)______________________________ (3)______________________________ (4)______________________________解析：要让KHCO 3转化为K 2CO 3，则应加入碱或能生成碱的物质，再考虑不引入新的杂质，则应加入K 或K 的化合物. 故可加入K 、K 2O 、KOH 、K 2O 2或KO 2等物质．答案：(1)K 7.8 g (2)K 2O 2 11 g (3)K 2O 9.4 g (4)KOH 11.2 g(若考虑KO 2也正确)19．(10分)中学化学中几种常见物质的转化关系如下图所示：将D 溶液滴入沸水中可得到以F 为分散质的红褐色胶体． 请回答下列问题：(1)红褐色胶体中F 粒子直径大小的范围：________.(2)A 、B 、H 的化学式：A__________、B__________、 H________.(3)①H 2O 2分子的电子式为______________． ②写出C 的酸性溶液与双氧水反应的离子方程式： __________________________________.(4)写出鉴定E 中阳离子的实验方法和现象：________________________________. (5)在C 溶液中加入与C 等物质的量的Na 2O 2，恰好使C 转化为F ，写出该反应的离子方程式：____________________________.解析：以红褐色胶体F 是Fe(OH)3为突破口，再根据Fe(OH)3的生成和性质可推知：A 为Fe ，B 为FeS ，C 为FeSO 4，D 为Fe 2(SO 4)3，E 为(NH 4)2SO 4，H 为稀H 2SO 4.答案：(1)1～100 nm (2)Fe FeS H 2SO 4(稀) (3)①H ·×O ¨¨∶O ¨¨·×H②2Fe 2＋＋H 2O 2＋2H ＋===2Fe 3＋＋2H 2O(4)取少量E 于试管中，用胶头滴管滴入NaOH 溶液，加热试管，在试管口放一湿润的红色石蕊试纸，观察到红色石蕊试纸变蓝，证明E 中有NH ＋4存在(5)4Fe 2＋＋4Na 2O 2＋6H 2O===4Fe(OH)3↓＋O 2↑＋8Na ＋20．(8分)等物质的量混合的NaHCO 3和KHCO 3的混合物4.60 g ，与1.00 mol/L 的盐酸反应．(1)试分析，欲求标准状况下生成的CO 2气体的体积，还需要什么数据________(用a 表示，并注明单位)．(2)利用所确定的数据，求标准状况下CO 2气体的体积(填写下表)：(3)若NaHCO 33标准状况下生成的CO 2气体的体积大于________L ，小于________L.解析：(1)欲求标准状况下生成CO 2气体的体积，还需知道盐酸的体积．(2)由题干数据知n (NaHCO 3)＝n (KHCO 3)＝0.0250 mol ，则n (HCO －3)＝0.0500 mol ，当盐酸量不足时，n (HCl)<0.0500 mol ，即a<0.0500 L ；若盐酸足量，则a ≥0.0500 L ，产生CO 2气体体积分别是27.4a L 、1.12 L.(3)当NaHCO 3与KHCO 3物质的量不相等时，若全部是NaHCO 3产生CO 2的量最多，当全部是KHCO 3时，产生CO 2的量最少，故生成CO 2的体积22.4×4.60100 L<V <4.60×22.484L ，即1.03 L<V<1.23 L.答案：(1)盐酸的体积a L(2)(3)1.0321．(9分)铁是人类必需的微量元素，治疗缺铁性贫血的常见方法是服用补铁药物，又已知：氧化性Cl2>Fe3＋>(SCN)2.“速力菲”主要成分：琥珀酸亚铁，呈暗黄色)是市场上一种常见的补铁药物．该药品不溶于水但能溶于人体中的胃酸．某同学为了检测“速力菲”药片中Fe2＋的存在，设计并进行如下实验：(1)试剂1是________，试剂2是________，加入新制氯水后溶液中发生的离子反应方程式是______________________________；(2)加入试剂2后溶液中颜色由淡黄色转变为淡红色的原因为_____________________．(3)该同学猜想红色溶液变为无色溶液的原因是溶液中的Fe3＋被还原为Fe2＋，你认为该同学的猜想合理吗？______________________________________.若你认为合理，请说明理由(若你认为不合理，该空不用作答)______________________________________.若你认为不合理请提出你的猜想设计一个简单的实验加以验证(若你认为合理，该空不用作答)______________________________．解析：本题考查Fe2＋的还原性及Fe3＋的鉴别．Fe2＋的溶液为浅绿色，由于Fe2＋极易被O2、Cl2等氧化而变为黄色的Fe3＋溶液，Fe3＋通常由SCN－来检验：Fe3＋＋3SCN－===Fe(SCN)3(红色溶液)．由题给信息氧化性Cl2>Fe3＋>(SCN)2知：当向含Fe2＋及SCN－的溶液中通Cl2时，2Fe2＋＋Cl2===2Fe3＋＋2Cl－，若Cl2过量：2SCN－＋Cl2===2Cl－＋(SCN)2.答案：(1)稀盐酸KSCN溶液2Fe2＋＋Cl2===2Fe3＋＋2Cl－、Fe3＋＋3SCN－===Fe(SCN)3(2)少量的Fe2＋转化为Fe3＋，加入KSCN后显红色(3)不合理，我的猜想是Fe(SCN)3中的SCN－被过量氯水氧化设计的实验为在褪色后的溶液中加入FeCl3溶液，仍不变红色(或在褪色后的溶液中加入KSCN溶液，变红色) 22．(9分)黄铜矿(CuFeS2)是制取铜及其化合物的主要原料之一，还可制备硫及铁的化合物．(1)冶炼铜的反应为：8CuFeS 2＋21O 2=====高温8Cu ＋4FeO ＋2Fe 2O 3＋16SO 2若CuFeS 2中Fe 的化合价为＋2，反应中被还原的元素是________(填元素符号)． (2)上述冶炼过程产生大量SO 2.下列处理方案中合理的是________(填代号)． a ．高空排放 b ．用于制备硫酸c ．用纯碱溶液吸收制Na 2SO 3d ．用浓硫酸吸收(3)过二硫酸钾(K 2S 2O 8)具有强氧化性，可将I －氧化为I 2：S 2O 2－8＋2I －===2SO 2－4＋I 2通过改变反应途径，Fe 3＋、Fe 2＋均可催化上述反应．试用离子方程式表示Fe 3＋对上述反应催化的过程．________、________(不必配平)(4)利用黄铜矿冶炼铜产生的炉渣(含Fe 2O 3、FeO 、SiO 2、Al 2O 3)可制备Fe 2O 3.方法为： ①用稀盐酸浸取炉渣，过滤．②滤液先氧化，再加入过量NaOH 溶液，过滤，将沉淀洗涤、干燥、煅烧得Fe 2O 3. 据以上信息回答下列问题：a ．除去Al 3＋的离子方程式是________．b ．选用提供的试剂，设计实验验证炉渣中含有FeO.提供的试剂：稀盐酸 稀硫酸 KSCN 溶液 KMnO 4溶液 NaOH 溶液 碘水 所选试剂为________．证明炉渣中含有FeO 的实验现象为____________________________________． 解析：(1)按照题给化学方程式，氧气中氧的化合价降低，铜的化合价也降低，因此被还原的元素有铜和氧．若按照量的关系，21 mol 氧气反应时得到84 mol 电子，而铁失去4 mol 电子，硫失去96 mol 电子，根据得失电子守恒，铜应得到16 mol 电子．(2)要综合考虑二氧化硫的性质和环境保护，高空排放会引起大气污染；二氧化硫可与氧气催化氧化生成三氧化硫，进而与水结合生产硫酸；亚硫酸的酸性比碳酸强，因此可用纯碱来吸收制取Na 2SO 3；浓硫酸不能氧化二氧化硫，因此不能用浓硫酸吸收二氧化硫．(3)要考虑常见的氧化剂和还原剂之间的反应，因为Fe 3＋可以氧化I －生成Fe 2＋，而亚铁离子可以被过二硫酸钾(K 2S 2O 8)氧化又生成Fe 3＋，这就是催化的机理．(4)要考虑氢氧化铝的两性，用过量的氢氧化钠即可除去铝离子；二价铁具有还原性，而高锰酸钾具有氧化性，通过高锰酸钾的颜色变化即可证明FeO 的存在．答案：(1)Cu 、O (2)b 、c (3)2Fe 3＋＋2I －===2Fe 2＋＋I 2S 2O 2－8＋2Fe 2＋===2SO 2－4＋2Fe 3＋(离子方程式不配平也可)(4)a.Al3＋＋4OH－===AlO－2＋2H2Ob．稀硫酸、KMnO4溶液稀硫酸浸取炉渣所得溶液使KMnO4溶液褪色。
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第2模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y＝－x2(x∈R)是() A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案：B2．已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是() A．f(x)＝x·(x－2)B．f(x)＝|x|(x－2)C．f(x)＝|x|(|x|－2)D．f(x)＝x(|x|－2)答案：D3．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于() A．－b＋4 B．－b＋2C．b－2 D．b＋2解析：依题设F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝－3f(x)－5g(x)＋2，∴F(x)＋F(－x)＝4，则F(a)＋F(－a)＝4，F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为() A．0 B．1C．3 D．5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f (－T 2)＝－f (T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)．∴f (－T 2)＝f (T2)＝0，则n 可能为5，选D.答案：D 二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (1)＋f (－1)＝0⇒2(1＋a )＋0＝0， ∴a ＝－1. 答案：－16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于[－π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点．当x 1＝π2，x 2＝－π2时，①③均不成立．答案：② 三、解答题7．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p ，q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q .从而q ＝0，因此f (x )＝px 2＋23x .又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53.∴p ＝2.(2)f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝2(x 2－x 1)(1－x 1x 2)3x 1x 2.∵x 1<x 2<－1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数．(1)解：只需求出f (x )在x ∈(－1,0)和x ＝±1，x ＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0. ∴在区间[－1,1]上有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1).∵0<x 1<x 2<1.∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上单调递减．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1.答案：C2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：令g (x )＝f (x )x ，则g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又g (x ＋1)＝f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ＝g (x )．∴g (52)＝f (52)52＝g (12)＝g (－12)＝－g (12)，∴g (12)＝0，∴f (52)＝0.故选A. 答案：A3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )．∴f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)＝0.而f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (1)≥f (0)＝0.∴f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.答案：D4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由题意f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x )＝－f (2－x )且f (x )＝－f (－2－x )．∴f (x )＝－f (2－x )＝f [－2－(2－x )]＝f (x －4)，∴f (－x ＋3)＝f (－x －1)＝－f [2－(－x －1)]＝－f (x ＋3)，故选D. 答案：D5．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有 0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)证法一：因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 解法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.所以满足题意的k 的取值范围是(－∞，22－1)[备选精题]6．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝ －2a ≠0.∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)解法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即f ′(x )＝2x －ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 解法二：设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。
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第3模块 第3节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B.答案：C2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tan π＝0.答案：A3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论中正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，∵0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x≥2.∴f (x )有最小值而无最大值． 答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．(2)由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2kπ≤23x －π4≤32π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π8＋3kπ，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z )． 答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }[98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2kπ(k ∈Z )对称；④当且仅当2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝32π＋2kπ(x ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝54π＋2kπ(k ∈Z )对称，在2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.故③④正确．答案：③④ 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x (－π2<x <π2)－tan x (－π≤x <－π2或π2<x ≤π)，y ＝f (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k ∈Z )，单调递减区间是(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )．8．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg[g (x )]>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg[g (x )]>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z ，由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得 kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z .由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z )．[高考·模拟·预测]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B2．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13D.12解析：将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图象与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，根据正切函数的周期是kπ，故其充要条件是－πω6＋π4＝kπ＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )在图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝－cos x ，∴f (x )为偶函数，故选D. 答案：D4．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：α∈(0，π4),1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .答案：a <b <c5．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2，则kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的递增区间为[π12，π3]．[备选精题]6．设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
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第4模块 第2节[知能演练]一、选择题1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn等于( )A ．－12B ．2 C.12D ．－2解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 则有2m －n 4＝3m ＋2n－1∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.答案：A2．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)，则12MN →等于( )A ．(8,1)B ．(－8,1)C ．(4，－12D ．(－4，12)解析：∵OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)， ∴12MN →＝12(ON →－OM →) ＝12[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12×(－8,1)＝(－4，12)． 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形解析：∵AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ，∴AD →＝2(－4a －b )＝2BC →，∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →|，故四边形是梯形． 答案：A4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C (x ，y )满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则x ，y 满足的关系式为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：由OC →＝αOA →＋βOB →， ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β.∴⎩⎨⎧α＝3x ＋y10，β＝－x ＋3y10.∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 答案：D 二、填空题5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝ (－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：由题意得λa ＋b ＝(2＋λ，2λ＋3)， 又λa ＋b 与c 共线，因此有(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0， ∴λ＝2. 答案：26．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________． 解析：∵向量AB →与a 同向， ∴设AB →＝(2t,3t )(t >0)．由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)． 设B 为(x ，y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4. 答案：(5,4) 三、解答题7．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－1. 8．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹． 解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)， 又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，∵|AB →|＝|AD →|，∴▱ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . ∴AC →⊥BP →，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．[高考·模拟·预测]1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线解析：a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．故选C. 答案：C2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析：在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)． 答案：B3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，则DF ＝13DC ，∴CF ＝23CD ，∴CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23(12b －12a )＝13b －13a ， ∴AF →＝AC →＋CF →＝a ＋13b －13a＝23a ＋13b . 答案：B4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：3－k 1＝－63⇒k ＝5.故填5.答案：55．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1t b ，问是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1＋2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1t (－2,1)＝(－1k －2t ，－2k ＋1t，假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则 (－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2t )＝0，化简得t 2＋1k ＋1t＝0，即t 3＋t ＋k ＝0，∵k ，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在． ∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .[备选精题]6．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2，或θ＝3π4.。
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第3模块 第2节[知能演练]一、选择题1．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15 C.513D ．－513 解析：⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，∴⎩⎨⎧ sin α＝513，cos α＝－1213或⎩⎨⎧ sin α＝－513，cos α＝1213.∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0.∴sin α＝－513.选D. 答案：D2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于 ( )A ．－33B.33 C ．－ 3 D. 3解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32. 又|φ|<π2，∴cos φ＝12.∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．若α是第三象限角，且cos(75°＋α)＝13，则tan(15°－α)的值为 ( )A ．－223B ．－24C.223D.24解析：cos(75°＋α)＝sin(90°－75°－α)＝sin(15°－α)＝13>0，又∵α为第三象限角， ∴－α为第二象限角．∴－α＋15°为第二象限角．∴cos(15°－α)＝－1－19＝－223. ∴tan(15°－α)＝－24. 答案：B4．若△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于 ( )A.153B ．－153 C.53 D ．－53解析：在△ABC 中，2sin A cos A ＝23>0， ∴sin A >0，cos A >0. ∴sin A ＋cos A ＝(sin A ＋cos A )2＝sin 2A ＋cos 2A ＋2sin A cos A ＝1＋23＝53＝153. 答案：A二、填空题5．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos(α＋π2)＝________. 解析：由已知⇒cos(α＋π2)＝－sin α＝－(－1－cos 2α)＝265. 答案：2656．化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin(－α－2π)＝________.解析：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin(－α－2π) ＝(－sin α)2·(－cos α)·cos(－α)tan α·cos 3α·sin(－α)＝－sin 2α·cos α·cos αsin αcos α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案：1三、解答题7．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2nπ)·cos(α－2nπ)(n ∈Z)． 解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12， 又∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2nπ)·cos(α－2nπ)＝sin(2nπ＋π＋α)＋sin(－2nπ－π＋α)sin(2nπ＋α)·cos(－2nπ＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4. 8．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2<α<π)．求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)． 解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29， 故2sin α·cos α＝－79， 又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α>0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－(－79)＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2＋α)＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝(－43)×(1－718)＝－2227.[高考·模拟·预测]1．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34 D.45解析：由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45，故选D. 答案：D2．已知△ABC 中，1tan A ＝－125，则cos A ＝ ( )A.1213B.513 C ．－513 D ．－1213解析：∵1tan A ＝－125，∴tan A ＝－512，∴π2<A <π，∴cos A ＝－11＋tan 2A＝－1213，选D. 答案：D3．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：注意到sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，且0°<11°<12°<80°<90°，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°，选C. 答案：C4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：∵sin θ<0，tan θ>0，θ在第三象限内，cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.答案：－355．已知cos θ＝－23，θ∈(π2，π)，求2sin2θ－cos θsin θ的值． 解：原式＝22sin θcos θ－cos θsin θ＝1－cos 2θsin θcos θ＝sin θcos θ. 又cos θ＝－23，θ∈(π2，π)， ∴sin θ＝1－29＝73，2sin2θ－cos θsin θ＝－142. [备选精题] 6．已知函数f (x )＝1－2sin(2x －π4)cos x. (1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值． 解：(1)由cos x ≠0得x ≠kπ＋π2(k ∈Z)， 故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠kπ＋π2，k ∈Z . (2)因为tan α＝－43，且α是第四象限的角， 所以sin α＝－45，cos α＝35， 故f (α)＝1－2sin(2α－π4)cos α ＝1－2(22sin2α－22cos2α)cos α＝1－sin2α＋cos2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝145.。
高三数学基础题每日一练
1．330cos =( ) A ．23-B ．21-C ．21D ．23 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2)21(2-==x xy y 与函数的图象关于（ ）A.直线x = 1对称B.直线x = 2对称C.点（1，0）对称D.点（2，0）对称4．已知向量x b b a x x b x a 则若其中,//)2(,1),1,(),21,8(+>==的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．85．已知等比数列8050202991,01610,,0,}{a a a x x a a a a n n 则的两根为方程中=+->的值为A ．32B ．64C ．128D ．2566．若ααπααsin cos ,22)4sin(2cos +-=-则的值为（ ） A.27- B.21- C.21D.277．函数x e x f x1)(-=的零点个数为 。
8．若βαβαβαtan tan ,53)cos(,51)cos(⋅=-=+则= 。
9．等差数列1815183,18,6,}{S S S S S n a n n 则若项和为的前=--== 。
10．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数)20()sin(πϕϕω<≤++=B x A y ，则温度变化曲线的函数解析式为 。
11.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，.21,53cos -=⋅=BC AB B 且（I ）求△ABC 的面积； （II ）若a = 7，求角C.1．设集合{2,1,0,1,2},{|12},()S T x R x ST =--=∈+≤=S 则C （ ）A ．∅B ．{2}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．已知向量(1)(12)n n ==--，，，a b ，若a 与b 共线，则n 等于（ ）A ．1BC ．2D ．43．函数221y x x =++在x =1处的导数等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设p ：0m ≤，q ：关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40，则最大角为（ ）A ．140B ．120C ．100D ．806已知函数f (x )在区间 [a ，b ]上单调，且f (a )•f (b )<0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内( ) A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有惟一实根 7．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定 8．函数3()31f x x x =-+的单调减区间是 ；9．定义在R 上的奇函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，若(0.5)1,f =则(7.5)f =________； 10．已知0>a ，函数ax x x f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数，则a 的最大值是11.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ，其中*∈N n ，则)8(f 的值为12．已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .(1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22 AB 时，求直线l 的方程.高三数学基础训练31、已知集合{}12S x x=∈+≥R，{}21012T=--，，，，，则S T =（）A．{}2B．{}12，C．{}012，，D．{}1012-，，，2.函数2log2-=xy的定义域是（） A.),3(+∞ B.),3[+∞ C.),4(+∞ D.),4[+∞3．在等比数列}{na中，123401,9na a a a a>+=+=且，则54aa+的值为（）A．16 B．27 C．36 D．814．若直线021)1(22=-+=+++xyxyxa与圆相切，则a的值为（）A．1，－1 B．2，－2 C．1 D．－15a b=3ba-=7,则向量a与向量b的夹角是（）A．6πB．4πC．3πD．2π6．1-=a是直线0331)12(=++=+-+ayxyaax和直线垂直的（）A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分又不必要的条件7、函数2()1logf x x=+与1()2xg x-+=在同一直角坐标系下的图象大致是（）8．已知53)4cos(=+xπ，则x2sin的值为（） A.2524- B.257- C.2524D.2579、已知函数()y f x=为奇函数，若(3)(2)1f f-=，则(2)(3)f f---=．10、已知236,-0,3x yx y z x yy+≤⎧⎪≥=-⎨⎪≥⎩则.的最大值为。
(完整word版)高三数学基础训练题集(上)1-10套(含答案)
俯视图侧视图正视图4图1乙甲7518736247954368534321高三数学基础训练一班级：姓名：座号：成绩：一．选择题：1．复数i1i,321-=+=zz，则21zzz⋅=在复平面内的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知,11=a84=a，则=5a( )A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－323．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a⊥b ，则实数x的值为( )A．12B．2-C．2D．21-4．经过圆:C22(1)(2)4x y++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( )A．30x y-+=B．30x y--=C．10x y+-=D．30x y++=5．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0>x时，()2xf x=，( ) 则(2)f-=( )A．14B．4-C．41-D．46．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )A．62 B．63 C．64 D．657．下列函数中最小正周期不为π的是( )A．xxxf cossin)(⋅= B．g（x）=tan（2π+x）C．xxxf22cossin)(-=D．xxx cossin)(+=ϕ8．命题“,11a b a b>->-若则”的否命题是( )A．,11a b a b>-≤-若则B．若ba≥，则11-<-baC．,11a b a b≤-≤-若则D．,11a b a b<-<-若则9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 ( ) A ．6B ．24C ．123D ．3210．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 ( ) A ．()()+∞-∞-,11,YB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y C ．()()+∞-∞-,,2222YD ．()()+∞-∞-,,22Y二．填空题:11．函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．14．已知c x x x x f +--=221)(23，若]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，则实数c 的取值范围______ 三．解答题:已知()sin f x x x =+∈x (R )． （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．高三数学基础训练二班级： 姓名： 座号： 成绩：一．选择题：1．在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．92．函数()()sin cos sin f x x x x =-的最小正周期为 ( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．已知命题p: {}4A x x a =-p ,命题q :()(){}230B x x x =--f ,且⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是： ( )A ．(-1,6)B ．[-1,6]C ．(,1)(6,)-∞-⋃+∞D ．(,1][6,)-∞-⋃+∞ 4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
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第2模块 第9节[知能演练]一、选择题1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( )A ．25元B ．20.5元C ．15元D ．12.5元解析：每件获利100(1＋25%)×0.9－100＝100(1.25×0.9－1)＝12.5元． 答案：D2．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种债券面值为1000元，买入价为960元，一年到期本息之和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设三种债券的年收益分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝c <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．c <a <b解析：设年初为1000元，则A 种债券收益40元，B 种债券收益1000960×40≈41.67元．C 种债券收益为20＋10201000×20＝40.4元．∴b >c >a . 答案：C3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x ，y ( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x . 答案：B4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ≤800)(x －800)×14% (800<x ≤4000)11%·x (x >4000). 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.答案：C 二、填空题5．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格y ＝8100[1＋(13)13－1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：3006．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是________．①这几年人民生活水平逐年得到提高；②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；④虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2000年～2001年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2001年～2002年上涨速度不是最快的，故③不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④ 三、解答题7．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如下图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f (x )＝k 1x ，投资股票的收益与投资额的函数关系为g (x )＝k 2x ，由图象得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝k 2＝12，f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品x 万元， 则股票类投资为20－x 万元．y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x ，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t 2－4t －20)＝－18(t －2)2＋3.所以当t ＝2，即x ＝16时，投资债券16万元，股票4万元时，收益最大，y max ＝3万元． 8．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0， 解得x >2.3.∵x ∈N *，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，x ∈N *， 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0， 上述不等式的整数解为2≤x ≤20(x ∈N *)， ∴6<x ≤20(x ∈N *)． 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115 (3≤x ≤6，x ∈N *)－3x 2＋68x －115 (6<x ≤20，x ∈N *)， 定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)． 显然当x ＝6时，y max ＝185(元)， 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270(元)．∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．[高考·模拟·预测]1．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：( )A ．200B ．220C ．240D ．260解析：由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t 20，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分，故选A.答案：A2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保证环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：C3．某市出租车收费标准如下： 起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意可得： f (x )＝4．一位设计师在边长为3的正方形ABCD 中设计图案，他分别以A ，B ，C ，D 为圆心，以b (0<b ≤32)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意实线部分的总长度为l ＝4(3－2b )＋2πb ＝(2π－8)b ＋12，l 关于b 的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l 关于b 为单调减函数，因此，当b 取最大值时，l 取得最小值，结合图形知，b 的最大值为32，代入上式得l 最小＝(2π－8)×32＋12＝3π.答案：3π5．如右图，一个铝合金窗分为上、下两栏，圆周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm ，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800 cm 2，设该铝合金窗的宽和高分别为a (cm)，b (cm)，铝合金窗的透光部分的面积为S (cm 2)．(1)试用a ，b 表示S ；(2)若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 解：(1)∵铝合金窗宽为a (cm)，高为b (cm)，a >0，b >0， ∴ab ＝28800. ①又设上栏框内高度为h (cm)，下栏框内高度为2h (cm)，则3h ＋18＝b ，∴h ＝b －183，∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×b －183＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288 ＝28800－2(9a ＋8b )＋288 ＝29088－2(9a ＋8b )． (2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b＝29×8×28800＝2880，当且仅当9a ＝8b 时等号成立，此时b ＝98a ，代入①得a ＝160，从而b ＝180，即当a ＝160，b ＝180时，S 取得最大值．答：铝合金窗的宽为160 cm ，高为180 cm 时，可使透光部分的面积最大．[备选精题] 6．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(Ⅰ)将y 表示成x 的函数；(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ，BC ＝400－x 2 km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y ＝4x 2＋k400－x 2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065， 解得k ＝9，所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(Ⅱ)因为y ′＝－8x 3＋18x(400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1600)x 3(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或x ＝－410(舍去)， 易知410∈(0,20)．y ，y ′随xy最小值＝y|x＝410＝116，此时x＝410，故在弧AB上存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点与城A的距离x＝410 km.。
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第1模块 第1节[知能演练]一、选择题1．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 为{2,3}，{1,2,3}，共两个． 答案：B2．已知集合P ＝{(x ，y )||x |＋|y |＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，则( )A ．P ⊆QB ．P ＝QC ．P ⊇QD ．P ∩Q ＝Ø 答案：A3．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( )A ．{a |1≤a ≤9}B ．{a |6≤a ≤9}C ．{a |a ≤9}D ．Ø解析：若2a ＋1>3a －5，即a <6时，A ＝Ø⊆B ； 若2a ＋1＝3a －5，即a ＝6时，A ＝{x |x ＝13}⊆B ； 若2a ＋1<3a －5，即a >6时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥33a －5≤22，解得6<a ≤9.综上可得a ≤9. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪ (∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥2D ．a >2解析：∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A ∪(∁R B )＝R ，数轴上画图可得a ≥2，故选C. 答案：C 二、填空题5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.答案：26．对于集合M 、N 定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{t |t ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{x |y ＝lg(－x )}，则A ⊕B ＝________.解析：∵t ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94≥－94，∴A ＝{t |t ≥－94}．又由B 可知y ＝lg(－x )，则－x >0，得x <0， ∴B ＝{x |x <0}，∴A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝{x |x <－94}，∴A ⊕B ＝(－∞，－94)∪[0，＋∞)．答案：(－∞，－94)∪[0，＋∞)三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的值组成的集合．解：A ＝{x |(x －2)(x －3)＝0}＝{2,3}， 若m ＝0，B ＝Ø⊆A ；若m ≠0，B ＝{x |x ＝－1m}，由B ⊆A 得－1m ＝2，或－1m ＝3，解得m ＝－12，m ＝－13， 因此实数m 的值组成的集合是{0，－12，－13}．8．已知集合E ＝{x ||x －1|≥m }，F ＝{x |10x ＋6>1}．(1)若m ＝3，求E ∩F ；(2)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围； (3)若E ∩F ＝Ø，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝3时，E ＝{x ||x －1|≥3}＝{x |x ≤－2或x ≥4}，F ＝{x |10x ＋6>1}＝{x |x －4x ＋6<0}＝{x |－6<x <4}．∴E ∩F ＝{x |x ≤－2或x ≥4}∩{x |－6<x <4} ＝{x |－6<x ≤－2}． (2)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∪F ＝R ，满足条件． ②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }， 由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，解得0<m ≤3.∴综上，实数m 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵E ＝{x ||x －1|≥m }，①m ≤0时，E ＝R ，E ∩F ＝F ≠Ø，不满足条件．②m >0时，E ＝{x |x ≤1－m 或x ≥1＋m }，由E ∩F ＝Ø，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－6，1＋m ≥4，m >0，解得m ≥7.∴综上，实数m 的取值范围为[7，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个解析：∵阴影部分M ∩N ＝{x |－2≤x －1≤2}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}＝{1,3}，∴阴影部分所示的集合的元素共有2个，故选B.答案：B 2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，故N M ，所以选B. 答案：B3．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}．若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________.解析：由题意得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，所以B ＝{2,4,6,8}． 答案：{2,4,6,8}4．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域，有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于整数集Z ，a ＝1，b ＝2时，a b ＝12∉Z ，故整数集不是数域，①错；对于满足Q ⊆M 的集合M ＝Q ∪{2},1＋2∉M ，M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a ∈P 且a ≠0，依定义，2a,3a,4a …均是P 中的元素，故P 中有无数个无素，③正确；类似数集F ，{a ＋b 3|a ，b ∈Q }，{a ＋b 5|a ，b ∈Q }等均是数域，④正确．答案：③④5．已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B ＝{x |x －2ax －(a 2＋1)<0}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |4<x <5}． ∴A ∩B ＝{x |4<x <5}， (2)B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①当B ＝Ø时，2a ≥a 2＋1，∴a ＝1， 此时A ＝{x |2<x <4}，B ⊆A 符合题意．②若B ≠Ø，方程(x －2)[x －(3a ＋1)]＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3a ＋1. ∵B ≠Ø.∴A ≠Ø∴3a ＋1≠2，即a ≠13.当3a ＋1>2，即a >13时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2＋1≤3a ＋12a <a 2＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10≤a ≤3⇒1<a ≤3a ≠1.当3a ＋1<2，即a <13时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1－1≤a ≤1⇒a ＝－1. ∴a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．[备选精题]6．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤5，可得2≤m ≤3， 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立．则①若B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时满足条件． ②若B ≠Ø，则要满足的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －12m －1<－2，解得m >4. 综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。
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答案：等边三角形
15．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
如下图所示，则k的取值范围是1<k<3.
答案：1<k<3
16．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
()
解析：根据题意，可得f(x)＝|π－x－x|＝|π－2x|，图象即为选项A.
答案：A
9．如下图所示，函数y＝2sin(ωx＋θ)(|θ|<)的图象，那么
()
A．ω＝，θ＝B．ω＝，θ＝－
C．ω＝2，θ＝D．ω＝2，θ＝－
解析：由图知周期T＝π－(－)＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝2sin(2x＋θ)，
解析：把y＝3sin(x＋)的图象向左平移个单位，得到的图象解析式为y＝3sin(x＋＋)＝3sin(x＋)，然后再把得到的图象横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象解析式为y＝3sin(2x＋π)．
答案：B
11．已知函数f(x)＝2sinωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是
()
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________．
解析：①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确．
C.D.
解析：设函数f(x)的最小正周期为T，
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第3模块 第1节[知能演练]一、选择题1．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－12答案：A2．点P (tan2007°，cos2007°)位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：∵2007°＝360°×6－153°， ∴2007°与－153°的终边相同， ∴2007°是第三象限角， ∴tan2007°>0，cos2007°<0. ∴P 点在第四象限，故选D. 答案：D3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴上B ．y 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上解析：由角α的余弦线长度为1分析可知，角α的终边与x 轴重合，故选A. 答案：A4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b解析：∵a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1，∴a <0，b >0，c <0.又∵sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，∴c <a <b .故选C.答案：C 二、填空题5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得，P 点按逆时针方向转过的角度为α＝2π3，所以Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即(－12，32)．答案：(－12，32)6．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角β3的终边相同的角为________________________．解析：∵β＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，∴β3＝k ·120°＋20°，k ∈Z .又β3∈[0°，360°)，∴0°≤k ·120°＋20°<360°，k ∈Z ，∴－16≤k <176，∴k ＝0,1,2.此时得β3分别为20°，140°，260°.故在[0°，360°)内，与角β3终边相同的角为20°，140°，260°.答案：20°，140°，260° 三、解答题7．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵θ∈(π2，π)，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.8．(1)确定tan(－3)cos8·tan5的符号；(2)确定lg(cos6－sin6)的符号．解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式>0.(2)∵6为第四象限角，∴cos6>0，sin6<0，故cos6－sin6>0.∵(cos6－sin6)2＝1－2sin6cos6＝1－sin12>1(12是第四象限的角)，∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0.[高考·模拟·预测]1．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：D2．已知sin α＝45，cos α＝35，则角2α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解法一：由sin α＝45，cos α＝35知2kπ＋π4<α<2kπ＋π2，∴4kπ＋π2<2α<4kπ＋π(k ∈Z )，角2α所在的象限是第二象限，选择B.解法二：由sin α＝45，cos α＝35易得sin2α＝2425，cos2α＝－725，∴角2α所在的象限是第二象限，选择B.答案：B3．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 34．若角α的终边落在射线y ＝－x (x ≥0)上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________.解析：由定义知，sin α＝－22，cos α＝22，则原式＝0.答案：05．借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥02cos x －1>0.解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，分析正弦函数线和余弦函数线，如右图所示，由三角函数线可得x 满足的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧2kπ≤x ≤2kπ＋π，2kπ－π3<x <2kπ＋π3(k ∈Z )．此交集恰好为图形中的阴影交错部分，由数形结合可得2kπ≤x <2kπ＋π3(k ∈Z )．[备选精题]6．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．(1)求sin(α＋π6)的值；(2)若点P 、Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ ＝4，求△POQ 面积最大时，点P 、Q 的坐标．解：(1)由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13，故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266. (2)设P (a,0)，Q (b,22b )(a >0，b >0)．在△POQ 中，因为PQ 2＝(a －b )2＋8b 2＝16， 即16＝a 2＋9b 2－2ab ≥6ab －2ab ＝4ab ， 所以ab ≤4.所以S △POQ ＝2ab ≤4 2.(当且仅当a ＝3b ，即a ＝23，b ＝233时取得等号)．所以△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为P (23，0)，Q (233，463)．。
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高三数学基础练习一 新课标 人教版一．填空选择部分1.若条件p ：14x +≤，条件q ：23x <<，则q ⌝是p ⌝的（ ）BA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 2.若函数()12-=x x f 的定义域是()[)5,21, ∞-,则其值域为（ ）D A.()0,∞- B.(]2,∞- C.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D.()1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3.设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x)等于( )BA f (x )=(x +3)2－1B f (x )=(x －3)2－1C f (x )=(x －3)2+1D f (x )=(x －1)2－14.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,则a 的取值范围是( )AA (22，3)B (3，10)C (22，4)D (－2，3)5. 垂直于直线2610x y -+=，且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程是（ ）A A ．320x y ++= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y --=6. 设点P 是曲线y =x 3－3x +2上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______.),32[)2,0[πππ _____7. 把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动，就可得到y =－sin3x 的图象，这种变动可以是（ ）DA 沿x 轴向右平移4π B 沿x 轴向左平移4π C 沿x 轴向右平移12π D 沿x 轴向左平移12π8．如图,函数)(x f y =的图象是中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆的两段弧,则不等式x x f x f +-<)()(的解集为 （ ）AA.{}22,02|≤<<<-x x x 或B.{}22,22|≤<-<≤-x x x 或C.⎭⎬⎫≤<⎩⎨⎧-<≤-222,222|x x x 或 D.{}0,22|≠<<-x x x 且9.在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+≤-≥11||2x y x y 所表示的平面区域的面积为 3810.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 ( ) C A ．14 B ．15 C ．16 D ．1711．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为－1的等差数列，且638S =，那么1a 的值是（ ）AA ．421B ．631C ．821D ．123112．二面角βα--l 为︒120，A 、B 是棱上两点，AC 、BD 分别在α、β内，l BD l AC ⊥⊥,，且AB = AC =BD =1，则CD 的长为 2 ;13．在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）CA ．12πB ．32πC ．36πD ．48π14．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）DA ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+ 15.将2n 个正整数2,3,2,1n 填入n n ⨯方格中，使其每行，每列，每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记)(n f 为n 阶幻方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可知,15)3(=f 则=)5(f （ ）CA ．63B ．64C ．65D ．6616.已知直线01=-+by ax (b a ,不全为0)与圆5022=+y x 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )BA.66条B.72条C.74条D.78条17．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为（ ）A8 3 4 1 5 9 672A ．4284C C ⋅B ．3384C C ⋅C ．612CD ．4284A A ⋅ 18．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和为 1或83 19．定义运算a cad bc b d=-，复数z 满足11z i i i=+，则复数在的模为（ ）CA ．1235 D ．12-20．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )BA ．i ＞10B ．i <10C ．i ＞20D ．i <20。
高三基础知识天天练3-6. 数学 数学doc人教版
第3模块 第6节[知能演练]一、选择题1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝535＝13.答案：D2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是 ( )A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝⎪⎪sinα2. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.答案：A3．等式|sin αcos α|＋122α－cos 2α|＝12成立的充要条件是( )A ．α＝kπ(k ∈Z )B ．α＝kπ2(k ∈Z ) C ．α＝kπ4(k ∈Z )D ．α＝kπ8(k ∈Z )解析：由题意知：原式＝12|sin2α|＋12|cos2α|＝12∴|sin2α|＋|cos2α|＝1，∴1＋2|sin2αcos2α|＝1. |sin4α|＝0，α＝kπ4(k ∈Z )． 答案：C4．设M (cos πx 3＋cos πx 5sin πx 3＋sin πx5)(x ∈R )为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f (x )＝|OM |，当x 变化时，函数f (x )的最小正周期是( )A ．30πB ．15πC ．30D ．15解析：f (x )＝|OM | ＝2＋2(cos π3x cos π5x ＋sin π3x sin π5x )＝2＋2cos(π3x －π5x )＝2(1＋cos 215πx )＝2(1＋2cos 2π15x －1)＝4cos 2π15x＝2|cos π15x |.所以其最小正周期T ＝ππ15＝15.答案：D 二、填空题5．求值：cos 4π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8＝________.解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋cos 43π8＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π8＋sin 4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2π8cos 2π8 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2π4＝32. 答案：326．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π3三、解答题7．用tan α表示sin2α，cos2α. 解：sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.8．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，a ＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫α＋14，－1，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α的值．解：因为β为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的最小正周期，故β＝π.因a·b ＝cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋14β－2＝m ， 故cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝m ＋2.由于0<α<π4，所以2cos 2α＋sin2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin(2α＋2π)cos α－sin α＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝4＋2m .[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域为( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x＝sin x －13－22sin(x ＋π4)，此函数的最大值必为0，当x ＝0时，分子为－1，分母为1，此时函数值最小，最小值为－1，故选B.答案：B2．函数f (x )＝(sin 2x ＋12009sin 2x )(cos 2x ＋12009cos 2x)的最小值是 ( )A.42009 B.22009(2010－1) C.22009D.22009(2009－1) 解析：f (x )＝(2009sin 4x ＋1)(2009cos 4x ＋1)20092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009(sin 4x ＋cos 4x )＋120092sin 2x cos 2x＝20092sin 4x cos 4x ＋2009[(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ]＋120092sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201020092sin 2x cos 2x －22009≥22009(2010－1)． 答案：B3．若sin θ22cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2－2cos θ2＝0得tan θ2＝2，代入二倍角公式可得tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：－434．俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t 秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1＝sin t 和y 2＝sin(t ＋2π3)来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式：________________.解析：因为y 1＋y 2＋y 3＝sin t ＋sin(t ＋2π3)＋y 3＝sin t －12t ＋32cos t ＋y 3＝0，所以y 3＝sin(t ＋4π3)时符合题意．本题也可为y 3＝sin(t －2π3)(答案不唯一)． 答案：y 3＝sin(t ＋4π3)(答案不唯一)． 5．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(Ⅰ)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(Ⅱ)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13f (C 2)＝－14C 为锐角，求sin A .解：(Ⅰ)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x . 所以当2x ＝－π2＋2kπ，即x ＝－π4＋kπ(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，[f (x )]最大值＝1＋32，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(Ⅱ)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. [备选精题]6．已知A ，B 是△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A ＋B 2，sin A －B 2)，若|a |＝62.(1)证明：tan A tan B 为定值；(2)当tan C 取最大值时，求△ABC 的三个内角的大小．解：(1)由条件可知32＝(62)2＝|a |2＝2cos 2A ＋B 2＋sin 2A －B 2＝1＋cos(A ＋B )＋1－cos(A －B )2，∴cos(A ＋B )＝12cos(A －B )，∴3sin A sin B ＝cos A cos B ，∵A ，B 是△ABC 的两个内角，∴tan A tan B ＝13为定值．(2)tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B由(1)知tan A tan B ＝13，∴tan A >0，tan B >0，从而tan C ＝－32(tan A ＋tan B )≤－32·2·tan A tan B ＝－3， ∴取等号的条件是当且仅当tan A ＝tan B ＝33，即A ＝B ＝π6时，tan C 取得最大值，此时△ABC 的三个内角分别是π6，π6，2π3.。
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第3模块 第7节[知能演练]一、选择题1．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，则角C 为( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°解析：∵a 2－c 2＋b 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又∵0°<C <180°，∴C ＝60°.答案：A2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为 ( )A.85B.58C.53D.35解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos120°，∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：D3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A 等于( )A ．45°B ．30°C ．120°D ．15°解析：由S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝12bc sin A得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°.答案：A4．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( )A. 3 B ．1 C.33D.32解析：由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.答案：C 二、填空题5．某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是________．解析：如图所示，该问题转化为已知△ABC 中BC ＝3，AC ＝3，B ＝30°，求AB 的长．由正弦定理AC sin B ＝BC sin A 可求得角A ，进而可求出角C 再由AB sin C ＝ACsin B可求得AB ，即x . 答案：3或2 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________.解析：由余弦定理变形得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.答案：5π6三、解答题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )． (1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，判断△ABC 的形状． (1)证明：因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ， 所以在△ABC 中，由余弦定理可得， cos B ＝a 2＋c 2－b 22bc ＝c 2＋bc 2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A2sin B， 所以sin A ＝sin2B ，∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π，而当A ＋2B ＝π时有B ＝C 即b ＝c ，代回已知得a ＝2b ，此时a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°，而B ＝C ＝45°也即A ＝2B .故A ＝2B .(2)解：因为a ＝3b ，所以ab ＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b 2＝32所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°. 所以△ABC 为直角三角形．8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a >c >b )的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)设x 1、x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a，x 1·x 2＝－b a. ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4b a ＝4.∴a 2＋b 2－c 2＝ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. (2)由S ＝12ab sin C ＝103，∴ab ＝40.①由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos60°)． ∴72＝(a ＋b )2－2×40×(1＋12)．∴a ＋b ＝13.又∵a >b ② ∴由①②，得a ＝8，b ＝5.[高考·模拟·预测]1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D ．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D2．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3D.32或34解析：1sin30°＝3sin C ，∴sin C ＝32.∴C ＝60°或120°. (1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝34，故选D.答案：D3．在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的面积为________．解析：sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝sin2A －2sin C cos A ＝2cos A (sin A －sin C )＝0，∵△ABC 是锐角三角形， ∴cos A ≠0.∴sin A ＝sin C ，即A ＝C . 又B ＝π3，∴△ABC 为正三角形．∴S ＝34×22＝ 3. 答案： 34．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋sin45°cos30°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12.由正弦定理得b ＝asin A ·sin B＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 答案：A5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值． 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BCsin A .于是AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin2A ＝2sin A cos A ＝45，cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.所以sin ⎝⎛⎫2A －π4＝sin2A cos π4－cos2A sin π4＝210. [备选精题]6．已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解：(1)f (x )＝2sin x 1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． 因为f (x )在x ＝π时取最小值． 所以sin(π＋φ)＝－1，故sin φ＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A 为△ABC 的内角， 所以A ＝π6.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.又b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4.当B ＝π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝7π12，当B ＝3π4时，C ＝π－A －B ＝π－π6－3π4＝π12.综上所述，C ＝7π12或C ＝π12.。
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第3模块 第1节
[知能演练]
一、选择题
1．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为
( )
A ．－
55 B.255 C ．－255 D ．－12
答案：A
2．点P (tan2007°，cos2007°)位于 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解析：∵2007°＝360°×6－153°， ∴2007°与－153°的终边相同， ∴2007°是第三象限角， ∴tan2007°>0，cos2007°<0. ∴P 点在第四象限，故选D. 答案：D
3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在
( )
A ．x 轴上
B ．y 轴上
C ．直线y ＝x 上
D ．直线y ＝－x 上
解析：由角α的余弦线长度为1分析可知，角α的终边与x 轴重合，故选A. 答案：A
4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有
( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．c <a <b
D ．a <c <b
解析：∵a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1，∴a <0，b >0，c <0.又∵sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，∴c <a <b .故选C.
答案：C 二、填空题
5．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π
3
弧长到达Q 点，则Q 点
的坐标为________．
解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得，P 点按逆时针方向转过的角度为α＝2π
3
，所
以Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即(－12，3
2)．
答案：(－12，3
2
)
6．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角β
3
的终边相同的角为
________________________．
解析：∵β＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，∴β3＝k ·120°＋20°，k ∈Z .又β
3
∈[0°，360°)，∴0°≤k ·120°
＋20°<360°，k ∈Z ，∴－16≤k <176，∴k ＝0,1,2.此时得β
3
分别为20°，140°，260°.故在[0°，360°)
内，与角β
3
终边相同的角为20°，140°，260°.
答案：20°，140°，260° 三、解答题
7．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π
2
，π)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：∵θ∈(π
2，π)，∴－1<cos θ<0，
∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，
故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－4
3.
8．(1)确定tan(－3)
cos8·tan5
的符号；
(2)确定lg(cos6－sin6)的符号．
解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式>0.
(2)∵6为第四象限角，∴cos6>0，sin6<0，故cos6－sin6>0.
∵(cos6－sin6)2＝1－2sin6cos6＝1－sin12>1(12是第四象限的角)，∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0.
[高考·模拟·预测]
1．已知点P (sin 3π4，cos 3π
4
)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为
( )
A.π4
B.3π4
C.5π4
D.7π4
解析：由sin 3π4>0，cos 3π
4
<0知角θ在第四象限，∵tan θ
＝cos
3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.
答案：D
2．已知sin α＝45，cos α＝3
5
，则角2α所在的象限是
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解法一：由sin α＝45，cos α＝35知2kπ＋π4<α<2kπ＋π2，∴4kπ＋π
2
<2α<4kπ＋π(k ∈Z )，角2α
所在的象限是第二象限，选择B.
解法二：由sin α＝45，cos α＝35易得sin2α＝2425，cos2α＝－7
25
，∴角2α所在的象限是第
二象限，选择B.
答案：B
3．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y
x
的值为________．
解析：y
x
＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.
答案：－ 3
4．若角α的终边落在射线y ＝－x (x ≥0)上，则sin α
1－sin 2α
＋1－cos 2αcos α＝________.
解析：由定义知，sin α＝－22，cos α＝2
2
，则原式＝0.
答案：0
5．借助单位圆解不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0
2cos x －1>0.
解：由⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0，
2cos x －1>0，即
⎩
⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0，cos x >12，分析正弦函数线和余弦函数线，如右图所示，由三角函数线可得x 满足的条件为 ⎩
⎪⎨⎪⎧
2kπ≤x ≤2kπ＋π，2kπ－π3<x <2kπ＋π3(k ∈Z )．此交集恰好为图形中的阴影交错部分，由数形结合可得2kπ≤x <2kπ＋π
3
(k ∈Z )．
[备选精题]
6．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．
(1)求sin(α＋π
6
)的值；
(2)若点P 、Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ ＝4，求△POQ 面积最大时，点P 、Q 的坐标．
解：(1)由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13，故sin(α＋π6)＝223×
3
2
＋13×12＝1＋266
. (2)设P (a,0)，Q (b,22b )(a >0，b >0)．
在△POQ 中，因为PQ 2＝(a －b )2＋8b 2＝16， 即16＝a 2＋9b 2－2ab ≥6ab －2ab ＝4ab ， 所以ab ≤4.所以S △POQ ＝2ab ≤4 2.
(当且仅当a ＝3b ，即a ＝23，b ＝23
3
时取得等号)．
所以△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为P (23，0)，Q (233，46
3
)．。