大连市高等数学竞赛试题B答案

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年大连市高等数学竞赛试题B答案

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷学校答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）1. nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim = e^2 .2. 30tan sin limx x xx →-= 1/2 .3. 0lim x x x +→= 1 .4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5. 若221lim 2,2x x ax bx x →--=+-则(,)(4,5).a b =-二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分）当0=x 时，由于),0(01sinlim )(lim 30f xx x f x x ≠==→→（8分）阅卷阅卷题号一二三四五六七八九十总分分数二、三、（本题8分）求函数2221()11x x f x x x-=+-的间断点，并判断类型.解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分）当0x =时，由于2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x ++→→+==+而2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x --→→+==-+ 所以0x =是跳跃间断点。

（5分）当1x =时，由于2111lim ()lim 1,1||x x x x f x x x →→+==+所以1x =是可去间断点。

（7分）当1x =-时，而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页阅卷学校姓名四、（本题10分）曲线)0(316>=xxy上哪一点处的法线在y轴上的截距最小？解设631xy=在),(yx处的法线方程为)(xXkyY-=-，因为52xy='，所以521xk-=，法线方程为)(215xXxyY--=-，（4分）整理后为64545312121212xxXxxxXyY++-=+-=，法线在y轴上的截距为643121xxb+=。

大连市数学竞赛试题17-21届

学校姓名大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A ）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1．已知tan 2x y =，则dy =tan 22ln 2sec x xdx2．2202x x dx -=⎰2π 3． 21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，则22d y d x =3sin cos __________4t t t t - 4．设111()24x xef x e+=+，则0x =为()f x 的__________跳跃型间断点5．函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，则()y y x =的驻点为____(1,1)______6．幂级数0n n n a x ∞=∑在2x =-处条件收敛，则此级数的收敛半径为_____2_____7．已知22:14y L x +=，逆时针方向，则224Lxdy ydxx y -=+⎰_____4_____π 8．曲线2x y e -=的凸区间为22_____(,)_____22-9．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线只有_____2_____条10．22203()xxdx f x y dy +⎰⎰化为极坐标系下的先对ρ后对θ的二次积分为2sec 304()d f d πθπθρρρ-⎰⎰考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共三页第 1 页阅卷人得分题号一二三四五六七八九十总分分数二、（本题8分）已知301()sin 21lim21x x f x x e →+-=-，求0lim ()x f x →.解：因为301()sin 21lim21xx f x x e →+-=-，又 30lim(1)0x x e →-=，所以0lim(1()sin 21)0x f x x →+-=,0lim ()sin 20x f x x →=，……………………2分从而3001()sin 21()sin 22limlim 123x x x f x x f x xe x→→+-==-⨯，…………………………4分又0sin 2lim12x xx→=，所以0lim ()6x f x →=…………………………………………………………..…2分三、（本题9分）设()f x 在区间(,)-∞+∞内可导。

2012年大连市数学竞赛试题(数学专业试题答案)

学校姓名大连市第二十一届高等数学竞赛试卷（数学专业）考试时间：150分钟，满分100分题号一二三四五六七分数一、（15分）求顶点为(1,2,3)A，轴与平面:220x y zπ++=垂直，且过点(6,5,5)B的圆锥面方程。

解：轴线的方程为：123221x y z---==————3分过点(6,5,5)B且垂直于轴的平面为：2(6)2(5)(5)0x y z-+-+-=即2227x y z++=————5分该平面与轴的交点为(5,6,5)，与点(6,5,5)的距离为2，———— 7分因此圆锥面的准线为222(5)(6)(5)22227x y zx y z⎧-+-+-=⎨++=⎩————9分对锥面上任一点(,,)x y z，过该点与顶点的母线为123123X Y Zx y z---==---————11分它与准线的交点设为000(,,)X Y Z，即存在参数t，使得1(1)2(2)3(3)X x tY y tZ z t=+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩————13分将其代入准线方程，并消去t得22286861431527676360366307290x y z xy xz yz x y z++---+++-+=————15分阅卷人得分二、（10分）设(),()f x g x 是[,]a b 上的正值连续函数，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()1()()baf g f x dxg x dxξξξξ-=⎰⎰。

证明：令()()()xb x axF x e f t dt g t dt -=⎰⎰，则易知有()0,()0F a F b ==， ————5分由Rolle 中值定理知，存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即 ————7分()()()()()()()0b b aae f t dt g t dt f g t dt g f t dt ξξξξξξξ--+-=⎰⎰⎰⎰。

————9分化简即得结论。

大连市高等数学竞赛试题B答案完整版

大连市高等数学竞赛试题B答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，计10分）1. n ⎭⎝∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x xx→-= 1/2 . 3. 0lim x x x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5.若221lim 2,2x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '.解当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分）当0=x 时，由于),0(01sin lim )(lim 300f xx x f x x ≠==→→（8分）所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。

（10分）解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分）当0x =时，由于00lim ()lim 1,1||x x x f x x x ++→→==+而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。

（5分）当1x =时，由于11lim ()lim 1,1||x x x f x x x →→==+所以1x =是可去间断点。

（7分）当1x =-时，而1lim (),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页曲线)0(316>=x x y 上哪一点处的法线在y 轴上的截距最小？ 3在),(y x 处的法线方程为 )(x X k y Y -=-，因为52x y ='，所以521x k -=，法线方程为 )(215x X x y Y --=-，（4分）整理后为 64545312121212x x X x x x X y Y ++-=+-=，法线在y 轴上的截距为 643121x x b +=。

大连市第3-6届高等数学竞赛试题

大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求2.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2,求证在（0，1）内至少存在一点，使得f＇()= —。

3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且证明：4.（10分）求函f(x)= 在[0，2]上的最大值与最小值。

5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f＇(ｘ)≤１，f(0)=0证明6.（10分）已知f(t)=(tg(tg(tg,求f＇（１）。

7.（10分）试求的和函数，并计算8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a1sin(x)+a2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx｜求证：| a1+a2+…+a n|≤１10.（10分）设半径为R的球的球心在半径为a的定球面上，问R为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。

大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求。

2、设f(x)在（+）上有连续导函数，求其中L是从点A（3，）到点B(1,2)的直线段。

3、设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b）内存在,使得=（b-a）f()+(b-a) 。

4、设f(x)= 定义A(x)=令A= A(1)+ A()+…+ A()+…,试证：＜Ａ＜１５、设f(x)在（+）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+)(0<<1)中，与h无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。

6、函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=所定义的g(x)有一阶连续导数。

7、若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), ||≤１，试证：｜｜≤在［０，１］上成立。

大连市高等数学竞赛试题B答案

大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）学校一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）1. n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim = e^2 .2. 30tan sin limx x xx→-= 1/2 . 3. 0lim xx x +→= 1 . 4. 2cos lim xx t dtx→⎰= 1 .5. 若221lim 2,2x x ax bx x →--=+-则(,)(4,5).a b =-二、（本题10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=),0(1),0(1sin)(3x x xx x f 求)(x f '. 解当0≠x 时，xx x f 1sin )(3=为一初等函数，这时;1cos 1sin 311cos 1sin3)(2232xx x x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='（6分）当0=x 时，由于),0(01sinlim )(lim 30f xx x f x x ≠==→→（8分）所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。

（10分）阅卷人得分阅卷人得分题号一二三四五六七八九十总分分数二、三、（本题8分）求函数2221()11x x f x x x -=+-的间断点，并判断类型. 解：0,1,1x x x ===-为间断点。

（3分）当0x =时，由于2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x ++→→+==+而2001lim ()lim 1,1||x x x x f x x x --→→+==-+ 所以0x =是跳跃间断点。

（5分）当1x =时，由于2111lim ()lim 1,1||x x x x f x x x →→+==+所以1x =是可去间断点。

（7分）当1x =-时，而1lim(),x f x →-=∞所以1x =-是无穷间断点。

（8分）考生注意：考试时间 150 分钟试卷总分 100 分共四页第 1页阅卷人得分学校姓名四、（本题10分）曲线)0(316>=xxy上哪一点处的法线在y轴上的截距最小？解设631xy=在),(yx处的法线方程为)(xXkyY-=-，因为52xy='，所以521xk-=，法线方程为)(215xXxyY--=-，（4分）整理后为64545312121212xxXxxxXyY++-=+-=，法线在y轴上的截距为643121xxb+=。

2014大连大学经文类高等数学竞赛试题

2014年大连大学高等数学竞赛经文类试题一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1、设()y y x =由2xy x y =+确定，则0|x dy ==2、曲线2cos31x y e xy e ++=+在点(0,1)处的切线方程为3、若0()lim11cos x f x x →=-且20()x f t dt ⎰是n x 的同阶无穷小，则n = 4、设sin x x为()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰5、曲线1sin y x x=+的渐近线方程为6、函数2ln ()23xf x x x =+-的第一类可去型间断点为7、设()f x 是连续函数且1201()()1f x x f t dt x=++⎰，则()f x = 8、sin 0limln cos x xx e e x x→-= 9、221limnn i in i→∞==+∑ 10、设曲线()y f x =与2y x x =+在点(0,0)相切，则lim n →∞= 二、（本题8分）求极限1212((1))lim1ln(1)x tx t e t dt x x→+∞--+⎰三、（本题10分）设111n n x n e n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，其中n 为正整数，求lim n n x →∞。

四、（本题9分）已知极限2014lim 0(1)n n c n n αα→∞=≠--，试求α以及c 。

五、（本题9分）已知曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-，求222(1)li mln co s x t x t x e f e e d t I x x→+-=⎰六、（本题8分）设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值。

七、（本题10分）设函数()f x 的原函数为sin xx，求不定积分'(2)xf x dx ⎰。

八、（本题8分）设函数1()F x t x t dt =-⎰，求'()F x 。

大连市数学竞赛试题17-21届

第二十届大连市数学竞赛试题(专业)

⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+=53421:t z t y t x L ， ⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=-=178124:t z t y t x M ，求与此二直线相切的直径最小的球面方程.解：容易验证L 和M 既不平行, 也不相交，故为异面直线. -------2分有唯一的公垂线PQ , 垂足P 在L 上, Q 在M 上. -----------------1分以PQ 为直径的球面即为所求的与L 和M 相切的直径最小的球面. ----2分记向量)5,4,1(=, )3,2,1(-=, )17,8,12(-=, )1,1,4(-=,则L 和M 分别表示为 u t a + 和 v t b +. ----------------------2分有常数p , q 使得 u p a P +=, v q b Q +=. 此时u p v q a b PQ -+-=. -----1分PQ 与L 和M 都垂直, 则该向量与u , v 的内积都是零, 即()0=⋅-+-u u p v q a b , ()0=⋅-+-v u p v q a b , -----------------1分或⎩⎨⎧=+-=+44184114q p q p , 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=251657251782q p ， -----------------2分线段PQ 的中点为()⎪⎭⎫⎝⎛-=+++5028525,502791,50291521v q b u p a , ------------1分半径的平方为 ()()1004147412=-+-⋅-+-u p v q a b u p v q a b . ------------1分所求球面方程为()()()22221472518525502791502915502⋅=-+-++z y x . ------------2分二、（12分）函数()xf满足()()211xxfxf+-=',+∞<<∞-x.试证: 极限()x fx+∞→lim都存在.证：分三种情况讨论.情形1. 0)(≥'xf, +∞<<∞-x.此时)(xf递增, 1)(≤xf, 故有上界, 因此()xfx+∞→lim存在. --------2分情形2. 0)(≤'xf, +∞<<∞-x.此时)(xf递减, 1)(≥xf, 故有下界,因此()xfx+∞→lim存在. --------2分情形3. )(xf'变号.此时有实数a, b使得0)(<'af, 0)(>'bf. ---------------------- 2分不妨设ba<. 因函数()xf连续, 有],[bac∈,使得()c f为()xf在该区间上的最小值. ---------------------- 1分注意0)(<'af和0)(>'bf表明在a点右侧)()(afxf<,在b点左侧)()(bfxf<,因此),(bac∈是一个极小值点, 满足0)(='cf, 即1)(=cf. -------------- 2分但0)(>'bf蕴涵1)(<bf.这与()c f为()xf在],[ba上的最小值矛盾. ---------------------- 1分这一矛盾表明, 情形3不可能出现. 即()xfx+∞→lim总是存在. ----------- 2分三、（13分）（13分）设,0,10>≤<ba试证数项级数()∑∞=1nlogsinannb发散.证:任给正整数N，取正整数p使得Ne bp>π2，------------- 2分再取正整数M，使得bbpeM621ππ+<-, bbpeM62ππ+≥. ------------2分此时NM>,bbpbbpbbbpbbbpbb eeeeeM652626462162114122πππππππππ++++=⋅<⋅<⎪⎪⎫⎛+⋅<. --------2分对正整数]2,[1M M n b∈, ]652,62[log ππππ++∈p p n b , ()216sin log sin =≥πn b . --------2分注意1,10≥≤<x a 时x x a 11≥, ⎰+≥11n n a a xdx n , ---------2分()⎰⎰∑∑=≥≥≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=MMMMa M Ma M Mabbb b bx dx x dx n n n b 1111222n 2n 2log 212121121log sin . ---------2分根据Cauchy 收敛准则, 级数 ()∑∞=1n log sin an n b 发散. -----------1分四（13分）、设二元函数 ),(y x f 一阶偏导数处处存在, 且在单位圆盘}1:,≤+=y x y x D 上满足 1),(≤y x f . 试证: 存在 D y x ∈),(00使得 16),(),(200200≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f x y x f . 证：考虑函数)(2),(),(22y x y x f y x g ++=. -----4分在单位圆周上, 1),(≥y x g . -----1分若),(y x g 在 D 上为常数, 则偏导数处处为零,在)0,0(处0)0,0()0,0(=∂∂=∂∂x g x f ，0)0,0()0,0(=∂∂=∂∂yg y f ，显然满足所求证的不等式. -----2分若),(y x g 在 D 上不是常数, 则由于1)0,0()0,0(≤=f g , ),(y x g 必定在单位圆盘内部某点),(00y x 处达到极小值. -----3分此处000004),(),(0x x y x f x y x g +∂∂=∂∂=, 000004),(),(0y yy x f y y x g +∂∂=∂∂=, -----2分因此()1616),(),(2020200200≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y x y y x f x y x f . -----1分五、（12分）计算曲面积分()⎰⎰++SdSzyx532cos,其中S是中心在原点的单位球面.解：在以单位向量⎪⎭⎫⎝⎛=385,383,382w为法向量的平面上取两个正交的单位向量u, v, 使得u, v, w构成右手系. ----------------------- 2分对任意向量()z yxr,,=, 令u⋅=, v⋅=, w⋅=,则()()z yxwvu,,,,→是一个正交变换，将单位球面映射到单位球面, ----- 2分其Jacobian行列式()()1,,,,=∂∂wvuzyx. ------------------------------ 1分此时我们有wzyx38532=++. ---------------------- 1分取球面S的参数表示为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=wwwvwuθθsin1cos122, 其中11≤≤-w, )2,0[πθ∈,于是θcos12wwwu--=∂∂, θsin12wwwv--=∂∂, 1=∂∂ww,θθsin12wu--=∂∂, θθcos12wv-=∂∂, 0=∂∂θw, -------------------- 2分222211wwwwvwuE-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=,=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=θθθwwwvwvuwuF,22221wwvuG-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=θθθ, -------------------- 1分由此得到θθdwddwdFEGdS=-=2-------------------- 1分()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==++SSdwwddSwdSzyx11238cos38cos532cosπθ ----------- 1分38sin384π=.-------------------- 1分六、（15分）设三次多项式 r qx px x +++23 的根都是正实数, 试证明: 这些根恰好构成一个三角形三内角的余弦值的充要条件是1222=--r q p .证：先证必要性. 设A , B , C 是某一个三角形的三内角, a , b , c 分别是相对的边长, 则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c C a A c b Bc C b a cos cos cos cos cos cos ，-------------------- 3分这是关于的三元齐次方程组, 因其有非零解, 故01cos cos cos 1cos cos cos 1=------A BA C BC .-------------------- 2分即 1c o s c o s c o s2c o s c o s c o s 222=+++C B A C B A . (1) ------------ 1分若方程 023=+++r qx px x 的解是A cos, B cos , C cos , 则由多项式根与系数的关系,C B A p cos cos cos ++=- ,A C CB B A q cos cos cos cos cos cos ++= ,CB A r cos cos cos =- ,-------------------- 2分代入(1)式即得1222=--r q p . (2)------------------ 1分现在证明充分性. 假设 (2) 式成立, r qx px x +++23 的根1x , 2x , 3x 都是正实数. 则12321232221=+++x x x x x x . (3)------------------ 1分由此可见每个根都落在开区间()1,0内, 故有唯一的一组锐角A , B , C 使得A x cos 1=,B x cos 2=,C x cos 3=.代入(3) 得 CB C B A A 222cos cos 1cos cos cos 2cos --=+,------------------ 1分左边配方得CB C B A 222sin sin )cos cos (cos =+,------------------ 1分开方取正根得CB C B A sin sin cos cos cos =+, ------------------ 1分从而)cos()cos(cos cos sin sin cos C B C B C B C B A --=+-=-=π,------------------ 1分注意A 和C B --π都在),0(π内，因此 π=++C B A , 证毕.------------------ 1分七、（20分）设A , B 都是n 阶实对称矩阵. ()M Tr 表示矩阵M 的迹.(1) (12分)试证明：()()22B A Tr ABAB Tr ≤. (2) (8分)给出等号成立的充要条件.证：(1) 取正交矩阵T 使得AT T A '=~为对角矩阵. -------------------- 则()()()B A B A Tr ABABT T Tr ABAB Tr ~~~~='= ， -------------------- 1()()()222222~~B A Tr T B A T Tr B A Tr ='= . --------------------记 ()n n ij a A ⨯=~, ()n n ij b BT T B ⨯='=~ . -------------------- 因 B ~是对称矩阵, -------------------- 1()∑==n j i jiijjj iib b a a B A B A Tr 1,~~~~∑∑≤<≤=+=nj i ij jj ii ni iiii b a a ba 121222 , -----------------()()∑∑∑≤<≤==++==nj i ij jj iini iiii nj i ijii b a aba b a B A Tr 12221221,2222~~ , --------------------于是()()()()02~~~~~~122122222≤--=--=-∑∑≤<≤≤<≤nj i ij jj ii nj i ij jj ii jj iib a ab a a aa B A Tr B A B A Tr .------(2) 等号成立则()0122=-∑≤<≤nj i ij jj ii b a a, 即()0=-ij jj iib a a, n j i ≤≤,1. --------------------注意A ~为对角矩阵,()n n ij ii n n n k kj ik b a b a B A ⨯⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1~~ , ()n n jj ij nn nk kj ik a b a b A B ⨯⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1~~ , -----因此 ()0=-ijjj ii b a a 蕴涵 A B B A ~~~~=, 随之BA AB =. ----------------- 2另一方面, BA AB= 时 ()()()22B A Tr AABB Tr ABAB Tr ==. -----------总之, 等号成立的充要条件是: A 与B 交换. --------------------。

(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档

而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ，即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是

高等数学竞赛试题及参考答案

九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系班级学号姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。

A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)，有（） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题（每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=102d 1u uu 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A ;因此3103)(2-=x x f ; 3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由xz x =,yz y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ;4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x '=''+)(1,即))(1(1y f x y '-=',因此二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因故因此三、15分设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知,0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,⎰=xu u f xx g 0d )(1)(,故当0≠x 时,xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰, 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 1y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的,即知因此 2因故由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、10分已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ, 得即因此45-=a ,23=b ,1=c .七、15分已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+=', 即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由)1()1(nC e u n e n +==知,0=C , 于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、10分求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解令2)(t x t f =,则因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减;因此即()d ()1()d n f t t f n f t t ∞+∞+∞=≤≤+∑⎰⎰,又2()n n n f n x ∞∞===∑∑,21ln 1d 1ln1d d d )(01ln222πxt e xt et x t t f t xt t====⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+∞+,所以,当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π;2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 一、25分,每小题5分1设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;3设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰;4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂;5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离; 解：122(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n a a +--2 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x xx xx x x e e e x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===30000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <;证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根;解：二阶导数为正,则一阶导数单增,fx 先减后增,因为fx 有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值;将fx 二阶泰勒展开：因为二阶倒数大于0,所以lim ()x f x →+∞=+∞,lim ()x f x →-∞=-∞证明完成;三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ; 解：这儿少了一个条件22d ydx=由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=,'2(1)eψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=;;; 上式可以得到一个微分方程,求解即可; 四、15分设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散; 解：1n a >0, n s 单调递增当1n n a ∞=∑收敛时,1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以nna s α收敛；当1n n a ∞=∑发散时,lim n n s →∞=∞所以,11111211n n n s s n s s n n na a a dx dx s s x s x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰,收敛于k; 所以,1nn na s α∞=∑收敛; 2lim n n s →∞=∞所以1n n a ∞=∑发散,所以存在1k ,使得112k n n a a =≥∑于是,111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推,可得存在121...k k <<<使得112i i k n k n a s α+≥∑成立,所以112Nk n na N s α≥⋅∑ 当n →∞时,N →∞,所以1nn na s α∞=∑发散五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c ++≤,其中0,c b a <<<密度为1绕l 旋转; 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值; 解：1椭球上一点Px,y,z 到直线的距离由轮换对称性, 2a b c >>∴当1γ=时,22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4()15I abc b c π=+六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422()cxydx x dyx yϕ++⎰的值为常数; 1设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dyx y ϕ+=+⎰2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰;解：（1） L 不绕原点,在L 上取两点A,B,将L 分为两段1L ,2L ,再从A,B 作一曲线3L ,使之包围原点; 则有（2）令42422(),xy x P Q x y x yϕ==++ 由1知0Q P x y∂∂-=∂∂,代入可得上式将两边看做y 的多项式,整理得由此可得解得：2()x x ϕ=-（3）取'L 为424x y ξ+=,方向为顺时针2011-2012年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;一．计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；解：用两个重要极限：2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭；解：用欧拉公式令111...12n x n n n n=++++++ 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量,3已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．本题10分求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解;解：设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy +=1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关三．本题15分设函数fx 在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=;证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=①由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k fh k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=②再次使用洛比达法则得123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则Ax b =, 增广矩阵*111110031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(),3R A b R A ==所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1233,3,1k k k ==-=;四．本题17分设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值;解：设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222222,,1x y z F x y z a b c=++-,则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：222,,,x y z t a b c ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭1∑在点M 处的切平面为∏：原点到平面∏的距离为d =,令()222444,,,x y z G x y z a b c =++则1d =现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c++=,222z x y =+下的条件极值,令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭则由拉格朗日乘数法得：'1242'1242'1242222222222222022202220100x y z xx H x a a y y H y b b z z H z c c x y z ab c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩, 解得2222220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩或2222220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪=⎩, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()442222,,a c G x y z a c a c +=+此时的1d =2d =又因为0ab c >>>,则12d d <所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：2d =1d =五．本题16分已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z≥取上侧,∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦;计算：1(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；2()3S z x y z dS λμν++⎰⎰解：1由题意得：椭球面S 的方程为()222310x y z z ++=≥令22231,Fx y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===,切平面∏的法向量为(),3,n x y z =,∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=,原点到切平面∏的距离()222,,x y z ρ==将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥2方法一：λμν===六．本题12分设fx 是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛; 证明：()()112ln ln nn n n a a f a f a ----=-由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间,使得()()()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-,又()()f mf ξξ<、得()()'f m f ξξ<∴级数1101n n m a a ∞-=-∑收敛,∴级数11nn n aa ∞-=-∑收敛,即()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛;七．本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数fx,满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由;解：假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得：2ξ∃介于x,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+-即()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、,显然,()()200,0f x f x dx ≥≥⎰()()()()()1221211111133x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()21f x dx ∴≥⎰,又由题意得()()221,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰即()21f x dx =⎰,()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在,又因为fx 是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数fx;。

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

2021年大连市高等数学竞赛试题B-参考答案

大连市第二十七届高等数学竞赛试题（B ）参考答案及评分标准一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1、11ln 212x -+ ；2、2；3、43y x =-； 6 ；5、c = 4 ，k = 3 。

6、0x =；7、 -4 ；8、14；9、4π；10、21x e C x ++。

二、（本题6分）设()f x 在2x =的邻域内为可导函数，且2lim ()0x f x →=，2lim '()1560x f x →=，求极限：()2232()lim2xt x t f u du dtx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰。

解：()()2223222()()limlim232xt xx x t f u du dt x f u dux x →→⎡⎤⎢⎥⎣⎦=---⎰⎰⎰………………………………………………4分()22()()lim62xx f u du xf x x →-=-⎰…………………………………………………………………2分22()'()lim5206x f x xf x →--==-……………………………………………………………2分三、（本题10分）试讨论曲线ln y x =与曲线ay x=的交点个数。

解法一：本题即求方程ln ax x=的根的个数。

设()ln a f x x x =-，0x >。

则221'()a x a f x x x x+=+= 令'()0f x =得驻点x a =-……………………………………………………………………2分（1）若0a ≥由于'()0f x >，故()f x 单调增加。

000ln lim ()lim ln lim x x x a x x a f x x x x +++→→→-⎛⎫=-==-∞ ⎪⎝⎭ lim ()lim ln x x a f x x x →+∞→+∞⎛⎫=-=+∞ ⎪⎝⎭ 所以()0f x =在0x >时有唯一实根，即曲线ln y x =与曲线ay x=只有一个交点。

辽宁省大连市(新版)2024高考数学统编版能力评测(提分卷)完整试卷

辽宁省大连市（新版）2024高考数学统编版能力评测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题方程sin2x＝sin x在区间(0,2π)内解的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个第(2)题已知向量，，若，则（）A．8B．C．D．第(3)题已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．第(4)题直线与不等式组表示的平面区域的公共点有A．0个B．1个C．2个D．无数个第(5)题已知，则（）A．B．C．D．第(6)题在中，“”是“为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（）A．B．C．D．e第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题复数p，q，r在复平面内对应的点分别为P，Q，R，下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则C ．若，则P，Q，R三点共线D．若，则，，成等比数列第(2)题函数，．若在上的最大值为1，则（）A．B．C．，使在区间上为减函数D．若的图象关于对称，则的最小值为第(3)题如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（）A．B．平面C．与平面ABCD所成角的余弦值为D．四棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题写出一个同时满足①②的复数___________.①；②.第(2)题已知平面向量（互不相等），与的夹角为，，，若，则__________．第(3)题若x，y满足约束条件，则的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）若，讨论在区间上的单调性；（2）证明：当时，在区间上有且只有两个零点.第(2)题给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……(1)求的二阶差数列；(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．第(3)题已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)若，，证明：当时，；当时，(2)若，函数在区间内不单调，求的取值范围第(4)题如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.(1)求证：，，，四点共面：(2)求平面与平面所成角的余弦值.第(5)题如图，在直三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.。

辽宁省大连市(新版)2024高考数学统编版能力评测(培优卷)完整试卷

辽宁省大连市（新版）2024高考数学统编版能力评测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知（），则（）A．B．C．D．第(2)题血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应t时），则下列说法中不正确的是（）A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用第(3)题已知向量，若，则实数（）A．2B．1C．0D．第(4)题已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（）A．B．1C．D．2第(5)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题为了弘扬古诗文化，积累古诗词，某小学举行古诗词背诵比赛，其中五年级有6个班，前3个班每个班有50名学生，后3个班每个班有55名学生．现从每个班随机抽取3名学生参加比赛，则不同的抽取方法种数是（）A．B．C．D．第(7)题已知复数为纯虚数，则（）A．0B．1C．D．2第(8)题在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（）A．54B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（）A．B．C．D．第(2)题2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A．B．C ．是偶函数D ．在区间上单调第(3)题已知直线：与抛物线C：相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，满足．M 在AD 上且，延长BM 交AC 于点H ，，，则_________，_________．第(2)题已知随机变量，则___________.第(3)题已知椭圆，若存在过点且相互垂直的直线、使得、与椭圆均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是_____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角，，的对边分别为，，，且，．(1)若边上的高等于1，求；(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围．第(2)题已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．第(3)题如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．第(4)题设个正数依次围成一个圆圈，其中是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列.（1）若，求数列的所有项的和；（2）若，求的最大值；（3）当时是否存在正整数，满足？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.第(5)题已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围.。

2021年大连市数学竞赛试题B答案

考生注意：考试时间150 分钟试卷总分100 分共三页第1 页二、（本题8分）已知0|sin |(n I x x dx n π=⎰为正整数)，求I .解：令x n tπ=-，则0()|sin()|n I n t n t dt πππ=---⎰......................................2分()|sin |n n t t dt ππ=-⎰|sin |n n t dt I ππ=-⎰...................................................2分2|sin |n t dt I ππ=-⎰..................................................2分2sin ntdt I ππ=-⎰22n I π=-故，2I n π=...........................................................................................2分（本题9分）设函数()f x 连续，且0)0(')0(==f f ，记000(), 0,()ln[1()],0,x u x du f t dt x F x f x t dt x -⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩⎰⎰⎰求)('x F 及)0(''F .解当0<x 时，⎰=xdt t f x F 0)()('；当0>x 时，令t x u +=，则⎰+=xdu u f x F 0)](1ln[)(，得)](1ln[)('x f x F +=.………………..................................................................................................2分由于0)(lim )(lim )0()(lim )0(000'===-=⎰⎰⎰---→→→-xx uxx x dt t f x dtt f du xF x F F ，0))0(1ln())(1ln(lim ))(1ln(lim )0()(lim )0(000'=+=+=+=-=+++→→→+⎰f x f xduu f xF x F F x xx x ，所以0)0('=F ，从而0(), 0,'()0, 0,ln[1()],0,x f t dt x F x x f x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪+>⎪⎩⎰………………...............................................................................................2分共三页第 2 页由于=-=-→-xFxFFx)0(')('lim)0(''0)(lim)(lim===--→→⎰xfxdttfxxx,....................................2分xFxFFx)0(')('lim)0(''-=+→+xxfxxfxx)(lim)](1ln[lim++→→=+=)0(')0()(lim==-=+→fxfxfx所以0)0(''=F………......................................................................3分四、（本题8分）设1D是由抛物线22y x=和直线,2x a x==及0y=所围成的平面区域；2D是由抛物线22y x=和直线0,y x a==所围成的平面区域，其中02a<<.(1)试求1D绕x轴旋转而成的旋转体的体积1V及2D绕y轴旋转而成的旋转体的体积2V；(2)问当a为何值时，12V V+解如图所示.(1)由题设及旋转体体积公式，有考生注意：考试时间150 分钟试卷总分100 分共三页第 3 页222514(2)(32)5aV x dx a ππ==-⎰.............................................................................................…2分 22222044422 2a y V a a dya a a πππππ=⋅-=-=⎰...............................................................................................................…2分(2)设54124(32)5V V V a a ππ=+=-+.令34(1)0V a a π'=-=，得(0,2)内的惟一驻点1a = (2)分当01a <<时，0V '>；当12a <<时，0V '<.故1a =是极大值点，亦即最大值点，此时12V V +取得最大值1295π..................................................................................................................................................…2分五、（本题9分）设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰x x f d )(. 解设t x =ln ，则tx e =，tt t f e)e 1ln()(+=...............................................................................................2分于是⎰⎰⎰⎰+++-=+-=+=--x x x x f x xx x x x x d e11)e 1ln(e e d )e 1ln(d e )e 1ln(d )(.................................................2分⎰+-+++-=-x e xxxxd e 1e 1)e 1ln(e x ..........................................................................2分⎰+-++-=-x x xxd e 1e )e 1ln(e xx........................................................................2分C x xx +++-=-)e 1ln()e 1(....................................................................................1分六、（本题8分）设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，试求()y y x =的驻点,并判断是否为极值点.解将方程3222221y y xy x -+-=两边同时对x 求导,得02'22'4'62=-++-x xy y yy y y (1).................................................................2分共三页第 4页两边再同时对x求导,得2''2'2'2''4)'(4''6'1222=-+++--+xyyyyyyyyyy(2)...............................2分将0'=y代入(1)中,得xy=(3)...............................................................................2分将(3)代入原方程中,得1==xy,将0)1('=y,1)1(=y代入（2）中得21)1(''=y,所以()y y x=的驻点为1=x,)1,1(为极小值点.....................................................2分七、（本题10分）设数列{}n x满足π<<10x，nnxx sin1=+（,2,1=n），（I）证明nnx∞→lim存在，并求该极限；（II）计算211lim n xnnn xx⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→.证明（I）显然，π<<=<112sin0xxx，π<<=<223sin0xxx，易归纳证明nnnxxx<=<+sin1，........................................................ 3分即{}n x单调下降有下界∃⇒极限nnx∞→lim记为a。

高中数学竞赛省B卷试题与答案试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高中数学竞赛B 卷试题与答案选择题〔本大题一一共8个小题，每一小题7分，一共56分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

〕2、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的间隔是21，那么这个箱子的总外表积是〔〕 A776，B784，C798，D800。

4、()()()()()22222511x y x y +---若实数x,y 满足+=9,，则+的最大值为A2，B4，C8，D64。

()()()cos 4cos 2sin ,cos ,2sin ,y f x x x y x f x A x B x Cx D π==5.将函数的图象向右平移个单位后，再作关于轴的对称变换，得函数的图象，则可以是 6、某程序框图如下列图，该程序运行后输出的K 的值是〔〕A3，B4,C5，D6。

填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题7分，一共429、{}()1215n n a n N a a a ∈+++=设数列的通项为a =2n-7，则10、1x ax =+已知方程有一个负根而没有正根，则实数11码只可能是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、先后抛掷两粒均匀的正方体骰子〔它们的六个面分别标有点数1,2别为x,y ，那么2log 1x y =的概率为＿＿＿＿＿＿。

13、正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么它的体积是＿＿＿＿＿＿＿。

()()()()()()111220091f x x f x f x f f f x ++==-１４.对任意整数，函数满足，且，则＝＿＿＿。

三、解答题〔本大题一一共5个小题，一共52分，要求解答有必要的过程。

〕 15、〔此题总分值是10分〕 16、〔此题总分值是10分〕17、〔此题总分值是10分〕O 为两同心圆的圆心，且大圆半径为5，小圆半径为2，如下列图，过小圆上任意一点P 作弦PA 与过P 点的大圆之弦BC 垂直，求证：222ABBC AC ＋＋为定值，并求出这个定值。

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