第六节 空间向量及其运算和空间位置关系
高三数学复习(理)：第6讲 空间向量及其运算
第6讲 空间向量及其运算[学生用书P157]1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .(2)两向量的数量积两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3， a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )， cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称为平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两个不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．空间位置关系的向量表示直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为ml ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥αn ∥m ⇔n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m α∥β n ∥m ⇔n ＝λm α⊥βn ⊥m ⇔n ·m ＝0常用结论1．向量三点共线定理在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间内任意一点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(4)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(6)若A ，B ，C ，D 是空间中任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ混淆向量共线与共面致误.1．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析：选B .由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，所以AB ∥CD.2．若a ＝(2，3，m )，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( )A ．7B ．52C ．6D ．8解析：选C.由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.3．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝( )A.627 B ．637 C.647D.657解析：选D.显然a 与b 不共线，如果a ，b ，c 三向量共面，则c ＝x a ＋y b ，即x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)＝(7，5，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.故选D.[学生用书P158]空间向量的线性运算(自主练透)1．在空间四边形ABCD 中，若AB →＝(－3，5，2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2，3，3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2，1)D ．(－5，2，－1)解析：选B.因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE →，OF →＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →) ＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2．在三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示(1)MG →；(2)OG →.解：(1)MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →. (2)OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13OC →.3.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→. 解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)因为M 是AA 1的中点， 所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c .用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量的加法、减法和数乘运算的几何意义．首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．共线、共面向量定理的应用(师生共研)如图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？【解】 (1)因为AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， 所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面． (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合， MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时， MN 不在平面ABB 1A 1内， 又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.三点P ，A ，B 共线空间四点M ，P ，A ，B 共面P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →1．已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12 B ．－13，12 C ．－3，2D ．2，2解析：选A.因为a ∥b ，所以b ＝k a ，即(6，2μ－1，2λ)＝k (λ＋1，0，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝k （λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎨⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝12. 2．若A (－1，2，3)，B (2，1，4)，C (m ，n ，1)三点共线，则m ＋n ＝________． 解析：AB →＝(3，－1，1)，AC →＝(m ＋1，n －2，－2)． 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →. 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.所以m ＋n ＝－3.答案：－33．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 由题图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12AB →＝12a ＋b ＋c＝12AB →＋AD →＋AA 1→.(2)证明：由题图，得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →， 因为EG 与AC 无公共点，所以EG ∥AC ，因为EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ， 所以EG ∥平面AB 1C . 又因为AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→，因为FG 与AB 1无公共点，所以FG ∥AB 1， 因为FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， 所以FG ∥平面AB 1C ，又因为FG ∩EG ＝G ，FG ，EG ⊂平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面AB 1C .空间向量数量积的应用(典例迁移)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD →.【解】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°. (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12) ＝12.【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，求证EG ⊥AB . 证明：由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )， 所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，求EG 的长． 解：由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22. 【迁移探究3】 (变问法)在本例条件下，求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解：由例题知AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N.设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)由题图知MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)由题设条件知，因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，所以|a ＋b ＋c |＝5，|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53.利用向量证明平行与垂直问题(多维探究) 角度一 证明平行问题(一题多解)如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFG ； (2)平面EFG ∥平面PBC .【证明】 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．方法一：EF →＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， 因为PB →＝(2，0，－2)，所以PB →·n ＝0，所以n ⊥PB →， 因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .方法二：PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)． 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →，又因为FE →与FG →不共线，所以PB →，FE →与FG →共面． 因为PB ⊄平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .(2)因为EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，所以BC →＝2EF →， 因为BC 与EF 无公共点，所以BC ∥EF . 又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC.角度二证明垂直问题如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O 落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【证明】(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线DB方向为x轴正方向，射线OD为y 轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)．于是AP→＝(0，3，4)，BC→＝(－8，0，0)，所以AP→·BC→＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以AP→⊥BC→，即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，所以AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，又BA →＝(－4，－5，0)，所以BM →＝BA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0，3，4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0， 所以AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ，BM ，BC ⊂平面BMC ， 所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； ②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝t u ⇔a 1＝ta 3，b 1＝tb 3，c 1＝tc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔a 3＝λa 4，b 3＝λb 4，c 3＝λc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证： AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值． 解：(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， 所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，所以|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)证明：因为AC 1→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， 所以AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c＝b ·c －a ·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0. 所以AC 1→⊥BD →，所以AC 1⊥BD . (3)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， 所以|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.所以AC 与BD 1夹角的余弦值为66.[学生用书P399(单独成册)][A 级 基础练]1．已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →＝( )A.12(b ＋c －a ) B ．12(a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c )D.12(c －a －b )解析：选D.MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．2．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B.显然a 与b 不共线，若a ，b ，c 三向量共面，则c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：选B.如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.4．如图，在大小为45°的二面角A EF D 中，四边形ABFE ，四边形CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3 B ． 2 C ．1D.3－ 2解析：选D.因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →，所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，所以|BD →|＝3－ 2.5．已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，O 为坐标原点，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66 C ．－66D ．± 6解析：选C.OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66.6．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________．解析：因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. 答案：12AB →＋12AD →＋AA 1→7．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝________．解析：连接PD (图略)，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0，0，1)，D (0，1，0)，所以PD ＝02＋（－1）2＋12＝2，所以MN ＝22.答案：228.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉－|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案：09.如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1AB C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：因为二面角A 1AB C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， 所以AA 1⊥平面BAC .又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ， 所以∠CAB ＝90°， 即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2)．(1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC →＝(2，0，0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0，取y ＝1，则n ＝(0，1，0)． 所以A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n ，又A 1B 1⊄平面AA 1C ，所以A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1→＝(0，2，2)，A 1C 1→＝(1，1，0)，A 1C →＝(2，0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1，1)． 所以AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 所以AB 1→⊥m ， 又AB 1⊄平面A 1C 1C ， 所以AB 1∥平面A 1C 1C .10.如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.求证：(1)EF ∥平面P AB ； (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1，0，－1)，PD →＝(0，2，－1)，AP →＝(0，0，1)，AD →＝(0，2，0)，DC →＝(1，0，0)，AB →＝(1，0，0)．(1)因为EF →＝－12AB →， 又EF →与AB →无公共点， 所以EF →∥AB →，即EF ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，EF ⊂/ 平面P AB ， 所以EF ∥平面P AB .(2)因为AP →·DC →＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0， 所以AP →⊥DC →，AD →⊥DC →， 即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ，AD ⊂平面P AD ， 所以DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， 所以平面P AD ⊥平面PDC .[B 级 综合练]11．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →.则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n )·OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3，2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．12.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1，1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1解析：选C.设M 点的坐标为(x ，y ，1)，因为AC ∩BD ＝O ，所以O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，又E (0，0，1)，A (2，2，0)，所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，AM →＝(x －2，y －2，1)，因为AM ∥平面BDE ，所以OE →∥AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－22，y －2＝－22，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝22，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.13．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1(－12，0，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，M (0，0，0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ， 因为C 1N →＝λNC →，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ， 所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ. 又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.答案：1514．在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直．如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．因为EF →·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，从而得EF ⊥CD .(2)存在．理由如下：假设存在满足条件的点G ， 设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，故存在满足条件的点G ，且点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 为AD 的中点．[C 级 提升练]15.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )A.23 B ．33 C.23D.53解析：选C.以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，A (1，0，0)，C 1(0，1，2)，所以DC 1→＝(0，1，2)，DA →＝(1，0，0)，DC →＝(0，1，0)．设DP →＝λDC 1→，AQ →＝μAC →(λ，μ∈[0，1])． 所以DP →＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)，DQ →＝DA →＋μ(DC →－DA →)＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)． 所以|PQ →|＝|DQ →－DP →|＝|(1－μ，μ－λ，－2λ)| ＝（1－μ）2＋（μ－λ）2＋4λ2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ52＋95⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－592＋49≥49＝23，当且仅当λ＝μ5，μ＝59，即λ＝19，μ＝59时取等号． 所以线段PQ 长度的最小值为23.故选C.16．如图，棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21， 所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0, 3)，C 1(0，2, 3)．由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， 所以BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)存在．理由如下：假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3)． 从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)． 设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n ⊥A 1C 1→⇔n ·A 1C 1→＝0，n ⊥DA 1→⇔n ·DA 1→＝0，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝0，3x 2＋3z 2＝0，令x 2＝1，得z 2＝－1，所以n ＝(1，0，－1)， 因为BP ∥平面DA 1C 1， 令x 2＝1，得z 1＝－1，所以n ⊥BP →，即n ·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
空间向量及其运算和空间位置关系
2009~2018年高考真题备选题库第七章立体几何第六节空间向量及其运算和空间位置关系考点利用空间向量证明直线和平面的位置关系1.<2018浙江，15分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2错误!.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.b5E2RGbCAP(1>证明：PQ∥平面BCD；(2>若二面角CBMD的大小为60°，求∠BDC的大小．解：本题考查空间线面平行的证明，二面角的计算，以及三角形的有关知识，考查考生的推理论证能力、空间想象能力，以及利用空间向量解决相关问题的能力．p1EanqFDPw法一：(1>证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF ＝3FC，连接OP，OF，FQ.因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，且QF＝错误!AD.因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP＝错误!DM.DXDiTa9E3d又点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP＝错误!AD.从而OP∥FQ，且OP＝FQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD.(2>作CG⊥BD于点G，作GH⊥BM于点H，连接CH.因为AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，所以AD⊥CG，又CG⊥BD，AD∩BD＝D，故CG⊥平面ABD，又BM⊂平面ABD，所以CG⊥BM.又GH⊥BM，CG∩GH＝G，故BM⊥平面CGH，∴BM⊥CH，所以∠CHG为二面角CBMD的平面角，即∠CHG＝60°.设∠BDC＝θ.在Rt△BCD中，CD＝BDcosθ＝2错误!cosθ，CG＝CDsinθ＝2错误!cosθsinθ，BC＝BDsinθ＝2错误! sinθ，RTCrpUDGiTBG＝BCsinθ＝2错误!sin2θ.在Rt△BDM中，HG＝错误!＝错误!.5PCzVD7HxA在Rt△CHG中，tan∠CHG＝错误!＝错误!＝错误!.jLBHrnAILg 所以tanθ＝错误!.从而θ＝60°，即∠BDC＝60°.法二：(1>证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.xHAQX74J0X由题意知A(0，错误!，2>，B(0，－错误!，0>，D(0，错误!，0>．设点C的坐标为(x0，y0,0>．因为＝3，所以Q 错误!.LDAYtRyKfE因为M为AD的中点，故M(0，错误!，1>．又P为BM的中点，故P错误!.所以＝错误!.Zzz6ZB2Ltk又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1>，故·u＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.(2>设m＝(x，y，z>为平面BMC的法向量．由＝(－x0，错误!－y0,1>，＝(0,2错误!，1>知错误!dvzfvkwMI1取y＝－1，得m＝错误!.rqyn14ZNXI又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0>，于是|cos〈m，n〉|＝错误!＝错误!＝错误!，EmxvxOtOco即错误!2＝3.①SixE2yXPq5又BC⊥CD，所以·＝0，故(－x0，－错误!－y0,0>·(－x0，错误!－y0,0>＝0，即x错误!＋y错误!＝2.②联立①②，解得错误!(舍去>或错误!6ewMyirQFL所以tan∠BDC＝错误!＝错误!.kavU42VRUs又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.2．(2018北京，14分>如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.y6v3ALoS89(1>求证：BD⊥平面PAC；(2>若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3>当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．.解：(1>证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2>设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝错误!.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz则P(0，－错误!，2>，A(0，－错误!，0>，B(1,0,0>，C(0，错误!，0>，所以＝(1，错误!，－2>，＝(0，M2ub6vSTnP2错误!，0>．设PB与AC所成的角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!＝错误! 0YujCfmUCw(3>由(2>知＝(－1，错误!，0>设P(0，－错误!，t>(t＞0>，则＝(－1，－错误!，t>，设平面PBC的一个法向量m＝(x，y，z>，则·m＝0，·m＝0，所以错误!eUts8ZQVRd令y＝错误!，则x＝3，z＝错误!.所以m＝(3，错误!，错误!>．同理，平面PDC的一个法向量n＝(－3，错误!，错误!>．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋错误!＝0.解得t＝错误!，所以PA＝错误!.3．<2018天津，13分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．sQsAEJkW5T(1>证明：B1C1⊥CE。
第六节 空间向量及其运算和空间位置关系
所成
角的大小为 90°.
答案：90°
uuur
uuur
uuur
1．已知空间四边形 OABC 中，OA＝a，OB＝b，OC ＝c，点 M
uuuur 在 OA 上，且 OM＝2MA，N 为 BC 中点，则 MN ＝ ( )
A.12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－12c
D.23a＋23b－12c
2．建立空间直角坐标系的原则： (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法： 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共 线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解 决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线 所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范 围不同，最后应进行转化．
∴答案OuuC：ur1 (＝1)OuuuACuur1uA＋r Cuu(C2ur)112＝uAu12Bur(＋uAuB12uruA＋uDuruA＋uDuruA)u＋Aur1uAuAur1
＝12
uuur AB
＋12
uuur AD
＋
uuur AA1
.
若 2 题中条件不变，结论改为：设 E 是棱 DD1 上的点，
(1)求证：BM∥平面 D1AC；
(2)求证：D1O⊥平面 AB1C；
怎样建立空间直角坐标系？
思 考
怎样用空间坐标证明两直线平行？
怎样用空间坐标证明两直线垂直？
[ 证 明 ] (1) 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 点
O(1,1,0)，D1(0,0， 2)， uuur
空间向量及其运算
空间向量及其运算空间向量是一门有趣而又重要的数学学科，它主要研究三维空间内的点、线、面及其运动的运算。
涉及的数学知识有向量的概念及矢量场概念，用空间向量来分析三维空间中的运动是一种更加完整、易于理解的方法。
空间向量是一个有方向性的实数组成的三元组，具有起始点和方向的信息。
可以用来描述平移和旋转的大小，常被用来表示物体在空间中的位置和运动。
在三维环境中，可以表示长度的向量可以称作“矢量”，它们可以使用一对坐标（x，y，z）表示。
表示速度向量则需要三个量，其中包括（横向速度，纵向速度，垂直速度）。
空间向量的运算主要涉及加减法和乘除法，其中加减法可以用来计算两个空间向量的和或差，乘除法则可以计算空间向量和数值的乘积和商。
空间向量的加法可以用组合的形式描述，即首先将两个向量的起点连接，然后将他们的终点连接，得到的向量的起点即为两个向量的和，而终点即为这两个向量的差。
空间向量加法也可以用简便的算术方式描述，即：两个向量的每一个分量之和即为新向量的各分量，即：A+B=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
空间向量的减法可以通过组合的形式描述，即以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的起点为终点，连接两个点，即得到两个空间向量的差。
此外，这种形式的减法也可以用简便的算术方式来描述，即：A-B=(a1-b1, a2-b2, a3-b3)。
空间向量的乘除法也可以采取组合的形式描述：两个空间向量中，乘数向量的起点与被乘数向量的终点相连，连接后的新向量就是乘数向量与被乘数向量的乘积，而之所以称之为乘法，是因为两个向量的长度的积，即新向量的长度，就是乘数以及被乘数的乘积。
此外，这种乘法还可以用简便的数学方式来描述，即：乘法A*B=(a1*b1, a2*b2, a3*b3)，除法A/B= (a1/b1, a2/b2, a3/b3)。
空间向量的加减乘除运算是空间向量分析和应用中的重要运算，它可以用来研究物体在空间中的运动、物体在空间中的位置关系等等。
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( )A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2． 若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面， 则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r＝0；②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，则M 、P 、A 、B 共面；③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 可判断①②③正确．4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，OE u u u r ＝12OA u u u r ＋12OD u u u r＝12OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2；②1A C u u u u r ·(11A B u u u u r －1A A u u u u r )＝0；③向量1AD u u u u r 与向量1A B u u u u r的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u ur |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2＝3，故①正确；②中11A B u u u u r －1A A u u u u r ＝1AB u u u u r，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD u u u u r 与1A B u u u u r 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u u r|＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB u u u r为直线l 的方向向量，与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC u u u u r ，AG u u u r .[自主解答] 1AC u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r＝a ＋b ＋c .AG u u u r ＝1AA u u u u r ＋1A G u u u u r＝1AA u u u u r ＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝1AA u u u u r ＋13(AD u u u r －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝131AA uu u u r ＋13AD u u u r ＋13AB u u u r ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG u u u u r.解：如图，MG u u u u r ＝1MA u u u u r ＋1A G u u u u r＝－12(11A B uu u u r ＋11A D u u u u r )＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝－12a －12b ＋13(AD u u ur －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG u u u u r ＝2GN u u u r ，若OG u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG u u u r ＝OM u u u u r ＋MG u u u u r ＝12OA u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u uu r ＋23(ON u u u r －OM u u u u r ) ＝12OA u uu r ＋23ON u u u r －23OM u u u u r ＝12OA u uu r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )－23×12OA u u u r ＝16OA u uu r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED 'u u u u r ＝a ，EF u u u r ＝b ，EH u u u r ＝c ，则HG u u u r ＝HBu u u r ＋BC u u u r ＋CG u u u r ＝D F 'u u u u r ＋2ED 'u u u u r ＋12AA 'u u u r＝b －a ＋2a ＋12(AH u u u r ＋HE u u u r ＋EA 'u u u r )＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG u u u r 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA u u u r ＝λPB u u u r且同过点P MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OA u u u r →＋t AB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OM u u u u r ＋x MA u u u r＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OA u u u r ＋(1－x ) OB u u u r 对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OM u u u u r ＋y OA u u u r＋(1－x －y ) OB u u u r以题试法2.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)连接BG ，则EG u u u r ＝EB u u u r ＋BG u u ur＝EB u u u r ＋12(BC u u u r ＋BD u u u r)＝EB u u u r ＋BF u u u r ＋EH u u u r ＝EF u u u r ＋EH u u u r ，由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r＝12AD u u ur －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u u r ， 又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE u u u r ＝(a ，3a ，a )，BC u u u r ＝(2a,0，－a )， ∵AF u u u r ＝12(BE u u u r ＋BC u u ur )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD u u u r ＝(－a ，3a,0)，ED u u u r ＝(0,0，－2a )，∴AF u u u r ·CD u u u r ＝0，AF u u u r ·ED u u u r＝0， ∴AF u u u r ⊥CD u u u r ，AF u u u r ⊥ED u u u r，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED .又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)，∴1OD u u u u r＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，∴BM u u u u r＝(－1，－1，2)， ∴1OD u u u u r ＝BM u u u u r ，又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD u u u u r ·1OB u u u r ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD u u u u r ·AC u u ur ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD u u u u r ⊥1OB u u u r ，1OD u u u u r ⊥AC u u u r ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则下列向量中与BM u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM u u u u r ＝1BB u u u u r ＋1B M u u u u r ＝1AA u u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC＝π3，则cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA u u u r ·BC u u u r ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB u u u r 、AD u u u r 、1AA u u uu r 两两的夹角均为60°，且|AB u u u r |＝1，|AD u u u r|＝2，|1AA u u u u r |＝3，则|1AC u u u u r |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则1AC u u u u r＝a ＋b ＋c ，1AC u u u u r2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC u u u u r|＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ u u u u r＝λMN u u u u r的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM u u u u r ＝2OA u u u r －OB u u u r －OC u u u r ；②OM u u u u r ＝15OA u u u r ＋13OB u u u r ＋12OC u u u r ；③MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u uu r ＝0；④OM u u u u r ＋OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0.解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u u u r ，则MA u u u r 、MB u u u r 、MC u u uu r 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E u u u u r ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB u u u r ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB u u u r ―→·1B E u u u u r ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP u u u r ＝(0,0，a )，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC u u u r ·CD u u u r ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE u u u r ·CD u u u r ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE u u u r ⊥CD u u u r ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE u u u r ·PD u u u r ＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD u u u r ⊥AE u u u r ，即PD ⊥AE .∵AB u u u r ＝(1,0,0)，∴PD u u u r ·AB u u u r ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB u u u r ＝(1,0,0)，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD u u u r ＝33n . ∵PD u u u r ∥n ，∴PD u u u r ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD ∥平面ABE ；(2)求证：AC ⊥BE .证明：(1)如图1，设M 为BC 的中点，连接DM 、MF .∵F 为AC 的中点，M 为BC 的中点，∴MF ∥AB .又∵BM 綊DE ，∴四边形BMDE 为平行四边形，∴MD ∥BE .∵MF ∩MD ＝M ，AB ∩BE ＝B ，∴平面DFM ∥平面ABE .又∵PD ⊂平面DFM ，FD ⊄平面ABE ，∴FD ∥平面ABE .(2)在矩形ABCD (如图2)中，连接AC ，交BE 于G .BE u u u r ·AC u u u r ＝(BA u u u r ＋AE u u u r )·(AB u u u r ＋BC u u u r ) ＝－AB u u u r 2＋AE u u u r ·BC u u u r ＝－36＋36＝0. ∴AC ⊥BE .∴在图3中，AG ⊥BE ，CG ⊥BE .又∵AG ∩GC ＝G ，∴BE ⊥平面AGC .又∵AC ⊂平面AGC ，∴AC ⊥BE .12． 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)设点E 在棱PC 上，PE u u u r ＝λPC u u u r ，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD u u u r ＝(－1，－3，0)，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵BD u u u r ·PC u u u r ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB u u u r ＝(0，3，0)，DP u u u r ＝(0,0，a )，PA u u u r ＝(1,0，－a )，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵PE u u u r ＝λPC u u u r ，∴PE u u u r ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE u u u r ＝DP u u u r ＋PE u u u r ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB u u u r ·n ＝0，PA u u u r ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)， ∵DE ∥平面P AB ，∴DE u u u r ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14. 1．已知AB u u u r ＝(1,5，－2)，BC u u u r ＝(3,1，z )，若AB u u u r ⊥BC u u u r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB u u u r ⊥BC u u u r ，∴AB u u u r ·BC u u u r ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC u u u r ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP u u u r ＝OA u u u r ＋t AB u u u r ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC u u u u r ＝(0,2,1)，DA u u u r ＝(2,0,0)，AE u u u r ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA u u u r ，n 1⊥AE u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA u u u r ＝2x 1＝0，n 1·AE u u u r ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为1FC u u u u r ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC u u u u r ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B u u u u r ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC u u u u r ，n 2⊥11C B u u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC u u u u r ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B u u u u r ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，AC u u u r ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD u u u r |2＝|CA u u u r ＋AB u u u r ＋BD u u u r |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD u u u r |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD u u u r ＝a ，CB u u u r ＝b ，1CC u u u u r ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD u u u r ＝CD u u u r －CB u u u r ＝a －b ，1CC u u u u r ·BD u u u r ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C u u u u r ⊥BD u u u r ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA u u u r ＝a ＋b ＋c ，1C D u u u u r ＝a －c .∴1CA u u u r ·1C D u u u u r ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB u u u r ＝(2,0，－2)，FE u u u r ＝(0，－1,0)，FG u u u r ＝(1,1，－1)，设PB u u u r ＝s FE u u u r ＋t FG u u u r ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB u u u r ＝2FE u u u r ＋2FG u u u r ，又∵FE u u u r 与FG u u u r 不共线，∴PB u u u r 、FE u u u r 与FG u u u r 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。
2023年新高考数学一轮复习8-6 空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)含详解
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)． 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； （2）//AC EG ． 【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()0,1,1-D ．()1,0,1-例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP =.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ；（2）求BM 的长.例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直.（1）求2a c +的模； （2）求向量b 的坐标. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ； （2）平面EFG //平面PBC . 【规律方法】利用空间向量证明平行的方法 1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量2①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a ⊥b ⇔θ＝__π2__⇔a ·b ＝0．③θ为锐角时，a ·b __>__0，但a ·b >0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a ·b __<__0，但a ·b <0时，θ可能为__π__．④|a ·b |≤|a |·|b |，特别地，当θ＝__0__时，a ·b ＝|a |·|b |，当θ＝__π__时，a ·b ＝－|a |·|b |．⑤对于实数a 、b 、c ，若ab ＝ac ，a ≠0，则b ＝c ；对于向量a 、b 、c ，若a ·b ＝a ·c ，a ≠0，却推不出b ＝c ，只能得出__a ⊥(b －c )__．⑥a ·b ＝0⇒/ a ＝0或b ＝0，a ＝0时，一定有a ·b ＝__0__．⑦不为零的三个实数a 、b 、c ，有(ab )c ＝a (bc )成立，但对于三个向量a 、b 、c ，(a ·b )c __≠__a (b ·c )，因为a ·b 是一个实数，(a ·b )c 是与c 共线的向量，而a (b ·c )是与a 共线的向量，a 与c 却不一定共线． 3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．(2)如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R }，这个集合可看作是由向量a 、b 、c 生成的，我们把{__a ，b ，c __}叫做空间的一个基底，a 、b 、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__． 4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e 1、e 2、e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以__e 1，e 2，e 3__的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ．对于空间任意一个向量p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3．我们把x 、y 、z 称作向量p 在单位正交基底e 1、e 2、e 3下的坐标，记作p ＝ (x ，y ，z )． 5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l 、m 的方向向量分别为a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，两个平面α，β的法向量分别为u ＝(u 1，u 2，u 3)，v ＝(v 1，v 2，v 3)，则有如下结论：6. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 7.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D例2. （2022·全国·高三专题练习）如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且14OG OG =，则（ ）A ．1111666OG OA OB OC =++B ．1OG =111121212OA OB OC ++ C ．1OG =111181818OA OB OC ++ D ．1OG =111888OA OB OC ++【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+ 则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦ 则()1111112444333OG OG OA AG OA OB OC OA ⎛⎫==+=++- ⎪⎝⎭111121212OA OB OC =++故选：B例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．【答案】111244a b c ++【解析】 【详解】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD O OE A OD ∴=+=+()111222a OB OC =+⨯+()1111124244a b c a b c =++=++ ，故答案为111244a b c ++. 【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（ ） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1 D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()()()1,1,00,1,11,0,1m n =+，所以，110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，无解；对于B 选项，因为()()()2,2,403,0,021,1,2=⋅+，故B 选项中的三个向量共面；对于C 选项，设()()()1,2,31,3,22,3,1x y =+，所以，2133223x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解；对于D 选项，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，所以，013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾.故选：B.例5.（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD 1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB 1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB +OA 是一对相反向量； ④OC -OA 与OC 1-OA 1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE =与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误； ②OB -11OC C B =与OC -11OB B C =不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++是一对相反向量,正确； ④OC -OA AC =与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个故选：A例6.（2020·全国·高三专题练习）已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）//【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）证明出AC、AB、AD为共面向量，结合AC、AB、AD有公共点可证得A、B、C、D四点共面，同理可证得E、F、G、H四点共面；AC EG．（2）证得EG k AC=，再由EG和AC无公共点可证得//【详解】（1）因为AC AD mAB=+，所以，AC、AB、AD为共面向量，因为AC、AB、AD有公共点A，故A、B、C、D四点共面，因为EG EH mEF=+，则EG、EH、EF为共面向量，因为EG、EH、EF有公共点E，故E、F、G、H四点共面；（2）OE kOA=，=，OF kOB=，OH kOD()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+-()()()=-+-=+=+=，//k OD OA km OB OA k AD kmAB k AD mAB k AC∴，AC EGAC EG.因为AC、EG无公共点，故//【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1-【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A 选项中的向量()11,0,1a =-，11111cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅⋅，则1,120a a 〈〉=；对于B 选项中的向量()21,1,0a =-，22211cos ,22a a a a a a ⋅〈〉===⋅，则2,60a a 〈〉=；对于C 选项中的向量()30,1,1a =-，2321cos ,22a a a a a a ⋅-〈〉===-⋅，则2,120a a 〈〉=；对于D 选项中的向量()41,0,1a =-，此时4a a =-，两向量的夹角为180.故选B.例8.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB a =，AD b =，c AP=.（1）试用a ，b ，c 表示向量BM ； （2）求BM 的长.【答案】（1）111222a b c -++；（2）2【解析】 【分析】（1）将AD BC =，BP AP AB =-代入1()2BM BC BP =+中化简即可得到答案；（2）利用22||BM BM =，结合向量数量积运算律计算即可. 【详解】（1）M 是PC 的中点，1()2BM BC BP ∴=+.AD BC =，BP AP AB =-，1[()]2BM AD AP AB ∴=+-，结合AB a =，AD b =，c AP =，得1111[()]2222BM b c a a b c =+-=-++.（2）1AB AD ==，2PA =， ||||1a b ∴==，||2c =.AB AD ⊥，60PAB PAD ∠=∠=︒， 0a b ∴⋅=，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒=.由（1）知111222BM a b c =-++，()2222211112222224BM a b c a b c a b a c b c ⎛⎫∴=-++=++-⋅-⋅+⋅⎪⎝⎭13(114022)42=⨯++--+=，6||2BM ∴=即BM 例9. （2020·全国·高三专题练习）已知向量(2,1,2)a =-，(1,0,1)c =-，若向量b 同时满足下列三个条件：①1a b ⋅=-；①3b =；①b 与c 垂直. （1）求2a c +的模；（2）求向量b 的坐标. 【答案】（1）1；（2）(2,1,2)b =-或(2,1,2)b =---. 【解析】 【分析】（1）求出2a c +的坐标，即可求出2a c +的模；（2）设(,,)b x y z =，则由题可知22222190x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解出即可得出．【详解】解：（1）∵()2,1,2a =-，()1,0,1c =-， ∴()20,1,0a c +=， 所以21a c += ；（2）设(),,b x y z =，则由题可知222221,9,0,x y z x y z x z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得2,1,2,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或2,1,2,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以()2,1,2b =-或()2,1,2b =---. 【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2021·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点.（1）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）求证：//BD 平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任意一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出EF HG =可证；（2）通过证明//HE BD 可得；（3）可得四边形EFGH 为平行四边形，M 为EG 中点，即可证明. 【详解】（1）E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 12EF AC ∴=，12HG AC =，EF HG ∴=，又E ，F ，G ，H 四点不共线，故E ，F ，G ，H 四点共面； （2）E ，H 分别是AB ，AD 的中点， 12HE DB ∴=，//HE DB ∴，//HE BD ∴， HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，∴//BD 平面EFGH ；（3）由（1）知四边形EFGH 为平行四边形，M ∴为EG 中点， E ，G 分别是AB ，CD 的中点， 11111()()()()22224OM OE OG OA OB OC OD OA OB OC OD ⎡⎤∴=+=+++=+++⎢⎥⎣⎦. 例11.（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面P AD ①平面ABCD ，ABCD 为正方形，①P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：（1）PB //平面EFG ；（2）平面EFG //平面PBC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，构建空间直角坐标系A -xyz ，并确定A ，B ，C ，D ，P ，E ，F ，G 的坐标，法一：求得(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==-，即可确定平面EFG 的一个法向量n ，又0PB n ⋅=有n PB ⊥，则 PB //平面EFG 得证； 法二：由(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-，可知22PB FE FG =+，根据向量共面定理即有PB ，FE 与FG 共面，进而可证PB //平面EFG ；（2）由（1）有(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==即2BC EF =，可得BC //EF ，根据线面平行的判定有EF //平面PBC ，GF //平面PBC ，结合面面平行的判定即可证平面EFG //平面PBC .【详解】（1）因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，所以AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0). 法一：(0,1,0),(1,2,1)EF EG ==- 设平面EFG 的法向量为(,,)n x y z =，则00n EF n EG ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即020y x y z =⎧⎨+-=⎩,令z ＝1，则(1,0,1)n =为平面EFG 的一个法向量， ∵(2,0,2)PB =-，∴0PB n ⋅=，所以n PB ⊥， ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB //平面EFG .法二：(2,0,2)PB =-，(0,1,0)FE =-，(1,1,1)FG =-. 设PB sFE tFG =+，即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1)，所以202t t s t =⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得s ＝t ＝2.∴22PB FE FG =+，又FE 与FG 不共线，所以PB ，FE 与FG 共面.∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .（2）由（1）知：(0,1,0),(0,2,0)EF BC ==，∴2BC EF =，所以BC //EF .又EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ，同理可证GF //PC ，从而得出GF //平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ⊂平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG //平面PBC .【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，O ，1O 是圆柱底面的圆心，1AA ，1BB ，1CC均为圆柱的母线，AB 是底面直径，E 为1AA 的中点．已知4AB =，BC =(1)证明：1AC BC ⊥；(2)若1AC BE ⊥，求该圆柱的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直（2）建立空间直角坐标系，根据垂直条件解出圆柱的高(1)连结AC ，可知AC BC ⊥1CC ⊥平面ABC 1CC BC ∴⊥1CC AC C =BC ∴⊥平面1ACC1BC AC ∴⊥(2)如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设圆柱的高为h可得1(2,0,0),(0,0,),(2,0,)2h A B C h E1(2,0,),(2,)2h AC h BE =-=-由题意得21402h AC BE ⋅=-+=，解得h =故圆柱的体积2V πr h ==例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【解析】【分析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.（1）计算10A E BD →→⋅=即可证明；（2）求出面A 1BD 与面EBD 的法向量，根据法向量垂直计算即可．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，1A E BD →→⋅＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E BD →→⊥，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n →＝(x 1，y 1，z 1)，2n →＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，1DA →＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )∴10n DB →→⋅=， 110n DA →→⋅=， 20n DB →→⋅=，10n DE →→⋅=. ∴11110,0,ax ay ax az +=⎧⎨+=⎩, 22220,0.ax ay ay ez +=⎧⎨+=⎩ 取x 1＝x 2＝1，得1n →＝(1，－1，－1)，2n →＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n →⊥2n →. ∴2－a e＝0，即e ＝2a . ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .例14．（2020·全国·高三专题练习）直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，AG =【解析】【分析】（1）以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得11113EF A A AC =-+，由此可证//EF 平面11AAC C ； （2）将问题转化为线段AC 上是否存在一点G ，使EG AC ⊥，则问题不难求解.【详解】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11A B ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ， 所以22(,,)33EF a =-，1(0,0,)A A a =，11(2,2,0)AC =， 因为11113EF A A AC =-+，所以EF ，1A A ，11AC 共面，又EF 不在平面11AAC C 内， 所以//EF 平面11AAC C（2）线段AC 上存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C ，且3AG =，证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得EG ===， 所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥，又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，、所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=，所以EG ⊥平面11AAC C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AAC C ，【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
空间向量及其运算和空间位置关系含解析
空间向量及其运算和空间位置关系1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM―→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c解析：选 A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b－a)＝－12a ＋12b ＋c.3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC―→ (x ，y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→ (m ，n ∈R)，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B 由题意设c ＝x a ＋y b ，则(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．(优质试题·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB―→的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66B ．66C ．－66D ．± 6解析：选 C OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66. 6．在空间四边形ABCD 中，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B 法一：如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD―→＝c ， 则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC―→ ＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＋AC ―→·(AB ―→－AD ―→)＋AD ―→·(AC ―→－AB―→) ＝a ·(c －b)＋b ·(a －c)＋c ·(b －a)＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.法二：在三棱锥A BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．所以AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·DB ―→＝0，AD ―→·BC ―→＝0. 所以AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC―→＝0. 7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________．解析：设AD ―→＝λAC ―→，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴D (1,4λ－1,2－3λ)， ∴BD ―→＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－45，∴BD ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD ―→|＝ －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5. 答案：58．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：∵AP ―→·AB―→＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，故①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ，故②正确； 由①②知AP ⊥平面ABCD ， 故③正确，④不正确． 答案：①②③9．(优质试题·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝2GN ―→，现用基底{OA ―→，OB ―→，OC ―→}表示向量OG ―→，有OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC―→，则x ，y ，z 的值分别为________． 解析：∵OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋23MN―→ ＝12OA ―→＋23(ON ―→－OM ―→) ＝12OA ―→＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB ―→＋OC ―→－12OA ―→ ＝16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.答案：16，13，1310．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3，2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ―→＝RS ―→. ∴MN ―→∥RS ―→.∵M ∉RS .∴MN ∥RS . 又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则MN ―→＝MB 1―→＋B 1A 1―→＋A 1N ―→＝13c －a ＋12b ，RS ―→＝RC ―→＋CD ―→＋DS ―→＝12b －a ＋13c ， ∴MN ―→＝RS ―→，∴MN ―→∥RS ―→， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：如图，建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AA 1―→＝(0,0，3)，AD ―→＝(1,1,0)， BC ―→＝(－2,2,0)，CC 1―→＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎨⎧ n 1·AA 1―→＝0，n 1·AD―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)． 由⎩⎨⎧n 2·BC―→＝0，n 2·CC1―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.12．如图所示，四棱锥S ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→，OS―→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，62a ，D⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22a ，0，0，B⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22a ，0，OC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22a ，0，SD ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22a ，0，－62a ， 则OC ―→·SD ―→＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD . (2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS ―→是平面PAC 的一个法向量，且DS―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a ，0，62a ，CS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－22a ，62a ，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22a ，22a ，0. 设CE ―→＝t CS ―→，则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋t CS―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22a ，22a －t，62at ，而BE ―→·DS ―→＝0⇒t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE ―→⊥DS ―→. 而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC .。
第七章 第六节 空间向量及其运算
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 用已知向量表示未知向量时要注意： 用已知向量表示未知向量时要注意： 1．把要表示的向量置于封闭图形中，利用三角形法则或 ．把要表示的向量置于封闭图形中， 多边形法则进行基向量代换． 多边形法则进行基向量代换． 2．用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基 ．用基向量表示一个向量时， 底的公共点出发的，一般考虑用加法， 底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减 法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． 如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
3．与向量 a＝(1，－ ． ，－3,2)平行的一个向量的坐标是 平行的一个向量的坐标是( ＝ ，－ 平行的一个向量的坐标是 1 A．( ，1,1) ． 3 1 3 C．(－ ， ，－ ，－1) ．－ 2 2 B．(－1，－ ． － ，－ ，－3,2) D．( 2，－ ，－ 2) ． ，－3，－ ，－ ，－2
证明： 解：(1)证明：分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N、 证明 、 、 、 、 、 Q、R 点． 、 因为 E、F、G、H 分别是所在三角形的重心． 、 、 、 分别是所在三角形的重心． 所以 M、N、Q、R 为所在边的中点，顺次连接 M、N、Q、 、 、 、 为所在边的中点， 、 、 、 R 得到的四边形为平行四边形，且有： 得到的四边形为平行四边形，且有：
)
1 1 3 解析：可知－ ＝ － ，－1)． 解析：可知－ a＝(－ ， ，－ ． 2 2 2
答案： 答案：C
4.如图所示，已知ABCD是平行四边形， 如图所示，已知 是平行四边形， 如图所示 是平行四边形 P点是 点是ABCD所在平面外一点，连接 所在平面外一点， 点是 所在平面外一点 PA、PB、PC、PD.设点 、F、G、H 、 、 、 设点 设点E、 、 、 分别为△ 分别为△PAB、△PBC、△PCD、 、 、 、 的重心． △PDA的重心． 的重心 (1)试用向量方法证明 、F、G、H四点共面； 试用向量方法证明E、 、 、 四点共面 四点共面； 试用向量方法证明 (2)试判断平面 试判断平面EFGH与平面 与平面ABCD的位置关系，并用向量方 的位置关系， 试判断平面 与平面 的位置关系 法证明你的判断． 法证明你的判断．
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是()A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对解析：选C∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：选C若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②若MB＝x MA＋y MB，则M、P、A、B共面；③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选D可判断①②③正确．4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．解析：如图，OE＝12OA＋12OD＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2＝3，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .[自主解答] 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG . 解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA ＝λPB 且同过点P MP ＝x MA ＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x)OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y)OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH＝AH－AE＝1 2AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1BB ＋1B M ＝1AA ＋12(AD －AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ·BC ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°，且|AB |＝1，|AD |＝2，|1AA |＝3，则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1AC ＝a ＋b ＋c ， 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC |＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM ＝2OA －OB －OC ；②OM ＝15OA ＋13OB ＋12OC ；③MA ＋MB ＋MC ＝0；④OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0.解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB ―→·1B E ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP ，AE 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP ＝(0,0，a )，AE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP ，AE 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD ＝33n . ∵PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD∥平面ABE；(2)求证：AC⊥BE.证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，∴平面DFM∥平面ABE.又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，∴FD∥平面ABE.(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.BE·AC＝(BA＋AE)·(AB＋BC)＝－AB2＋AE·BC＝－36＋36＝0.∴AC⊥BE.∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.又∵AG∩GC＝G，∴BE⊥平面AGC.又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ＝(－1，－3，0)，PC ＝(－3，3，－a )，∵BD ·PC ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ＝(0，3，0)，DP ＝(0,0，a )，PA ＝(1,0，－a )，PC ＝(－3，3，－a )，∵PE ＝λPC ，∴PE ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE ＝DP ＋PE ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB ·n ＝0，PA ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)，∵DE ∥平面P AB ，∴DE ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD ＝CD －CB ＝a －b ，1CC ·BD ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C ⊥BD ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA ＝a ＋b ＋c ，1C D ＝a －c .∴1CA ·1C D ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB ＝(2,0，－2)，FE ＝(0，－1,0)，FG ＝(1,1，－1)，设PB ＝s FE ＋t FG ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB ＝2FE ＋2FG ，又∵FE 与FG 不共线，∴PB 、FE 与FG 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。
考点6 空间向量及其运算和空间位置关系
2010-2015年高考真题汇编专题8 立体几何考点6 空间向量及其运算和空间位置关系1.（2015年四川14，5分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________2.（2015年浙江13，5分）如图，三棱锥A BCD -中，3,2A B A C B D C D A D B C ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．3.（2015年北京17，12分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．OF ECB A4.（2015年全国卷一18，12分）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠= ，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2,BE DF AE EC =⊥. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。
5.（2014广东，5分）已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)6.（2014北京，5分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 17.（2014江西，5分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)．遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )8.（2014湖北，5分）在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②9.（2013浙江，15分）如图，在四面体A BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD＝2，BD ＝2 2.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C BM D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．10．（2013天津，13分）如图， 四棱柱ABCD A1B 1C 1D 1中， 侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB //DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE;(2)求二面角B 1CE C 1的正弦值．(3)设点M 在线段C 1E 上， 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．11.（2013湖北，12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ ＝12CP .记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.12．（2012福建，13分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．。
高考数学总复习空间向量的运算及空间位置关系PPT课件
用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为 指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的 几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点 指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行 四边形法则仍然成立．
[例 3] (2014·杭州模拟)直三棱柱 ABC-A′B′C′中，AC＝BC ＝AA′，∠ACB＝90°，D、E 分别为 AB、BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
空间向量数量积的应用 (1)求夹角．设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝|aa|·|bb|，进而 可求两异面直线所成的角； (2)求长度(距离)．运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算 问题转化为向量数量积的计算问题； (3)解决垂直问题．利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂 直问题转化为向量数量积的计算问题．
已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1 长为 b，且 AA1 与 AB，AD 的夹角都是 120°. 求 AC1 的长．
1 种意识——基底意识 用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识． 2 种方法——基向量法和坐标法 用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于 建系的可用坐标运算求解．
解析：∵a⊥b， ∴(－3)×1＋2λ＋5×(－1)＝0，∴λ＝4. 答案：4
5. 如图所示，正方体的棱长为 1，M 是所在棱上的中点，N 是所在棱上的四分之一分点(靠近 y 轴)，则 M、N 之间的距离为 ________．
解析：由条件知，M1，0，12，N14，1，0，
空间向量的运算及空间位置关系
空间向量及其应用
第六节 空间向量及其应用考纲解读1.空间向量及其运算.（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在12分左右. 知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB .2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =.模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算1．数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λ与向量a 方向相同；当0λ<时，向量a λ与向量a 方向相反. a λ的长度是a 的长度的λ倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()a b a b λλλ+=+，()()a a λμλμ=.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b .4.共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=. 5.直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线.对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+①，其中向量a 叫做直线l的方向向量，在l 上取AB a =，则式①可化为()()1OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB =+=+-=-+②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t =，即点P 是线段AB 的中点时，()12OP OA OB =+，此式叫做线段AB 的中点公式. 6.共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.7.共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使p xa yb =+.推论：（1）空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使AP xAB y AC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA x AB y AC -=+，该式称为空间平面ABC 的向量表达式.（2）已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,a b π≤≤，如果,2a b π=，那么向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥.2.数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅，即cos ,a b a b a b ⋅=.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2a a a ⋅=.3.空间向量的数量积满足的运算律： ()()a b a b λλ⋅=⋅，a b b a ⋅=⋅（交换律）； ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）. 四、空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则()112233,,a b a b a b a b +=+++；()112233,,a b a b a b a b -=---；Aaaα图 8-154O()123,,a a a a λλλλ=； 112233a b a b a b a b ⋅=++；()112233//0,,a b b a b a b a b λλλ≠⇒===； 1122330a b a b a b a b ⊥⇒++=.（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,AB OB OA x x y y z z =-=---. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.①已知()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则221a a a ==+221b b b ==+；112233a b a b a b a b ⋅=++；cos ,a b =；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(AB x =或者(),d A B AB =.其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量a 在向量b 上的射影为cos ,a b a a b b⋅=.（5）设()0n n ≠是平面M 的一个法向量，AB ，CD 是M 内的两条相交直线，则0n AB ⋅=，由此可求出一个法向量n （向量AB 及CD 已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设n 是平面的一个法向量，l 为直线l 的方向向量，证明0l n ⋅=，（如图8-155所示）.已知直线l （l α⊄），平面α的法向量n ，若0l n ⋅=，则//l α.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量a ，b ，只要证明a b ⊥，即0a b ⋅=.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.①异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,a b a b a bθ⋅==.②线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,a n a n a nθ⋅==.③二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,n n θ=或12,n n π-（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos n n n n θ⋅=.（11）点A 到平面α的距离为d ，B α∈，n 为平面α的法向量，则AB n d n⋅=.题型归纳及思路提示题型116 空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN=.解析1122OM OA a ==，()()1122ON OB OC b c=+=+，()()111222MN ON OM b c a b c a =-=+-=+-.变式1 如图8-157所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M 和N 分别是对边OA 和BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）.A 111,,333x y z ===.B 111,,336x y z ===.C 111,,363x y z ===.D 111,,633x y z ===变式2 如图8-158所示，在四面体O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE = （用a ，b ，c 表示）.变式3 在空间四边形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，若BCD ∆是正三角形，且E 为其重心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为 . 变式4 如图8-159所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）.A 1122a b c -++ .B 1122a b c ++.C 1122a b c --+ .D 1122a b c -+二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：()//0a b b a b λ≠⇔=. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知3240m a b c =--≠，()182n x a b yc =+++，且,,a b c 不共面，若//m n ，求,x y 的值.解析 因为//m n 且0m ≠，所以n m λ=，即()()182324x a b yc a b c λ+++=--.又因为,,a b c 不共面，所以138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得138x y =-⎧⎨=⎩.二、空间向量的数量积运算121212cos ,a b a b a b x x y y z z ⋅==++；求模长时，可根据2222111a a x y z ==++求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,a b a b a b⋅=.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0a b a b ⋅=⇔⊥.,a b 为锐角0a b ⇒⋅>；,a b 为钝角0a b ⇒⋅<.由此，通常通过计算a b ⋅的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，AE ⋅AF 的值为（ ）..A 2a .B 21.2B a 21.4C a 23.4D a 解析 依题意，点,EF 分别是,BC AD 的中点，如图8-160所示，AE ⋅AF ()1122AB AC AD =+⋅()14AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a =︒+︒=. 故选C .变式1 如图8-161所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，且11A A AB AD ===，则1AC = .变式2 如图8-162所示，设,,,A B C D 是空间不共面的4个点，且满足0AB AC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AD AB ⋅=，则BCD ∆的形状是（ ）..A 钝角三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 无法确定例8.44 如图8-163所示，在45︒的二面角l αβ--的棱上有两点,A B ，点,C D 分别在,αβ内，且AC AB ⊥，45ABD ∠=︒，1AC BD AB ===，则CD 的长度为 . 分析 求CD 的长度转化为求空间向量CD 的模.解析 因为CD CA AB BD =++，故()22CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅1110211cos1352CA BD =++++⨯⨯⨯︒+⋅，设点C 在β内的射影为H ，则HA AB ⊥，,135HA BD =︒.故()CA BD CH HA BD CH BD HA BD⋅=+⋅=⋅+⋅10cos1351cos 45cos1352HA BD =+︒=⨯︒︒=-.故22CD =，则2CD =-变式1 已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为,P Q 两点之间距离的最小值为（ ）..2B C .4D变式2 在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B --，沿y 轴把坐标平面折成120︒的二面角后，AB 的长为（ ）.A B C D例8.45 如图8-164所示，设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=.当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围. 解析 由题设可知，以1,,DA DC DD 为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系D xyz -，则有()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D . 由()11,1,1D B =-，()11,,D P D B λλλλ==-，()()()111,0,1,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---. 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角，cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC⋅∠==<，等价于0PA PC ⋅<，即()()()()()21110λλλλλ--+--+-<，得113λ<<.因此，λ的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.评析 利用向量知识将APC ∠为钝角转化为cos ,0PA PC <求解是本题的关键. 变式1 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1BD 上，当APC ∠最大时，三棱锥P ABC -的体积为（ ）.1.24A 1.18B 1.9C 1.12D 例8.46 如图8-166所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）.解析 取AD 的中点O ，以OA 为x 轴，垂直于OA 的OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系如图8-167所示.设(),,0M x y ，正方形的边长为a ，30,0,2P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,,02a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()222a MC x y a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭22234MP x y a =++，MP MC =， 得()22222324a a x y a x y ⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭，即202a x y -+=.所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段，且过D 点和AB 的中点.故选A .评注 本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即M 在线段PC 的中垂面内.又M 为底面ABCD 内一动点，则M 的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除C 、D .又BP BC >，故排除B .故选A .变式1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）..A 直线 .B 椭圆 .C 抛物线 .D 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是点P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（ ）..33A -.33B -.63C .3D 题型117 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.一、证明三点共线（如A ，B ，C 三点共线）的方法先构造共起点的向量AB ，AC ，然后证明存在非零实数λ，使得AB AC λ=. 例8.47 如图8-168所示，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点M 为1DD 的中点，点N 在AC 上，且:2:1AN NC =，点E 为BM 的中点.求证：1A ，E ，N 三点共线.解析 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系-D xyz ，如图8-169所示.不妨设DA a =，DC b =，1DD c =，则0,0,2c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0B a b ，,,224a b c E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A a c ，2,,033a b N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则13,,224a b c A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，122,,33a b A N c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为1143A N A E =，故1A ，E ，N 三点共线.变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ,F 分别为棱1AA 和1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）..A 不存在 .B 有且只有两条 .C 有且只有三条 .D 有无数条变式2 如图8-170所示，在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB 和CD 的中点，P 为线段MN 的中点，Q 为BCD ∆的重心.求证：,,A P Q 三点共线.二、证明多点共面的方法要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题.先作出从同一点出发的三个向量（如AB ，AC ，AD ），然后证明存在两个实数,x y ，使得AD x AB y AC =+.例8.48 如图8-171所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，1//2BC AD ，1//2BE AF .求证：,,,C D E F 四边共面. 解析 由平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF AB ⊥，平面ABEF 平面ABCD AB =， 得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图8-172所示.设AB a =，BC b =，BE c =，则(),0,0B a ，(),,0C a b ，()0,2,0D b ，(),0,E a c ， ()0,0,2F c .()0,,CE b c =-，()0,2,2DF b c =-，因为2DF CE =，所以//DF CE ，则 ,CE DF 确定一个平面，即,,,C D E F 四点共面.变式 1 如图8-173所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，,,,E F G H 分别是棱11111,,,A D D C C C AB 的中点.求证：,,,E F G H 四点共面.三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线.设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b ，则()//,0a b a b R λλλ⇔=∈≠.例8.49 如图8-174所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段.求证：1//MN BD .解析 以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图8-175所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,A a a ，(),0,0A a ，()0,,0C a ，(),,0B a a ，()10,0,D a .设(),,z MN x y =，由MN 是异面直线1A D 与AC 的公垂线段，得1MN A D ⊥， MN AC ⊥，又()1,0,A D a a =--，(),,0AC a a =-，故100MN A D MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00ax az ax ay --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1z =-，1y =，所以()1,1,1MN =-，()1,,BD a a a aMN =--=-，即 1//BD MN .因此1//MN BD .四、证明直线和平面平行的方法（1）利用共面向量定理.设,a b 为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得l xa yb =+，则//l α.（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.例8.50 如图8-176所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，//AB DC ，E 是DC 的中点.求证：1//D E 平面1A BD .解析 因为11D E DE DD =-，11DD AA =，E 是DC 的中点，12DE DC AB ==，所以111D E AB AA A B =-=.又因为1D E ⊄平面1A BD ，11//D E A B ，所以1//D E 平面1A BD .评注 利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为a ，只要在平面内找到一条直线的方向向量为b ，问题转化为证明a b λ=即可.变式1 如图8-177所示，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是PA 、 BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==.求证：直线//MN 平面PBC .五、证明平面与平面平行的方法（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.例8.51 如图8-178所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.求证：平面//MNP 平面1A BD .解析 解法一：以1D 为坐标原点，11D A 为x 轴，11D C 为y 轴，1D D 为z 轴，建立空间直角坐标系1D xyz -，如图8-179所示.设正方体的棱长为a ，则()1,0,0A a ，()0,0,D a ，()10,,0C a ，()0,,C a a ，()1,,0B a a ，0,,2a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,A D a a =-，11,0,222a a MN A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以1//MN A D ，即1//MN A D ，(),,0BD a a =--，1,,0222a a PN BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以//PN BD ，即//PN BD .因为MN PN N =，1A D BD D =，所以平面//MNP 平面1A BD .解法二：设平面MNP 的法向量为()1111,,n x y z =，由1MN n ⊥，1PN n ⊥，得1111022022a a x z a a x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令11z =，得111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()11,1,1n =-.设平面1A BD 的法向量为()2222,,n x y z =，由12A D n ⊥，2BD n ⊥，得222200ax az ax ay -+=⎧⎨--=⎩，令21z =，得222111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 所以()21,1,1n =-.因为12//n n ，所以平面//MNP 平面1A BD .变式1 如图8-180所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11111,,A D D D D C 的中点.求证:平面//EFG 平面1AB C .六、证明直线与直线垂直的方法设直线12,l l 的方向向量为,a b ，则a b ⊥0a b ⇔⋅=.这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.例8.52 如图8-181所示，四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =.求证：AD CE ⊥.分析 平面ABC ⊥平面BCDE ，在平面ABC 内作AO BC ⊥AO ⇒⊥平面BCDE ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.解析 作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥平面BCDE ，且O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，建立如图8-182所示的直角坐标系O xyz -.设()0,0,A a ，由已知条件知()1,0,0C ，()1,2,0D ，()1,2,0E -，()2,2,0CE =-，()1,2,AD a =-.因为0CE AD=⋅，所以CE AD ⊥。
向量的线性运算与空间几何关系
定义：向量积是一个向量运算，可以用来表示两个向量的垂直关系
性质：向量积满足交换律和结合律，但不符合数乘分配律
几何意义：向量积可以表示一个向量在另一个向量上的投影长度和方向
应用：向量积在解决空间几何问题中有着广泛的应用，例如求点到平面的距离、 判断两直线是否平行或垂直等
向量的混合积与空 间几何关系
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向量的混合积定义：三个向量的混合积是一个标量，记作 ( a × b ) ·c ， 其 值 为 ( a ·c ) × b - ( b ·c ) × a
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几何意义：混合积的几何意义是表示以a、b、c为棱的平行六面 体的体积
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性质：混合积的值为0当且仅当向量a、b、c共面
向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量c，其模长为|c|=|a||b|sinθ，其中θ为 a和b之间的夹角。
向量的向量积方向：向量积的方向与a和b的夹角垂直，即与a和b构成的平面垂直。
向量的向量积几何意义：向量积表示一个向量在另一个向量上的投影面积。
向量的向量积与空间几何关系：向量积可以用于描述空间几何形状，例如旋转、方向等。
性质：向量减法不满足交换律，即a-b≠b-a，除非两向量相等
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定义：两个向量a和b的向量积是 一个向量，其模长等于以a和b为 邻边的平行四边形的面积，方向 垂直于a和b所在的平面，与a和b 都垂直。
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几何意义：向量积可以表示为 两个向量的外积，其几何意义 为一个以a和b为邻边的平行四 边形的有向面积。
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性质：向量积满足反对称性， 即a×b=-b×a。
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运算规则：向量积的运算规则 包括分配律、结合律和数乘性 质等。
空间向量及其运算和空间位置关系 课件
(2) A1 N ； [解] ∵N 是 BC 的中点， ∴ A1 N ＝ A1 A＋ AB＋ BN ＝－a＋b＋12 BC ＝－a＋b＋12 AD＝－a＋b＋12c.
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 _a_1b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0__
模
|a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
__a_21_＋__a_22＋__a_32__ cos〈a，b〉＝
1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 ①空间向量：在空间中，具有_大__小__和_方__向__的量叫做空 间向量． ②相等向量：方向_相__同__且模_相__等_的向量． ③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 _平__行__或__重__合_的向量． ④共面向量：_平__行__于__同__一__个__平__面_的向量．
又∵| AN |＝| MC |＝ 23a， ∴ AN ·MC ＝| AN || MC |cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22， ∴cos θ＝23， ∴向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM所成角的余弦值为23.
空间向量数量积的三个应用
(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cos
2．空间位置关系的向量表示
位置关系
直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2 直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别 为n，m
第六节 空间向量及其运算和空间位置关系
直线 l 的方向向量为 n ，平面 α 的法 l∥α
n ⊥m ⇔ n ·m ＝0
向量为 m
l⊥α n ∥m ⇔ n ＝km (k∈R )
平面 α，β 的法向量分别为 n ，m
α∥β α⊥β
n ∥m ⇔n ＝km (k∈R ) n ⊥m ⇔ n ·m ＝0
谨记结论·谨防易错
(1)在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C (其中
∴mn－＋21＝＝－3λλ，， －2＝λ，
解得λm＝＝－－27，， n＝4.
∴m＋n＝－3.
答案：－3
3．如图所示，已知斜三棱柱 ABC -A1B1C1，点 M，N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足―AM→＝k―A→C1，―B→N ＝k―B→C (0≤k≤1)．判断 向量―M→N 是否与向量―A→B ，―AA→1 共面． 解：∵―AM→＝k―A→C1，―B→N ＝k―B→C ， ∴―M→N ＝―M→A ＋―A→B ＋―B→N ＝k―C→1A＋―A→B ＋k―B→C ＝k(―C1→A ＋―B→C )＋―A→B ＝ k(―C1→A ＋B―1→C1)＋―A→B ＝k―B→1A＋―A→B ＝―A→B －k―A→B1＝―A→B －k(―AA→1 ＋―A→B )＝ (1－k)―A→B －k―AA→1 ， ∴由共面向量定理知向量―M→N 与向量―A→B ，―AA→1 共面．
命题点二 共线、共面向量定理的应用(自主练通)
[题组练透]
1．O 为空间任意一点，若―O→P ＝34―O→A ＋18―O→B ＋18―O→C ， 则 A，B，C，P 四点(
)
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面
D．无法判断
解析：因为―O→P ＝34―O→A ＋18―O→B ＋18―O→C ，且34＋18＋18＝1.所以 P，A，B，C 四
第六节 空间向量及其运算和空间位置关系
[备考领航]
课程标准解读
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标 表示点的位置；会推导空间两点间的距离公 式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基 本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解 及其坐标表示． 3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 4．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 5．理解直线的方向向量与平面的法向量． 6．能用向量语言表述直线与直线、直线与平 面、平面与平面的垂直、平行关系． 7．能用向量方法证明有关直线和平面关系的 一些定理
2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B除空间向量基本定理外也可通过证 明下列结论成立来证明四点共面： (1)―M→P ＝x―M→A ＋y―M→B ； (2)对空间任一点O，―O→P ＝―OM→＋x―M→A ＋y―M→B ；
(3)―PM→∥―A→B (或―P→A ∥―M→B 或―P→B ∥―AM→)．
②两向量的数量积：已知空间两个非零向量 a，b，则 |a||b|cos〈a， b〉叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c)＝a ·b ＋a ·c.
[提速度] 1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且―A―1O→
＝23―A―1C→，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明：如图，连接 AO，AC1，A1C1. ∵―A―1O→＝23―A―1C→， ∴―A→O ＝―AA→1 ＋―A―1O→＝―AA→1 ＋23―A―1C→＝―AA→1 ＋ 23(―A1→A ＋―A→C )＝13―AA→1 ＋23―A→C . ∵―A→C ＝2―AM→， ―AA→1 ＝―A―C→1 ＋―C―1A→1 ＝―A―C→1 －―A→C ＝―A―C→1 －2―AM→， ∴―A→O ＝13(―A―C→1 －2―AM→)＋43―AM→＝13―A―C→1 ＋23―AM→. ∵13＋23＝1，∴C1，O，M 三点共线．
最新教案：空间向量及其运算和空间位置关系
空间向量及其运算和空间位置关系(理)一、空间向量及其有关概念二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．[基础自测]1．已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( ) A ．a ∥c ，b ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面， 则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底．3．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 可判断①②③正确．4．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，OE ＝12OA ＋12OD＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2＝3，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．答案：①②[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .[自主解答] 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c . 变式练习1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 变式练习2.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)连接BG ，则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .[例3] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .变式练习3．如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .课后练习A 组1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM ＝1BB ＋1B M ＝1AA ＋12(AD －AB )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ·BC ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 5．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°，且|AB |＝1，|AD |＝2，|1AA |＝3，则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1AC ＝a ＋b ＋c ， 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|1AC |＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM ＝2OA －OB －OC ；②OM ＝15OA ＋13OB ＋12OC ；③MA ＋MB ＋MC ＝0；④OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0.解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)， 又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y )， 由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB ―→·1B E ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP ，AE 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)， P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP ＝(0,0，a )，AE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a2. 由cos 〈DP ，AE 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)． 答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形． ∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12.设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12，∴AE ·CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1.又AE ·PD ＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB . 法二：AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD ＝33n .∵PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD ∥平面ABE ； (2)求证：AC ⊥BE .证明：(1)如图1，设M 为BC 的中点，连接DM 、MF .∵F 为AC 的中点，M 为BC 的中点，∴MF ∥AB .又∵BM 綊DE ，∴四边形BMDE 为平行四边形，∴MD ∥BE . ∵MF ∩MD ＝M ，AB ∩BE ＝B ， ∴平面DFM ∥平面ABE .又∵PD ⊂平面DFM ，FD ⊄平面ABE ， ∴FD ∥平面ABE .(2)在矩形ABCD (如图2)中，连接AC ，交BE 于G .BE ·AC ＝(BA ＋AE )·(AB ＋BC ) ＝－AB 2＋AE ·BC ＝－36＋36＝0. ∴AC ⊥BE .∴在图3中，AG ⊥BE ，CG ⊥BE .又∵AG ∩GC ＝G ， ∴BE ⊥平面AGC .又∵AC ⊂平面AGC ，∴AC ⊥BE .12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)设点E 在棱PC 上，PE ＝λPC ，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ＝(－1，－3，0)，PC ＝(－3，3，－a )，∵BD ·PC ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ＝(0，3，0)，DP ＝(0,0，a )，PA ＝(1,0，－a )，PC ＝(－3，3，－a )，∵PE ＝λPC ，∴PE ＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE ＝DP ＋PE ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎨⎧ AB ·n ＝0，PA ·n ＝0， 即⎩⎨⎧3y ＝0，x －az ＝0. 令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)，∵DE ∥平面P AB ，∴DE ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14. B 组1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎨⎧ n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)． 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .。
高三数学课时作业：第7章第6节空间向量及其运算和空间位置关系
课时作业一、选择题1．（2014·大同月考）若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n，能使l∥α的是( ）A．a＝(1,0，0），n＝（－2，0，0)B．a＝(1,3，5)，n＝（1，0,1）C．a＝(0，2,1)，n＝（－1，0，－1）D．a＝(1，－1,3）,n＝(0，3,1)D ［若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1,只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.]2．已知a＝(2，－1，3），b＝(－1,4，－2)，c＝(7，5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( ）A.错误! B。
错误!C。
607D.错误!D ［由题意得c＝t a＋μb＝（2t－μ,－t＋4μ,3t－2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ。
∴错误!]3．如图所示,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若错误!＝a ,错误!＝b ，错误!＝c ，则下列向量中与错误!相等的向量是( )A ．－错误!a ＋错误!b ＋c B.错误!a ＋错误!b ＋c C ．－12a －错误!b ＋c D.错误!a －错误!b ＋cA [错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!） ＝c ＋错误!（b －a )＝－错误!a ＋错误!b ＋c 。
］ 4．（2014·晋中调研）如图所示,已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ,且∠AOB ＝∠AOC ＝错误!，则cos 〈错误!，错误!〉的值为 ( ）A ．0B 。
错误! C.错误!D 。
错误!A [设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，由已知条件〈a，b>＝〈a，c〉＝错误!,且｜b｜＝|c|,错误!·错误!＝a·（c－b)＝a·c－a·b＝错误!｜a||c｜－错误!|a|｜b｜＝0，∴cos〈错误!，错误!〉＝0.] 5．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量错误!、错误!、错误!两两的夹角均为60°，且|错误!|＝1，｜错误!｜＝2，错误!｜＝3,则|错误!｜等于( ）A．5 B．6C．4 D．8A ［设错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c，则错误!＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，错误!因此｜错误!|＝5。
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B．a∥b，a⊥c D．以上都不对
解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a· b＝0，
故a⊥b.
答案：C
2．(2012· 济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则
下列各项中，能构成基底的一组向量是
[知识能否忆起] 一、空间向量及其有关概念
语言描述 平行 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线____ (平行向量) 或重合 ．
共面向量 平行于 同一平面 的向量． 共线向量 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔ 定理 存在λ∈R，使 a＝λb.
语言描述 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共 共面向 xa＋ 面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝_____ 量定理 yb . (1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对 空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得 空间向 p＝ x a＋y b＋z c ． 量基本 (2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则 定理 对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、 z使 OP ＝x OA＋yOB ＋z OC 且x＋y＋z＝ 1 .
平面 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与_____
垂直 的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它 们是 共线 向量． (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以 向量a为法向量且经过点A的平面是 唯一的 ．
[小题能否全取]
1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以
图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形 法则．
1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对 角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC 的中点，点G在线段MN上，且 MG ＝2 GN ， 若 OG ＝x OA＋y OB ＋z OC ，则x，y，z的值分 别为________．
1 1 1 ∴x，y，z的值分别为 ， ， . 6 3 3 1 1 1 答案： ， ， 6 3 3
共线、共面向量定理的应用
[例2]
如右图，已知平行六面体
ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、 H分别是棱A′D′、D′C′、C′C 和AB的中点，求证E、F、G、H四点 共面．
[自主解答] 取 ED ＝a， EF ＝b， EH ＝c，则 HG ＝ 1 HB ＋ BC ＋ CG ＝ D F ＋2 ED ＋ AA 2
1 1 ＝b－a＋2a＋ ( AH ＋ HE ＋ EA )＝b＋a＋ (b－a－c 2 2 －a)
3 1 ＝ b－ c，∴ HG 与b、c共面．即E、F、G、H四点 2 2
共面．
应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、
点共面的方法比较： 三点(P，A，B)共线 PA＝λ PB 且同过点P 对空间任一点O， OP ＝ OA＋t AB 对空间任一点O， OP ＝ x OA＋(1－x) OB 空间四点(M，P，A，B)共面 MP ＝x MA＋y MB 对空间任一点O， OP ＝ OM ＋x MA＋y MB 对空间任一点O， OP ＝xOM ＋ y OA＋(1－x－y) OB
可构成空间向量的一组基底． 答案：C
3．(教材习题改编)下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有 AB ＋ BC ＋ CD ＋ DA＝0； ②若 MP ＝x MA＋y MB ，则M、P、A、B共面；
③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面． 其中正确的个数为 ( )
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α 内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方
n· a＝0， 程组为 n· b＝0.
空间向量的线性运算
如图，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中G为△A1BD的重心，设 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，试用a，b，c表 示 AC1 ， AG . [例1]
由共面向量定理知： E、F、G、H 四点共面． (2)因为 EH ＝ AH － AE 1 1 1 1 ＝ AD － AB ＝ ( AD － AB )＝ BD ， 2 2 2 2
又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH.
A．0
C．2 解析：可判断①②③正确． 答案：D
B．1
D．3
4．在四面体O－ABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，D为 BC的中点，E为AD的中点，则 OE ＝________(用a，
b，c表示)．
1 1 解析：如图， OE ＝ OA ＋ OD 2 2
向量和 向量差 数量积
共线
垂直 夹角 公式
a∥b⇒ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a⊥b⇔__________________
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 a2＋a2＋a3 b2＋b2＋b2 1 2 1 3
三、平面的法向量
1 2 解析：∵ OG ＝ OM ＋ MG ＝ OA ＋ MN 2 3
1 2 ＝ OA＋ ( ON － OM ) 2 3 1 2 2 ＝ OA＋ ON － OM 2 3 3 2 1 1 2 1 ＝ OA＋ × ( OB ＋ OC )－ × OA 2 3 2 3 2 1 1 1 ＝ OA＋ OB ＋ OC 6 3 3
2.已知E、F、G、H分别是空间四边形
ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
用向量方法，求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明：(1)连接 BG，则 EG ＝ EB ＋ BG 1 ＝ EB ＋ ( BC ＋ BD ) 2 ＝ EB ＋ BF ＋ EH ＝ EF ＋ EH ，
本例条件不变，设 A1C1 与 B1D1 交点为 M，试 用 a，b，c 表示 MG . 解：如图， MG ＝ MA1 ＋ A1G 1 1 ＝－ ( A1 B1 ＋ A1 D1 )＋ ( A1 D ＋ A1 B ) 2 3 1 1 1 1 ＝－ a－ b＋ ( AD － AA1 )＋ ( AB － AA1 ) 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 ＝－ a－ b＋ b－ c＋ a－ c 2 2 3 3 3 3 1 1 2 ＝－ a－ b－ c 6 6 3
1 1 1 ＝ OA＋ OB ＋ OC 2 4 4
1 1 1 ＝ a＋ b＋ c. 2 4 4
1 1 1 答案： a＋ b＋ c 2 4 4
5．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①( A1 A ＋ A1 D1 ＋ 2 2 ( A1 B1 ) ＝3 A1 B1 ；② A1C ·A1 B1 － A1 A )＝0；③向量 AD1 与向量 A1 B 的夹角是60° ；④正方体ABCD－A1B1C1D1的 体积为| AB · AA1 · AD |.其中正确命题的序号是
A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
(
)
D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析：若c、a＋b、a－b共面， 则c＝λ(a＋b)＋m(a－ b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，
b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积 (1)a· b＝|a||b|cos〈a，b〉； b＝0 (a，b为非零向量)； (2)a⊥b⇔ a·
(3)|a|2＝ a2 ，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) (a1＋b1，a2＋b2，a3＋3) a＋b＝_______________________ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a－b＝______________________ a· a1b1＋a2b2＋a3b3 b＝________________
利用空间向量证明平行或垂直
[例3]
(2012· 湖南模拟)已知AB⊥
平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为 等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2
AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE.
[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x轴，AB所在的直 线为z轴，过点A且垂直于AC的直 线为y轴，建立如图所示的空间直 角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)， D(a， 3a,0)，E(a， 3a,2a)．
________． 2 解析：设正方体的棱长为1，①中( A1 A ＋ A1 D1 ＋ A1 B1 ) 2 ＝3 A1 B1 ＝3，故①正确；②中 A1 B1 － A1 A ＝ AB1 ，由于
AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角 为60° ，但 AD1 与 A1 B 的夹角为120° ，故③不正确；④中 AA AD 答案：①② | AB · 1 · |＝0.故④也不正确．
[自主解答] AC1 ＝ AB ＋ BC ＋ CC1 ＝ AB ＋ AD ＋ AA1
＝a＋b＋c. AG ＝ AA1 ＋ A1G 1 ＝ AA1 ＋ ( A1 D ＋ A1 B ) 3 1 1 ＝ AA1 ＋ ( AD － AA1 )＋ ( AB － AA1 ) 3 3 1 1 1 ＝ AA1 ＋ AD ＋ AB 3 3 3 1 1 1 ＝ a＋ b＋ c. 3 3 3