2016年春新人教A版高二数学必修5教案：3.2一元二次不等式及其解法

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人教A版高中数学必修五一元二次不等式及其解法教案(1)

教学要求：正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程. 教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法.教学难点：理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ===-二、讲授新课：1、教学不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”⑤ 简单的无理不等式的解法的关键是将无理不等式化为有理不等式。

2、教学例题：① 出示例1：求不等式244150x x --≤的解集.（解方程 → 给出图象 →学生板演）② 变式训练：求不等式244150x x -->的解集.③ 变式训练：求不等式244150x x -+->的解集.④ 出示例2：求不等式223x x -+<（方程的解→函数草图→观察得解）⑤ 出示例3：已知220ax x c ++>的解集为1132x -<<，试求,a c 的值，并解不等式220cx x a -+->（将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来）⑥ 变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.3、小结：不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集情况，解一元二次不等式的三步曲.三、巩固练习：1、求不等式2610x x --≤的解集.2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________3、作业：教材P90 1、4题.教学要求：掌握一元不等式的解法；经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；能应用一元二次不等式解决一些实际问题.教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.教学难点：一元二次不等式的应用.教学过程：一、复习准备：1、解不等式：23520x x +->二、讲授新课：1、教学不等式的应用以及在实际问题中的应用① 应用范围：求定义域；集合运算；不等式恒成立；根的分布；实际应用问题.② 在求定义域的过程中结合了分数不等式、无理不等式、高次不等式等的解法,③ 解含参数的不等式问题，注意对不等式所对应的方程根的情况进行观察，同时要注意对参数的分类讨论.④ 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组进而求解.⑤ 解一元二次不等式应用问题，需遵循以下四个步骤：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答2、教学例题：① 出示例1：求函数21()56f x x x =-+的定义域. （教师讲思路→学生板演→小结方法）② .③ 出示例2：m 为何值时，方程2(3)0x m x m +-+=有实数解.（∆0≥还是0∆<→一元二次不等式问题→小结方法）④ 变式训练：m 为何值时，关于x 的方程2(1)2(21)(13)0m x m x m ++++-=（1）有两个相异实根；（2）有两个根，且它们之和为非负数.⑤ 出示例3：国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m 吨。

人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 －＋＋＋ x －2 －－＋＋ x －3 －－－＋(x －3)(x －2)·(x －1) －＋－＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}．一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}；当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项调整前调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立．当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0，即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0，解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0，即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二设lg x －1＝t ，则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三解方程lg x －1＝3－lg x ，解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数．且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )，则10≤x ≤100.方法四令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )．即lg x －1≤3－lg x 成立．由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2，解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x 0，a －21，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法教案(一)新人教A版必修5

3.2 一元二次不等式及其解法第1课时教学过程推进新课师因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？师在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？它的对应值表与图象如下：x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0 1 2 3由对应值表与图象（如上图）可知：当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；当x ＜3.5时，y ＜0，即2x-7＜0；当x ＞3.5时，y ＞0，即2x-7＞0.师一般地，设直线y=a x+b 与x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程a x+b =0的解是x 0；（2）①当a ＞0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＞x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＜x 0}.②当a ＜0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＜x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＞x 0}.师在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？生函数图象与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x 轴上方(下方)部分对应的横坐标.a ＞0a ＜0一次函数 y=a x+b (a ≠0)的图象一元一次方程a x+b =0的解集 {x|x=a b -} {x|x=a b -} 一元一次不等式a x+b ＞0的解集 {x|x ＞a b-}{x|x ＜a b-}一元一次不等式a x+b ＜0的解集{x|x ＜ab-}{x|x ＞ab-}师在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？生当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6由对应值表与图象（如上图）可知：当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.这就是说，若抛物线y=x 2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.［教师精讲］由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}.（2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=ab2-,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠ab 2-}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.(3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.Δ=b 2-4ac Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函数y=a x 2+b x+c (a ＞0)的图象a x 2+b x+c =0的根ab x 22.1∆≡±-=x 1=x 2=ab 2-∅a x 2+b x+c ＞0的解集 {x|x ＜x 1或x ＞x 2} {x|x≠ab 2-} Ra x 2+b x+c ＜0的解集 {x|x 1＜x ＜x 2}∅ ∅对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.［知识拓展］【例1】解不等式2x 2-5x-3＞0.生解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-21,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜21-，或x ＞3}.【例2】解不等式-3x 2+15x ＞12.生解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.【例3】解不等式4x 2+4x+1＞0.生解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x 1=x 2=21-.所以不等式的解集是{x|x≠21-}.【例4】解不等式-x 2+2x-3＞0.生解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是∅.师由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？生归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0).（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎨⎧≠.,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，⎪⎩⎪⎨⎧==∅∈≠.,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数则＞若③Δ＜0时，方程无解，⎩⎨⎧∅∈≤∈.,0;,0x y R x y 则若则＞若（3）写出解集.师说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.［学生活动过程］［方法引导］上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.课堂小结1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.布置作业1.完成第90页的练习.2.完成第90页习题3.2第1题.板书设计一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒体演示区一元二次不等式概念一元二次不等式解题步骤例题3.2 一元二次不等式的解法第2课时教学过程推进新课师因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7 110＞0的问题.因为Δ＞0,方程x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式的解集为{x|x＜-88.94或x＞79.94}.在这个实际问题中x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.师【例2】一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？生设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x＞6 000.移项、整理得x2-110x+3 000＜0.［教师精讲］因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.［知识拓展］【例3】解不等式(x-1)(x+4)＜0.思路一：利用前节的方法求解.思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组⎩⎨⎧+-04,01＜＞x x 与⎩⎨⎧+-0401＞＜x x 的解集的并集，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-0401＜＞x x x {∅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-0401＞＜x x x U ∪{x|-4＜x ＜1}={x|-4＜x ＜1}.书写时可按下列格式：解：∵(x -1)(x+4)＜0⇔⎩⎨⎧+-0401＜＞x x 或⎩⎨⎧+-0401＞＜x x ⇔x∈∅或-4＜x ＜1⇔-4＜x ＜1，∴原不等式的解集是{x|-4＜x ＜1}.思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）x+4 - + + x-1 - - + (x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.点评：此法叫区间法，解题步骤是：①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分……②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0.解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为-2，1，3；③列表如下：（-∞，-2）（-2，1）（1，3）（3，+∞）x+2 - + + +x-1 - - + +x-3 - - - + 各因式积- + - +④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}.思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y ＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”；②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.这种方法叫数轴标根法.练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）.教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0；②求得相应方程的根为-1，0，2，3；③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.［合作探究］师【例4】解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或2＜x ＜3}.说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根.∴在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.【练习3】解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3；③在数轴上表示各根并穿线，如右图：④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.［教师精讲］师由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如073＜+-x x ，0322322≤--+-x x x x 等都是分式不等式.师分式不等式的解法.由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x ，不等式两边同乘以一个含x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式.【例5】解不等式：073＜+-x x .解法一：化为两个不等式组来解.∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧+-0703＜＞x x 0或⇔⎩⎨⎧+-0703＞＜x x x∈∅或-7＜x ＜3-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}. 解法二：化为二次不等式来解.∵073＜+-x x ⇔⎩⎨⎧≠++-070)7)(3(x x x ＜⇔-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}.点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.【例6】解不等式：0322322≤--+-x x x x .解法一：化为不等式组来解(较繁).解法二：∵0322322≤--+-x x x x ⇔⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠--≤--+-0320)32)(23(222x x x x x x ∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}.练习：解不等式253＞+-x x .答案：{x|-13＜x ＜-5}.［方法引导］讲练结合法通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神.课堂小结1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.2.求解一般的高次不等式的解法.特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。

高中数学必修5第三章3.2一元二次不等式式及其解法

≤

3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
思考题1
已知ax2 +2x
+c
>
0的解集为禳镲睚x
-
1
<
x
<
1
,
镲铪 3 2
试求a, c的值，并解不等式 - cx2 +2x - a > 0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
练习2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式可化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
一元二次不等式及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
2a
韦达定理
x1

x2

b a
,
x1x2

c a
(2)二次函数
y ax2 bx c(a 0)
开口方向；
b 对称轴 x

人教版高中数学必修5导学案 3.2一元二次不等式及其解法(1)

3.2 一元二次不等式及其解法(1)【学习目标】1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式. 【重点难点】1．重点：一元二次不等式的解法。

2．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系学习过程：【学习过程】一、自主学习：任务1:①形如或不等式叫一元二次不等式其中 ②抛物线 y = ax 2+ bx + c 的与x 轴交点是相应方程ax 2+ bx + c=0的 ③一元二次不等式解法及步骤：完成下列表格设2()(0),f x ax bx c a =++>△>0△=0△<0f(x)>0f(x)<0判别式函数y=f(x)的简图不等式的解集方程f(x)=0的解任务2:1、判断下列不等式中哪些是一元二次不等式.22221(1)13(2)3(3)lg(2)4(4)1x x x x x x x x +>-+<-->≤2、解下列不等式222(1)2310(2)440(3)2650x x x x x x -+>++>-+<二、合作探究归纳展示探究1探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A 每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B 的收费原则为:在第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算). 如何选择?归纳：这是一个关于x 的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.0∆>0∆=0∆<二次函数 2y ax bx c =++（0a >）的图象一元二次方程()20ax bx c a ++=>的根20(0)ax bx c a ++>>的解集20(0)ax bx c a ++<>的解集三、讨论交流点拨提升例1 求不等式2230x x -+->的解集.变式：求下列不等式的解集.（1）2230x x +->；（2）2230x x -+-≤.例2 求不等式24410x x -+>的解集.小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集. 四、学能展示课堂闯关知识拓展（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为00a >⎧⎨∆<⎩（2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为00a <⎧⎨∆<⎩1. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解 2. 关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（）.A ．14c D ．14c ≥ 3. 在下列不等式中，解集是∅的是（）.A ．22320x x -+>B ．2440x x ++≤C ．2440x x --<D ．22320x x -+-> 4. 不等式230x x -<的解集是 5. 221218y x x =-+-的定义域为 .五、学后反思解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a >）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集. 【课后作业】1. 求下列不等式的解集（1）23100x x -->；（2）2450x x -+<.2.若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.。

高二人教A版必修5系列教案：一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法（1）三維目標：一、知識與技能1、經歷從實際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程；2、通過函數圖象瞭解一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的聯繫（即“三個二”）；3、會求解一元二次不等式，並從解法中歸納設計求解的程式框圖。

二、過程與方法1、採用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發式教學；2、通過師的引導，充分發揮學生的主體作用，作好探究性實驗；3、理論聯繫實際，激發學生的學習積極性。

三、情感態度與價值觀1、通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想；2、通過研究函數、方程與不等式間的內在聯繫，使學生從中認識到事物間是相互聯繫、相互轉化，密不可分的觀點。

教學重點：1、從實際問題中抽象出一元二次不等式的模型；2、圍繞一元二次不等式的解法展開探究，熟練掌握數形結合的思想與方法。

教學難點：“三個二次”間的相互轉化的能力培養。

教具準備：多媒體及課件、三角板。

教學過程：一、創設問題情境，導入新課（投影問題）教材P85互聯網的收費問題從實際情境中抽象出一元二次不等式模型：教師引導學生分析問題、解決問題，最後得到一元二次不等式模型：250x x -< (1)二、新授課1、一元二次不等式的定義形如250x x -<，只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式2、探究一元二次不等式250x x -<的解集問題：怎樣求不等式（1）的解集呢？引導學生回顧以前過的一元一次不等式與一元一次方程、一次函數的關係。

進而探究：一元二次不等式與一元二次方程、二次函數間又有類似的關係？方程的根與函數的零點：方程有實數根⇔函數的圖象與軸有交點⇔函數有零點（1）二次方程的根與二次函數的零點的關係易知：二次方程的有兩個實數根：120,5x x ==二次函數有兩個零點：120,5x x ==於是，我們得到：二次方程的根就是二次函數的零點。

人教A版高中数学必修五 3-2 一元二次不等式及其解法教案精品

3.2 一元二次不等式及其解法一、教学目标：知识与技能：1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.过程与方法：采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;情感、态度与价值观：通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.二．重点难点重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.三、教材与学情分析由具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的一元二次不等式关系并鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，及数形结合思想，感受函数思想在解决二次不等式的作用。

激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，激发学生的学习兴趣.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境：春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。

现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？分析可得如下数学模型：设与墙平行的栅栏长度为x（0<x<20）则依题意得：整理得：x2师生活动：针对问题情境，在教师的引导下，展开课堂讨论，分析得出以上数学模型。

设计意图：舍弃课本上枯燥的收费问题，换用一个鲜活的实例吸引学生的注意力，激发学习兴趣，以便顺利导入新课。

（2）观察归纳，形成概念观察式子：x2-20x+84≤0抢答竞赛：（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

高中数学人教A版必修五3.2教学设计《一元二次不等式及其解法》

《一元二次不等式及其解法》1、知识与技能（1）从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；（2）应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；（3）能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来。

2、过程与方法通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来。

3、情感态度与价值观培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

（一）新课导入某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2。

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39。

5m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到1km/h ，28521≈168。

882)分析：根据题意，得120x ＋1180x 2>39。

5，移项整理，得x 2＋9x －7110>0。

这是什么？如何求解呢？（二）新课讲授考察下面含未知数x 的不等式：15x 2+30x －1>0 和 3x 2+6x －1≤0。

这两个不等式有两个共同特点：（1）含有一个未知数x ；（2）未知数的最高次数为2。

一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。

一元二次不等式f (x )>0，或f (x )<0 (a ≠0)的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合。

一元二次方程f (x )=0 (a ≠0)的解集，就是使二次函数f (x )为零时自变量x 的取值的集合。

人教版高中数学必修(五)3.2一元二次不等式及其解法教案(5)

3.2一元二次不等式及其解法
教学目标：进一步理解三个一元二次之间的关系，掌握一元二次不等式解的逆向问题。

会解一些简单的含参数的一元二次不等式．通过函数图象了解一元二次不等
式与相应函数、方程的联系。

重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

一、新课讲授
1．一元二次不等式：
３．思考：当a<0时呢？二、例题讲解
1）例1、例2讲解
跟踪练习P80 1）2）1、解下列不等式
(1).1<x2－3x+3≤7
(2)
+4
-1
x
x
>0 (3) x4-x2-6≥0
2)、例3、例4讲解
跟踪练习
2．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗? 当长、宽分别为多
少米时, 所围成矩形的面积最大?
3．某小型服装厂生产一种风衣, 日销货量x件与货价P元/件之间的关系为P=160－2x ,
生产x件所需成本为C=500+30x元. 问: 该厂日产量多大时, 日获利不少于1300元？
三、巩固提高
1．不等式x2+2x-m>0恒成立，则m取值范围为
2．函数的定义域为
3．函数y=lg(-x2+5x+24)的值小于１，则x的取值范围为
4．分别求m的取值范围, 使方程x2－mx－m+3=0 的两根满足下列条件:
(1)两根都大于－5 ;
(2)一根大于0小于1 , 一根大于1小于2 .
四、课堂小结
五、作业布置。

2016年高二人教A版必修5系列教案：3.2一元二次不等式及其解法

一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.［例题剖析］例1解下列不等式（1）022<--x x （2）01652<-+-x x（3）0122<-+-x x （4）0962≤+-x x（5）01062≤++x x （6）0222<---x x 课本80页练习例2已知不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131|x x 试解不等式022>-+-a x cx变式：已知的大小）与（）比较（的值）求（的正负）确定（）的解集是（）（且)7(f 5f 3ab -c 2a 14,20f ,)(2-<++=x c bx ax x f。

高中数学必修五教案-3.2 一元二次不等式及其解法(11)-人教A版

3.2一元二次不等式及其解法【教学目标】1、知识与技能目标：从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来；2 、过程与方法目标：通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来；3 、情感、态度与价值观目标：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规律，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

【教学重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

．【教学过程设计】练习：(1) 解不等式30+7x -2x 2<0解析：原不等式即2x 2-7x -30>02x 2-7x -30=0的两根为x 1=-25,x 2=6原不等式的解集为{x |x <-25或x >6} 答案：原不等式的解集为{x |x <-25或x >6}(2) 解不等式3x 2-5x +4>0；解析：Δ=25-48<0,故不等式解集为R 答案：不等式解集为R(3) 解不等式6x 2+x -2≤0解析：方程6x 2+x -2=0的二根为x 1=-32,x 22原不等式的解集为{x |-32≤x ≤21} 答案：原不等式的解集为{x |-32≤x ≤21}(4)．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为．解析：法一：∵(2)(4)0x x --<即2680x x -+->的解集为11{| }24x x or x ><， ∴不妨假设1,6,8a b c =-==-，则20cx bx a ++<即为28610x x -+-<，解得11{|}42x x <<．法二：由题意：00364188a cb b ac c a a c ⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴20cx bx a ++<可化为20b a x x c c ++>即231048x x -+>，解得11{| }24x x x ><或．答案：11{| }24x x x ><或（5）．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件.假若定价上涨成x ，成即（注：10xx )100≤<x ，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍．若x y 32= ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．[解析]：该商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是元，件，元，npz yn x p )101()101(-+因而有：的条件下，在x y y x z y n x p npz 32),10)(10(1001)101()101(=-+=⇒-⋅+=.501)3210)(10(1001<<>-+=x xx z 解得：由答案： 50<<x（6）．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤，（1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．解析：{|12}A x x =≤≤，当1a >时，{|1}B x x a =≤≤；当1a =时，{1}B =；当1a <时，{|1}B x a x =≤≤．（1）若A B ⊂≠，则122a a a >⎧⇒>⎨>⎩；（2）若B A ⊆，当1a =时，满足题意；当1a >时，2a ≤，此时12a <≤；当1a <时，不合题意．所以，a 的取值范围为[1,2)．答案：a 的取值范围为),2(+∞ ；a 的取值范围为[1,2)．。

高中数学必修五教案-3.2 一元二次不等式及其解法(3)-人教A版

教师对学生的回答进行评价并作适当整理。规范分类讨论解答题的步骤。
学生归纳分类讨论的依据和二次项系数不含参数的一元二次不等式的解法。
教师先让学生思考，然后逐步引导学生得到解题思路，通过小组合作探究，完成题目。
教师课堂巡视，对学生进行个别指导。
展示学生的探究成果，并由学生讲解解题过程。
教师对学生的回答进行评价并作适当整理。规范分类讨论解答题的步骤。
（2）在求解过程中遇到了什么困难？
（3）怎么解决这一困难？
例.解关于x的不等式：
(3)ax2+(a-2)x-2>0 (a∈R)
(4)ax2+(a+2)x+1>0 (a∈R)
思考：
（1）这两个题与前边的两个题有什么重要区别？这一区别给题目带来怎样的改变？
（2）能否按照解不含参数的一元二次不等式的方法求解？
设计意图
师生活动
教
学
过
程
教
学
过
程
一、预习检测
1.解一元二次不等式的方法是什么?
2.解下列不等式：
（1）x2-6x-7<0
(2) -x2+2x-3>0
二、探究学习
例.解关于x的不等式：
（1）x2+(a-1)x-a>0 (a∈R)
（2）2x2+ax+2>0 (a∈R)
思考：
（1）能否按照解不含参数的一元二次不等式的方法求解？
（3）在求解过程中遇到了什么困难？
（4）怎么解决这一困难？
三、解题反思：
1.解决不含参数的一元二次不等式与含参数的一元二次不等式在思路方法上有什么联系和区别？
2.解含参数的一元二次不等式需要对参数进行哪几方面的讨论？还需要注意什么问题？

高二数学人教A版必修5教学教案3-2一元二次不等式及其解法(3)Word版含解析

课题：一元二次不等式及其解法教学目标：1、知识与技能目标：（1）理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系.（2）熟练掌握一元二次不等式的解法.（3）掌握含参数的一元二次不等式的解法.（4）培养学生数形结合的能力，掌握分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重难点：1、一元二次不等式的解法及其步骤.2、含参数的一元二次不等式的解法.教学方法：情景教学法、问题教学法、引探式教学法等。

教学过程：一、一元二次不等式的概念观察下列不等式：(1)-x2>0；(2)－x2+2x≤0；(3)x2－5x-6>0.问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？共同点：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.注意事项1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.二、一元二次不等式的解法[提出问题]已知：一元二次函数y＝x2－5x，一元二次方程x2－5x＝0，一元二次不等式x2－5x＞0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标提示：(0,0)、(5,0)问题2：一元二次方程根是什么？提示：x1＝0，x2＝5.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？提示：交点的横坐标为方程的根．问题4：观察二次函数图象，x 满足什么条件，图象在x 轴上方？提示：x ＞5或x ＜0.问题5：能否利用问题4得出不等式x 2－5x ＞0，x 2－5x ＜0的解集？提示：能，不等式的解集为{x |x ＞5或x ＜0}，{x |0＜x ＜5}． [探索新知]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0对应的方程ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c >0(a >0) 的解集 { x |x <x 1或x >x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0) 的解集{}x|x 1<x<x 2∅ ∅典型例子[例1] 解下列不等式：（1）x 2-4x ＋3＞0；（2）x 2－4x －5≤0；（3）－12x 2＋3x －5＞0；（4）－2x 2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝42－4×1×3＝4＞0，所以方程x 2-4x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝1 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞3，或x ＜1}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. 解一元二次不等式的一般步骤：(1)计算相应一元二次方程的判别式；(2)根据判别式说明方程有没有实根，如果有，求出相应的一元二次方程的根。

(高中数学教案)高二人教a版必修5系列教案：3.2一元二次不等式及其解法2

§3.2 一元二次不等式及其解法（1）第 05 周星期 3 第 23 课时【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图像法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法；3．情感态度与价值观：激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想.【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法. 【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系. 【教学过程】（一）课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：（互联网的收费问题）上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司（ISP ）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用.某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP 公司可供选择.公司A 每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B 的收费原则如下图所示,即在用户上网的第1小时内（含恰好1小时,下同）收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算）.一般来说,一次上网时间不会超过17小时,所以,不妨设一次上网时间总小于17小时.那么,一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A 的上网费用小于或等于选择公司B 所需费用？分析问题：假设一次上网x 小时,则公司A 收取的费用为1.5x （元）,公司B 收取的费用为20)35(x x -（元）,如果能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少,则x x x 5.120)35(≥-,整理得：一元二次不等式模型：052≤-x x ………… ①（二）讲授新课1、一元二次不等式的定义象052≤-x x 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.2、探究一元二次不等式052≤-x x 的解集怎样求不等式052≤-x x 的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==,二次函数有两个零点：120,5x x ==.于是,我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点. （2）观察图象,获得解集画出二次函数25y x x =-的图象,如图,观察函数图象,可知：当 x < 0,或x > 5时,函数图象位于x 轴上方,此时,y > 0,即250x x ->；当0 < x < 5时,函数图象位于x 轴下方,此时,y < 0,即250x x -<；所以,不等式052≤-x x 的解集是}50|{≤≤x x ,从而解决了本节开始时提出的问题. （3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式：c bx ax ++2> 0（a > 0）或c bx ax ++2< 0（a > 0）,怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以下两点：（1）抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程c bx ax ++2= 0的根的情况；（2）抛物线=y c bx ax ++2的开口方向,也就是a 的符号. 总结讨论结果：（1）抛物线 =y c bx ax ++2（a > 0）与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程 c bx ax ++2= 0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ > 0,Δ = 0,Δ < 0）来确定,因此,要分三种情况讨论；（2）a < 0可以转化为a > 0.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅范例讲解：例1、求不等式01442>+-x x 的解集.解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程,所以,原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x . 例2、解不等式0322>-+-x x .解：整理,得0322<+-x x ,因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解,所以不等式0322<+-x x 的解集是∅,从而,原不等式的解集是∅.小结：解一元二次不等式的步骤：（数轴标根法）（1）化简：将不等式化成标准形式（右边为0）；（2）化正：将最高次的系数化为正（如1）；（3）求根：计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根；（4）标根：将两根在数轴上依次标出；（5）结论：记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集. （三）随堂练习：课本第80的练习1. （四）课时小结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A =c bx ax ++2> 0（或<0）（a > 0） ② 计算判别式∆,分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时,求根1x <2x ,⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时,求根1x ＝2x ＝0x ,⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时,方程无解,⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若③ 写出解集.（五）评价设计：课本第80页习题3.2[A]组第1题.【教学反思】。

高中数学必修五教案-3.2 一元二次不等式及其解法(4)-人教A版

§3.2一元二次不等式及其解法【教学目标】知识与技能理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。

过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；情感态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解三个二次之间的关系。

【教学过程】（一）课题导入王大爷想在自家院子围一周长为10米的矩形菜地，要求菜地面积不小于6平方米，则该菜地的宽应在什么范围之间？解: 设菜地一边长为 x 米，则另一边长为（5–x ）米，根据题意可得：6)5(≥-x x整理得： 0652≤+-x x这个问题实际上是解不等式0652≤+-x x问题1：观察该不等式的特点，含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ ①含有一个未知数 ② 未知数的最高次数为是2设计意图：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，引入新课。

（二）讲授新课知识点一：一元二次不等式的概念1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如02>++c bx ax (≥0)或02<++c bx ax (≤0)(其中0≠a )的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集. xx -53．判断下列式子是否为一元二次不等式。

①)1)(3()1(x x x x -->+ 否 ②723<-x x 否③y x x <-32 否 ④932>+x ax （a 为常数）不一定知识点二：一元二次不等式的解法提出问题：怎样求一元二次不等式0652≤+-x x 的解集？分析：一元二次不等式不是我们熟悉的问题，但是大家看652+-=x x y 和0652=+-x x 这是什么？我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程，那么这三者之间又有怎样的联系呢？问题1：试求二次函数与x 轴的交点坐标。

人教A版高中数学必修五 3.2一元二次不等式及其解法(2)教案

3.2 一元二次不等式及其解法（2）【学习目标】1.掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。

经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式。

3.以极度的热情投入学习，体会成功的快乐。

【学习重点】从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出数形结合的思想。

【学习难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

[自主学习][课前热身]1．设不等式2m 210x x m --+<对于满足22m -≤≤的一切m 值都成立，则x 的取值范围为．2．一元二次不等式2(12)1ax a x a +-++>0的解集为R 的条件为．3．不等式2x 40ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是．4．已知一元二次不等式210ax bx ++>的解集为{}21x x -<< 则 a ,b 的值为．[典型例析]例1 解关于x 的不等式2220x ax ++> 变式训练解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<例2 已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+对任意实数x ，函数值恒大于0，求实数m 的取值范围。

例3 若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈都成立，求a 的取值范围。

[当堂检测]1．已知集合A={}1≤-a x x ，B={}0452≥+-x x x ，若A B=Φ，则实数a 的取值范围是_______.2. 关于x 的方程02)1(2=-+--m x m x 的两根为正数，则m 的取值范围是 .3. 解关于x 的不等式02lg )(lg 2>--x x4．关于x 的不等式12<++m mx mx 的解集是R ，则m 的取值范围是______.课后作业：1. 函数y =的定义域是（）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤2. 不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞ 3. 集合A ={2|540}x x x -+≤， B =2{|560}x x x -+≥，则AB =（）.A．{|12≤≤x≤≤或34}x xB．{|12≤≤xx x≤≤且34}C．{1，2，3，4}D．{|41x≤≤-≤≤-或23}x x4. 不等式(5)(2)0--<的解集为.x x5. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足210240-+<，则两圆的位置关系d d为.6. 求下列不等式的解集：（1）23100--+>；（2）(9)0x x->.x x7. 据气象部门预报，在距离某码头O南偏东45︒方向600km处的热带风暴中心A在以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？。