不等式的综合应用
专题学习--不等式与方程的综合应用
专题学习：不等式与方程的综合应用北京十二中王明文【写在前面】不等式（组）和方程（组）是探求不等和相等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念，解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在等式与不等式的基本性质等方面；另外，解方程组，可以“统一思想”，即对几个方程通过代入或加减消元，解不等式时，只能“分而治之”，即分别求解，再确定公共部分.但在很多问题中，不等式与方程总是同时出现，借助于构造方程模型来解决不等式问题或者借助于构造不等式模型来解决方程问题，以及两者之间的灵活转换是常用的思想方法，而两个模型转换的关键是获取两者之间恰当的关联.【知识铺垫】1.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法；2.方程组的概念，二元一次方程组的解法；3.含参数方程（组），不等式（组）的解法.【思想方法】方程模型与不等式模型的构建、互相转换.【例题精讲】一、构建方程或不等式模型解决求值或求范围问题例题1：关于x的方程4x-m+1=3x-1的根为负数，求m的取值范围.变式练习1：已知关于x的方程4x-m+1=3x-1，且2<m<4，求x的取值范围.变式练习2：当x为何值时，相应的关于x,y的二元一次方程4x-y+1=3x-1中y的值为正数.思路点拨：正确求解方程模型(一元一次方程)是前提，建立不等式模型并求解是落脚点，而联系二者的纽带是诸如“根是负数”、“2<m<4”、“y的值为正数”等从方程出发到不等式的关键词.注意：求解含参数方程的关键是将无关参数视为常数.例题2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y ？ 变式练习1：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y >0？变式练习2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解⎩⎨⎧<>00y x ，求m 的取值范围. 变式练习3：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足条件 0<x+y <1,求m 的取值范围.变式练习4：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，且2<m <4，求x-y 的取值范围. 变式练习5：已知关于x,y的方程组：有非负整数解，求正整数m 的值.思路点拨：首先正确求解含参数方程组模型，由此建立不等式或不等式组模型，并求解，二者联系的纽带围绕前后模型的解或参数展开.注意：含参数方程组的求解要注意两种情况：一是，参数不是未知数的系数，视参数为常数求解即可；二是，参数是未知数的系数，要注意其取值范围，然后视其为常数求解.例题3：如果⎩⎨⎧==21y x 是关于y x 、的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax b x a x 的解集． 变式练习1：已知x 、y 满足()22210x y a x y a -++--+=且31x y -<-，求a 的取值范围．变式练习2：若单项式133m x y --与52n m n x y +能合并成一项，求关于x 的不等式n n x m 220<-<的整数解.思路点拨：首先构建方程模型，并正确求解，根据前后之间的联系，构建不等式模型，并求解. 注意：方程组的构造基于前面所学的知识，例如：几个非负数的和为零，同类项的定义等.例题4：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1，求a •b 的值．变式练习1：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩和⎩⎨⎧<-<-ax b b a x 536732解集相同，求(a+1)(b -1)的值.变式练习2：若关于x 的不等式组有两个整数解，求b 的取值范围.相关练习3：若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-132)3(21＜x x x ＞的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值. 思路点拨：从正确求解不等式入手，落脚点还是构造不等式，中间联系的纽带是方程或方程组. 注意：含参数不等式的求解和含参数方程的求解类似，并且在不等式组中参数的位置一般不在系数位置.例题5：已知2mx+3>0的解集是x <3,求m 的值.变式练习1：已知a,b 为常数，若ax+b >0的解集是13x <,求不等式bx-a <0的解集. 变式练习2：关于x 的不等式()22a b x a b ->-的解是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集.思路点拨：从系数中含参数的不等式出发，结合所给解集确定参数的值或范围，并利用之进一步求解两一个不等式.注意：在求解系数中含参数的不等式时，一定结合所给解集进行恰当的讨论，建立有关参数的方程，并同时确定某个或某些参数的取值范围.二、构建方程与不等式模型解决实际问题例题6：星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析：先建立二元一次方程，再建立一元一次不等式组解决.例题7：某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．分析：先建立二元一次方程组，再建立一元一次不等式组解决.例题8：为迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A 队共积19分.请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场？分析：先建立不定方程组：设A 队胜x 场、平y 场、负z 场，则有x y z x y ++=+=⎧⎨⎩12319，把x 当成已知数，可解得y x z x =-=-⎧⎨⎩19327. 再建立一元一次不等式组：由题意，x y z x y z ≥≥≥000、、，且、、均为整数，所以x x x ≥-≥-≥⎧⎨⎪⎩⎪01930270，解得312613≤≤x ， 最后，获得满足题意的整数解：于是x 可取4、5、6，由此可得三组解（略）.思路点拨：解答这类题时，可先把题设中的方程（组）的解求出来，再根据题目中的限制条件列不等式（组）进行解答；或先求出题设不等式（组）的解集，再与已知解集进行比较，从而列方程（组）施行解答.注意：实际问题中通过一些关键词暗示该问题应建立不等式模型解决：诸如此类的关键词有： 大于，小于，至少，至多，不少于，不多于，超过，不到等.【巩固练习】1、x 取什么值时，4)1(2++-=x y 的值是正数？负数？非负数？2、当m 在什么范围内取值时,关于x 的方程()()x m x m --=-+4122有：（1）正数解；（2）不大于2的解.3、若方程组3133x y k x y +=++=⎧⎨⎩的解为x y 、，且24<<-k x y ，则的取值范围是（） A. 012<-<x y B. 01<-<x y C. -<-<-31x y D. -<-<11x y 4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x y x 212.（1）求这个方程组的解；（2）当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1.5、已知：()121,23121-=+=x y x y ，如果1321-≤y y ，且1y 不小于2y ,求正整数x 的值． 6、已知方程组⎩⎨⎧+=---=+my x m y x 317的解满足x 为非正数，y 为负数.（1）求m 的取值范围；（2）化简：∣m －3∣－∣m ＋2∣；（3）在m 的取值范围内，当ｍ为何整数时，不等式2mx ＋x ＜2m ＋1的解为x ＞1.7、把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？8、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.（1） 求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2） 若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？【思维拓展】1、 如果关于x 的不等式（2a －b ）x +a －5b ＞0的解为x ＜107 ，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．2、求方程组⎩⎨⎧=++=++3675352975z y x z y x 的正整数解.3、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值.。
不等式的综合应用
标准形式
$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$，其中 $a neq 0$。
一元二次不等式解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，判断不 等式的解集情况。
配方法
将不等式左边配成完全平方形式，再利用平方根的性 质求解。
构建目标函数
根据问题的要求，构建合适的目标函数，使得目标函数的最优解对应不等式最值问题的解。
求解线性规划问题
利用线性规划方法求解转化后的线性规划问题，得到目标函数的最优解，从而得到不等式最值问 题的解。
线性规划在不等式证明中的应用
不等式证明的转化
将不等式证明问题转化为线性规划问题，通过构建合适的目标函数和约束条件，使得原不等式的证明转化为验证目标 函数的最优解是否满足特定条件。
通过绘制每个不等式的解集在坐标系中的表示区域，找出所有区域 的交集，即为不等式组的解集。
代数法
通过消元法或代入法将多元一次不等式组转化为一元一次不等式或 一元一次方程进行求解。
特殊值法
在特定情况下，可以通过代入特殊值来快速判断不等式组的解集。
实际应用举例
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理 分配资源使得多个目标同时得到 满足，可以通过建立多元一次不 等式组进行求解。
用不等号（<、>、≤、≥）连接两个数学表达式，表示它们 之间的大小关系。
不等式的表示方法
除了使用不等号，还可以使用区间表示法、数轴表示法等。
不等式基本性质
传递性
若a<b且b<c，则a<c；若a>b且b>c，则a>c。
不等式的综合应用
不等式的综合应用不等式是数学中常见且重要的概念，在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式的综合应用，包括数学问题求解、经济学和物理学中的应用。
一、数学问题求解不等式在数学问题的求解中起着重要的作用。
例如，在解决线性方程组时，我们通常需要对方程组进行不等式的相关处理。
设想有以下线性方程组：3x + 5y ≥ 102x - 4y ≤ 8我们可以将其转化为不等式的形式。
首先，将第一个等式左右两边都减去10得到：3x + 5y - 10 ≥ 0然后，将第二个等式左右两边都加上8得到：2x - 4y + 8 ≤ 0通过这样的处理，我们可以将线性方程组问题转化为不等式问题。
进一步分析这个不等式系统，我们可以求解出x和y的取值范围，从而得到方程组的解。
二、经济学中的应用不等式在经济学中也具有广泛的应用。
例如，在市场需求与供给的分析中，我们经常需要利用不等式关系来描述市场状况。
假设某种商品的市场需求量D(x)和市场供给量S(x)分别与价格x相关。
根据供需关系，我们可以得到以下不等式：D(x) ≥ S(x)通过对不等式进行进一步分析，我们可以确定市场均衡价格的范围，从而指导市场的调节和决策。
三、物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，在运动学问题中，不等式可以帮助我们描述物体的运动状态。
考虑一个自由落体问题，物体从高度h自由落下，其下落时间t和下落距离s满足以下不等式关系：s = (1/2)gt^2 ≥ h其中，g表示重力加速度。
通过这个不等式关系，我们可以求解出物体的下落时间和下落距离的范围。
结论综上所述，不等式的应用范围广泛且多样化。
无论是在数学问题的求解、经济学的市场分析，还是物理学中的运动描述，不等式都能够提供重要的辅助工具。
在实际问题中，我们可以运用不等式的性质和方法，解决各种与大小关系相关的计算和推理问题。
通过不等式的综合应用，我们可以更好地理解和解决数学、经济学和物理学中的各种实际问题。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的综合应用ppt课件演示文稿
x 1 0 , {x ＝ B x 集合A＝ x 1
|| x－b|＜a}，若“a＝1”
是“A∩B≠∅”的充分条件， 则b的取值范围是________．
解析：由题意得：A：－1<x<1，B：b－a<x<a＋b，由 “a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件．则A：－1<x<1与B: b－1<x<1＋b交集不为空，所以－2＜b<2，检验知能使 A∩B≠∅. 题型二 函数中的不等式问题 【例2】 已知f(x)是定义域在(0，＋≦ )上的单调递增函 x 数，且满足f(6)＝1，f(x)－f(y) f ( ) (x＞0，y＞0)， y 分析：利用函数单调性，“脱去”f符号，并注意函数 定义域，把原问题转化为解不等式组．
1 f ( 解：由f(x＋3)－ ) ＜2f(6)及单调性， x
x( x 3) 6, 3 3 17 知f[x(x＋3)]－f(6)＜f(6)，得 x 0 x 6 . 2 x 3,
1 f ( 则不等式f(x＋3)＜ ) ＋2的解集是________． x
第四节 不等式的综合应用
基础达标
1. (必修5P94第4题改编)已知(ax－1)(x－1)＞0的解集是 {x|x＜1或x＞3}，则a的值为________． 解析： 由不等式解集是{x|x＜1或x＞3}，可知
1 ＝3，所 a
以a＝
2.
1 . 3
1 log a 5, z log a 21 log a 3, 2
x 2 x 3
2
1 2
3 x 1
2 }, B x log 1 (9 x ) log 1 (6 2 x) 3 3
第二章 考点9 不等式的综合应用
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
解：设使用x年的平均费用为y万元，由题意得
10 0.9x 0.2 0.2x x
y
2
1 10
x
1 2
x 10 3，
x
x 10
10 x
当10 x 即x＝10时，取等号． x 10
∴使用10年报废最划算．
【回顾反思】 解不等式的应用题，关键是构造不等式模型，即分析题目
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【解】 设床价提高10x元/床，则床位减少10x张，由题意得 (50＋10x)(200－10x)>15 000⇒5<x<10， 5×10＋50＝100(元/床)，10×10＋50＝150(元/床).∴价格应定 为100～150元/床．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【提示】
∵ 3a 2b a b 6a 4b 5a 5b a b 0 ，
5
2
10
10
∴a>b.
A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
2．设矩形的长为a，宽为b(a>b)，面积为S1，与此矩形周长相
等的正方形的面积为S2，则( A )
A．S1<S2
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例3】 设计一个面积为800 cm2的矩形广告牌，要求左右均 留2 cm的空白，上下边均留1 cm的空白．问：怎样设计使中 间的文字面积最大？并求此最大值．
【思路点拨】 本题是求最值问题，一般选用“基本不等式” 模型或“一元二次函数”模型来解决．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
2．常见的应用题类型 (1)分配问题、速度和时间问题、工程问题等一般用一元一次 不等式(组)模型解决． (2)价格问题、面积问题等一般用一元二次不等式(组)模型解 决． (3)最值问题等一般用基本不等式模型(均值定理)解决．
不等式的综合应用
思想：参数分离思想
不 等 动手练一练： 式 的 若关于x的方程 4 x a 2 x a 1 0 综 合 有实根,求实数a的取值范围。 应 用
题型二、不等式在几何中的应用
不 等 式 的 综 合 应 用
例2、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一
直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长 为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两 两互相垂直，怎样围法，直三棱柱的空 间最大？这个最大值是多少？ C
思维点拨：用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定 三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则 应先判断函数的单调性后求解
不 等 式 的 综 合 应 用
例4：若关于 x 的方程 2 x 1 x m 有两个不等的实根，求实数 m的取值范 围.
思维点拨：解无理方程应转化为有理方 程，本题经转化后变为二次方程的实根 的分布问题； 或者数形结合求最值。
例 1、 不 已知集合P 1 ,2பைடு நூலகம் ，函数
2 等 2 式 y log 2 ax 2 x 2 的定义域为Q 的 2 综 （1）若方程 log 2 ax 2 x 2 2 1 合 在 ,2内有解，求实数a的取值范围。 应 2 用 （2）若 P Q ，求实数a的取值范围。
不 等 式 的 综 合 应 用
不等式的综合应用
不等式的应用大致可分为两类： 一类是建立不等式求参数的取值范 围或解决一些实际应用问题； 另一类是建立函数关系，利用均值 不等式求最值问题，使考生能够运用 不等式的性质、定理和方法解决函数、 方程、实际应用等方面的问题.
题型一、不等式在方程、函数中的应用
A B
思想：建立立体模型
2.2 第2课时 基本不等式的综合应用(课件)
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
跟踪训练6
x 元）
某商品进货价为每件 50 元，
经市场调查得知，
当销售单价 （
在区间 50,80
时，每天售出的件数 P
为每件多少元？
105
x 40
2
．若想每天获得的利润最大，销售价格应定
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
解：设销售价格定为每件 x(50≤x≤80)元，每天获得利润为 y 元，则
2x
思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”
、
“二定”
、
“三相等”
，现在
1
1
x<0，
0 ，通过变形 y x
2 再利用基本不等式求最值。
2x
2 x
解：∵x<0，∴
通过变形，
∵
∴
当且仅当
，即
时，等号成立，取得最大值
。
经典例题
题型二
2x
2
解： y＝ 2
＝ 1.
x ＋1
x＋
x
∵x＞0，
1
1
∴x＋ ≥2 x· ＝2，
x
x
2
∴0＜y≤2＝1，
1
当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时，等号成立．故 y 的最大值为 1.
经典例题
题型五
变形构造定值—常值代换法“1”的代换
1 1
,
例 5 已知a 0, b 0, a b 2, 求 的最小值。
＋ (x － 3) ＋ 3 ＝ － 3－x
x－3
x－3
初中数学教案解不等式的方法与应用
初中数学教案解不等式的方法与应用初中数学教案：解不等式的方法与应用在初中数学中，解不等式是一个重要的内容。
掌握解不等式的方法与应用，能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。
本教案将详细介绍解不等式的几种常用方法以及其在实际问题中的应用。
一、一元一次不等式的解法1. 利用图像法解一元一次不等式。
通过绘制一元一次不等式的图像，可以直观地找到其解集。
2. 利用运算法解一元一次不等式。
通过对不等式进行逐步变形，可以得到不等式的解集。
二、一元一次不等式的应用1. 解决实际问题。
一元一次不等式可以应用到实际问题中，如寻找一元一次不等式的解，解决关于长度、时间等问题。
2. 解决优化问题。
通过设置不等式条件，可以找到使某个目标函数最大或最小的解。
三、一元二次不等式的解法1. 利用图像法解一元二次不等式。
通过绘制一元二次不等式的图像，可以直观地找到其解集。
2. 利用因式分解法解一元二次不等式。
通过将一元二次不等式进行因式分解，可以将其转化为一元一次不等式来求解。
四、一元二次不等式的应用1. 解决实际问题。
一元二次不等式可以应用到实际问题中，如求解最值、求解区间等。
2. 解决优化问题。
通过设置不等式条件，可以找到使某个目标函数最大或最小的解。
五、多元一次不等式的解法与应用1. 利用图像法解多元一次不等式。
通过绘制多元一次不等式的图像，可以直观地找到其解集。
2. 利用线性规划法解多元一次不等式。
通过线性规划方法，可以解决多元一次不等式的最值问题。
六、不等式的思维拓展1. 通过不等式进行推理。
在解决一些复杂问题时，可以通过不等式的性质进行推理，得到更深入的解析结果。
2. 探索不等式与其他数学知识的联系。
不等式与代数、几何、概率等数学知识之间有着密切的联系，在学习不等式时可以与其他数学知识进行结合，提升综合应用能力。
通过以上内容的学习，学生将能够掌握解不等式的常用方法与应用，培养数学思维和解决实际问题的能力。
同时，教师可以根据学生的实际情况，设计多种不同形式的习题和应用题，帮助学生巩固知识，提高应用能力。
分式方程与分式不等式的综合应用
分式方程与分式不等式的综合应用在数学中，分式方程与分式不等式是一种常见的数学应用。
它们可以在解决实际问题中起到重要的作用。
本文将综合讨论分式方程与分式不等式的应用，并通过实例进行详细解析。
一、分式方程的应用分式方程是一种含有分式的方程，通常以分数形式表达。
分式方程在各个领域中都有广泛的应用，比如经济学、物理学和化学等。
下面将通过一些实例来说明分式方程的应用。
【案例一】投资问题假设小明和小华共同投资1000元用于创业，小明投资的部分占总投资额的1/4，小华投资的部分占总投资额的2/5。
如果小明的投资收益率是8%，小华的投资收益率是6%，求他们各自的投资额以及一年后的总收益。
解答：设小明的投资额为x元，则小华的投资额为（1000 - x）元。
根据题意可得分式方程：x/4 * 8/100 + (1000 - x)/5 * 6/100 = 总收益化简上式，得：2x/25 + (2000 - 2x)/25 = 总收益合并同类项并化简，得：2000/25 = 总收益计算可得小明的投资额为400元，小华的投资额为600元。
一年后的总收益为80元。
【案例二】化学反应问题某化学反应的速率与反应物的浓度有关，可以用分式方程表示。
例如，燃烧反应中，汽油的燃烧速率与氧气浓度（表示为O₂）有关，设反应速率正比于氧气浓度，比例系数为k。
求反应速率与氧气浓度之间的关系。
解答：设汽油燃烧速率为y，氧气浓度为x，则可得分式方程：y = kx上式表示反应速率与氧气浓度之间成正比关系，比例系数为k。
二、分式不等式的应用分式不等式是一种含有分式的不等式，通常以不等号表示。
它们在实际问题中也有诸多应用，比如经济学中的利润最大化问题和约束条件优化问题等。
下面将通过一些实例来说明分式不等式的应用。
【案例三】库存管理问题假设某公司的产品库存量为S，年销售量为A，需求量为D。
设每个单位库存的成本为C1，每个单位销售的收益为C2，每个单位未满足的需求所损失的成本为C3。
不等式综合应用题
不等式应用题1、某市的出租车起步价为8元（即行驶路程不超过3千米均需付车费8元），超过三千米后每行驶1千米加收1.2元，不足一千米部分也按一千米计算，一天，小李和爸爸乘车付费15.2元，问他们乘车路程大约是多少？2、小敏带了10元钱到商店买一包饼干和一袋牛奶，一看商店的标价发现钱带少了，但售货员表示当天饼干的价格打九折，结果反而找回了8毛钱，已知饼干的价格是不满10元的整数，求饼干和牛奶的价格？3、（1）水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，售价11元/千克，削去一半以后为尽快销售，准备打折出售，若要使总利润不低于3000元，余下的水果可按原定价格打几折出售（精确到0.1折）？（2）水果店进了一批水果，原按50%的利润率定价，削去一半以后为尽快售完，准备打折出售，若要使总利润率不低于30%，问余下的水果可按原定价格的几折出售？（精确到0.1折）4、某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元；若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元。
（1）求挂式空调和电风扇没太的采购价各是多少元？（2）该营业主计划购进两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售这样的一台空调可获利200元，销售这样的一台风扇可获利30元。
该业主希望当这两种电器销售完后，所获得利润不少于3500元。
试问该业主有几种进货方案？那种方案获利最大？最大利润是多少？5、学校准备筹建两个计算机机房，其中各配备一台教师用机和若干台学生用机。
一个普通机房中教师用机价格8000元，学生用机每台价格3500元；一个高级机房中教师用机价格11500元，学生用机每台价格7000元。
已知两个机房购机投资总额相等，且均在20万元至21万元之间，问两个机房各准备配置多少台学生用机？6、黄海生化食品研究所准备将三种食物混合研制成100千克新品种食品，并规定研制成的混合食品中至少含有44000单位的维生素A和48000单位的维生素B，三种食物的维设所取食物甲、乙、丙的质量分别为x千克、y千克，z千克，解答下列问题：（1）根据题意列出等式或不等式，并证明：y≥20,且2x-y≥40（2）若规定混合食物中含有甲种食物的质量为40千克，试求出此时制成的混合食品的成本w的取值范围，并确定当w取最小值时，取乙丙两种食物的质量？7、某纺织厂有纺织工人200名，为拓展生产渠道，增产创收，增设了制衣车间，准备从纺织工人中抽调x名工人到制衣车间工作。
第44讲 不等式的综合应用
第44讲 不等式的综合应用【考点解读】⑴ 不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵ 解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决【知识扫描】1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．【考计点拔】牛刀小试：1．若集合{x |3a sin x －2a +1=0, x ∈R}=φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{0}B ．（－1，51）C ．（－∞，－1）∪（51，+∞） D ．（－51，1） 2．θ是第一象限角，那么恒有（ ）A ．02sin>θB ． 12tan<θC ． 2cos 2sinθθ> D ．2cos 2sin θθ< 3．设a,b ∈R +，则下列不等式中一定不成立的是 （ ）A ． 221>++abb a B ．411)((>++ba b aC ．22ab abb a >+D ．ab ba ab>+2 4．设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x xB ,03,则A ∩B= （ ）A ．]2,3(--B ． ]25,0[]2,3(⋃--C ．),25[]3,(+∞⋃--∞D ． ),25[)3,(+∞⋃--∞5．已知函数1/1|,lg |)(>>>=b a c x x f 若，则（ ）A ．)()()(c f b f a f >>B ．)()()(b f a f c f >>C ．)()()(a f b f c f >>D ．)()()(c f a f b f >>参考答案：B B D D B【典例解析】考点一：应用不等式求变量的范围例1.若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. 解:令t ＝2x (t ＞0)，则原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0，变形得]212)1[(112-+++-=++-=t t t t a 222)222(-=--≤【变式训练1】：已知方程sin 2x －4sinx ＋1－a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[－3，6] B ．[－2，6] C ．[－3，2] D ．[－2，2] 解:B考点二：应用不等式解应用题例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝abk，其中k ＞0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0)， 得b ＝aa+-230(0＜a ＜30) ① 于是 y ＝ab k＝aa a k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =当a ＋2＝264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a ＝6，a ＝－10(舍去). 将a ＝6代入①式得b ＝3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0)， 即 a ＋2b ＋ab ＝30(a ＞0，b ＞0). 因为 a ＋2b ≥2ab 2，所以 ab 22+ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号. 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18.即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2＝18.解得b ＝3，a ＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【变式训练2】：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v 千米/小时，两车的距离不能小于(10v )2千米，运完这批物资至少需要（ ）A ．10小时B ．11小时C ．12小时D ．13小时 解:C考点三：结合二次函数、应用不等式解决有关问题例3. 已知二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c ，其中a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0. （1） 求证：此函数的图象与x 轴交于相异的两个点.（2） 设函数图象截x 轴所得线段的长为l ，求证：3＜l ＜23. 证明:(1)由a ＋b ＋c ＝0得b ＝－(a ＋c). Δ＝(2b)2－4ac ＝4(a ＋c)2－4ac ＝4(a 2＋ac ＋c 2)＝4[(a ＋2c )2＋43c 2]＞0. 故此函数图象与x 轴交于相异的两点.(2)∵a ＋b ＋c ＝0且a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 由a ＞b 得a ＞－(a ＋c)，∴ac＞－2. 由b ＞c 得－(a+c)＞c ，∴ac＜－21.∴－2＜a c＜－21. l ＝|x 1－x 2|＝32142++）（a c .由二次函数的性质知l ∈(3，23)【变式训练3】：设函数f(x)＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m 是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m －4)的正负，并加以证明． 证明:(1)210210)1(+-=⇒=++⇒=c b c b f 又c ＜b ＜1，故313121-<<-⇒<+-<c c c 又方程f(x)＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根．故△＝4b 2－4(c －1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1由1313313-≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-<<-c c c c 或由021≥+-=b c b 知 (2))()1(2)(22c x c x c x c bx x x f -=++-=++=x()1f(m)＝－1＜0∴c＜m＜1c－4＜m－4＜－3＜c∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0 ∴f(m－4)的符号为正．。
课件2：2.2.4 第2课时 均值不等式的综合应用
2．常值代换 利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知 ax＋by(或ax＋by)为定值，求 cx ＋dy(或cx＋dy)的最值(其中 a，b，c，d 均为常参数)”时可用常值代换处理．
[典例] 若正数 x，y 满足 3x＋y＝5xy，则 4x＋3y 的最小值是( )
A．2
B．3
(2)设 0＜x＜32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； [解] ∵0＜x＜32，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝ 2[2x(3－2x)]≤22x＋(32－2x)2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． ∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92.
方法提升 应用均值不等式的常用技巧
(1)常值代替 这种方法常用于“已知 ax＋by＝m(a，b，x，y 均为正数)，求1x＋1y的最小值”和“已知ax＋ by＝1(a，b，x，y 均为正数)，求 x＋y 的最小值”两类题型． (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和 或积的取值范围． (3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子 运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．
(3)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值； [解] ∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．∴x＋x－4 2的最小值为 6.
(4)已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝xy＋9yx＋10≥2 yx·9yx＋10＝6＋10＝16， 当且仅当yx＝9yx，1x＋9y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
高中数学知识要点重温之不等式的解法及其综合应用
高中数学知识要点重温之不等式的解法及其综合应用江苏 郑邦锁1．解分式不等式不能轻意去分母，通常采纳：移项〔化一边为零〕→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，〔即不等式两边同除以变量系数，假设它的符号不能确定即需要讨论〕→〝序轴标根〞〔注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论〕； [专门关注] 求一个变量的范畴时，讨论的也是那个变量，结果要并；讨论的假设是另一个变量，结果不能并。
[举例1]关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，那么关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集是〔 〕A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞) 解析：不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)⇒a>0且a=b ，那么不等式02>-+x b ax 等价于： 021>-+x x ⇔(x+1)(x -2)>0⇔x>2或x<-1,选A 。
[举例2] 解关于x 的不等式：12)1(>--x x a 解析：12)1(>--x x a ⇔02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a 以下不等式两边同除以a -1，需讨论其正负；①假设a>1，等价于：0)2)(12(>----x a a x 现在需知不等式相应的方程的两根121--=a a x 与2x =2的大小，比差：212---a a =12--a a ， 可见a>1时，1x <2x ,∴不等式的解为：(-∞，12--a a )∪〔2，+∞) ②假设a<1，不等式等价于：0)2)(12(<----x a a x ，〔ⅰ〕假设0<a<1, 1x >2x ,不等式的解为：〔2,12--a a 〕；〔ⅱ〕假设a<0，1x <2x ,不等式的解为：〔12--a a ,2〕；(ⅲ) 假设a=0, 不等式等价于：0)2(2<-x ，不等式的解为φ；综上所述：当a>1时不等式的解为(-∞，12--a a )∪〔2，+∞)；当0<a<1时不等式的解为〔2,12--a a 〕；当a=0时不等式的解为φ；当a<0时不等式的解为：〔12--a a ,2〕。
高三数学不等式的实际应用
B) (B)[1，54] (D)[32，1 ]
3.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4＝0有解，则实数a的取值
范围是( D )
(A)(-∞，-8]∪[0，+∞)
(B)(-∞，-4)
(C)[-8，4)
(D)(-∞ ，-8]
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
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4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值
为___4___.
5.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有
以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0； ⑤a-b+c＞0.其中正确结论的序号是③__、__⑤______
1. 已知关于x的方程loga(x-3)＝-1+loga(x+2)+loga(x-1)有实 根，求实数a的取值范围.
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴
第一章 §1.5 基本不等式的综合应用
每套会徽及吉祥物售价为 x 元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价 为50＋15－100.1x元， 单套利润为 x－50－15－100.1x＝x－50－15100－0 x， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150，
所以单套利润为 y＝x－50－15100－0 x＝－150－x＋15100－0 x＋100 ≤100－2 150－x·15100－0 x＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号. 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是 80元.
第一章
§1.5 基本不等式的综合应用
课标要求
1.会求与基本不等式有关的恒成立问题. 2.理解基本不等式在实际问题中的应用. 3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
题型一 与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例1 (1)已知x>0，y>0，且 2x＋1y ＝1，若2x＋y<m2－8m解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意 变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型， 再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练2 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在 四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某 商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销 售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
√A.(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9,1]
因为 x>0，y>0，且2x＋1y＝1， 所以 2x＋y＝(2x＋y)2x＋1y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝9， 当且仅当2yx＝2xy，且2x＋1y＝1，即 x＝y＝3 时取等号，此时 2x＋y 取得 最小值 9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
基本不等式使用的4个情形及注意事项
基本不等式使用的4个情形及注意事项1.数字和不等号的交换：基本不等式可以用来推导和证明数字和不等号的交换。
比如，当a>b时，可以使用基本不等式证明b<a。
这种情形是最基本的不等式应用，也是其他情形的基础。
2.加法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明加法和不等式的交换。
比如，当a>b且c>d时，可以使用基本不等式证明a+c>b+d。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
3. 乘法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明乘法和不等式的交换。
比如，当a > b 且 c > d 且 cd > 0时，可以使用基本不等式证明 ac > bd。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
4.推广和拓展：基本不等式还可以用来推广和拓展不等式的性质。
比如，通过变量的替换，可以将一个复杂的不等式转化为一个简单的基本不等式，然后再进行证明。
此外，还可以通过一系列推导，引出更复杂的不等式性质。
在使用基本不等式时，还需要注意以下几个事项：1.合理选取不等号：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取不等号的方向。
不等号的方向应该与实际问题中的大小关系相符。
比如，如果已知a>b，应该使用a-b>0作为基本不等式，而不是a-b<0。
2.合理选取变量的取值范围：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取变量的取值范围。
变量的取值范围应该满足问题的条件，并且能够使得基本不等式成立。
比如，如果已知a>0，应该选择a>0作为变量的取值范围。
3.根据问题的条件进行推导：在使用基本不等式时，还需要根据问题的条件进行推导。
问题的条件可以是已知的不等式、已知的数值关系等。
通过合理利用问题的条件，可以得到更加精确和准确的结论。
4.合理利用数学运算法则：在使用基本不等式时，还需要合理利用数学运算法则。
比如，可以利用加法交换律、乘法交换律、乘法分配律等数学运算法则，对不等式进行重新排列和推导。
不等式综合应用
不等式复习1.某种植物适宜生长在温度在18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.5℃，现在测得山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？（假设山脚海拔为0米）2.足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1，输一场得0分．一去足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已经比赛了8场，输了1场，得17．请问：（1）前8场比赛中，这去球队共胜了多少场？（2）这去球队打满14场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这去球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这去球队至少要胜几场，才能达到预期目标？3.我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。
按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。
根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，用含x的式子表示y；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于6辆，，如果你是水果老板，请你写出运送方案；（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值4.现有一个种植总面积为540m 2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：（1）若设草莓共种植了x 垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？ 解答1略2．（1）5场；（2）打满14场比赛最高能得17(148)335+-⨯=分； （3）在以后的比赛中这个球队至少要胜3场．3．解：（1）由题意可知：装运C 种脐橙的车辆数为(20-x-y),据题意可列如下方程： 6x+5y+4(20-x-y)=100 解得y=-2x+20 ∴y与x 之间的函数关系式为：y=-2x+20 ·························（3分）（2）由题意可得如下不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥≥62066y x y x即⎪⎩⎪⎨⎧≥+---≥+-≥6)202(2062026x x x x解得6≤x ≤7因为x 是正整数,所以x 的值可为6；7；共两个值，因而有两种安排方案。
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不等式的综合应用
一、学习目标
应用性问题的基本思路：读题(背景、结论)——条件——建掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用．
模——解题——反思——作答.
二、基础自测
1. 函数y ＝x ＋4x
(x ≠0)的值域是________． 2.某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q 2
%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．
3. 设x ∈R ，||)2
1()(x x f =，若不等式f(x)＋f(2x)≤k 对于任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．
4. 设变量x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则x ＋2y 的最大值为________．
三、例题分析
题型1 含参数的不等式问题
例1 若不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0
的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围．
变式训练
不等式(－1)n
a<2＋（－1）n ＋1n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．
题型2 不等式在函数中的应用
例2 已知函数f(x)＝2x －a x 2＋2
在区间[－1，1]上是增函数． (1) 求实数a 的值组成的集合A ；
(2) 设x 1、x 2是关于x 的方程f(x)＝1x
的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围．
变式训练
设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋b b 2＋1
≤λ恒成立，则λ的取值范围是________． 题型3 不等式在实际问题中的应用
例3 某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？
变式训练
某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？
作业
1. 关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．
2.已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A ，若⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 A ，则实数a 的取值范围是________．
3. 若a>0，b>0，且12a ＋b ＋1b ＋1
＝1，则a ＋2b 的最小值为________． 4. 设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋||a b
取得最小值．
5. 若对满足条件x ＋y ＋3＝xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
6. 已知实数x 、y 满足不等式⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3则2x 3＋y 3x 2y 的取值范围是________．
7. 设P(x ，y)为函数y ＝x 2
－1(x ＞3)图象上一动点，记m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2，则当m 最小时，点P 的坐标为________．
8. 已知x 、y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y
的最大值为________．
注：1. 不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题．
不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题．
2. 建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等．
3. 解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验．。