渐近法

（5）叠加：最后杆端弯矩： M=∑M 分配＋∑M 传递＋MF
例题 3
注意： ①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的 转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样 可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩变号分配。 ⑤结点 i 的不平衡力矩 Mi 等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡求得。 在第一轮第一个分配结点：Mi=∑MF－m （结点力偶荷载顺时针为正） 在第一轮其它分配结点：Mi=∑MF＋M 传－m （结点力偶荷载顺时针为正） 以后各轮的各分配结点：Mi=M 传
SiK 4i
（b）固端弯矩：
SiK 0
SiK 3i
q
B
M AB
M BA
ql 2 12
A
M AB
M BA
ql 2 12
P
M AB
Pl 2
M
BA
Pl 2
例题：求分配系数与固端弯矩：
2
i
1
i7
i
3
i ii
6
4
5
SiK 4i 4i 3i 0 3i i 15i
iK
4,4,3,0,3,1 15 15 15 15 15 15
结点 1 的各杆转动刚度之和的比值，即：
ij
Sij , S
1
B
M
A
1
只有分配弯矩才能向远端传递。 分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是杆端转动时产生的
C
例题：
远端弯矩。
M
i
i
分配系数 传递 最后 M
43
77
2M 4M 3M
0
77
7
4M 3M
7
7
M：绕结点逆时针为正 （此外不必强调符号）
分配系数
0
固M
0
0 分传
Pl/2
0 M
Pl/2
M (kN m)
Pl/2
10 0 -Pl Pl 0 Pl -Pl
Pl
12.3 多结点无侧移结构的计算
用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要逐次放松每一个结点， 应用单结点的基本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。以图 12-4 所示连续梁为例 加以说明。
如果把 A 端改成固定铰支座、可动铰支座，转动刚度 SAB 的数值不变。 4、传递系数 C：
传递系数指的是杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：
利用传递系数的概念，远端弯矩可表达为：MBA=CABMAB 等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
§12.2 单结点力矩分配法——基本运算
力矩分配法的基本运算指的是，单结点结构的力矩分配法计算。 1、单结点结构在结点集中力偶作用下的计算： 如下图所示结构，在结点集中力偶 m 作用下，使结点转动，从而带动各杆端转动，杆端转动产
0.0664 -0.0664
D DC
0 -0.0313
-0.0020
-0.0333
§12.4 无剪力分配法
力矩分配法适用连续梁和无侧移刚架，一般不能直接用于有侧移刚架。但对有些特 殊的有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。
⑴无剪力分配法的使用 条件：结构中除了无侧移的杆 外，其余的杆均为剪力静定杆。
2、杆端弯矩正负号规定： 在力矩分配法中对杆端转角、杆端弯矩、
固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都 假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点 上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针 转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆 时针转动为正号。 3、转动刚度 S：
转动刚度 S 表示杆端对转动的抵抗能力, 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加 的力矩。AB 杆 A 端的转动刚度 SAB 与 AB 杆的线刚度 i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆 长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如右图：
无侧移杆：如果杆件两端线 位移平行并且不与轴线垂 直，则该杆为两端无相对线 位移的杆即无侧移杆（即平 动）。如图 1(a)中 EC、CF、 DB 杆均为无侧移杆。 剪力静定杆指的是剪力可由 截面投影平衡求出来的杆。 如图 1(a)中 AB、BC 杆均为 剪力静定杆。 两端无相对线位移的杆转动 刚度、传递系数和固端弯矩 确定，前面已经讨论过，下 面这种讨论剪力静定杆的转 动刚度、传递系数和固端弯 矩确定。
-0.125
0.0078
M
0.0005 -0.1167
B
BA
BC
0.5
0.5
0.125
-0.125
-0.0313
0.0156
0.0156
-0.0020
0.001
0.001
0.1416 -0.1416
C
CB
CD
0.5
0.5
0.125
0
-0.0625 -0.0625
0.0078
-0.0039 -0.0039
（1）加刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁，计算各杆固端弯 矩 m，由结点力矩平衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），如图 b， 图 b 与原结构的差别是： 在受力上，结点 B、C 上多了不平衡力矩 MB、MC；在变形上结点 B、C 不能转 动。
（2）为了取消结点 B 的刚臂，放松结点 B（结点 C 仍锁住），在结点 B 加上 （－MB），如图 c,此时 ABC 部分只有一个角位移，并且受结点集中力偶作用，可 按基本运算进行力矩分配和传递。结点 B 处于暂时的平衡。此时 C 点的不平衡力 矩是 MC+ M 传 。
例题 4 练习：
80kN
i 2
3m 3m
30kN / m
i 1
10m
160kN
i 1
3m
5m
分配系数 固M 分传
M
0.6 0.4 90 -250 96 64
-23.6 14.2 9.4
-1.2 0.72 0.48
200.9 -200.9
0.5 250
32 -47.3
4.7 -2.4 0.24 -0.12 237.3
渐近法
学习目的和要求
力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和 求解基本方程，直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。
本章的基本要求：
1. 熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。 2. 掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩分配法计算有侧移刚架。
学习内容
2、单结点结构在跨间荷载作用下的计算：
如图 12—3 所示两跨超静定梁，将整个变形过程分为两步：
图 12—3
第一步，在刚结点处加刚臂，阻止结点转动，将连续梁分解为两根单跨超静
定梁，求出各杆端的固端弯矩。结点 B 各杆端固端弯矩之和为附加刚臂中的约束
力矩，称为结点不平衡力矩 MB。 第二步，去掉联系，相当于在结点 B 加上负的不平衡力矩 MB，并将它分给
各个杆端及传递到远端。
叠加以上两步的杆端弯矩，得到最后杆端弯矩。
例题 1：
例题 2：
12kN / m EI
6m
16kN 2 EI
3m 3m
练习：
EI
l
P
EI
l
分配系数 固M 分传
M
-36 -3.6 -39.6
0.4 36 -7.2 28.8
0.6 -18 -10.8 -28.8
M (kN m)
54
0.4
M AB
1 3016 8
60kN m
100 3 22
100 32 2
M AD
52
48kN m M DA
52
72kN m
刚架练习：
B
C
q A l
1 ql 2 60
M
l
结点
A
B
C
杆端
AB
BA
BC
CB
分配系数
0.8 0.2
固端弯矩
ql 2 12
1 ql 2 12
分配与传递
M
2 ql 2 60
AC
AD
DA
CA
分配系数
0.3
0.4
0.3
固端弯矩
0
60.0
0
-48.0
72.0
0
分配与传递
0
-3.6
-4.8
-3.6
-1.8
-2.4
M
0
56.4
-4.8
-51.6
70.2
-2.4
AB
23
23 2 4 1.5 4
0.3
AD
4 1.5 2 3 2 4 1.5 4
0.3
AC
24 2 3 2 4 1.5 4
求固端弯矩：
ql 2
ql
q
（1）：
q
（2）：
（3）：
M
q
l P
l
l
l
（4）：
2
（3）为了取消结点 C 的刚臂，放松结点 C，在结点 C 加上（－(MC+ M 传)）， 如图 d，为了使 BCD 部分只有一个角位移，结点 B 再锁住，按基本运算进行力 矩分配和传递。结点 C 处于暂时的平衡。
（4）传递弯矩的到来，又打破了 B 点的平衡，B 点又有了新的约束力矩 M 传， 重复（2）、（3）两步，经多次循环后各结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结 构的受力状态和变形状态。一般 2～3 个循环就可获得足够的精度。
⑵剪力静定杆的固端弯矩计算
先由截面投影平衡求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载加在杆端，按该端滑动， 另一端固定的单跨梁计算固端弯矩。如图 1(b)(c)所示。