圆锥曲线的切点弦方程培训资料
圆锥曲线的切点弦方程培训资料
2011年江西高考一道试题解法的推广一圆锥曲线的切点弦方程圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。
背景知识I I 2 2 2已知圆C:x y r r 0 ,点A x o,y o是圆C上一点，求以点A为切点的切线方程.分析：易知以A x o, y o为切点的直线方程为：xx o yy o r2r 0（2oii年江西高考理科第14题）2 2 i问题1：若椭圆笃爲1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2 y21的切线，切a b 2点分别为A B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________ .解：设A x1,y1 ,B x2, y2•••点A B在圆x2 y21上,则过点A为，屮的切线方程为L「X1X y1y 1.过点B x2,y2的切线方程为L2: x2x y2y 1.1 1 1由于L1, L2经过点1, 则捲y1 1x y 1.2 2 21故刘，如,x2,y2均为方程x y 1的解。
1经过A、B两点的直线方程AB : x — y 1 .22 2设椭圆务与1的右焦点为c,o，上顶点为o,b .a b由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。
Kc 1,- 1 即b 222,22a b c 52 2故椭圆方程为—1.5 4由此题的解题方法，可得到如下推广: 结论一：（圆的切点弦方程）线MN 的方程为：ax by r 2.x 2问题2 :过椭圆一42y1外一点P 1,2作椭圆的两切线，切点为M 、N 求直线MN3的方程.1 a b 0外一点P X o ,y 0作椭圆的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：Xo 2X耳 1a b2问题3：过抛物线y 4x 外一点P 1, 2作抛物线两切线，切点分别为 M 、N , 求直线MN 的方程。
课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标：（1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
（2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
(4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1. 引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2. 知识点回顾：1.2. 3.4. 圆锥曲线切线的几个性质：性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且同理:双曲线,抛物线也有类似的性质3. 例题精讲：练习1：抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线22200(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：220022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.4. 圆锥曲线的切点弦方程:1.2.3.4. 练习2：例题3：5.小结: 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；2. 掌握求曲线方程的方法：3. 两种方程两种思想作业： 6. 反思220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A ，B 则弦AB 的方程为：22200(,)P x y x y r +=设为圆外一点，则切点弦的方程为：200xx yy r +=220022(,)1x y P x y a b -=过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：00()yy p x x =+22221(,0). x y P m a bA B AB ±=≠对于圆锥曲线，过点，（m 0）作两条切线，切点为，则直线恒过定点22x 21,4312A,B AB OMN y P x y +=+=已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，由P 向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？2l y x+3P y 2A,B.PAB P x ==∆已知是直线：上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为求面积的最小值。
圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)
圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。
12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。
综上，推导完毕。
2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线切点弦方程一般推导
圆锥曲线切点弦方程一般推导本文将探讨圆锥曲线切点弦方程的一般推导方法。
首先，我们需要了解什么是圆锥曲线。
圆锥曲线是在圆锥上截取的平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在平面几何中，圆锥曲线是非常重要的一类曲线，它们具有许多重要的性质和应用。
现在，我们来考虑圆锥曲线上的一个点P，以及通过该点的切线L。
假设切线L与圆锥曲线的交点为A，而曲线上另一点B与切线的交点为B。
我们要推导出点A和点B之间的弦AB的方程。
首先，我们需要求出点A和点B的坐标。
对于点A，我们可以利用切线的定义，即在该点处曲线的斜率等于切线的斜率。
因此，我们可以求出点P处曲线的斜率，然后利用切线的斜率求出切线的方程。
接着，我们求出切线与圆锥曲线的交点A的坐标。
对于点B，我们同样可以求出曲线在该点处的斜率，然后利用切线的斜率求出切线的方程。
但是，这样做很麻烦，我们可以采用另外一种方法。
我们知道，圆锥曲线是对称的，因此点A和点B关于切线的垂线中点O对称。
因此，我们可以利用点P和O的坐标求出点B的坐标。
现在，我们已经得到了点A和点B的坐标。
接着，我们可以利用两点式求出弦AB的方程。
具体来说，我们可以利用点A和点B的坐标，以及两点式的公式：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是弦AB的两个端点的坐标，x和y是任意一点的坐标。
将点A和点B的坐标代入上述公式，即可得到弦AB的方程。
综上所述，我们通过求出点P处曲线的斜率和点P和O的坐标，得到了点A和点B的坐标，进而求出了弦AB的方程。
这个推导方法可以适用于所有类型的圆锥曲线。
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。
微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。
为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。
这就要我们考虑可微曲线。
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圆锥曲线中的切点弦及其方程
圆锥曲线中的切点弦及其方程
切点弦是圆锥曲线中一种特殊的曲线，它与圆锥曲线的其余部分相交，一般用来描述圆锥曲线的结构。
换句话说，切点弦是一条交叉叉线，用以把圆锥曲线从上到下分开，这条交叉叉线有两个结束点，即切点，它们是圆锥曲线的拐点。
切点弦的方程为$y=\tan{\left(\frac{\pi}{2}-2\theta \right)}
\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)}$，其中$\theta$是圆锥曲线的拐点夹角。
可以看出，这条切点弦并不是一条匀速的曲线，而是在拐点处发生变化。
既然说到切点弦，就不得不提及它的应用。
切点弦可以用来测量圆锥曲线的拐点位置，可以测量圆锥曲线的斜率。
此外，它还可以用来模拟炮弹发射时的弹道，用来预测天气中的风向风速等。
从上述示例可以看出，切点弦对日常生活具有重要的意义，不仅可以应用在圆锥曲线的研究中，还可以应用在几何学、物理学以及数学模型等许多领域中。
而且，由于切点弦是一种简单的曲线，可以轻松计算出它的斜率，因此在分析圆锥曲线时非常有用。
总之，切点弦是一种详细地描述了圆锥曲线的曲线，它的方程式也清楚地表明，它是一条在拐点处的斜率发生变化的曲线，并且在研究圆锥曲线以及应用在几何学等领域中有着重要的意义。
切线与切点弦方程
高三 17 班数学一轮复习学案 序号 教师 代鹏 学生圆锥曲线的切线方程与切点弦方程学习目标1.掌握利用复合函数求导原理，求过圆锥曲线上任一点的切线方程2.了解切点弦的概念；3.掌握圆锥曲线切点弦方程的求法4.能够处理与切线有关的距离、面积等问题； 一．知识回顾 1.复合函数的求导法则 记()y f x =，22()z y f x ==则()x y f x ''=，()22()2()()x xxz yfx f x f x ''''⎡⎤===⎣⎦即：2x x z yy ''=2.圆锥曲线的切点弦：过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的切线，切点分别为A,B ，连接A,B ，则线段AB 称为此圆锥曲线的切点弦。
此时AB 所在直线方程称为切点弦方程。
3.求曲线上某点的切线方程：关键是切点坐标和切线斜率的求解。
二．典型问题练习：尝试应用：1.在抛物线24y x =上找一点P ，使得P 到直线x+y+4=0的距离最小。
2.已知椭圆C:2214x y +=，过椭圆C 的右焦点F 且斜率为1的直线与椭圆交与AB 两点，在C 上找一点P ，使得三角形ABP 的面积最大。
圆锥曲线的切点弦方程 例 命题1 过圆x 2+y 2= r 2(r>0)，外一点P （a ，b ）作圆的两切线，切点为M 、N ，则直线MN 的方程为：ax+by=r 2证明：22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=例1 求证：过圆 上一点 的切线方程:2200220022(,)11x yP x y a b xx yy a b +=+=例2 设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：2200002222(,)11xx yy x y P x y a b a b -=-=设为双曲线上的点，求证：过该点的切线方程为：0000(,)2()P x y px yy p x x ==+2设为抛物线y 上的点，求证：过该点的切线方程为：命题2 过椭圆（a>b>0）外一点P （x 0，y 0）作椭圆的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：证明：练习 将命题3补充完整并证明命题3 过抛物线22y px =外一点P （x 0，y 0）作抛物线的两切线，切点为M 、N 则直线MN 的方程为：尝试应用1.若椭圆的焦点在x 轴上，过点（1，）作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆方程。
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文圆锥曲线是一类由一条直线和一个定点（焦点）生成的曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。
在数学和物理学中，圆锥曲线的切线方程和切点弦方程是非常重要的应用。
一、圆锥曲线的切线方程1.椭圆的切线方程椭圆是一个凹向两侧的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
如果椭圆上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$2.抛物线的切线方程抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若抛物线的标准方程是$y^2=4ax$其中a是抛物线的焦点到曲线的距离。
如果抛物线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{1}{2a}(x-x1)$3.双曲线的切线方程双曲线是一个开口向上和向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是双曲线的距焦点到曲线的距离。
如果双曲线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$二、圆锥曲线的切点弦方程1.椭圆的切点弦方程椭圆的切点弦方程表示的是通过椭圆上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果椭圆上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），椭圆的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$2.抛物线的切点弦方程抛物线的切点弦方程表示的是通过抛物线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果抛物线上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），抛物线的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$3.双曲线的切点弦方程双曲线的切点弦方程表示的是通过双曲线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
圆锥曲线与切线有关
圆锥曲线与切线有关知识点：一、切线方程与切点弦方程都为“各取一半”。
1.椭圆：①点),00y x （在曲线上，则过该点的切线方程12020=+by y a x x ②点),00y x （在曲线外，则过该点做曲线的两条切线的两切点的直线（切点弦）方程为12020=+by y a x x 2.双曲线的两种情况：1-2020=b y y a x x 3.抛物线的两种情况：px px y y +=004.圆的两种情况：200))(())(r b y b y a x a x =--+--（ 二、椭圆的焦点三角形内切圆，用等面积法。
ca cy r +=0（0y 是焦点三角形顶点的纵坐标） 三、双曲线的焦点三角形内切圆，切于右顶点或左顶点；过焦点三角形顶点的切线评分这个顶角。
四、抛物线中，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，过这两点的切线一定交于准线上（设为P ），则AP ⊥BP ，PF ⊥AB.练习：1、过点P （-2,3）做抛物线x y 82=的两条切线，切点为A 、B ，求直线AB 所在直线方程的斜率。
2、双曲线12222=-b y a x 中21,F F 分别是左右焦点，)25,0x P （在抛物线上，21F PF ∆的内切圆M 的半径为1，且5=OM ,求双曲线方程。
3、已知1,222221=-by a x F F 是双曲线左右焦点，P 是双曲线右支上异于顶点的点，以P 为切点的切线与X 轴交于点M ，2121212|,PF ||PF |MF M F PF PF =-=+且若,求双曲线离心率。
4、已知点)214,2(-P 在椭圆C:)012222>>=+b a by a x （，过P 做圆222=+y x 的切线，切点为A 、B,且直线AB 恰好过椭圆的左焦点F ，则22b a +的值为多少。
5、已知y x 82=，过1)1()122=++-y x （上任意一点P 做抛物线的切线，切点为A 、B ，求直线AB 的斜率的取值范围。
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程教学目标：1) 掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
2) 能够使用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
3) 通过复渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1.引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2.知识点回顾：1) 过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$(x_0,y_0)$的切线方程为：$xx_0+yy_0=r^2$2) 设$P(x,y)$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$3) 设$P(x,y)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$4) 设$P(x,y)$为抛物线$y^2=2px$上的点，则过该点的切线方程为：$y=y_0+p(x+x_0)$圆锥曲线切线的几个性质：1) 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径。
同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
2) 过椭圆的焦点$F_1$的直线交椭圆于$A$，$B$两点，过$A$，$B$两点作椭圆的切线交$PF_1\perp AB$于点$P$，则$P$点的轨迹是焦点$F_1$的对应的准线，并且同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。
3.例题精讲：1) 练1：已知抛物线$y=ax^2(a>0)$与直线$x=1$围成的封闭图形的面积为3，若直线$l$与抛物线相切，且平行于直线$2x-y+6=0$，则直线$l$的方程为。
圆锥曲线的切线与切点弦方程
圆锥曲线的切线与切点弦方程圆锥曲线的切线与切点弦方程说明：（1）以上方程可以通过局部分割曲线，利用导数求得.（2）切点弦方程可以通过两切点具有相同结构方程式且切线有公共交点推导而得.1.过点(M 且与圆224x y +=相切的直线方程为2.由点()2,2P 向圆221x y +=引两切线,PA PB ，其中切点为,A B ，则AOB S ∆=3.设抛物线24y x =在()00,P x y 处的切线为l ，则点(2,0)A 到直线l 的距离的最小值为 4.设椭圆2214x y +=在()00,P x y 处的切线为l ，直线l 与两坐标轴交点分别为,A B ，则AOB S ∆最小值为 ；AB 最小值为 .二、抛物线的切线与切点弦方程1.已知抛物线24x y =在1(1,),(2,1)4A B -两点处的切线分别为12,l l ，且1l 与2l 相交于点P（1）求点P 的坐标.（2）求直线AB 的方程.2.已知抛物线22(0)x py p =>，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：,,A M B 三点的横坐标成等差数列.（2）若(2,2)M p -且AB =.3.已知抛物线24x y =，过点P 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别以,A B 为切点的两切线12,l l .（1）若(2,2)P ，求1l 与2l 交点M 的轨迹方程.（2）若点P 为抛物线的焦点F ，证明：（i ）MF AB ⊥； （ii ）MA MB ⊥.4.已知抛物线C ：22x py =的焦点(0,)F c (0)c >到直线l ：20x y --=，设P 为直线l 上点，过点P 作抛物线的两条切线12,l l ，求切点分别为,A B .（1）求抛物线C 的方程；（2）当00(,)P x y 为定点时，求直线AB 的方程；（3）当P 在直线上运动时，求FA FB ⋅的最小值. 5.已知椭圆1C ：22221x y a b+=的两个焦点1(2,0)F -，2(2,0)F ，点(2,3)A 在椭圆上，过点A 的直线l 与抛物线2C ：24x y =交于,B C 两点，抛物线2C 在,B C 两点处的切线分别为12,l l 且1l 与2l 相交于点P .（1）求椭圆1C 的方程；（2）是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ，若存在，请指出个数？若不存在说明理由.。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
圆锥曲线的切点弦方程及其应用
圆锥曲线的切点弦方程及其应用摘要：切点弦的问题是圆锥曲线中的重要内容之一，是近几年高考的热点考题，切点弦涉及到的问题，难度较大，技巧性强，计算繁琐，学生遇到此类问题较为棘手，束手无策，这里通过类比推理，探究其规律，掌握其性质，触类旁通，化繁就简，降低难度，进一步提高学习效率。
关键词：圆锥曲线；弦方程；应用1.内容解析1.切点弦的概念：过曲线C（圆，椭圆，双曲线，抛物线）外一点（对非封闭曲线是开口外一点）引两条切线，可以得到两个切点，连接切点即为切点弦。
2.微专题概述：圆锥曲线的切点弦方程是平面解析几何中的一类难点问题，围绕切点弦命制的解析几何试题具有内涵深刻、灵活多变的特点。
本专题在讲解一道课本习题即“过圆上一点圆的切线问题”的求解方法的基础上，立足学生思维的“最近发展区”，通过设置环环紧扣的问题串，最后得出椭圆、双曲线、抛物线的切点弦的一般性结论。
本微专题坚持“以小见大、微中知著”，最终达到启迪学生思维、开阔数学视野、培养类比归纳能力的目的；另一方面，客观题中熟练掌握切点弦方程结论，可以帮助学生有效简化解题过程、提高解题速度。
1.本专题所蕴含的数学思想方法及教学策略分析思想方法：数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般的思想教学策略：讲授法、分组讨论法、引导启示法立足高三年级学生实际、对基本概念和知识点采取讲授的方法；通过设置环环相扣的问题串，让学生分组讨论，教师引导实现同类知识的的迁移和整合归纳；注重问题串的整体性，在问题串的引领下，引导启示学生进行系列、连续的思维活动，使学生思维达到新高度。
1.教学目标1.知识与技能（1）掌握圆锥曲线在某点处的切点弦方程；（2）会用切点弦方程解决一些实际问题；（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
2.过程与方法首先，通过对过圆上一点的圆的切线的求法的研究，进而设置一些列有较强逻辑关系的问题串，采取学生小组讨论法、教师启发引导法从而完成教学目标。
圆锥曲线切点弦方程的推导
圆锥曲线切点弦方程的推导针对中学生《探索圆锥曲线切点弦方程的奇妙之旅》同学们，今天咱们一起来研究一个超有趣的数学问题——圆锥曲线切点弦方程的推导！想象一下，有一个圆圆的椭圆，就像一个压扁的足球。
假设在这个椭圆上有一个点，咱们就叫它“切点”吧。
从这个切点出发，咱们可以画一条切线。
比如说，有一个椭圆方程是\(x^2/4 + y^2/3 = 1\)，在点\((1, \sqrt{3/2})\)处有一个切点。
那怎么求切线方程呢？咱们可以用一种巧妙的方法。
先对椭圆方程求导，得到一些关于斜率的信息，然后把切点的坐标代进去，就能求出切线的斜率啦。
求出切线后，再假设有另外一个点也在这条切线上，咱们就能得到切点弦方程啦！数学就是这么神奇，只要咱们用心去探索，就能发现其中的奥秘！《圆锥曲线切点弦方程：不再神秘》嘿，小伙伴们！咱们来聊聊圆锥曲线的切点弦方程，这可一点儿都不难！就拿抛物线来说吧，比如\(y^2 = 4x\)。
假如有个点\((1, 2)\)在上面是切点，那切线方程怎么来呢？其实啊，咱们可以先把抛物线方程变一变，变成\(y =2\sqrt{x}\)，然后求导，算出在\(x = 1\)处的导数，这就是切线的斜率。
知道了斜率，再用点斜式就能写出切线方程。
如果再有其他点也在这条线上，那这一堆点形成的直线方程就是切点弦方程啦。
比如说，又有个点\((2, 2\sqrt{2})\)也在这条切线上，那咱们就能确定切点弦方程了。
是不是挺简单的？数学就是这么有趣！《轻松搞定圆锥曲线切点弦方程》同学们，别害怕圆锥曲线的切点弦方程，跟着我一起轻松搞定它！比如说有个双曲线\(x^2 y^2 = 1\)，在点\((\sqrt{2}, 1)\)是切点。
咱们先把方程变形，然后求导。
求导就像是找一个密码，找到这个密码就能算出切线的斜率。
有了斜率，再用切点的坐标，就能写出切线方程。
如果还有好多点都在这条切线上，那这条线就是切点弦方程啦。
就像我们一起解谜一样，一步一步来，就能找到答案。
圆锥曲线切点弦的性质及其应用
圆锥曲线切点弦的性质及其应用
圆锥曲线切点弦：融会贯通几何与动力学，开启创新之路。
圆锥曲线切点弦是椭圆曲线的重要特性，它联系着椭圆的焦点和它的椭圆杆（即椭圆的直径）。
它的形状随着半焦距的变化而变化，特
别是在不同的椭圆形状和焦距之间形成的拐角处。
它的性质主要有以
下几点：
1. 确定椭圆曲线的所有焦点，涉及到椭圆曲线圆锥曲线切点弦的计算。
2. 定义和计算椭圆曲线的一系列弦上的垂直线段，两条垂直线段之间
形成拐角处。
3. 弦上的点分为两种，一种是椭圆曲线切点弦上的点，另一种是椭圆
曲线周边环上的点。
应用：
1. 通过圆锥曲线切点弦，可以计算激光切割机机头运动轨迹。
2. 也可以用圆锥曲线切点弦来计算图形的面积。
3. 圆锥曲线切点弦特性也可以用来解决物体移动时其运动轨迹在椭圆曲线上的性质与特性。
高考高频考点(圆锥曲线)3、圆的切线、切点弦结论
第3讲 圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r −+−=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切，若是，如图1所示，所求切线为0x x =，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为k ，如图2所示，由PC ⊥切线，求出k ，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=. 2求过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为0x x =（2）设切线的斜率为k ，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离d r =，解出k ，求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，如图4所示，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=典型例题【例l 】圆()22:14C x y −+=在点(P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为()()0114x −−=，化简得：30x +=.【答案】30x +=变式1 圆22:230C x y x +−−=在点(2,P 处的切线方程为______.【解析】易验证点P 在圆C 上，故所求切线的方程为222302xx +−−⋅−=，化简得：50x −=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线，则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到.【答案】50x −=变式2 已知圆()22:14C x y −+=，则：（1）圆C 的过点()2,0P −的切线方程为_______；（2）圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线2x =−与圆C 不相切， 故可设切线的方程为()2y k x =+，即20kx y k −+=2=，解得：k =，故圆C 的过点P 的切线方程为)25y x =±+； （2）易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()13y m x −=−，即130mx y m −+−=2=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()3134y x −=−−，化简得：34130x y +−=， 综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +−=.【答案】（1）)2y x =+；（2）3x =或34130x y +−= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为_______【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=，即2340x y +−= 【答案】2340x y +−=变式1 已知圆22:2410C x y x y +−−+=外一点()2,1P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y −++−+−⋅−⋅+= 化简得：310x y +−=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线，则切点弦所在直线的方程，可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到. 【答案】310x y +−=变式2 已知圆22:4Q x y +=，P 为直线:4l y x =+上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PAOB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PAOB 的面积122S AP AO =⨯⋅=由题意，12=，解得:PO =由题意，点P 在直线:4l y x =+上，故可设(),4P m m +，则PO == 解得：6m =−或2，当6m =−时，()6,2P −−，此时直线AB 的方程为624x y −−=，化简得：320x y ++= 当2m =时，()2,6P ，此时直线AB 的方程为264x y +=，化简得：320x y +−=， 所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +−=【答案】320x y ++=或320x y +−=变式3 已知圆22:4O x y +=，P 为直线:260l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PACB 的面积122S AP AO =⨯⋅=PO 最小时，S 也最小， 此时PO l ⊥，易求得PO 的方程为20x y −=，联立20260x y x y −=⎧⎨++=⎩解得：65x =−，125y =−，所以612,55P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为612455x y −−=，化简得：36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ，过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设AB 中点为M ，则TM 的最小值为（ ）A. B. D.3【解析】如图，因为点P 在直线:4l y x =+上，所以可设(),4P m m +，则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++−=，所以直线AB 过定点()1,1Q −，又M 为AB 中点，所以OM AB ⊥，故点M 在以OQ 为直径的圆上，从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫− ⎪⎝⎭为半径的圆，显然点()4,0T −在该圆外，所以minTMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时，过点P 作圆C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.（★★）圆22:40C x y x +−=在点(P 处的切线方程为（ ）A.20x +−=B.40x +−=C.40x +=D.20x +=【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为11402xx y +⋅+−⋅=，化简得：20x +=.【答案】D2.（★★）已知圆()22:11C x y +−=，则：（1）圆C 的过点()0,2P −的切线方程为______； （2）圆C 的过点()1,1Q −的切线方程为______.【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切，故可设切线的方程为()()20y k x −−=−，即20kx y −−=1=，解得：k =±C 的过点P的切线方程为2y =±−；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()()11y m x −−=−，即10mx y m −−−=1=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()()3114y x −−=−−，化简得：3410x y ++=， 综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++=【答案】（1）2y =±−；（2）1x =或3410x y ++=3.（★★）已知圆()22:12C x y −+=外一点()2,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y −−+=，化简得：230x y +−=. 【答案】230x y +−=4.（★★）已知圆()()22:129C x y −+−=外一点()4,2P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y −−−+−−=，化简得：45x =−.【答案】45x =−5.（★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=外一点()4,1P −−，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y −−−−−⋅−⋅−=，化简得：5320x y +−=.【答案】5320x y +−=6.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PACB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅=由题意，12=，解得：5PC =，由题意，点P 在直线20x y ++=上，故可设(),2P m m −−，则PC =5=，解得：4m =−或1，当4m =−时()4,2P −，此时直线AB 的方程为4242244022x yx y −++−+−⋅−⋅−=， 化简得：45x =−，当1m =时，()1,3P −， 此时直线AB 的方程为133244022x yx y +−+−−⋅−⋅−=， 化简得：15y =， 所以直线AB 的方程为45x =−或15y =.【答案】45x =−或15y =7.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =.如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅= 所以当PC 最小时，S 也最小，此时，PC l ⊥， 故PC 的方程为21y x −=−，即10x y −+=，联立1020x y x y −+=⎧⎨++=⎩解得：32x =−，12y =−，即31,22P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫−−−+−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.（★★★★）已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点，过P 作圆()22:44M x y −+=的两条切线，切点分别为A 和B ，则当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==，所以四边形PAMB 的面积122S AP AM =⨯⋅=， 所以当PM 最小时，S 也最小，由题意，()4,0M ，可设()2,2P t t ，则()()2222242244416212PM t t t t t =−+=−+=−+，故当t =PM 取得最小值，此时(2,P ±，所以直线AB 的方程为()()2444x −−±=，化简得：20x ±−=.【答案】20x +−=或20x =−=9.（★★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，AB 的中点为Q ，若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭，则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =， 设(),2P m m −−，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y −−+−−−−=， 化简得：()140m x y x y −+−−=，所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，显然CQ KQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆，其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，CK ==，因为GT =min 12TQ GT GK =−=.【答案】10。
第13讲 切点弦问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线
第13讲切点弦问题一、解答题1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为22，M 是椭圆上的动点，12MF F △的最大面积为1．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求证：过椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>上的一点()00,T x y 的切线方程为：00221x x y y a b⋅⋅+=；（3）设点P 是直线:2l x =上的一个动点，过P 做椭圆Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．2．已知抛物线C ：y 2＝4x 和直线l ：x ＝－1.(1)若曲线C 上存在一点Q ，它到l 的距离与到坐标原点O 的距离相等，求Q 点的坐标；(2)过直线l 上任一点P 作抛物线的两条切线，切点记为A ，B ，求证：直线AB 过定点.3．已知抛物线C ：22y px =（0p >）上的一点)M m 1+.（1）求p 的值.（2）过点()2,N t -（t R ∈）作曲线C 的切线，切点分别为P ，Q .求证：直线PQ 过定点.4．已知圆O ：222x y r +=上的点到直线:34100l x y +-=的最小距离为1，设P 为直线l 上的点，过P 点作圆O 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）求圆O 的方程；（2）当点P 00(,)x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程.5．已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅ ．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设D 为直线2y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．6．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 与双曲线2213y x -=的一个焦点重合，D 为直线2y =-上的动点，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明直线AB 过定点7．过直线1y =-上的动点(),1A a -作抛物线2y x =的两切线AP ，AQ ，P ，Q 为切点.（1）若切线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值；（2）求证：直线PQ 过定点.8．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当2AOB π∠=时，求k 的值；（2）若2k =，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC PD 、，切点为C D 、，探究：直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点．9．已知两个定点(0,4),(0,1)A B ，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，探究：直线MN 是否过定点.10．已知抛物线2:2C x y =，直线:2l y x =-，设P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1）当点P 在y 轴上时，求线段AB 的长；（2）求证：直线AB 恒过定点.11．已知抛物线2:2C x y =，设P 为直线:1l y x =-上一点，过P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B .（1）证明：动直线AB 恒过定点Q ；（2）设P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C 与M 、N 两点，证明PM QMPN QN =.。
圆锥曲线的切线方程讲义——以一道高考题为例(原创)
因为 P 是 PA, PB 的交点，故 ( x0 , y0 ) 满足：
x0x1 = 2 y1 + 2 y0 ………………① x0x2 = 2y2 + 2y0 ………………②
可知 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) 是方程： x0x = 2y + 2y0 的两组解
两边同时除以 a2b2 ：
yy0 b2
+
xx0 a2
=
y02 b2
+
x02 a2
因为点 ( x0 , y0 ) 在椭圆上，故
y02 b2
+
x02 a2
=1
所以： xx0 + yy0 = 1. a2 b2
三、应用
（2021 年全国高考乙卷数学（理））已知抛物线 C : x2 = 2 py ( p 0) 的焦点为 F ，且 F 与圆
简单规律： x2 → xx0 ， 2 px → px + px → px + px0 （特别注意： ( x0 , y0 ) 为切点）。
二、证明（以椭圆为例）
证明：椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 在 ( x0 ,
y0 ) 的切线方程为
xx0 a2
+
yy0 b2
=1.
证明： 方法、求导法（需要二元求导）
显然 y0 [−5, −3]
P 点在圆上得出
−( y0 + 6)2 + 21 −(−5 + 6)2 + 21 = 20
即： S
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2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程
圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。
背景知识
已知圆()222:0C x y r
r +=>,点()00,A x y 是圆C 上一点，求以点A 为切点的切线方程.
分析：易知以()00,A x y 为切点的直线方程为：()2000xx yy r
r +=>
（2011年江西高考理科第14题） 问题1：若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
作圆221x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________. 解：设()()1122,,,A x y B x y
∵点A B 、在圆221x y +=上，则
过点()11,A x y 的切线方程为111:1L x x y y +=.
过点()22,B x y 的切线方程为222:1L x x y y +=.
由于12,L L 经过点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭则1122111,122
x y x y +=+=. 故()()1122,,,x y x y 均为方程112
x y +
=的解。
∴经过A B 、两点的直线方程1:12AB x y +=. 设椭圆22
221x y a b
+=的右焦点为(),0c ,上顶点为()0,b . 由于直线AB 经过椭圆右焦点和上顶点。
1,12
b c ∴==即2b = 2225a b c ∴=+= 故椭圆方程为22
154
x y +=.
由此题的解题方法，可得到如下推广：
结论一：（圆的切点弦方程）
过圆()2220x y r r +=>，外一点(),P a b 作圆的两切线，切点为M N 、，则直
线MN 的方程为：2ax by r +=.
问题2：过椭圆22
143
x y +=外一点()1,2P 作椭圆的两切线，切点为M N 、求直线MN 的方程.
解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程分别为；
11221,14343
x x y y x x y y +=+= 由于两切线都过()1,2P ，则11143x x y y +=① 22143
x x y y +=② 这两式表示直线2143x y +=经过M N 、，所以直线MN 的方程为：2143
x y +=。
结论二：（椭圆的切点弦方程） 过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>外一点()00,P x y 作椭圆的两切线，切点为M N 、则直线MN 的方程为：
00221x x y y a b += 问题3：过抛物线24y x =外一点()1,2P --作抛物线两切线，切点分别为M N 、，
求直线MN 的方程。
解：设()()1122,,,M x y N x y 则过M N 、的切线方程为()()11222,2y y x x y y x x =+=+
由于过M N 、的切线都经过()1,2P --则()()1122221,221y x y x -=--=- ∴直线MN 的方程为()221y x -=-即10x y +-=
结论三：（抛物线的切点弦方程）
过抛物线()2
20y px p =>外一点()00,P x y 作两切线，切点为M N 、，则直线MN 的方程为()00yy p x x =+.
问题4：过双曲线22
154
x y -=外一点()3,3P 作双曲线两切线，切点分别为M N 、，求直线MN 的方程。
解：设两切点的坐标为()()1122,,,M x y N x y 则两切线方程为
11221,15454
x x y y x x y y -=-=， 由于两切线均过()3,3P 则112233331,15454
x y x y -=-= 故()()1122,,,x y x y 均为方程33154
x y -=的解， 则过M N 、的直线方程为：33154
x y -= 结论四：（双曲线的切点弦方程） 过双曲线22
221x y a b
-=外一点()00,P x y 作双曲线两切线，切点分别为M N 、则直线MN 的方程为：
00221x x y y a b -=.。