【全国百强校】贵州省凯里市第一中学2015-2016学年高一上学期期末检测(模拟)数学试题(2015-12-24)

高一上学期期末检测（六）（必修1、必修4）试卷满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.化简AC -AB -BD +CD 得（ ）A. 0B. DAC.D. AB 2.已知3cos()||,tan 22ππϕϕϕ-=<且则等于（ ） A．BC．D ．3. 函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos2a b+=（ ） A. 0B.2C. 1-D. 1 4.函数)0(sin 3>=ωωx y 在区间],0[π恰有2个零点，则ω的取值范围是( ) A ．1≥ω B ．21<≤ω C ．31<≤ω D ．3<ω5．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值是（ ） A. 1925 B. 1625 C. 1425 D. 7256.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩则15()4f π-等于（ ）A.B. 1C. 0D. 7. 已知函数()2cos(2)6f x x π=+，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到. D ．函数()6f x π+是奇函数.8.=（ ）A. 1B. 2C.D.9. 若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥， (2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ） A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 10.如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +；⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．⑤二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.平面向量,a b 中，若(1,1)a =-，(cos ,sin )b αα=，且1a b ∙=，则向量b = .12. 函数())3f x x πω=+(0)ω>部分图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.则ω= .13.ABC ∆的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则BC AB ∙的值等于 ． 14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若)())((c b b c a c a +=-+， 则角A 的大小是__________．15.函数sin cos sin cos ,[0,]y x x x x x π=-+∈的值域是 .三、解答题：（本大题共6个小题，共55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤． 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．） 16. （本小题9分)已知向量(1,2)a =，(2,)b m =-,2(1)x a t b =++，1y ka b t=-+，m R ∈，,k t 为正实数. （Ⅰ）若//a b ，求m 的值; （Ⅱ）若a b ⊥，求m 的值;（Ⅲ）当1m =时，若x y ⊥，试确定k 与t 的关系式.17. （本小题8分)如图，在矩形ABCD 中，已知 1.5,( 1.5),,,,AD AB a a E F G H ==>分别是边,,,AD AB BC CDBGC 上的动点，且满足AE AF CG CH ===．若AE x =，当x 变化时（1）求四边形EFGH 的面积S 关于x 的函数解析式，写出其定义域． （2）当x 取何值时，S 有最大值，并求出其最大值．18. （本小题8分)已知sin 2cos 0.22x x-= （Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求cos2)sin 4x x xπ+⋅的值.19. （本小题10分) 已知抛物线241y x x =-+．将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．（1）求平移后的抛物线解析式．（2）若直线y m =与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围．20. （本小题10分)设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，,P Q 是单位圆上两点，O 是坐标原点，且6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .（Ⅰ）若点Q 的坐标是(m ，求)6cos(πα-的值；（Ⅱ）若函数()f OP OQ α−−→−−→=∙，求()f α的值域．21. （本小题10分)已知函数()sin()f x x α=+, ()cos()g x x β=+,R x ∈,α、(,)22ππβ∈-. （Ⅰ）若4,4πβπα=-=，判断22()()()h x f x g x =+的奇偶性；（Ⅱ）若3πα=，()()()t x f x g x =+是偶函数，求β;（Ⅲ）是否存在α、β，使得()()()t x f x g x =+是奇函数但不是偶函数？若存在，试确定α与β的关系式；如果不存在，请说明理由.高一上学期期末检测（六）（必修1、必修4）试卷满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.化简AC -AB -BD +CD 得（ A ）A. 0B. DAC.D. AB 2.已知3cos()||,tan 22ππϕϕϕ-=<且则等于（ C ） A．BC．D ．3. 函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos2a b+=（ D ） A. 0B.2C. 1-D. 1 4.函数)0(sin 3>=ωωx y 在区间],0[π恰有2个零点，则ω的取值范围是( B ) A ．1≥ω B ．21<≤ω C ．31<≤ω D ．3<ω5．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值是（ D ） A. 1925 B. 1625 C. 1425 D. 7256.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩则15()4f π-等于（ A ）A.B. 1C. 0D. 7. 已知函数()2cos(2)6f x x π=+，下面四个结论中正确的是 ( D )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到. D ．函数()6f x π+是奇函数.8.=（ C ）A. 1B. 2C.D.9. 若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥， (2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ B ） A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 10.如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +；⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( C ) A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．⑤二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.平面向量,a b 中，若(1,1)a =-，(cos ,sin )b αα=，且1a b ∙=，则向量b = (1,0)或(0,1)- .12.函数())3f x x πω=+(0)ω>部分图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.则ω=4π. 13.ABC ∆的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ∙的值等于 19- ． 14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若)())((c b b c a c a +=-+， 则角A 的大小是____23π______． 15.函数sin cos sin cos ,[0,]y x x x x x π=-+∈的值域是 [1,1]- .四、解答题：（本大题共6个小题，共55分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤． 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．） 16. （本小题9分)已知向量(1,2)a =，(2,)b m =-,2(1)x a t b =++，1y ka b t=-+，m R ∈，,k t 为正实数. （Ⅰ）若//a b ，求m 的值; （Ⅱ）若a b ⊥，求m 的值;（Ⅲ）当1m =时，若x y ⊥，试确定k 与t 的关系式. 解（Ⅰ）//a b ，1(2)20m ∴⋅--=， …………2分∴4m =-. …………3分（Ⅱ）a b ⊥,0a b ∴⋅=, …………4分 1(2)20m ∴⋅-+=, …………5分1m ∴=. …………6分（Ⅲ） 当1m =时,a b ⋅0=,x y ⊥ 0x y ∴⋅=.则 x y ⋅=22211(1)()0ka a b k t a b t b t t-+⋅-+⋅++=, …………8分1k t t∴=+.…………9分17．（本小题8分) 如图，在矩形ABCD 中，已知 1.5,( 1.5),,,,AD AB a a E F G H ==>分别是边,,,AD AB BC CD 上的动点，且满足AE AF CG CH ===．若AE x =，当x 变化时BGC （1）求四边形EFGH 的面积S 关于x 的函数解析式，写出其定义域． （2）当x 取何值时，S 有最大值，并求出其最大值． 解：设AE ＝x ，四边形EFGH 的面积为S ，则 25.25.1,5.1,5.4,5.145.1)2(8)5.1(45.1,5.45.15.145.1)1(]5.1,0(8)5.1(45.1(2)5.1(2))(5.1(5.1max 2max 2222-==>>++=+=≤<≤+∈+++--=++-=----=a S S x a a a S S ax a a x a a x xa x x a x x a S 取得最大值，时则当即若取得最大值，时，则当即若18. （本小题8分)已知sin 2cos 0.22x x-= （Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求cos2)sin 4x x xπ+⋅的值.解：（Ⅰ）由sin2cos 0,tan 2222x x x-=⇒=, …………2分222tan2242tan .1231tan 2x x x ⨯∴===--- …………4分（Ⅱ）原式22(cos sin )(cos sin )(cos sin )sin x x x x x x x -+==-⋅ cos sin 13111sin tan 44x x x x +==+=-+= ………8分19. （本小题10分) 已知抛物线241y x x =-+．将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．（1）求平移后的抛物线解析式．（2）若直线y m =与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围． 解：（1）将y ＝x 2－4x +1配方，得y ＝(x －2)2－3，向左平移4个单位，得y ＝(x +2)2－3，所以平移后得抛物线的解析式为241y x x =++ …………………（4分） （2）由（1）可知，两抛物线的顶点坐标为 (2，－3)，(－2，－3) ．而又由224141y x x y x x ⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩，解得0,1.x y =⎧⎨=⎩所以两条抛物线的交点为（0，1）， 如图．由图象知，若直线y ＝m 与两条抛物线有且只有四个交点时，m ＞－3且m ≠1．………………………………………（8分）20. （本小题10分)设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，,P Q 是单位圆上两点，O 是坐标原点，且6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .（Ⅰ）若点Q 的坐标是(,3m ，求)6cos(πα-的值；（Ⅱ）若函数()f OP OQ α−−→−−→=∙，求()f α的值域．解：（Ⅰ）由已知可得cos 3m α==±，sin 3α=，…………2分所以3cos()cos cossin sin6666πππααα±-=+=. …………4分（Ⅱ）()(cos,sin )(cos ,sin )66f OP OQ ππααα==1sin sin()23πααα+=+. …………6分因为[)0,απ∈，则4[,)333πππα+∈，所以sin()13πα<+≤，故()f α的值域是(. …………8分21. （本小题10分)已知函数()sin()f x x α=+, ()cos()g x x β=+,R x ∈,α、(,)22ππβ∈-. （Ⅰ）若4,4πβπα=-=，判断22()()()h x f x g x =+的奇偶性；（Ⅱ）若3πα=，()()()t x f x g x =+是偶函数，求β;（Ⅲ）是否存在α、β，使得()()()t x f x g x =+是奇函数但不是偶函数？若存在，试确定α与β的关系式；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ),44ππαβ=-=221cos(2)1cos(2)22()sin ()cos ()4422x x h x x x ππππ--++∴=-++=+x x x 2sin 122sin 12sin 1-=-+-=. …2分 所以()h x 是非奇非偶函数. ………3分(Ⅱ)3πα=，()sin()cos()3t x x x πβ∴=+++，()t x 偶函数，()()t x t x ∴=-，即sin()cos()sin()cos()33x x x x ππββ+++=-++-+1sin (sin )02x β=>-= ………5分1sin 2β∴=，(,),226πππββ∈-∴=. ………6分 （Ⅲ）方法一：假设存在,αβ，使得()()()t x f x g x =+是奇函数 由(0)0t =得sin cos αβ=-，所以sin sin()sin()22ππαββ=--=-由(,)22ππβ∈-知，(,0)2πβπ-∈-，又(,)22ππα∈-，故2παβ=-或()2παβπ+-=-即2παβ-=-或2παβ+=-当2παβ-=-时，()()()t x f x g x =+=sin()x α++cos()x β+=sin()x α++cos()2x πα++=sin()x α+sin()0x α-+=，此时()t x 既是奇函数又是偶函数.不合题意，舍去. ………9分 当2παβ+=-时，()()()t x f x g x =+=sin()x α++cos()x β+=sin()x α++cos()2x πα--=sin()x α+()sin x α--=2cos sin x α此时()t x 是奇函数但不是偶函数. 综上，存在α、β，满足2παβ+=-，使得()()()t x f x g x =+是奇函数但不是偶函数…….…..10分方法二：假设存在α、β，使得()()()t x f x g x =+是奇函数，则()()0t x t x +-=即sin()cos()sin()cos()0x x x x αβαβ++++-++-+=cos (sin cos )0sin cos x αβαβ=>+==>=- （以下同方法一）所以sin sin()sin()22ππαββ=--=-由(,)22ππβ∈-知，(,0)2πβπ-∈-，又(,)22ππα∈-，故2παβ=-或()2παβπ+-=-即2παβ-=-或2παβ+=-当2παβ-=-时，()()()t x f x g x =+=sin()x α++cos()x β+=sin()x α++cos()2x πα++=sin()x α+sin()0x α-+=，此时()t x 既是奇函数又是偶函数.不合题意，舍去. ………9分 当2παβ+=-时，()()()t x f x g x =+=sin()x α++cos()x β+=sin()x α++cos()2x πα--=sin()x α+()sin x α--=2cos sin x α此时()t x 是奇函数但不是偶函数. 综上，存在α、β，满足2παβ+=-，使得()()()t x f x g x =+是奇函数但不是偶函数…….…..10分。