北师大版高中数学必修二面面垂直的判定定理导学案

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高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.1垂直关系的判定》

《直线与平面垂直的判定》教学设计吉水二中谢志强1教材分析教学内容本节是北师大版高中数学必修2第一章直线与平面垂直的判定”，内容为直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用通过让学生观察实例引出直线和平面垂直的概念:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直而直线与平面垂直的判定定理是让学生通过折纸试验来感悟的:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直该定理把原来定义中要求与任意一条无限直线垂直转化为只要与两条有限相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定具有可操作性地位作用直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的轴心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一通过该内容的学习，进一步培养和发展学生空间想象能力、合情推理能力、一定的推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化2学情分析基础水平之前学生已经学习了两直线共面或异面互相垂直的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质，有了研究方法的体验，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识认知困难学生学习的困难之一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的因为学生直观感知中的形象和定义中“直线与平面内的任意一条直线都垂直”的内涵是有距离的教学中首先通过一些实例让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再利用“旗杆与变动的影子的关系”的情境，从中概括出定义，体会直线与平面垂直定义的合理性学生学习的另一个困难是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍教学中可充分利用“折纸”试验，引导学生进行操作、观察、思考与说理，挖掘“折纸”活动的数学内涵，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认3教学目标1知识与技能:借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义;通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题2过程与方法:在探索直线与平面垂直判定定理的过程中进一步培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体验和感悟转化的数学思想方法(3)情感态度与价值观:让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心4重点难点1教学重点:直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理2教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用5教法教具2教法:本课采用“引导一探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲教师引导学生通过观察、分析、实验、讨论、说理等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，通过对例题和练习的思考、板演、交流与说理，体验思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提髙课堂效率3教具:投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台）；学生自备学具:三角形纸片、笔表直线、课本表平面6教学过程直观感知直线与平面垂直的形象在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形问题1展示日常生活中具有直线与平面相交的四个例子，图三、图四与图一、图二的相交有何不同？意图:基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题问题2在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？意图:基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系抽象概括直线与平面垂直的定义问题3根据我们已有的经验，对于直线与平面垂直的位置关系，研究的内容、方法分别是什么？意图：明确研究的内容，通过对已有知识经验的回顾，引导学生用平面外直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形，体会知识形成的自然性问题4将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（红线处）与桌面的位置关系（如图1），此时书脊与每页书与桌面的交线的位置关系如何？问题5观察圆锥SO（图2），它给我们以轴垂直于底面的形象，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？意图:问题4旨在让学生发现书脊所在直线始终与书页和桌面交线垂直，问题5旨在引导学生根据异面直线所成角的概念，圆锥的轴与底面任意一条直线垂直问题6若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你认为该直线与此平面垂直吗？意图:通过观察、讨论与举例，引导学生认识定义的“充要性”与“合理性”，由此得出直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

新教材高中数学第6章第2课时平面与平面垂直的判定学案含解析北师大版必修第二册

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第2课时平面与平面垂直的判定学习任务核心素养1．掌握平面与平面垂直的判定定理．(重点) 2．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系．(难点)1．通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养．2．通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养．在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂直等都给我们以平面与平面垂直的形象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？问题2：如何判断两个平面垂直？知识点平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊂α，l⊥β⇒α⊥β1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？提示：垂直2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？提示：有无数多个．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．()(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()[提示](1)正确．(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√类型1平面与平面垂直的判定【例1】(教材北师版P234例8改编)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[跟进训练]1．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.[证明]∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.类型2空间垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△P AD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？[提示]转化关系如下：2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？[提示](1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面．3.(1)直线与直线垂直→直线与平面垂直→直线与直线垂直(2)利用（1）的条件AD⊥平面PGB→找到过点F的平面和平面PGB平行→确定F的位置[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[跟进训练]2．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . 又∵AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ， ∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ， ∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .1．直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．可能重合 C ．相交且垂直D ．相交不垂直C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂β C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥βC [A 与D 中α也可与β平行，B 中不一定α⊥β，故选C.]3．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组B[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5组，故选B.]4．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．平行[由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.]回顾本节内容，自我完成以下问题：面面垂直的判定定理应用的思路是什么？[提示]平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．。

高中数学学案北师大版必修2 垂直关系的判定教案(1)

教学设计整体设计教学分析垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是平行关系的转化手段．可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，也是高考的热点内容．垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用．在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论垂直的性质定理及其应用时，要注意面面垂直是立体几何最难、最“高级”的定理，往往是一个复杂问题的开端，先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题．三维目标1．探究垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力．2．掌握垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．探究垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力．4．垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力．5．通过垂直的性质定理的学习，培养学生的转化思想．重点难点教学重点：①垂直关系的判定定理及其应用．②垂直的性质定理．教学难点：①应用判定定理解决问题．②性质定理的应用．课时安排2课时教学过程6．1垂直关系的判定导入新课思路1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明．如图1，直线AC1与直线BD，EF，GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD 不垂直．图1推进新课新知探究提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.活动：问题①引导学生结合事例观察探究．问题②引导学生结合事例实验探究．问题③引导学生进行语言转换．讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法：教师演示实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一边)垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫作垂足．直线和平面垂直的画法及表示如下：如图2，表示方法为：a⊥α.图2图3②如图3，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC的顶点A 翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直．如图4.图4所以，当折痕AD 垂直于平面内的一条直线时，折痕AD 与平面α不垂直，当折痕AD 垂直于平面内的两条相交直线时，折痕AD 与平面α垂直．③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为： ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αl ⊥a l ⊥b a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. 直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5.图5提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图6(教师和学生共同动手)．直立式：平卧式：(1) (2)图6二面角的表示方法：如图7中，棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角αABβ.有时为了方便也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P ABQ.图7如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念．如图8，在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图8再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成∠A′O′B′.因为OA∥O′A′，OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，即∠AOB＝∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关．由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．图中的∠AOB，∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角．③直二面角的定义．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角．教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角．两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．直二面角的画法：如图9.图9④两个平面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．两个平面垂直的判定定理符号表述为： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥βAB ⊂α⇒α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线，即要证面面垂直转化为证线线垂直．应用示例思路1例1 如图10所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC .问：四面体P ABC 中有几个直角三角形？图10解：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC .所以△P AB ，△P AC 为直角三角形．又P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB .又PB 平面P AB ，于是BC ⊥PB ，所以△PBC 也为直角三角形．所以四面体P ABC 中的四个面都是直角三角形．点评：本题主要考查空间想象能力，线面垂直的判定.变式训练如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．解：已知：a ∥b ，a ⊥α.求证：b ⊥α.证明：如图11，在平面α内作两条相交直线m ，n ，设m ∩n ＝A .图11例2 如图12，AB为⊙O的直径，⊙O所在平面为α，P A⊥α于A，C为⊙O上一点．求证：平面P AC⊥平面PBC.图12证明：由AB为⊙O的直径，知BC⊥AC.又P A⊥α，BCα，所以P A⊥BC.而P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC.又因为BC平面PBC，从而，平面P AC⊥平面PBC.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直.变式训练如图13，四边形ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，∠BAD＝60°.图13求证：平面PBD⊥平面P AC.证明：设AC与BD交于点O，连接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.思路2例1 如图14，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A＝a，G为CC1的中点，O为底面ABCD 的中心．图14求证：A 1O ⊥平面GBD .证明： ⎭⎪⎬⎪⎫∵A 1A ⊥BD AC ⊥BD ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥平面A 1AO A 1O ⊂面A 1AO ⇒BD ⊥A 1O .又∵A 1O 2＝A 1A 2＋AO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a 2，OG 2＝OC 2＋CG 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝34a 2， A 1G 2＝A 1C 21＋C 1G 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝94a 2，∴A 1O 2＋OG 2＝A 1G 2.∴A 1O ⊥OG .又BD ∩OG ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD .点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法. 变式训练如图15，已知点P 为平面ABC 外一点，P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证：PB ⊥AC .图15证明：过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，连接OA ，OB ，OC .∵PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥BC .又∵P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AO .又∵OA ⊂平面P AO ，∴BC ⊥OA .同理，可证AB ⊥OC .∴O 是△ABC 的垂心．∴OB ⊥AC .可证PO ⊥AC .∴AC ⊥平面PBO .又PB ⊂平面PBO ，∴PB ⊥AC .点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直．用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图16(1)，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD ＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．(1) (2)图16求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如图16(2)，(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD.∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如图17，P A⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角PDCA ＝45°，求证：MN ⊥平面PDC .图17图18 证明：如图18所示，(1)取PD 的中点Q ，连接AQ ，NQ ，则QN12DC ，AM 12DC ， ∴QN AM . ∴四边形AMNQ 是平行四边形．∴MN ∥AQ .又∵MN ⊄平面P AD ，AQ ⊂平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又∵AQ ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AQ .又∵AQ ∥MN ，∴MN ⊥CD .(3)由(2)知，CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AD ，CD ⊥PD .∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角．∴∠PDA ＝45°.又∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .∴AQ ⊥PD .又∵MN ∥AQ ，∴MN ⊥PD .又∵MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PDC .知能训练1．如图19所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，且AB ＝2，SC ＝SD ＝ 2.图19求证：平面SAD ⊥平面SBC .证明：在△SDC 中，∵SC ＝SD ＝2，CD ＝AB ＝2，∴∠DSC ＝90°，即DS ⊥SC .∵底面ABCD 是矩形，∴BC ⊥CD .又∵平面SDC ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥面SDC .∴DS ⊥BC .∴DS ⊥平面SBC .∵DS ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面SBC .2．已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB ＝45°.求CD 与平面β所成的角．解：如图20，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角．图20过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB .∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO ＝45°.设CD ＝a ，则CE ＝22a . ∵CO ⊥OE ，OC ＝OE ，∴CO ＝12a .∵CO ⊥DO ，∴sin ∠CDO ＝CO CD ＝12. ∴∠CDO ＝30°，即DC 与β成30°角．点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O ，然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E ，连接CE ，则∠CEO 为二面角αABβ的平面角．这一过程要求学生熟记．拓展提升如图21，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 中点，过A ，D ，N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点．图21(1)求证：EN ∥平面PCD ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；(3)求平面P AB 与平面ABCD 所成二面角的正切值．(1)证明：∵AD ∥BC ，BC ⊂面PBC ，AD ⊄面PBC ，∴AD ∥面PBC .又面ADN ∩面PBC ＝MN ，∴AD ∥MN .∴MN ∥BC .∴点M 为PC 的中点．∴MN 12BC . 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.(2)证明：连接PE，BE，∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵P A＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.(3)解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD，∴AB⊥PF.∴∠PFE就是平面P AB与平面ABCD所成二面角的平面角．又在Rt△AEB中，BE＝3，AE＝1，AB＝2，∴EF＝32.又∵PE＝3，∴tan∠PFE＝PEEF＝332＝2，即平面P AB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.课堂小结知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．作业课本习题1—6A组第1,2,4题．设计感想本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时，尽量借助于信息技术．(设计者：国建群)。

2016-2017学年高中数学必修二北师大版 1.6.1面面垂直关系的判定教案

6.1面面垂直关系的判定一、教材地位与作用本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念，（2）平面与平面们垂直的判定。

由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础之上，且二面角的平面角不但定量地描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识。

乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。

二、教学目标1.知识与技能：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.2.过程与方法：①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力3.情感、态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.三、教学重难点教学重点：（1）二面角及平面角概念的形成过程；（2）面面垂直的判定定理的运用。

教学难点：（1）二面角的平面角的形成过程及寻找方法；（2）面面垂直的判定定理的运用。

四、教法学法采用诱导、启发式教学方法。

用由浅入深的问题引导学生自己去发现问题、产生概念、形成定理。

在定理的运用过程中培养学生的思维能力、论证能力，并通过引导学生对定理及例题图形的认识，加深学生对定理的理解，达到培养学生空间想象能力的目的。

五、教学过程温故知新线面垂直的定义：如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.记作：l α⊥线面垂直的判定：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线就垂直于这个平面.⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭,,,.,.m n m n B l l m l n ααα 1．二面角的概念的建构（1）创设情境——感知概念问题1：菜刀、斧头的刀面组成的是什么空间图形的形象？问题2、生活中是否有二面角的例子？问题2：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计意图：通过实例让学生直观感知二面角空间结构，对二面角进行感性认识。

高中数学必修2导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定

§2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标：1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.学习重点: 平面与平面垂直的判定；学习难点: 如何度量二面角的大小。

课前预习（预习教材P 67~ P 69，找出疑惑之处）复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________________.复习2：⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.课内探究探究1：二面角的有关概念图11-1问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --.图11-2问题：二面角的大小怎么确定呢？新知2：如图11-3，在二面角lαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线,OA OB，则射线OA和OB构成的AOB∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，α垂直β，记作αβ⊥.图11-4问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知4：两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.l反思：定理的实质是什么?例1 如图11-5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于,A B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.图11-5例2 如图11-6，在正方体中，求面A D CB''与面ABCD所成二面角的大小（取锐角）.图11-6小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.※动手试试练. 如图11-7，在空间四边形SABC中，ASC∠ =90°，60ASB BSC∠==°，SA SB SC==，B'C'A'DCBAD'⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.图11-7当堂检测1. 以下四个命题，正确的是（）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（）.A.,//,//m n m n αβ⊥B.,,m n m n αβα⊥=⊂C.//,,m n n m βα⊥⊂D.//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.课后反思1. 二面角的有关概念，二面角的求法；2. 两个平面垂直的判定定理及应用.知识拓展二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)课后训练 1．过平面α外两点且垂直于平面α的平面（）()A 有且只有一个 ()B 不是一个便是两个 ()C 有且仅有两个 ()D 一个或无数个2．若平面α⊥平面β，直线n ⊂α，m ⊂β,m n ⊥，则（）()A n ⊥β ()B n ⊥β且m ⊥α ()C m ⊥α ()D n ⊥β与m ⊥α中至少有一个成立3．对于直线,m n 和平面,αβ，α⊥β的一个充分条件是（）()A m n ⊥，//,//m n αβ ()B ,,m n m n αβα⊥=⊂ ()C //,,m n n m βα⊥⊄ ()D ,,m n m n αβ⊥⊥⊥4．设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题：①若,l m αα⊥⊥，则//l m ；②若,m n β⊂是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥；③若,//m m n α⊂，则//n α； ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ．其中真命题是（） ()A ①② ()B ②③ ()C ①③ ()D ③④5：已知平面α∩平面β=直线a ，α、β垂直于平面γ，又平行于直线b ，求证:(1) a ⊥γ；(2)b ⊥γ．6. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=图11-87. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）图11-8。

北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案

1高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案北师大版必修2你的疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言：符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言：符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α，直线l ____a ，直线l ____b ，a ____A b =，则α⊥l .天才在于积累聪明在于勤奋。

高中数学必修2导学案直线、平面垂直的判定及其性质

§2.3.4 直线、平面垂直的判定及其性质（练习）学习目标：1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质定理，能够灵活运用；2. 掌握垂直关系中线线垂直、线面垂直、面面垂直的互化，掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换；3. 能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.课前预习（预习教材P 64~ P 72，找出疑惑之处）复习1：直线与平面垂直的有关结论⑴如果一条直线____________________________________________，则这条直线和这个平面垂直； ⑵线面垂直的判定定理是_______________________________________________________________； ⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面，则____________________________________；⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则___________________________________________； ⑸面面垂直的性质定理是________________________________________________.复习2：平面与平面垂直的有关结论⑴两个平面垂直的定义是_______________________________________________________________； ⑵两个面垂直的判定定理是_____________________________________________________________. 复习3：⑴斜线和平面所成的角怎么作?直线和平面所成的角的范围是_____________；⑵二面角的定义是怎样的？它的平面角又是怎么作的?课内探究例1 如图14-1所示，在正方体中，P 、Q 、R 、S 分别为棱A D ''、A B ''、AB 、BB '的中点. 求证：平面PQS B RC '⊥图14-1小结：面面垂直通常转化为线面垂直(关键找到一个面内垂直于另一个面的线)，线面垂直又转化为线线垂直，线线垂直往往又用到线面垂直的定义.例2 如图14-2所示，设a 、b 为异面直线，AB 垂直于a 、b ，且与a 、b 分别交于A 、B 两点. ⑴α为平面，若a ∥α,b ∥α,求证：AB α⊥；⑵若a α⊥，b β⊥，c αβ=，求证：AB ∥c图14-（1）图14-2（2）小结：“平行”与“垂直”的转化；线面垂直的判定和性质定理的灵活运用.例3 如图14-3，二面角l αβ--的平面角是个锐角，点P 到α、β和棱l的距离分别为4⑴分别求直线PC 与面α和面β所成的角;⑵求二面角l αβ--的大小.图14-3※ 动手试试练1. 在正方体ABCD A B C D''''-中，求证：平面ACC A''⊥平面A BD'.练2. 如图14-4，VO ABC⊥，O CD∈，VA VB=，AD BD=，求证：CD AB⊥，AC BC=.图14-4当堂检测1. a b⊥，且a∥α，则直线b和面α是（）.A.bα⊂ B.b与α相交或b∥α或bα⊂C.bα⊄ D.b∥α或bα⊂2. 过平面外一点P：①存在无数条直线与平面α平行②存在无数条直线与平面α垂直③仅有一条直线与平面α平行④仅有一条直线与平面α垂直；其中正确结论的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D.4个3. 下列说法错误的是（）.A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面4. 两个长方形所在平面互相垂直，长宽如图所示，则cosα与cosβ的比值为________.5. 正方体ABCD A B C D''''-的棱长为1，P是AD的中点，则二面角A BD P'--的大小为________.课后反思1. 垂直关系的证明：根据题设条件，合理、灵活的运用各种判定和性质定理，注意条件的转化；βα2342. 求线面角和二面角的关键是利用垂直关系，作出角，然后利用三角形的知识加以解决.知识拓展论证垂直问题要注意垂直关系的转化，每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系为：线线垂直线面垂直面面垂直课后训练1. 如图14-5，2VA VB AC BC====，23AB=，1VC=，求二面角V AB C--大小.图14-52. S为ABC∆所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB BC⊥.性质定理判定定理性质定理判定定理。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.1垂直关系的判定》3

北京师范大学出版社必修2 第一章立体几何初步垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定教材分析：本节课是垂直关系的判定的第一课时，主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用,是立体几何的核心内容之一。

其中线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法，而判定定理则体现了线线垂直与线面垂直的转化。

学好本节，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到立体空间图形的飞跃有非常重要的作用。

另外，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带,因此线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。

学情分析：学生在初中几何中已学过线线垂直，并对线面垂直有直观的认识，而高中也已经学习了直线和平面、平面与平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。

教学目标：1.知识与技能：通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理进行简单应用。

2.过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，让学生在合作探究中逐步构建知识结构，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

3.情感、态度与价值观：通过让学生亲身经历线面垂直定义及定理的探究，让学生进一步认识到数学与生活的联系，体会数学原理的广泛应用，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重点：直线与平面垂直的判定定理。

教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。

教学准备：多媒体课件，三角板，三角形纸片教师教法：本节课主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用，其中定义的教学是一个重构的过程，是一个意义赋予的过程，需要经历定义的引入，理解，运用三个阶段。

因此设计的教法为：呈现定义原型，构建定义，运用定义。

判定定理的教学策略是重视其发现过程，让学生在探索中感受、体验、成长。

高中数学必修2第一章 6.1《直线与平面垂直的判定》教学设计

《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教学内容课题：直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书北师大版《必修2》第一章第六节二．教学目标：⒈知识与技能：掌握直线与平面，并能进行简单应用。

⒉过程与方法：在合作探究中，逐步构建知识结构；通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，欣赏事物的能力，培养学生动手实践的能力。

⒊情感、态度与价值观：垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可以让学生感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生团队合作的精神。

4.数学思想：在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三．教材分析：本节课是第六节“垂直关系”中“线面垂直”的第一课时，是立体几何的核心内容之一，在学生学习了平行关系之后，本节仍然以长方体为载体来学习，是对学生“直观感知，操作确认，归纳总结，初步运用”的认知过程的一个再强化。

四．学情分析：学生已经学习了直线和平面，平面和平面平行的判定及性质，学习了两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系，有了“通过观察，操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力，几何直观能力和推理论证能力。

五．教学的重点和难点：重点：线面垂直的定义，线面垂直的判定的定理难点：线线垂直于线面垂直的相互转化，应用六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。

学案：引导学生学习的资料，例题。

教具：学生实验需要，辅助展示相关情节。

观察我们教室及身边现有的物体，你能找出直线与平面“垂直”的例子吗？注：这里所有的“垂直”都是直观的，没有定义的。

然后通过“两条直线（共面或异面）相互垂直的位置关系”得出的直线也都垂直．师生活动：教师用实物演示三角板变化而移动的过程，引导学生得从线与线的垂直来定义线面垂直实际是把高维的问题转化为，判定下列说法的对错内的无数条直线都垂直，那么直线l和平面大胆引导学生去发现，敢于猜想b A l a l b ⎪⇒=⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭）和直线与平面垂直的定义相比八．板书设计教案说明一．数学本质、地位、作用分析：垂直关系式立几中的核心内容之一也是高考考查空间位置关系的重要方面，各种题型都有涉及，难度以简单，中档题为主，通常与其他问题综合考察，如角度、距离等。

北师大版必修2数学6 .1.2面面垂直的判定

安边中学高一年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：周集体备课一、课题： 6.1.2面面垂直的判定二、学习目标1.掌握平面与平面垂直的判定定理，并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力。

三、落实目标【自主预习】1、设α表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法①a∥α，a⊥b⇒b∥α②a∥b，a⊥α⇒b⊥α③a⊥α，a⊥b⇒b⊂α④a⊥b，b⊂α⇒a⊥α其中正确说法的序号是( )A．①② B．①④ C．② D．②④2、直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是( ) A．a⊥αB．a∥α C．a⊂αD．a⊂α或a∥α【自主预习】阅读课本P36—P37页，完成新课的学习。

问题1：什么是二面角、二面角的棱、二面角的面？问题2：两个平面互相垂直的含义是什么？问题3：平面与平面垂直的判定定理：文字描述：。

符号表示：图形表示：【巩固提升】例1、见课本P37页例1。

例2、见课本P38页例2。

【检测反馈】1、过空间一点的三条直线两两垂直，则此三直线的任意两条确定的三个平面中，互相垂直的个数是（）A． 0 B. 1C. 2D. 32、如图，三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）A：平面ABD⊥平面ADCB：平面ABD⊥平面ABC：C：平面BCD⊥平面ADC D：平面ABC⊥平面BCD3、P38页练习2。

反思栏OSDCBA。

北师大版高中数学导学案必修2《垂直关系的判定》

课题北师大版数学必修2《垂直关系的判定》作者及工作单位指导思想与理论依据：本节课利用建构主义思想理论，引导学生学习直线与平面的定义，直线与平面垂直的判定定理。

教材分析：本节课是在学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用．本节学习内容蕴含转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“线线垂直与线面垂直互相转化”．直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础．学情分析：学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础．学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理．教学目标：1、借助对图片、实例的观察，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程，并能正确理解定义。

2、通过直观感知，操作确认，归纳出线面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

并发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”数学思想.教学重点：了解感受直线与平面垂直的定义，探究判定直线与平面垂直的方法。

教学难点：了解感受直线与平面垂直的定义，探究判定直线与平面垂直的方法。

教学流程示意从直线与平面垂直的实际背景引入课题构建直线与平面垂直的概念探究直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直判定定理的应用课堂小结与作业教学环节教师活动设计意图教学过程1、定义形成部分教师多媒体展示实例图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系旗杆与其影子的位置关系，教室中线面垂直的实物例子。

高中数学(垂直关系的性质)导学案北师大版必修2 学案

第11课时垂直关系的性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理,因为铅垂线受重力影响始终是与地面的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线,也就说明门安装得.(2)直线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示:.问题2:叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写出这个定理.性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:.问题3:空间中垂直关系是如何转化的?由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化关系可用下图表示:由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果.在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了至关重要的作用,应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化.如证线线垂直,可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直.因此,关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽.问题4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论:①过一点有且平面和已知直线垂直.②过一点有且直线和已知平面垂直.平面和平面垂直的两个重要结论:①若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在平面内.②两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线于第三个平面.1.已知a、b为异面直线,b与c垂直,则().A.a⊥cB.b∥cC.b与c相交D.不确定2.下列说法中正确的个数为().①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的所有直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行.A.1B.2C.3D.43.已知l,m是直线,α,β,γ是平面,给出下列说法:①若α⊥β,且β⊥γ,则α∥γ;②若α∩β=l,且l⊥γ,则α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的是.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.线面垂直的性质定理的应用如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交,求证:EF∥BD1.线面垂直的判定与性质的综合应用如图,已知α∩β=AB,EC⊥平面α,C为垂足,ED⊥平面β,D为垂足.求证:CD⊥AB.面面垂直的性质定理的应用如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中点.求证:平面BDM⊥平面ECA.已知a、b为异面直线,AB与a、b都垂直相交,若a⊥α,b⊥β,且α∩β=c.求证:AB∥c.已知底面为正方形的四棱锥P—ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD,过点A在侧面PAB内作AE⊥PB于E,过E作EF⊥PC于F.那么图中AF与PC的位置关系如何?如图,在△ABC中,∠BAC=60°,线段AD⊥平面ABC,E为CD上一点,且平面ABE⊥平面DBC.求证:点A在平面DBC内的射影不可能是△BCD的垂心.1.设a,b是两条异面直线,下列说法中正确的是().A.有一平面与a,b都垂直B.有且仅有一条直线与a,b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可以作一直线与a,b都相交2.已知直线l⊥平面α:①若直线m⊥l,则m∥α;②若m⊥α,则m∥l;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是().A.①②③B.②③④C.①③④D.②④3.把Rt△ABC斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有对.4.三棱锥P—ABC中,PB=PC,AB=AC,点D为BC中点,AH⊥PD于点H,连接BH,求证:平面ABH⊥平面PBC.(2013年·某某卷改编)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.证明:B1C1⊥CE.考题变式(我来改编):第11课时垂直关系的性质知识体系梳理问题1:(1)垂直不平行不竖直(2) a⊥α,b⊥α⇒a∥b问题2:α⊥β,α∩β=l, AB⊂β,且AB⊥l于B⇒AB⊥α问题3:线面垂直问题4:①只有一个②只有一条①第一个②垂直基础学习交流1.D因为b与c垂直,故b与c可能相交,也可能异面,于是,a与c的关系不确定.2.B①错误,无数条直线可能是平行直线,不能判断直线和平面垂直;②正确;③错误,与该直线在平面内的正投影垂直的所有直线,都与该直线垂直;④正确.3.②①错误,反例是墙角处三个平面两两垂直.②正确,因为如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.③错误,还可能l⊂β.4.解:连接AC交BD于点O,连接EO,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,且E是SA的中点,所以EO∥SC.因为SC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,且EO⊂平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.重点难点探究探究一:【解析】连接AB1,B1C,BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.【小结】当题目所给的条件垂直关系较多,但又需要证明平行关系时,往往要考虑垂直的性质定理,从而完成由垂直关系向平行关系的转化.探究二:【解析】∵EC⊥α,AB⊂α,∴EC⊥AB,同理ED⊥AB,即AB⊥EC,AB⊥ED,又EC∩ED=E,∴AB⊥面ECD,而CD⊂面ECD,∴AB⊥CD.【小结】本题是线线垂直、线面垂直的循环.证明线线垂直、则要先证明线面垂直,关键就是面的选择,选择过哪条直线的平面与另一条直线垂直.探究三:【解析】(1)取AC的中点F,连接MF、BF,则MF∥CE且MF=CE.又∵BD∥CE,BD=CE,∴MF∥BD,MF=BD,∴四边形MFBD是平行四边形,∴DM∥BF.∵EC⊥平面ABC,EC⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面ABC.又∵BF⊥AC,∴BF⊥平面ACE.又∵DM∥BF,∴DM⊥平面ACE.又∵DM⊂平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.【小结】证明面面垂直的关键点和难点,就是在一个平面内确定另一个平面的垂线,一旦找错垂线,将给问题的解决带来很大麻烦,也是不可证明的.确定这条垂线的基本方法就是根据平面与平面垂直的性质,要着眼于平面内交线的垂线,若图形中没有现成的垂线,需要根据条件作出交线的垂线,再证明此直线垂直于另一个平面.思维拓展应用应用一:如图,过点B作BB1⊥α,则BB1∥a,∴AB⊥BB1.又∵AB⊥b,∴AB垂直于由b和BB1确定的平面.∵b⊥β,∴b⊥c,同理,BB1⊥c,∴c也垂直于由b和BB1确定的平面,∴AB∥c.应用二:∵F∈PC,∴AF与PC相交,只要进一步考察是否垂直.如果有AF⊥PC,由已知EF⊥PC,EF∩AF=F,得PC⊥面AEF,∴PC⊥AE.又已知AE⊥PB,PC∩PB=P,得AE⊥面PBC,∴AE⊥BC.而由PA⊥BC,AB⊥BC,知BC⊥面PAB,可知BC⊥AE成立.∴AF⊥PC成立.于是,图中AF与PC垂直相交.应用三:过点A作AH⊥BE,H为垂足.∵平面ABE⊥平面DBC,AH⊂平面ABE,平面ABE∩平面DBC=BE,∴AH⊥平面DBC,∴点H即为点A在平面DBC内的射影.假设H是△BCD的垂心,则BE⊥CD.∵AH⊥平面BCD,DC⊂平面DBC,∴AH⊥DC.又∵AH∩BE=H,∴CD⊥平面ABE.又∵AB⊂平面ABE,∴CD⊥AB.∵AD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴AD⊥AB,又∵AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,这与已知中∠BAC=60°相矛盾,∴假设不成立,∴点A在平面DBC内的射影不可能是△BCD的垂心.基础智能检测1.CA中若有一平面与a,b都垂直,则a∥b,矛盾;B中将a,b平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与a,b都垂直;C正确;D中设过直线a且与b平行的平面为α,则在平面α内过直线a之外的点,不可能作一直线与a,b都相交.2.B①错,还有可能m⊂α;②正确;③正确;④正确.3.3平面BCD⊥平面ACD,平面ADB⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ADC.4.解:∵PB=PC,AB=AC,BD=DC,∴BC⊥PD且BC⊥AD,∴BC⊥面PAD,∴面PAD⊥面PBC.∵AH⊥PD,面PAD∩面PBC=PD,∴AH⊥面PBC.又AH⊂面ABH,于是面AHB⊥面PBC.全新视角拓展因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.思维导图构建α∥βb⊥αl⊥β。

高中数学《垂直关系的判定》导学案北师大版必修2

第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面α内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作,直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的,唯一的公共点叫作.问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,,则l⊥α.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l⊥α,,则α⊥β.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB⊥平面BCC1B1B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1D.A1C⊥平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;(2)的值为何值时,EC⊥平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论一定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.(2013年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l⊥α垂线垂面垂足问题2:a∩b=A l⊂β问题3:[0°,90°][0°,180°]问题4:线面垂直线线垂直相交直线l⊥α基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.2.B A正确,因为AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正确,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正确,因为B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又因为EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,则只需EC⊥BF即可,当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,因为从图①可知==,所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,即==,得=,所以=时,EC⊥平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG AC,FG BD.又AC=BD,∴FG=AC,∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN⊂平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,因为EF∥AD,所以EF⊥CD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又因为DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以==,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:因为AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.思维导图构建锐角α⊥β90°。

北师大版数学高一必修二1.6.1《平面与平面垂直的判定》学案1

§1.6.1平面与平面垂直的判定学案一、学习目标：1. 掌握平面与平面垂直的判定定理，并会应用。

2. 通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P 36理解二面角，二面角的平面角等概念。

2．何谓平面与平面垂直的判定定理：文字描述：图形呈现：βBA α符号表示：三、知识应用例1. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是AA 1, C 1D 1, A 1D 1,中点，求证：平面BB 1D 1D ⊥平面EFG （A 级）（提示：先证明：B 1D ⊥平面EFG ）FE CA 11例2.如图所示，在三棱锥A-BCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=900，E 为BD 的中点，求证：（1）平面AEC ⊥平面BCD ；（2）∠AEC 是二面角A-BD-C 的平面角。

（B 级）EABCD四自测达标A．若a⊥b,则α⊥β B . 若a//b,则α//βC. 若a⊥β,则α⊥βD. 若α⊥β,则a⊥b （A级）2.过空间一点的三条直线两两垂直，则此三直线的任意两条确定的三个平面中，互相垂直的个数是（B级）（）A．0 B. 1 C. 2 D.33.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证：(1) B1D⊥平面(提示：先证A1C1⊥平面BB1D1D，从而得B1D⊥A1C1)(2)平面BB1D1D⊥平面BA1C1 （B级）D1C1B1A1D CBA4．空间四边形SABC中，SO⊥平面ABC，O为∆ABC的垂心，求证：（1）AB⊥平面SOC（2）平面SOC⊥平面SAB（B级）CA。

高中数学必修二导学案：第二章第三节直线与平面垂直的判定

第二章第三节直线与平面垂直的判定三维目标1.理解直线和平面垂直的定义及判定定理；2.会判定直线和平面垂直；3.了解直线和平面所成角.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.举出现实生活中，直线和平面垂直的例子.问题 2.直线与平面垂直的定义是什么?有什么作用? 并请用图形语言和符号语言表示垂直的定义.问题3. 除定义外如何判断直线和平面垂直？请用符号语言与图形语言表示出来.问题 4. 线面角的定义是怎样的?线面角的范围在什么范围?请用图形语言和符号语言表示线面角.【学做思2】1. 如图2.3-6，已知a ∥b ，a α⊥，求证：b a ⊥.图2.3-62．如图3.3-9，在正方体中，求直线A B '和平面A B CD ''所成的角.图2.3-93. 如图10-11，在正方体中，O 是底面的中心，B H D O ''⊥，C '.图10-11达标检测1.过ABC ∆所在平面α外一点，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA 、PB 、PC .(1)若PA=PB=PC,C ∠=︒90,则O 是AB 边的点. (2)若PA=PB=PC,则点O 是ABC ∆ 的心.(3)若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，则点O 是ABC ∆的心.2.求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直.*3.如图，已知ABC ∆为等腰直角三角形，P 为空间一点，且BC AC =25=，AC PC ⊥，BC PC ⊥ ，5=PC ，AB 的中点为M ，求PM 与平面ABC 所成的角* 4.如图，在三棱锥ABC S -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90=∠BAC ，O 为BC 中点．证明：⊥SO 平面ABC。

数学北师大版高中必修2平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定。

难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教法1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教法：探究讨论法。

四、教学设计（一）创设情景，揭示课题：问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，β B获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

北师大版高中数学必修2学案第一章第一课时直线与平面垂直的判定

6.1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定[学习目标] 1.理解直线与平面垂直的定义． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理． 3.会利用判定定理证明或判断有关垂直的问题.【主干自填】1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的□01任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？提示：异面垂直．(2)如果平面外一条直线l与平面α的两条相交直线垂直，那么l与α的位置关系是什么？提示：垂直．2．下列说法中正确的是()A．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αB．如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αC．如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线D．如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直提示：D如图所示，直线l与α内的无数条直线垂直．但l与α斜交，故A不正确；同理B也不正确；同样由图，l不垂直于α，但α内有与l垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确，D正确．3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β提示：C选项A中的m，n可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误；选项B中的α与β可以平行，也可以相交，故B错误；选项C是直线与平面垂直的重要结论，故C正确；选项D中的m与β的位置关系可以是平行、相交、m在β内，故D错误．4．如果一条直线垂直于①三角形的两边，②梯形的两边，③圆的两条直径，④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面图形所在平面垂直的是()A．①③B．②C．②④D．①②④提示：A由直线与平面垂直的判定定理可知，①③能保证该直线与平面垂直，②④不能．因为梯形和正六边形中有平行的两条边．例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求证：(1)AC⊥平面B1D1DB；(2)BD1⊥平面ACB1.[证明] (1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，∴BB1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面B1D1DB.(2)连接A1B.由(1)知AC⊥平面B1D1DB，∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1.又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，∴AB1⊥平面A1D1B.∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.类题通法线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.[变式训练1]如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D 为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∵BD平面ABC，∴SD⊥BD.∵AC∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.例2如图，已知四棱锥S－ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AE ⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.类题通法线线垂直的证明方法(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，aα⇒l⊥a.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．[变式训练2]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.证明取BD中点为E，连接AE，CE.∵AB＝AD，∴AE⊥BD.又∵CB＝CD，∴CE⊥BD.而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC.又∵AC平面AEC，∴AC⊥BD.例3三棱锥P－ABC中，PO⊥平面ABC，P A⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[证明] (1)连接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又P A⊥BC，PO∩P A＝P，∴BC⊥平面P AO.又AO平面P AO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．同理，由PB⊥AC可得O在△ABC的AC边的高线上．∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB⊥平面PCO.又PC平面PCO，∴AB⊥PC.类题通法根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直.本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化.[变式训练3]已知点P是△ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心答案B解析如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为P A＝PB＝PC，OP＝OP＝OP，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以∠APO＝∠BPO＝∠CPO，所以△P AO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．易错点⊳运用线面垂直的判定定理时忽略条件[典例] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O为ABCD的中心，试判断OB1与平面ABCD是否垂直？[错解] 如下图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OB1.∵AB1＝B1C，∴OB1⊥AC.又AC平面ABCD，∴OB1⊥平面ABCD.[错因分析] 错解在运用线面垂直的判定定理时，忽略了该定理的使用条件，从而致错．[正解]∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∵OB1∩BB1＝B1，∴OB1不垂直于平面ABCD.课堂小结直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a ⊥β.1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析对①②⑤，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案B解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案C解析由已知得P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，即选项A正确；又由已知AC⊥BC，且AC与P A交于点A，得BC⊥平面P AC，进而BC⊥PC，即选项B、D正确；P A⊥平面ABC，可证得P A⊥AC，若AC⊥PB，得AC⊥平面P AB，故AC⊥AB，与已知矛盾，所以选项C不正确，故选C.4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列说法错误的是() A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α答案B解析A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．。