13级：3.2.1复数的代数形式加减运算及其几何意义

一一对应
2
一一对应
复平面中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
3）、几何意义之三：绝对值的意义
|z|=
a b
2
2
2
z=a+bi Z (a,b)
2
O
y
| z || z | a b
x
2、 Z a bi 与Z=a+bi互为共轭复数
3、几种常见的几何图形的复数方程
1）以Z1对应的点为圆心,半径为r的圆的轨迹 方程为：| z- z1|=r
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.
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2）、复数加法满足交换律、结合律的证明 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. (1)因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i,
所以
z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, z1+z2=z2+z1
正方形
四、作业：《红对勾》P59第30课
3.2.1复数代数形式 的加减运算及其几何意义
一、复习回顾
1、复数的几何意义
y
b
O
a
Z：a＋bi x
1）几何意义之一：点表示
(1)复数z=a+bi
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) (2)、表示复数的直角坐标平面叫复平面 x轴----实轴 y轴----虚轴 2）：几何意义之二：向量表示 复数z=a+bi
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 x 2 4, x 3或x 2 解得 2 x 3或x 6 x 算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).
容易得到，对任意z1,z2,z3 C,有 z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) （课后证明）
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3）.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
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y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
2、复数的减法 我们规定：复数的减法是加法的逆运算，即 (c+di)+(x+yi)=a+bi
解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i
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例2．非零复数分别对应复平面内向量 OA, OB ，若| z1 z2 | = | z1 z2 |则向量 OA与 OB 的关系必有（ ） OA OA A ． = OB B．OA OB C ． OB D． , OB 共线 OA
2）、复数加法满足交换律、结合律 对任意z1,z2,z3 C,有 z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
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3）.复数加法运算的几何意义
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
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x
2、复数的减法 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 复数减法运算的几何意义 复数z2－z1 向量Z1Z2 y Z (c,d) 2
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例2．非零复数分别对应复平面内向量 OA, OB ，若| z1 z2 | = | z1 z2 |则向量 OA与 OB 的关系必有（ ） OA OA A ． = OB B．OA OB C ． OB D． , OB 共线 OA
复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差， 记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义， 有 c+x=a, d+y=b,
因此 所以 即
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x=a-c, y=b-d x+yi=(a-c)+(b-d)i (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
1）.复数减法运算的几何意义? 复数z2－z1
3
2）、A（x1,,y1）,B(x2,y2)的中垂线方程 ｜Z-Z1｜=|Z-Z2| 3)、椭圆 |z－z1|+|z－z2|=2a |z1－z2|<2a 椭圆 |z2－z1|=2a
|z2－z1|>2a
y
Z o x
线段
无轨迹
4)、双曲线 ｜|z－z1|-|z－z2|｜=2a
|z1－z2|>2a 双曲线 |z2－z1|=2a
又因为 | z1 z2 | = | z1 z2 | ，且非零复数 z1 , z2 分别对应复
平面内向量 OA, OB
所以四边形 OACB 是正方形
因此 OA OB
，故答案选 B．
练习2：P109 1～2
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四、小结
1、复数的加法
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.
4
射线 无轨迹
|z2－z1|<2a
二、新课教学
1、复数的加法 1）、复数代数形式的加法 我们规定，复数的加法法则如下： 设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.
问：复数的加法满足交换律、结合律吗？
2）、复数加法满足交换律、结合律的证明
解：由向量的加法及减法可知：
C
由向量的加法及减法可知： OC ＝ OA OB
B
AB ＝
A
OB OA
图１
由复数加法以及减法的几何意义可知： | z1 z2 | 对应 OC 的模 | z1 z2 o| 对应 AB 的模
x x (1 i ) (1 i ) (2i ) (2i ) 8.
4 1 4 2 4 4 2 2
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注:在复数范围内韦达定理仍适用.
3)已知复数 x 2 x 2 ( x 2 3 x 2)i ( x R ) 是 4 20i 的共轭复数，求x的值．
y
向量Z1Z2
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
|z1-z2|表示什么? 表复平面上两点Z1 ,Z2的距离
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三、运用
1、练习1 1）.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+ (2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)= 1002-1002i. *(2).已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x , x , 1 2 求x14+x24的值. 解: x1,2 1 i ,
Z1(a,b)
o
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x
2）、复数加减法的几何意义的相关结论 （1）、|z1|= |z2|平行四边形OABC是 菱形
（2）| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是
y z2 o
C
z1+z2 B
矩形 （3）、 |z1|= |z2|， OABC是
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z2-z1
z1A
x
| z1+ z2|= | z1- z2|平行四边形