2016-2017学年甘肃省金昌市永昌一中高一(上)期末数学试卷

2016-2017学年甘肃省金昌市永昌一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣600°）=（）A．B．C．﹣ D．﹣2．（5分）要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．（5分）已知α是锐角，那么2α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．不大于直角的正角4．（5分）下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k ＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）若，则tanα=（）A．B．C．D．6．（5分）若，是夹角为60°的单位向量，=2+，=﹣3+2，则，的夹角为（）A．120°B．30°C．60°D．150°7．（5分）在△ABC中，已知AB=2，BC=1，AC=，则•+•+•=（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．48．（5分）=（）A．B．1 C．D．9．（5分）将函数y=sinx﹣cosx的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是（）A．B． C．D．10．（5分）下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx|C．y=cos D．y=tan（﹣x）11．（5分）定义运算=ad﹣bc、若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2．14．（5分）函数的单调递增区间是．15．（5分）设0＜θ＜，=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．16．（5分）方程的解的个数是．三、解答题（17题10分，18、19、20、21、22每题12分）17．（10分）已知角α的终边经过点（3a，4a）（a≠0），求sinα+cosα的值．18．（12分）设向量和不共线．（1）如果=+，=2+8，=3（﹣），求证：A、B、D三点共线；（2）若||=2，||=3，和的夹角为60°，试确定k，使+和+k垂直．19．（12分）已知，则=．20．（12分）已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点为，在y轴右侧与x轴的第一个交点为．求函数f（x）的解析式．21．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．22．（12分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），且x∈[0，]．若f（x）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求λ的值．2016-2017学年甘肃省金昌市永昌一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）sin（﹣600°）=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】由条件利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin（﹣600°）=﹣sin600°=﹣sin（360°+240°）=﹣sin240°=﹣sin（180°+60°）=sin60°=，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（5分）要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】根据左加右减的原则进行左右平移即可．【解答】解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．3．（5分）已知α是锐角，那么2α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．不大于直角的正角【分析】根据α是锐角，得出2α 的取值范围是（0，π），再判定2α 的终边位置即可．【解答】解：∵α是锐角，即0＜α＜．∴0＜2α＜π.2α是小于180°的正角故选：C．【点评】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出2α 的取值范围是关键．4．（5分）下列说法中，正确的个数为（）（1）（2）已知向量=（6，2）与=（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k ＜0（3）若向量能作为平面内所有向量的一组基底（4）若，则在上的投影为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】（1）利用向量的加法运算进行化简．（2）利用向量的数量积判断．（3）判断两个向量是否共线．（4）利用向量投影的定义判断．【解答】解：（1）根据向量的加法运算法则可得，，所以（1）正确．（2）当k=﹣1时，，此时向量共线且方向相反，此时向量夹角为180°，但不是钝角，所以（2）错误．（3）因为，所以向量共线，所以向量不能作为平面内所有向量的一组基底，所以（3）错误．（4）当方向相同时，在上的投影为．当方向相反时，在上的投影为﹣．所以（4）错误．故正确是（1）．故选：A．【点评】本题主要考查平面向量的有关概念和运算，要求熟练掌握相关的公式和定理．5．（5分）若，则tanα=（）A．B．C．D．【分析】由已知等式结合角α的范围进一步缩小α的取值范围，把已知等式两边平方后得到2sinαcosα的值，则sinα﹣cosα的值可求，与已知联立方程组求解sinα，cosα的值，由商的关系得到tanα．【解答】解：由sinα+cosα=，若0＜α＜，则，∴1≤≤．∵，∴α∈，且，∴．则sinα﹣cosα==．联立，解得，∴．故选：C．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的运用，解答的关键是由已知缩小角α的范围，判断sinα﹣cosα的符号，是中档题．6．（5分）若，是夹角为60°的单位向量，=2+，=﹣3+2，则，的夹角为（）A．120°B．30°C．60°D．150°【分析】由已知求出及，，代入数量积求夹角公式得答案．【解答】解：由题意，，且＜＞=60°，且=2+，=﹣3+2，∴==，=．=（2+）（﹣3+2）==．∴cos＜＞=．则，的夹角为120°．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角，是中档题．7．（5分）在△ABC中，已知AB=2，BC=1，AC=，则•+•+•=（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【分析】根据勾股定理先判断三角形ABC是直角三角形，求出三角形的内角的大小，结合向量数量积的关系进行求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，已知AB=2，BC=1，AC=，∴BC2+AC2=AB2，即三角形ABC是直角三角形，则A=30°，B=60°，C=90°，则•+•+•=||•||cos120°+||•||90°+||•||cos150°=2×1×（﹣）+0+（﹣）=﹣1﹣3=﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查向量数量积的计算，根据勾股定理求出三角形的内角是解决本题的关键．8．（5分）=（）A．B．1 C．D．【分析】把分子中的cos10°化为cos（30°﹣20°），利用两角差的余弦公式进行计算即可．【解答】解：====．故选：D．【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数y=sinx﹣cosx的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是（）A．B． C．D．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=2sin（x﹣a﹣）的图象关于y轴对称，可得a+=kπ+，k∈Z，从而求得a的最小值．【解答】解：将函数y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，可得y=2sin（x﹣a﹣）的图象，根据所得函数的图象关于y轴对称，可得a+=kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k ∈Z．则a的最小值为，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．（5分）下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx|C．y=cos D．y=tan（﹣x）【分析】y=sin2x的最小正周期是π，在区间（）上先减后增；y=2|cosx|最小周期是π，在区间（）上为增函数；y=cos的最小正周期是4π，在区间（）上为减函数；y=tan（﹣x）的最小正周期是π，在区间（）上为减函数．【解答】解：在A中，y=sin2x的最小正周期是π，在区间（）上先减后增；在B中，y=2|cosx|的最小周期是π，在区间（）上为增函数；在C中，y=cos的最小正周期是4π，在区间（）上为减函数；在D中，y=tan（﹣x）的最小正周期是π，在区间（）上为减函数．故选：D．【点评】本题考查三角函数的单调性和周期性的灵活应用，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．11．（5分）定义运算=ad﹣bc、若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．【分析】根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到sin（α﹣β）的值，根据0＜β＜α＜，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β），再根据cosα求出sinα，利用β=[α﹣（α﹣β）]两边取正切即可得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可求出β．【解答】解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ=sin（α﹣β）=．∵0＜β＜α＜，∴cos（α﹣β）=．又∵cosα=，∴sinα=．sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinα•cos（α﹣β）﹣cosα•sin（α﹣β）=×﹣×=，∴β=．故选：D．【点评】此题要求学生会根据新定义化简求值，灵活运用角度的变换解决数学问题．掌握两角和与差的正弦函数公式的运用．12．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为4cm2．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α，由于α=2弧度，可得：l=Rα=2R，由于扇形的周长为8=l+2R，所以：2R+2R=8，所以解得：R=2，扇形的弧长l=2×2=4，扇形的面积为：S=lR=×4×2=4（cm2）．故答案为：4．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）函数的单调递增区间是[]，k∈z．【分析】利用诱导公式可得本题即求函数的单调递减区间，由，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的单调递减区间．【解答】解：因为函数=的单调递增区间，即函数的单调递减区间，由，k∈z，解得，k∈z，故函数的单调递增区间是[]，k∈z，故答案为[]，k∈z．【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调减区间的求法，属于中档题．15．（5分）设0＜θ＜，=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：∵=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∥，∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．16．（5分）方程的解的个数是7．【分析】在同一个坐标系中作出y=sinπx 和y=x的图象，根据y=sinπx 和y=x 的图象有7个交点，可得方程的解的个数是7．【解答】解：在同一个坐标系中作出y=sinπx 和y=x的图象，如图所示：由于y=sinπx 和y=x的图象在[﹣4，4]上有7个交点，而当x＜﹣4，或x＞4时，两个曲线不会有交点，方程的解的个数是7，故答案为：7．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，利用两曲线交点的个数判断方程的解的个数，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键，属于基础题．三、解答题（17题10分，18、19、20、21、22每题12分）17．（10分）已知角α的终边经过点（3a，4a）（a≠0），求sinα+cosα的值．【分析】利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得s inα+cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a≠0），当a＞0时，r=5a，sinα==，cosα==，sinα+cosα=；当a＜0时，r=|5a|=﹣5a，sinα==﹣，cosα==﹣，sinα+cosα=﹣；综上可得，sinα+cosα=±．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．（12分）设向量和不共线．（1）如果=+，=2+8，=3（﹣），求证：A、B、D三点共线；（2）若||=2，||=3，和的夹角为60°，试确定k，使+和+k垂直．【分析】（1）根据条件便可由得出，这样即可得出A，B，D三点共线；（2）根据向量垂直的充要条件便可由与垂直得出，进行向量数量积的运算即可得出3k2+13k+3=0，从而便可求出k的值．【解答】解：（1）证明：∵；∴；又与有公共点A；∴A，B，D三点共线．（2）解：∵；∴；∴3k2+13k+3=0，∴．【点评】考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，以及通过向量证明三点共线的方法，向量数量积的运算，以及一元二次方程的求解公式．19．（12分）已知，则=﹣．【分析】由两角和的正切公式解出tan，从而将原式化简成以tanα为单位的式子，即可求出其值．【解答】解：∵∴，解得tan因此，==tanα﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题给出的正切，求的值．着重考查了两角和与差的三角函数公式与同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题．20．（12分）已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点为，在y轴右侧与x轴的第一个交点为．求函数f（x）的解析式．【分析】由题意可得A，可求函数周期T，由周期公式可求ω，将点代入解析式，解得φ，从而可求函数y的解析式．【解答】解：由题意，A=2，，所以T=2，故，解得ω=π，所以f（x）=2sin（πx+φ），将点代入上式，解得，所以函数f（x）的解析式为：．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．21．（12分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x ﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x ﹣）﹣，∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．22．（12分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），且x∈[0，]．若f（x）=•﹣2λ|+|的最小值是﹣，求λ的值．【分析】利用向量的运算得出（x）=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，利用三角函数性质得出0≤cos x≤1，根据二次函数性质，分类讨论得出①若λ＜0，f （x）取得最小值﹣1，这与已知矛盾②若0≤λ≤1，解得：，③若λ＞1，解得：，这与λ＞1相矛盾．综合可得出λ的值．【解答】解：a•b=，|a+b|=∵∴cos x≥0，因此|a+b|=2cosx，∴f （x）=a•b﹣2λ|a+b|即f（x）=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，∵∴0≤cos x≤1，①若λ＜0，则当且仅当cos x=0时，f （x）取得最小值﹣1，这与已知矛盾；②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x=λ时，f （x）取得最小值﹣1﹣2λ2；由已知得，解得：，③若λ＞1，则当且仅当cos x=1时，f （x）取得最小值1﹣4λ，由已知得，解得：，这与λ＞1相矛盾．综上所述，为所求．【点评】本题考察了平面向量的运算，与三角函数的性质结合的题目，利用符合二次函数求解，属于中档题．。