22.2.降次——解一元二次方程(习题课)
222降次——解一元二次方程(2)
教学过程设计一、复习引入【问题】（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9二、探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？【活动方略】学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．老师活动：在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。
【设计意图】引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．【思考】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（1）x 2－8x + 1 = 0；（2）2213x x +=；（3）23640x x -+=．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式20ax bx c ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、反馈练习教材P 39 练习第1、2题．补充习题：解下列方程．（1）x 2+2x-35=0 （2）2x 2-4x-1=0四、小结本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次解。
这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法． 习题设计：如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．_B _C _A_Q _P。
22.2解一元二次方程配方法
22.2 解一元二次方程(配方法)第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（18x）2+12整理得：x2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，x-18=或x1≈34，x2≈2．可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．（2）x2-2x-12=0 x2-2x=12x2-2x+12=12+1 （x-1）2=32x-1=±2x-1=2x-1=-2x1x2可以验证：x 1=1+2x 2=1-2三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材P 39 练习1 2．（1）、（2）． 四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C A QP分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．22.2.2 配方法 第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备 小黑板 教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x 2-8x+7=0 （2）x 2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：（1）x 2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x 1=7，x 2=1（2）x 2+4x=-1 x 2+4x +22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x 1，x 2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1．解下列方程（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x-2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方． 解：（1）移项，得：x 2+6x=-5配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x 132，x 232（3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5x+2=x 1，x 2三、巩固练习教材P 39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P45复习巩固3．。
21.2降次--解一元二次方程(第三课时)
22．2降次--解一元二次方程（第三课时）22.2.2 公式法◆随堂检测1、一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2、若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3、若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________.4、用公式法解下列方程.（1）22410x x --=；（2）2523x x +=；（3）24310x x -+=.分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式12b x a -=，2x =2b a-即可. ◆典例分析2+=有一位同学解答如下：这里，a =b =，c =∴224432b ac -=-=,∴x =22b a -==,∴12x =，22x =．请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.解：这位同学的解答有错误,错误在c =-,而不是c =并且导致以后的计算都发生相应的错误．正确的解答是:20+-=，∴a =b =，c =-∴2244(64b ac -=--=,∴x =2b a -==,∴1x =，2x =．◆课下作业●拓展提高1、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-=2、如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.3、用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.4、求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．5、若关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．提示：不等式30ax +>中含有字母系数a ，要想求30ax +>的解集，首先就要判定a 的值是正、负或0．利用条件一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根可以求出a 的取值范围．●体验中考1、（2008年，河南）如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠ 注意:一元二次方程22(21)10k x k x -++=的二次项系数含有字母k . 2、（2009年，湖南株洲）定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)ax bx c a ++=≠是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ．a b c ==参考答案：◆随堂检测1、B ∵△＝224(2)41(1)80b ac -=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选B ．2、C ∵△＝224(2)41440b ac m m -=--⨯⨯=-<，∴1m >．故选C ．3、94m ≤ ∵△＝224(3)41940b ac m m -=--⨯⨯=-≥，∴94m ≤． 4、解：（1）2a =，4b =-，1c =-,∴224(4)42(1)240b ac -=--⨯⨯-=>,∴x ===∴122x =，222x =． （2）将方程化为一般形式23520x x --=，∴3a =，5b =-，2c =-,∴224(5)43(2)490b ac -=--⨯⨯-=>,∴x =(5)57236--±±=⨯，∴12x =，213x =-． （3）4a =，3b =-，1c =, ∴224(3)44170b ac -=--⨯⨯=-<，∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根．◆课下作业●拓展提高1、D 只有选项D 中△＝224241(1)80b ac -=-⨯⨯-=>，方程有两个不相等的实数根．故选D ．2、1k <- ∵△＝224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+<，∴1k <-．3、（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴84222x -±-±==⨯，∴142x -+=，242x --=． （2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x =(11)11236--±=⨯，∴1116x +=，2116x =． （3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =10146-±=，∴14y =-，223y =． 4、证明：∵△＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．5、解：∵关于x 的一元二次方程2(2)210a x ax a --++=没有实数根，∴2(2)4(2)(1)480a a a a ---+=+<，∴20a <-<．∵30ax +>即3ax >-，∴3x a <-． ∴所求不等式的解集为．3x a<-. ●体验中考1、B 依题意得,2220(21)410k k k ⎧≠⎪⎨+-⨯>⎪⎩,解得14k >-且0k ≠.故选B ．2、A 依题意得,2040a b c b ac ++=⎧⎨-=⎩,代入得2()4a c ac +=, ∴2()0a c -=,∴a c =.故选A ．。
22. 2.3 降次——解一元二次方程(因式分解法)
100 x1 ， x2 0 49
100 x1 ， x2 0 49
探究
10 x 4.9 x 0
2
x 10 4.9x 0
x0
因式分解
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0。
两个因式乘积为 0 降次，化为两个一次方程 或 10 4.9 x 0
右化零 左分解
两因式 各为0
布置作业
第5次 课本第17页第6、10、11题
例3 解下列方程：
(1) x( x 2) x 2 0; 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x . 4 4
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.使方程右边等于0; (有时化为一般形式) 2. 将方程左边因式分解为a×b; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
例3 解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2
x－2看成是一个整体
（1）因式分解，得 解： (x－2)(x＋1)=0.
于是得
1 3 2 5x 2 x x 2 x . 2 4 4
(2)移项、合并同类项，得
2
因式分解，得
于是得
4 x 1 0.
5 5 r1 , r2 (舍去). 2 1 1 2
答：小圆形场地的半径是
5 m. 2 1
小结
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元 一次方程. 3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方 程的根.
2022年《降次--解一元二次方程(第二课时)》专题练习(附答案)
22．2降次--解一元二次方程〔第二课时〕配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得〔 〕A ．〔x-2〕2+3 B ．〔x-2〕2-3 C ．〔x+2〕2+3 D ．〔x+2〕2-3 2、x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的选项是〔 〕 A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值． 4、解以下方程：〔1〕x 2+6x+5=0；〔2〕2x 2+6x-2=0；〔3〕〔1+x 〕2+2〔1+x 〕-4=0. 点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或〔mx+n 〕2=p 〔p ≥0〕的形式，那么可得x=mx+n=〔p ≥0〕.◆典例分析用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得2152x x -=，配方，得2211()15224x x -+=+， 即2161()24x -=，解得122x -=±，即121122x x -==．分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
此题中一次项系数是2-，因此，等式两边应同时加上2(或2才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得221158x x +=+，即2121(8x -=，解得44x -=±，即122x x ==-． ◆课下作业●拓展提高 1、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为〔 〕 A 、〔x-13〕2=89 B 、〔x-23〕2=0 C 、〔x-13〕2=89 D 、〔x-13〕2=1092、用配方法解方程x 2-23x+1=0正确的解法是〔 〕A 、〔x-13〕2=89，x=13±3 B 、〔x-13〕2=-89，原方程无解C 、〔x-23〕2=59，x 1=23，x 2 D 、〔x-23〕2=1，x 1=53，x 2=-133、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数． 4、如果16〔x-y 〕2+40〔x-y 〕+25=0，那么x 与y 的关系是________． 5、用配方法解以下方程：〔1〕x 2+4x+1=0；〔2〕2x 2-4x-1=0；〔3〕9y 2-18y-4=0；〔4〕x 26、如果a 、b 2-12b+36=0，求ab 的值．●体验中考1、〔2021年山西太原〕用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为〔 〕A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=2、〔2021年湖北仙桃〕解方程：2420x x ++=．3、〔2021年，陕西〕方程2(2)9x -=的解是〔 〕 A ．125,1x x ==- B ．125,1x x =-= C ．1211,7x x ==- D ．1211,7x x =-=4、〔2021年，青岛〕用配方法解一元二次方程：2220x x --=.参考答案： ◆随堂检测 1、B. 2、B.3、解:依题意,得222010x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =．4、解：〔1〕移项，得x 2+6x=-5， 配方，得x 2+6x+32=-5+32，即〔x+3〕2=4， 由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5 〔2〕移项，得2x 2+6x=-2， 二次项系数化为1，得x 2+3x=-1， 配方x 2+3x+〔32〕2=-1+〔32〕2，即〔x+32〕2=54，由此可得x+32=∴x 1=2-32，x 2=-2-32〔3〕去括号整理，得x 2+4x-1=0， 移项，得x 2+4x=1， 配方，得〔x+2〕2=5，由此可得x+2=，∴x 1，x 2◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 2、B.3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54.5、解：〔1〕x 1=3-2，x 2=-3-2；〔2〕x 1=1+6，x 2=1-6；〔3〕y 1=133+1，y 2=1-133；〔4〕x 1=x 2=3.6、解：原等式可化为234(6)0a b ++-=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩，∴43a =-，6b =，∴8ab =-. ●体验中考1、 B.分析：此题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，应选B ． 2、解：242x x +=-∴1222,2 2.x x =-3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.应选A.4、解得1213,13x x ==第2课时 多项式与多项式相乘一、填空题〔每题3分，共24分〕1．假设a b c x x x x ＝2008x ，那么c b a ++＝______________． 2．(2)(2)a b ab --＝__________，2332()()a a --＝__________． 3．如果2423)(a a a x =⋅，那么______=x ．4．计算：(12)(21)a a ---= ．5．有一个长9104⨯mm ，宽3105.2⨯mm ，高3610⨯mm 的长方体水箱，这个水箱的容积是______________2mm ．6．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式〔一定成立的等式〕，请根据右图写出一个代数恒等式是：________________．7.假设3230123(2)x a a x a x a x -=+++，那么220213()()a a a a +-+的值为 ．8．：A ＝－2ab ，B ＝3ab 〔a ＋2b 〕，C ＝2a 2b －2ab 2 ，3AB －AC 21＝__________．二、选择题〔每题3分，共24分〕 9．以下运算正确的选项是〔 〕．A ．236x x x =B ．2242x x x +=C ．22(2)4x x -=-D ．358(3)(5)15a a a --=10．如果一个单项式与3ab -的积为234a bc -，那么这个单项式为〔 〕．A ．14acB ．214a cC ．294a cD ．94ac11．计算233[()]()a b a b ++的正确结果是〔 〕．A ．8()a b +B ．9()a b +C ．10()a b +D ．11()a b +12．长方形的长为〔a －2〕cm ，宽为〔3a ＋1〕 cm ，那么它的面积是多少？〔 〕．A ．2(352)a a cm --B ．2(352)a a cm -+C ．2(352)a a cm +-D ．2(32)a a cm +-13．以下关于301300)2(2-+的计算结果正确的选项是〔 〕．A ．3003013003016012(2)(2)(2)(2)+-=-+-=-B ．1301300301300222)2(2-=-=-+C ．300300300301300301300222222)2(2-=⨯-=-=-+D ．601301300301300222)2(2=+=-+14．以下各式中，计算结果是2718x x +-的是〔 〕． A ．(1)(18)x x -+ B ．(2)(9)x x -+ C ．(3)(6)x x -+ D ．(2)(9)x x ++15．以下各式，能够表示图中阴影局部的面积的是〔 〕．①()at b t t +- ②2at bt t +- ③()()ab a t b t --- ④2()()a t t b t t t -+-+ A ．只有① B ．①和② C ．①、②和③ D ．①、②、③、④16．：有理数满足0|4|)4(22=-++n n m ，那么33m n 的值为〔 〕．A.1B.－1C. ±1D. ±2 三、解答题〔共52分〕 17．计算：〔1〕3243-ab c 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔2〕()2232315x y-xy -y -4xy 426⎛⎫⎪⎝⎭18．解方程：2(10)(8)100x x x +-=-19．先化简，再求值：用这种方法不仅可比大小，也能解计算题哟！〔1〕()()()2221414122x x x x x x ----+-，其中x ＝－2. 〔2〕()()()()5.0232143++--+a a a a ，其中a ＝－3.20．一个长方形的长为2xcm ，宽比长少4cm ，假设将长方形的长和宽都扩大3cm ，长方形比原来增大的面积是多少？拓广探索21.在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式， 一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律.〔1〕计算后填空：()()=++21x x ； ()()=-+13x x ； 〔2〕归纳、猜测后填空：()()()()++=++x x b x a x 2〔3〕运用〔2〕猜测的结论，直接写出计算结果：()()=++m x x 2 .22.有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．例 假设x ＝123456789×123456786，y ＝123456788×123456787，试比拟x 、y 的大小．解：设123456788＝a ，那么()()2122x a a a a =+=---，()21y a a a a ==--，∵()()222x y a a a a =-----＝－2，∴x ＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！ 问题：假设x ＝20072007200720112007200820072010⨯-⨯，y ＝20072008200720122007200920072011⨯-⨯，试比拟x 、y 的大小．参考答案一、填空题1．2007 2．2242a b ab -+、12a - 3．18 4．214a - 5．16610⨯ 6．()ab a b a a 2222+=+ 7．1 8．32231638a b a b -- 二、选择题9．D 10．A 11．B 12．A 13．C 14．B 15．D 16．B 三、解答题〔共56分〕 17．〔1〕3612278a b c -〔2〕3324510323x y x y xy -++ 18．2281080100x x x x -+-=-，220x =-，∴10x =-． 19．〔1〕324864x x x +--，8 〔2〕26a --，0 20．(23)(21)x x +-－2(24)x x - ＝2(4623)x x x +--－2(48)x x - ＝2244348x x x x +--+ ＝123x -答：增大的面积是(123)x cm -．21．〔1〕232x x ++、223x x +- 〔2〕a b +、ab 〔3〕2(2)2x m x m +++ 拓广探索22．设20072007＝a ，x ＝(4)(1)(3)a a a a +-++＝224(43)a a a a +-++＝－3，y ＝(1)(5)(2)(4)a a a a ++-++＝2265(68)a a a a ++-++＝－3，∴x ＝y ．。
九年级数学上册 22.2 降次解一元二次方程复习课件 新人教版
例1：用开平方法解方程 9x2=4
解：两边同除以9，得 利用开平方法，得
x2 4 9
x2 3
所以，原方程的根是
x1
2 3
,
x2
2 3
.
例2：用开平方法解方程 3x2=-4
解：两边同除以3，得
x2 4 3
因为任何一个实数的平方根不可 能是负数，所以原方程没有实数根。
X=
=
Х1=
Х2=
（2）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4×1×2=-4<0
∴此方程无实数解
（3）2x2-7x=0 解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
=
Х1=
Х2=0
（4）4x²+1=-4x 解：移项，得4x²+4x+1=0 a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0
1.解方程 x2－2√3x=-3 2.若一个数的平方等于这个数本身, 你能求出这个数吗(要求列出一 元二次方程求解)?
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分 解成两个一次因式的积时，则用因式分解 法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程 的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二
4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值
是一个（ B ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1 x1 3 10, x2 3 10
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)
22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律． （1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0． 解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、 在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方； 作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。
教案：22.2降次——解一元二次方程(2)
22.2降次——解一元二次方程（2）配方法南通市观河中学 初二备课组一、教学内容本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
二、教学目标知识技能：探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．数学思考：（1）在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
（2）渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．情感态度：继续体会由未知向已知转化的思想方法．三、教学重点、难点重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把ax x 2形的代数式配成完全平方式.四、教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容五、 教学过程（一）复习引入【问题】（学生活动）请同学们解下列方程(1)3x 2－27=0; (2)(2x －3)2=7老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p ≥0）．如：4x 2+16x+16=（2x+4）2 【活动方略】 教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．（二）探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？【活动方略】学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。
22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目 的；
2
一元二次方程配方的一般步骤： 化简：把方程化简为一般形式， 把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方：根据平方根意义,方程两边开平方 求解：解一元二次方程 定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程， 那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且 面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程
22.2 降次——解一元二次方程 辅导资料(含答案)
22.2 降次——解一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节的主要内容是一元二次方程的解法。
这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。
主要学习下列三个内容：1.配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。
2.公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
3.因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
4.整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计[备选题目]的问题。
点击一：利用直接开平方法解一元二次方程用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。
9年级数学上册(人教版)达标训练(22.2 降次——解一元二次方程)
达标训练 基础·巩固·达标 1．将下列方程各根分别填在后面的横线上： （1）x 2=169, x 1= ，x 2= ;（2）45-5x 2=0, x 1= ，x 2= .提示：利用直接开平方法解题，其中方程（2）化为x 2=9.答案：（1）13-13 （2）3 -32.填空：（1）x 2+6x +（ ）＝（x + ）2；（2）x 2-8x +（ ）＝（x -）2；（3）x 2+23x +（ ）＝（x + ）2. 提示： 本题思考的方法有两点：其一，看二次项系数是否为1，若是1，配方时，只需加上一次项系数一半的平方即可，如（1）左边加9，配成 x 与3和的完全平方；其二，若二次项系数不是1 时，为便于配方，要先提取二次项系数，使括号内首项为1.答案：（1）9 3 （2）16 4 （3）169 433.方程x 2+6x -5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）A.（x +3）2=14B.(x -3)2=14C.(x +6)2=12D.以上答案都不对提示：配方法解一元二次方程时，为便于配方，要化二次项系数为1；同时两边各加上一次项系数一半的平方，注意勿忘加上右边的项.移项，得x 2+6x=5 ，两边各加上9，得x 2+6x+9=5+9.即（x+3）2=14.答案：A4.用配方法解下列方程，配方错误的是（）A.x 2+2x -99=0，化为（x +1）2=100B.t 2-7t -4=0，化为 (t -27)2=465 C.x 2+8x +9=0，化为（x +4）2=25D.3x 2-4x -2=0，化为(x -32)2=910提示：A ：移项，得x 2+2x=99.配方，得x 2+x+12=99+12，即（x+1）2=100.所以A 项正确.B ：移项，得t 2-7t=4.配方，得t 2-7t+(27)2=4+(27)2，即(t-27)2=465.所以B 项正确.C ：移项，得x 2+9x=-9.配方，得x 2+8x+42=-9+42，即（x+4）2=7.所以C 项错误.D ：移项，得3x 2-4x=2.二次项系数化为1，得x 2-34x=32.配方，得x 2-34x+(32)2=32+(32)2，即(x-32)2=910.所以D 项正确.答案： C5.方程2x 2-8x -1=0 应用配方法时，配方所得方程为 .提示：配方前，必须先把二次项系数化为1，同时两边各加上一次项系数一半的平方，整理即可得到所得的方程.答案：（x+2）2=296.如果x 2-2(m +1)x +m 2+5=0是一个完全平方公式，则m . 提示：根据完全平方式的特点可知：二次项系数为1时，常数项应是一次项系数一半的平方，因此m 2+5= (m+1)2 ，解得m=2. 答案：=27.当m 为 时，关于x 的方程(x -p )2+m =0有实数解.提示：方程(x-p)2+m=0可变形为(x-p)2=-m.由平方根的定义可知，当-m ≥0，即m ≤0时原方程有实数解.答案：小于等于08.解下列方程：（1）9x 2=8；（2）9(x +31)2=4；（3）4x 2+4x +1=25. 提示：根据方程的特点可以选用直接开平方法解方程. 解：（1）x 2=98,x=±322,x 1=322,x 2=-322. （2） （x+31）2=94，1,31,323121-==±=+x x x . （3）(2x+1)2=25，2x+1=±5，x 1=2，x 2=-3.综合·应用·创新9．用配方法解下列方程：（1）x 2+x -1=0；（2）2x 2-5x +2=0；（3）2x 2-4x +1=0.提示：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）移项：使方程左边是二次项和一次项，右边是常数项；（2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；（3）配方：方程两边都加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原方程化为（mx+n ）2=p 的形式；（4）当p ≥0时，用直接开平方法解变形后的方程.解：（1）移项，得x 2+x=1.配方，得x 2+x+⎪⎭⎫ ⎝⎛212=1+41，即(x+21)2=45 . .251,251.252121--=+-±=+x x x .（2）移项，得2x 2-5x=-2. 二次项系数化为1，得x 2- 25x=-1.配方，得x 2-25x+⎪⎭⎫ ⎝⎛452=-1+⎪⎭⎫ ⎝⎛452，即169452=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x .222,222,434521-=+=±=-x x x .（3）移项，得2x 2-4x=-1. 二次项系数化为1，得x 2-2x=- 12.配方，x 2-2x+12=-21+12,即(x-1)2=21. 222,222,22121-==±=-x x x .10．（1）用配方法证明2x 2-4x +7恒大于零；（2）由第（1）题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式.（1）可用配方法将2x2-4x+7配成一个完全平方式与某个正数的和的形式；（2）此题答案有很多，只要是一个完全平方式加上一个正数得到的二次三项式均符合题意.证明：（1）2x2-4x+7=2（x2-2x）+7=2（x2-2x+1-1）+7=2（x-1）2-2+7=2（x-1）2+5.因为2（x-1）2≥0，所以2（x-1）2+5≥5，即2x2-4x+7≥5，故2x2-4x+7恒大于零.（2）x2-2x+3；2x2-2x+5；3x2+6x+8等.回顾热身展望11．山东济南模拟解一元二次方程：（x-1）2=4.提示：据方程特点选择直接开平方法解方程比较简便.解：x-1=±2，x-1=2或x-1=-2，所以x1=3，x2= -1.12．北京模拟用配方法解方程：x2-4x+1=0.提示：根据配方法的步骤先配方再解方程.解：移项，得x2-4x= -1.配方，x2-4x+22= -1+22，（x -2）2=3.由此可得x -2=± 3,x1=2+3,x2=2-3.试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．1．会笔记上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．2．会比较在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．3．会质疑“学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．4．会分析一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1．认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．2．认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．。
人教版数学九上《降次──解一元二次方程》word教案
2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，
3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
七、教学反思
学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想
三、例题学习：
例（教材P33例1）解下列方程：
(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x
(3) 3x2-6x+4=0
教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。
4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？
5、配方的关键是什么？
交流与点拨：
重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（ ）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。
交流与点拨：
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。
（2）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。
（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第2课时）
主备教师
授课教师
授课班级
备课时间
学习目标
22.2降次-解一元二次方程(七个课时)教案
22.2 降次——解一元二次方程课题：22.2.1配方法（第1课时）一、教学目标1.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为1）.2.培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点1.重点：用配方法解一元二次方程.2.难点：配方.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）直接开平方法：第一步：化成什么2＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么2＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目.（师出示例1）例1 解方程：x2-4x+4=5.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：原方程化成(x-2)2=5.，开平方，得x-2=5x1=5+2，x2=-5+2.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例2）例2 解方程：x2+6x-16=0.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么2＝常数的这种样子，也就是左边化成含有x的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么2＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得x2+6x=16），然后在这个方程的两边加上32（板书：x2+6x+32=16+32），左边x2+6x+32等于什么？（稍停）等于(x+3)2（边讲边板书：(x+3)2），右边16+32等于25（边讲边板书：＝25）.这样我们把原方程化成了含有x的式子的平方＝常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得x+3=±5（边讲边板书：开平方，得x+3=±5），解一元一次方程，得到两个根，x1=2，x2=-8（边讲边板书：x1=2，x2=-8）.师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在方程两边加上32，把方程的左边配成(x+3)2.这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：配方法）.师：下面请大家做几个有关配方法的练习.（五）试探练习，回授调节3.填空：(1)x2+2·x·2+ =(x+ )2；(2)x2-2·x·6+ =(x- )2；(3)x2+10x+ =(x+ )2；(4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.（六）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么2＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.课外补充作业：6.填空：(1)x2-2·x·3+ =(x- )2；(2)x2+2·x·4+ =(x+ )2；(3)x2-4x+ =(x- )2；(4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.四、板书设计直接开平方法、配方法例1 例2第一步：化成什么2＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.课题：22.2.1配方法（第2课时）一、教学目标1.会用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1）.2.培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1.重点：用配方法解一元二次方程.2.难点：配方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-12x+35=0.解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .2.填空：(1)x 2-2·x ·13+ =(x- )2； (2)x 2+5x+ =(x+ )2； (3)x 2-32x+ =(x- )2； (4)x 2+x+ =(x+ )2.（订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方） （二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 配方法第一步：化成什么2＝常数； 第二步：开平方降次； 第三步：解一元一次方程.师：（指准板书）上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？有这么三步，第一步：通过移项、配方把原方程化成什么2＝常数这种样子；第二步：开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.师：下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例1. （师出示例1）（三）尝试指导，讲授新课 例1 用配方法解方程：x 2+5x+14=0. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：移项，得x 2+5x=-14. 配方 x 2+5x+252⎛⎫ ⎪⎝⎭=-14+252⎛⎫ ⎪⎝⎭，25x+=62⎛⎫⎪⎝⎭.开平方，得x+52=6±， x 1=5-+62，x 2=5--62.（四）试探练习，回授调节3.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-x-74=0.解：移项，得 .配方，.开平方，得，x1= ，x2= .（五）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例2）例2 用配方法解方程：2x2+1=3x.师：（指准方程）这个方程与例1这个方程有点区别，区别在哪儿？（稍停）区别主要是，例1这个方程的二次项系数是1，而这个方程的二次项系数不是1.怎么办？我们可以设法把这个方程二次项系数化为1.下面大家自己先试着做一做.（以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得2x2-3x=-1.二次项系数化为1，得231x-x=-22.配方2223313x-x+=-+2424⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231x-=416⎛⎫⎪⎝⎭开平方，得31x-=44±，x1=1, x2=12.（六）试探练习，回授调节4.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得 .配方，.开平方，得，x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0.（七）归纳小结，布置作业师：这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步.怎么做第一步？（指例2）先移项，再把二次项系数化为1，然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方.（作业：P42习题2.3.）四、板书设计配方法例1 例2第一步：化成什么2＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.课题：22.2.1配方法（第3课时）一、教学目标1.会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）.2.培养数感和运算能力.二、教学重点和难点1.重点：先整理再用配方法解一元二次方程.2.难点：没有实数根的情况.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得 .配方，. 开平方，得 ， x 1= ,x 2= . （二）创设情境，导入新课师：上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.（三）尝试指导，讲授新课 （师出示例题） 例 用配方法解方程： (1)(x-2)(x+3)=6； (2)3x(x-1)=3x-4.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下） 解：(1)整理，得x 2+x-12=0. 移项，得x 2+x=12.配方 x 2+x+212⎛⎫ ⎪⎝⎭=12+212⎛⎫ ⎪⎝⎭，2149x+=24⎛⎫ ⎪⎝⎭.开平方，得x+12=72±， x 1=3， x 2=-4. (2)整理，得3x 2-6x+4=0. 移项，得3x 2-6x=-4.二次项系数化为1，得24x -2x=-3配方 224x -2x+1=-+13， ()21x-1=-3. 原方程没有实数根.师：例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名好生回答）师：用配方法解一元二次方程，（指准例2）第一步要把原方程化成什么2＝常数这种样子，怎么化呢？（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为1；然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方.第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例1）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根.（四）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：(2x-1)2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 .二次项系数化为1，得 .配方，.开平方，得，x1= ,x2= .3.用配方法解方程：(2x+1)(x-3)=x-9.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一说，怎么用配方法解一元二次方程？（同桌之间互相说）（作业：P34练习2(5)(6)）四、板书设计（略）课题：22.2.2公式法（第4课时）一、教学目标1.经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程.2.发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程求根公式的推导和运用.2.难点：一元二次方程求根公式的推导. 三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课师：（板书：ax 2+bx+c=0，并指准）这是一个一元二次方程，x 是未知数，a ，b ，c 都是常数，而且a ≠0（板书：(a ≠0)）.怎么用配方法来解这个一元二次方程？大家自己先试一试.（生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间）师：我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么2=常数这种样子，怎么化呢？师：先把常数项c 移到右边（板书：移项，得ax 2+bx=-c ）. 师：再把二次项系数化为1，得2bcx +x=-a a（板书：二次项系数化为1，得2b cx +x=-a a）.师：然后配方（板书：配方），怎么配方？（稍停）在方程两边加上一次项系数一半的平方（板书：222b b c b x +x+=-+a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），左边是2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（板书：2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=），右边=222222222c b b c b 4ac b -4ac -+=-=-=a 4a 4a a 4a 4a 4a （边讲边在黑板的其它地方板演），所以2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=22b -4ac 4a （边讲边板书：22b -4ac 4a ）. 师：（指准板书）通过移项、二次项系数化为1、配方，现在我们把原方程化成了什么2=常数这种形式，接下来怎么做呢？师：（指准方程）接下来开平方（板书：开平方，得），22b b -4acx+=2a 4a ±（边讲边板书：22b b -4ac x+=2a 4a ±），这个二次根式还可以化简，化简结果是2b -4ac2a （边讲边将上面的二次根式改写成2b -4ac2a）.师：（指准方程）把b 2a 移到方程右边去，可以解出x ，2-b b -4acx=2a±（边讲边板书：2-b b-4acx=2a±）.师：21-b+b-4acx=2a（边讲边板书），22-b-b-4acx=2a（边讲边板书）.师：（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是2-b b-4acx=2a±（在这个式子外加框）.师：（指ax2+bx+c=0）忙乎了半天，有的同学可能会问：这个方程尽是字母，很难解，解它有什么用？是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让几名同学发表看法）师：以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦.现在好了，通过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数a、一次项系数b、常数项c代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：求根公式）.师：（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）师：下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程.（师出示例题）例利用求根公式解下列方程：(1)x2-4x-7=0； (2)5x2-3x=x+1；(3)2x2-22x+1=0； (4)x2+17=8x.师：（指(1)题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？（板书：解：(1)）师：（指(1)题）首先要找出这个方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，这个方程的a，b，c等于什么？生：a=1，b=-4，c=-7（生答师板书：a=1，b=-4，c=-7）.师：找出了a，b，c，接下来干什么？接下来要计算b2-4ac的值（板书：b2-4ac=）. b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44（边讲边板书：(-4)2-4×1×(-7)=44）师：大家可能觉得有点奇怪，找出了a，b，c，为什么不把a，b，c直接代入求根公式，而是先计算b 2-4ac 的值？（稍停后指准求根公式）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是b 2-4ac ，可见b 2-4ac 必须大于等于0.计算b 2-4ac 的目的是什么？目的是看一看b 2-4ac 的值是大于等于0还是小于0.如果b 2-4ac 的值大于等于0，下一步才把a ，b ，c 代入求根公式；如果b 2-4ac 的值小于0，这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据b 2-4ac 值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把a ，b ，c 代入求根公式，先要求b 2-4ac 的值.师：（指准板书）这个方程的b 2-4ac 等于44，大于0（边讲边板书：＞0），所以下一步可以把a ，b ，c 代入求根公式.师：2-b b -4ac -(-4)444211x===2a 212±±±⨯（边讲边板书）. 师：1x =2+11，1x =2-11（边讲边板书）. （以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下） (2)整理，得5x 2-4x-1=0. a=5，b=-4，c=-1，b 2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0.2-b b -4ac -(-4)3646x===2a 2510±±±⨯，14+6x ==110，14-61x ==-105. (3)a=2，b=-22，c=1， b 2-4ac=(-22)2-4×2×1=0.2-b b -4ac -(-22)0220x===2a 224±±±⨯，122x =x =2. (4)整理，得x 2-8x+17=0. a=1，b=-8，c=17，b 2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0. 方程没有实数根.（二）试探练习，回授调节 1.完成下面的解题过程： 利用求根公式解方程：x 2+x-6=0. 解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.2-b b -4acx==___________________=_________2a，1x =_________，1x =__________. 2.利用求根公式解下列方程： (1)21x -3x-=04； (2)24x +45x+5=0； (3)3x 2-4x+2=0； （三）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法（板书课题：22.2.2公式法）.师：和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本.（作业：P 42习题5(1)(2)(5)(6)） 四、板书设计（略）22.2.2公式法ax 2+bx+c=0(a ≠0) 例移项，得…… 二次项系数化为1，得……配方…… …… 开平方，得…… x 1=……x 2=……课题：22.2.2公式法（第5课时） 一、教学目标1.会较熟练地用公式法解一元二次方程.2.知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况. 二、教学重点和难点1.重点：根据判别式的值确定解的情况.2.难点：根据判别式的值确定解的情况. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程： (1)2x 2-3x-2=0.解：a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = ＞0.2-b b -4acx==___________________=_________2a±，1x =_________，1x =__________. (2)x(2x-6)=6x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = .2-b b -4acx==__________________=_________2a±， 12x =x =_________. (3)(x-2)2=x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＜0. 方程 实数根.（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）一元二次方程ax2+bx+c=0(1)当b2-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2-4ac 时，方程没有实数根.师：刚才我们解了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？（稍停）师：（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是ax2+bx+c=0这样的形式.师：然后计算b2-4ac的值，（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？生：当b2-4ac＞0时（多让几名同学回答，然后师填入：＞0）.师：（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？生：当b2-4ac＝0时（多让几名同学回答，然后师填入：＝0）.师：（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？生：当b2-4ac＜0时（生答师填入：＜0）.师：（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这个结论读两遍.（生读）师：（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子b2-4ac决定，所以我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：b2-4ac 叫做根的判别式），记作△（板书：记作△）.师：下面我们就利用这个结论来做一个题目.（师出示下面的例题）例利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0；(2)4y2+9=12y；(3)5(x2+1)-7x=0.（师边讲解边板书，解题过程如下）解：(1)a=2，b=3，c=-4.△=b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32＞0，方程有两个不相等的实数根.(2)整理，得4y2-12y+9=0a=4，b=-12，c=9.△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=144-144=0，方程有两个相等的实数根.(3)整理，得5x2-7x+5=0a=5，b=-7，c=5.△=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=49-100＜0，方程没有实数根.（三）试探练习，回授调节2.利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2-5x=-7；(2)(x-1)(2x+3)=x；(3)x2+5=25x.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大家再把这个结论读一遍.（生读）（作业：P42习题4.5(3)(4)）四、板书设计（略）一元二次方程ax2+bx+c=0 例(1)当b2-4ac＞0时……(2)当b2-4ac=0时……(3)当b2-4ac＜0时……课题：22.2.3因式分解法（第6课时）一、教学目标1.会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次.2.培养式的变形能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：用因式分解法解一元二次方程.2.难点：式的变形. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 1.完成下面的解题过程：用公式法解方程：2x(x-1)+6=2(0.5x+3) 解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0. x=__________________=______， 1x =_________，2x =__________. （二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？（稍停）我们先整理得到了方程2x 2-3x=0（边讲边板书：2x 2-3x=0），然后用公式法求出两个根.师：（指2x 2-3x=0）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？（让生思考一会儿）师：（指2x 2-3x=0）我们把这个方程的左边分解因式（板书：因式分解，得），得到x(2x-3)=0（边讲边板书：x(2x-3)=0）.师：（指准x(2x-3)=0）x 乘以2x-3等于0，这说明什么？ 生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准x(2x-3)=0）x 乘以2x-3等于0，说明x=0或者2x-3=0（板书：于是得x=0或2x-3=0）.师：（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由x=0得到x 1=0（板书：x 1=0），由2x-3=0，得到23x =2（板书：23x =2）.师：（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简单.大家再看一看，用这种方法解方程，哪一步是关键？生：因式分解.（多让几名同学回答）师：因式分解是这种方法的关键，那么这种方法应该叫做什么法？生：（齐答）因式分解法.（师板书课题：22.2.3因式分解法）师：通过因式分解来解一元二次方程，这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解法再来解几个一元二次方程.（师出示例题）例用因式分解法解下列方程：(1)x(x-2)+x-2=0；(2)5x2-2x-14=x2-2x+34；(3)(2y+3)2=(y-1)2.（师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第39页所示，(3)题解题过程如下） (3)移项，得 (2y+3)2-(y-1)2=0.因式分解，得(3y+2)(y+4)=0.于是得 3y+2=0或y+4=0，12y=-3，y2=-4.师：我们用因式分解法做了几个题，通过做题，哪位同学会归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让两名学生归纳）师：（指准例(3)题）用因式分解法解一元二次方程，先把方程右边移到左边，再把左边分解因式，化为两个一次式的乘积等于0的形式，然后得到两个一元一次方程，最后分别解这两个一元一次方程，得到两个根.师：按这样的步骤，下面同学们自己做几个练习.（三）试探练习，回授调节2.完成下面的解题过程：用因式分解法解方程：x2=23x.解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= .3.用因式分解法解下列方程：(1)x2+x=0；(2)4x2-121=0；(3)3x(2x+1)=4x+2；(4)(x-4)2=(5-2x)2.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，它是通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程，从而达到降次的目的（边讲边板书：降次）.解一元二次方程的基本思路是什么？（稍停）基本思路是降次.配方法是通过配方来降次，因式分解法是通过因式分解来降次.降次是解一元二次方程的基本思路，这一点还希望同学们能好好理解，好好体会.（作业：P43习题6）四、板书设计（略）22.2.3因式分解法2x2-3x=0 例因式分解，得x(2x-3)=0于是得x=0或2x-3=0，x1=0，x2=3 2课题：22.2.3因式分解法（第7课时）一、教学目标1.通过基本训练，复习巩固解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）.2.会选择适当的方法解一元二次方程.二、教学重点和难点1.重点：复习巩固四种方法.2.难点：选择适当的方法解一元二次方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、 .2.完成下面的解题过程：(1)用直接开平方法解方程：2(x-3)2-6=0； 解：原方程化成 . 开平方，得 ， x 1= ，x 2= . (2)用配方法解方程：3x 2-x-4=0； 解：移项，得 .二次项系数化为1，得 . 配方 ， . 开平方，得 ， x 1= ，x 2= . (3)用公式法解方程：x(2x-4)=2.5-8x. 解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.2-b b -4acx==__________________=_________2a, x 1= ，x 2= . (4)用因式分解法解方程：x(x+2)=3x+6. 解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得 或 ， x 1= ，x 2= . （二）尝试指导，讲授新课 （师出示下表）直接开平方法配方法公式法因式分解法过程简单复杂较简单简单适用某些所有所有某些师：前面我们学习了解一元二次方程的四种方法，哪四种方法？（指准表）直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.这四种方法各有各的特点，这个表反映了它们各自的特点.师：（指准表格）直接开平方法解方程的过程简单，但这种方法只能用于解某些一元二次方程.譬如，3x2-5=0，2(x+1)2=7（边讲边板书），这样的方程可以用直接开平方法来解.师：（指准表格）配方法解方程过程最复杂，但这种方法适用于所有的一元二次方程，也就是说，任何一元二次方程都可以用配方法来解.师：（指准表格）公式法解方程的过程比较简单，而且这种方法适用于所有的一元二次方程.师：（指准表格）因式分解法解方程的过程简单，但这种方法和直接开平方法一样只能用于解某些一元二次方程.譬如，x2+6x=0，x2=(2x+1)2（边讲边板书方程），这样的方程可以用因式分解法来解.师：知道了四种方法各自的特点，下面我们来看一道例题.（师出示例题）例指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)x2+3x-6=0；(3)2(x-4)2-5=0.师：解一元二次方程有四种方法，现在要你指出这几个方程用哪种方法来解比较适当，请大家自己先考虑考虑.（让生思考一会儿）师：谁来说说你的想法？生：……（多让几名同学发表看法，最好要说出理由）师：（指准表格）在四种方法中，用直接开平方法、因式分解法解方程最简单，所以先要看能不能用这两种方法来解.如果不能用直接开平方法来解，也不能用因式分解法来解，就要用公式法来解.因为公式法能解所有的一元二次方程，它是“万能”的，而且比较简单.师：根据这样的思路，我们来看这道例题.师：（指例(1)题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）能（板书：解：(1)因式分解法）.师：（指例(2)题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）不能.所以要用公式法解（板书：(2)公式法）.师：（指例(3)题）这个方程用什么方法解合适？生：（齐答）直接开平方法（生答师板书：(3)直接开平方法）.师：这个例题做完了，做完了例题有的同学可能会提出一个问题，什么时候用配方法解方程？（稍停）老师要告诉大家，因为用配方法解方程最复杂，所以我们一般不用配方法解方程.师：有的同学可能会接着问：既然不用配方法解方程，为什么要学配方法？（稍停）在四种方法中，公式法最有用，什么方程都可以用公式法来解，而且比较简单，但求根公式是怎么推导出来的？（稍停）求根公式是用配方法推导出来的，不学配方法哪有公式法？所以我们说，公式法最有用，配方法最基本，而直接开平方法、因式分解法最简单，但这两种方法只适用于某些特殊的一元二次方程.（三）试探练习，回授调节2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)(2x+3)2=-2x；(2)(2x+3)2=4(2x+3)；(3)(2x+3)2=6.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们复习了解一元二次方程的四种方法，这四种方法各有各的特点，但它们的基本思路是相同的.相同的思路是什么？（稍停）相同的思路是把一元二次方程化为一元一次方程，也就是降次（板书：降次）.不管用什么方法，降次是解一元二次方程的基本思路.课外补充作业：3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：(1)(2x-3)2=25；(2)(2x-3)2=5(2x-3)；(3)(2x-3)=x(3x-2).4.用配方法解方程：x2+2x-1=0.四、板书设计表格例3x2-5=0 2(x+1)2=7x2+6x=0 x2=(2x+1)2。
22.2降次――解一元二次方程(含答案).
降次——解一元二次方程一、选一选！1.把方程左侧配成一个完整平方式后，所得方程是（）. （A）（B）（C）（D）2.已知方程能够配方成的形式, 那么能够配方成以下的((A (B (C (D3.一元二次方程的两个根分别为(．(AXl=1，x2=3(BXl=1，x2=－3(CX1=－1，X2=3(DXI=－1，X2=－34.若，则的值为（）.（A）3（B）－2（C）3或－2（D）－3或25.方程的根是（）.（A）－2（B）0（C）无实根（D）0或－26.已知知足方程，则的值为（）.（A）3（B）－3（C）（D）以上都不对7.要使分式的值为0，等于（）.（A）1（B）4或1（C）4（D）－4或－18.对于的方程是一元二次方程的条件是（）.（A）且（B）（C）且（D）二、填一填！9..10.若最简二次根式与能够归并，则__________.11.若代数式的值为31，则_________________.12.用公式法解方程，此中__________，__________，_______________.一元二次方程x2－2x－1=0的根是__________．若方程x2－m=0的根为整数，则m的值能够是________（只填切合条件的一个即可）若（2x+3y）2+3（2x+3y）－4=0，则2x+3y的值为_________．16.请写出一个根为x=1,另一根知足－1<x<1的一元二次方程_______.三、做一做！17.用配方法解以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）.18.用公式法解以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）.19.用因式分解法解以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）.阅读资料，解答问题:资料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）+4=0我们能够将x2－1视为一个整体，而后设x2－1=y，?则（x2－1）2=y2，原方程可化为y2－5y+4=0，解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2－1=1，∴x2=2，∴x=±；当y=4时，x2－1=4，∴x2=5，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=－，x3=，x4=－，解答问题：1）填空，在解原方程获得①的过程中利用_________法达到了降次的目的，表现了_______?数学思想; 2）利用上述方法解方程x4－x2－6=0．若规定两数a、b经过“※”运算，获得4ab，即a※b=4ab，比如2※6=4?×2?×6=48（1）求3※5的值；2）求x※x+2※x－2※4=0中x的值；3）若不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．参照答案一、选一选！；；；；；；；；二、填一填！9.，；－5或3；11．9或－2；，－3，－5；13.x1=1+；x2=1－；14.如4，提示：m应是一个整数的平方，本题可填的数字好多．15.－?4或1；16.略；三、做一做！17.（1），；2（），；3（），；（），；418.（1），；（2），；（3）；4（），；19.（1），；（2），；（3），；（4），.（1）换元，转变；（2）x=±；（1）3※5=4×3×5=60，2）由x※x+2※x－2※4=0得4x2+8x－32=0，即x2+2x－8=0，∴x1=2，x2=－4，3）由a*x=x得4ax=a，不论x为什么值总有4ax=x，∴a=．。
九年级数学22.2降次解一元二次方程(第二课时)
22．2降次--解一元二次方程〔第二课时〕配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x2-4x+1配方后得〔〕2222A．〔x-2〕+3B．〔x-2〕-3C．〔x+2〕+3D．〔x+2〕-32、x2-8x+15=0，左侧化成含有x的完整平方形式，此中正确的选项是〔〕A、x2-8x+42=31B、x2-8x+42=1C、x2+8x+42=1D、x2-4x+4=-112x x23、代数式的值为0，求x的值．2224、解以下方程：〔1〕x+6x+5=0；〔2〕2x+6x-2=0；〔3〕〔1+x〕+2〔1+x〕-4=0.22点拨：上边的方程都能化成x=p或〔mx+n〕=p〔p≥0〕的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p〔p≥0〕.◆典例剖析用配方法解方程2x22x30，下边的过程对吗？假如不对，找犯错在哪里，并更正．解：方程两边都除以2并移项，得x22x15，2配方，2(1)21，得x2x522即(x1)261，24解得x 161，22即x11261,x2161．2剖析：配方法中的重点一步是等式两边同时加前一次项系数一半的平方。
本题中一次项系数是2，因2此，等式两边应同时加上(2)2或(2)2才对44解：上边的过程不对，错在配方一步，更正以下：配方，得x22x(2)2151，248即(x2)2121，48解得x2112 4，即x132,x22．2◆课下作业●拓展提升1、配方法解方程2x2-4x-2=0应把它先变形为〔〕3A、〔x-1〕2=8B、〔x-2〕2=0C、〔x-1〕2=8D、〔x-1〕2=103339392、用配方法解方程x2-2x+1=0正确的解法是〔〕3A、〔x-1〕2=8，x=1±22B 、〔x-1〕2=-8，原方程无解93339C、〔x-2〕2=5，x1=2+5，x2=25D、〔x-2〕2=1，x1=5，x2=-193333333、不论x、y取任何实数，多项式x2y22x4y16的值老是_______数．4、假如16〔x-y〕2+40〔x-y〕+25=0，那么x与y的关系是________．5、用配方法解以下方程：〔1〕x2+4x+1=0；〔2〕2x2-4x-1=0；〔3〕9y2-18y-4=0；〔4〕x2+3=23x.6、假如a、b为实数，知足3a4+b2-12b+36=0，求ab的值．●体验中考1、〔2021年山西太原〕用配方法解方程x22x 5 0时，原方程应变形为〔〕A．x12B．x2 66C．x22D．x2 992、〔2021年湖北仙桃〕解方程：x24x20．3、〔2021年，陕西〕方程(x2)29的解是〔〕A ．x15,x21B．x15,x21C ．x111,x27D．x111,x274、〔2021年，青岛〕用配方法解一元二次方程：x22x20.参照答案：◆随堂检测1、B.2、B.x2203、解:依题意,得10,解得x2．x 24、解：〔1〕移项，得2，x+6x=-5配方，得x2+6x+32=-5+32，即〔x+3〕2=4，由此可得：x+3=±2，∴x1=-1，x2=-52〕移项，得2x2+6x=-2，二次项系数化为1，得x2+3x=-1，22，配方x+3x+〔3〕=-1+〔3〕22即〔x+〕2=5，由此可得x+3=±542∴x1=5-3，x2=-5-322223〕去括号整理，得x2+4x-1=0，移项，得x2+4x=1，配方，得〔x+2〕2=5，由此可得x+2=±5，∴x1=5-2，x2=-◆课下作业5，-2●拓展提升1、D.2、B.3、正x2y22x4y16x12(y2)211110.4、x-y=5原方程可化为4(xy)525.0，∴x-y=45、解：〔1〕x1=3-2，x2=-3-2；〔2〕x1=1+6，x2=1-6；2〔3〕y1=13+1，y2=1-13；〔4〕x1=x2=3.336、解：原等式可化为3a4(b6)20，∴3a4，b60∴a46，∴ab8.，b3●体验中考1、B.剖析：本题考察配方，x22x50，x22x151，x126，应选B．2、解：x24x 2∴x122,x222.3、A∵(x2)29，∴x23,∴x15,x21.应选A.4、解得x13,x1 3.12。
21.2降次--解一元二次方程(第四课时)
22．2降次--解一元二次方程（第四课时）22.2.3 因式分解法◆随堂检测1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）A ．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x 1=13，x 2=7B ．（2-5x ）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x 1=25，x 2=35C ．（x+2）2+4x=0，∴x 1=2，x 2=-2D ．x 2=x 两边同除以x ，得x=12、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．3、用因式分解法解方程:（1）2411x x =；（2）2(2)24x x -=-． 点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式．4、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长． ◆典例分析方程2200920100x x +-=较大根为m ，方程2(2010)2009201110x x +⨯-=较小根为n ，求n m +的值.分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，选用因式分解法最合适．解：将方程2200920100x x +-=因式分解，得：(2010)(1)0x x +-=，∴20100x +=或10x -=，∴12010x =-，21x =.∴较大根为1，即1m =.将方程2(2010)2009201110x x +⨯-=变形为： 2(2010)(20101)(20101)10x x +-⨯+-=，∴22(2010)201010x x x +--=，∴22010(1)(1)0x x x +-+=，∴∴∴2(20101)(1)0x x -+=，∴2201010x -=或10x +=，∴1212010x =，21x =-. ∴较小根为-1，即1n =-.∴1(1)0m n +=+-=.◆课下作业●拓展提高1、二次三项式x 2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x 2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．2、下列命题:①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x 2=1是同解方程；③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、已知()(2)80x y x y +++-=，求x y +的值.点拨:将x y +看作一个整体,不妨设x y z +=，则求出z 的值即为x y +的值.4、我们知道2()()()x a b x ab x a x b -++=--，那么2()0x a b x ab -++=就可转化为()()0x a x b --=，请你用上面的方法解下列方程：（1）2340x x --=；（2）2760x x -+=；（3）2450x x +-=. 5、已知22940a b -=，求代数式22a b a b b a ab +--的值． 分析：要求22a b a b b a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入即可．6、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b --的值. ●体验中考1、（2009年，河南）方程2x x =的解是（ ）A ．1x =B ．0x =C ．11x =，20x =D ．11x =-，20x =2、（2008年，淮安）小华在解一元二次方程240x x -=时，只得出一个根是4x =，则被他漏掉的一个根是________.（提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）参考答案：◆随堂检测1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．只有B 是正确的.2、x （x-5）；（x-3）（2x-5）.3、解：（1）移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =. （2）移项，得2(2)240x x --+=，即2(2)2(2)0x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =.4、解方程:2430x x -+=，得(3)(1)0x x --=，∴13x =，21x =.∵三角形两边长分别为2和4，∴第三边只能是3.∴三角形周长为9.◆课下作业●拓展提高1、（x+12）（x+8）；x 1=-12，x 2=-8.2、A ①中方程当k=0时不是一元二次方程；②中x=1比方程x 2=1少一个解x=-1；③中方程x 2=x 比方程x=1多一个解x=0；④中由（x+1）（x-1）=3不能必然地得到x+1=3或x-1=3.因此没有正确的命题，故选A.3、解：设x y z +=，则方程可化为(2)80z z +-=,∴2280z z +-=,∴(4)(2)0z z +-=,∴14z =-，22z =.∴x y +的值是4-或2.4、解（1）∵234(4)(1)x x x x --=-+，∴(4)(1)0x x -+=，∴40x -=或10x +=，∴14x =，21x =-.（2）∵276(6)(1)x x x x -+=--，∴(6)(1)0x x --=，∴60x -=或10x -=，∴16x =，21x =.（3）∵245(5)(1)x x x x +-=+-，∴(5)(1)0x x +-=， ∴50x +=或10x -=，∴15x =-，21x =. 5、解：原式=22222a b a b b ab a---=- ∵22940a b -=，∴(32)(32)0a b a b +-=，∴320a b +=或320a b -=，∴23a b =-或23a b =， ∴当23a b =-时，原式=-223b b -=3；当23a b =时，原式=-3． 6、解：把1x =代入方程，得：a ＋b ＝40，又∵a b ≠， ∴2222a b a b --＝()()2()a b a b a b +--＝2a b +＝20.●体验中考1、C 先移项，得20x x -=，因式分解，得：(1)0x x -=，∴10x =，21x =.故选C.2、0x = 将方程因式分解，得(4)0x x -=，∴10x =，24x =.∴被他漏掉的根是0x =.。
22.2.降次——解一元二次方程(习题课)
22.2.降次——解一元二次方程（习题课）【学习目标】1、 会灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。
并能说出各种解法的要点及注意的问题。
2、 能利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。
3、 会列一元二次方程解简单实际问题，并对结果作合理的解释。
【学习过程】一、自主学习：1、 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？2、 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？3、 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？4、 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？5、 如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？6、 求取的方程的解都符合题意吗？有什么判断依据？二、例题学习：例1 选择适当的方法解下列方程：（1）5)12(2=-x （2）09102=++x x 解： 解：（3）02432=+-x x （4）05822=+-x x 解： 解：（5）3632-=-x x例2：关于x 的一元二次方程032)1(2=+++x x m（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根。
（2）当m 取何值时，此方程有两个相等的实数根。
（3）当m 取何值时，此方程没有实数根。
解：三、巩固练习1、 （教材P 58 复习题22第1题）解下列方程：（1）011962=-x （2）4x 2+12x+9=81(3)0172=--x x （4）2x 2+3x=3（5）25122=+-x x （6）x(2x-5)=4x-10（7）113752+=++x x x （8）1-8x+16x 2=2-8x四、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
1、 解一元二次方程时，首先把方程转化成一般形式观察，首先考虑因式分解法或直接开平方法，若不行再选择其它方法，用公式法前先判断根的情况。
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22.2.降次——解一元二次方程（习题课）
知识网络图表
【师生共识】
1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：____________（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________． 2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•
（•4）•求根公式法，•求根公式是__________________________________________________． 3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根． 思考下列问题：
1、 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？
2、 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？
3、 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？
4、 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
5、 如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？
6、 求取的方程的解都符合题意吗？有什么判断依据？
交流与点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。
注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。
求根公式不要死记，要掌握推导过程。
b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情
况是考点，要灵活掌握。
二、例题学习：
例1 选择适当的方法解下列方程：
（1）5)12(2=-x （2）09102=++x x 解： 解：
（3）02432=+-x x （4）05822
=+-x x
解： 解：
（5）3632
-=-x x
解：
例2：关于x 的一元二次方程032)1(2=+++x x m
（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根。
（2）当m 取何值时，此方程有两个相等的实数根。
（3）当m 取何值时，此方程没有实数根。
解：
（解题时，注意01≠+m ， 1-≠m ；再结合b 2-4ac 来判断。
教师可作一问的解题过程。
）
三、巩固练习
1、 解下列方程：（1）011962=-x (2)0172
=--x x
解： 解：
（3）25122=+-x x （4）113752+=++x x x 解： 解：
2、列方程解简单的实际问题。
（1）一个直角三角形的两条直角边相差5cm ，面积7cm 。
求斜边的长（精确到0.01cm ）。
（2）参加一次商品交易会的两家公司之间都签订了一份合同，所有公司供签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
四、总结反思：
1、 解一元二次方程时，首先把方程转化成一般形式观察，首先考虑因式分解法，若不行再选择其
它方法。
2、 解方程时要细心，注意符号运算及每一步细节。
3、 遇实际问题时，方程的解要符合实际意义。
4、 b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况；同时能根据根的情况来判断某些字母系数的取值范围。
【强化练习】
1、解方程)05(3)5(2
=+-+x x 较简便的方法是（ ） A 、直接开平方法 B 、因式分解法 C 、配方法 D 、公式法
2、在一元二次方程02
=++c bx ax )0(≠a 中，若a 与c 异号，则方程（ ）
A 、有两个相等的实数根
B 、有两个不相等的实数根
C 、没有实数根
D 、无法判断
3、（2007安徽）已知关于x 的一元二次方程2
2x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范
围是( )
A ． m ＞－1
B ． m ＜－2
C ．m ≥0
D ．m ＜0 4、若01244
=+-x x
，那么x= 。
5，如果二次三项式9
124++mx x 是完全平方式，那么m= 。
6、设一元二次方程0422=--x x 的两个实数根为21,x x ，则21x x += 。
7、用适当的方法解方程：
（1）x x x -=-4)4( （2）01322
=--x x 解： 解：
（3）2
2
)1()3(4-=+x x （4）80)2(25
4=+x
解： 解：
【拓展创新】
1、求证：方程074)1(3222=--+-+m m x m x 对于任何实数m ，永远有两个不相等的实数根。
2、（2007宁波）已知关于x 的方程0)1(22
2=++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个实数根。
（2）为m 选一个合适的整数，使方程有两个不相等实数根，并求出这两个根。