第2讲 动态系统的状态空间描述

系统的状态方程和输出方程一起， 系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达 或称为系统动态方程，或称系统方程。 式，或称为系统动态方程，或称系统方程。
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2.1.1 状态空间的基本概念
(二) 状态表达式的特点 二
系统输出与系统状态在概念上的不同性 输出是人们希望从系统中得到的信息 状态是完全 完全描述系统运动行为的信息 状态是完全描述系统运动行为的信息 输出是状态变量空间中的某些状态变量的线性组合 输出总是可以测量的， 输出总是可以测量的，但是状态变量并不一定能测 量到 状态变量的非唯一性 状态变量总数目的唯一性
duC (t ) 1 = i (t ) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系， 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程 状态方程， 电路的状态方程，这是一个矩 微分方程 方程。 阵微分方程。
i (t ) uC (t ) = [0 1] uC (t )
如果将电容上的电压作为电路的输出量， 如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。 输出方程或观测方程 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。 代数方程 个矩阵代数方程。
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2.1.2 状态空间表达式的一般形式
(一) 单输入单输出系统 一
阶连续系统， 设单输入单输出线性定常n阶连续系统，n个状态变量为 x1(t),x2(t), ,xn(t),其状态方程的一般形式为 ),…, ),其状态方程的一般形式为
ɺ x1 = a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n + b1u ɺ x 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n + b2 u ⋮ ɺ x n = a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n + bn u
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pi
λI − A
| λI − A |= 0
| λI − A |= λn + an−1λn−1 + ⋯ + a1λ + a0
2.2.1 状态空间表达式标准型
（3） 系统的特征值的性质 ）
一个n 方阵A 有且仅有n 一个n维系统的 n × n 方阵A，有且仅有n个独立的特 征值。 征值。 A为实数方阵，则n个特征值或为实数，或为共轭复 为实数方阵， 个特征值或为实数， 为实数方阵 个特征值或为实数 数对。 数对。 对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。 对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。
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2.2.1 状态空间表达式标准型
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2.2 动态系统数学模型变换
2.2.1 状态空间表达式标准型
(一) 状态变量的线性变换 一 如果T是一个非奇异阵 是一个非奇异阵， 如果 是一个非奇异阵，则将 x = Tx 变换称为线性 非奇异变换。 非奇异变换。 满足： 满足：
T ( x1 + x2 ) = Tx1 + Tx2 = x1 + x2
2.3 组合系统的数学模型
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2.1 动态系统的状态空间模型
2.1.1 状态空间的基本概念
(一) 基本概念 一
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2.1.1 状态空间的基本概念
di(t ) R uC (t ) u (t ) = − i (t ) − + dt L L L
di (t ) R dt − L du (t ) = 1 C dt C 1 − i (t ) 1 L + L u (t ) 0 uC (t ) 0
T (kx ) = kTx = kx
叠加原理 齐次性条件
用途： 用途： 通过线性变换，可将状态方程变成对角线或约当标准型。 通过线性变换，可将状态方程变成对角线或约当标准型。
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2.2.1 状态空间表达式标准型
(一) 状态变量的线性变换 一
（1）系统状态空间表达式的非唯一性 ）
x = Tx
ɺ x = Ax + Bu y = Cx + Du
y = 2 x2 + x1
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2.1.4 wenku.baidu.com系统机理建立状态空间模型
例1：建立所示机械系统的状态空 ： 间表达式（ 间表达式（注：假设质量块 m 的 重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相 抵消） 抵消）
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2.1.4 由系统机理建立状态空间模型示例
为输入变量， 例2：取电压源 为输入变量，R1上的电压为输 ：取电压源e为输入变量 出变量，建立该电网络的状态空间表达式， 出变量，建立该电网络的状态空间表达式， 电压和电流为关联参考方向。 电压和电流为关联参考方向。
ɺ x = Ax + Bu y = Cx + Du
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(二) 多输入多输出系统 二
, , 对于有r个输入u1,u2,…,ur ,m个输出y1,y2,…,ym的多输 阶线性定常连续系统， 人多输出n阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为
ɺ x1 = a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n + b11u1 + b12 u 2 + ⋯ + b1r u r ɺ x 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n + b21u1 + b22 u 2 + ⋯ + b2 r u r ⋮ ɺ x n = a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n + bn1u1 + bn 2 u 2 + ⋯ + bnr u r
∑ 上式可简记为( A, B, C, D ) ,即
ɺ x = Ax + Bu y = Cx + Du
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2.1.3 状态空间模型的图示
(一) 结构图 一
线性系统状态空间表达式可用结构图来形象表明系 统输入与输出的因果关系,状态与输入、 统输入与输出的因果关系,状态与输入、输出的组 合关系。在结构图中, 合关系。在结构图中,每一方块可表示为
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2.1.3 状态空间模型的图示
(二) 状态模拟图 二
阶系统的状态空间表达式如下， 例：3阶系统的状态空间表达式如下，试画出其模 阶系统的状态空间表达式如下 拟结构图(状态变量图 状态变量图)。 拟结构图 状态变量图 。
ɺ x1 = x2 ɺ x 2 = x3
ɺ x3 = −3x1 − 2 x 2 − x3 + u
输出方程的一般形式为
y1 = c11 x1 + c12 x 2 + ⋯ + c1n x n + d11u1 + d 12 u 2 + ⋯ + d1r u r y 2 = c 21 x1 + c 22 x 2 + ⋯ + c 2 n x n + d 21u1 + d 22 u 2 + ⋯ + d 2 r u r ⋮ y m = c m1 x1 + c m 2 x 2 + ⋯ + c mn x n + d m1u1 + d m 2 u 2 + ⋯ + d mr u r
自动控制理论Ⅲ 自动控制理论Ⅲ
主讲人： 主讲人：钱艳平
2010.03
第二讲 动态系统的状态空间描述
2.1 动态系统的状态空间模型
2.1.1 状态空间的基本概念 2.1.2 状态空间表达式的一般形式 2.1.3 状态空间模型的图示 2.1.4 由系统机理建立状态空间模型
2.2 动态系统数学模型变换
2.2.1 状态空间表达式标准型 2.2.2 由微分方程导出状态空间模型 2.2.3 由传递函数导出状态空间模型 2.2.4 由状态空间模型导出传递函数
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则其向量则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为
ɺ x1 a11 a12 ɺ x 2 = a 21 a 22 ⋮ ⋮ ⋮ ɺ x n a n1 a n 2 y1 c11 c12 y c 2 = 21 c 22 ⋮ ⋮ ⋮ y c m m1 c m 2 ⋯ a1n x1 b11 ⋯ a 2 n x 2 b21 + ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ a nn x n bn1 ⋯ c1n x1 d11 ⋯ c 2 n x 2 d 21 + ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ c mn x n d m1 ⋯ b1r u1 ⋯ b2 r u 2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ bn 2 ⋯ bnr u r d12 ⋯ d1r u1 d 22 ⋯ d 2 r u 2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ d m 2 ⋯ d mr u r b12 b22
输出方程的一般形式为
y = c1 x1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n + Du
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则其向量则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为
ɺ x1 a11 a12 ɺ x 2 = a 21 a 22 ⋮ ⋮ ⋮ ɺ x n a n1 a n 2 y = [c1 c 2 ⋯ 上式可简记为 ⋯ a1n x1 b1 ⋯ a 2 n x 2 b2 + u ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ a nn x n bn x1 x c n ] 2 + Du ⋮ xn
x = T −1 x
x = Tx
ɺ x = Ax + Bu y = Cx + Du
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2.2.1 状态空间表达式标准型
（2） 系统的特征值 ）
λ
则：
Ap 对于状态矩阵A 使得： 对于状态矩阵A，若存在一非零向量 pi ，使得： i = λ pi
矩阵A的特征值（ 特征方程的根） 矩阵A的特征值（A特征方程的根） 矩阵A 矩阵A对应于特征值λ 的特征向量 矩阵A 矩阵A的特征矩阵 矩阵A 矩阵A的特征方程 矩阵A 矩阵A的特征多项式
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2.2.1 状态空间表达式标准型
（二）对角线标准型
对于线性定常系统: 对于线性定常系统
ɺ x = Ax + Bu y = Cx 若系统的特征值 λ1 , λ2 ,⋯, λn 互异，则必存在非奇 互异， 异变换矩阵T,经
x = Tx 或x = T −1 x
的线性变换， 的线性变换，可将状态空间表达式变换为对角线标 准型，即 准型，
输出向量=(方块所示矩阵 × 输入向量 输入向量) 输出向量 方块所示矩阵)×(输入向量 方块所示矩阵
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2.1.3 状态空间模型的图示
(二) 状态模拟图 状态变量图 二 状态模拟图(状态变量图 状态变量图)
积分器的数目应等于状态变量数， 积分器的数目应等于状态变量数，将积分器画在适 当位置(积分器用内含积分符号的方框表示 积分器用内含积分符号的方框表示)， 当位置 积分器用内含积分符号的方框表示 ，各积 分器的输出表示相应的某个状态变量。 分器的输出表示相应的某个状态变量。 根据状态方程和输出方程所表达的运算关系， 根据状态方程和输出方程所表达的运算关系，画出 对应的加法器和比例器。 对应的加法器和比例器。 用带箭头的传输线将各元件连接起来。 用带箭头的传输线将各元件连接起来。
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2.1.1 状态空间的基本概念
(三) 状态变量的选取 三
状态变量的数目是惟一的,必等于系统的阶数， 状态变量的数目是惟一的,必等于系统的阶数，即 系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中， 独立储能元件的个数 系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中， 可选取独立储能元件的能量方程中的物理变量作为 系统的状态变量。 系统的状态变量。 状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意 状态变量不一定是物理可测量的， 义而无任何物理意义。在具体工程问题中， 义而无任何物理意义。在具体工程问题中，为了实 现状态的反馈控制， 现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为状态 变量为宜。 变量为宜。