2020高考理科数学二轮考前复习方略练习：专题八 第1讲 数学文化练典型习题 提数学素养 Word版含解析

［练典型习题·提数学素养］ 一、选择题
1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )
A ．己亥年
B ．己巳年
C ．己卯年
D ．戊辰年
解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．
法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．
(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．
2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n
6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下
底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )
A ．83
B ．84
C ．85
D ．86
解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n
6[(2a ＋c )b
＋(2c ＋a )d ]＋n
6
(c －a )得s ＝85，故选C ．
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )
A ．96里
B ．48里
C ．72里
D ．24里
解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为1
2的等比数列．设第一天
走a 1里，则第二天走a 2＝1
2
a 1(里)．易知
a 1[1－⎝⎛⎭⎫
126
]1－12
≥378，则a 1≥192.
则第二天至少走96里．故选A ．
4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )
A ．C 414C 510C 55A 33
A 22
B ．
C 414C 510C 55A 22
C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22
D ．C 414C 510C 55
解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 5
5
A 22
种，再分配给3个人，方
法有C 414C 510C 5
5
A 2
2
×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )
A ．五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )
A ．π
15
B ．2π5
C ．2π15
D ．4π15
解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝1
2(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，
得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12
×5×12＝2π
15.故选C ．
7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用
近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，
把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数
表示如下：
依次符号为
“”，其表示的十进制数是()
A．33 B．34
C．36 D．35
解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号
“”表示的二进制数为100010，转化为十进
制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．
8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )
A ．1 3009，600，1 1203
B ．1 200，500，300
C ．1 100，400，600
D ．300，500，1 200
解析：选B ．根据程序框图得：
①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；
②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 600
9
，i ＝2，满足i <3；
③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．
9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A ．20
B ．27
C ．54
D ．64
解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200
颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－
3
2
)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h
相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A ．22
7
B ．258
C ．15750
D ．355113
解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7
264(2πr )2h ，化简
得π≈22
7
.故选A ．
11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )
A ．392
B ．752
C ．39
D ．6018
解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝1
6×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9
－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752
.
故选B ．
12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )
解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .
因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．
设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x
3，
又
QR 1＝BQ BC ＝AP
AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3
， 所以PR ＝
PQ 2＋QR 2＝
⎝⎛⎭⎫x 32
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝33
2x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝
3
62x 2－2
3x ＋3＝
6
6
⎝
⎛⎭⎫x －322
＋34，故选A ．
二、填空题
13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋1
2n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k
边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋1
2n ；
正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－1
2n ；
六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．
解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为1
2(4－k )．
则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋1
2
(4－k )n ，
故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋1
2×(4－24)×10＝1 000.
答案：1 000
14. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫
1516，6364，则输入的n 的值为________．
解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝1
2，k ＝1＋1＝2.
若2>n 不成立，执行循环体，S ＝3
4，k ＝2＋1＝3.
若3>n 不成立，执行循环体，S ＝7
8，k ＝3＋1＝4.
若4>n 不成立，执行循环体，S ＝15
16，k ＝4＋1＝5.
若5>n 不成立，执行循环体，S ＝31
32，k ＝5＋1＝6.
若6>n 不成立，执行循环体，S ＝63
64，k ＝6＋1＝7.
…
由输出的S ∈(1516，6364)，可得当S ＝31
32
，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故
输入的正整数n 的值为5.
答案：5
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．
解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12
的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则
A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，
B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－1
2n 1－12
＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2
≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等． 答案：3
16．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．
解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的
正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的
直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2.
答案：
3π2。