2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)【精品版】
2019-2020学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．（5分）集合{0A =，1}，{1B =，2，3}，则(A B =U ) A ．{1}B ．{1，2，3}C ．{0，2，3}D ．{0，1，2，3}2．（5分）若集合{|2M k ααπ==，}k Z ∈，集合{|N k ββπ==，}k Z ∈，则集合M 与N 的关系是( ) A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =D ．M N <3．（5分）与向量AB =u u u r 平行的单位向量是( )A ．1(2B ．1(2-，C ．1(2或1(2-，D ．1(2-或1(2，4．（5分）已知向量a r，b r 满足(3,1)a =-r ，(2,)b k =r ，且a b ⊥r r ，则a b -r r 等于( )A ．(5,5)B ．(5,5)--C ．(5,5)-D ．(1,7)-5．（5分）若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为( ) A ．26cmB ．29cmC ．26cm πD ．29cm π6．（5分）已知曲线1:cos C y x =，22:cos(2)3C y x π=-，则下列结论正确的是( ) A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CB ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C7．（5分）某互联网公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： 1.120.05lg ≈， 1.30.11lg ≈，20.30)(lg ≈ )A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年8．（5分）函数233()x xf x x --=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知0ω>，函数()2sin()f x x ωϕ=+在[2π，5]6π上单调递减，则实数ω的取值范围是( ) A ．(0，1]B ．1[2，8]5C ．2[3，5]6D ．2[3，8]510．（5分）关于函数()cos |||cos |f x x x =+有下述四个结论： ①函数()y f x =是偶函数； ②函数()y f x =的周期是π； ③函数()y f x =的最?值为2；④函数()y f x =在[0，]π上有?数个零点． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④11．（5分）在平面直角坐标系中，已知点(0,1)A -，(0,3)B ，M ，N 是x 轴上的两个动点，且||2MN =u u u u r ，则AM BN u u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．4-B ．3-C ．2D ．312．（5分）已知函数2()|4|f x x x =-，x R ∈，若关于x 的方程()|1|2f x m x =+-恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为( )A．(0,6- B．(0,6+ C．(2,6- D．(2,6+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）计算：32225lg lne lg -+= ．14．（5分）已知函数1121(),12()log ,1x x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩…，则(0)f f +（2）等于 ．15．（5分）已知幂函数n y x =的图象过点1(3,)9，则n = ，由此，请比较下列两个数的大小：2(25)n x x -+ (3)n -．16．（5分）在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，120A =︒，若点D ，E 满足3BC BD =u u u r u u u r，()AE AC AB R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ，且6AD AE =-u u u r u u u rg ，则实数λ= ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量a r ，b r满足||a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角为θ． （1）若56πθ=，求()a a b +r r r g 的值；（2）若1cos 3θ=，求||()a xb x R +∈r r 的最小值． 18．（10分）定义一种集合运算：{|A B x x A B =∈⊗U 且}x A B ∉I ，已知集合2{|(3)M x y lg x x ==-，}x R ∈，1{|()2x N y y ==，0}x <．（1）求M N I ； （2）求MN ⊗．19．（12分）已知函数2()(2)2f x ax a x =+-+为偶函数，记()()1()g x xf x ax a R =--∈． （1）求实数a 的值；（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与(0)ββαπ<<<，它们的终边与单位圆分别相交于点P ，Q ，已知点4(5P -，3)5．。
2019-2020年无锡市XX中学高一上册期末数学试卷含解析(强化班)
江苏省无锡市中学高一（上）期末数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知M={|﹣2≤≤2}，N={|＜1}，则（∁R M）∩N=．2．（5分）设，y∈R，向量，，且，，则+y=．3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．4．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=．5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m=．6．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．7．（5分）若函数的图象与轴有公共点，则m的取值范围是．8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为．9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为．10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=．11．（5分）已知f（）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（）=（2﹣1）*（﹣1），且关于的方程为f（）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则实数m的取值范围是；1+2+3的取值范围是．14．（5分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|≤），=﹣为f（）的零点，=为y=f（）图象的对称轴，且f（）在（，）单调，则ω的最大值为．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f（）的最小正周期为π，求f（）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（）的图象的一条对称轴为，求ω的值．16．（14分）已知△ABC中．（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值．17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E 为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于的函数S=f（）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．（1）求PQ的最小值；（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．20．（16分）已知函数f（）=|﹣a|+2．（1）若函数f（）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意∈[1，2]时，函数f（）的图象恒在函数g（）=2+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于的方程f（）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．高一（上）期末数学试卷（强化班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知M={|﹣2≤≤2}，N={|＜1}，则（∁R M）∩N={|＜﹣2} ．【解答】解：∵M={|﹣2≤≤2}，N={|＜1}，∴∁R M={|＜﹣2或＞2}，则（∁R M）∩N={|＜﹣2}．故答案为：{|＜﹣2}2．（5分）设，y∈R，向量，，且，，则+y=0．【解答】解：∵，，∴=2﹣4=0，2y+4=0，则=2，y=﹣2．∴+y=0．故答案为：0．3．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=3．【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：34．（5分）已知cosα=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．【解答】解：∵cosα=，且α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故答案为：﹣5．（5分）设2a=5b=m，且+=2，m=．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填6．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4+）．【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）故答案为：sin（4+）．7．（5分）若函数的图象与轴有公共点，则m的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：作出函数的图象如图，由图象可知0＜g（）≤1，则m＜g（）+m≤1+m，即m＜f（）≤1+m，要使函数的图象与轴有公共点，则，解得﹣1≤m＜0．故答案为：[﹣1，0）．8．（5分）设向量，满足，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（﹣4，﹣2）．【解答】解：设=（，y），∵与的方向相反，∴=（2λ，λ），（λ＜0）．又∵，∴=2，解得λ=﹣2，∴=（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．9．（5分）若θ是△ABC的一个内角，且，则sinθ﹣cosθ的值为．【解答】解：∵θ是△ABC的一个内角，且，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ====，故答案为．10．（5分）已知角φ的终边经过点P（1，﹣2），函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=﹣．【解答】解：函数f（）=sin（ω+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（）的周期T=，∵ω＞0∴ω=3∵角φ的终边经过点P（1，﹣2），∴sinφ=，cosφ=∴=sin（3•+φ）=sin（+φ）=（sinφ+cosφ）=•（）=﹣故答案为：﹣11．（5分）已知f（）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是．【解答】解：∵f（）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得：，故答案为：12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：13．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（）=（2﹣1）*（﹣1），且关于的方程为f（）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根1，2，3，则实数m的取值范围是；1+2+3的取值范围是．【解答】解：∵，∴f（）=（2﹣1）*（﹣1）=，则当=0时，函数取得极小值0，当=时，函数取得极大值故关于的方程为f（）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根1，2，3时，实数m的取值范围是令f（）=，则=，或=不妨令1＜2＜3时则＜1＜0，2+3=1∴1+2+3的取值范围是故答案为：，14．（5分）已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|≤），=﹣为f（）的零点，=为y=f（）图象的对称轴，且f（）在（，）单调，则ω的最大值为9．【解答】解：∵函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|≤），=﹣为f（）的零点，=为y=f（）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈，且ω•+φ=n′π+，n′∈，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=π+，∈，即ω=2+1，即ω为奇数．∵f（）在（，）单调，（1）若f（）在（，）单调递增，则ω•+φ≥2π﹣，且ω•+φ≤2π+，∈，即﹣ω•﹣φ≤﹣2π+①，且ω•+φ≤2π+，∈②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（）=sin（11﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（）=sin（9+）在（，）上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若f（）在（，）单调递减，则ω•+φ≥2π+，且ω•+φ≤2π+，∈，即﹣ω•﹣φ≤﹣2π﹣③，且ω•+φ≤2π+，∈④，把③④可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（）=sin（11﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=π，∈，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（）=sin（9+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9．故答案为：9．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数，其中0＜ω＜2；（Ⅰ）若f（）的最小正周期为π，求f（）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（）的图象的一条对称轴为，求ω的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（）=sin2ω+…（2分）=sin（2ω+）+．…（3分）∵T=π，ω＞0，∴，∴ω=1．…（4分）令，…（5分）得，…（6分）所以f（）的单调增区间为：．…（7分）（Ⅱ）∵的一条对称轴方程为，∴．…（9分）∴．…（11分）又0＜ω＜2，∴．∴=0，∴．…（13分）16．（14分）已知△ABC中．（1）设•=•，求证：△ABC是等腰三角形；（2）设向量=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，若sinA=，求sin（﹣B）的值．【解答】（1）证明：∵•=•，∴，∴，即．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：=（2sinC，﹣），=（sin2C，2cos2﹣1），且∥，则∴，则，得，∴sin2C=0，∵C∈（0，π），∴．∵，，∴，．∴．17．（14分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|+|的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求•的取值范围．【解答】解：（1）以O为原点，OA为轴建立直角坐标系，则设D（t，0）（0≤t≤1），则，所以，当时，．（2）由题意，设C（cosθ，sinθ），所以=．因为，则，所以．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E 为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于的函数S=f（）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积综上可得；（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（）在区间上单调递减，则f（）＜f（0）=；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．19．（16分）如图，正方形ABCD中边长为1，P、Q分别为BC、CD上的点，△CPQ周长为2．（1）求PQ的最小值；（2）试探究求∠PAQ是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．【解答】解：设∠CPQ=θ，则CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ（1）（）∴∴（2）分别以AB，AD所在直线为轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（，1），P（1，y），设∠DAQ=α，∠PAB=β∴，即y+（+y）=1又tanα=，tanβ=y∴，∴∴20．（16分）已知函数f（）=|﹣a|+2．（1）若函数f（）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意∈[1，2]时，函数f（）的图象恒在函数g（）=2+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于的方程f（）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由f（）在R上是增函数，则即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；（4分）（2）由题意得对任意的实数∈[1，2]，f（）＜g（）恒成立，即|﹣a|＜1，当∈[1，2]恒成立，即，，，故只要且在∈[1，2]上恒成立即可，在∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，（6分）而当∈[1，2]时，，为增函数，；当∈[1，2]时，，为增函数，，所以；（10分）（3）当﹣2≤a≤2时，f（）在R上是增函数，则关于的方程f（）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）则当a∈（2，4]时，由得≥a时，f（）=2+（2﹣a）对称轴，则f（）在∈[a，+∞）为增函数，此时f（）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），＜a时，f（）=﹣2+（2+a）对称轴，则f（）在为增函数，此时f（）的值域为，f（）在为减函数，此时f（）的值域为；由存在a∈（2，4]，方程f（）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，即存在a∈（2，4]，使得即可，令，只要使t＜（g（a））ma即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，，故实数t的取值范围为；（15分）同理可求当a∈[﹣4，﹣2）时，t的取值范围为；综上所述，实数t的取值范围为．（16分）。
2019-2020学年江苏省无锡市高一上学期期末考试数学试题
江苏省无锡市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷高一数学★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．集合A ＝{0，1}，B ＝{1，2，3}，则A U B ＝A ．{1}B ．{1，2，3}C ．{0，2，3}D ．{0，1，2，3}2．若集合M ＝{}2k k Z ααπ=∈，，集合N ＝{}k k Z ββπ=∈，，则集合M 与N 的关系是A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．M ＜N3．与向量AB uuu r ＝(1，3)平行的单位向量是A ．(12B ．(12-，C ．(12，或(12-，- D ．(12-或(12，4．已知向量a r ，b r 满足a r ＝(﹣3，1)，b r ＝(2，k )，且a r ⊥b r ，则a r ﹣b r 等于 ( )A ．(5，5)B ．(﹣5，﹣5)C ．(﹣5，5)D ．(﹣1，7)5．若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为A ．6cm 2B ．9cm 2C ．6πcm 2D ．9πcm 26. 已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝cos(2x ﹣3π)，则下列结论正确的是 A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 3π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π 个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π 个单位长度，得到曲线C 27．某互联网公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年8．函数233()x xf x x --=的图象大致为9．已知ω＞0，函数()2sin()f x x ωϕ=+在[2π，56π]上单调递减，则实数ω的取值范围是A ．(0，1]B ．[12，85]C ．[23，56]D ．[23，85] 10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最⼤值为2；④函数()y f x =在[0，π]上有⼤数个零点．其中所有正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④11．在平面直角坐标系中，已知点A(0，﹣1)，B(0，3)，M ，N 是x 轴上的两个动点，且MNu u u u r ＝2，则AM BN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为A ．﹣4B ．﹣3C ．2D ．312．已知函数2()4f x x x =-，x ∈R ，若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为A ．(0，6-) B ．(0，6+) C ．(2，6-) D ．(2，6+)二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算：2lg2﹣lne 3＋lg25＝ ． 14．已知函数1121()12()log 1x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，则(0)(2)f f +等于 ．15．已知幂函数n y x =的图像过点(3，19)，则n ＝ ，由此，请比较下列两个数的大小：2(25)n x x -+ (3)n -（本题第一空2分，第二空3分）．16．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，A ＝120°，若点D ，E 满足BC 3BD =u u u r u u u r ，AE AC λ=u u u r u u u rAB -u u u r (λ∈R)，且AD AE ⋅u u u r u u u r ＝﹣6，则实数λ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分） 已知向量a r ，b r 满足3a =r ，2b =r ，a r ，b r 的夹角为θ．（1）若56πθ=，求()a a b ⋅+r r r 的值； （2）若1cos 3θ=，求a xb +r r (x ∈R)的最小值．18．（本小题满分10分）定义一种集合运算：A ⊗B ＝{A B x x ∈U 且}A B x ∉I ，已知集合M ＝{lg(3x y x =}2)R x x -∈，，N ＝1()02x y y x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，． （1）求M I N ；（2）求M ⊗N ．19．（本小题满分12分）已知函数2()(2)2f x x a x =+-+为偶函数，记()()1(R)g x xf x ax a =--∈．（1）求实数a 的值；（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们的终边与单位圆分别相交于点P ，Q ，已知点P(45-，35)． （1）求12sin 21cos 2sin ααα+++的值； （2）若1OP OQ 3⋅=-u u u r u u u r ，求sin β的值．21．（本小题满分12分）如图，直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线l 1，AE ＝m ，AF ＝n (m ，n 为常数)，点B ，C 分别为l 1，l 2上的动点，已知∠BAC ＝60°．设∠ACF ＝α(0°＜α＜60°)．（1）求△ABC 面积S 关于角α的函数解析式()S α；（2）求()S α的最小值．22．（本小题满分14分）对任意实数a ，b ，定义函数()12()F a b a b a b =+--，，已知函数2()f x x nx n =-+，()21g x x =-，记()(()())H x F f x g x =，．（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若2m ﹣n ＝2，且m ∈[6，+∞)，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[0，6]上的最小值．参考答案。
江苏省无锡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)word版
江苏省无锡市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.集合{}{}0,1,1,2,3A B ==，则A B =U （ ） A. {}1 B. {}1,2,3C. {}0,2,3D. {}0,1,2,32.若集合{}2,k k Z M ααπ==∈，集合{},k k N Z ββπ==∈，则集合M 与N 的关系是（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N =D. M N <3.与向量(AB =u u u v 平行的单位向量是（ ）A. 1,22⎛ ⎝⎭B. 1,22⎛-- ⎝⎭C. 1,22⎛ ⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛- ⎝⎭或1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4.已知向量a r ，b r 满足()3,1a =-r ，()2,b k =r ，且a b⊥r r ，则a b -r r 等于（ ） A. ()5,5B. ()5,5--C. ()5,5-D. ()1,7-5.若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A. 26cmB. 29cmC. 26cm πD. 29cm π6.已知曲线1:cos C y x =，2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CB. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈） A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年8.函数233()x xf x x--=的图象大致为（ ） A. B.C. D.9.已知0>ω，函数()2sin()6f x x πω=+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A. (0,1]B. 18,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 28,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最大值为2；④函数()y f x =在[0,]π上有无数个零点.其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③C. ②④D. ①③④11.在平面直角坐标系中，已知点()()0,1,0,3A B -，,M N 是x 轴上的两个动点，且2MN =u u u u r ，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值为（ ） A. 4-B. 3-C. 2D. 312.已知函数2()4f x x x =-，x ∈R ，若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (0,6-B. (0,6+C(2,6-D. (2,6+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.计算：32lg 2ln lg 25e -=＋_______.14.已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则(0)(2)f f +等于_______.15.已知幂函数ny x =的图像过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，则n =_______，由此，请比较下列两个数的大小：2(25)n x x -+_______(3)n -.16.在ABC ∆中，已知3,2,120AB AC A ===︒，若点,D E 满足3BC BD =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r （R λ∈），且6AD AE -⋅=u u u r u u u r，则实数λ=______.三、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知向量a r ，b r满足a =r 2b =r ，a r ，b r的夹角为θ. （1）若56πθ=，求()a a b ⋅+r r r 的值； （2）若1cos 3θ=，求a xb +r r （x ∈R ）的最小值.18.定义一种集合运算：{x x B A B A ⊗=∈U 且}x A B ∉I ，已知集合{}2lg(3),x y x x x M R =-=∈，1(),02x y y x N ⎧⎫=<⎨⎩=⎬⎭.（1）求M N ⋂； （2）求M N ⊗.19.已知函数2()(2)2f x x a x =+-+为偶函数，记()()1()g x xf x ax a R =--∈. （1）求实数a 的值；（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明.20.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们的终边与单位圆分别相交于点,P Q ，已知点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭.（1）求12sin 21cos 2sin ααα+++的值；（2）若13OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求sin β的值.21.如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知60BAC ∠=︒.设ACF α∠=（060α︒<<︒）.（1）求ABC ∆面积S 关于角α的函数解析式()S α； （2）求()S α的最小值.22.对任意实数,a b ，定义函数(,)12()F a b a b a b =+--，已知函数2()f x x nx n =-+，()21g x x =-，记()((),())H x F f x g x =.（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若22m n -=，且[6,)m ∈+∞，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[]0,6上的最小值.江苏省无锡市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.集合{}{}0,1,1,2,3A B ==，则A B =U （ ） A. {}1 B. {}1,2,3C. {}0,2,3D. {}0,1,2,3【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的计算求解即可.【详解】因为集合{}{}0,1,1,2,3A B ==,则A B =U {}0,1,2,3. 故选：D【点睛】本题主要考查了并集的运算,属于基础题型. 2.若集合{}2,k k Z M ααπ==∈，集合{},k k N Z ββπ==∈，则集合M 与N 的关系是（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N =D. M N <【答案】A 【解析】 【分析】分析两个集合分别表示的角度的范围即可.【详解】易得{}{}2,...4,2,0,2,4...M k k Z ααπππππ==∈=--,{}{},...4,3,2,,0,,2,3,4...N k k Z ββπππππππππ==∈=----故M N ⊆. 故选：A【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3.与向量(AB =u u u v平行的单位向量是（ ）A. 1,22⎛ ⎝⎭B. 1,22⎛-- ⎝⎭C. 12⎛ ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭D. 12⎛- ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用单位向量模长等于1求解即可.【详解】与向量(AB =u u u r 平行的单位向量是12=AB AB⎛ ⎝±±=⎭u u u r u u u r . 故选：C【点睛】本题主要考查了单位向量的运算,属于基础题型.4.已知向量a r ，b r 满足()3,1a =-r ，()2,b k =r ，且a b ⊥r r ，则a b -r r等于（ ）A. ()5,5B. ()5,5--C. ()5,5-D. ()1,7-【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积公式求解b r再计算即可.【详解】因为a b ⊥r r,故32106k k -⨯+⨯=⇒=.故()()()3,12,65,5a b --==---r r .故选：B【点睛】本题主要考查了垂直向量的数量积表示已经向量的坐标运算等.属于基础题型.5.若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A. 26cm B. 29cmC. 26cm πD. 29cm π【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度的概念求解半径再求面积即可. 【详解】易得半径632r cm ==.故扇形的面积为213692S cm =⨯⨯= . 故选：B【点睛】本题主要考查了弧度的基本概念以及扇形面积公式等.属于基础题型. 6.已知曲线1:cos C y x =，2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CB. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图像平移与伸缩变换的方法判断即可. 【详解】由曲线1:cos C y x =,2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭知,把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,得到cos 2y x =,再纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3π个单位长度,得到曲线2C .故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图像的平移与伸缩变换,属于基础题型.7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈） A. 2020年 B. 2021年 C. 2022年 D. 2023年【答案】B 【解析】 【分析】根据条件列不等式,解得结果. 【详解】由题意求满足1130(112%)200n -+>最小n 值，由1130(112%)200n -+>得1lg[130(112%)]lg 200lg1.32(1)lg1.12lg 22n n -+>∴++->+min 0.110.05(1)0.3 4.85n n n +->∴>∴=，开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B.【点睛】本题考查指数函数应用与解指数不等式,考查基本求解能力,属基础题.8.函数233()x xf x x--=的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性,再判断当x →+∞时函数的值即可.【详解】因为233()x xf x x--=定义域为{}|0x x ≠,且()223333()()x x x x f x f x x x -----==-=--. 故()f x 为奇函数,排除B.当x →+∞时, 33xx--远大于2x .此时233+x xx--→∞.排除AD. 故选：C【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,需要根据奇偶性与x →+∞时的函数值大小判断.属于中等题型. 9.已知0>ω，函数()2sin()6f x x πω=+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A. (0,1]B. 18,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 28,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】 求出6x πω+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围,再代入单调递减区间分析即可. 【详解】因为5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故5,26666x πππωωωππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦,又()f x 的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故221282624533552662k k k k πππωπωπππωπ⎧+≥+⎪⎪⇒+≤≤+⎨⎪+≤+⎪⎩,k Z ∈. 故当0k =时,2835ω≤≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质运用,需要根据题意列出关于ω的不等式再求解.属于中等题型.10.关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最大值为2；④函数()y f x =在[0,]π上有无数个零点.其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②④D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质逐个判断即可.【详解】对①, ()cos cos f x x x =+定义域为R ,又()()cos cos cos cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=.故()y f x =是偶函数.①正确. 对②,易得(0)cos 0cos0112f =+=+=,()cos cos 110(0)f f πππ=+=-+=≠. 故π不是()y f x =的周期.故②错误.对③,因为()cos cos cos cos 2cos 2f x x x x x x =+≤+=≤. 又当0x =时可以取到等号.故③正确. 对④, 当[,]2x ππ∈时,cos 0x <,故()cos cos cos cos 0f x x x x x =+=-=.故④正确.故选：D【点睛】本题主要考查了余弦函数相关的性质判断,需要根据题中所给的信息进行逐个性质的判断,属于中等题型.11.在平面直角坐标系中，已知点()()0,1,0,3A B -，,M N 是x 轴上的两个动点，且2MN =u u u u r ，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值为（ ） A. 4- B. 3-C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先化简求得3AM BN OM ON ⋅=⋅-u u u u r u u u r u u u u r u u u r ,再设()(,0),2,0M x N x +,再表达出AM BN ⋅u u u u r u u u r求最小值即可. 【详解】由题,()()AM BN AO OM BO ON AO BO AO ON OM BO OM ON ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r 3003OM ON OM ON =-+++⋅=⋅-u u u u r u u u r u u u u r u u u r . 又2MN =u u u u r ,由3OM ON ⋅-u u u u r u u u r 的对称性,不妨设()(,0),2,0M m N m +,则()()223232314OM ON x x x x x ⋅-=+-=+-=+-u u u u r u u u r ,当1x =-时有最小值4-.故选：A【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算与函数最值问题,属于中等题型.12.已知函数2()4f x x x =-，x ∈R ，若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (0,6-B. (0,6+C. (2,6-D. (2,6+【答案】C【解析】【分析】 画出2()4f x x x =-与()12f x m x =+-的图像,分析图像有四个交点的情况求解即可. 【详解】画出2()4f x x x =-如图,又()12f x m x =+-过()1,2--,且为两条射线, 斜率分别为,m m -.由图可得临界条件为()12f x m x =+-过()0,0和与抛物线相切时. 又当()12f x m x =+-过()0,0时,0(2)20(1)m --==--. 与抛物线24y x x =-+相切时,()224(4)2012y x x x m x m y m x ⎧=-+⎪⇒+-+-=⎨=+-⎪⎩判别式()()()224420612m m m ∆=---=⇒-=.由图可得取较小值6m =-故m 的取值范围为(2,6-.故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出对应的图像,再根据临界条件列式求解.属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.计算：32lg 2ln lg 25e -=＋_______.【答案】1-【解析】【分析】根据对数运算求解即可.【详解】32lg 2ln lg 252lg 232lg 5231e -+=-+=-=-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题型. 14.已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则(0)(2)f f +等于_______. 【答案】1【解析】【分析】根据分段函数解析式求解即可. 【详解】易得0112log 22(11(0)(22))1f f -=+⎛⎫+=+ ⎪⎝-=⎭. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了分段函数与指对数函数的基本运算,属于基础题型.15.已知幂函数n y x =的图像过点3,19⎛⎫⎪⎝⎭，则n =_______，由此，请比较下列两个数的大小：2(25)n x x -+_______(3)n -.【答案】 (1). 2- (2). <【解析】【分析】(1)代入幂函数求解即可.(2)根据225x x -+与3的大小关系以及幂函数的奇偶性与单调性判断即可.【详解】(1)因为幂函数n y x =的图像过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭,故1923n n ⇒=-=. (2)因为2225(1)43x x x -+=-+>,故2222(25)3(3)x x ----+<=-. 即222(25)(3)x x ---+<-.故答案为：(1). 2- (2). <【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式求解与函数值大小判断,属于中等题型.16.在ABC ∆中，已知3,2,120AB AC A ===︒，若点,D E 满足3BC BD =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r （R λ∈），且6AD AE -⋅=u u u r u u u r ，则实数λ=______. 【答案】32【解析】【分析】将6AD AE -⋅=u u u r u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 向量表达再利用向量的数量积运算求解即可.【详解】因为3BC BD =u u u r u u u r ,故2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r , 故()22212121333333AB AC AB AD AE AC AB AC AB AC λλλ⎛⎫=+⋅=-+⋅ ⎪⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u r u u u ur u r u u u r ()42126333533λλλ⎛⎫+-⋅- ⎪⎝-=-⎭=-+.又6AD AE -⋅=u u u r u u u r 即352362λλ-=-⇒=-. 故答案为：32【点睛】本题主要考查了向量的基底向量的用法以及数量积公式,需要根据题意将所给条件用两个基底向量去表示再求解,属于中等题型.三、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量a r ，b r满足a =r 2b =r ，a r ，b r 的夹角为θ.（1）若56πθ=，求()a a b ⋅+r r r 的值； （2）若1cos 3θ=，求a xb +r r （x ∈R ）的最小值. 【答案】（1）3-（2）3【解析】【分析】(1)根据向量的数量积运算方法求解即可.(2)平方后分析二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）∵5|||2,6a b πθ===r r ,∴5||||cos 362a b a b π⎫⋅==-=-⎪⎪⎭r r r r , ∴2()330a a b a a b ⋅+=+⋅=-=r r r r r r .（2）当1cos 3θ=时, ∵2222||2a xb a x b xa b +=++⋅r r r r r r234x =++2843x⎛=++⎝⎭.∴当3x=-时,||a xb+rr取得最小值3.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算以及模长的最值问题等.属于中等题型.18.定义一种集合运算：{x xB A BA⊗=∈U且}x A B∉I，已知集合{}2lg(3),x y x x xM R=-=∈，1(),02xy y xN⎧⎫=<⎨⎩=⎬⎭.（1）求M N⋂；（2）求M N⊗.【答案】（1）(1,3)M N=I（2）(0,1][3,)M N⊗=+∞U【解析】【分析】(1)根据对数函数的定义域与指数函数的值域求解集合,M N再求交集即可.(2)根据新定义的符号运算求解即可. 【详解】（1）对集合M,有230x x->,解得03x<<, ∴(0,3)M=；对集合N,∵0x<,121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝, ∴(1,)N=+∞. ∴(1,3)M N=I. （2）(0,3)(1,)(0,)M N=+∞=+∞U U, 又(1,3)M N=I, ∴(0,1][3,)M N⊗=+∞U. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及指对数函数的定义域与值域等.同时也考查了新定义集合的运用,属于中等题型.19.已知函数2()(2)2f x x a x =+-+为偶函数，记()()1()g x xf x ax a R =--∈.（1）求实数a 的值；（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明.【答案】（1）2a =（2）函数()y g x =的单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间，证明见解析【解析】【分析】(1)利用偶函数满足(1)(1)f f -=计算即可.(2)设12,(,)x x ∈-∞+∞,且12x x <,再计算()()12f x f x -的正负分析即可.【详解】（1）由于函数2()(2)2f x ax a x =+-+为偶函数,则(1)(1)f f -=,代入()f x 中, (2)2(2)2a a a a +-+=--+解得2a =.（2）函数()y g x =的单调递增区间是(,)-∞+∞.由（1）得23()(2)21()1g x x x x g x x =+--==-.设12,(,)x x ∈-∞+∞,且12x x <,则()()333312121211f x f x x x x x -=--+=- ()()()2222121122121221324x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. ∵212102x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,22304x ≥, ∴2212213024x x x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭,（*） 当且仅当122102304x x x ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩即12x x =时,（*）取“＝”,它与12x x <不符, 故2212213024x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭. ∵120x x -<,∴()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,∴函数()y g x =在(,)-∞+∞上是增函数,故函数()y g x =的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质与单调性的证明方法等.属于中等题型.20.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们的终边与单位圆分别相交于点,P Q ，已知点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求12sin 21cos 2sin ααα+++的值； （2）若13OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求sin β的值. 【答案】（1）18（2）82315 【解析】【分析】(1)根据三角函数的定义求得正余弦值,再利用二倍角以及同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用向量的坐标运算求得1cos()3αβ-=-再利用sin sin[(()]βααβ=--与正弦函数的差角公式求解即可.【详解】（1）由三角函数的定义得43cos ,sin 55αα=-=, ∴原式21sin 22cos 2sin cos αααα+=+ 2(cos sin )2cos (cos sin )ααααα+=+cos sin 1tan 2cos 2αααα++== 131288=-=. 故所求值为18. （2）∵13OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ,()()cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==u u u r u u u r , 故1cos cos sin sin 3αβαβ+=-, ∴1cos()3αβ-=-, ∵0a βπ<<<,∴0αβπ<-<,∴2122sin()1cos ()19αβαβ-=--=-=, ∴sin sin[(()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---31422823535315-⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查了三角函数定义求值与和差角公式等.属于中等题型.21.如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知60BAC ∠=︒.设ACF α∠=（060α︒<<︒）.（1）求ABC ∆面积S 关于角α函数解析式()S α； （2）求()S α的最小值.【答案】（1）11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（23mn 【解析】【分析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出()S α即可.(2)由(1)有11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角二sin(230)2α︒+-再求最值即可.【详解】（1）由题意1EF l ⊥,12l l //,∴2EF l ⊥,在Rt ACF ∆中,tan n CF α=,060α︒<<︒, 18060(90)30EAB αα︒︒︒︒∠=---=+,在Rt ABE ∆中,tan(30)tan(30)EB AE m αα︒︒=+=+.∴ACF ∆的面积2111122tan S AF CF n α=⋅=⋅, ∴ABE ∆的面积2211tan(30)22S AE EB m α︒=⋅=+, ∴梯形EFCB 的面积11()()tan(30)22tan n S EB CF EF m n m αα︒⎡⎤=+⋅=+++⎢⎥⎣⎦. ∴12()S S S S α=-- 221111()tan(30)tan(30)2tan 2tan 2n m n m n m αααα︒︒⎡⎤=+++-⋅-+⎢⎥⎣⎦ 11tan(30)2tan mn αα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦. （2）令1sin(30)cos tan(30)tan cos(30)sin y αααααα︒︒︒+=++=++ sin(30)sin cos(30)sin sin cos(30)αααααα︒︒︒+++=+=⎝⎭︒==sin(230)2α︒=+-. ∴当23090α︒︒+=时,即30︒=α时,y取得最小值此时()S α.【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.22.对任意实数,a b ，定义函数(,)12()F a b a b a b =+--，已知函数2()f x x nx n =-+，()21g x x =-，记()((),())H x F f x g x =.（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若22m n -=，且[6,)m ∈+∞，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[]0,6上的最小值.【答案】（1）[m ∈-（2）(2,)m （3）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】(1)由题意2(2)53x mx n g n n -+≥+-=-恒成立,再利用二次函数恒成立的性质求解即可.(2)由题,(,),b a b F a b a a b ≥⎧=⎨<⎩,再分1x ≥和1x <两种情况讨论即可. (3) 由(2)知,6m ≥且(),02()(),26g x x H x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩,再分段与分参数的取值范围情况讨论即可. 【详解】解：（1）据题意知,2(2)53x mx n g n n -+≥+-=-恒成立,即有230x mx -+≥对于任意的x 恒成立.∴由0∆≤得2120m -≤,∴[m ∈-.（2）∵22m n -=,∴2()22f x x mx m =-+-, 又由1(,)(||)2F a b a b a b =+--知,,(,),b a b F a b a a b ≥⎧=⎨<⎩, ∴()((),())()H x F f x g x f x ==,∴有[6,)m ∈+∞时,()()f x g x ≤.①当1x ≥时,22222x mx m x -+-≤-,∴(2)()0x x m --≤,又6m ≥,∴[2,]x m ∈.②当1x <时,22222x mx m x -+-≤-+,∴2(2)(2)0x x m +--≤,∵6,1m x ≥<,∴20,20x m ->->,∴上式不成立.综上①②知,使等式成立的x 的取值范围是(2,)m .（3）由（2）知,6m ≥且(),02()(),26g x x H x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩ ∴221,02()22,26x x H x x mx m x ⎧-≤<=⎨-+-≤≤⎩∴当02x ≤<时,()2|1|H x x =-,∴min ()(1)0H x H ==.当26x ≤≤时,222()222224m m H x x mx m x m ⎛⎫=-+-=--+- ⎪⎝⎭, ①当262m ≤≤时,又6m ≥,即612m ≤≤时, 2min ()2224m m H x H m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭；②当62m >时,即12m >时,min ()(6)434H x H m ==-+； ∴综上知,2min ()min 0,22,4344m H x m m ⎧⎫=-+--+⎨⎬⎩⎭. 由2434022046m m m m -+≥⎧⎪⎪-+-≥⎨⎪≥⎪⎩64m ⇒≤≤+,min ()0H x =； 由243404342246m m m m m -+<⎧⎪⎪-+<-+-⎨⎪≥⎪⎩2(12)0m m ⇒-<⇒无实数解； 由2222044342246m m m m m m ⎧-+-<⎪⎪⎪-+≥-+-⎨⎪≥⎪⎪⎩4m ⇒>+,2min ()224m H x m =-+-. 【点睛】本题主要考查了新定义函数的运用以及二次函数的最值范围讨论方法,需要根据题意分段以及分参数的范围进行讨论.属于难题.。
2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)
江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：14712y229244241196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系，并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=5．【解答】解：∵函数f（）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=4．【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（）=﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【解答】解：∵∈[﹣，]，∴0≤cos≤1，∴1≤3cos+1≤4，∴0≤log2（3cos+1）≤2，故答案为[0，2]．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以=﹣，y=，+y=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4+）．【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）故答案为：sin（4+）．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=4﹣2，∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2，∵函数f（）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（），则f（）=4+2，＜0，则函数f（）=，则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4，当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4，当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+，π+π]，∈，由题意可得区间[π，]内的值满足π+≤ω+≤π+π，∈，即ω•π+≥π+，且ω•+≤π+π，∈．解得+≤ω≤（+），∈．求得：当=0时，≤ω≤，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=．（2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行，∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：14712y229244241196（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系，并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220，，∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N+y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，y ma=245万元．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2=，所以=﹣2…6分（2）因为f（﹣）=﹣2﹣=2﹣=﹣f（），所以f（）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分，又f（）=（）﹣2在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数y=g（a+1）﹣是偶函数，∴log a（a﹣+1）+=log a（a+1）﹣，对任意∈R恒成立，∴2=log a（a+1）﹣log a（a﹣+1）=log a（）=∴=，（2）由题意设h（）=f（）﹣g（）=2log a（2+t﹣2）﹣log a＜0在∈[1，4]恒成立，∴2log a（2+t﹣2）＜log a，∵0＜a＜1，∈[1，4]，∴只需要2+t﹣2＞恒成立，即t＞﹣2++2恒成立，∴t＞（﹣2++2）ma，令y=﹣2++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，∈[1，4]，∴（﹣2++2）ma=1，∴t的取值范围是t＞1，（3）∵t=4，0＜a＜1，∴函数y=|f（）|=|2log a（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），令|2log a（2+2）|=2，得=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos （+）=cos2，当m=0时，f（）=•+1=cos2+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵∈[﹣，]，∴|+|===2cos，则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos，令t=cos，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+m2=0，得cos=或，∴方程cos=或在∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．。
(精品)无锡市2019~2020高三数学一模试卷含答案
随着 x2 的增大而增大． x1
附加题，共 40 分
21．【选做题】 本题包括 A ，B 两小题， 每小题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． A ．选修 4— 2：矩阵与变换
ab
已知 a，b R ，矩阵 A ＝
，若矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为
cd
1
（ 1）求△ PF1Q 的周长； （ 2）求△ PF1M 面积的最大值．
l 交椭圆于 P， Q 两点，点 Q 关于 x 轴的对称点
18．（本题满分 16 分）
一酒企为扩 大生产规模，决定新建一个底面为长方形 MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内
有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形
ABCD （如图所示） ，其中 AD ≥AB ．结合现有
江苏省无锡市普通高中 2019— 2020 学年上学期高三期末调研考试
数学试题
2020． 01
一、填空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上． ．）
1．集合 A＝ x x 2k 1，k Z ， B＝ {1 ， 2， 3， 4} ，则 A B＝
．
10．正方形 ABCD 的边长为 2，圆 O 内切于正方形 ABCD ， MN 为圆 O 的一条动直径，点
P 为正方形 ABCD 边界上任一点， 则 PM PN 的取值范围是
．
1
x2
11．双曲线 C：
4
y2 1 的左右顶点为 A， B，以 AB 为直径作圆 O， P 为双曲线右支上
3
不同于顶点 B 的任一点，连接 PA 交圆 O 于点 Q，设直线 PB ，QB 的斜率分别为 k1 ，k2 ，
2019-2020学年江苏省无锡市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市高一上学期期末数学试题一、单选题1．集合{}{}0,1,1,2,3A B ==，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2,3C ．{}0,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】D【解析】根据并集的计算求解即可. 【详解】因为集合{}{}0,1,1,2,3A B ==,则A B ={}0,1,2,3.故选：D 【点睛】本题主要考查了并集的运算,属于基础题型. 2．若集合{}2,k k Z M ααπ==∈，集合{},k k N Z ββπ==∈，则集合M 与N 的关系是（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆C ．M N =D ．M N <【答案】A【解析】分析两个集合分别表示的角度的范围即可. 【详解】易得{}{}2,...4,2,0,2,4...M k k Z ααπππππ==∈=--,{}{},...4,3,2,,0,,2,3,4...N k k Z ββπππππππππ==∈=----故M N ⊆. 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3．与向量(AB =平行的单位向量是（ ）A ．12⎛⎝⎭ B ．1,2⎛-⎝⎭C ．12⎛ ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭D ．12⎛- ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭【答案】C【解析】利用单位向量模长等于1求解即可. 【详解】与向量(AB =平行的单位向量是12=AB AB⎛ ⎝±±±=⎭. 故选： C 【点睛】本题主要考查了单位向量的运算,属于基础题型.4．已知向量a ，b 满足()3,1a =-，()2,b k =，且a b ⊥r r，则a b -等于（ ）A ．()5,5B ．()5,5--C ．()5,5-D ．()1,7-【答案】B【解析】根据向量垂直的数量积公式求解b 再计算即可. 【详解】因为a b ⊥,故32106k k -⨯+⨯=⇒=.故()()()3,12,65,5a b --==---. 故选：B 【点睛】本题主要考查了垂直向量的数量积表示已经向量的坐标运算等.属于基础题型. 5．若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A ．26cm B ．29cmC ．26cm πD ．29cm π【答案】B【解析】根据弧度的概念求解半径再求面积即可. 【详解】 易得半径632r cm ==.故扇形的面积为213692S cm =⨯⨯= . 故选：B 【点睛】本题主要考查了弧度的基本概念以及扇形面积公式等.属于基础题型. 6．已知曲线1:cos C y x =，2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】根据三角函数图像平移与伸缩变换的方法判断即可. 【详解】由曲线1:cos C y x =,2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭知,把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,得到cos 2y x =,再纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3π个单位长度,得到曲线2C . 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数图像的平移与伸缩变换,属于基础题型.7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30≈）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年【答案】B【解析】根据条件列不等式,解得结果. 【详解】由题意求满足1130(112%)200n -+>最小n 值，由1130(112%)200n -+>得1lg[130(112%)]lg 200lg1.32(1)lg1.12lg 22n n -+>∴++->+ min 0.110.05(1)0.3 4.85n n n +->∴>∴=，开始超过200万元的年份是2017+5-1=2021,选B. 【点睛】本题考查指数函数应用与解指数不等式,考查基本求解能力,属基础题.8．函数233()x xf x x--=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】先分析函数的奇偶性,再判断当x →+∞时函数的值即可. 【详解】 因为233()x xf x x--=定义域为{}|0x x ≠,且()223333()()x xx x f x f x xx -----==-=--. 故()f x 为奇函数,排除B.当x →+∞时, 33xx--远大于2x .此时233+x x x --→∞.排除AD. 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,需要根据奇偶性与x →+∞时的函数值大小判断.属于中等题型.9．已知0>ω，函数()2sin()6f x x πω=+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．18,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．28,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】求出6x πω+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围,再代入单调递减区间分析即可. 【详解】 因为5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故5,26666x πππωωωππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦,又()f x 的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故221282624533552662k k k k πππωπωπππωπ⎧+≥+⎪⎪⇒+≤≤+⎨⎪+≤+⎪⎩,k Z ∈. 故当0k =时,2835ω≤≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质运用,需要根据题意列出关于ω的不等式再求解.属于中等题型.10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最大值为2；④函数()y f x =在[0,]π上有无数个零点.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②④D ．①③④【答案】D【解析】根据函数的性质逐个判断即可. 【详解】对①, ()cos cos f x x x =+定义域为R ,又()()cos cos cos cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=.故()y f x =是偶函数.①正确. 对②,易得(0)cos 0cos0112f =+=+=,()cos cos 110(0)f f πππ=+=-+=≠.故π不是()y f x =的周期.故②错误.对③,因为()cos cos cos cos 2cos 2f x x x x x x =+≤+=≤. 又当0x =时可以取到等号.故③正确. 对④, 当[,]2x ππ∈时,cos 0x <,故()cos cos cos cos 0f x x x x x =+=-=.故④正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦函数相关的性质判断,需要根据题中所给的信息进行逐个性质的判断,属于中等题型.11．在平面直角坐标系中，已知点()()0,1,0,3A B -，,M N 是x 轴上的两个动点，且2MN =，则AM BN ⋅的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2D ．3【答案】A【解析】先化简求得3AM BN OM ON ⋅=⋅-,再设()(,0),2,0M x N x +,再表达出AM BN ⋅求最小值即可.【详解】 由题,()()AM BN AO OM BO ON AO BO AO ON OM BO OM ON ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅3003OM ON OM ON =-+++⋅=⋅-.又2MN =,由3OM ON ⋅-的对称性,不妨设()(,0),2,0M m N m +,则()()223232314OM ON x x x x x ⋅-=+-=+-=+-,当1x =-时有最小值4-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算与函数最值问题,属于中等题型.12．已知函数2()4f x x x =-，x ∈R ，若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(0,6-B ．(0,6+C ．(2,6-D ．(2,6+【答案】C【解析】画出2()4f x x x =-与()12f x m x =+-的图像,分析图像有四个交点的情况求解即可. 【详解】画出2()4f x x x =-如图,又()12f x m x =+-过()1,2--,且为两条射线,斜率分别为,m m -.由图可得临界条件为()12f x m x =+-过()0,0和与抛物线相切时.又当()12f x m x =+-过()0,0时,0(2)20(1)m --==--.与抛物线24y x x =-+相切时,()224(4)2012y x x x m x m y m x ⎧=-+⎪⇒+-+-=⎨=+-⎪⎩判别式()()()224420612m m m ∆=---=⇒-=.由图可得取较小值6m =-故m 的取值范围为(2,6-.故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出对应的图像,再根据临界条件列式求解.属于难题.二、填空题13．计算：32lg 2ln lg 25e -=＋_______. 【答案】1-【解析】根据对数运算求解即可. 【详解】32lg 2ln lg 252lg 232lg 5231e -+=-+=-=-.故答案为：1- 【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题型.14．已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则(0)(2)f f +等于_______. 【答案】1【解析】根据分段函数解析式求解即可. 【详解】易得0112log 22(11(0)(22))1f f -=+⎛⎫+=+ ⎪⎝-=⎭.故答案为：1 【点睛】本题主要考查了分段函数与指对数函数的基本运算,属于基础题型.15．已知幂函数n y x =的图像过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，则n =_______，由此，请比较下列两个数的大小：2(25)n x x -+_______(3)n-.【答案】2- <【解析】(1)代入幂函数求解即可.(2)根据225x x -+与3的大小关系以及幂函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】(1)因为幂函数n y x =的图像过点13,9⎛⎫ ⎪⎝⎭,故1923n n ⇒=-=. (2)因为2225(1)43x x x -+=-+>,故2222(25)3(3)x x ----+<=-. 即222(25)(3)x x ---+<-.故答案为：(1). 2- (2). < 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式求解与函数值大小判断,属于中等题型.16．在ABC ∆中，已知3,2,120AB AC A ===︒，若点,D E 满足3BC BD =，AE AC AB λ=-（R λ∈），且6AD AE -⋅=，则实数λ=______. 【答案】32【解析】将6AD AE -⋅=用,AB AC 向量表达再利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】因为3BC BD =,故2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r,故()22212121333333AB AC AB AD AE AC AB AC AB AC λλλ⎛⎫=+⋅=-+⋅ ⎪⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭⎝⎭()42126333533λλλ⎛⎫+-⋅- ⎪⎝-=-⎭=-+.又6AD AE -⋅=即352362λλ-=-⇒=-. 故答案为：32【点睛】本题主要考查了向量的基底向量的用法以及数量积公式,需要根据题意将所给条件用两个基底向量去表示再求解,属于中等题型.三、解答题17．已知向量a ，b 满足3a =，2=b ，a ，b 的夹角为θ.（1）若56πθ=，求()a a b ⋅+的值； （2）若1cos 3θ=，求a xb +（x ∈R ）的最小值.【答案】（1）3-（2）3【解析】(1)根据向量的数量积运算方法求解即可. (2)平方后分析二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）∵5||3,||2,6a b πθ===,∴5||||cos 36a b a b π⋅===-⎭, ∴2()330a a b a a b ⋅+=+⋅=-=. （2）当1cos 3θ=时, ∵2222||2a xb a x b xa b +=++⋅234x =+ 2843x ⎛=++ ⎝⎭.∴当3x =-时,||a xb +取得最小值3. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算以及模长的最值问题等.属于中等题型. 18．定义一种集合运算：{x x B AB A ⊗=∈且}x A B ∉，已知集合{}2lg(3),x y x x x M R =-=∈，1(),02x y y x N ⎧⎫=<⎨⎩=⎬⎭.（1）求M N ⋂； （2）求M N ⊗. 【答案】（1）(1,3)MN =（2）(0,1][3,)M N ⊗=+∞【解析】(1)根据对数函数的定义域与指数函数的值域求解集合,M N 再求交集即可. (2)根据新定义的符号运算求解即可. 【详解】（1）对集合M ,有230x x ->,解得03x <<, ∴(0,3)M =；对集合N ,∵0x <,121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝, ∴(1,)N =+∞. ∴(1,3)MN =.（2）(0,3)(1,)(0,)M N =+∞=+∞,又(1,3)MN =,∴(0,1][3,)M N ⊗=+∞. 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及指对数函数的定义域与值域等.同时也考查了新定义集合的运用,属于中等题型.19．已知函数2()(2)2f x x a x =+-+为偶函数，记()()1()g x xf x ax a R =--∈. （1）求实数a 的值；（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明.【答案】（1）2a =（2）函数()y g x =的单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间，证明见解析【解析】(1)利用偶函数满足(1)(1)f f -=计算即可.(2)设12,(,)x x ∈-∞+∞,且12x x <,再计算()()12f x f x -的正负分析即可. 【详解】（1）由于函数2()(2)2f x ax a x =+-+为偶函数,则(1)(1)f f -=,代入()f x 中, (2)2(2)2a a a a +-+=--+解得2a =. （2）函数()y g x =的单调递增区间是(,)-∞+∞.由（1）得23()(2)21()1g x x x x g x x =+--==-.设12,(,)x x ∈-∞+∞,且12x x <,则()()333312121211f x f x x x x x -=--+=-()()()2222121122121221324x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∵212102x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,22304x ≥, ∴2212213024x x x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭,（）当且仅当122102304x x x ⎧⎪+=⎨=⎪⎪⎪⎩即12x x =时,（）取“＝”,它与12x x <不符,故2212213024x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭. ∵120x x -<,∴()()120f x f x -<,即()()12f x f x <, ∴函数()y g x =在(,)-∞+∞上是增函数,故函数()y g x =的单调增区间是(,)-∞+∞，无减区间. 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质与单调性的证明方法等.属于中等题型.20．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们的终边与单位圆分别相交于点,P Q ，已知点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求12sin 21cos 2sin ααα+++的值；（2）若13OP OQ ⋅=-，求sin β的值.【答案】（1）18（2【解析】(1)根据三角函数的定义求得正余弦值,再利用二倍角以及同角三角函数的关系化简求解即可.(2)利用向量的坐标运算求得1cos()3αβ-=-再利用sin sin[(()]βααβ=--与正弦函数的差角公式求解即可. 【详解】（1）由三角函数的定义得43cos ,sin 55αα=-=, ∴原式21sin 22cos 2sin cos αααα+=+ 2(cos sin )2cos (cos sin )ααααα+=+ cos sin 1tan 2cos 2αααα++==131288=-=. 故所求值为18.（2）∵13OP OQ ⋅=-,()()cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==,故1cos cos sin sin 3αβαβ+=-, ∴1cos()3αβ-=-,∵0a βπ<<<,∴0αβπ<-<,∴sin()3αβ-===, ∴sin sin[(()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---3143535315⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角函数定义求值与和差角公式等.属于中等题型.21．如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知60BAC ∠=︒.设ACF α∠=（060α︒<<︒）.（1）求ABC ∆面积S 关于角α的函数解析式()S α； （2）求()S α的最小值.【答案】（1）11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（2 【解析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出()S α即可. (2)由(1)有11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用sin(230)2α︒+-再求最值即可.【详解】（1）由题意1EF l ⊥,12l l //,∴2EF l ⊥, 在Rt ACF ∆中,tan nCF α=,060α︒<<︒, 18060(90)30EAB αα︒︒︒︒∠=---=+,在Rt ABE ∆中,tan(30)tan(30)EB AE m αα︒︒=+=+.∴ACF ∆的面积2111122tan S AF CF n α=⋅=⋅, ∴ABE ∆的面积2211tan(30)22S AE EB m α︒=⋅=+,∴梯形EFCB 的面积11()()tan(30)22tan n S EB CF EF m n m αα︒⎡⎤=+⋅=+++⎢⎥⎣⎦. ∴12()S S S S α=--221111()tan(30)tan(30)2tan 2tan 2n m n m n m αααα︒︒⎡⎤=+++-⋅-+⎢⎥⎣⎦ 11tan(30)2tan mn αα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦. （2）令1sin(30)cos tan(30)tan cos(30)sin y αααααα︒︒︒+=++=++ sin(30)sin cos(30)sin sin cos(30)αααααα︒︒︒+++=+=⎝⎭︒==sin(230)2α︒=+-.∴当23090α︒︒+=时,即30︒=α时,y取得最小值此时()S α. 【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.22．对任意实数,a b ，定义函数(,)12()F a b a b a b =+--，已知函数2()f x x nx n =-+，()21g x x =-，记()((),())H x F f x g x =.（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若22m n -=，且[6,)m ∈+∞，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[]0,6上的最小值.【答案】（1）[m ∈-（2）(2,)m （3）答案不唯一，具体见解析【解析】(1)由题意2(2)53x mx n g n n -+≥+-=-恒成立,再利用二次函数恒成立的性质求解即可. (2)由题,(,),b a bF a b a a b ≥⎧=⎨<⎩,再分1x ≥和1x <两种情况讨论即可.(3) 由(2)知,6m ≥且(),02()(),26g x x H x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩,再分段与分参数的取值范围情况讨论即可. 【详解】解：（1）据题意知,2(2)53x mx n g n n -+≥+-=-恒成立, 即有230x mx -+≥对于任意的x 恒成立.∴由0∆≤得2120m -≤,∴[m ∈-. （2）∵22m n -=, ∴2()22f x x mx m =-+-, 又由1(,)(||)2F a b a b a b =+--知,,(,),b a b F a b a a b≥⎧=⎨<⎩, ∴()((),())()H x F f x g x f x ==, ∴有[6,)m ∈+∞时,()()f x g x ≤. ①当1x ≥时,22222x mx m x -+-≤-, ∴(2)()0x x m --≤, 又6m ≥,∴[2,]x m ∈.②当1x <时,22222x mx m x -+-≤-+, ∴2(2)(2)0x x m +--≤,∵6,1m x ≥<,∴20,20x m ->->, ∴上式不成立.综上①②知,使等式成立的x 的取值范围是(2,)m .（3）由（2）知,6m ≥且(),02()(),26g x x H x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩∴221,02()22,26x x H x x mx m x ⎧-≤<=⎨-+-≤≤⎩∴当02x ≤<时,()2|1|H x x =-,∴min ()(1)0H x H ==.当26x ≤≤时,222()222224m m H x x mx m x m ⎛⎫=-+-=--+- ⎪⎝⎭, ①当262m≤≤时,又6m ≥,即612m ≤≤时, 2min ()2224m m H x H m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭；②当62m>时,即12m >时,min ()(6)434H x H m ==-+； ∴综上知,2min ()min 0,22,4344m H x m m ⎧⎫=-+--+⎨⎬⎩⎭. 由2434022046m m m m -+≥⎧⎪⎪-+-≥⎨⎪≥⎪⎩64m ⇒≤≤+,min ()0H x =； 由243404342246m m m m m -+<⎧⎪⎪-+<-+-⎨⎪≥⎪⎩2(12)0m m ⇒-<⇒无实数解； 由2222044342246m m m m m m ⎧-+-<⎪⎪⎪-+≥-+-⎨⎪≥⎪⎪⎩4m ⇒>+时,2min ()224m H x m =-+-. 【点睛】本题主要考查了新定义函数的运用以及二次函数的最值范围讨论方法,需要根据题意分段以及分参数的范围进行讨论.属于难题.。
2019-2020学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 集合A ＝{0, 1}，B ＝{1, 2, 3}，则A ∪B ＝（ ） A.{1} B.{1, 2, 3} C.{0, 2, 3} D.{0, 1, 2, 3}2. 若集合M ＝{α|α＝2kπ, k ∈Z}，集合N ＝{β|β＝kπ, k ∈Z}，则集合M 与N 的关系是（ ） A.M ⊆N B.N ⊆M C.M ＝N D.M <N3. 与向量AB →=(1, √3)平行的单位向量是（ ） A.(12, √32) B.(−12, −√32) C.(12, √32)或(−12, −√32) D.(−12, √32)或(12, −√32)4. 已知向量a →，b →满足a →=(−3, 1)，b →=(2, k)，且a →⊥b →，则a →−b →等于（ ） A.(5, 5) B.(−5, −5) C.(−5, 5) D.(−1, 7)5. 若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A.6cm 2 B.9cm 2 C.6πcm 2 D.9πcm 26. 已知曲线C 1:y ＝cos x ，C 2:y ＝cos (2x −2π3)，则下列结论正确的是（ ）A.把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移2π3个单位长度，得到曲线C 2B.把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 2C.把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移2π3个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C 27. 某互联网公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）（ ） A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年8. 函数f(x)=3x −3−xx 2的图象大致为（ ）A. B. C. D.9. 已知ω>0，函数f(x)＝2sin (ωx +φ)在[π2, 5π6]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A.(0, 1] B.[12, 85]C.[23, 56]D.[23, 85]10. 关于函数f(x)＝cos |x|+|cos x|有下述四个结论： ①函数y ＝f(x)是偶函数； ②函数y ＝f(x)的周期是π； ③函数y ＝f(x)的最⼤值为2；④函数y ＝f(x)在[0, π]上有⼤数个零点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①② B.①③ C.②④ D.①③④11. 在平面直角坐标系中，已知点A(0, −1)，B(0, 3)，M ，N 是x 轴上的两个动点，且|MN →|=2，则AM →⋅BN →的最小值为（ ） A.−4 B.−3C.2D.312. 已知函数f(x)＝|x 2−4x|，x ∈R ，若关于x 的方程f(x)＝m|x +1|−2恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A.(0, 6−2√3)B.(0, 6+2√3)C.(2, 6−2√3)D.(2, 6+2√3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）计算：2lg 2−ln e 3+lg 25＝________．已知函数f(x)={(12)x−1,x <1log 12x,x ≥1，则f(0)+f(2)等于________．已知幂函数y ＝x n 的图象过点(3, 19)，则n ＝________，由此，请比较下列两个数的大小：(x 2−2x +5)n < (−3)n ．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，A ＝120∘，若点D ，E 满足BC →=3BD →，AE →=λAC →−AB →(λ∈R)，且AD →⋅AE →=−6，则实数λ＝________．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|＝2，a →，b →的夹角为θ． （1）若θ=5π6，求a →⋅(a →+b →)的值；（2）若cos θ=13，求|a →+xb →|(x ∈R)的最小值．定义一种集合运算：A ⊗B ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}，已知集合M ＝{x|y ＝lg (3x −x 2), x ∈R}，N ＝{y|y ＝(12)x , x <0}． （1）求M ∩N ；（2）求M ⊗N ．已知函数f(x)＝ax 2+(2−a)x +2为偶函数，记g(x)＝xf(x)−ax −1(a ∈R)． （1）求实数a 的值；（2）求函数y ＝g(x)的单调区间，并给予证明．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边与单位圆分别相交于点P ，Q ，已知点P(−45, 35)．（1）求1+2sin 2α1+cos 2α+sin 2α的值；（2）若OP →⋅OQ →=−13，求sin β的值．如图，直线l 1 // l 2，点A 是l 1，l 2之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线l 1，AE ＝m ，AF ＝n （m ，n 为常数），点B ，C 分别为l 1，l 2上的动点，已知∠BAC ＝60∘．设∠ACF ＝α(0∘<α<60∘)．（1）求△ABC 面积S 关于角α的函数解析式S(α)；（2）求S(α)的最小值．对任意实数a ，b ，定义函数F(a, b)=12(a +b −|a −b|)，已知函数f(x)＝x 2−mx +n ，g(x)＝2|x −1|，记H(x)＝F （f(x)，g(x)）．（1）若对于任意实数x ，不等式f(x)≥g(2)+n −5恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若2m −n ＝2，且m ∈[6, +∞)，求使得等式H(x)＝f(x)成立的x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，求H(x)在区间[0, 6]上的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 【答案】 −1【答案】 1【答案】 −2【答案】32三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【答案】因为向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|=2；且θ=5π6；∴ a →⋅(a →+b →)=a →2+a →⋅b →=(√3)2+√3×2×cos 5π6=3+√3×2×(−√32)＝0． 若cos θ=13，则|a →+xb →|2=a →2+2xa →⋅b →+x 2b →2＝4x 2+43√3x +4＝4(x +√33)2+83；∴ x =−√33时，|a →+xb →|取最小值2√63． 【答案】∵ 集合M ＝{x|y ＝lg (3x −x 2), x ∈R}＝{x|0<x <3}， N ＝{y|y ＝(12)x , x <0}＝{y|y >1}．∴ M ∩N ＝{x|1<x <3}．∵ A ⊗B ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}，M ∪N ＝{x|x >0}，M ∩N ＝{x|1<x <3}． ∴ M ⊗N ＝{x|0<x ≤1或x ≥3}．【答案】由题意，函数f(x)为偶函数，则f(−x)＝f(x)．∵ f(x)＝ax 2+(2−a)x +2，f(−x)＝ax 2−(2−a)x +2 ∴ 2−a ＝−(2−a)， 解得a ＝2． 由（1），知f(x)＝2x 2+2，则g(x)＝xf(x)−ax −1＝x(2x 2+2)−2x −1＝2x 3−1． 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则g(x 2)−g(x 1)＝2x 23−1−2x 13+1＝2(x 23−x 13)＝2(x 2−x 1)(x 12+x 1x 2+x 22)＝2(x 2−x 1)(x 12+x 1x 2+x 22)＝2(x 2−x 1)[(x 1+12x 2)2+34x 22]． ∵ (x 1+12x 2)2≥0，34x 22≥0，∴ (x 1+12x 2)2+34x 22≥0．(∗)当且仅当{x 1+12x 2=0x 2=0，即x 1＝x 2＝0时，(∗)中等号成立，这与x 1<x 2不符，故(x 1+12x 2)2+34x 22>0．又∵ x 2−x 1>0，∴ g(x 2)−g(x 1)>0，即g(x 2)>g(x 1)． 函数y ＝g(x)在(−∞, +∞)上是增函数，∴ 函数y ＝g(x)的单调增区间是(−∞, +∞)．【答案】平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)， 它们的终边与单位圆分别相交于点P ，Q ，已知点P(−45, 35)．∴ cos α=−45，sin α=35， 故 1+2sin 2α1+cos 2α+sin 2α=1+4sin αcos α2cos 2α+2sin αcos α=1+4⋅35⋅(−45)2⋅1625+2⋅35⋅(−45)=−238．若OP →⋅OQ →=−13=(cos α, sin α)⋅( cos β, sin β)＝cos αcos β+sin αsin β＝cos (α−β)， ∴ cos (α−β)=−13．再根据α−β∈(0, π)，∴ sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=2√23． ∴ sin β＝sin [α−(α−β)]＝sin αcos (α−β)−cos αsin (α−β)=35⋅(−13)−(−45)⋅2√23=8√2−315． 【答案】由题意，EF ⊥l 1，l 1 // l 2，∴ EF ⊥l 2， 在Rt △ACF 中，CF =n tan α，0<α<60∘，∠EAB ＝180∘−60∘−(90∘−α)＝α+30∘，在Rt △ABE 中，EB ＝AE tan (α+30∘)＝m tan (α+30∘)．∴ △ACF 的面积S 1=12AF ⋅CF =12n 2⋅1tan α，△ABE 的面积S 2=12AE ⋅EB =12m 2tan (α+30)． ∴ 梯形EFCB 的面积S =12(EB +CF)⋅EF =12(m +n)[m tan (α+30)+ntan α]． ∴ S(α)−S −S 1−S 2=12(m +n)[m tan (α+30)+ntan α]−12n 2⋅1tan α−12m 2tan (α+30) =12mn[tan (α+30)+1tan α]；令y ＝tan (α+30∘)+1tan α=sin (α+30)cos (α+30)+cos αsin α=sin (α+30)sin α+cos (α+30)cos αsin αcos (α+30)=sin α(√32cos α−12sin α)=√32sin αcos α−12sin 2α=√3√32sin 2α−1−cos 2α2=√3sin (2α+30)−12．∴ 当2α+30∘＝90∘，即α＝30∘时，y 取到最小值2√3． 此时S(α)取得最小值√3mn ．【答案】由题意可得，x 2−mx +n ≥g(2)+n −5＝n −3恒成立， 即x 2−mx +3≥0对任意的x 恒成立，所以△＝m 2−12≤0，解得m ∈[−2√3, 2√3]； 因为2m −n ＝2，所以f(x)＝x 2−mx +2m −2，由F(a, b)=12(a +b −|a −b|)知，F(a, b)={b,a ≥ba,a <b，所以H(x)＝F （f(x)，g(x)）＝f(x)， 所以m ∈[6, +∞)时，f(x)≤g(x)；①当x ≥1时，x 2−mx +2m ≤2x −2，所以(x −2)(x −m)≤0， 又因为m ≥6，所以x ∈[2, m]；②当x <1时，x 2−mx +2m ≤−2x +2，所以x 2+(2−x)(m −2)≤0， 因为m ≥6，x <1，所以2−x >0，m −2>0，所以上式不成立； 综上可知，x 的取值范围是[2, m]；由（2）知，m ≥6且H(x)={g(x),0≤x <2f(x),2≤x ≤6 ，即H(x)={2|x −1|,0≤x <2x 2−mx +2m −2,2≤x ≤6所以当0≤x <2时，H(x)＝2|x −1|，所以H(x)max ＝H(1)＝0， 当2≤x ≤6时，H(x)＝x 2−mx +2m −2＝(x −m2)2−m 24+2m −2，①当2≤m 2≤6时，又m ≥6，即6≤m ≤12时，H(x)min ＝H(m2)=−m 24+2m −2；②当m2>6时，即m >12时，H(x)min ＝H(6)＝−4m +34； 综上，H(x)min ＝min {0, −m 24+2m −2, −4m +34}，由{−4m+34≥0−m24+2m−2≥0m≥6，解得6≤m≤4+2√2时，H(x)min＝0；由{−4m+34<0−4m+34<−m24+2m−2m≥6，整理得(m−12)2<0，无实根；由{−m24+2m−2<0−4m+34≥−m24+2m−2m≥6，解得m>4+2√2时，H(x)min=−m24+2m−2；综上H(x)min={0,6≤m≤4+2√2−m24+2m−2,m>4+2√2．。
2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)【优质版】
江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y （单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=5．【解答】解：∵函数f（）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=4．【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（）=﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【解答】解：∵∈[﹣，]，∴0≤cos≤1，∴1≤3cos+1≤4，∴0≤log2（3cos+1）≤2，故答案为[0，2]．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以=﹣，y=，+y=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4+）．【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）故答案为：sin（4+）．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=4﹣2，∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2，∵函数f（）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（），则f（）=4+2，＜0，则函数f（）=，则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4，当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4，当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+，π+π]，∈，由题意可得区间[π，]内的值满足π+≤ω+≤π+π，∈，即ω•π+≥π+，且ω•+≤π+π，∈．解得+≤ω≤（+），∈．求得：当=0时，≤ω≤，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=．（2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行，∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y （单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：并说明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220，∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N，+y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，y ma=245万元．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2=，所以=﹣2…6分（2）因为f（﹣）=﹣2﹣=2﹣=﹣f（），所以f（）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ） (8)分，又f（）=（）﹣2在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数y=g（a+1）﹣是偶函数，∴log a（a﹣+1）+=log a（a+1）﹣，对任意∈R恒成立，∴2=log a（a+1）﹣log a（a﹣+1）=log a（）=∴=，（2）由题意设h（）=f（）﹣g（）=2log a（2+t﹣2）﹣log a＜0在∈[1，4]恒成立，∴2log a（2+t﹣2）＜log a，∵0＜a＜1，∈[1，4]，∴只需要2+t﹣2＞恒成立，即t＞﹣2++2恒成立，∴t＞（﹣2++2）ma，令y=﹣2++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，∈[1，4]，∴（﹣2++2）ma=1，∴t的取值范围是t＞1，（3）∵t=4，0＜a＜1，∴函数y=|f（）|=|2log a（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），令|2log a（2+2）|=2，得=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos （+）=cos2，当m=0时，f（）=•+1=cos2+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵∈[﹣，]，∴|+|===2cos，则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos，令t=cos，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+m2=0，得cos=或，∴方程cos=或在∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．。
2019～2020学年江苏省无锡市高一上学期期末考试数学试题及答案
绝密★启用前江苏省无锡市普通高中2019～2020学年高一年级上学期期末质量监测数学试题2020年1月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．集合A ＝{0，1}，B ＝{1，2，3}，则A U B ＝A ．{1}B ．{1，2，3}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若集合M ＝{}2k k Z ααπ=∈，,集合N ＝{}k k Z ββπ=∈，,则集合M 与N 的关系是A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．M ＜N 3．与向量AB uuu r ＝(1,3)平行的单位向量是A ．(12,B ．(12-,C ．(12,2)或(12-,2-) D ．(12-,2)或(12,2-) 4．已知向量a r ,b r 满足a r ＝(﹣3,1),b r ＝(2,k ),且a r ⊥b r ,则a r ﹣b r 等于 ( )A ．(5,5)B ．(﹣5,﹣5)C ．(﹣5,5)D ．(﹣1,7)5．若扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为A ．6cm 2B ．9cm 2C ．6πcm 2D ．9πcm 26. 已知曲线C 1：y ＝cos x ,C 2：y ＝cos(2x ﹣3π),则下列结论正确的是 A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移23π个单位长度,得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 3π个单位长度,得到曲线C 2C ．把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移23π 个单位长度,得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3π 个单位长度,得到曲线C 2 7．某互联网公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年8．函数233()x xf x x --=的图象大致为9．已知ω＞0,函数()2sin()f x x ωϕ=+在[2π,56π]上单调递减,则实数ω的取值范围是 A ．(0,1] B ．[12,85] C ．[23,56] D ．[23,85] 10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最⼤值为2；④函数()y f x =在[0,π]上有⼤数个零点．其中所有正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④ 11．在平面直角坐标系中,已知点A(0,﹣1),B(0,3),M,N 是x 轴上的两个动点,且MN u u u u r ＝2,则AM BN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为A ．﹣4B ．﹣3C ．2D ．312．已知函数2()4f x x x =-,x ∈R,若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根,则实数m 的取值范围为A ．(0,63-)B ．(0,623+)C ．(2,623-)D ．(2,63+)二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分,共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）。
2019-2020学年无锡市XX中学高一(上)期末数学试卷(有答案)
2019-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，6}，且A∩B=．2．（5分）函数的定义域是．3．（5分）cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于．4．（5分）已知向量、满足，它们的夹角为60°，那么=．5．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）=．6．（5分）函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为．7．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=．8．（5分）设定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（0，+∞），（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣π）f（3.14）．（填“＞”、“＜”或“=”）9．（5分）将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则φ=．11．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，=2，则•=．12．（5分）已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα=．13．（5分）若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是．14．（5分）已知△ABC的边长为2的等边三角形，动点P满足，则的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知（1）求tanθ的值；（2）求的值．16．（14分）已知向量，向量，向量满足．（1）若，且，求的值；（2）若与共线，求实数k的值．17．（14分）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若，求cos2α的值．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．（1）若⊥，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．20．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）给出函数，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）设，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．2019-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，6}，且A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，6}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则，得x＞﹣1且x≠0．∴函数的定义域是：（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．3．（5分）cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于．【解答】解：∵24°+66°=90°，∴cos66°=sin24°，同理可得cos54°=sin36°．由此可得cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=cos24°cos36°﹣sin24°sin36°=cos（24°+36°）=cos60°=．故答案为：4．（5分）已知向量、满足，它们的夹角为60°，那么=．【解答】解：向量、满足，它们的夹角为60°，∴=+2•+=12+2×1×2×cos60°+22=7∴=．故答案为：．5．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）=x﹣2．【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，所以，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．故答案为x﹣2．6．（5分）函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为π．【解答】解：f（x）=1﹣2sin2x=cos2x∴函数最小正周期T==π故答案为：π．7．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=1．【解答】解：由题意设f（x）=lgx+x﹣2，则函数f（x）的定义域是（0，+∞），所以函数f（x）在（0，+∞）是单调增函数，因为f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=lg2+2﹣2=lg2＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，即方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），因为x0∈（k，k+1），k∈Z，所以k=1，故答案为：1．8．（5分）设定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（0，+∞），（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣π）＞f（3.14）．（填“＞”、“＜”或“=”）【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（0，+∞），（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义域为R的偶函数，故f（﹣π）=f（π）＞f（3.14）．故答案为：＞．9．（5分）将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin（2x+）．【解答】解：将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得y=sin2x 的图象；再将得到的图象向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故答案为：y=sin（2x+）．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则φ=．【解答】解：由题意可知A=3，T=8，所以ω==，因为函数经过（3，0），所以═3sin （），φ∈[0，2π），所以φ=．故答案为：．11．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，=2，则•=．【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==法二：由题意可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+1+2=7，∴BC=，∴cosB===AD==，∵，∴=．故答案为：﹣．12．（5分）已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα=．【解答】解：由题意得α、β∈（0，π），cosβ=﹣，∴sinβ=，故＜β＜π．∵sin（α+β）=，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣，∴cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=，故答案为．13．（5分）若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是﹣3．【解答】解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤﹣f（sinx ﹣a）恒成立又∵f（x）是奇函数，﹣f（sinx﹣a）=f（﹣sinx+a）∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（﹣sinx+a）在R上恒成立∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，∴cos2x+sinx≥﹣sinx+a，即cos2x+2sinx≥a∵cos2x=1﹣2sin2x，∴cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1，当sinx=﹣1时cos2x+2sinx有最小值﹣3．因此a≤﹣3，a的最大值是﹣3故答案为：﹣314．（5分）已知△ABC的边长为2的等边三角形，动点P满足，则的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：如图所示，△ABC中，设BC的中点为O，则=2，∵=sin2θ•+cos2θ•=sin2θ•+cos2θ•=（1﹣cos2θ）•+cos2θ•=+cos2θ•（﹣），即﹣=cos2θ•（﹣），可得=cos2θ•，又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在线段OA上，由于BC边上的中线OA=2×sin60°=，因此（+）•=2•，设||=t，t∈[0，]，可得（+）•=﹣2t（﹣t）=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣，∴当t=时，（+）•取得最小值为﹣；当t=0或时，（+）•取得最大值为0；∴的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知（1）求tanθ的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴，∵π＜θ＜2π，∴＜θ＜π，∴tanθ=﹣2．（2）=．16．（14分）已知向量，向量，向量满足．（1）若，且，求的值；（2）若与共线，求实数k的值．【解答】解：（1）∵，∴，又，∴，而，且，∴，得k=﹣，∴=，则||=；（2）由，得，∴，∵与共线，∴，解得：k=1．17．（14分）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若，求co s2α的值．【解答】解：（1）函数=sin2x+2•﹣=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）∵f（α）=sin（2α+）+=2，∴sin（2α+）=，又α∈[，]，∴≤2α+≤，∴2α+=，∴2α=，∴cos2α=．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积综上可得；（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间上单调递减，则f（x）＜f（0）=；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．19．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．（1）若⊥，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．【解答】解：（1）=（n﹣8，t），∵⊥，且，∴﹣（n﹣8）+2t=0，=8，解得t=±8，t=8时，n=24；t=﹣8时，n=﹣8．∴向量=（24，8），（﹣8，﹣8）．（2）=（ksinθ﹣8，t），（2）∵向量与向量共线，常数k＞0，∴t=﹣2ksinθ+16，∴f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k+．①k＞4时，，∴sinθ=时，f（θ）=tsinθ取得最大值，sinθ=﹣1时，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，此时函数f（θ）的值域为．②4＞k＞0时，＞1．∴sinθ=1时，f（θ）=tsinθ取得最大值﹣2k+16，sinθ=﹣1时，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，此时函数f（θ）的值域为[﹣2k﹣16，﹣2k+16]．20．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）给出函数，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）设，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数，若h（x）是af1（x）+bf2（x）的生成函数，则有：lgx=，由：，解得：，存在实数a，b满足题意．∴h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．（2）由题意，，生成函数h（x）．则h（x）=2•f1（x）+f2（x）=∴h（x）是定义域内的增函数．若3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，即．设S=log2x，则S∈[1，2]，那么有：y=﹣3S2﹣2S，其对称轴S=．∴﹣16≤y≤﹣5，故得t＞﹣5．（3）由题意，得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x）=ax，则h（x）=ax≥2∴，解得：a=2，b=8．∴h（x）=2x+，（x＞0）假设最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，令u=h（x1）h（x2）==∵x1+x2=1，∴u=，令t=x1x2，则t=x1x2≤，即，那么：u=4t，在上是单调递减，∴u≥u（）=289．故最大的常数m=289．。
2019-2020学年江苏省无锡市第一高级中学高三数学理期末试题含解析
2019-2020学年江苏省无锡市第一高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法正确的是（）A．若命题都是真命题，则命题“”为真命题B．命题“若，则或”的否命题为“若则或”C．命题“”的否定是“”D．“”是“”的必要不充分条件参考答案：C略2. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A. B. C. D.参考答案：B3. 设函数的反函数为，则A．在其定义域上是增函数且最大值为1B．在其定义域上是减函数且最小值为0C．在其定义域上是减函数且最大值为1D．在其定义域上是增函数且最小值为0参考答案：解析：为减函数，由复合函数单调性知为增函数，所以单调递增，排除B、C；又的值域为的定义域，所以最小值为0．选D．4. 设函数则=（）A.2B.1C.-2 D.-1参考答案：D略5. 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为( )A．24 B．20 C．16 D．12参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．6. 设函数f（x）=2sinπx与函数的图象在区间[﹣2，4]上交点的横坐标依次分别为x1，x2，…，x n，则x i=（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】找个两个函数图象的对称中心以及在区间[﹣2，4]的交点个数，通过对称的性质可得答案．【解答】解：将函数与y=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），从图象知它们在区间[﹣2，4]上有八个交点，分别为四对对称点，每一对的横坐标之和为2，故所有的横坐标之和为8．故选C．7. 已知公差不为的等差数列满足：，且，则A．B．C．D．参考答案：A略8. 某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C．D．参考答案：C9. 将函数的图像向右平移个单位后，所得函数图像关于原点对称，则的取值可能为（）A．B． C. D．参考答案：A依题意，，故向右平移个单位后，得到，故，则，观察可知，故选A.10. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，，的夹角为120°，则__________.参考答案：【分析】先利用平面向量数量积的运算法则求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为，，，的夹角为，所以，所以.故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12. 设分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为．参考答案：13. 已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_______.参考答案：14. 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．参考答案：48【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．15. 函数(为常数，A＞0，＞0)的部分图象如左上图所示，则的值是 .参考答案：16. 若函数的反函数为，则。
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市高一上学期期末数学试题(含答案解析)
2
x
6
]
2
si
n
2x
3
，再
y
向上平移 3 个单位，得到
2
si
n
2x
3
3
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的平移变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.
6．已知向量 a ， b 满足 a （x，1）， b （1，﹣2），若 a ∥ b ，则 a 2b （ ）
A．（4，﹣3）
所以 a
2b
3 2
, 3
.
故选：C 【点睛】 本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．设函数 f x lg 1 x lg 1 x，则函数 f x是（ ）
A．偶函数，且在 0,1上是减函数 B．奇函数，且在 0,1上是减函数
C． 偶函数，且在 0,1上是增函数 D．奇函数，且在 0,1上是增函数
1 a 2 或 a＞0
【解析】（1）①因为 f（x）＝﹣x+2，若存在，则 x0
x0 2
1
，解一元二次方程即可.②若存在，
则 x0 si n x0 1，即 x0 si n x0 1 0 ，再利用零点存在定理判断.③若存在，则
x0
x0
1
x
0
1 ，直接解方程.④若存在，则 x0
x0 1 1，即 x0
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
11．已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，在线段 DE 取点 F，
使得 DF＝2FE，则 AF BC 的值为（ ）
江苏省无锡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(学生版)
江苏省无锡市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.集合{}{}0,1,1,2,3A B ==，则A B =U （ ） A. {}1 B. {}1,2,3C. {}0,2,3D. {}0,1,2,32.若集合{}2,k k Z M ααπ==∈，集合{},k k N Z ββπ==∈，则集合M 与N 的关系是（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N =D. M N <3.与向量(AB =u u u r平行的单位向量是（ ）A. 12⎛ ⎝⎭B. 1,2⎛- ⎝⎭C. 1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛-- ⎝⎭D. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭4.已知向量a r ，b r 满足()3,1a =-r ，()2,b k =r ，且a b ⊥r r ，则a b -r r等于（ ）A. ()5,5B. ()5,5--C. ()5,5-D. ()1,7-5.若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ） A. 26cmB. 29cmC. 26cm πD. 29cm π6.已知曲线1:cos C y x =，2:cos 223C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CB. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈） A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年8.函数233()x x f x x --=的图象大致为（ ） A .B.C.D.9.已知0>ω，函数()2sin()6f x x πω=+在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A. (0,1]B. 18,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 25,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 28,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最大值为2；④函数()y f x =在[0,]π上有无数个零点.其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③C. ②④D. ①③④11.在平面直角坐标系中，已知点()()0,1,0,3A B -，,M N 是x 轴上的两个动点，且2MN =u u u u r ，则AM BN⋅u u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 4-B. 3-C. 2D. 312.已知函数2()4f x x x =-，x ∈R ，若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (0,6-B. (0,6+C. (2,6-D. (2,6+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.计算：32lg 2ln lg 25e -=＋_______.14.已知函数1121,12()log ,1x x f x x x -⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则(0)(2)f f +等于_______. 15.已知幂函数ny x=的图像过点3,19⎛⎫⎪⎝⎭，则n =_______，由此，请比较下列两个数的大小：2(25)n x x -+_______(3)n -.16.在ABC ∆中，已知3,2,120AB AC A ===︒，若点,D E 满足3BC BD =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r（R λ∈），且6AD AE -⋅=u u u r u u u r，则实数λ=______.三、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量a r ，b r 满足3a =r ，2=r b ，a r ，b r的夹角为θ.（1）若56πθ=，求()a a b ⋅+r r r 的值； （2）若1cos 3θ=，求a xb +r r （x ∈R ）的最小值.18.定义一种集合运算：{x x B A B A ⊗=∈U 且}x A B ∉I ，已知集合{}2lg(3),x y x x x M R =-=∈，1(),02x y y x N ⎧⎫=<⎨⎩=⎬⎭.（1）求M N ⋂； （2）求M N ⊗.19.已知函数2()(2)2f x x a x =+-+为偶函数，记()()1()g x xf x ax a R =--∈. （1）求实数a 的值；（2）求函数()y g x =的单调区间，并给予证明.20.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们的终边与单位圆分别相交于点,P Q ，已知点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭.（1）求12sin 21cos 2sin ααα+++的值；（2）若13OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求sin β的值.21.如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知60BAC ∠=︒.设ACF α∠=（060α︒<<︒）.（1）求ABC ∆面积S 关于角α的函数解析式()S α； （2）求()S α的最小值.22.对任意实数,a b ，定义函数(,)12()F a b a b a b =+--，已知函数2()f x x nx n =-+，()21g x x =-，记()((),())H x F f x g x =.（1）若对于任意实数x ，不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若22m n -=，且[6,)m ∈+∞，求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求()H x 在区间[]0,6上的最小值.。
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江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．（5分）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．（5分）若函数f（）=，则f（f（﹣2））=5．【解答】解：∵函数f（）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．（5分）在平面直角坐标系Oy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【解答】解：在平面直角坐标系Oy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．（5分）已知幂函数y=f（）的图象过点（，），则f（）=4．【解答】解：∵幂函数y=f（）=α的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（）=﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．（5分）已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．（5分）已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．（5分）函数y=log2（3cos+1），∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【解答】解：∵∈[﹣，]，∴0≤cos≤1，∴1≤3cos+1≤4，∴0≤log2（3cos+1）≤2，故答案为[0，2]．9．（5分）在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=+y，则+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以=﹣，y=，+y=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4+）．【解答】解：将函数y=sin（2﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（+）﹣]=sin（2+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4+）故答案为：sin（4+）．11．（5分）若函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．（5分）若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．（5分）已知f（）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当＞0时，f（）=4﹣2，若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【解答】解：如＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=4﹣2，∴当﹣＞0时，f（﹣）=﹣4+2，∵函数f（）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣）=﹣4+2=﹣f（），则f（）=4+2，＜0，则函数f（）=，则当＞0，f（）=4﹣2=﹣（﹣2）2+4≤4，当＜0，f（）=4+2=（+2）2﹣4≥﹣4，当＜0时，由4+2=4，即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．（5分）若函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【解答】解：∵函数f（）=|sin（ω+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sin|的周期为π，减区间为[π+，π+π]，∈，由题意可得区间[π，]内的值满足π+≤ω+≤π+π，∈，即ω•π+≥π+，且ω•+≤π+π，∈．解得+≤ω≤（+），∈．求得：当=0时，≤ω≤，不符合题意；当=1时，≤ω≤；当=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（15分）已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+（∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量+平行，求实数的值．【解答】解：（1）=+=（﹣3+，1﹣2），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+）+4（1﹣2）=0，解得=．（2）+=（+1，﹣2﹣1），∵与向量+平行，∴（﹣2﹣1）（﹣3+）﹣（1﹣2）（+1）=0，解得=．16．（15分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．（15分）某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：明理由，y=a3+b，y=﹣2+a+b，y=a•b．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣2+a+b，解得a=10，b=220，∴y=﹣2+10+220，1≤≤12，∈N，+y=﹣（﹣5）2+245，∴=5，y ma=245万元．18．（15分）已知函数f（）=（）﹣2．（1）若f（）=，求的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2=，所以=﹣2…6分（2）因为f（﹣）=﹣2﹣=2﹣=﹣f（），所以f（）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分，又f（）=（）﹣2在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分19．（15分）已知t为实数，函数f（）=2log a（2+t﹣2），g（）=log a，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a+1）﹣是偶函数，求实数的值；（2）当∈[1，4]时，f（）的图象始终在g（）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数y=g（a+1）﹣是偶函数，∴log a（a﹣+1）+=log a（a+1）﹣，对任意∈R恒成立，∴2=log a（a+1）﹣log a（a﹣+1）=log a（）=∴=，（2）由题意设h（）=f（）﹣g（）=2log a（2+t﹣2）﹣log a＜0在∈[1，4]恒成立，∴2log a（2+t﹣2）＜log a，∵0＜a＜1，∈[1，4]，∴只需要2+t﹣2＞恒成立，即t＞﹣2++2恒成立，∴t＞（﹣2++2）ma，令y=﹣2++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，∈[1，4]，∴（﹣2++2）ma=1，∴t的取值范围是t＞1，（3）∵t=4，0＜a＜1，∴函数y=|f（）|=|2log a（2+2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当∈[m，n]时，函数y=|f（）|的值域为[0，2]，且f（﹣）=0，∴﹣1＜m≤≤n（等号不同时取到），令|2log a（2+2）|=2，得=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．（15分）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（）=•﹣m|+|+1，∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（）=f（）+m2，∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos（+）=cos2，当m=0时，f（）=•+1=cos2+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵∈[﹣，]，∴|+|===2cos，则f（）=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos，令t=cos，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（）=2cos2﹣2mcos+m2=0，得cos=或，∴方程cos=或在∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．。