江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导简单的函数方程(一)

n
n
综上所述，对于任意实数 x，有 f(x)=xf(1)
函数方程的解法 ：
1.代换法（或换元法 ）
把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义
域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数 例 1 （1）已知 f(2x－1)=x2＋x，那麽 f(x)=______________。
t
af( 1 )＋bf(t)= c ------(1)
t
t
1 af(t) ＋bf( )=ct------(2)
t
c(at 2 b)
由（ 1），（2）组成方程组解得
f(t)= (a2
b2 )t
c( ax2 b) 即： f(x)= (a 2 b2 ) x
2.待定系数法
当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得 例3 已知 f(x)是一次函数，且 f{f[f---f(x)]}=1024x ＋1023。求 f(x)
10 次 解：设 f(x)=ax＋b (a≠0)，记 f{f[f … f(x)]}=fn(x)，则
n次 f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋ b=a2x＋b(a＋1) f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋ b=a3x＋b(a2＋ a＋1)
依次类推有： f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋ a＋1)=a10x＋ b ( 1 1
函数方程的概念 ：
1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如 f(x＋ 1)=x、f(－x)=f(x)、 f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等。其中 f(x)是未知函数 2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如 f(x)=x－1、偶 函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程
4.定理（柯西函数方程的解）
若 f(x)是单调（或连续）函数且满足 f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则 f(x)=xf(1)
证明：由题设不难得
f(x1＋x2＋…＋ xn)=f(x1)＋ f(x2)＋…＋ f(xn)
取 x1=x2=… =xn=x，得 f(nx)=nf(x) (n∈ N+)
略解：设 t=2x－1，则 x= 1 (t ＋1)，那麽 f(t)= 1 (t＋ 1)2＋ 1 (t＋ 1)= 1 t 2
2
4
2
4
＋t＋ 3 4
故 f(x)= 1 x2＋x＋ 3
4
4
(2) 已知 f( x ＋1)=x＋2 x ，那麽 f(x)=____________。 略解： f( x ＋ 1)=( x ＋ 1)2－1，故 f(x)=x2－ 1 (x≥1)
A.1985 B. 1985 C.3990 D.以上答案都不对
4、 已知 f(1)=1,f(n)－f(n －1)=an,n∈N+。求 f(n)
5、
解方程
x
xf(x)＋2f(
1
)=1
x1
6、 已知 f(x)连续且定义在非零实数集上， 满足 f x y f x f y ，求 f(x)
fx fy
7、
若存在 x0∈R，使 f(x0)=0。则对一切实数 x，有 f(x)=f(x－x0＋x0)=f(x－x0)f(x0)=0 这与 f(x)不恒为 0 矛盾，故 f(x)＞ 0 对题设 f(x＋ y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得 ㏑ f(x＋y)=㏑ f(x)f(y) ∴㏑ f(x＋y)=㏑ f(x)＋㏑ f(y) 令 g(x)=㏑ f(x) ∵f(x)＞0 且连续 ∴g(x)连续且满足 g(x＋ y)=g(x)＋g(y).由定理知： g(x)=g(1)x 故 ㏑ f(x)=x ㏑ f(1) ∴f(x)=ex ㏑ f(1)=f(1)x 令 f(1)=a，则 f(x)=ax (a＞ 0)
1 =2(n＋ 1)
f ( n 1)
把 n 依次用 2，3，…， n 代换，得
1 － 1 =2× 3 f ( 2 ) f (1 )
1 － 1 =2× 4 f (3) f (2)
……
1 f (n)
1 =2(n＋1)
f ( n 1)
上述 (n－1)个等式相加，得
1 f (n)
1 =2[3＋ 4＋…＋ (n＋ 1)]=(n－1)(n＋ 4) f (1 )
解：令 y=1，得 f(x＋ 1)=f(x)＋ x＋1 再依次令 x=1，2，…， n－ 1，有
f(2)=f(1)＋2 f(3)=f(2)＋3 …… f(n－1)=f(n－ 2)＋(n－1) f(n)=f(n－ 1)＋n 依次代入，得
n ( n 1) f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋ (n－1)＋n=
2
∴ f(x)= x ( x 1) 2
(x∈N+)
例5
，已知
1 f(1) =
且当 n＞ 1 时有
f (n
1)
2nf (n 1) 1 。求 f(n) (n∈N+)
5
f (n)
1 2 f (n)
解：把已知等式（递推公式）进行整理，得 f(n－1)－f(n)=2(n＋1)f(n)f(n－ 1)
∴1 f (n)
(3)
已知
f(x＋ 1 )=x2＋
x
1 x2
，那麽
f(x)=__ _____________。
略解： f(x＋ 1 )=(x＋ 1 )2－2，故 f(x)=x2－ 2 (|x| ≥2)
x
x
例2 设 ab≠0,a2≠ b2，求 af(x)＋bf( 1 )=cx 的解
x
解：分别用
1 x=
， x=t
代入已知方程，得
a 10 ) a
由题设知： a10=1024 且 b (1
1
a 10 ) =1023
a
∴ a=2， b=1 或 a=－2，b=－ 3 ∴ f(x)=2x＋ 1 或 f(x)=－2x－3
3.迭代法 （见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）
由函数方程找出函数值之间的关系，通过 n 次迭代得到函数方程的解法 例4 设 f(x)定义在正整数集上，且 f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋ f(y)＋ xy。求 f(x)
课后练习 ：
1、 下面四个数中，满足
x f
y = 1 [f(x) ＋ f(y)] 的函数是
（）
22
A.㏑ x
B. 1
x
C.3x D.3x
2、 如果对 x∈ R 有 2f(1－x)＋1=xf(x)，那麽 f(x)=__________。
3、 对任意实数 x,y，函数 f(x)有 f(x＋y)=f(x2)＋f(2y)，则 f(1985)=( )
∴ 1 = 1 ＋ (n－1)(n＋ 4)=n2＋ 3n＋1 f ( n ) f (1 )
1 ∴ f(n)= n 2 3 n 1
4.柯西法
在 f(x)单 调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解 例6 设 f(x)连续且恒不为 0，求函数方程 f(x＋y)=f(x)f(y)的解
解：∵ f(x)=f( x ＋ x )=f( x )f( x )≥ 0 22 22
类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得： （1） 若 f(xy)=f(x)＋f(y) (x＞ 0,y＞0),则 f(x)=㏒ ax （2） 若 f(xy)=f(x)f(y) (x＞0,y＞0),则 f(x)=x2 （3） 若 f(x＋ y)=f(x)＋ f(y)＋ kxy,则 f(x)=ax2＋ bx （4） 若 f(x＋ y)＋f(x－ y)=2f(x),则 f(x)=ax＋ b
令 x=0，则 f(0)=nf(0)，解得 f(0)=0 --------- （1）
x=1，则 f(n)=nf(1)
x= m ，则 f(m)=nf( m ) ，解得 f( m )= 1 f(m)= m f(1) --------- (2)
n
n
nn
n
x=－ m ，且令 y=－x＞0，则 f(x)＋ f(y)=f(x＋y)=f(0)=0 n
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∴ f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈ N+,且 (m,n)=1) ---------(3)
由上述（ 1），（ 2），（3）知：对任意有理数 x 均有 f(x)=xf(1)
另一方面，对于任意的无理数 x，因 f(x)连续，取以 x 为极限的有 理数序
列{xn}，则 有 ：f(x)= lim f(xn)= lim xnf(1)=xf(1)