中学解析几何的核心结构

中学解析几何的核心结构──“中学数学中的解析几何”之三人民教育出版社中学数学室章建跃1．解析几何在中学数学课程中的地位和作用从前所述可见，解析几何把代数的知识和方法系统地用于研究几何，数形结合的思想和方法不但使代数、几何获得了前所未有的进展，而且还使微积分的发明水到渠成。

因此，解析几何既是沟通代数与几何的桥梁，也是从初等数学过渡到高等数学的桥梁。

由于人类活动的需要，解决天体运动、抛射体运动、单摆运动等各种运动问题成为数学的重大课题。

而运动可以从两个角度看：一是作为点的轨迹；二是作为位置与时间的关系。

数学史上，在函数概念还没有充分认识之前，函数被当作曲线来研究，例如，正弦曲线是在旋轮线的研究中作为它的“伴侣曲线”而进入数学的。

后来，人们使用运动的概念来引进曲线，例如，伽利略证明了斜抛体的运动轨迹是抛物线，因而把抛物线看成是动点的轨迹；牛顿说，曲线是由于点的连续运动而描画出来的。

把曲线看成是动点的轨迹这一概念逐渐地被认可和接受以后，函数（变量之间的关系）与曲线的联系就很紧密了，从而也就使解析几何与函数的联系更紧密了。

某种意义上看，由于借助于坐标系而描绘了函数图象，使抽象的函数得到形象直观的表示，从而使研究函数的方法更加多样而有力，对函数性质的认识也更加全面而具体。

当然，“函数与图象”、“曲线与方程”毕竟是两个不同的问题。

例如，函数y=f(x)中，x，y的地位“不平等”，函数y随自变量x的变化而变化，两者有依赖关系；方程f(x，y)=0中，x，y的地位“平等”，虽然也有依赖关系，但并没有一个随另一个变化的关系；函数中，x，y之间有特殊的对应关系（单值对应），表现在图象上，就是平行于y 轴的直线与图象至多有一个交点；方程的解没有这种限制，所以交点可以不止一个；借助函数的图象讨论性质，这里的“性质”是函数的变化规律，由方程讨论曲线的性质，这里的“性质”是曲线的几何性质。

另一方面，众所周知，解析几何的研究对象与欧氏几何相同，但是它们的研究方法不同，这里不再赘述。

综上所述，中学数学中的解析几何以数形结合思想为指导，以坐标法为核心，以空间形式为研究对象，用代数方法研究几何；与函数知识紧密联系，是初等数学通向高等数学的桥梁。

因此，解析几何是融中学代数、几何、三角等为一体的综合性课程。

通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力。

同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也为今后学习高等数学奠定了坚实的基础。

2．解析几何的教学目标体系解析几何的教学目标体系可以从知识、方法、思想、观点等几个层次进行构建。

在确定这一目标体系时，要特别注意从解析几何的学科特点出发。

考察解析几何的学科特点，最重要的是它的“方法论”特征；另外就是它的“综合性”，首先是用代数方法研究几何问题，同时，用几何的眼光处理代数问题（几何直观能力的体现）。

据此，解析几何的首要教学目标应是理解“坐标法”，具体包括用坐标法解决问题的过程和要素（“三步曲”）以及在应用坐标法过程中体现的数形结合思想。

当然，要让中学生通过解析几何的学习完全掌握坐标法是不现实的。

因为虽然从方法本身看非常朴实，但中学的解析几何中处理的内容相对简单，还不足以表现坐标法的力量，所以只能要求学生初步掌握方法，初步学会用坐标法思想思考和处理问题，并注意在其它学科的学习中渗透。

思想方法必须有具体知识作为载体才能被领会，也只有和具体知识融为一体才能发挥作用。

因此，坐标法必须在解析几何知识的学习中逐步掌握。

直线和圆锥曲线是比较简单的平面曲线，以这两种曲线为载体学习解析几何，可以更好地使学生把精力集中于坐标法的领悟。

具体的知识目标是：掌握直角坐标系中曲线与方程的关系。

能根据直线、圆锥曲线的几何特征，选择适当的直角坐标系，建立直线方程和圆锥曲线方程；能通过直线方程、圆锥曲线方程讨论它们的性质。

一般地，能根据问题的几何特征，选择适当的坐标系建立曲线方程，并能通过方程研究曲线的性质。

能利用坐标变换化简曲线方程。

了解一些重要曲线的极坐标方程和参数方程。

更高层次地看，由于解析几何是运用辩证法思想分析和解决问题的典范，因此教学中应利用这一特点，培养学生用运动、变化和对立统一等观点分析和解决问题，领会辩证法思想。

3．解析几何的课程结构图（1）总体结构（2）直线与方程（3）圆锥曲线与方程几点说明：第一，数形结合思想和坐标法是统领全局的，曲线与方程的关系（一种充要条件）是讨论各种具体问题的基础，但这些都是“默会知识”，要采取逐步渗透的方法使学生领会和掌握。

在学习直线与方程、圆与方程时，采取默认的方式，先不刻意从“曲线与方程”角度讨论，学生也不会特别提出疑问。

有了一定的基础后，在椭圆、双曲线、抛物线之前讨论“曲线与方程”，还是比较合适的。

第二，斜率概念和过两点的直线的斜率公式是“直线与方程”部分的核心内容，其他大部分内容都可以看成是由此“导出”的内容。

“点到直线的距离公式”由于其联系的广泛性，是“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的好素材，能很好地体现坐标法的综合性。

圆锥曲线中，椭圆具有典型性，其他曲线的讨论可以通过类比椭圆的讨论完成。

第三，直角坐标系内，两点间的距离公式、定比分点公式（中点坐标公式）、倾斜角、斜率、两条直线的交角（平行、垂直）等与直线的方程没有直接关系（不需要根据直线方程来讨论），这些内容的安排可以有一定的灵活性。

从系统性考虑，把交角、平行、垂直等作为性质，在求出直线方程后，用坐标法进行讨论，也是作为“用代数方法研究几何问题”的初步实践，比较合适。

另外，作为应用，在直线与方程的最后安排一定的用坐标法解决平面几何典型问题（如与三角形的外心、重心、垂心有关的问题）的实践，对于学生领会坐标法、提高学习兴趣等都是有好处的。

第四，圆锥曲线与方程是中学解析几何课程的核心内容，也是平面几何没有涉及的，所以应当特别强调确定这些曲线的几何要素的探索。

在明确几何要素的基础上，再利用对称性建立坐标系求标准方程。

圆锥曲线的统一定义表明它们之间的内在联系，是非常重要的。

但是为了分散难点，把表现各类圆锥曲线的“个性定义及其方程”放在直角坐标系下讨论，把“统一定义及其方程”放在极坐标系下讨论。

实际上，在极坐标系中建立统一定义下的圆锥曲线方程更加方便，方程也更加简单、优美。

第五，从解析几何课程的性质出发，由削枝强干的考虑，同时也是课时所限，对于那些需要较多的平面几何知识才能较好解决的问题，在解析几何教学中最好不要涉及。

也就是说，解析几何中的综合，应当以“用坐标法解决几何问题”为主，研究“代数关系的几何意义”为辅。

第六，高中解析几何课程，空间坐标系可以不必涉及。

在用空间向量解决立体几何问题时，再介绍空间直角坐标系就可以了。

这样既体现削枝强干原则，又体现学以致用的原则。

用到时再适时引入有利于学生的学习兴趣、及时巩固等。

4．解析几何的内容和要求（1）直线与方程①理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；掌握两点间的距离公式。

②根据直角坐标系内确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程点斜式，并能由点斜式推出两点式及一般式；理解斜截式与一次函数的关系。

③能根据直线方程探索并掌握：两条直线平行或垂直的条件；两直线的交点坐标；点到直线的距离公式；两条平行直线间的距离。

④能用直线的方程解决简单的问题。

（2）圆与方程①在平面直角坐标系中，根据确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

②能根据直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（3）曲线与方程结合实例，理解曲线与方程的关系，进一步感受数形结合的基本思想。

（4）圆锥曲线与方程①从具体情境中抽象出确定椭圆、双曲线、抛物线模型的几何要素；掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

②能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系等）和实际问题。

（5）坐标变换①在直角坐标系中，通过具体例子，探索并理解坐标平移公式。

②在直角坐标系中，通过具体例子，了解坐标伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（6）极坐标系①能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，理解极坐标系和平面直角坐标系的区别与联系，能进行极坐标和直角坐标的互化。

②能求简单曲线（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）和圆锥曲线统一定义下的方程。

（7）参数方程①利用直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。

②能求平摆线和渐开线的参数方程。

③能用参数方程解决一些简单问题。

说明：到底应该让学生讨论哪些圆锥曲线的性质，主要应该从是否能较好反映圆锥曲线的重要特点出发。

从标准方程的特点，最容易得到的是范围、顶点、对称性等，而离心率、准线、渐近线、光学性质等最能反映圆锥曲线特点的性质，则很难直接从方程中得到，需要安排专项讨论才能完成。

所以，圆锥曲线性质的讨论可以分为如下三块：在“个性定义”下，讨论范围、顶点、对称性、渐近线等；在“统一定义”下，讨论离心率、准线等；在圆锥曲线的应用中讨论光学性质。

“几何变换的代数表示”与这里讨论的问题联系并不紧密，因此坐标变换的内容如果不与“曲线方程的化简”结合，不能显示其学习的必要性。

所以，是否需要这一内容，或者把它放在函数中去，都是可以研究的。

2011-04-08 人教网我国中学解析几何教材的沿革──“中学数学中的解析几何”之二人民教育出版社中学数学室章建跃上文我们从解析几何的创立和发展的回顾中，讨论了解析几何的思想方法、内容和意义。

本文将在追溯我国中学解析几何课程发展历史的过程中，对解析几何教材的功能定位、结构体系、内容和要求等进行讨论。

1．我国中学解析几何课程历史简述我国中学数学从20世纪初就设有解析几何课程。

涵盖的内容有：德卡儿（即笛卡尔）坐标系、轨迹与方程、直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程、极坐标、坐标变换、切线和法线、一般二元二次方程及其轨迹性状的讨论、高次平面曲线超越平面曲线等，内容比较齐全，安排在高二、高三，每周2—3课时不等。

1932年，为了解决课程多课时少的矛盾，提出“与其教材过多，徒使学生食而不化，不如注意基本训练，养成其自动研究之能力。

故……解析几何仅需讲大意。

”因此课程名称改为《解析几何大意》，在高三学习一年，每周2课时。

到1936年，解析几何的内容大量增加，除平面解析几何外，还增加了不少空间解析几何的内容：空间坐标与轨迹、平面及直线、特殊曲面、空间坐标变换、二次曲面、空间曲线方程式及其性质等，仍在高三学习，周课时数增至4课时。

在1948年，解析几何课程又出现大调整，将空间解析几何删去，只学平面解析几何，并大量减少课时数，在高三开一学期的课，每周3课时。