1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
高二数学苏教版2019选择性必修第一册教案：函数的和、差、积、商的导数
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的应用．教学难点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导．教学过程：一、情景设置1．常见函数的导数公式：2．求下列函数的导数：23x y ＝； x y 2＝； x y 2log ＝．3．由定义求导数的基本步骤．二、学生活动1．探究1：求x x y ＋＝2的导数．2．探究2：已知)()(x g x f ''，，怎样求[]')()(x g x f ＋呢？三、数学建构1．函数的和差积商的导数求导法则：)()(])()([x g x f x g x f '±''±＝；)(])([x f C x Cf ''＝（C 为常数）；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''＋＝；)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''－＝（g (x )≠0）．说明：有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数．四、数学运用例1 求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(2＋＝； （2）2623)(23＋－－＝x x x x g ． 解：（1）x x x x x x x f cos 2)(sin )()sin ()(22＋＝＋＝＋＝''''．（2）633)2623()(223－－＝＋－－＝x x x x x x g ''． 例2 求下列函数的导数：（1）x x x h sin )(＝； （2）x e x x f 2)(＝；（3）tt t S 1)(2＋＝； （4）x x f tan )(＝． 解：（1）x x x x x x x x x x h cos sin )(sin sin )sin ()(＋＝＋＝＝''''．（2）x x x x x e x xe e x e x e x x f 22222)()()()(＋＝＋＝＝''''．（3）222222222112)1()1()1()(tt t t t t t t t t t t t S －＝－－＝＋－＋＝＋＝''''． （4）xx x x x x x x x f 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin (n ta )('''''－＝＝＝ xx x x x x x x x 22222cos 1cos sin cos cos )sin (sin cos cos ＝＋＝－－＝． 五、小结函数的和差积商的导数求导法则：)()(])()([x g x f x g x f '±''±＝；)(])([x f C x Cf ''＝（C 为常数）；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '''＋＝；)()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '''－＝（g (x )≠0）．。
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
2 函数的求导法则
2 x cos x
例5 求 y tan x 的导数 .
解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x
1 cos 2 x sin 2 x sec 2 x cos 2 x cos 2 x
u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) lim lim v ( x x ) u( x ) lim x 0 x 0 x 0 x x
u' ( x)v( x) u( x)v ' ( x)
lim v ( x x ) v ( x ) 是因为 v ' ( x ) 其中， x 0
1 (ar c c ot x ) ; 2 1 x
例9 求反正切函数 y arctan x 的导数。 解 x tan y 时y arctan x 的反函数，而 x tan y 在 I y (
, ) 内单调增加、可导，且 2 2
(tan y)' sec2 y 0
dx
例13 设y ln cos(e x ), 求 dy 解
y ln cos(e x )可以看作由y ln u, u cos , e x复合而成的，因为
dy dy du d 1 ( sin ).e x e x tan(e x ) dx du d dx u
n i 1
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x ) f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i n n
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
高中数学同步教学课件 函数的和差积商求导法则
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cos x， ∴f′(x)＝12x－sin x. 易知 f′(x)＝12x－sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D. 由 f′π6＝1π2－12<0，排除 C，故选 A.
A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′ ，故错误；
D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x
B.－2exsin x
推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点：
对
于
(logax)′
＝
1 xln
a
，
我
们可
以
先
换
底
再
求
导：
(logax)′
＝
ln ln
ax ′
＝
1 ln a·(ln
x)′＝xln1
高一数学复习考点知识讲解课件45---函数的和、差、积、商的导数
高一数学复习考点知识讲解课件5.2.2函数的和、差、积、商的导数 考点知识1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 导语同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要解决的内容．一、f (x )±g (x )的导数问题令y ＝f (x )＋g (x )，如何求该函数的导数？提示Δy ＝[]f (x ＋Δx )＋g (x ＋Δx )－[]f (x )＋g (x )；Δy Δx ＝[]f (x ＋Δx )＋g (x ＋Δx )－[]f (x )＋g (x )Δx＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＋g (x ＋Δx )－g (x )Δx， y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＋g (x ＋Δx )－g (x )Δx ＝f ′(x )＋g ′(x )．所以有[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )．两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．注意点：推广[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f n′(x)．例1求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cos x；(2)y＝lg x－e x.解(1)y′＝()x5′－()x3′＋()cos x′＝5x4－3x2－sin x.(2)y′＝(lg x－e x)′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.反思感悟两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)＝15x5＋43x3；(2)g(x)＝lg x－e x.解(1)∵f(x)＝15x5＋43x3，∴f′(x)＝x4＋4x2.(2)∵g(x)＝lg x－e x，∴g′(x)＝1x ln10－e x.二、f(x)g(x)和f(x)g(x)的导数1．(f (x )·g (x ))′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，(Cf (x ))′＝Cf ′(x )(C 为常数)．2.⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． 注意点：注意两个函数的乘积和商的导数的结构形式．例2求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2；(3)y ＝e x x ；(4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解(1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.反思感悟(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y＝2x3－3x＋x＋1x x；(2)y＝x2＋1 x2＋3；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．解(1)∵3131222 23y x x x x---=-++，∴135222233322y x x x x---'+--＝.(2)方法一y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. 方法二∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. (3)方法一y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5)＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23.三、导数四则运算法则的应用例3(1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是()A.2B.22C ．1D ．2答案B解析设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴k ＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22.(2)设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．解f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋b x ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎨⎧ a e ＋b ＝e ，a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0. 反思感悟(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式．(2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x ，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案1,1解析f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎨⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. (2)曲线y ＝f (x )＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．答案1解析由题意可知，f ′(x )＝2e x ·e x ，f ′(1)＝2，∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(3)导数四则运算法则的应用．2．方法归纳：公式法、转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．函数y＝x(x2＋1)的导数是()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x答案C解析∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.193B.163C.133D.103答案D解析∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a ＝103.3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案A解析因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案y ＝x解析∵f (x )＝e x ·sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .课时对点练1．(多选)下列运算中正确的是()A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2 D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案AD解析A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为()A.π6B.3π4C.π4D.π3答案B解析因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4.3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于()A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln2答案B解析∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案B解析∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为()A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)答案C解析f (x )的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x>0，解得x >2，所以f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．6．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是()A ．aB ．0C ．－aD ．a 2答案AC解析y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .7．已知函数f (x )＝x 3－mx ＋3，若f ′(1)＝0，则m ＝_________________________________. 答案3解析因为f ′(x )＝3x 2－m ，所以f ′(1)＝3－m ＝0，所以m ＝3.8．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 答案1解析∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln x ＋1x； (2)y ＝cos x e x ；(3)f (x )＝(x 2＋9)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x ； (4)f (x )＝sin x x n .解(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝()ln x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝()cos x ′e x －cos x ()e x′()e x 2＝－sin x ＋cos x e x . (3)f (x )＝x 3＋6x －27x ，f ′(x )＝3x 2＋27x 2＋6.(4)f′(x)＝(sin x)′x n－sin x·(x n)′(x n)2＝x n cos x－nx n－1sin xx2n＝x cos x－n sin xx n＋1.10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝e x sin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．解(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝e x sin x＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝e x sin x＋e x cos x＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.11．已知曲线f(x)＝x2＋ax＋1在点(1，f(1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a等于()A．1B．－1C．7D．－7 答案C解析∵f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)(x＋1)2＝x2＋2x－a(x＋1)2，又f′(1)＝tan3π4＝－1，∴a＝7.12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于()A.12B．1C．－32D．－1答案C解析因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·1x，所以f′(1)＝1＋a.又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－12，所以a＝－32.13．如图，有一个图象是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于()A.13B ．－13C.73D ．－13或53答案B解析f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f (x )的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，即f ′(0)＝a 2－1＝0，得a 2＝1，又由图(3)得对称轴为－2a 2＝－a >0，则a <0，解得a ＝－1.故f (x )＝13x 3－x 2＋1，所以f (－1)＝－13.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－4x ，x <0，－1x －ln x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．答案14或－4解析f ′(x )＝⎩⎨⎧ x 2－4，x <0，1x 2－1x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则⎩⎨⎧ 0<a <1，1a 2－1a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－4＝12，解得a ＝14或a ＝－4.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________.答案4096解析因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ， 所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212＝4096.16．已知函数f (x )＝ax x 2＋b ，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解(1)由题意得f ′(x )＝(ax )′(x 2＋b )－ax (x 2＋b )′(x 2＋b )2＝a (x 2＋b )－2ax 2(x 2＋b )2＝－ax 2＋ab (x 2＋b )2，因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝－a ＋ab(1＋b )2＝0，f (1)＝a 1＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，则f (x )＝4x x 2＋1. (2)由(1)可得，f ′(x )＝－4x 2＋4(x 2＋1)2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20(x 20＋1)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 20＋1)2－1x 20＋1， 令t ＝1x 20＋1，则t ∈(0,1]， 所以k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12， 则在对称轴t ＝14处取到最小值－12，在t ＝1处取到最大值4，所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.。
函数的和、差、积、商的求导法则
i 1
f1( x) f2( x) fn( x)
nn
fi( x) fk ( x); i1k 1 ki
有限项
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例题分析
【例1】 求 y x3 2x2 sin x ln 2 的导数 .
【解】 y 3x 2 4x cos x.
［注意］ (ln 2)
【例3】 求 y tan x 的导数 .
【解】 即
y (tan x) (sin x ) cos x
(sin
x)
cos x cos 2
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
(tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
【例5】 求 y sh x 的导数 .
【解】 y (sh x) [1 (e x ex )] 1 (e x ex ) ch x.
2
2
同理可得 (ch x) sh x
(th
x)
1 ch2
x
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【例6】
设
f (x)
x, ln(1
x),
x0 ,
求f ( x).
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(arccot
x)
1
1 x2
.
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【例8】 求函数 y loga x 的导数.
【解】 x a y在I y (,)内单调、可导 ,
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
二节基本的导数公式与运算法则-精选
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1 .
x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单
位：年）有函数关系 pt p0 1 5%t ，其
中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx cos x,则f ' x sin x; 5. 若 fx ax,则f ' x ax lna;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若fx loga x,则f ' x
1 ;
x ln a
8.
若fx ln x,则f 'x
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做 y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
yx′= yu′ ux′.
即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t
乘积得到导数.下面的“导数运算法则”
可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑
除的求导问题.
根据导数的定义，可以推出可导 函数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差),即
基本初等函数的导数公式及导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则(二)
内容标准 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程， 能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
1
课前预习
》
知识点 导数运算法则
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝___f′_(x_)_±__g_′_(_x_)__ 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数
18
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课堂反馈
@《创新设计》
课堂小结 求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商，再 利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特 征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算 法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
@《创新设计》
10
课前预习
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课堂反馈
@《创新设计》
规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一 条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不 要失解.
11
课前预习
课堂互动
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@《创新设计》
【训练 2】 若函数 f(x)＝exx在 x＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求 c 的值. 解 因为 f(x)＝exx，所以 f(c)＝ecc， 又因为 f′(x)＝ex·xx－2 ex＝ex（xx－2 1）， 所以 f′(c)＝ec（cc－2 1）. 依题意，知 f(c)＋f′(c)＝0，所以ecc＋ec（cc－2 1）＝0， 所以 2c－1＝0，解得 c＝12.
第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标] 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g (x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？答案 (1)g ′(x )＝cf ′(x ).(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)必可导.若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x)＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导.(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？ 答案 y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x .题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x 2. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′ ＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′ ＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1xsin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x--⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x . (4)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x . 反思与感悟 在对较复杂函数求导时，应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形，如：把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂等，化简后再求导，这样可以减少计算量.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin xcos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 xcos 2 x＝sin x cos x ＋xcos 2 x .(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x； (3)y ＝11－2x2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2. 解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x. (3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u --·(－4x )＝3221(12)2x --- (－4x ) ＝3222(12)x x --.(4)令y ＝u v ，u ＝2x 2－3，v ＝1＋x 2， 令v ＝w ，w ＝1＋x 2.v ′x ＝v ′w ·w ′x ＝(w )′(1＋x 2)′＝12122x -⋅w＝2x21＋x 2＝x 1＋x 2，∴y ′＝(u v )′＝u ′v ＋u v ′＝(2x 2－3)′·1＋x 2＋(2x 2－3)·x 1＋x 2 ＝4x 1＋x 2＋2x 3－3x1＋x 2＝6x 3＋x 1＋x 2.反思与感悟 求复合函数的导数的步骤跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝1(1－3x )4； (3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5. (3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′ ＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. 题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.反思与感悟 涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多. 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e a a 2.由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.错解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )＝n sin n －1x ·cos nx －sin n x sin nx .错因分析 在第二步中，忽略了对中间变量sin x 和nx 进行求导.正解 y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x ·(sin x )′·cos nx ＋sin n x ·(－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x ·cos x ·cos nx －sin n x ·(sin nx )·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1 x cos [(n ＋1)x ].防范措施 在求解复合函数的导数时，不能机械地套用公式，应理清层次，逐层正确使用求导法则求解.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 2.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －x D.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ＝11x＋1，得f (x )＝1x ＋1， 从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D. 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ).∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8.5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式，对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1.曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.1答案 C 解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.2.当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( ) A.aB.±aC.－aD.a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.2B.12C.－12D.－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A.2B.－2C.94D.－94答案 D解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x. 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，即2f ′(2)＝－92，∴f ′(2)＝－94，故选D. 5.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2) C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1， ∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32， ∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(xx ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u-，u ＝1－2x 的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x. (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3). (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程.解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
函数的求导法则
类似可得 ( c s c x ) c s c x c o t x
§2.2
函数的求导法则
s i n x c o sx ) 例5 求 f(x 在x 处的导数. s i n x c o sx 4 s i nc x o s x 2 c o s x 解 f ( x ) 1 s i nc x o s x s i nc x o s x o sx c f(x ) 2 s i n x c o s x ( c o s x ) ( s i nc x o s x )c o s x ( s i nc x o s x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) s i n x ( s i nc x o s x )c o s x ( c o s x s i n x ) 2 2 ( s i nc x o s x ) 2 f ( ) 1. x 2 代入得 将 (sinx cos x) 4 4
推论
( 1 )[ C u () x ] Cu( x) ( C为常数 )
( 2 ) ( u u u ) u u u u u u u u u 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 ln x ( 3 )( l o g x ) a l n a x ln a .
u x ) v ( x ) ] 证 [( [( u x h ) v ( x h ) ] [( u x ) v ( x ) ] l i m h 0 h [ u ( x hu ) () x ][ v ( x hv ) () x ] l i m h 0 h h u ( x h ) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) l i m l i m h 0 h 0 h h u () x vx () .
2.2导数的运算法则
注
x 1 2 1 法二 y x 1 x 1 2 1 2 y (1) ( ) 2 2 x 1 (1 x ) ( x 1) 2
在进行求导运算中, 尽量先化简再求导, 这样使求导过程简单, 且也能提高结果的准 确性.
8
函数的求导法则
二、复合函数的求导法则
例 求 y x 3 2 x 2 sin x 的导数 . 解
y 3 x 2 4 x cos x.
4
函数的求导法则
例 求 y tan x 的导数 .
sin x 解 y (tan x ) cos x
uv uv u 2 v v
9
函数的求导法则
推广 设 y f (u), u (v ), v ( x ),
则复合函数y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv × × . dx du dv dx 例 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y lnu, u sin x .
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函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 并且
如果函数u( x ), v( x )在点 x处可导,
在点 x处也可导,
则它们的和、差、积、商
(1) [ u( x ) v( x )] u( x ) v( x ); , R.
即 (sec x ) sec x tan x 同理可得 (csc x ) csc x cot x
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函数的求导法则
x 1 求 y 的导数 . x 1
v ( x ) 1 2 v( x ) v ( x)
高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数2111数学
探究 活动 (tànjiū)
第五页，共二十一页。
思考
(sīkǎo)
已知f (x)，g(x)，怎样求
f (x)g(x)呢？
猜想
(cāixiǎng)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
第六页，共二十一页。
证明(zhèngmíng)
f (x) g (x) f (x) g(x).
第二十页，共二十一页。
内容(nèiróng)总结
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。（1）C ＝0（C为常数
(chángshù)）。（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）。（3）(ax) ＝αxlna（a＞0，且a≠1）。（4）
No (logax) ＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）。2．求下列函数的导数．。法则3
问题3 已知f (x) f ( ) sin x cos x，
2
求f
(
).
4
第十八页，共二十一页。
回顾(huígù) 小结 函数(hánshù)的和差积商的导数求导法则．
第十九页，共二十一页。
课外作业
1.课本(kèběn)习题
2.补充：已知点P(1， 1)，点Q(2， 4) 是曲线yx2上两点，求与直线PQ 平行的曲线yx2的切线方程.
练习
(liànxí)
课本(kèběn)P22练习1～5．
小结(xiǎojié)：函数的四则运算的求导法则．
第十五页，共二十一页。
拓展(tuò zhǎn) 研究
问题 1 (wèntí)
求下列函数的导数：
(1) y x 1； x 1
(2) y sin 4 x cos4 x ；
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
(完整版)函数的和差积商的导数
问题：请猜想积的导数的形式.
已知 u(x) 和 v(x) 为可导函数，若函数 y= u(x) ·v(x) ，它的导数是什么？
2、积的导数：
若 y = u(x) ·v(x)，则 y 是 x 的可导函数， 则
2xsinx+x2cosx -9x2+12x 12x3 -27x2+12x
例1、y x sin x，求y '.
练习：
求下列函数的导数：
1、y = 2x3 + 3x2 - 5x + 4； 2、y =(5 - 4x3 )(1+ x)； 3、y =(1- 2x)(1+ sinx).
若u(x)、v(x)是可导函数，v(x) 0, 则 u(x) 的导数是什么？如何推导？
v(x)
如：y = 3x2 ,怎样求y'？ (2 - x)
3、若商的y导数u：(x) ，u(x)、v(x)可导且v(x) 0， v(x)
则y是x的可导函数，且
y
'
u(x) v(x)
u
'(x)v(x) u(x)v v2 ( x)
'( x)
特别地，当 u(x) c（c为常数）时，
y (u(x) v(x)) u(x) v(x)
注意： 1)导数的加减法则可以推广到有限个函数:
若u1(x)、 u2(x)、… un(x)为可导函数， 则[u1(x)± u2(x)± …±un(x)]’= u1’(x) ± u2’(x) ± …±un’(x)
(1)若y x3 sin x ,则y
导数的计算法则
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
函数求导的基本步骤：
1，分析函数的结构和特征 2，选择恰当的求导法则和导数公式 3，整理得到结果
已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且 在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式. 解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0), ∴a=-8. ∴f(x)=2x3-8x. ∴f(x)=6x2-8. ∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
证 明 ： y f () x g () x
f ( x x ) f ( xg ) ( x x ) g ( x )
f g y f g x x x
'
y f g f g l i m l i m l i m l i m x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x
∴4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16,
∴b=4. ∴c=-16. ∴g(x)=4x2-16. 综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.
例.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程. 解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). ,y 2 x ,则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 对于S 1 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
f (x )g(x )
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1. 2.2 函数的和、差、积、商的导数
江苏省泰兴中学 吴卫东 邵艳 郭红梅 潘翠萍
教学目标：
1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；
2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；
3．能够综合运用各种法则求函数的导数．
教学重点：
函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
（1）常见函数的导数公式：（默写）
（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝．
（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．
2．探究活动．
例1 求2y x x ＝＋的导数．
思考 已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？
二、建构数学
函数的和差积商的导数求导法则：
三、数学运用
例2 求下列函数的导数：
（1）2()sin f x x x ＝＋； （2）323()622
g x x x x ＝－－＋． 例3 求下列函数的导数：
（1）()sin h x x x ＝； （2）()2ln f x x x ＝；
（3）用两种方法求2(23)(32)y x x ＝＋－的导数．
例4 求下列函数的导数：
（1）21()t S t t
＋＝； （2）tan y x ＝； （3）y
； （4）e x x y ＝． 练习 课本P22练习1～5题．
点评 正确运用函数的四则运算的求导法则．
四、拓展探究
问题1 求下列函数的导数：
（1）11x y x －＝＋； （2）44sin cos 44
x x y ＝＋； （3）
y （4）sin ln y x x x ⋅⋅＝． 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．
问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋
＋＋(4)x ＋，求(0)f '． 问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4
f ＝ ． 五、回顾小结
函数的和差积商的导数求导法则．
六、课外作业
1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．
2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线
PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．。