第七届校赛数学类试题及解答

丽水学院
第七届高等数学（微积分）竞赛试卷
（数学类） 时间：2013年3月23日，8:30—11:00 学院： 班级： 姓名：
一、计算题(本大题共5小题，每小题14分，共70分)
1. 求极限（1）
4
1
sin 2
lim
x e
x x x x -+-→
（2）n
n n ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++∞
→4273 lim 解： （1）4
1
sin 2
lim
x e x x x x -+
-→
=3222344
()()(1())1
3!1!2!lim x x x x x x o x o x x →⎡⎤--++-++-⎢⎥⎣⎦
=
4
44
()
133
lim
x x o x x →+= （2）ln lim lim n
n n n e ⎝⎭
→+∞
→+∞
=⎝
⎭ 327ln 40
lim x
x
x e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
→==327ln 40
lim x x x e
⎛⎫
+
⎪ ⎪⎝⎭→
而()327ln 4ln 271
274ln 27lim lim
43274
x x x
x
x x ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭→→=⋅⋅=+
所以1
4
lim 27n
n →+∞=⎝⎭
. . 计算积分（1）
222
2
2
c o s s i n
dt
a t b
t π
+⎰
（2）设(,)f x y 是2
上的连续函数，试交换累次积分21
1
1
(,)x x x
dx
f x y dy +-+⎰
⎰
的积分
顺序。

解：（1）
222
22
c o s s i n
dt
a t b
t π
+⎰
=22222220
0tan tan 4
4tan x t d t dx a b t a b x
π
+∞==++⎰
⎰
200442arctan 1bx
d
b a x ab ab a ab bx a π+∞
+∞===⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰ （2
）211
1
10
2
22110
1
4
1
2(,)(,)(,)x y x x
dx
f x y dy dy f x y dx dy f x y dx +------+=+⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
3.
由2
ln 1ln x x
x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭
知，ln x x 在(,)e +∞中严格递减。

,e >
故>
4. 设,y u f xy x ⎛
⎫= ⎪⎝⎭
，求：22u x ∂∂，2u x y ∂∂∂.
解：
212f y u
f y x x
'⋅∂'=⋅-∂ 22222
211
122122232242f y u y y y f y f f f x x x x x '⎛⎫⎛⎫⋅∂''''''''=⋅+-⋅--⋅+⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ 2211112212223f u y y y f yx f f f f x y x x x x '∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅-+-⋅+⋅-⋅ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
5. 证明：1(1,1)n
n x n
∞
=-∑在上不一致收敛。

证：记1()k
n k n x R x k
∞
=+=∑
则12(1,1)
111(1)(1)(1)1sup ()(1)12n n n n
n n x n n n R x R n n n n n +++∈----≥-≥++++++ 221
(1)1()22n
n n n n e -≥→→∞
因此1(1,1)n
n x n
∞
=-∑在上不一致收敛
二、（满分20分）
设()f x 在有限区间[,]a b 上有定义，且对任意的[,],lim ()t x
x a b f t →∈都存在，证
明：对任意的0,ε>区间[,]a b 中使得lim ()()t x
f t f x ε→->的点至多只有有限个。

证明：反证法，假设存在0,ε>在[,]a b 中有一列{}n x 使lim ()().n
n t x
f t f x ε→->
由于{}n x 有界故有收敛子列，不妨设为{}
[]0,lim ,.k k n n k x x x a b →∞
=∈
又由0
lim ()t x f t →存在知，对上述0,ε>存在0,δ>使0,(,),o
t t x δ'∈ 有
()().4
f t f t ε
'-< 从而存在正整数,K 当,k K >有0(,).k o
n x x δ∈ 固定某个
0,k K >由0
lim ()n k
t x f t →存在，故存在0
00(,)(),k o o
n t x x δ∈⋂ 使
0lim ()().4n k t x f t f t ε
→-< 所以 000
00lim ()()lim ()()()().4
4
k k n n k
k n n t x t x
f t f x f t f t f t f x ε
ε
ε→→-≤-+-<+
<
矛盾。

因此结论成立。

三、（满分20分）
设()f x 在(0,1)内可导，[0,1]上连续，且对任意x 有()0f x '>，又(0
)0.f = 证：
存在,(0,1),1,ξηξη∈+=有
()()
.()()
f f f f ξηξη''= 证明：构造函数()()(1)F x f x f x =-，[0,1].x ∈ 显然()F x 在(0,1)内可导，
[0,1]上连续，且(0)(1)0.F F == 由微分中值定理知，存在(0,1),ξ∈使 ()()(1)()(1)0F f f f f ξξξξξ'''=---=. 令1(0,1)ηξ=-∈，结合()0
f x '>从而()f x 在[0,1]单调增，有()0f x >，得
()()
.()()
f f f f ξηξη''= 四、（满分20分）
证明：
2
sin x dx +∞
⎰条件收敛。

证明：
2
2
sin (0)t x
x dx +∞+∞
==⎰⎰
不是瑕点
显然0
sin 0lim u
t tdt ≤+∞⎰，）上单调减，且
所以
+∞
⎰
收敛。

又因为20
00011 - 44dt dt +∞
+∞+∞
≥=⎰
⎰⎰⎰
而0
1
4
+∞
⎰
发散，
1 4+∞
⎰
类似前面可证收敛。

因此0
dt ⎰
发散。

从而 2
sin x dx +∞
⎰条件收敛。

五、（满分20分）
从调和级数111
123n
+
++++ 中去掉所有在分母的十进制表示中含数码8的项（如：111
,,828801
等），判断由此所得余下的级数的收敛性，并证明你的结论。

{}11()0()01109(),1010()998911
891011111
18980
2310
k k k k k k k k
k a A k k k k a A k k A k n n n A k a
n a ++∈∞∞=∈==-=⋅<⋅⋅+++++=<⋅⋅=∑∑∑∑ 解：因为中共有个数不含8记不含8且在与之间，中的数共有个数
而所以。