函数复习题(一)

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一次函数经典复习题

一次函数经典复习题

函数复习题(一)1. 已知一次函数的图象经过点(1,-1)和点(-1,2)。

求这个函数的解析式。

2 一条直线过点A(0,3),B(2,0),求直线的解析式3 已知一次函数y=kx+b中,当x=1时,y=3,当x=-1时,y=7。

求这个函数的解析式。

且求当x=3时,y的值。

4 一次函数的图象经过点(2,1)和(1,5),求出它的解析式5 已知直线y=kx+b经过(9,0)和点(24,20),求这个函数的解析式6 已知直线y=kx+b经过点A(2,5)、(-3,0)。

求这个函数的解析式7 已知一次函数y=kx+b,当x=0时,y=1;当x=1时,y=-1。

求这个函数的解析式8 已知一次函数的图像过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式9 某个一次函数的图象分别过点(3,5)和(-4,-9),求这个一次函数的解析式10 已知一次函数y=kx+b ,图像经过点A(2,4),B(0,2)两点,且与x 轴交于点C 。

(1).求这个函数的解析式。

(2).求三角形AOC 的面积11 已知直线L 的图象,能否求出它的解析式?12 如图所示,直线l 是一次函数的图象. (1) 求这个函数的解析式; (2) 当x =4时,y 的值为多少?13 如图,在平面直角坐标系中,已知长方形OABC 的两个顶点坐标为A (3,0),B (3,2),对角线AC 所在的直线为l ,求直线l 的解析式.14 已知一次函数的图象如图所示,求出它的函数关系15 若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上,求m的值16 若点A(6,-1)、B(1,4)、C(2,m)在一条直线上,则m的值为17 已知点(3,5)、(m,9)、(-4,-9)在同一直线上,(1)求经过以上三点的直线解析式(2)求m的值18 已知一次函数 y=kx+2,当x=5时,y的值为4,求k的值。

19 一次函数y=k x+b的图象过点(1,-1),且与直线y=—2x+5平行,则此一次函数的解析式20 一个一次函数平行于y=2x,且过点(1,5),求其解析式。

第二章 函数复习题 (一)

第二章  函数复习题 (一)

1.函数的定义域为R,则实数m的取值范围是2.已知函数f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2﹣4x,则当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=.3.若函数的定义域为A,则函数y=4x﹣2x+1(x∈A)的值域为.4.已知定义在R上的函数f(x)=a x﹣a﹣x+3(a>0,a≠1),若f(m)=5,则f(﹣m)=.5.已知函数f(x)的定义域为[﹣1,1],则函数f(x﹣1)的定义域是.6.函数的定义域是.7.函数f(x)=1﹣x﹣(x>0)的值域为.8.已知函数f(x)=,若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是:若f(x)的值域为[0,+∞).则实数a的取值范围是.9.已知f(2x+1)的定义域为[1,3],则f(x)的定义域为:;f(3﹣2x)的定义域为:.10.已知函数f(x)的定义域为[﹣2,2],则函数f(x+3)﹣f()的定义域为.11.若一次函数f(x)满足f(f(x))=x+4,则f(﹣1)=.12.若函数f(2x+1)=x2﹣2x,则f(3)=,f(x)=.13.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时f(x)=x2+2x﹣3,则f(x)的解析式为.14.已知f(x)=2x2+1,则f(2x+1)=.15.定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1﹣x),且x≥1时,f(x)=+1,则f (x)的解析式为.16.已知函数f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)﹣f(x)=x﹣1,则函数f(x)=.17.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+)=x2+,则f(x)的表达式为.18.函数y=f(x)的值域是[﹣1,1],则函数y=2f(x+1)的值域为19.函数的定义域为.20.若函数f(x)的定义域是[0,1],则函数的定义域为:.21.已知定义在R上的偶函数f(x)满足:,当x∈(0,2]时,f(x)=2x,则f(2019)=.22.设f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(1﹣x)=f(x),则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.23.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()+…f(2012)+f()=.24.已知函数f(x)=|x2﹣2x|在[0,m]上值域为[0,m],则实数m的值为.25.函数的值域是.26.函数的值域是.27.函数y=的值域是.28.函数y=(x≤0)的值域是.29.函数y=的值域为.30.当x∈[﹣1,1]时.函数f(x)=3x﹣1﹣2的值域为.31.已知f(x﹣1)=2x+3,且f(m)=6,则m=.32.已知函数f(x)为一次函数,且f(2)=﹣1,若f[f(x)]=4x﹣3,则函数f(x)的解析式为.33.已知,则函数f(x)的解析式为.34.已知,则f(x)=35.若函数f(x﹣2)=x2﹣x+1,则f(2x+1)=36.已知函数f(x)满足,则f(x)的解析式为37.已知函数f(x)是二次函数,且满足f(2x+1)+f(2x﹣1)=16x2﹣4x+6,则f(x)=.38.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,有f(x)=,则f(x)在R上的解析式为f(x)=.39.已知f(2x+1)=4x2+6x+5,则f(x)=.40.已知f(1﹣2x)=,那么f(x)等于.。

高等数学复习题(含答案)

高等数学复习题(含答案)

高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 (一)函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ,(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义,必须满足两种情况,偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正,可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知,要使函数有定义,必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负;反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此,所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(,求)(tan x f 的定义域. 解:令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈(k π, k π+4π), k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈(k π, k π+4π), k ∈Z .3.设)(x f =x-11,求)]([x f f ,{})]([x f f f .解:)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限:(1)123lim 21-+-→x x x x , (2)652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解:原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.(抓大头)= 1-.(恒等变换之后“能代就代”)(3)x x x -+-→222lim 2, (4)330sin tan lim xx x →, 解:原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解:0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. (恒等变换之后“能代就代”) ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.(等价)(5))100sin (lim +∞→x x x , (6) 2121lim()11x x x→--- ,解:原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解: 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 (无穷小的性质) 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++.(7)215lim+-+∞→x x x .解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x .(抓大头) (8)11lim 21-+→x x x .解:因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ,求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决.因为011lim 21=+-→x x x ,所以当1→x 时,112+-x x 是无穷小量,因而它的倒数是无穷大量,即 ∞=-+→11lim21x x x . (9)limx解:不能直接运用极限运算法则,因为当x →+∞时分子,极限不存在,但sin x 是有界函数,即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ,因此当+∞→x 时,31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理,即得lim0x =.(10)203cos cos limxxx x -→ . 解:分子先用和差化积公式变形,然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x .(也可用洛必达法则) (11)xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-,解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=. (12)30tan sin limx x xx→-. 解 :x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ 20sin (1cos )1lim cos x x x x x x →-=⋅⋅ =222sin 2limx xx →=21 ( 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ) .(等价替换) 5.求下列极限(1)201cot limx x x x -→ (2))e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x (3))]1ln(11[lim 20x xx x +-→(4))ln (lim 0x x n x ⋅+→ (5) xxx cos 1lim++∞→解 :(1)由于0→x 时,1tan cot →=x x x x ,故原极限为0型,用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ (分母等价无穷小代换)20cos sin cos lim3x x x x xx →--= 01sin lim 3x x x→-=31-=. (2) 此极限为∞∞,可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xx x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . (3) 所求极限为∞-∞型 ,不能直接用洛必达法则,通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .(4)所求极限为∞⋅0型,得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ (∞∞型) =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx (5)此极限为∞∞型,用洛必达法则,得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在,因此洛必达法则失效! 但 101cos 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x x xx x x x x x x .6.求下列函数的极限:(1)42lim 22--→x x x , (2)()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时,)(x f 在0=x 的极限存在. 解: (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限,所以极限不存在.(2)由于函数在分段点0=x 处,两边的表达式不同,因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限.于是,有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→0000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ,1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ,为使)(lim 0x f x →存在,必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→,因此 ,当a =1 时, )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1.7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x , 在点0=x 处的连续性.解:由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同,因此,一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限. 因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x , 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ,由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续.8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点,并判断其类型:解:由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义,故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim)(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点. 综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.(二)一元函数微分学1.判断:(1)若曲线y =)(x f 处处有切线,则y =)(x f 必处处可导. 答:命题错误. 如:x y 22=处处有切线,但在0=x 处不可导. (2)若A ax a f x f ax =--→)()(lim(A 为常数),试判断下列命题是否正确. ①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答:命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ,)(x g 在点0x 处都不可导,则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答:命题不成立.如:)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ,)(x g 在x = 0 处均不可导,但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.(4)若)(x f 在点0x 处可导,)(x g 在点0x 处不可导,则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答:命题成立.原因:若)(x f +)(x g 在0x 处可导,由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导,矛盾.(5))('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答:命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导,且结果为0. (6)设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义,且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆,其中b a ,为常数,下列命题哪个正确?①()x f 在点0x 处可导,且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微,且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 ( ||x ∆很小时). 答:①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =,利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解:xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=,,xx x f 1ln )(0<≥x x ,的导数.解: 当0>x 时,xx f +='11)( , 当0<x 时,1)(='x f ,当0=x 时,xf x f x f x f f x x )0()(lim0)0()(lim )0(00-=--='→→, 所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x , 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ,因此 1)0(='f ,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=,求dxdy解:)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解:两端对x 求导,得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ,222222222221yx y y x yx y y x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+,整理得 x y y x y -='+)( ,故 xy xy y +-=', 上式两端再对x 求导,得22)()())(1())(1(x y x y y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y yy x +-',将 xy xy y +-='代入上式,得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解:两边取对数:y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导:]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=,求)('x f .解:令xx y e =, 两边取对数得:x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得:xx y y x xe ln e '1+⋅=⋅)e ln e ('xx y y x x+=即 )e ln e ('e xx x y xxx+=.8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解:xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解:xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', xy e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t =-⎧⎨=⎩,, 求 22d d x y . 解:d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ,22d d d cos d cos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t x x x x t t t x t t''===⋅=+++ 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++.11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点(1,1)处切线的斜率. 解:由题意知:⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t , ∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy,∴曲线在点(1,1)处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分, 有x x xx x x y xx x d ]sec tan 1e e [d )e (d 2tan ln tan ln tan ln ⋅+='= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分,得x x xx x x y tan ln tan ln tan ln e d d e )e(d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x x x +=)tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x x x x x x ⋅+= x xx x x x x d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时,x xe e >.证明:令x x f xe e )(-=,易见()f x 在),(+∞-∞内连续,且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时,e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数,即()(1)0.f x f >=当1>x 时,e e )(-='xx f 0>,可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数, 即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解:函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y , 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知,单调减区间为)3,(-∞,单调增区间为),3(+∞,极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别,此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值, ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值.15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值,最大值与最小值.解:x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4,极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知:)(x f 最大值为200, 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解:函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞,),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时,0<''y , 当∈x ),21(+∞-时,0>''y ,∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解:函数的定义域 ),(+∞-∞,,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+='', 令 ,0=''y 得1±=y , 列表由此可知,上凹区间(1,1)-,下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞,曲线的拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线(1)xxy ln = ,(2)1222-+-=x x x y ,(3)()()213--+=x x x y .解 (1)所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ,可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0,可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.(2) 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x , +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x , 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线(在1=x 的两侧()f x 的趋向不同).又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2, []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2, 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.(3)()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为:2,1,0===x x y .19.求解下列各题:(1)设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=, 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量,求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解:边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. (2)设p 为某产品的价格,x 为产品的需求量,且有801.0=+x p , 问p 为何值时,需求弹性大或需求弹性小.解:由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时,需求弹性小.(三)一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中,为何要求0≠k ?答:因为0=k 时,C x x x kf =⎰=⎰d 0d )((任意常数),而不是0. 2. 思考下列问题:(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(,则)(x f 为何? 答:x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ,问)(x f 为何? 答:233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ,则dx x f )('⎰为何?答:C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分:(1))sin d(sin 5x x ⎰, (2)x x d cos 3⎰, (3)⎰+x xx x d )sin (,(4)x xe xd 2⎰, (5)⎰-21d xx x , (6)⎰-41d xx x ,(7)⎰x xx d 2ln , (8)x x d )32(2+⎰, (9)⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, (10)⎰+x x x d arctan )1(12, (11)⎰+22d x x, (12)⎰-24d x x . 解:(1)C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. (2)x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. (3)x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. (4)C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2.(5)C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.(6)C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .(7(8)C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.(9)C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.(10)C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.(11)C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. (12)⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分:(1)⎰++x xd 111,(2)x x d 162-⎰,(3)⎰+232)4(d x x ,(4)⎰-x xx d 122.解:(1) 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. (2)令)2π2π(sin 4<<-=t t x ,则t x cos 4162=-,t t x d cos 4d =, 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形,得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. (2)令)2π2π(tan 2<<-=t t x ,则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形,得24sin xx t +=故C x x x x ++=+⎰223242)4(d .(4) 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是xx2原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21.5.计算下列积分:(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解:(1))2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .(2)⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.(3)x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x x x +-44e 161e 41. (4)5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x 21x -1x t=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并,得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. (5)⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .(6)⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 (1)x xxd e )1(2⎰+ , (2) 3sec d x x ⎰.解:(1) 选 12+=x u ,=v d x e x d , =v xe , x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =, =v d x e x d , 则 x u d d =,=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e .原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e (12C C =), 为了简便起见,所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来,其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .(2)3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”,即再出现了⎰x x d sec 3移至左端,整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C . 7. 利用定积分的估值公式,估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解:先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值,由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小,知 11,102427max min =-=f f , 由定积分的估值公式,得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1,1]上的平均值.解:平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ,则)(x f '=?解:)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 , 求 )(x F '.解:)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+.11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解:此极限是“0”型未定型,由洛必达法则,得x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分(1)⎰-20d |1|x x , (2)⎰-122d ||x x x , (3)⎰π20d |sin |x x .解:(1)⎰-2d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.(2)⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x =1402444x x +--=4+41741=. (3)⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分(1)⎰--2π2π3d cos cos x x x ,(2)⎰--112d 1x x .解:(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 (1)⎰+-4d 11x xx, (2)⎰4π4d tan sec x x x .解:(1)利用换元积分法,注意在换元时必须同时换限.令 x t =,x 2t = ,t t x d 2d = ,当0=x 时,0=t ,当4=x 时,2=t ,于是⎰+-40d 11x x x=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=tt t(2)⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x .15. 计算下列定积分:(1)x x xd e )15(405⎰+, (2)x x d )12ln(e21⎰+,(3)x x x d πcos e 10π⎰, (4)x x x x x d )e 3(133⎰++.解:(1)x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-==0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰x x x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-==-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. (4)x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ ⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算(1)⎰1d arctan x x , (2)x x x d ln 2e e1⎰.解:(1)⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π .(2) 由于在[1,e1]上0ln ≤x ;在[2e ,1]上0ln ≥x ,所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-(412e 1+212e 1)+(4e -414e +41) =21-432e 1+434e .17.判别下列广义积分的敛散性,如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x . 解:(1) 因为积分区间为无穷区间,所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21, 故所给广义积分收敛,且其值为21. (2)⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x发散.(3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解:如图,由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点(1,1).解一 取x 为积分变量,]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0,1],32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然,解法二优于解法一.因此作题时,要先画图,然后根据图形选择适当的积分变量,尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线 22xy =与直线42=-y x . 解:先画图,如图所示,并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ,求出交点为(2,1-),(8,2). 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-,2], 在区间[1-,2]上任取一子区间[y ,y +y d ], 则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = (32324y y y -+)21-=9.解二 取x 为积分变量,x 的变化区间 为[0,8],由图知,若在此区间上任取子区间, 需分成[0,2],[2,8]两部分完成.在区间[0,2]上任取一子区间[x ,x +x d ], 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2,8]上任取一子区间[x ,x +x d ],2)2-y则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2 A =⎰20d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然,解法一优于解法二.因此作题时,要先画图,然后根据图形选择适当的积分变量,尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解:如右图,所求体积⎰+=122d )1(πx x V⎰++=1024d )12(πx x x=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解,并说明是该方程的通解. 证明: xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ,故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关,∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立,即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同(个数均为2)的独立任意常数,故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:(1)22d d y x x y =, (2)21d d x y x y -=, (3)y x x x y )1(d d 2++=,且e )0(=y . 解:(1)分离变量得x x yyd d 22=,(0≠y )x两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.(特别注意,此解不能并入通解)(2)分离变量得21d d xx y y -=,(0≠y )两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =,验证0=y 也是方程的解.(3)分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,(0≠y ) 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=,验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ,得e =C , 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程(1)x b ay y sin '=+(其中b a ,为常数), (2)21d d y x x y +=. 解:(1)因a x P =)(, x b x Q sin )(=, 故通解为⎰⎰⋅+⎰=-]d e sin [e d d x x b C y xa x a⎰⋅+=-)d e sin (e x x b C ax ax )]cos sin (e 1[e 2x x a a bC ax ax -++=-.(2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程,其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为:⎰⋅⎰⋅+⎰=---]d e [e d )1(2d )1(y y C x yy⎰-⋅+=]d e [e 2y y C y y)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解,要熟练掌握常数变易法! 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解:这是可以分离变量的微分方程,将方程分离变量,有x x y y y d 11d 12-=-,两边积分,得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11,求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-,1222)1ln(1ln C x y +-=-, 1222e )1(1C x y -=-,222)1(e 11-±=-x y C ,记 0e12≠=±C C ,得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时,1±=y ,它们也是原方程的解,因此,式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数,所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y (C 为任意常数). 代入初始条件 20==x y得 3=C ,所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程(1)xy yy +=',(2) x xy y x cos e 22=-'的通解.(1)解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ,令 x yu =, 则 1d d +=+u u x u x u ,即 x x u u u d d 12-=+ ,两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2, 积分得C x u u ln ln ln 1-=-,将xy u =代入原方程,整理得原方程的通解为 yx C y e = (C 为任意常数).解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程,用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ,得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解,代入原方程,化简得 1)(='y y C ,1ln)(C yy C =, 所以原方程的通解为 1ln C y y x=,即yx C ye = (C 为任意常数).(2)解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量,得xy xy2d d =,x x y y d 2d =, 两边积分,得x x y y ⎰⎰=d 2d ,C x y +=2ln , )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=,2e x C y =,用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程,得 x x C x x cos e e )(22=',x x C cos )(=',C x x x x C +==⎰sin d cos )(,故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += (C 为任意常数). 解二 这里x x P 2)(-=,x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d e cos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +(C 为任意常数).6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解:方程中不显含未知函数y ,令P y =',x P y d d ='',代入原方程,得 1d d 23=+P x xP x ,311d d xP x x P =+,这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程,代入常数变易法的通解公式,所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-) =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-)=13d 1(1C x x x x +⋅⎰)=11(1C x x +-)=x C x 121+-, 由此x y d d =x Cx121+-,⎰+-=x x C x y d )1(12=21ln 1C x C x ++, 因此,原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ (21,C C 为任意常数). 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ,11-='=x y 的特解.解:方程不显含x ,令 P y =',yP Py d d ='',则方程可化为 )1(d d 22-=y y P P P , 当 0≠P 时y y P P d 12d -=,于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y,11-='=x y ,知12-='=y y 代入上式,得 11-=C ,从而得到x y yd )1(d 2-=-,积分得 211C x y +=-,再由21==x y ,求得 02=C ,于是当0≠P 时,原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11, 当0=P 时,得C y =(常数),显然这个解也满足方程,这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11,即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解:方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量,得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解:(1)0'2''=+-y y y , (2)08'=+y y .。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练:函数的值域(一)(含解析)

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练:函数的值域(一)(含解析)

《函数的值域》(一)主要考查内容:主要涉及简单函数求值域问题一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数[]22,0,3y x x x =-∈的值域为( ) A .[]0,3 B .[]1,3C .[]1,0-D .[]1,3-2.函数()f x =的值域是( )A .(,2]-∞B .(0,)+∞C .[2,)+∞D.3.函数y = )A .RB .[0,)+∞C .3(,]2-∞D .30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.函数()11(1)f x x x =--的值域为( )A .4(0,]5B .5(0,]4C .3(0,]4D .4(0,]35.函数13y = )A .(],3-∞B .(]0,1C .(]0,3D .(]1,3 6.函数y 121x =-的值域是( ) A .(),1-∞ B .()(),00,-∞⋃+∞ C .()1,-+∞D .()(),10,-∞-⋃+∞7.函数y = ) A .[0,)+∞ B .[0,4] C .[0,4) D .(0,4)8.函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为( )A .(]0,16B .[)16,+∞ C .10,16⎛⎤⎥⎝⎦D .1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9.函数y x =的值域为( ).A .2⎡⎤-⎣⎦B .[]0,4C .0,2⎡+⎣D .2⎡-+⎣10.函数y x = ) A .(-∞,1] B .(-∞,-1]C .RD .[1,+∞11.函数()3452xf x x-+=-的值域是( )A .()(),22,-∞+∞B .()(),22,-∞--+∞C .55,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .R12.函数y =的值域为( )A .[B .C .(-∞D .[)+∞二.填空题13.函数2y x =+的值域为__.14.函数y x =的值域是___________________.15.求函数21x y x +=-的值域__________. 16.当0x <时,函数2321xy x x =++的值域是_________.三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.求函数3254x y x+=-的定义域与值域.18.求函数2y x =+19.求下列函数的值域:(1)2224y x x =+-;(2)2223x x y x ++=;(3)234x x y x -+=; (4)23,[2,4]21x y x x =∈-;(5)211x y x x +=++;(6)22211x x y x x --=++.20.已知函数243()3axx f x -+=.(1)当1a =时,求函数()f x 的值域; (2)若()f x 有最大值81,求实数a 的值.21.已知()1425x x f x -=-+,[]0,2x ∈.(1)求()f x 的值域;(2)若()227f x m am <-+对任意0,2m都成立,求a 的取值范围.22.已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. (1)求a 的值:(2)求函数()f x 的值域;(3)当[]1,2x ∈时,()220xmf x +->恒成立,求实数m 的取值范围.《函数的值域》(一)解析1.【解析】()22211y x x x =-=--,∴对称轴为1x =,抛物线开口向上,03x ≤≤,∴当1x =时,min 1y =-,1-距离对称轴远,∴当3x =时,max 3y =,∴13y -≤≤.故选:D.2.【解析】令()22()2112g x x x x =--+=-++, 则有:当1x =-时,()max ()2g x =,即()max ()f x =因为()f x =为根式函数,则()0f x ≥,所以0()f x ≤≤D3.【解析】函数y ==,21990,244x ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴函数y =⎡⎢⎣即30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选:D.4.【解析】由题可知,函数()221111(1)11324f x x x x x x ===---+⎛⎫-+⎪⎝⎭因为22211331400224431324x x x ⎛⎫⎛⎫-≥⇒-+≥⇒<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+⎪⎝⎭, 故值域为4(0,]3,故选:D 5.【解析】0≥,∴11≤,∴1033<≤.故选:C6.【解析】由121xy =- 可得1210xy =+>,即()10y y +> ,解之得1y <- 或0y >,应选答案D .7.【解析】:由于016416x ≤-<,所以[)0,4y ∈.即值域为[0,4),故选C.8.【解析】设2265(3)44u x x x =-+=--≥-,则()1,42uf u u ⎛⎫=≥- ⎪⎝⎭,因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,所以()()0416f u f <≤-=,即值域为(]0,16.故选:A.9.【解析】因为y x =240x x -,解得04x .可得函数()y f x x ==-[]0,4.又()1f x '==令()(2)g x x =-,则()()()1222410g x x x x -'=--+>,即()f x '在[]0,4上单(2)0x -=,解得2x =-,即()f x 在0,2⎡⎣上单调递减,在2⎡⎤⎣⎦上单调递增,所以2x =为极小值点,又(22f -=-(0)0f =,()44f =.∴函数y x =的值域为2⎡⎤-⎣⎦.故选:A .10.【解析】(0)t t =≥,则212t x -=,所以2211(1)122t y t t -=+=--+,当1t =时,此时函数取得最大值1,所以函数的值域为(,1]-∞.故选:A. 11.【解析】()344341077252252525x x x f x x x x x -+--+==-=-=-+----)()2f x ∴≠-,值域为()(),22,-∞-⋃-+∞)故选:B.12.【解析】要使函数()y f x ==需满足1010x x +⎧⎨-⎩,解得:11x -,所以函数的定义域为[]1,1-,根据函数的解析式,x y 增大,即该函数为增函数,所以最小值为()1f -=()1f =所以值域为⎡⎣,故选:A .13.【解析】2y x =+30x ∴-≥,解得3x ≥.又函数2y x =+为定义域内的增函数,∴26y x =≥.即函数2y x =+的值域为[)6,+∞.14.【解析】由120x +≥得12x ≥-,因为函数y x =为定义域单调递增函数,所以12y ≥-,即值域是1,.2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭15.【解析】因为21x y x +=-,所以23111x y x x +==+--,又301x ≠- 所以3111y x =+≠-,故函数的值域为()()-11∞+∞,, 16.【解析】2331212x y x x x x==++++()1x ≠-,因为0x <,所以1220x x ++≤-=,当且仅当1x =-时“=”号成立, 因为1x ≠-,所以函数2321xy x x =++的值域是{|0}y y <,故答案为{|0}y y <. 17.【解析】要使函数有意义,则540x -≠,解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233235445445444(54x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+---⨯-),因为540x -≠,所以10(54x ≠-),即2304(54x ≠⨯-),所以34y ≠-,即值域为3{|}4y y ≠-.18.【解析】令t =()0t ≥,则212t x -=.∴原函数可化为22151()24y t t t =-++=--+. ∵当12t =,即38x =时,max 54y =;且原函数无最小值.故原函数的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.【解析】(1)因为2224y x x =+-22(1)5x =+-,所以22(1)50x y +=+≥, 所以250y y +≥,所以(52)00y y y +≥⎧⎨≠⎩,所以0y >或25y ≤-, 所以函数2224y x x =+-的值域为2,(0,)5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦. (2)因为2223x x y x++=2321x x =++21123()33x =++23≥,所以函数2223x x y x ++=的值域为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (3)因为234x x y x-+=43x x =+-, 所以当0x >时,3431y ≥=-=,当且仅当2x =时,等号成立, 当0x <时,4()3y x x =--+--3≤-437=--=-,当且仅当2x =-时,等号成立,所以函数234x x y x-+=的值域为(][,7,)1-∞-+∞.(4)2331212x y x x x==--,当[2,4]x ∈时,函数为递减函数,所以2x =时,y 取得最大值,最大值为23262217⨯=⨯-,当4x =时,y 取得最小值,最小值为2341224131⨯=⨯-, 所以函数23,[2,4]21xy x x =∈-的值域为126[,]317. (5)由211x y x x +=++得2(1)10yx y x y +-+-=, 当0y =时,方程的根为1x =-,当0y ≠时,根据关于x 的一元二次方程有解,得2(1)4(1)0y y y ∆=---≥,即23210y y --≤,解得103y -≤<或01y <≤, 综上可得函数211x y x x +=++的值域为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. (6)由22211x x y x x --=++得2(2)(1)10y x y x y -++++=,当2y =时,方程的根为1x =-,当2y ≠时,根据一元二次方程有解得2(1)4(2)(1)0y y y ∆=+--+≥,即2230y y --≤,解得12y -≤<或23y <≤,综上可得函数211x y x x +=++的值域为[1,3]-. 20.【解析】(1)当1a =时,2243(2)111()3333xx x f x -+---===, ∴函数()f x 的值域为1[3,)+∞.(2)令243t ax x =-+,当0a 时,t 无最大值,不合题意; 当0a <时,222443()3t ax x a x a a =-+=--+,43t a∴-,又()3tf t =在R 上单调递增,434()33813t a f x -∴===,434a∴-=,4a ∴=-.21.【解析】(1)令2x t = ,[]0,2x ∈ ,[]1,4t ∴∈()1425x x f x -=-+,∴()()221152444g t t t t =-+=-+[]1,4t ∈ ,()[]4,5g t ∴∈,()f x ∴的值域为[]4,5.(2)()227f x m am <-+对任意0,2m都成立∴()2max 275m am f x -+>=,即2275m am -+>,故2220m am -+>(]0,2m ∈,由2220m am -+>,可转化为:22a m m <+,可得22m a m+>224m m +≥=,当且仅当1m =取等号,∴4a < 22.【解析】(1)∵()f x 是R 上的奇函数,∴()()f x f x -=-即:242422x x x x a a a aa a a a ---+-+=-++.即2(4)2422x x x xa a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.(2)222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>,22021x ∴-<-<+,211121x∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-. (3)由()220xmf x +->可得,()2 2xmf x >-,21()2221x x x mf x m -=>-+.当[]1,2x ∈时,(21)(22)21x x x m +->-令(2113)xt t -=≤≤),则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+,函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数,∴max 210(1)3t t -+=,103m ∴>,故实数m 的取值范围为(10,3)+∞。

一次函数复习题1

一次函数复习题1

2.已知一次函数 已知一次函数y=kx+b,当x=2时,y= -1,当 已知一次函数 , 时 , x=1时,y= 1/2,那么该一次函数的解析式为 时 , _________, 时 。 y= -3/2 x+2 当x= _______时,y=8。 -4
a2-8+a+1是一次函数, 3.当a=______时,y=(a-3)x 是一次函数, 当 时 是一次函数 -3
且图象经过第___________象限。 且图象经过第 二、三、四 象限。 象限 4.直线y=-4+4/3 x在y轴上的截距是 -4 轴上的截距是_______, 在 轴上的截距是 , 如果这条直线分别交x轴 轴于点A、 , 如果这条直线分别交 轴、y轴于点 、B,那么 轴于点 线段AB=_______。 线段AB=_______。 5 5.如果直线 如果直线y=2x+a不经过第二象限,那么实 不经过第二象限, 如果直线 不经过第二象限 的取值范围是_________。 数a的取值范围是 a≤0 的取值范围是 。
5 y=− x
2、某函数具有下列两条性质 、 (1)它的图像是经过原点(0,0)的一条直线; )它的图像是经过原点( , )的一条直线; 的值随x值的增大而增大 (2)y的值随 值的增大而增大。 ) 的值随 值的增大而增大。 请你举出一个满足上述条件的函数(用关系式表示) 请你举出一个满足上述条件的函数(用关系式表示) 2 3、函数 y = x + 4 的图像与 轴交点坐标为 的图像与x轴交点坐标为 轴交点坐标为________, 、 3 轴的交点坐标为____________。 与y轴的交点坐标为 轴的交点坐标为 。
6. 函数 函数y=ax+b的图象 的图象 如图所示 , y随x的增大而 减小 , 随 的增大而 的增大而______, < > a_____0,b_____0。 , 。 7. 已知点 已知点A(- 4,a) B(-2,b)都在直线 都在直线y=3x+m 都在直线 为常数) 那么a与 的大小关系是 (m为常数)上,那么 与b的大小关系是 为常数 a_____b. <

函数复习题及答案

函数复习题及答案

函数复习题及答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像关于哪条直线对称?A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. x = 3答案: B2. 如果函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2的导数为0,那么x的值是多少?A. -1B. 0C. 1D. 2答案: C3. 函数g(x) = 1/x在区间(0, +∞)上的单调性是?A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案: B二、填空题4. 函数h(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x + 1的极值点是______。

答案: x = 0 或 x = 5/45. 如果函数f(x) = sin(x) + cos(x)的最大值为√2,那么x的取值范围是______。

答案:[2kπ + π/4, 2kπ + 5π/4] (k ∈ Z)三、简答题6. 描述函数y = x^2在区间[-1, 1]上的性质。

答案:函数y = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的,且图像是一个开口向上的抛物线,顶点在原点。

7. 解释什么是函数的周期性,并给出一个周期函数的例子。

答案:函数的周期性是指函数值在某个固定的间隔内重复出现的性质。

例如,正弦函数sin(x)就是一个周期函数,它的周期是2π。

四、计算题8. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 5在x = 2时的值。

答案: f(2) = 3 * (2)^2 - 4 * 2 + 5 = 12 - 8 + 5 = 99. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的一阶导数和二阶导数。

答案:一阶导数:f'(x) = 3x^2 - 12x + 9二阶导数:f''(x) = 6x - 12五、证明题10. 证明对于任意实数x,函数f(x) = x^3 - 3x + 2的值总是大于0。

答案:首先求导f'(x) = 3x^2 - 3,令导数为0得到x = ±1。

高等数学习题库

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高等数学(1)复习题一、选择题1.函数112-=x y 的定义域是( ) A . (-1,1) B .[-1,1]C .(,1][1,)-∞-⋃+∞D .(,1)(1,)-∞-⋃+∞2、函数1lg(2)y x =+的定义域是( ) A.(3,2)(1,)--⋃-+∞ B.(2,1)(1,)--⋃-+∞C.(3,1)(1,)--⋃-+∞D.(2,)-+∞3、函数1()ln(2)f x x =-的定义域是( ) A.(2,)+∞ B.(3,)+∞ C.(2,3)(3,)+∞D.(,2)(2,)-∞+∞4、下列各式中,运算正确的是( )5.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤---<+=1,011,11,21)(2x x x x x x f ,则)2(-f = ( )A .23-B .3-C .0D .25 6.若0lim x x → f (x )存在, 则f (x )在点x 0是( ) A . 一定有定义B .一定没有定义C .可以有定义, 也可以没有定义D .以上都不对7.下列说法正确的是( )。

A .无穷小量是负无穷大量B .无穷小是非常小的数C .无穷大量就是∞+D .负无穷大是无穷大量8.下列说法正确的是( )A.若函数()f x 在点0x 处无定义,则()f x 在点0x 处无极限。

B.无穷小是一个很小很小的数。

C.函数()f x 在点0x 处连续,则有:00lim ()()x x f x f x →= D.在(,)a b 内连续的函数()f x 在该区间内一定有最大值和最小值。

9.函数11)(2--=x x x f ,当1→x 时的极是( ) A.2- B.2C.∞D.极限不存在10.极限1lim x →211x x -+=( ) A .0B.1C .2D .∞11.函数21()1x f x x -=+,当1x →-时的极限( ) A .2 B .2-C .∞D .极限不存在12.极限1lim x →211x x ++=( ) A .0B.1C .2D .∞13.311lim 1x x x →-=-( ) A.1B.2 C.3D.414.极限=-++-→221lim 221x x x x x ( ) A. 21B.1C .0D .∞ 15.下列各式中正确的是( )A .0sin lim0=→x x x B .1sin lim =∞→x x x C .0sin lim1=→x x x D .1sin lim 0=→xx x16.设0sin lim7x ax x →= 时,则a 的值是( ) A.17B.1C.5D.7 17、当x →0时,下列各等价无穷小错误的是( )A .arctan x ~xB .sin x 2 ~ x 2C . lg(1+x ) ~ xD .1-cos x ~21x 218、函数xx x x f sin )(+=,当∞→x 时的极限( ) A .0 B .∞C .-1D .119、当0x →时,ln(1x)+与x 比较是( )A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量20、2(1)y x =-在1x =处( )A.连续B.不连续C.不可导D.既不连续也不可导21、函数⎩⎨⎧≥+<+=0 30 32)(2x a x x x x f 在x = 0处连续,则a 的值是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 022、函数y=ln (2 - x - x 2)的连续区间为( )A .(-1,2)B .(-2,1)C .(- ∞,1)∪(- ∞,1)D .(- ∞,-2)∪(1,+∞)23.下列说法错误的是( )A .可导一定连续B .不可导的点不一定没有切线C .不可导的点一定不连续D .不连续的点一定不可导24.函数f (x )在点 x 0连续是函数在该点可导的( )A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不是充分条件, 也不是必要条件25.已知函数f (x )=,0,10,12⎩⎨⎧>+≤-x x x x 则在x =0处( ) A .间断B .不可导 C .f '(0) =-1 D .f '(0) =126、||x y =在0x =处( )A.连续不可导B.可导不连续C.可导且连续D.既不连续也不可导27.设y =x e -,则='y ( )A .x e -B . x 1x e --C .-x 1x e --D .-x e -28.导数等于21sin2x 的函数是( ) A .21sin 2x B .41cos2x C .21cos 2x D .1-21cos2x 29.若下列函数中( )的导数不等于1sin 22x A .1cos 24x B . 21sin 2x C .21cos 2x - D .11cos 24x - 30、设243y x =-,则()1f '等于( )A.0B.-6C.-3D.331.设ln y x x =+,则dy dx=( ) A.1x x + B.1x x + C.1x x +- D.1x x-+ 32.设()y f x =-,则y '=( )A.()f x 'B.()f x '-C.()f x '-D.()f x '--33.下列导数计算正确的是( )A.x x e e 22sin sin )(='B.()2112ln ln -='-x x C .21(arcsin )x '= D .x x 2sin )(sin 2='34.下列导数计算正确的是( )A.sin sin ()x x e e '=B.21(2log )2ln 2ln 2x x x x '+=+C.(1x'+=+D.211)2ln (ln +='+x x 35、半径为R 的金属圆片,加热后半径伸长了dR ,则面积S 的微分dS 是( )A .RdR πB .RdR π2C .dR πD .dR π236.设f (x )可微,则d(e f (x ) ) =( )A .f '(x )d xB .e f (x )d xC .f '(x ) e f (x )d xD .f '(x ) d(e f (x ) )37、边长为a 的正方形铁片,加热后边长伸长了d a ,则面积S 的微分dS 是( )A .a d aB .2a d aC .a 2d aD .d a38、设函数在点0x 可导,且0()f x '=2,则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的倾斜角是( )A .锐角B .0C .90D .钝角39.设函数在点x 0可导, 且f '(x 0) >0, 则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线的倾斜角是( )A .00B .900C .锐角D .钝角40.设函数在点x 0可导, 且f '(x 0) =-3, 则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线的倾斜角是( )A .00B .1500C .锐角D .钝角41、设函数在点0x 可导,且0()f x '<0,则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的倾斜角是( )A .0B .锐角C .90D .钝角42.曲线y = ln x 上某点的切线平行于直线y = 2x -3, 该点的坐标是 ( )A .(2, ln 21)B .(2,-ln 21)C .(21,-ln2)D .(21,ln2) 43.设函数在点0x 可导,且02()f x '=-,则曲线)(x f y =在点0x x =处的切线的倾斜角是( ).A .0°B .90°C .120°D .钝角44.设函数在点0x 可导,且3)(0-='x f ,则曲线)(x f y =在点0x x =处的切线的倾斜角是( ).A .0°B .90°C .锐角D .钝角45、函数x x x f -+=)1ln()(的单调减少区间是( )A .),0(+∞B .)0,(-∞C .(0,1)D .(-1,0)46、函数)1ln()(x x x f +-=的单调减少区间是( )A.),0(+∞B.)0,(-∞C.(0,1)D.(-1,0)47.x x y ln 22-=的单调递减区间为( )A .)21,0(B .11(,)(0,)22-∞-⋃C .),21(+∞D .11(,0)(,)22-⋃+∞ 48、曲线32y x x =+-在点(1,0)处的切线方程为( )A.2(1)y x =-B.4(1)y x =-C.41y x =-D.3(1)y x =-49.函数y = x 2e -x 及其图形在区间(1, 2)内是( )A .单调增加且是凸的B .单调减少且是凸的C .单调增加且是凹的D .单调减少且是凹的50、曲线()y f x =在区间[,]a b 上单调减少且为凸的,则( )A .()f x '>0或()0f x ''>B .()f x '>0或()0f x ''<C .()f x '<0且()0f x ''>D .()f x '<0且()0f x ''<51、曲线()y f x =在区间[,]a b 上单调增加且为凹的,则( )A .()f x '>0,()0f x ''>B .()f x '<0,()0f x ''<C .()f x '>0,()0f x ''<D .()f x '<0,()0f x ''>52、若在(,)a b 内,函数()f x 的一阶导数()f x '>0,二阶导数()f x ''<0,则函数()f x 在此区间内( )A.单调减少,曲线是凹的B.单调减少,曲线是凸的C.单调增加,曲线是凹的D.单调增加,曲线是凸的53.若在(,)a b 内,函数()f x 的一阶导数()f x '<0,二阶导数()f x ''>0,则函数()f x 在此区间内( )A.单调减少,曲线是凹的B.单调减少,曲线是凸的C.单调增加,曲线是凹的D.单调增加,曲线是凸的54.若曲线弧位于其上任一点切线的下方,则该曲线弧是( )A.单调增加B.单调减少C.凹弧D.凸弧55.点 x = 0是函数y = x 2 的( )A .驻点但非极值点B .拐点C .驻点且是拐点D .驻点且是极值点56、点0x =是函数4y x =的( )A.驻点但不是极值点B.拐点C.驻点且是极值点D.驻点且是拐点57、点0x =是函数3y x =的( )A .极值点但不是驻点B .驻点但不是极值点C .驻点且是极值点D .极值点且是拐点58、下列说法正确的是( )A.驻点一定是极值点B. 拐点一定是极值点C.极值点一定是拐点D. 极值点一定是驻点或导数不存在的点59、若()00f x '=,则0x 是函数()f x 的( )A.极值点B.最值点C.驻点D.非极值点60、函数x e x x f -=)(的极值是( )A . 0B . 1C . -1D . 261.函数()y f x =在0x x =处连续,且取得极值,则有( )A.0()0f x '=B.0()0f x ''<C.00()0()f x f x ''=或者不存在D.0()f x '不存在62. 函数)(x f y =在点0x x =处取得极大值,则必有()A .0()0f x '=B .0)(0>''x fC .0()0f x '=且0)(0>''x fD .0()0f x '=或)(0x f '不存在63、曲线3(1)y x =-的拐点是( )A.(1,8)-B.(1,0)C.(0,1)-D.(2,1)64.下列说法正确的是( )A.驻点一定是极值点B. 极值点一定是驻点或导数不存在的点C.极值点一定是拐点D. 拐点一定是极值点65、若()(),F x f x '=则()dF x ⎰=( )A.()f xB.()F xC.()F x C +D. ()f x C +66.设⎰dx x f )(= cos 2x + C ,则f (x ) =( )A .sin 2xB .-2sin 2xC .sin x + CD .-sin 2x67.设⎰dx x f )(= 2cos2x + C ,则f (x ) =( ) A .sin2x B .-sin 2x C .sin 2x + C D .-2sin 2x 68.若c x x dx x f ++=⎰cos sin )(,则,=)(x f ( )A.x x cos sin +B.x x cos sin -C.x x sin cos -D.x x cos sin --69.dx d52x x e dx ⎰= ( )A .42x x eB .52x x e dxC .42x x e dxD .52x x e70.⎰=dx x xf dx d)(( ) A.)(21x f B.dx x f )(21C .)(x xfD .dx x xf )(71.2()d xf x dx ⎰=( )A .21()2f x B .21()2f x dxC .2()xf x dxD .21()2xf x dx72.2()d x f x dx ⎰=( )A .2()xf xB .2()xf x dxC .2()x f x dxD .2()x f x73.⎰=xdx 2cos ( )A .2sin2x + CB .2cos2x +C C .12sin2x + CD .12cos2x + C 74.dx x x f 211⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛'=( )A .)1(x f -+ C B .-)1(x f -+ C C .)1(x f + CD .-)1(x f + C 75.⎰dx x 21=( )A .C x +1B .C x +-1C .C x +2lnD .C x +2ln76、()23sin x e x dx -⎰=( )A.23cos x e x c ++B.23cos x e x +C.23cos x e x -D.1二、填空题1.函数y =22x -+ arcsin x 的定义域为____________. 2、函数y=2x x -定义域为。

初中数学函数复习题及答案

初中数学函数复习题及答案

初中数学函数复习题及答案初中数学函数复习题及答案函数作为数学中的重要概念,是学习数学的基础之一。

在初中数学中,函数的学习也是一个重要的内容。

通过复习函数的相关题目,可以帮助学生巩固对函数的理解和运用。

本文将为大家提供一些初中数学函数复习题及答案,希望对大家的学习有所帮助。

一、选择题1. 函数y = 2x + 3的图象是一条()。

A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线答案:A解析:函数y = 2x + 3是一元一次函数,其图象是一条直线。

2. 函数y = x²的图象是一条()。

A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线答案:B解析:函数y = x²是一元二次函数,其图象是一条抛物线。

3. 函数y = sin(x)的图象是一条()。

A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线答案:C解析:函数y = sin(x)是正弦函数,其图象是一条正弦曲线。

二、填空题1. 函数y = 3x - 2的定义域是()。

答案:全体实数解析:一元一次函数的定义域为全体实数。

2. 函数y = x² - 4x + 3的值域是()。

答案:y ≤ 2解析:一元二次函数的值域可以通过求解函数的最值来确定,或者通过绘制函数的图象来观察。

三、解答题1. 已知函数y = 2x + 1和函数y = -x + 3,求两个函数的交点坐标。

解答:将两个函数相等,得到2x + 1 = -x + 3,整理得到3x = 2,解得x = 2/3。

将x的值代入任意一个函数中,求得y的值。

所以交点坐标为(2/3, 5/3)。

2. 已知函数y = x² - 4x + 3,求函数的顶点坐标。

解答:一元二次函数的顶点坐标可以通过求解函数的最值来确定。

首先求导函数,得到y' = 2x - 4。

令y' = 0,解得x = 2。

将x的值代入原函数中,求得y的值。

所以顶点坐标为(2, -1)。

九年级数学函数总复习题第一卷

九年级数学函数总复习题第一卷

函数总复习题[典型例题与练习]平面直角坐标系例1(1)(上海市2007) 已知a<b<0,则点A(a-b ,b)在第_______象限.(2) (沈阳市2007) 若点P(a ,b)在第四象限,则点Q(b ,-a)在第______象限.(3) (贵阳市,2007) 若点M ( 1 + a ,2b – 1 ) 在第二象限,则点 N ( a - 1,1 - 2b ) 在第 象限.(4) (哈尔滨市2007) 已知坐标平面内点A(m ,n)在第四象限,那么点B(n ,m)在( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 例2 已知点M (3x + 2, -x - 2)在第三象限,则x 的取值范围为 .例3 (广西,2007)已知点( 2m , m – 4 )在第四象限,且m 为偶数,则m 的值是 .例4 (海南省2007) 如果点A(m ,n)在第三象限,那么点B(0,m + n)在 ( ) (A)x 轴正半轴上 (B)x 轴负半轴上 (C)y 轴正半轴上 (D)y 轴负半轴上 例5 已知点Q (2m 2 + 4, m 2 + m + 6)在第一象限的角平分线上,则m = . 例6 (1) (常州市2007) 点A(-1,2)关于y 轴的对称点的坐标是 _______;点A 关于原点的对称点的坐标是________.(2) 已知点A (a , -7), B ( 5, b ), 若A ﹑B 两点关于x 轴对称, 则a = ,b = .(3) (北京市朝阳区,2007) 若点P (m ,2)与点Q (3,n )关于原点对称,则m 、n 的值分别是 、 .(4) (山东省2007) 将一张坐标纸折叠一次,使得点 (0,2) 与 (-2,0) 重合,则点(21,0)与_______重合.(5)(辽宁省,2007)已知a < 0,那么点P ( - a 2 - 2, 2 – a ) 关于x 轴的对称点P ’在第 象限.(6)(宁夏回族自治区2007) 点(-1,4)关于坐标原点对称的点的坐标是 ( )(A) (-1,-4) (B) (1,-4) (C) (1,4) (D) (4,-1)(7) (北京市石景山区,2007)点P (2,-3)关于y 轴的对称点的坐标是( ). (A )(2,3) (B )(-2,-3) (C )(-2,3) (D )(-3,2) 例7 (1) (广州市2007) 点P 在第二象限,若该点到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为1,则点P 的坐标是 ( )(A) (-l ,3) (B) (-3,1) (C) (3,-1) (D) (1,3)(2) 点P 坐标为 ( 2 - a ,3a + 6 ),且点P 到两坐标轴的距离相等,则点P例9题图的坐标是( ).(A )(3,3) (B )(3,-3) (C )(6,-6) (D )(3,3)或(6,-6)例8 (海口市课改实验区2007) 如图:如果“士”所在位置的坐标为 (-1,-2), “相” 所在位置的坐标为(2,-2),那么,“炮”所在位置的坐标为________.例9 ★★ (四川省郫县课改实验区2007) 在上面的网格图中按要求画出图形,并回答问题:(1) 先画出△ABC 向下平移5格后的△111C B A ,再画出△ABC 以点0为旋转中心,沿顺时针方向旋转 90后的△222C B A ;(2) 在与同学交流时,你打算如何描述(1)中所画的△222C B A 的位置?例10 ★★ (海口市课改实验区2007) (1)请在如图所示的方格纸中,将△ABC 向上平移3格,再向右平移6格,得△111C B A ,再将△111C B A 绕点1B 按顺时针方向旋转 90,得 △212C B A ,最后将△212C B A 以点2C 为位似中心放大到2倍,得△233C B A ;(2) 请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度),在你所建立的直角坐标系中,点C 、1C 、2C 的坐标分别为:点C(_____)、点1C (_____)、 点2C (_____).函数及其图象例11 (1) (北京市2007) 在函数y =21-x 中,自变量x 的取值范围是__________.(2)(苏州市2007) 函数y =3-x 中自变量x 的取值范围是________. (3)(常州市2007) 在函数y =21+x 中,自变量x 的取值范围是_______. (4)(山东省潍坊课改实验区2007) 函数y =11-x 自变量x 的取值范围是______.(5)(甘肃省2007) 在函数y =41-x 中,自变量x 的取值范围是 ( )(A) x≥4 (B) x≤4 (C) x>4 (D) x<4 (6)(广州市2007) 函数y=1-x x中,自变量x 的取值范围是 ( ) (A) x≥o (B) x>0且x≠l (C) x>O (D)x≥o 且x≠1例12(1) 已知y = 321x x +-,当x = 3 时,y = ,当x = y = .(2) 已知 y = -3x + 2,当 y = 4时,x = .例13 已知 函数 y = 5x + 2,不画图象,判断点 (-2, -8)、(-1, 3)、(-25,0)、(0,25)在不在这个函数图象上.例14(1) (泰州市,2007)为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过l0t 时,水价为每吨1.2元;超过l0t 时,超过的部分按每吨1.8元收费.该市某户居民5月份用水xt(x>10),应交水费y 元,则y 关于x 的关系式是 。

实变函数第一章复习题及解答(1)

实变函数第一章复习题及解答(1)

第一章 复习题(一)一、判断题1、大人全体构成集合。

(× )2、小个子全体构成集合。

(× )3、所有集合都可用列举法表示。

(× )4、所有集合都可用描述法表示。

(√ )5、对任意集合A ,总有A ∅⊂。

(√ )6、()A B B A -⋃=。

(× )7、()()A B B A B B A A -⋃=⋃=-⋃。

(√ )8、若B A ⊆,则()A B B A -⋃=。

(√ )9、cA A ⋂≠∅,c A A X ⋃=,其中X 表示全集。

(× )10、A B B A ⨯=⨯。

(× )11、()c c c A B A B ⋃=⋃,()c c c A B A B ⋂=⋂。

(× )12、()()()A B C A C B C ⋃⋂=⋂⋃⋂,()()()A B C A C B C ⋂⋃=⋃⋂⋃。

(√ )13、若A B ,B C ,则A C 。

(√ ) 14、若A B ,则A B =,反之亦然。

(√ ) 15、若12A A A =⋃,12B B B =⋃,且11A B ,22A B ,则A B 。

(× )16、若A B ⊆,则A B ≤。

(√ ) 17、若A B ⊆,且A B ≠,则A B <。

(× )18、可数集的交集必为可数集。

(× )19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。

(√ )20、因整数集Z ⊂有理数集Q ,所以Q 为不可数集。

(× )21、()c cA A =。

(√ )二、证明题1、证明:cA B A B -=⋂。

证明:对任意x A B ∈-,有x A ∈且x B ∉,从而x A ∈且c x B ∈,即c x A B ∈⋂,所以 c A B A B -⊂⋂;反之,对任意c x A B ∈⋂,有x A ∈且c x B ∈,从而x A ∈且x B ∉,即x A B ∈-,所以 c A B A B -⊃⋂。

必修1 函数的定义域 复习专题 (含解析)答辩

必修1 函数的定义域  复习专题  (含解析)答辩

必修1 函数的定义域复习专题 (含解析一.选择题(共17小题)1.(2007•陕西)函数f(x)=lg的定义域为()A.[0,1] B.(﹣1,1)C.[﹣1,1] D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)函数的定义域及其求法。

考点:分对数的真数一定要大于0,进而构造不等式进行求解.析:解解:由,知,1﹣x2>0,即,x2<1,进而得到,﹣1<x<1答:故,函数的定义域为(﹣1,1)故选B考查对数真数的要求,即,真数要大于0.点评:2.(2006•湖南)函数的定义域是()A.(0,1] B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(1,+∞)考函数的定义域及其求法。

点:分根据对数函数的定义,及根式有意义的条件,进行求解.解答:解:∵函数的定义域是log2x≥0,解得x≥1,选C.点评:此题主要考查对数函数定义域的求法,注意根式里面要大于等于0,这是个易错点.3.(2005•江西)函数的定义域为()A.(1,2)∪(2,3)B.(﹣∞,1)∪(3,+∞)C.(1,3)D.[1,3]考点:函数的定义域及其求法。

分析:首先,考查对数的定义域问题,也就是log2(﹣x2+4x﹣3)的真数(﹣x2+4x﹣3)一定要大于零,其次,分母不能是零.解答:解:由﹣x2+4x﹣3>0,得1<x<3,又因为log2(﹣x2+4x﹣3)≠0,即﹣x2+4x﹣3≠1,得x≠2故,x的取值范围是1<x<3,且x≠2.定义域就是(1,2)∪(2,3)故选A.点评:对定义域的考查一定要使得式子有意义.比方说分母不能是0,对数的真数必须大于0,偶次开方一定非负等等.4.(2004•陕西)函数y=的定义域是()A.[﹣,﹣1)∪(1,] B.(﹣,﹣1)∪(1,)C.[﹣2,﹣1)∪(1,2]D.(﹣2,﹣1)∪(1,2)考点:函数的定义域及其求法;对数的运算性质。

专题:计算题。

分析:由函数表达式知,被开方数大于或等于0,故对数的真数大于0且对数值小于或等于1,x2﹣1>0,且x2﹣1≤1;解可得答案.解答:解:﹣≤x<﹣1或1<x≤.∴y=的定义域为[﹣,﹣1)∪(1,].答案:A点评:考查对数的定义域和单调性.5.函数y=的定义域为()A.{x|x≤1}B.{x|x≥1}C.{x|x≥1或x≤0}D.{x|0≤x≤1}考点:函数的定义域及其求法。

高考数学《函数》专题复习

高考数学《函数》专题复习

函数一、17届 一模一、填空、选择题1、(宝山区2017届高三上学期期末) 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上,则()f x 的反函数为2、(崇明县2017届高三第一次模拟)设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤,则((1))f f -= .3、(虹口区2017届高三一模)定义{}()f x x =(其中{}x 表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”,例如{}2.13=,{}44=.以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是( ).①(2)2()f x f x =; ②若12()()f x f x =,则121x x -<; ③任意12,x x R ∈,1212()()()f x x f x f x +≤+;④1()()(2)2f x f x f x ++=..A ①② .B ①③ .C ②③ .D ②④4、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)已知函数()y f x =是奇函数,且当0x ≥时,2()log (1)f x x =+.若函数()y g x =是()y f x =的反函数,则(3)g -= .5、(静安区2017届向三上学期期质量检测)已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数,且当0>x 时,⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ,x k x h 2log )(=(0>x ),若)()(x h x g y -=恰有4个零点,则正实数k 的取值范围是 【 】A .]1,21[;B .]1,21(;C .]2log ,21(3;D .]2log ,21[3.6、(闵行区2017届高三上学期质量调研)函数()1f x =的反函数是_____________.7、(浦东新区2017届高三上学期教学质量检测)已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =,对于任意的*n N ∈,都有()*f n N ∈,且()()3f f n n =恒成立,则()()20171999f f -=____________.8、(普陀区2017届高三上学期质量调研)函数x x f 2log 1)(+=(1≥x )的反函数=-)(1x f .9、(青浦区2017届高三上学期期末质量调研)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<,不考虑树的粗细.现用16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD .设此矩形花圃的最大面积为u ,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数()u f a =(单位2m )的图像大致是……………………( ).A .B .C .D .10、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点,则1(3)f -=▲ .11、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞,则实数m 的取值范围是____________12、(杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研)若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-,则a =________.13、(长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研)若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(,则实数=a __________.14、(崇明县2017届高三第一次模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A .tan y x =B .3xy =C .13y x =D .lg y x =15、(浦东新区2017届高三上学期教学质量检测)已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=,则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像( ). A .关于y 轴对称 B .关于原点对称C .关于直线0x y +=对称D .关于直线0x y -=对称16、(普陀区2017届高三上学期质量调研)设∈m R ,若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数,则)(x f 的单调递增区间是 .17、(普陀区2017届高三上学期质量调研)方程()()23log 259log 22-+=-x x 的解=x .18、(普陀区2017届高三上学期质量调研)已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+,且11<≤-x 时,21)(x x f -=;函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ,若)()()(x g x f x F -=,则[]10,5-∈x ,函数)(x F 零点的个数是 .19、(奉贤区2017届高三上学期期末)方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________ 20、(金山区2017届高三上学期期末)函数()2xf x m =+的反函数为1()y fx -=,且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ,那么m =二、解答题1、(崇明县2017届高三第一次模拟)设12()2x x af x b+-+=+(,a b 为实常数).(1)当1a b ==时,证明:()f x 不是奇函数;(2)若()f x 是奇函数,求a 与b 的值;(3)当()f x 是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集D ,对任何属于D 的x 、c ,都有2()33f x c c <-+成立?若存在试找出所有这样的D ;若不存在,请说明理由.2、(虹口区2017届高三一模)已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞.(1)判断此函数的奇偶性,并说明理由; (2)判断此函数在2,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;(3)求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ,并求()g a 的值域.3、(黄浦区2017届高三上学期期终调研)已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体:在定义域内存在实数t ,使得(2)f t +()(2)f t f =+.(1)判断()32f x x =+是否属于集合M ,并说明理由; (2)若2()lg2af x x =+属于集合M ,求实数a 的取值范围;(3)若2()2x f x bx =+,求证:对任意实数b ,都有()f x M ∈.4、(静安区2017届向三上学期期质量检测)设集合|)({x f M a =存在正实数a ,使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+.(1) 若22)(x x f x-=,试判断)(x f 是否为1M 中的元素,并说明理由;(2) 若341)(3+-=x x x g ,且a M x g ∈)(,求a 的取值范围; (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h (R ∈k ),且2)(M x h ∈,求)(x h 的最小值.5、(普陀区2017届高三上学期质量调研)已知∈a R ,函数||1)(x a x f += (1)当1=a 时,解不等式x x f 2)(≤;(2)若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解,求实数a 的取值范围.6、(青浦区2017届高三上学期期末质量调研)已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时,解关于x 的不等式3()5f x -<<;(2)对于给定的正数a ,有一个最大的正数()M a ,使得在整个区间[0 ()]M a ,上,不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式;(3)函数()y f x =在[ 2]t t +,的最大值为0,最小值是4-,求实数a 和t 的值.7、(松江区2017届高三上学期期末质量监控)已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) . (1)根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性,并说明理由; (2)若对任意的1x ≥ ,都有1()3f x ≤≤,求a 的取值范围.8、(徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断)某创业团队拟生产A 、B 两种产品,根据市场预测,A 产品的利润与投资额成正比(如图1),B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注:利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数;(2)该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A 、B 两种产品的生产,问:当B 产品的投资额为多少万元时,生产A 、B 两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?参考答案:一、填空、选择题1、解析:1+log 8a =4,log 8a =3,化为指数:3a =8,所以,a =221log y x =+,即:12y x -=,所以反函数为12x y -=2、-23、C4、-75、C6、()()211(1)fx x x -=-≥ 7、548、【解析】∵x ≥1,∴y=1+2log x ≥1,由y=1+2log x ,解得x=2y ﹣1,故f ﹣1(x )=2x ﹣1(x ≥1).故答案为:2x ﹣1(x ≥1). 9、B 10、211、01m <≤ 12、2a =13、【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点(4,1), 即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点(1,4), ∴4=log 2(1+1)+a ∴4=1+a , a=3.故答案为:3. 14、C 15、D16、【解析】由题意:函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数,则mx=0,故得m=0, 那么:f (x )=23x +1,根据幂函数的性质可知:函数f (x )的单点增区间为(0,+∞). 故答案为:(0,+∞). 17、【解析】由题意可知:方程log 2(9x ﹣5)=2+log 2(3x ﹣2)化为:log 2(9x ﹣5)=log 24(3x ﹣2) 即9x ﹣5=4×3x ﹣8 解得x=0或x=1;x=0时方程无意义,所以方程的解为x=1. 故答案为1. 18、【解析】定义域为R 的函数y=f (x )满足f (x +2)=f (x ), 可得f (x )的周期为2, F (x )=f (x )﹣g (x ),则令F (x )=0,即f (x )=g (x ), 分别作出y=f (x )和y=g (x )的图象, 观察图象在[﹣5,10]的交点个数为14.x =0时,函数值均为1,则函数F (x )零点的个数是15. 故答案为:15.19、5 20、1二、解答题1、解:(1)证明:511212)1(2-=++-=f ,412121)1(=+-=-f ,所以)1()1(f f -≠-,所以)(x f 不是奇函数............................3分(2))(x f 是奇函数时,)()(x f x f -=-,即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ,对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a .经检验都符合题意........................................8分(2)当⎩⎨⎧==21b a 时,121212212)(1++-=++-=+x x x x f ,因为02>x ,所以112>+x ,11210<+<x, 所以21)(21<<-x f .......................................10分 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立;所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ,都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时,)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x (, 所以当0>x 时,21)(-<x f ;当0<x 时,21)(>x f .............14分1)因此取),0(+∞=D ,对任何x 、c 属于D ,都有33)(2+-<c c x f 成立. 2)当0<c 时,3332>+-c c ,解不等式321121≤-+-x 得:75log 2≤x .所以取]75log ,(2-∞=D ,对任何属于D 的x 、c ,都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分2、解:(1)由二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞,得0a >且41604ac a-=,解得4ac =.……………………2分(1)4f a c =+-,(1)4f a c -=++,0a >且0c >,从而(1)(1)f f -≠,(1)(1)f f -≠-,∴此函数是非奇非偶函数.……………………6分(2)函数的单调递增区间是2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.设1x 、2x 是满足212x x a >≥的任意两个数,从而有21220x x a a->-≥,∴222122()()x x a a ->-.又0a >,∴222122()()a x a x a a ->-,从而22212424()()a x c a x c a a a a-+->-+-,即22221144ax x c ax x c -+>-+,从而21()()f x f x >,∴函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增.……………………10分(3)2()4f x ax x c =-+,又0a >,02x a=,[)1,x ∈+∞ 当021x a =≥,即02a <≤时,最小值0()()0g a f x == 当021x a =<,即2a >时,最小值4()(1)44g a f a c a a==+-=+-综上,最小值002()442a g a a a a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩……………………14分 当02a <≤时,最小值()0g a = 当2a >时,最小值4()4(0,)g a a a=+-∈+∞ 综上()y g a =的值域为[0,)+∞……………………16分3、解:(1)当()32f x x =+时,方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ ……2分 此方程无解,所以不存在实数t ,使得(2)()(2)f t f t f +=+,故()32f x x =+不属于集合M . ……………………………4分(2)由2()lg2af x x =+属于集合M ,可得 方程22lg lg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解,………7分若6a =时,上述方程有实解;若6a ≠时,有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥,解得1212a -≤+故所求a的取值范围是[1212-+. ……………………………10分 (3)当2()2x f x bx =+时,方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ⨯+-=, ………………12分令()3244x g x bx =⨯+-,则()g x 在R 上的图像是连续的,当0b ≥时,(0)10g =-<,(1)240g b =+>,故()g x 在(0,1)内至少有一个零点;当0b <时,(0)10g =-<,11()320bg b =⨯>,故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点;故对任意的实数b ,()g x 在R 上都有零点,即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解, 所以对任意实数b ,都有()f x M ∈. ………………………16分 4、解:(1)∵1)0()1(==f f , ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分(2)由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a , ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分(3)由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即:)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时,)1(log )1()(3min k h x h +==; ……………………………1分 当10<<k 时,)1(log )1()(3min k h x h +==; ……………………………1分 当31<≤k 时,)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上:⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33min k k k k x h ……………………………1分5、【解】(1)当1=a 时,||11)(x x f +=,所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……(*) ①若0>x ,则(*)变为,0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ,所以1≥x ;②若0<x ,则(*)变为,0122≥+-xx x 0>⇔x ,所以φ∈x 由①②可得,(*)的解集为[)+∞,1。

高考函数复习题

高考函数复习题

高考函数复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2-2x+3的值域是()A. (-∞, 3]B. [1, +∞)C. [2, +∞)D. (-∞, 1]2. 已知函数f(x)=2x+3,若f(a)=5,则a的值为()A. 1B. 2C. -1D. -23. 函数y=|x|的图像是()A. 关于y轴对称B. 关于x轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称二、填空题4. 若函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2,则f(1)=_________。

5. 函数y=x^2-4x+7的顶点坐标为_________。

三、解答题6. 已知函数f(x)=x^2-4x+7,求证:对于任意实数x,f(x)≥3。

7. 函数y=x^3-6x^2+11x-6的单调区间是什么?8. 已知函数f(x)=x^2-2x+1与g(x)=x^2-4x+4,求这两个函数的交点坐标。

四、应用题9. 某工厂生产一种产品,其成本函数为C(x)=2x+500,其中x为生产数量,求生产多少数量时,单位产品的成本最低?10. 某公司计划在一条直线上建立两个仓库,仓库之间的距离为10公里,公司希望两个仓库之间的总运输成本最小。

假设运输成本与仓库之间的距离成正比,求两个仓库应该建在何处?五、综合题11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1,求导数f'(x),并讨论其单调性。

12. 已知函数f(x)=sin(x)和g(x)=cos(x),求这两个函数的图像在[0, 2π]区间内的交点。

参考答案:1. B2. C3. A4. 65. (2, 3)6. 证明:由于f(x)=(x-2)^2+3,对于任意实数x,(x-2)^2≥0,所以f(x)≥3。

7. 单调递增区间为(2, +∞),单调递减区间为(-∞, 2)8. 交点坐标为(1, 0)和(3, 4)9. 当x=100时,单位产品的成本最低10. 两个仓库应该建在距离起点5公里的位置11. f'(x)=3x^2-6x+2,当x<1/3或x>2时,f'(x)>0,函数单调递增;当1/3<x<2时,f'(x)<0,函数单调递减。

函数概念与基本初等函数Ⅰ复习题及答案 (164)

函数概念与基本初等函数Ⅰ复习题及答案 (164)

函数概念与基本初等函数Ⅰ复习题及答案(1)(角度1)已知函数f (x )=2x -1,则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的图像关于点(1,0)中心对称B.函数f (x )在(-∞,1)上是增函数C.函数f (x )的图像关于直线x =1对称D.函数f (x )的图像上至少存在两点A ,B ,使得直线AB ∥x 轴(2)(角度2)已知函数y =f (x )的图像是如图所示的折线ACB ,且函数g (x )=log 2(x +1),则不等式f (x )≥g (x )的解集是( )A.{x |-1<x ≤0}B.{x |-1≤x ≤1}C.{x |-1<x ≤1}D.{x |-1<x ≤2}(3)(角度3)已知函数f (x )=kx +1,g (x )=e x +1(-1≤x ≤1),若f (x )与g (x )的图像上分别存在点M ,N ,使得点M ,N 关于直线y =1对称,则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ,+∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-e ,1e C.[-e ,+∞) D.(]-∞,-e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ,+∞ 解析 (1)由题知,函数f (x )=2x -1的图像是由函数y =2x 的图像向右平移1个单位长度得到的,可得函数f (x )的图像关于点(1,0)中心对称,A 正确;函数f (x )在 (-∞,1)上是减函数,B 错误;易知函数f (x )=2x -1的图像不关于直线x =1对称,C 错误;由函数f (x )的单调性及函数f (x )的图像,可知函数f (x )的图像上不存在两点A ,B ,使得直线AB ∥x 轴,D 错误.(2)令g (x )=y =log 2(x +1),作出函数g (x )的图像如图,由⎩⎨⎧x +y =2,y =log 2(x +1),得⎩⎨⎧x =1,y =1.∴结合图像知不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}.(3)由题意知,存在x ∈[-1,1]使得kx +1+e x +1=2,即e x =-kx ,所以函数y =e x 与y =-kx 的图像在[-1,1]上恒有交点,在同一平面直角坐标系中作两函数图像如图所示.当x =-1时,k =1e ;当x =1时,-k =e ,即k =-e.综上,k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-e ,1e .答案 (1)A (2)C (3)B。

初中函数复习题

初中函数复习题

初中函数复习题一、选择题1. 下列哪个选项表示函数关系?A. 一次函数B. 二次函数C. 三角函数D. 所有选项2. 函数y=f(x)中,自变量x的取值范围是:A. 任意实数B. 非负实数C. 正实数D. 整数3. 若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是:A. 一次函数B. 二次函数C. 指数函数D. 对数函数4. 函数y=2x+3的图像不经过哪个象限?A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标是:A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, -1)D. (-2, 1)二、填空题6. 函数y=3x-2的图像与x轴交点的坐标是______。

7. 函数y=4/x的图像在第一象限的斜率是______。

8. 若函数f(x)=x^2-6x+8,则f(1)=______。

9. 函数y=|x-2|的图像与y轴交点的坐标是______。

10. 函数y=1/(x-1)的图像在x=2处的切线斜率是______。

三、解答题11. 已知函数f(x)=2x^2-4x+1,求函数的最小值。

12. 给定函数g(x)=x^3-3x^2+2,求函数在x=1处的导数。

13. 函数h(x)=5x+7,若h(a)=12,求a的值。

14. 已知函数k(x)=x^2-2x+1,求函数的对称轴。

15. 函数m(x)=3x-7与直线y=2x+1相交于点P,求点P的坐标。

四、综合题16. 已知函数p(x)=x^2-4x+3,求函数的顶点坐标,并说明顶点在哪个象限。

17. 函数q(x)=2x-1与直线y=x+3相交于点Q,求点Q的坐标,并说明点Q在哪个象限。

18. 函数r(x)=x^2-6x+8与x轴相交于点A和点B,求A和B的坐标,并说明它们在哪个象限。

19. 函数s(x)=4x^2-12x+9与y轴相交于点C,求点C的坐标,并说明点C在哪个象限。

20. 函数t(x)=3x+5与直线y=-x+2相交于点D,求点D的坐标,并说明点D在哪个象限。

函数概念与基本初等函数Ⅰ复习题及答案 (102)

函数概念与基本初等函数Ⅰ复习题及答案 (102)

函数概念与基本初等函数Ⅰ复习题及答案(1)(角度1)已知a =20.2,b =0.40.2,c =0.40.6,则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.b >c >a(2)(角度2)(2020·安徽江南名校联考)若e a +πb ≥e -b +π-a ,则有( )A.a +b ≤0B.a -b ≥0C.a -b ≤0D.a +b ≥0(3)(角度3)当x ∈(-∞,-1]时,不等式(m 2-m )·4x -2x <0恒成立,则实数m 的取值范围是________.(4)(角度3)已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3,24).若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x-m ≥0在x ∈(-∞,1]上恒成立,则实数m 的最大值为________.解析 (1)因为a =20.2>1,b =0.40.2<1,c =0.40.6<1,所以a >b ,a >c .又y =0.4x 是以0.4为底的指数函数,且在R 上单调递减,所以0.40.2>0.40.6,即b >c ,所以a >b >c .(2)令f (x )=e x -π-x ,则f (x )在R 上是增函数, 由e a +πb ≥e -b +π-a ,得e a -π-a ≥e -b -πb ,则f (a )≥f (-b ),所以a ≥-b ,则a +b ≥0.(3)原不等式变形为m 2-m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x, 因为函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(-∞,-1]上是减函数,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=2. 当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2-m <2,解得-1<m <2. (4)把A (1,6),B (3,24)代入f (x )=b ·a x,得⎩⎨⎧6=ab ,24=b ·a 3,结合a >0,且a ≠1,解得⎩⎨⎧a =2,b =3,所以f (x )=3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在区间(-∞,1]上恒成立,只需保证函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在区间(-∞,1]上为减函数,所以当x =1时,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可.所以m 的最大值为56.答案 (1)A (2)D (3)(-1,2) (4)56。

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书达教育高一数学函数复习题(一)
一、选择题:
1.若a 、b 、c ∈R +,则3a =4b =6c ,则( )
A .b a c 111+=
B .b
a c 122+= C .
b a
c 221+= D .b
a c 212+= 2.已知()|log |a f x x =,其中01a <<,则下列不等式成立的是
( )
A .11()(2)()43f f f >>
B .11(2)()()34
f f f >> C.11()()(2)43f f f >> D .11()(2)()34f f f >> 3.函数f (x )=1-x +2 (x ≥1)的反函数是 ( )
A .y =(x -2)2+1 (x ∈R)
B .x =(y -2)2+1 (x ∈R)
C .y =(x -2)2+1 (x ≥2)
D .y =(x -2)2+1 (x ≥1)
4.函数y =lg(x 2-3x +2)的定义域为F ,y =lg(x -1)+lg(x -2)的定义域为G ,那( )
A .F ∩G=∅
B .F=G
C .F G
D .G F 5.知函数y =f (2x )的定义域是[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域是 ( )
A .(0,+∞)
B .(0,1)
C .[1,2]
D .[2,4]
6.函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是
( ) A .]1,(],0,(-∞-∞ B .),1[],0,(+∞-∞
C .]1,(),,0[-∞+∞
D ),1[),,0[+∞+∞ 7.函数1
21-=x y 的值域是( ) )1,.(-∞A ),0()0,.(+∞-∞ B ),1.(+∞-C ),0()1,.(+∞--∞ D
8.当1>a 时,函数1
1-+=x x a a y 是( ) .A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数
9.函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( )
)1,0.(A )1,1.(B )0,2.(C )2,2.(D
10..若01<<-x ,那么下列各不等式成立的是( )
x
x x A 2.022.<<- x x x B -<<22.02. x x x C 222.0.<<-
x x x D 2.022.<<- 二、填空题
1、函数x x y +=
12[),1((+∞-∈x ]图象与其反函数图象的交点坐标为 2、若4log 15
a <(0a >且1)a ≠,则a 的取值范围是 3、已知函数22
1)(x
x x f +=,那么 =⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++41)4(31)3(21)2()1(f f f f f f f ____________. 4、已知函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数f(x+2)是偶函数,则
)2
7(),25(),1(f f f 的大小关系是 5、定义在]2 ,2[-上的偶函数g (x), 当x ≥0时g (x) 单调递减, 若
)( )1( m g m g <-, 则m 的 取值范围是 .
三、解答题
1.设20≤≤x ,求函数523421
+∙-=-x x y 的最大值和最小值
2.函数0()(>=a a x f x 且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值比最小值大2
a ,求a 的值。

3.已知f (x )=x 2+(2+lg a )x +lg b ,f (-1)=-2且f (x )≥2x 恒成立,求a 、b 的值.
4.已知函数3)2
1121()(x x f x +-= (1)求函数的定义域;(2)讨论函数的奇偶性; (3)证明:0)(>x f
5.函数f (x )对任意的m 、n ∈R, 都有f (m +n )=f (m)+f (n)-1, 并且x >0时, 恒有f (x )>1.
(1) 求证: f (x )在R 上是增函数;
(2 ) 若f (3 )=4, 解不等式f (25a a +-)<2。

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