《数理统计》第8章§6分布拟合检验
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《概率论与数理统计》第八章 讲义
k i 1 i
在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方 和的自由度，常记为f，如Q的自由度为fQ=k1。 自由度是偏差平方和的一个重要参数。
Page 19
Chapter 8 方差分析与回归分析
四、总平方和分解公式
各yij间总的差异大小可用总偏差平方和 r m
ST ( yij y )2
Page 11
Chapter 8 方差分析与回归分析
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , i 1, 2,..., r , j 1, 2,..., m （8.1.3） 2 诸 相互独立，且都服从 N (0, ) ij
总均值与效应:
称诸
1 1 r i i 的平均 r (1 ... r ) r i 1
（8.1.19）
一般可将计算过程列表进行。
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Chapter 8 方差分析与回归分析
例8.1.2 采用例8.1.1的数据，将原始数据减去1000， 列表给出计算过程： 表8.1.4 例8.1.2的计算表
水 平 A1 A2 A3 73 107 93 数据（原始数据-1000） 9 92 29 60 1 2 90 22 12 74 32 9 122 29 28 1 48 Ti 194 585 354 1133 Ti
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Chapter 8 方差分析与回归分析
8.1.2 单因子方差分析的统计模型
在例8.1.1中我们只考察了一个因子，称其为 单因子试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其 有r个水平，记为A1, A2,…, Ar，在每一水平下 考察的指标可以看成一个总体 ，现有 r 个水 平，故有 r 个总体， 假定：
在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方 和的自由度，常记为f，如Q的自由度为fQ=k1。 自由度是偏差平方和的一个重要参数。
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Chapter 8 方差分析与回归分析
四、总平方和分解公式
各yij间总的差异大小可用总偏差平方和 r m
ST ( yij y )2
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Chapter 8 方差分析与回归分析
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , i 1, 2,..., r , j 1, 2,..., m （8.1.3） 2 诸 相互独立，且都服从 N (0, ) ij
总均值与效应:
称诸
1 1 r i i 的平均 r (1 ... r ) r i 1
（8.1.19）
一般可将计算过程列表进行。
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Chapter 8 方差分析与回归分析
例8.1.2 采用例8.1.1的数据，将原始数据减去1000， 列表给出计算过程： 表8.1.4 例8.1.2的计算表
水 平 A1 A2 A3 73 107 93 数据（原始数据-1000） 9 92 29 60 1 2 90 22 12 74 32 9 122 29 28 1 48 Ti 194 585 354 1133 Ti
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Chapter 8 方差分析与回归分析
8.1.2 单因子方差分析的统计模型
在例8.1.1中我们只考察了一个因子，称其为 单因子试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其 有r个水平，记为A1, A2,…, Ar，在每一水平下 考察的指标可以看成一个总体 ，现有 r 个水 平，故有 r 个总体， 假定：
概率论课件分布拟合检验
基因表达分析
通过分布拟合检验，可以 对基因表达数据进行统计 分析，了解基因表达模式 和功能。
临床试验数据分析
在临床试验中，分布拟合 检验可用于分析药物疗效、 疾病发病率等数据。
其他应用场景
环境监测
在环境监测领域，分布拟合检验可用 于分析空气质量、水质等环境指标的 分布特征。
社会调查
在社会调查中，分布拟合检验可用于 分析人口普查、民意调查等数据，了 解社会现象和趋势。
本研究还发现，不同分布拟合检验方法在拟合效 果上存在差异，其中QQ图和概率图在判断分布拟 合优劣方面表现较好，而直方图在可视化展示方 面更具优势。
研究展望
在未来的研究中，可以进一步 探讨其他理论分布与实际数据 的拟合程度，以寻找更合适的
分布模型。
可以结合机器学习和人工智能 算法，对数据进行更深入的挖 掘和分析，以提高分布拟合检
分析结果表明，所选理论分布与实际数据存在一 定的拟合程度，但也存在一定的偏差。其中，正 态分布和指数分布与实际数据的拟合效果较好， 而泊松分布和威布尔分布的拟合效果相对较差。
在本研究中，我们采用了多种分布拟合检验方法 ，包括直方图、QQ图、概率图和统计检验等方法 ，对实际数据进行了深入的分析和比较。
通过绘制直方图和QQ图，可 以直观地观察数据分布与理论 分布的拟合程度。同时，计算 峰度系数和偏度系数等统计指 标，可以量化地评估分布拟合 程度。
案例二：人口普查数据分布拟合检验
• 总结词：人口普查数据分布拟合检验是评估人口数据质量和预测人口发 展趋势的重要手段。
• 详细描述：通过对人口普查数据进行分布拟合检验，可以判断人口数据 是否符合预期的分布形态，如年龄、性别、地区分布等，从而评估数据 质量和预测未来人口发展趋势。
概率论与数理统计 第8章
后所生产的灯管中抽取 25 只，测得平均寿命为 1675 小时。 问采用新工艺后，灯管寿命是否有显著性提高?
现在的问题就是要判别新产品的寿命是服从 μ >1500 的
正态分布，还是服从 μ ≤1500的正态分布? 若是前者，我们 就说新产品的寿命有显著性提高；若是后者，就说新产品的 寿命没有显著性提高。
定义 1 将对总体提出的某种假设称为原假设，记为 H 0 ； 将与原假设矛盾的假设称为备择假设，记为 H 1 。
在例 8－1 中，我们把涉及的两种情况用假设的形式表示
出来，第一个假设 μ ≤1500 表示采用新工艺后产品平均寿命没 有显著性提高，第二个假设 μ >1500 表示采用新工艺后产品平
均寿命有显著性提高。第一个假设为原假设，即“ H 0 ：μ
定义 8 给定犯第一类错误的概率不大于 α 所作的假设 检验称为显著性检验，称 α 为显著性水平。 例 8－2 某车间用一台包装机包装食盐，每袋食盐的净 重是一个随机变量，它服从正态分布。当包装机正常时，其 均值为 0.5kg ，标准差为 0.015kg 。某日开工后为检查包装 机工作是否正常，随机地抽取它所包装的食盐 9 袋，称得样 本均值 ������ X =0. 511kg ，问在显著性水平 α =0.05 下，这 天包装机工作是否正常。
由于无论是第一类错误还是第二类错误都是作假设检验 时的随机事件，因此在假设检验中它们都有可能发生。我们 当然希望尽可能使犯两类错误的概率都很小，但一般来说， 当样本的容量固定时，若刻意地减少犯一类错误的概率，则 犯另一类错误的概率往往会增大。若要使两类错误的概率都 减小，就需增大样本的容量。在给定样本容量的情况下，我 们总是对犯第一类错误的概率加以控制，使它不大于 α ， 而不关心犯第二类错误的概率 β是增大了还是减小了，这样 的假设检验就是显著性检验。
现在的问题就是要判别新产品的寿命是服从 μ >1500 的
正态分布，还是服从 μ ≤1500的正态分布? 若是前者，我们 就说新产品的寿命有显著性提高；若是后者，就说新产品的 寿命没有显著性提高。
定义 1 将对总体提出的某种假设称为原假设，记为 H 0 ； 将与原假设矛盾的假设称为备择假设，记为 H 1 。
在例 8－1 中，我们把涉及的两种情况用假设的形式表示
出来，第一个假设 μ ≤1500 表示采用新工艺后产品平均寿命没 有显著性提高，第二个假设 μ >1500 表示采用新工艺后产品平
均寿命有显著性提高。第一个假设为原假设，即“ H 0 ：μ
定义 8 给定犯第一类错误的概率不大于 α 所作的假设 检验称为显著性检验，称 α 为显著性水平。 例 8－2 某车间用一台包装机包装食盐，每袋食盐的净 重是一个随机变量，它服从正态分布。当包装机正常时，其 均值为 0.5kg ，标准差为 0.015kg 。某日开工后为检查包装 机工作是否正常，随机地抽取它所包装的食盐 9 袋，称得样 本均值 ������ X =0. 511kg ，问在显著性水平 α =0.05 下，这 天包装机工作是否正常。
由于无论是第一类错误还是第二类错误都是作假设检验 时的随机事件，因此在假设检验中它们都有可能发生。我们 当然希望尽可能使犯两类错误的概率都很小，但一般来说， 当样本的容量固定时，若刻意地减少犯一类错误的概率，则 犯另一类错误的概率往往会增大。若要使两类错误的概率都 减小，就需增大样本的容量。在给定样本容量的情况下，我 们总是对犯第一类错误的概率加以控制，使它不大于 α ， 而不关心犯第二类错误的概率 β是增大了还是减小了，这样 的假设检验就是显著性检验。
分布拟合
拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下:
若有r个未知参数需用相应的估计量来代 替，自由度就减少r个. 此时统计量 渐近(k-r-1)个自由度的 分布.
2 2
根据这个定理，对给定的显著性水平 ， 2 2 查 分布表可得临界值 ，使得
P ( )
2 2
得拒绝域:
( k 1) (不需估计参数)
例1
在一个正二十面体的二十个面上,分别标有
数字0, 1, 2, …, 9. 每个数字在两个面上标出.
为检验其均匀性,作了800次投掷试验,数字0, 1,
2, …, 9朝正上方的次数如下: 数字 0 频数 74 1 92 2 83 3 79 4 80 5 73 6 77 7 75 8 76 9 91
2
使用 2检验法对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设:
H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法 检验假设H0时，若在H0下 分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
K-S检验的优势和劣势
• • • • 作为一种非参数方法，具有稳健性； 不依赖均值的位置； 对尺度化不敏感； 适用范围广（不像 t 检验仅局限于正态分布， 当数据偏离正态分布太多时t 检验会失效； • 比卡方更有效； • 如果数据确实服从正态分布，没有 t 检验敏感 （或有效）。
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 .
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下:
若有r个未知参数需用相应的估计量来代 替，自由度就减少r个. 此时统计量 渐近(k-r-1)个自由度的 分布.
2 2
根据这个定理，对给定的显著性水平 ， 2 2 查 分布表可得临界值 ，使得
P ( )
2 2
得拒绝域:
( k 1) (不需估计参数)
例1
在一个正二十面体的二十个面上,分别标有
数字0, 1, 2, …, 9. 每个数字在两个面上标出.
为检验其均匀性,作了800次投掷试验,数字0, 1,
2, …, 9朝正上方的次数如下: 数字 0 频数 74 1 92 2 83 3 79 4 80 5 73 6 77 7 75 8 76 9 91
2
使用 2检验法对总体分布进行检验时，
我们先提出原假设:
H0：总体X的分布函数为F(x) 然后根据样本的经验分布和所假设的理论分 布之间的吻合程度来决定是否接受原假设. 这种检验通常称作拟合优度检验，它是一 种非参数检验.
在用 2检验法 检验假设H0时，若在H0下 分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验.
K-S检验的优势和劣势
• • • • 作为一种非参数方法，具有稳健性； 不依赖均值的位置； 对尺度化不敏感； 适用范围广（不像 t 检验仅局限于正态分布， 当数据偏离正态分布太多时t 检验会失效； • 比卡方更有效； • 如果数据确实服从正态分布，没有 t 检验敏感 （或有效）。
概率论与数理统计教案第八章
其中， 是已知常数．试求拒绝域 ．
例8为比较新老品种的肥料对作物的效用有无显著差别，选用了各方面条件差不多的10个地块种上此作物.随机选用其中5块施上新肥料，而剩下的5块施上老肥料．等到收获时观察到施新肥的地块，平均年产333(单位：千斤)，样本方差为32，施老肥的地块平均年产330，样本方差为40．假设作物产量服从正态分布，检验新肥是否比老肥效用上有显著提高（显著性水平 ）．
点面朝上
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
在 水平下，请问，这颗骰子是否是均匀的
例2在某细纱机上进行断点率测定，测验锭子总数为440，测得断头次数记录如下表：
每锭断头数
0
1
2
34Βιβλιοθήκη 5678
锭数（实测）
269
112
38
19
3
1
0
0
3
试问在显著性水平 下能否认为锭子的断头数服从泊松分布
例3某高校研究在校学生的体重，现随机抽取了100位学生，测得他们的体重（单位：kg）为
检验参数
原假设与备择假设
检验统计量
拒绝域
方差
已知
;
当 时，
或
;
;
未知
;
当 时，
或
;
;
3、两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总如下表
检验参数
抽样分布
检验统计量
拒绝域
均值差
已知
;
当 时，
;
;
未知
;
当 时，
;
;
4、两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总如下表
例8为比较新老品种的肥料对作物的效用有无显著差别，选用了各方面条件差不多的10个地块种上此作物.随机选用其中5块施上新肥料，而剩下的5块施上老肥料．等到收获时观察到施新肥的地块，平均年产333(单位：千斤)，样本方差为32，施老肥的地块平均年产330，样本方差为40．假设作物产量服从正态分布，检验新肥是否比老肥效用上有显著提高（显著性水平 ）．
点面朝上
1
2
3
4
5
6
出现次数
23
26
21
20
15
15
在 水平下，请问，这颗骰子是否是均匀的
例2在某细纱机上进行断点率测定，测验锭子总数为440，测得断头次数记录如下表：
每锭断头数
0
1
2
34Βιβλιοθήκη 5678
锭数（实测）
269
112
38
19
3
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0
0
3
试问在显著性水平 下能否认为锭子的断头数服从泊松分布
例3某高校研究在校学生的体重，现随机抽取了100位学生，测得他们的体重（单位：kg）为
检验参数
原假设与备择假设
检验统计量
拒绝域
方差
已知
;
当 时，
或
;
;
未知
;
当 时，
或
;
;
3、两个正态总体均值差的假设检验问题可汇总如下表
检验参数
抽样分布
检验统计量
拒绝域
均值差
已知
;
当 时，
;
;
未知
;
当 时，
;
;
4、两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总如下表
分布拟合检验
ˆ ˆ ˆ 大似然估计θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r ;
ˆ (2) 在 F ( x ,θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r ) 中用 θ i 代替θ i ( i = 1, 2,⋯, r ),
则 F ( x ,θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r ) 就变成完全已知的分布函数
ˆ ˆ ˆ F ( x ,θ 1 ,θ 2 ,⋯,θ r );
ˆ λ = x = 0.69.
按参数为0.69的泊松分布, 计算事件 X = i 的概率 pi , 的泊松分布, 按参数为 的泊松分布 pi 的估计是 pi = e −0.69 0.69i / i! , i = 0,1,2,3,4 ˆ 根据引例所给数表, 将有关计算结果列表如下: 根据引例所给数表, 将有关计算结果列表如下:
H 0 : 总体 X 的分布律为 P{ X = xi } = pi , i = 1,2,⋯;
如果总体分布为连续型， 如果总体分布为连续型， 则假设具体为 连续型
Hale Waihona Puke H 0 : 总体 X 的概率密度函数为 f ( x ).
然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间 的吻合程度来决定是否接受原假设, 这种检验通常 的吻合程度来决定是否接受原假设 称作拟合优度检验， 称作拟合优度检验， 它是一种非参数检验. 拟合优度检验 它是一种非参数检验 非参数检验 一般地， 我们总是根据样本观察值用直方图和经验 一般地， 分布函数， 推断出可能服从的分布， 然后作检验. 分布函数， 推断出可能服从的分布， 然后作检验
χ 2 检验法 1900年发表的一篇文章中引进的所谓 年发表的一篇文章中引进的所谓
不少人把此项工作视为近代统计学的开端. 不少人把此项工作视为近代统计学的开端
年的432年间 年间, 到 年的 一 引例 从1500到1931年的 年间 每年爆发战争的 次数可以看作一个随机变量, 椐统计, 次数可以看作一个随机变量 椐统计 这432年间共 年间共 爆发了299次战争 具体数据如下： 次战争, 具体数据如下： 爆发了 次战争
第八章__假设检验(分布拟合检验)
2 0.05
(1)
=3.841
由于统计量 2的实测值
=2 0.4158<3.841，
未落入否定域.
故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
这些试验及其它一些试验，都显 示孟德尔的3: 1理论与实际是符合的. 这本身就是统计方法在科学中的一项 重要应用.
用于客观地评价理论上的某个结论是否 与观察结果相符，以作为该理论是否站 得住脚的印证.
Σ
fi
pˆ i
npˆ i
50 0.2788 45.1656
npˆ i fi (npˆi fi )2 / npˆi
-4.8344 0.5175
31 0.2196 35.5752
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.5752 0.5884
26 0.1527 24.7374
-1.2626 0.0644
17 0.1062 17.2044
按 =0.05，自由度为4-1-1=2查 2 分布表得
2 0.05
(2)=5.991
由于统计量 2 的实测值
2=2.43<5.991，
未落入否定域.
故认为每年发生战争的次数X服从 参数为0.69的泊松分布.
例2. 我们以遗传学上的一项伟大发现为 例说明统计方法在研究自然界和人类社会的规 律性时，是起着积极的、主动的作用.
第八章 假设检验(续)
§4. 分布拟合检验
在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布为 正态时，关于其中未知参数的假设检验问 题.
然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
例1. 从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计,这432年间共爆发了299次战争, 数据如下:
分布拟合检验
2
随机变量 x 的偏度和峰度指的是 x 的标准化变 量[x-E(x)]/ D( x ) 的三阶中心矩和四阶中心矩： x - E(x) 3 E[( x E ( x )) 3 ] v1=E[( ) ]= , 3/ 2 ( D( x )) D(x) x - E(x) 4 E[( x E ( x )) 4 ] v2=E[( ) ]= . 2 ( D( x )) D(x) 当随机变量 x 服从正态分布时，v1=0 且 v2=3. 设 x1,x2,…,xn 是来自总体 x 的样本，则 v1,v2 的矩估 计分别是 g1=B3/B 3/2 , g2=B4/B 2 . 2 2 其中 Bk(k=2,3,4)是样本 k 阶中心矩，并分别称 g1, g2 为样本偏度和样本峰度.
例 1 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某 种铀所放射的到达计数器上的 粒子数 x，共观察了 100 次，得结果如下表所示： 表 8.2 铀放射的 粒子数的实验记录 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0 Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 其中 fi 是观察到有 i 个 粒子的次数。从理论上考虑 知 x 应服从泊松分布
155 149 141 142 141 147 149 140
158 158 140 137 149 146 138 142
解 为了粗略了解这些数据的分布情况，我们先根 据所给的数据画出直方图，下面就来介绍直方图。 上述数据的最小值、最大值分别为126、158，即所 有数据落在区间[126，158]上现取区间[124.5，159.5] ，它能覆盖区间[126，158]。将区间[124.5，159.5]等 分为7个小区间，小区间的长度记为 , (159.5 124.5) / 7 5. 称为组距。小区间的端点称为组限。数出落在每个 小区间内的数据频数 f i ，算出频率 f i / n / n( n 84, i 1,2,,7) 如下表
随机变量 x 的偏度和峰度指的是 x 的标准化变 量[x-E(x)]/ D( x ) 的三阶中心矩和四阶中心矩： x - E(x) 3 E[( x E ( x )) 3 ] v1=E[( ) ]= , 3/ 2 ( D( x )) D(x) x - E(x) 4 E[( x E ( x )) 4 ] v2=E[( ) ]= . 2 ( D( x )) D(x) 当随机变量 x 服从正态分布时，v1=0 且 v2=3. 设 x1,x2,…,xn 是来自总体 x 的样本，则 v1,v2 的矩估 计分别是 g1=B3/B 3/2 , g2=B4/B 2 . 2 2 其中 Bk(k=2,3,4)是样本 k 阶中心矩，并分别称 g1, g2 为样本偏度和样本峰度.
例 1 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某 种铀所放射的到达计数器上的 粒子数 x，共观察了 100 次，得结果如下表所示： 表 8.2 铀放射的 粒子数的实验记录 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0 Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 其中 fi 是观察到有 i 个 粒子的次数。从理论上考虑 知 x 应服从泊松分布
155 149 141 142 141 147 149 140
158 158 140 137 149 146 138 142
解 为了粗略了解这些数据的分布情况，我们先根 据所给的数据画出直方图，下面就来介绍直方图。 上述数据的最小值、最大值分别为126、158，即所 有数据落在区间[126，158]上现取区间[124.5，159.5] ，它能覆盖区间[126，158]。将区间[124.5，159.5]等 分为7个小区间，小区间的长度记为 , (159.5 124.5) / 7 5. 称为组距。小区间的端点称为组限。数出落在每个 小区间内的数据频数 f i ，算出频率 f i / n / n( n 84, i 1,2,,7) 如下表
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f
2 i
npi
k
2n i 1
fi pi npi
n2
k
i 1
pi2 npi
k
i 1
f
2 i
npi
n
对连续型总体可离散化处理 第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
6/7
一箱子中有 种球10分别标有号码 从1箱~ 1中0.有放回
地摸球 次,得2如00下数据：
种类 ai 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 f i 35 16 15 17 17 19 11 16 30 24
问能否认为箱中各种球的个数相同？( 0.05)
设若X表箱示中摸各出种球球的的种个类数,则相同这的X,三那取种么值球每为明次显摸1,偏出2, 多任 ,1何0
依题意要检验一假种设球是等可能的
Pears箱o现n中k2各统 1种记计0,球n量X表的H观示20个:0察每0P数,值{r次X相为摸0同,i出}pi 的1/1球110P0,{的nXp(号ii=i码2}10,21,(,110则,1(i0i )
H0：F(x) F0(x) , H1：F(x) F0(x)
其中 F0(x) 1 ex (x 0) 为指数分布函数.
2
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
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设总体 X ~ F(x) (F(x)未知),要检验假设
H0：F(x) F0(x) , H1：F(x) F0(x)
其中 F0(为x) 某已知分布函数. 若 F0(含x) 未知参数 1,2,,r,则用 ML代E之,即
§6 分布拟合检验
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设 X1, X2, , Xn 是总体 X ~ f (x , ) 的样本
如果 的f形式已知,只有参数 未知 ,则可通过点估计、 区间估计、参数假设检验等方法对 进行统计推断
如果 f 的形式未知,怎样对总体进行统计推断
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
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2
通常认为一个班的某课程的考试成绩 服从X正态分布, 但事实是否真的如此？有必要检验假设
统计量
2
k
i 1
(
fi
npi )2 npi
的近似分布是
2 (k 1)
,其中 k
是被估计参数的个数.
一般当 n 5就0 认为 2 ~ 2 (k 1)
H0的拒绝域是
k
(
f
i
i 1
npnipi )2
2 1
(k
1)
2的计算
称为 Pearson 2
2
k
i 1
(
fi
npnipi )2
拟合优度检验
k
i 1
10) 1, 2,
,10)
2
k
i 1
f
2 i
npi
n
1 20
10
i 1
f
2 i
n
224.9
200
24.9
16.919
2 0.95
(9)
故拒绝 H即0 , 认为箱中各种球的个数不相同第八. 章 假设检验
F0(x) F0(x ,ˆ1,ˆ2,,ˆr)
X ~ f (x) (密度函数 f (未x) 知 ),要检验
H0：f (x) f0(x) ，H1：f (x) f0(x)
其中 f0(为x) 某已知的密度函数. X (X 的分布律未知 ),要检验假设
H0：P{X ai} pi , H1：P{X ai} pi (i 1, 2,, k)
H0：X ~ N (, 2 ) 考察某台电子仪器的无故障时间 12次,得数据
28, 42, 54, 92, 138, 159, 169, 181, 210, 234, 236, 266
问该仪器的无故障时间服从什么分布？ 设仪器的无故障时间 X ~ F(x) (F(x) 未知 )
通常认为寿命服从指数分布,故提出假设
ai} 1
pi
(i 1, 2,,k)
fi X1, X2, , Xn 中取 a值i 的个数 (i 1, 2, , k)
频数 f是i r.v (1 i k),且 f1 f 2 fk n
若 H成0 立,即 P{X ai} pi (1 i k ),依大数定律有
事 发则件生的{Xf频i /n率ai}pi
其中 a i , pi (1,2均, 已, k知) ,且
k
pi
1
i 1
第八章 假设检验
§6 分布拟合检验
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设 X1, X 2,, Xn为离散型总体 X的样本 ,的X分布律 未知,要检验假设
其中 a i ,
pi
H0：P{X ai}
(1,2均, 已, k知) ,且 记
pi
,
H1：P{X
k
pi
i 1
fi n
P
pi
(n )
f i npi 事|件f i {nXpi |a应i}偏小
若 的2 值偏大Pe实,a则r际so要n频拒数2统绝计2 量Hik01理(2f服i论n发从pn频ip生什i )数2的么应概分第偏称 统八布率小为 计章 量P假ea设rs检on验2
§6 分布拟合检验
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不论总体服从什么分布, Pearson 2