[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：二维形式的柯西不等式1课时
选修4-5 第三节 柯西不等式与算术—几何平均不等式2
5、2009年浙江省样卷
二、高考考题解析 1 1 1．(2010· 辽宁沈阳)已知实数 x，y 满足 2＋ 2＝1， x y 求 x2＋2y2 的最小值．
1 1 1 2．已知 a，b，c 为正实数，求a3＋b3＋c3＋abc 的最小值．
解：因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 ··， a3 b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ c 3 ≥abc. a b 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥abc＋abc. a b c
2 2 解：∵2x＋ ＝2(x－a)＋ ＋2a≥4＋2a， x－a x－a ∴7≤4＋2a 3 3 ∴a≥2，∴amin＝2
4. 实数x,y满足xy>0,且x2y=4,求xy+x2的最小值.
解 : xy 0, x y 4,
2
4 y 2 0, x 0. x 4 4 2 2 xy x x 2 x x 2 x x
选修4—5 不等式选讲第三讲（两课时）
柯西不等式与算术—几何平均不等式 1.能利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式， 解决最——几何平均不等 式证明一些简单不等式，解决最大（小）值的 问题，了解基本不等式的推广形式（n个正数 的形式）.
[基础知识]
1 1 1 法二：左边＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]( ＋ ＋ ) a＋b b＋c c＋a a＋b a＋b b＋c b＋c c＋a c＋a ＝3＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ b＋c c＋a a＋b c＋a a＋b b＋c ≥3＋2 a＋b b＋c · ＋2 b＋c a＋b a＋b c＋a · ＋ c＋a a＋b
教学设计：选修4-5+第三讲+柯西不等式与排序不等式(4课时)
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：1、认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义；2、并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +≥>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题 第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P414题2. 作业：教材P415、6题。
人教版高中数学A版选修4-5 第三讲3.1二维形式的柯西不等式课程教学设计
二维形式的柯西不等式1．教学目标知识与技能（1）认识二维形式的柯西不等式，了解它的结构特征,并理解其几何意义.（2）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.（3）知道一般形式的柯西不等式.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会从几何到代数的数学研究一般方法.（2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。
如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式，给出二维柯西不等式的几何意义等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——建立具体问题与柯西不等式之间的联系，经过恰当变形，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步学会化归转化思想的运用技术。
情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式的向量形式和三角不等式的几何意义，体会数形结合的思想，逐步提高观察、归纳和主动获取知识的能力，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
（2）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，品尝成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。
（3）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,体会事物间的辩证统一，感受数学的形式美。
2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。
本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式和二维形式的三角形不等式，以及它们的几何背景。
二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入 下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n
高中数学选修4-5柯西不等式与排序不等式第3讲3人教版
①
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 ＋ ＋ ≤ ＋ ＋ ， a b c b c c
11 11 11 a b c 即 a10＋b10＋c10≤ ＋ ＋ . b c a
[ 思路点拨]
由于题目中已明确 a≥b≥c， 所以解答本题时
可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
1 1 ∵a≥b>0，于是 ≤ ， a b
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 同理 ≥ ， ca ab 1 1 1 从而 ≥ ≥ . bc ca ab
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
1．顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1， c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝
a1b1＋a2b2＋…＋anbn 1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和____________________ a1c1＋a2c2＋…＋ancn 为乱序和，称相反顺序 为顺序和，称_____________________
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
课堂学案
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
字母的大小顺序已确定的不等式的证明
人教版数学高二A版选修4-5学案第三讲一二维形式的柯西不等式
一 二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥__________，当且仅当______时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b)(c ＋d)≥________________(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )．【做一做1】 已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6 B.6 C ．6 D ．122．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤__________，当且仅当β是________，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．【做一做2】 设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.3．二维形式的三角不等式(1)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥__________________.(2)推论：(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥____________________，(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．解决柯西不等式的应用问题，关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式．答案：1．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)(ac ＋bd )2 |ac ＋bd | |ac |＋|bd |【做一做1】 D (4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立． 2．|α||β| 零向量【做一做2】 －18 (4，－2，－4) 根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立．∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．3．(1)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 (2)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)21．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，(a 2＋b 2)(d 2＋c 2)≥(ad ＋bc )2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．柯西不等式取“＝”的条件剖析：柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是“ad ＝bc ”，有点像a ，b ，c ，d 成等比时，ad ＝bc 的结论，a ，b ，c ，d 的顺序不等式中是对应排列顺序的，柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|，取“＝”的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆．题型一 柯西不等式等号成立的条件【例1】 求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 反思：利用二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是ad ＝bc .因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a ，b ，c ，d ”的数或代数式，否则容易出错．题型二 利用柯西不等式证明某些不等式【例2】 设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2. 分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求a 22－a ＋b 22－b 的最小值，因而需出现(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)结构．把a 22－a ＋b 22－b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a )＋(2－b )．反思：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．答案：【例1】 证明：设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2＝(x －x 0)2＋(y －y 0)2，A 2＋B 2≠0.由柯西不等式，得(A 2＋B 2)[(x －x 0)2＋(y －y 0)2]≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2＝(Ax 0＋By 0＋C )2，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 当且仅当x －x 0A ＝y －y 0B ＝－Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2时，取等号．由垂线段最短，得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 【例2】 证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )](a 22－a ＋b 22－b) ＝[(2－a )2＋(2－b )2][(a 2－a )2＋(b 2－b )2] ≥(2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b )2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. 当且仅当2－a ·b 2－b ＝2－b ·a 2－a ， 即a ＝b ＝1时等号成立．∴原不等式成立．1．已知49x y+＝2，x ，y ∈R ＋，则x ＋y 的最小值是( ) A.252 B.254 C.52 D ．5 2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D. 36253．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1.4．已知a ＞b ＞c ，求证：11a b b c +--≥4a c-.5．设a ，b ，c ＞0，且acos 2θ＋bsin 2θ＜c.22θθ+答案：1．A由49x y+＝2，可得x＋y212＝21(23)2+＝252.，即x＝5，y＝152时等号成立．2．B2x2＋3y2＝[2)＋2)][2＋2]×15≥21)5+＝26()5x y+＝65.当且仅当2x＝3y，即x＝35，y＝25时等号成立．3．证明：由柯西不等式，得|ax＋by|＝1.当且仅当ay＝bx时等号成立．4．分析：原不等式可变形为(a－c)(1a b-＋1b c-)≥4.又a－c＝(a－b)＋(b－c)，利用柯西不等式证明即可．证明：(a－c)(1a b-＋1b c-)＝[(a－b)＋(b－c)](1a b-＋1b c-)＝[2＋2][2＋2]≥2＝4，即a－b＝b－c时等号成立．∴原不等式成立．5．证明：由柯西不等式及题设，得2θ2θ)2＝cos θθsin θθ)2≤[2)θ＋2)θ](cos 2θ＋sin 2θ)＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .sin θθsin θθ， 即a ＝b 时等号成立．2θ2θ。
[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：一般形式的柯西不等式2课时
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a
2
b c d
2 2
2
b
2 2
c d a
2 2
2
ab bc cd da
因为a, b, c, d 是不全相等的正数, 所以等式 a b c d 1 不成立, b c d a
所以a 2 b 2 c 2 d 2 2 ab bc cd da ,
1 xn
xn 1 xn
)2 ( x1 x2
xn )2 1
2 2 x1 x2 1 x1 1 x2
2 xn 1 ≥ 1 xn n 1
1 4 9 2.已知 x, y, z R ,且x y z 1, 求证: ≥ 36 x y z
≥( x
1 x
2
y
2 y
z
3 z
)2 36
1 2 1 2 1 1 1 当且仅当 x y z , 即x , y , z 时,等号成立. 4 9 6 3 2
作业41页4,6
41页4：设a、b、c为正数且各不相等。 求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc 1 1 1 证明： 2(a b c)( ) ab bc ca 1 1 1 [(a b) (b c) (c a)]( ) ab bc ca
练习4：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
即可
人教A版高中数学选修4-5课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的， 不怕真小人，就怕伪君子！ 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。 读书也像开矿一样，“沙里淘金”。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：二维形式的柯西不等式2课时1
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6,8,9
37页习题3.1
7
a b 例4 已知x, y, a, b R , 且 1,求x y的最小值. x y
a b 解 : x, y , a , b R , 1, x y x y ( x) ( y)
2
2
a x
1 1 例 3 设a, b R , a b 1, 求证 4. a b 分析 问题中有a b 1这个条件,由于常 数 1的特殊性, 用 a b 去乘任何数或式子 , 都不会改变它们的值 , 根据证明的需要可 1 1 以应用这个条件 .在本例中 , 注意到 a b 1 1 1 1 a b , 有了a b , 就可以 a b a b 用柯西不等式了 .
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变形 后可得到两个比较重要的不等式：
a b c d ac bd
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d ac | | bd
2 2 2 2 x1 y1 2( x1 x2 y1 y2 ) x2 y2 2 2 2 2 x1 2 x1x2 x2 y1 2 y1 y2 y2
x1 x2 y1 y2 ,
2 2
故 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
打开几何画板观察实验 .
y
P1x1, y1
y
P1x1, y1 P2 x 2 , y2
2015高中数学选修4-5【精品课件】3-1 二维形式的柯西不等式(共21张PPT)
于是长方形 ABCD 的周长
l=2(x+ 42 - 2 )=2(1×x+1× 42 - 2 ),
由柯西不等式,得 l≤2[x +(
2
1
1
42 - 2 )2]2 ×(12+12)2 =4
2R.
当且仅当 x= 42 - 2 ,即 x= 2R 时,等号成立,此时宽
BC= 42 -( 2R)2 = 2R,即 ABCD 为正方形,故周长最大的圆内接长方形
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
.
( 2x)2 + 2
= 3×
2 2 + 2 = 3,
当且仅当 2y= 2x,即 x=y 时,等号成立.
第二十页，编辑于星期五：十二点 十六分。
一
问题导学
二维形式的柯西不等式
当堂检测
1
2
3
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习引导
预习交流
柯西不等式与基本不等式的区别是什么?
提示:柯西不等式与基本不等式相比,柯西不等式中的字母、数较多,
不容易记忆,这就要求认真理解代数形式、向量形式和三角形式的推导
过程,从数与形两个方面来理解和记忆.
第六页，编辑于星期五：十二点 十六分。
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当
的变形,这种变形往往具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据
2018高中数学选修4-5课件：第三讲3-1-3-2一般形式的柯西不等式 精品
()
A．1
B．2
C. 2
D．4
解析：因为(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
所以 ax＋by≤ 2.
答案：C
3．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12 C．a2＋b2≥2
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
解析：因为(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
所以 a2＋b2≥2.
答案：C
4. 已知 2x2＋y2＝1，则 2x＋y 的最大值是________． 解析：2x＋y≤ （2＋1）（2x2＋y2）＝ 3，当且 仅当 x＝y＝ 33时等号成立． 答案： 3
5．函数 y＝2 1－x＋ 2x＋1的最大值为________． 解析：函数的定义域为－12，1，且 y＞0， y＝2 1－x＋ 2 x＋12≤ 22＋（ 2）2·
类型 3 柯西不等式的综合应用(规范解答) [典例 3] (2015·陕西卷)(本小题满分 10 分)已知关于 x 的不等式|x＋a|＜b 的解集为{x|2＜x＜4}． (1)求实数 a，b 的值； (2)求 at＋12＋ bt的最大值． 审题指导：(1)将原不等式去掉绝对值，对比已知的
解集可求得 a，b 的值．(2)运用柯西不等式求最值．
又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a＋b＋c＝4. (2)由(1)知 a＋b＋c＝4，由柯西不等式得 14a2＋19b2＋c2(4＋9＋1)≥ a2·2＋b3·3＋c·12＝(a＋b＋c)2＝16，
则14a2＋19b2＋c2≥87， 当且仅当122a＝133b＝1c，即 a＝87，b＝178，c＝27时等号 成立， 故14a2＋19b2＋c2 的最小值为87.
4．对一般形式的柯西不等式，应注意整体的结构特 征，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维 理解模式，在应用其解决问题时才能灵活运用．
选修4-5第3讲
选修4-5 不等式选讲
利用柯西不等式证明不等式 [典例引领]
设 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1， 求证：a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2≥1030.
栏目 导引
选修4-5 不等式选讲
【证明】 a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2 ＝13(12＋12＋12)a＋1a2＋b＋1b2＋c＋1c2 ≥131×a＋1a＋1×b＋1b＋1×c＋1c2 ＝131＋1a＋1b＋1c2 ＝131＋（a＋b＋c）1a＋1b＋1c2 ≥13×(1＋9)2＝1030，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立， 所以所求证的不等式成立．
＋
…
＋
a2n)a121＋a122＋…＋a12n≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式
时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
栏目 导引
选修4-5 不等式选讲
[通关练习] 1．设 x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求 x2＋y2＋z2 的最小值． [解] 考虑以下两组向量 u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)， 根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2， 得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)， 即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)， 将 2x－y－2z＝6 代入其中， 得 36≤9(x2＋y2＋z2)， 即 x2＋y2＋z2≥4， 故 x2＋y2＋z2 的最小值为 4.
栏目 导引
选修4-5 不等式选讲
3．排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1，c2，…， cn 为 b1 ， b2 ， … ， bn 的 任 一 排 列 ， 则 有 ： ______a_1_b_n＋__a_2_b_n_－_1＋__…__＋__a_n_b_1_____________ ≤ a1c1 ＋ a2c2 ＋ … ＋ancn≤____a_1_b_1＋__a_2_b_2＋__…__＋__a_n_b_n_____________，当且仅当 a1 ＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等于顺序和． 排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
黑龙江省虎林高级中学高中数学课件：第二讲 三 选修4-5
c cd b
d d ac
ab ab
cd cd
,
即
1 a b c d 2. abd bca cdb dac
用放缩法证明不等式 , 关键是放、缩适当.例如上 述过程中,如果把和式的 4 项分母依次缩为a,b, c, d , 那么和放大为4, 显然太大了.
第十页，编辑于星期一：三点 二十八分。
例4
例3 已知a,b, c, d R ,求证 1 a b c d 2.
abd bca cdb dac
分析 若把 a b c d abd bca cdb dac
直接通分相加则会使运 算非常复杂 ,不易达到证明 的目的,分析此式的形式特点,可以通过适当放缩, 使 不等式简化, 从而得出证明.
第八页，编辑于星期一：三点 二十八分。
|b| 1 | a | | b |
|a 1 |
| a
|
|b 1 |
| b
|
.
第十二页，编辑于星期一：三点 二十八分。
在上述过程中, 我们证明了
|ab 1 | a
| b
|
|a||b| 1 | a | | b
. |
①
如果令
f
x
1
x
x
,
x
0, ,
那么从
函数的观点看,只要证明函数 f x为增
函数,就可以由 0 | a b || a | | b | 得到
像这样的方法,即先假设要证的命题不 成立, 以此为出发点, 结合已知条件 , 应用公理、定 义、定理、性质等, 进行正确的推理,得到和 命题的条件 (或已证明的定理、性质 、明显
成立的事实等 )矛盾的结论， 以说明假设不
正确 ,从而证明原命题成立.我们把它称为反
[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲：第四课柯西不等式与排序不等式1
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可以看出 , 这两个和数都符合前面 S的形式, 而且 S S a j ai bk bl 0, 即S S .
进而得 S1 S S S2 .
归结上面证明的结论 ,得 定理 排序不等式sequence inequality , 又称排序原理 设a1 a2 an , b1 b2 bn为两组实数, c1 , c2 , , cn是b1 , b2 , , bn的任一排列 , 那么 a1bn a2bn 1 anb1 a1 c1 a2 c2 an cn a1b1 a2b2 anbn . 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时, 反 序和等于顺序和 . 排序不等式也是基本而 重要的不等式 , 它的思想简单 明了 , 便于记忆和使用 , 许多重要不等式可以借 助排序 不等式得到证明 .下面举例说明排序不等 式的应用 .
需t2 分, 接这桶水时 9人所需等候的总时间是 9t2分; 如此继续下去 , 到第10人接水时, 只有他一人在等 , ,10人都接满水所需的 需要t10分. 所以, 按这个顺序 分是10t1 9t2 t10. 等待总时间
这个和数就是问题的数 学模型, 现在考虑t1 , t2 , , t10 满足什么条件这个和数 最小.
练习
2.已知a, b, c为正数，用排序不等式证明 2(a b c ) a (b c) b (a c) c (a b).
3 3 3 2 2 2
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
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所以 | || || | . ②
| ac bd | a b
2
2
c d .两边平方,
2 2
① 式与
二维向 2 得 ac bd a2 b2 c2 d 2 . ① 量相对 这是二维形式的柯西不 等式.由此可知, 应, 所以 ① 是向量形式 称之为 二 维 形 式的柯西不等式 和 二维形 的不等式②的坐标表示 .如果向量 中有零向量, 则ad bc 0 , 以上不等 式的柯 西不等 式取等号.如果向量 和 都不是零向 式.
2 2 2 2
c
a b 2ab 的推导过程, 研究一下关于它 的不等关系吗?
展开这个乘积 ,得
a
2
b2 c 2 d 2 a 2c 2 b2 d 2 a 2 d 2 b2c 2 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
由于a c b d a d b c ac bd ad bc ,
5
2
2
2
x 1
2
5 x
2
27 4 6 3.
当且仅当 2 x 1 5 5 x 时, 等号 127 成立, 即 x 时函数取最大值6 3 . 27 回顾例2 的求 解过 程 , 可以体会其中式 子变形的作用 , 提高利用柯西不等式解 题的能力.
分析 利用不等式解决极值问 题, 通常 设法在不等式一边得到 一个常数, 并寻 找不等式取等号的条件 .这个函数的解 析式是两部分的和 , 若能化为ac bd 的 形式就能利用柯西不 等到式求其最大 值.
解 函数的定义域为1,5, 且 y 0, y 5 x 1 2 5 x
量, 则当且仅当| cos | 1, 即向量 和 k, 使 共线时, 以上不等式取等号 .这时存在非零实数 k .即 a, b k c, d .故ad bc kcd kcd 0.
从上面的分析可知 , 不等式 ② 与不等式① 有相 ②叫做 柯西不等 同的意义 , 所以我们把不等式 式 ①的向量形式. 综上所述, 得
一 二维形式的柯西不等式
虎林高级中学 栾红民
探究 a 2 b 2 2aba, b为实数是我们非常 熟悉的不等式 , 它反映了两个实数的平 方和 与乘积的大小关系 .现在考虑乘积 a 2 b 2 d a, b, c, d为实数 , 它涉及到四个实 数 , 并且形式上也与平方和 有关 . 你能类比
形式上规律明显 , 具有简洁、对称的美感 , 而且 在数学和物理中有重要 作用.它是柯西不等式 Cauchy inequality 的最简形式,即二维形式的 柯西不等式 . 从上面的探究过程可以 发现,当且仅当ad bc 0 时,① 式中的等号成立 .于是我们有
都是实数 , 则 a b c d ac bd , 当且仅当ad bc时, 等号成立.
36页习题3.1 1
小结
都是实数 , 则 a b c d ac bd , 当且仅当ad bc时, 等号成立.
2 2 2 2 2
定理1
二维形式的柯西不等式若a, b, c, d
设 , 是两 定理 2 柯西不 等 式的向量形式 个向量, 则 | || || | ,当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
所以, 对于任何实数 a, b, c, d , 以下不等式成立:
a b c d | ac bd | ,
2 2 2 2
a 2 b2 c 2 d 2 | ac | | bd | .
对一个代数结果进行最 简单的诠释, 往往要借助直 观的几何背景 .下面看一看柯西不等式 的几何意义 .
2 2 2 2
2
即a b c d ac bd ad bc ,
2 2
而ad bc 0,因此
a
2
b c d
2 2
2
ac bd .
2
①
①式中每个括号内都是两 项式, 通过后面的学
习会进一步认识二维形 式的含义 .
①式反映了 4个实数的特定数量关系 , 不仅排列
作业：36页习题3.1 3,5
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
a
b a b
2 3
3 2
.
分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.
本例说明 , 在证明 不等式时, 联系经 典不等式, 既可以 启发证明思路, 又 可以简化运算 .所 以, 经典不等式是 数学研究的有力 工具 .
2 2 2 2 2
定理1
二维形式的柯西不等式若a, b, c, d
思考 你能简明地写出定理 1的证明吗?
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
ac bd 2
| ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |.
数学研究中 , 发现一些不仅形式优美 而且具有重要应用价值 的不等式, 人 们称它们为经典不等式 , 柯西不等式 与排序不等式就属于这 样的不等式 . 通过本讲的学习 , 我们可以领略这些 不 等式 的数 学意义、几何背景、证 明方法及其应用 , 感受数学的美妙 ,提 高数学素质.
第三讲 柯西不等式与排序不等 式
如图3.1 1, 设在平面直角坐 y c, d 标系xOy中有向量 a, b , a, b c, d , 与 之间的夹角 为 ,0 . x O 内积的定 根据向量数量积 图3.1 1 义, 我们有 | || | cos , 所以 | || || || cos | . 因为| cos | 1,
设 , 是两 定理 2 柯西不 等 式的向量形式 个向量, 则 | || || | ,当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
探究 试从不等式 ① 推导不等式② , 再进行反 方向的推导 , 从数形结合的角度体会 两者的等 价关系 .
例1中哪4 个数分 别对应柯西不等 式①中的a, b, c, d ?
证明 根据柯西不等式, 有 a 4 b4 a 2 b2
a
2
a b b a b
2 2 3
3 2
.
36页习题3.1 4
例 2 求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.