备战新课标高考理科数学2020：“12+4”小题提速练(八)

提高小题的解题速度 “12＋4”小题提速练(八) 为解答后面的大题留足时间一、选择题1．在复平面内，表示复数z ＝11－i的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A z ＝11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，位于第一象限，故选A.2．已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2}D ．{0,1}解析：选D 法一： 因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}＝{x |－1＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{0,1}，故选D.法二：因为－1∉B 且2∉B ，所以排除A 、B 、C ，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，a 4＝2，则S 6＝( ) A ．0 B ．10 C ．15D ．30解析：选C 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎨⎧ a 2＝a 1＋d ＝4，a 4＝a 1＋3d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝5，d ＝－1，所以S 6＝6×5＋6×52×(－1)＝15，故选C. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 22＝－1，所以S 6＝6(a 1＋a 6)2＝3(a 2＋a 5)＝3(a 2＋a 4＋d )＝3×(2＋4－1)＝15.故选C.4．下列各点中，可以作为函数y ＝sin x －3cos x ＋1图象的对称中心的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 解析：选A y ＝sin x －3cos x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1，由x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π3，所以该函数图象的一个对称中心可以为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.5．设θ∈R ，则“0＜θ＜π3”是“3sin θ＋cos 2θ＞1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A3sin θ＋cos 2θ＞1⇔3sin θ＞1－cos 2θ＝2sin 2θ⇔(2sin θ－3)sin θ＜0⇔0＜sin θ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sin θ＜32；当0＜sin θ＜32时，2k π＜θ＜π3＋2k π，k ∈Z 或2π3＋2k π＜θ＜π＋2k π，k ∈Z .所以0＜θ＜π3是3sin θ＋cos 2θ＞1的充分不必要条件，故选A.6．已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x＋x ＋1，且f (a )＋f (a ＋1)＞2，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 解析：选C 由题意知函数f (x )的定义域为(－1,1)， 令g (x )＝ln 1＋x1－x ＋x ，则g (－x )＝ln1－x 1＋x －x ＝－ln 1＋x1－x－x ＝－g (x )， 故函数g (x )为奇函数，并且g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＋x ， 易得g (x )在(－1,1)上为增函数． f (a )＋f (a ＋1)＞2，即g (a )＋g (a ＋1)＞0， ∴g (a ＋1)＞－g (a )，∴g (a ＋1)>g (－a )，∴⎩⎨⎧－1<－a <1，－1<a ＋1<1，a ＋1>－a ，∴－12<a <0，故选C.7.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB →·(AC→＋AE →)＝( )A ．8B ．12C ．16D ．20解析：选D 法一：设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D. 法二：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t >0)，则B (4,0)，C (2，t )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ，所以AB →·(AC→＋AE →)＝(4,0)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2，t )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ＝(4,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫5，32t ＝20，故选D.8．在2018中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选B 4名游客去三个景点，每个景点至少有一个人，可以先将其中2名游客“捆绑在一起”作为“一个人”，再将“三个人”安排到三个景点去旅游，共有C 24A 33＝6×6＝36(种)方案．游客甲去梵净山旅游，若梵净山再没有其他3名游客去旅游，则有C 23A 22＝3×2＝6(种)方案，若“乙、丙、丁”中有1人也去了梵净山旅游，则有A 33＝6(种)方案，所以游客甲去梵净山旅游共有12种方案．所以游客甲去梵净山旅游的概率P ＝1236＝13.故选B.9．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的体积是( )A.823π B ．43π C ．12πD ．323π解析：选B 在棱长为2的正方体中还原该几何体，如图中的三棱柱ACD -A 1C 1D 1所示，则该三棱柱的外接球与该正方体的外接球是同一个球，该正方体的外接球的半径为其体对角线的一半，∴球O 的半径R ＝22＋22＋222＝3，∴球O的体积V ＝43πR 3＝43π，故选B.10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2，3)在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的方程为( ) A ．x 2－y 2＝1 B.x 22－y 23＝1 C ．x 2－y 23＝1D.x 216－y 24＝1解析：选A ∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋(2c －a )2－(2c ＋a )24c (2c －a )＝c －2a2c －a ，又点P 的坐标为(2，3)，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3(2c －a )2＝1， 化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，c 2－a 2＝b 2＝1， 又4a 2－3b 2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选A.11．设f (x )＝x ，点O (0,0)，A (0,1)，A n (n ，f (n ))，n ∈N *，设∠AOA n ＝θn ，对一切n ∈N *都有不等式sin 2θ112＋sin 2θ222＋sin 2θ332＋…＋sin 2θn n 2＜t 2－2t －2成立，则正数t 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 由∠AOA n ＝θn ，得sin 2θn n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n 2＋f 2(n )21n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以sin 2θ112＋sin 2θ222＋sin 2θ332＋…＋sin 2θn n 2＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n ＋1＝1－1n ＋1＜1，所以t 2－2t －2≥1，解得t ≥3，所以正数t 的最小值为3.故选A.12．对任意m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2，存在x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，使得ax 1－e x 1＝ax 2－e x 2＝m ln m －m ，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．(e 2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，e 2)D ．(0,1)解析：选A 设t ＝h (m )＝m ln m －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2，则t ′＝ln m ，∵1e ≤m ≤e 2，∴1e ≤m ＜1时，t ′＜0,1＜m ≤e 2时，t ′＞0， ∴t ≥h (1)＝－1，又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2e ＜h (e 2)＝e 2，∴－1≤t ≤e 2.∵存在x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，使得ax 1－e x 1＝ax 2－e x 2＝t ， ∴方程ax －e x －t ＝0有两个不等实根x 1，x 2. 设f (x )＝ax －e x －t ，则f ′(x )＝a －e x ，∵a ≤0时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )＝ax －e x －t 在R 上是减函数，方程ax －e x －t ＝0不可能有两个不等实根，不合题意，∴a ＞0(也可以分析选项得到)．∵x ＜ln a 时f ′(x )＞0，x ＞ln a 时f ′(x )＜0， ∴f (x )≤f (ln a )，∴f (x )≤a ln a －a －t .∵方程ax －e x －t ＝0有两个不等实根x 1，x 2，∴a ln a －a －t ＞0，∴a ln a －a ＞t 对一切t ∈[－1，e 2]恒成立，∴a ln a －a ＞e 2，即a (ln a －1)＞e 2，显然ln a －1＞0，∴a ＞e.设g (a )＝a (ln a －1)(a ＞e)，则g ′(a )＝ln a ，∵g ′(a )＞1，∴g (a )＝a (ln a －1)在区间(e ，＋∞)上是增函数，又g (e 2)＝e 2， ∴a ＞e 2，∴实数a 的取值范围是(e 2，＋∞)，故选A. 二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x －3y ＋3≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋y ＝0，并平移，可知当直线经过点P 时，z 取得最小值．由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，此时z min ＝3×12＋12＝2.答案：214．执行如图所示的程序框图，如果输入N ＝4，则输出的p 为________．解析：初始值，N ＝4，k ＝1，p ＝1，进入循环，p ＝1，k ＜N ，k ＝2；p ＝2，k ＜N ，k ＝3；p ＝6，k ＜N ，k ＝4；p ＝24，k ＝N ，此时不满足循环条件，退出循环体，输出的p ＝24.答案：2415．设函数f (x )＝x ＋ax (a >0)．当a ＝1时，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为__________；若f (x )在区间(2，＋∞)上存在最小值，则满足条件的一个a 的值为__________．解析：当a ＝1时，因为x >0，所以f (x )＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，f (x )取得最小值为2.若f (x )在区间(2，＋∞)上存在最小值，由f (x )的导数为f ′(x )＝1－a x 2＝(x ＋a )(x －a )x 2，当f ′(x )<0，f (x )单调递减，可得f (x )在x ＝a 处取得极小值，由题意可得f (a )为最小值，即有a >2，可得a >4.可取a ＝5(答案不唯一)．答案：2 516．在四面体P ABC 中，若P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，底面△ABC 是边长为23的正三角形，O 为△ABC 的中心，则∠P AO 的余弦值为________．解析：如图，连接CO 并延长交AB 于点D ， 则AD ＝DB ＝3，CD ＝3，OC ＝2，DO ＝1，AO ＝2. 连接DP ，在△APD 和△BPD 中，由余弦定理得cos ∠ADP ＝AD 2＋PD 2－AP 22×AD ×PD ，cos ∠BDP ＝BD 2＋PD 2－PB 22×BD ×PD .∵cos ∠ADP ＝－cos ∠BDP ，∴(3)2＋PD 2－322×3×PD ＝－(3)2＋PD 2－422×3×PD ，∴PD 2＝192.连接PO ，在△POD 和△POC 中，cos ∠DOP ＝－cos ∠POC ，∴PO 2＋DO 2－PD 22×PO ×DO ＝－PO 2＋OC 2－PC 22×PO ×OC，即PO 2＋12－1922×PO ×1＝－PO 2＋22－522×PO ×2，∴PO 2＝383.在△P AO中，cos∠P AO＝AP2＋AO2－PO22×AP×AO＝32＋22－3832×3×2＝136.答案：1 36。