2019_2020学年高中数学第三章不等式单元质量测评新人教A版
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：第三章 不等式 单元质量测评 (有答案解析)
第三章 单元质量测评=本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (x 0，y 0)和点A (1，2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0＞0 B ．3x 0＋2y 0＜0 C ．3x 0＋2y 0＜8 D ．3x 0＋2y 0＞8 答案 D解析 ∵3×1＋2×2－8＝－1＜0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8＞0． 2．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝a ＋122＋34＞0，∴M ＞N ．3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ＜1＜a 2＋b 22 C ．ab ＜a 2＋b 22＜1 D ．a 2＋b 22＜ab ＜1 答案 B解析 ∵ab ≤a ＋b 22，a ≠b ，∴ab ＜1． 又∵a 2＋b 22＞a ＋b 2＞0，∴a 2＋b 22＞1，∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．若a >b >0，全集U ＝R ，A ＝{x |ab <x <a }，B ＝{ x | b <x <⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b 2，则(∁U A )∩B 为( ) A ．{}x | b <x ≤ab B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ab <x <a ＋b 2 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪b <x <a ＋b 2 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a ＋b 2或x ≥a答案 A解析 ∁U A ＝{x |x ≤ab 或x ≥a }， 又B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫b <x <a ＋b 2且a >b >0， ∴ab >b ，a ＋b2<a ．∴(∁U A )∩B ＝{x |b <x ≤ab }．故选A ．5．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34 答案 C解析 作出平面区域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0， 可得A (1，1)， 又B (0，4)，C 0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×4－43×1＝43．故选C ．6．若x ∈0，12时总有log a 2－1(1－2x )＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．|a |＜2C ．|a |＞ 2D ．1＜|a |＜2 答案 D解析 ∵x ∈0，12，∴0＜1－2x ＜1． 又∵此时总有log a 2－1(1－2x )＞0， ∴0＜a 2－1＜1，∴1＜|a |＜2．7．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b 取最小值时，实数对(a ，b )是( ) A ．(5，10) B ．(6，6) C ．(10，5) D ．(7，2) 答案 A解析 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·130·30＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b≥130⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310． 当且仅当⎩⎨⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝30，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时取等号．故选A ． 8．已知正数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x ·12y的最小值为( )A ．1B ．1324C ．116D ．132 答案 C解析 由于z ＝4－x ·12y＝2－2x －y ，又不等式组表示的平面区域如图所示．易知m ＝－2x －y 经过点A 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，得A (1，2)，所以z min ＝2－2×1－2＝116．故选C ．9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC→)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1 答案 B解析 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·P D →＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，所求的最小值为－32．故选B ．10．若ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 应有( )A ．f (5)<f (－1)<f (2)B ．f (2)<f (－1)<f (5)C ．f (－1)<f (2)<f (5)D ．f (5)<f (2)<f (－1) 答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－8a ，且a <0．∴f (x )＝ax 2－2ax －8a ＝a (x －1)2－9a ， ∴其图象开口向下，对称轴为x ＝1， ∴f (－1)＝f (3)．∴f (5)<f (－1)<f (2)．故选A ．11．以原点为圆心的圆全部都在平面区域 ⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2≥0内，则圆面积的最大值为( ) A ．18π5 B ．9π5 C ．2π D ．π 答案 C解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，最大圆的半径为点(0，0)到直线x －y ＋2＝0的距离，即|0－0＋2|12＋(－1)2＝2，所以圆面积的最大值为π×(2)2＝2π．故选C ．12．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z 答案 D解析 令2x ＝3y ＝5z ＝k (k ＞1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ， ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8＞1，则2x ＞3y ， 2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32＜1，则2x ＜5z ．故选D ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2．14．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎨⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7.设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________．答案 13解析 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．15．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 依题意得，当x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]时， 不等式xy ≤ax 2＋2y 2，即a ≥xy －2y 2x 2＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18．在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到yx 可视为该区域内的点(x ，y )与原点连线的斜率，结合图形可知，yx 的取值范围是[1，3]，此时－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18的最大值是－1，因此满足题意的实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．16．已知函数f (x )＝x ＋1x ＋b (b 为常数)．当x ∈[－1，2]时，f (x )>－1(x ＋b )2恒成立，则b 的取值范围为________．答案 b >1解析 ∵f (x )>－1(x ＋b )2， ∴x ＋1x ＋b >－1(x ＋b )2⇔(x ＋b )(x ＋1)>－1且x ＋b ≠0，(※) 易知当x ＝－1时，不等式(※)显然成立；当－1<x ≤2时， b >－1x ＋1－x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋x ＋1， ∵x ＋1>0，∴1x ＋1＋(x ＋1)≥21x ＋1·(x ＋1)＝2，当且仅当x ＝0时，等号成立，故b >－1．而－b ∉[－1，2]，故b <－2或b >1． 综上所述，b >1．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2，不等式f (x )＜c 的解集为(－1，2)．(1)求a 的值； (2)解不等式4x ＋mf (x )－4x 2＞0．解 (1)∵函数f (x )＝4x 2＋ax ＋2， 不等式f (x )＜c 的解集为(－1，2)， ∴－1＋2＝－a4，∴a ＝－4．(2)不等式转化为(4x ＋m )(－4x ＋2)＞0， 可得m ＝－2，不等式的解集为∅；m ＜－2，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜－m 4；m ＞－2，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－m4＜x ＜12．18．(本小题满分12分)设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋1－k 2＝0的两个实根，求x 21＋x 22的最小值．解 由题意，得x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝1－k 2． Δ＝4k 2－4(1－k 2)≥0， ∴k 2≥12．∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4k 2－2(1－k 2)＝6k 2－2≥6×12－2＝1．∴x 21＋x 22的最小值为1．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1，1)，C (1，3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组(包括边界)．解 由两点式，得AB ，BC ，CA 的直线方程并化简为AB ：x ＋2y －1＝0，BC ：x －y ＋2＝0，CA ：2x ＋y －5＝0，如图所示，可得不等式组为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a ＜0．解 ∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． 当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0＜a ≤1．综上，0≤a ≤1．由x 2－x －a 2＋a ＜0，得(x －a )[x －(1－a )]＜0． ∵0≤a ≤1，∴(1)当1－a ＞a ，即0≤a ＜12时，a ＜x ＜1－a ； (2)当1－a ＝a ，即a ＝12时，x －122＜0，不等式无解； (3)当1－a ＜a ，即12＜a ≤1时，1－a ＜x ＜a ．∴原不等式的解集为：当0≤a ＜12时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜1－a }； 当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12＜a ≤1时，原不等式的解集为{x |1－a ＜x ＜a }．21．(本小题满分12分)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的往返营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设应配备A 型车、B 型车分别为x 辆，y 辆，营运成本为z 元；则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ∈N ，y ∈N ；z ＝1600x ＋2400y ；作平面区域如图，故联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋7，y ＝15－0.6x ，解得x ＝5，y ＝12； 此时，z ＝1600x ＋2400y 有最小值1600×5＋2400×12＝36800元．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，g (x )＝f (x )x ．(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |a <x <1}，求a 的值；(2)若x <0，a ＝4，求函数g (x )的最大值；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式g (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)根据题意，方程x 2＋2x ＋a ＝0的两根分别为a 和1，将1代入得a ＝－3．(2)由a ＝4，则g (x )＝f (x )x ＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2， 因为x <0，所以－x ＋4－x ≥2－x ·4－x ＝4， 所以g (x )≤－4＋2＝－2．当且仅当x ＝4x ，即x ＝－2(舍去正值)时，等号成立．所以g (x )的最大值为－2．(3)依题意当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以a >－(x 2＋2x )，令t ＝－(x 2＋2x )，x ∈[1，＋∞)，则t ＝－(x 2＋2x )＝1－(x ＋1)2，所以当x ＝1时，t max ＝1－(1＋1)2＝－3，所以a>－3．。
2019-2020学年人教A版必修三阶段质量检测数学试卷(一)含解析-(高一)
阶段质量检测（一）一、( 本大共（：12 小，每小120 分5 分，共分： 150 分）60 分，在每小出的四个中，只有一是切合目要求的)1．已知函数入自量x 的，出的函数．程序框，需用到的基本构是()A．序构B．条件构C．序构、条件构 D ．序构、循构2．以下句正确的选项是()A．M＝a＋ 1 B ．a＋ 1＝MC．M－1＝a D ．M－a＝ 13．若十制数26 等于k制数 32，k等于 ()A．4 B．5 C．6 D．84．用“ 相除法”求得360 和 504 的最大公数是()A．72 B ．36 C ．24 D ．2 5205．程序框 ( 如所示 ) 能判断随意入的数x 的奇偶性，此中判断框内的条件是()A．m＝0? B．x＝0?C．x＝1? D．m＝1?6．如是求x1， x2，⋯， x10的乘S的程序框，中空白框中填入的内容()A．S＝S *(n＋1)B． S＝S*x n＋1C．S＝S *n D． S＝ S*x n7．已知一个k 进制的数132 与十进制的数30 相等，那么k 等于()A．7或4 B．－7C． 4D．以上都不对8．用秦九韶算法求多项式： f ( x)＝12＋35 x －8 x 2＋79 x 3＋6 x 4＋5 x 5＋3 x 6在 x＝－4的值时， v4的值为()A．－ 57 B ． 220 C ．－ 845 D ．3 3929．关于以下算法：假如在运转时，输入2，那么输出的结果是()A．2,5 B ．2,4 C ．2,3 D ．2,910．以下程序的功能是()S＝ 1i ＝ 1WHILE S＜＝ 10 000i ＝ i ＋ 2S＝ S*iWENDPRINT iENDA．求1×2×3×4×⋯× 10 000的B．求2×4×6×8×⋯× 10 000的C．求3×5×7×9×⋯× 10 001的D．求足1×3×5×⋯× n＞10 000的最小正整数n11．(2015 ·新全国卷Ⅱ ) 下程序框的算法思路源于我国古代数学名著《九章算》中的“更相减”．行程序框，若入的a， b 分14,18，出的a＝()A．0 B．2 C．4 D．1412．假如行如所示的程序框，入正整数N( N≥2)和数 a1，a2，⋯， a N，出 A， B，()A．A＋B a1， a2，⋯， a N的和A＋BB.2a1， a2，⋯， a N的算均匀数C．A和B分是a，a，⋯，a中最大的数和最小的数12ND．A和B分是a1，a2，⋯，a中最小的数和最大的数N二、填空 ( 本大共 4 小，每小 5分，共 20 分)13．用更相减求三个数168,54,264的最大公数 ________．14．将 258 化成四制数是 ________．15．如所示的程序框，运用相的程序，若入的 2，出的果i ＝ ________.m16．下边程序行后出的果是________ ，若要求画出的程序框，的程序框有________________ ．T＝ 1S＝ 0WHILE S<＝ 50S＝S＋1T＝T＋1WENDPRINT TEND三、解答 ( 本大共 6 小，共70 分．解答写出文字明，明程或演算步)17． (10分 ) 画出函数的程序框．18． (12分 ) 用“更相减”求(1) 中两数的最大公数；用“ 相除法”求(2) 中两数的最大公数．(1)72,168；(2)98,280.19． (12分 ) 利用秦九韶算法判断函数 f ( x)＝ x 5＋ x 3＋ x 2－1在[0,2]上能否存在零点．20． (12分 ) 已知某算法的程序框如所示，若将出的( x，y) 挨次 ( x1，y1) ， ( x2，y2) ，⋯，( x n，y n) ，⋯(1) 若程序运转中出的一个数是(9 ，t ) ，求t的．(2)程序束，共出 ( x，y) 的数多少？(3)写出程序框的程序句．21．(12 分) 算法求1111的．要求画出程序框，并用基本句写＋＋＋⋯＋99×1001×2 2×33×4程序．22． (12 分 ) 如甲所示在 4 的正方形ABCD的上有一点P，沿着折BCDA由点B( 起点 ) 向点( 点 ) 运．点P 运的行程x，△的面y，且y与x之的函数关系式用如乙所示的程序A APB框出．甲乙(1)写出程序框中①，②，③ 填补的式子；(2) 若出的面y6，行程x 的多少？并指出此点P 在正方形的什么地点上．答案1.答案： C2.分析： A 依据句的功能知， A 正确．3.分析： D 由意知， 26＝3×k1＋ 2，解得k＝8.4.分析： A 504＝360×1＋ 144,360 ＝144×2＋ 72,144 ＝72×2，故最大公数是72.5.分析： D 程序易知，判断框内填m＝1？， D.6.分析：D由意知，因为求乘，故空白框中填入＝7.分析： C 132( k)＝1×k2＋3×k＋ 2＝k2＋3 k＋ 2＝30，即k＝－ 7 或k＝4. ∵k＞0，∴k＝4.8.分析：B f ( x)＝(((((3x ＋5) x ＋6) x ＋79) x －8) x ＋35) x ＋12，当 x＝－4， v0＝3；∴ v1＝3×(－4)＋5＝－7；v 2 ＝－7×(－4)＋6＝34，v 3 ＝34×(－4)＋79＝－57；v 4 ＝－57×( － 4) － 8＝220.9.分析： A入 a 的 2，第一判断能否大于5，然 2 不大于 5，而后判断 2 与 3 的大小，然2 小于 3，所以果是＝ 5，所以果当出2,5.b10.分析： D法一： S 是累乘量， i是数量，每循一次，S乘以 i 一次且 i 增添2.当 S＞10 000停止循，出的 i 是使1×3×5×⋯× n＞10 000建立的最小正整数 n.法二：最后出的是数量i ，而不是累乘量S.11.分析： B a＝ 14，b＝ 18.第一次循： 14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循： 14≠4且 14>4，a＝ 14－ 4＝ 10；第三次循： 10≠4且 10>4，a＝ 10－ 4＝ 6；第四次循： 6≠4且 6>4，a＝ 6－ 4＝ 2；第五次循： 2≠4且 2<4， b＝ 4－ 2＝ 2；第六次循： a＝ b＝2，跳出循，出a＝2，故 B.12.分析：C因为x＝ a k，且a＞A，将x A，所以最后出的 A 是a1， a2，⋯， a N中最大的数；因为x＝ a k，且x＜B，将x B，所以最后出的 B 是a1， a2，⋯，a N中最小的数，故C.13.分析：化运算，先将 3 个数用284,27,132.由更相减，先求84 与27 的最大公数 .84 － 27＝ 57， 57－ 27＝ 30,30 － 27＝ 3,27 － 3＝ 24,24 － 3＝ 21,21 － 3＝ 18，18－ 3＝ 15,15 － 3＝ 12,12 － 3＝ 9,9－ 3＝6,6－ 3＝3. 故84 与27 的最大公数 3.再求 3 与 132 的最大公数，易知132＝3×44，所以 3 与 132 的最大公数就是 3.故 84,27,132 的最大公数 3； 168,54,264 的最大公数 6.答案： 614.分析：利用除 4 取余法．258＝ 10 002 (4)．答案： 10 002 (4)15.分析：由程序框， i ＝1后： A＝1×2，B＝1×1， A＜ B？否； i ＝2后： A＝2×2， B＝1×2， A＜ B？否； i ＝3后： A＝4×2， B＝2×3， A＜B？否； i ＝4后： A＝8×2， B＝6×4， A＜ B？是，出i ＝4.答案： 416.分析：本当型循句，能够先用特例循几次，察律可得：S＝1， T＝2； S＝2， T＝3；S＝3， T＝4；⋯；依此循下去，S＝49， T＝50； S＝50， T＝51； S＝51， T＝52.止循，出的果52.本使用了出句、句和循句，故用以下的程序框：起止框、理框、判断框、出框．答案： 52 起止框、理框、判断框、出框17.解：程序框如所示．18.解： (1) 用“更相减损术”168－ 72＝ 96，96－ 72＝ 24，72－ 24＝ 48，48－ 24＝ 24.∴72 与 168 的最大条约数是24.(2)用“展转相除法”280＝98×2＋ 84，98＝84×1＋ 14，84＝14×6.∴98 与280 的最大条约数是14.19.解：f(0)＝－ 1<0，下边用秦九韶算法求x＝2时，多项式f(x)＝ x 5＋ x 3＋x 2－1的值．多项式变形为f ( x)＝((((x＋0) x ＋1) x ＋1) x ＋0) x －1，v0＝1，v 1＝1×2＋0＝2，v 2＝2×2＋1＝5，v 3＝5×2＋1＝11，v 4＝11×2＋0＝22，v 5＝22×2－1＝43，所以 f (2)＝43>0，即 f(0) ·f (2)<0，又函数 f ( x)在[0,2]上连续，所以函数 f ( x)＝ x 5＋ x 3＋ x 2－1在[0,2]上存在零点．20.解： (1) 由程序框图知：当 x＝1时， y＝0；当 x＝3， y＝－2；当 x＝9， y＝－4，所以 t ＝－4.(2) 当n＝ 1 ，出一，当n＝3，又出一，⋯，当 n＝2 015，出最后一，共出( x，y) 的数 1 008.(3)程序框的程序句以下：21.解：程序框如．程序以下．S＝ 0k＝ 1DOS＝ S＋ 1/ k*k＋ 1k＝ k＋ 1LOOP UNTIL k＞ 99PRINT SEND2x，0≤x≤4，22.解：(1)由意，得y＝8，4<x≤8，故程序框中①，②，③ 填补的式子分：24－ 2x， 8<x≤12，y＝2x， y＝8， y＝24－2x.(2)若输出的 y 值为6，则2x＝6或24－2x＝6，解得 x＝3或 x＝9.当 x＝3时，此时点 P 在正方形的边BC上，距 C点的距离为1；当x＝ 9 时，此时点P在正方形的边DA上，距 D点的距离为1.。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用单元质量测评新人教A版必修1
第三章 函数的应用单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )答案 A解析 由二分法的定义与原理知A 选项正确．2．下列函数中，随着x 的增大，其增大速度最快的是( ) A ．y ＝0.001e xB ．y ＝1000ln xC ．y ＝x1000D ．y ＝1000·2x答案 A解析 增大速度最快的应为指数型函数，又e≈2.718>2.3．已知函数f (x )是R 上的单调函数，且f (x )的零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( ) A ．f (4) B ．f (2)C ．f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32答案 C解析 由题易知f (x )的唯一零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，由f (x )是R 上的单调函数，可得f (1)与f (0)符号相同，故选C.4．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．x 0＝－32C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1答案 C解析 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·f (2)<0，则x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 5．函数f (x )＝x12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 令f (x )＝0，可得x 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y ＝x 12和指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x )的零点只有一个．6．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前 答案 D解析 ∵函数不是增函数，∴A 错；[0,50]上为增函数，故B 错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快．7．函数f (x )＝x ln(x －2017)的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 B解析 函数f (x )的定义域为{x |x >2017}，令f (x )＝0，则x ＝2018，故只有1个零点． 8．如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A B C M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 之间的函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 依题意，当0<x ≤1时，S △APM ＝12×1×x ＝12x ；当1<x ≤2时，S △APM ＝S 梯形ABCM －S △ABP －S △PCM＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1－12×1×(x －1)－12×12×(2－x )＝－14x ＋34；当2<x ≤2.5时，S △APM ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ＝－12x ＋54.∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.再结合图象知应选A. 9．若f (x )＝x －1x，则函数y ＝f (4x )－x 的零点是( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 根据函数零点的概念，函数y ＝f (4x )－x 的零点就是方程f (4x )－x ＝0的根，解方程f (4x )－x ＝0，即4x －14x －x ＝0，得x ＝12，故选A.10．若关于x 的方程f (x )－2＝0在区间(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象可以是()答案 D解析 因为关于x 的方程f (x )－2＝0在区间(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y＝2的图象在区间(－∞，0)内有交点，观察图象可得只有选项D 中图象满足要求．11．设方程|x 2－3|＝a 的解的个数为m ，则m 不可能等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 在同一坐标系中分别画出函数y 1＝|x 2－3|和y 2＝a 的图象，如图所示．可知方程解的个数为0、2、3或4，不可能有1个解．12．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设洗x 次，令⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，得x ≥1lg 2≈3.322，因此至少要洗4次．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．下列说法正确的是________(填序号)． ①一次函数在R 上只有一个零点； ②二次函数在R 上只有一个零点； ③指数函数在R 上没有零点；④对数函数在(0，＋∞)上只有一个零点； ⑤幂函数在其定义域内可能没有零点． 答案 ①③④⑤解析 一次函数在R 上是单调函数，只有一个零点，①正确；二次函数的零点有三种情况：0个，1个，2个，②不正确；指数函数的值域为(0，＋∞)，没有零点，③正确；对数函数是单调函数，且图象过定点(1,0)，故只有一个零点，④正确；幂函数y ＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内没有零点，⑤正确．14．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是________(用数字作答)．答案 跌了1.99%解析 (1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801，而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 当x ≥2时，函数y ＝2x单调递减，值域为(0,1]；当x <2时，函数y ＝(x －1)3单调递增，值域为(－∞，1)．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k ∈(0,1)．16．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 分a >1与0<a <1两种情况，画出函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图象，如图所示．由图知，当a >1时，两个函数的图象有两个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过点(0,1)，且有唯一的零点－1.(1)求f (x )的表达式；(2)当x ∈[－1,1]时，求函数F (x )＝f (x )－kx 的最小值g (k )．解 (1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f －＝0，Δ＝b 2－4ac ＝0，解得a ＝1，b ＝2，c ＝1，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)F (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝k －22.当k －22≤－1，即k ≤0时，g (k )＝F (－1)＝k ；当－1<k －22<1，即0<k <4时，g (k )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22＝－k 24＋k ；当k －22≥1，即k ≥4时，g (k )＝F (1)＝4－k .综上，可知g (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧k ，k ≤0，－k24＋k ，0<k <4，4－k ，k ≥4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )有一个二重零点，求实数a ，b 满足的关系式．解 (1)∵a ＝1，b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1，∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)∵二次函数f (x )有一个二重零点，∴方程ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，从而Δ＝b 2－4a (b －1)＝0，即b 2＝4a (b －1)，此即实数a ，b 满足的关系式．19．(本小题满分12分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数型函数变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q ＝Q 0e－0.0025t ，其中Q 0是臭氧的初始量．(1)随着时间t 的增加，臭氧的含量是增加的还是减少的？(2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失？(参考数据：ln 0.5≈－0.69) 解 (1)对于函数Q ＝Q 0e－0.0025t，显然Q >0.任取t 1<t 2，则t 2－t 1>0，Q 1Q 2＝Q 0e －0.0025t 1Q 0e －0.0025t 2＝e －0.0025(t 1－t 2)＝e 0.0025(t 2－t 1)>e 0＝1，所以Q 1>Q 2. 故随着时间t 的增加，臭氧的含量是减少的．(2)令Q Q 0＝Q 0e －0.0025t Q 0＝e －0.0025t ＝12，解得－0.0025t ＝ln 12≈－0.69，解得t ＝276.故估计276年以后将会有一半的臭氧消失．20．(本小题满分12分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30 h 以内(含30 h)每张球台90元，超过30 h 的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15 h ，也不超过40 h.(1)设在甲家租一张球台开展活动x h 的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x h 的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x )；(2)问选择哪家比较合算？为什么？ 解 (1)f (x )＝5x,15≤x ≤40；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，30＋2x ，30<x ≤40.(2)当5x ＝90时，x ＝18， 即当15≤x <18时，f (x )<g (x )； 当x ＝18时，f (x )＝g (x )； 当18<x ≤40时，f (x )>g (x )． ∴15≤x <18时，选甲家比较合算； 当x ＝18时，两家一样合算； 当18<x ≤40时，选乙家比较合算． 21．(本小题满分12分)有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln a a －x，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降的；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．解 (1)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4x －x －，设g (x )＝0.4x －x －，h (x )＝(x －3)(x －4)，易知h (x )的图象是抛物线的一部分，在[7，＋∞)上单调递增，故g (x )在[7，＋∞)上单调递减，所以当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降的． (2)由f (6)＝0.85，可知0.1＋15ln aa －6＝0.85，整理得aa －6＝e0.05，解得a ＝6e0.05e 0.05－1≈123.又123∈(121,127]，所以该学科是乙学科．22．(本小题满分12分)设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg (x －1)＋lg (3－x )＝lg (a －x )的实根的个数．解 原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，x －－x ＝a －x .即⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，x －－x ＝a －x .整理，得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3)．在同一坐标系中分别作出函数y ＝a 及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图象，如图所示：当x ＝1时，y ＝1； 当x ＝3时，y ＝3； 当x ＝52时，y max ＝134.(1)当a >134或a ≤1时，函数图象无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数根．。
2020学年高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法练习新人教A版必修5
第1课时 一元二次不等式的解法1.不等式6x 2＋x －2≤0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12)B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12)C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12)D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23)解析 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12).答案 A2.设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B.{x |x ＞a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞a 或x ＜1aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析 ∵a ＜－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0.又a ＜－1，∴1a＞a ，∴x ＞1a或x ＜a .答案 A3.不等式2x 2－x －1＞0的解集是________.解析 由2x 2－x －1＞0，得(x －1)(2x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，从而得原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)4.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________.解析 由表格可知，函数的图象开口向上，且零点为x ＝－2，x ＝3，因此图象关于x＝12对称，从而不等式ax 2＋bx ＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)5.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－2或x ＞－12)，则ax 2－bx ＋c＞0的解集为________.解析 由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a ＜0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a（－2）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a， 解得a ＝c ，b ＝52c .所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0即为2x 2－5x ＋2＜0， 解得12＜x ＜2，即不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜2[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2016·全国Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝ A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析 由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32)，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.答案 D2.设－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )(ax －1)＞0的解集为A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B.{x |x ＞a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜aD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析 ∵－1＜a ＜0，∴(x －a )(ax －1)＞0可化为(x －a )·a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，∴(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.又－1＜a ＜0，∴a ＞1a，∴原不等式解集为1a＜x ＜a .答案 C3.在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为 A.(0，2)B.(－2，1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－1，2)解析 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0， 所以－2＜x ＜1. 答案 B4.关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 ∵关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －b ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＝b . ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0⇔a (x ＋1)(x －3)>0⇔(x ＋1)(x －3)>0⇔x <－1或x >3. 答案 A5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为A.{x |x <－1或x >lg 2}B.{x |－1<x <lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2}解析 由题意可知f (x )＝－(x ＋1)(2x －1)，则f (10x)＝－(10x＋1)(2·10x－1)>0， 即(10x＋1)(2·10x－1)<0，∵10x＋1>0，∴2·10x－1<0，解得x <－lg 2. 答案 D6.(能力提升)已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是A.a <α<β<bB.a <α<b <βC.α<a <b <βD.α<a <β<b解析 ∵α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2的图象与x 轴交点的横坐标. ∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根， 令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.由于f (x )的图象可由g (x )的图象向上平移2个单位得到，故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为________.解析 ∵0＜t ＜1，∴1t＞1，所以(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t ＜x ＜1t ).答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t ＜x ＜1t )8.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0，则不等式f (x )>x 的解集为________.解析 f (x )>x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧0>x ，x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0⇔x >5或－5<x <0.∴不等式f (x )>x 的解集为(－5，0)∪(5，＋∞). 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)9.(能力提升)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________.解析 ∵ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0， 解得x ＞1或x ＜－2. 答案 {x |x ＞1或x ＜－2}三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)解下列关于x 的不等式： (1)(7－x )(x ＋2)≥0；(2)－9x 2＋3x －14≥0；(3)－12x 2＋2x －5>0；(4)－2x 2＋3x －2<0.解析 (1)原不等式化为(x －7)(x ＋2)≤0， 所以－2≤x ≤7.故所求不等式的解集为{x |－2≤x ≤7}.(2)原不等式化为9x 2－3x ＋14≤0，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －122≤0，所以x ＝16. 故所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝16. (3)原不等式化为x 2－4x ＋10<0，即(x －2)2＋6<0，故所求不等式的解集为∅.(4)原不等式化为2x 2－3x ＋2>0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0.所以x ∈R.故所求不等式的解集为R.11.(12分)解关于x 的不等式：ax 2＋(1－a )x －1＞0(a ∈R). 解析 原不等式可化为(x －1)(ax ＋1)＞0. (1)当a ＝0时，原不等式为x －1＞0， 所以解集为{x |x ＞1}. (2)当a ＞0时，－1a＜1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜－1a .(3)当a ＜0时，①当－1＜a ＜0时，－1a＞1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜－1a .②当a ＝－1时，原不等式变为－(x －1)2＞0， 所以解集为∅.③当a ＜－1时，－1a＜1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a＜x ＜1.12.(12分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}，其中β>α>0，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集.解析 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}， ∴α，β是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0.∴αβ＝c a ，α＋β＝－b a，∴c ＝aαβ，b ＝－a (α＋β). ∵cx 2＋bx ＋a <0，∴a αβx 2－a (α＋β)x ＋a <0. 整理，得αβx 2－(α＋β)x ＋1>0. ∵β>α>0，∴αβ>0，1α>1β，∴x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ>0.∵方程x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ＝0的两根为1α，1β.∴x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1α＋1βx ＋1αβ>0的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α或x <1β，即不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1α，或x <1β.。
2019-2020学年人教A版必修三单元质量评估试卷(一)含解析-(高一数学)
单元质量评估 ( 一 )(第一章)(120 分钟150 分 )一、选择题 ( 本大题共 12 小题 , 每题 5 分, 共 60 分. 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的)1. 以下赋值语句错误的选项是()2A.i=i-1B.m=m+1C.k=(-1)/kD.x*y=a【分析】选 D.履行 i=i-1后,i2后,m 的值的值比本来小 1, 则 A 正确; 履行 m=m+1等于本来 m 的平方再加 1, 则 B 正确 ; 履行 k= 后,k 的值是本来的负倒数 , 则 C 正确 ; 赋值号的左侧只好是一个变量 , 则 D错误 . 2A. 次序构造B. 条件构造C.循环构造D.以上都用【分析】选 D.次序构造是一定的 , 要选择有解区间 , 需要条件构造 , 要重复进行二平分有解区间 , 需要循环构造 .3. 阅读以下图的程序框图, 运转相应的程序 , 输出的 S 的值等于()A.18B.20C.21D.40【分析】选 B. 程序运转以下 :S=0,n=1;S=0+2 1+1=3,n=2,S<15;S=3+2 2+2=9,n=3,S<15;S=9+23+3=20,知足条件 , 输出 S=20.4.(2016 ·晋江高一检测 ) 三个数 4557,1953,5115 的最大条约数为()A.93B.31C.651D.217【分析】选 A. 因为 4557=1953×2+651,1953=651×3,因此 4557,1953 的最大条约数是651.又 5115=4557×1+558,4557=558×8+93,558=93× 6,因此 4557,5115 的最大条约数为93.因为 651=93×7, 因此三数的最大条约数为93.5. 如图一段程序履行后的结果是()A.6B.4C.8D.10【分析】选 A. 由 a=2, 第二步得 a=2×2=4, 第三步得 a=4+2=6.故输出 a=6.6. 算式 1010(2)+10(2)的值是 ()A.1011(2)B.1100(2)C.1101(2)D.1000(2)【分析】选 B.1010(2) +10(2) =1×23+0×22+1×21+0×20+1×21+0×20=12.因为因此 12=1100(2) , 故 1011(2) +10(2) =1100(2) .7. 用秦九韶算法算多式f(x)=5x 6+4x5+2x4+6x3+6x2+8x+9, 当 x=3.3 的 ,需要做乘法和加法的次数分是()A.6,6B.5,6C.5,5D.6,5【分析】 A. 由 f(x)=5x 6+4x5+2x4+6x3+6x2+8x+9=(((((5x+4)x+2)x+6)x+6)x+8)x+9.故需做 6 次乘法和 6 次加法运算 .8. 如所示的程序框, 出的 S 等于()A.14B.20C.30D.55【分析】 C.由意知 :S=12+22+⋯+i 2,当 i=5 循程序止 , 故 S=12+22+32+42=30.9. 如程序是用来算()A.3 ×10 的B.1 ×2×3×⋯× 10 的C.39的值D.310的值【分析】选 D.履行程序共循环10 次因此输出的s 【赔偿训练】为 1×假如履行以下图的程序=310., 则输出的数=________.【分析】运转程序语句当t=1,i=2 ≤5 时, 履行语句体 t=1 ×2=2,i=2+1=3 ≤5 建立 ; t=2 ×3=6,i=3+1=4 ≤5 建立 ;t=6 ×4=24,i=4+1=5 ≤5 建立 ,t=24 ×5=120,i=5+1=6 ≤5 不建立结束循环 , 故输出 120.答案 : 12010. 两个整数 490 与 910 的最大条约数是()A.2B.10C.30D.70【分析】选 D.910=490+420,490=420+70,420=70× 6.故 490 与 910 的最大条约数为 70.11.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=2x 6+3x5+5x3+6x2+7x+8 在 x=2 时,v 2的值为 ()A.2B.19C.14D.33【分析】选 C.依据秦九韶算法 , 把多项式改写成以下形式:因为 f(x)=2x 6+3x5+5x3+6x2+7x+8=(((((2x+3)x+0)x+5)x+6)x+7)x+8,因此 v0=a6=2,v1=v0 x+a5=2×2+3=7,v2=v1 x+a4=7×2+0=14.12.(2016 ·北京高考 ) 履行以下图的程序框图, 输出的 s 值为()A.8B.9C.27D.36【分析】选 B.k=0,s=0;s=0+03=0,k=1;s=0+13=1,k=2;s=1+23=9,k=3.输出 9.二、填空题 ( 本大题共 4 个小题 , 每题 5 分, 共 20 分. 把答案填在题中的横线上)13.将二进制数 110101(2)化成十进制数 , 结果为 ________,再将该结果化成七进制数, 结果为 ________.【分析】 110101(2) =1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=32+16+4+1=53.因此 53=104(7) .答案 : 53104(7)14.用更相减损术求 459 和 357 的最大条约数为 ________.【分析】由更相减损术得 :459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51.答案:5115.依据程序INPUT a,b,cIF a2+b2=c2THENPRINT“是直角三角形!”ELSEPRINT“非直角三角形!”END IFEND运转时输入 5,12,13运转结果输出 ________.【分析】这是一个条件构造的算法程序 , 其意思是 : 键盘输入 a,b,c 的值 , 假如a2+b2 =c2, 则输出“是直角三角形 ! ” , 不然输出“非直角三角形 ! ” ; 因为运转时输入 5,12,13, 即是 a=5,b=12,c=13; 明显 52+122=132, 因此运转结果输出是直角三角形!.答案 : 是直角三角形 !16.(2016 ·天津高考 ) 阅读以下图的程序框图, 运转相应的程序 , 则输出 S 的值为________.【分析】第一次 :S=8,n=2,第二次 :S=2,n=3,第三次 :S=4,n=4, 知足 n>3, 输出 S=4.答案:4三、解答题 ( 本大题共 6 个小题 , 共 70 分, 解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(10 分) 求三个数 168,42,140 的最大条约数 .【分析】先用更相减损术求168 与 140 的最大条约数 .由 168-140=28,140-28=112,112-28=84, 84-28=56,56-28=28.故 168 与 140 的最大条约数为 28.再求 28 与 42 的最大条约数 .42-28=14,28-14=14.故 14 为这三个数的最大条约数.18.(12 分) 已知一个五次多项式为f(x)=5x 5+2x4 +3.5x 3-2.6x 2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5 时的值 .【分析】可依据秦九韶算法的原理, 先将所给的多项式进行改写, 而后由内向外逐次计算即可 .f(x)=5x 5+2x4+3.5x 3-2.6x 2=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,v0=5,v1=5×5+2=27,v2=27×5+3.5=138.5,v3=138.5 ×5-2.6=689.9,v4=689.9 ×5+1.7=3451.2,v5=3451.2 ×5-0.8=17255.2.因此 , 当 x=5 时, 多项式的值等于17255.2.19.(12 分) 在以下图的程序框图中, 当输入实数 x 的值为 4 时, 输出的结果为 2;当输入实数 x 的值为 -2 时, 输出的结果为 4.(1)务实数 a,b 的值 , 并写出函数 f(x) 的分析式 .(2)若输出的结果为 8, 求输入的 x 的值 .【分析】 (1) 当输入实数 x 的值为 4 时, 输出的结果为 2.因此 f(x)=log a4=2,解得:a=2;当输入实数 x 的值为 -2 时, 输出的结果为 4.因此 f(x)=b -2 =4, 解得 :b= ,f(x)=(2) 当 x>0 ,f(x)=log2x=8,解得x=256,当 x≤0,f(x)==8, 解得x=-3,上所述, 入的x 的256 或-3.20.(12分)已知某算法的程序框如所示, 若将出的(x,y)挨次(x 1,y 1),(x 2,y 2), ⋯,(x n,y n).(1)若程序运转中出的一个数是 (9,t), 求 t 的 .(2)程序束 , 共出 (x,y) 的数多少 ?(3)写出程序框的程序句 .【分析】 (1) 由程序框知 : 当 x=1,y=0;当 x=3 ,y=-2; 当 x=9 ,y=-4,因此 t=-4.(2)当 n=1 , 出一 , 当 n=3 , 又出一 , ⋯, 当 n=2020年 , 出最后一 ,共出 (x,y) 的数 1005.(3)程序框的程序句以下 :21.(12 分) 高一 (2) 班共有 54 名同学参加数学比赛 , 现已有这 54 名同学的比赛分数, 请设计一个将比赛成绩优异同学的均匀分输出的程序( 规定 90 分以上为优异 ),并画出程序框图 .【分析】程序以下 :程序框图如图 :22.(12 分) 我国古代数学家张丘建编的《算经》中记有一道风趣的数学识题 : “今有鸡翁一 , 值钱五 ; 鸡母一 , 值钱三 ; 鸡雏三 , 值钱一 . 凡百钱 , 买鸡百只 , 问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何 ?”你能用程序解决这个问题吗 ? 【分析】设鸡翁、鸡母、鸡雏各x,y,z 只, 则由② , 得 z=100-x-y, ③③代入① , 得 5x+3y+=100,即 7x+4y=100. ④求方程④的解 , 可由程序解之 .。
2019_2020学年高中数学第三章概率单元质量测评(含解析)新人教A版必修3
第三章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A 发生的概率P (A )总满足0＜P (A )＜1；④若事件A 的概率趋近于0，即P (A )→0，则事件A 是不可能事件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 易知①②是正确的．2． 如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于或等于圆的半径的概率为()A ．12B ．23C ．32D ．12答案B解析如图，当AA ′的长度等于半径时，A ′位于B 点或C 点，此时∠BOC ＝120°，则优弧BC的长度为4πR 3．故所求概率P ＝43πR 2πR ＝23． 3．某栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金牌，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会(翻过的牌不能再翻)．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是( )A ．14B ．15C ．16D ．120答案 C解析 由于该观众前两次均已获奖，所以第三次翻牌时还剩18个商标，其中3个有奖，故第三次翻牌获奖的概率是318＝16． 4．已知地铁列车每10 min 到站一次，且在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A ．110B ．16C ．1160D ．111答案 A解析 由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是地铁列车每10 min 到站一次，共有10 min ，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要1 min ，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，所以事件A 发生的概率P ＝110．故选A ． 5．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是( )A ．23B ．13C ．16D ．56答案 B解析 编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位时，1号学生有3种坐法，2号学生有2种坐法，3号学生只有1种坐法，所以一共有6种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2种，所以所求的概率P ＝26＝13．6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A ．932B ．516C ．38D ．716答案 C解析 设正方形边长为2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为2×1×12＋1×1222＝38． 7．有两双不同的袜子，任取2只恰好成双的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12答案 C解析 设这4只袜子为A 1，A 2，B 1，B 2，其中A 1和A 2是一双，B 1和B 2是一双．从中任取2只有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6个基本事件，恰好成双有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)共2个基本事件，则任取2只恰好成双的概率为26＝13． 8．有五条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成三角形的概率为( )A ．110B ．310C ．12D ．710答案 B解析 从5条线段中任意取3条共有10种取法，所取3条线段能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9，共3种取法．故所求概率为310．故选B ． 9．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．其中错误命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 ①正确；②当且仅当A 与B 互斥时才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，对于任意两个事件A ，B ，满足P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )，②不正确；③P (A ∪B ∪C )不一定等于1，还可能小于1，所以③也不正确；④也不正确，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P (A )＝12，P (B )＝12，P (A )＋P (B )＝1． 10．甲、乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可离开．如果甲1点半到达．假设乙在1点到2点之间何时到达是等可能的，则甲、乙能会面的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．16答案 B解析 在1点到2点之间，甲乙只能在1点20到1点40之间会面．因此甲乙两人会面的概率满足几何概型，且甲乙两人能会面的概率为13．故选B ． 11．在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为710的是( )A ．恰有1件一等品B ．至少有1件一等品C ．至多有1件一等品D ．都不是一等品答案 C解析 将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．其中恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，故恰有1件一等品的概率为P 1＝610．恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，故恰有2件一等品的概率为P 2＝310，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝710． 12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A ．110B ．715C ．815D ．1315答案 C解析根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10，15)，[15，20)内的人数分别为5×0．02×20＝2，5×0．04×20＝4，设生产产品件数在[10，15)内的2人分别是A，B，设生产产品件数在[15，20)内的4人分别是C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取这2人不在同一组的概率为8 15．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A、B两个不同的岗位，每个岗位至少1人，则甲、乙被分到同一岗位的概率为________．答案1 3解析所有可能分配方式如下表：共有基本事件6个，其中事件M“甲、乙两人被分到同一岗位”含2个基本事件，∴P(M)＝26＝13．14．从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________．答案3 10解析用(x，y)表示取出的两个球的号码为x与y，则所有基本事件构成集合．Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}共有基本事件10个．设A＝“所取球的最大号码不超过3”，则A＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}含基本事件3个，∴P(A)＝310．15．图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．答案 3解析 设长方体的高为h ，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h ，宽为1＋2h ，面积为(2＋2h )(1＋2h )，展开图的面积为2＋4h ；由几何概型的概率公式知2＋4h ＋2h ＋2h ＝14，得h ＝3，所以长方体的体积是V ＝1×3＝3．16．小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00～6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30～6：00．快递员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于________．答案 34 解析设快递员到小李家的时间为5点x 分，小李回家的时间为5点y 分，依题意，若需要去快递柜收取商品，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤60，30≤y ≤60，y －x ＞0，则可行域所表示区域为图中阴影部分．由于随机试验落在矩形方框内的任何位置的等可能性，进而依据几何概型的概率公式，可得小李需要去快递柜收取商品的概率为12＋30×60＝34． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)有编号为A 1，A 2，…，A 9的9道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于0．50的为难题．(1)从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率；(2)从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率．解 (1)记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M ，9道题中难题有A 1，A 4，A 6，A 7四道．所以P (M )＝49．(2)记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N ，则基本事件为：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 1，A 7}，{A 4，A 6}，{A 4，A 7}，{A 6，A 7}，共6个；难题中有且仅有A 6，A 7的难度系数相等．故P (N )＝16． 18．(本小题满分12分)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解 (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}， {A 4，A 5}，{A 4 ，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15． 19．(本小题满分12分)设点M (x ，y )在|x |≤1，|y |≤1时按均匀分布出现，试求满足：(1)x ＋y ＜1的概率；(2)x 2＋y 2>1的概率．解(1)如图所示，x ＋y ＝1所在的直线是EF ，易知EF 的左下方区域内的点都满足x ＋y ＜1，因为S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △DEF ＝22－12×1×1＝72，由几何概型的概率公式可得： P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78． (2)满足x 2＋y 2＝1的点是单位圆⊙O ，所以x 2＋y 2>1表示的是⊙O 外部的点，因为S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2>1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD ＝4－π4． 20．(本小题满分12分)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．解 (1)总体平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7．5． (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0．5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(5，10)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)，共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(5，9)，(5，10)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，共有7个基本结果．所以所求的概率为P (A )＝715． 21．(本小题满分12分)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M ，G 分别是AB ，DF 的中点．(1)在AD 上(含A ，D 端点)确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ；(2)一只苍蝇在几何体ADF －BCE 内自由飞行，求它飞入几何体F －AMCD 内的概率． 解 由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ．(1)点P 在A 点处．证明：取FC 中点S ，连接GS ，MS ，GA ，∵G 是DF 的中点，∴GS ∥CD ，GS ＝12CD ． 又AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴GS ∥AB ，且GS ＝12AB ． 又M 为AB 中点，∴GS ＝AM ．∴四边形AGSM 为平行四边形．∴AG ∥MS ．又MS ⊂平面FMC ，AG ⊄平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ，即GP ∥平面FMC ．(2)因为V F －AMCD ＝13S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3， V ADF －BCE ＝S △ADF ×AB ＝12a 2×a ＝12a 3，所以苍蝇飞入几何体F －AMCD 中的概率为P ＝14a 312a 3＝12． 22．(本小题满分12分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组[70，75)，第三组[75，80)，第四组[80，85)，第五组[85，90)．得到频率分布直方图如图．(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．解(1)测试成绩在[80，85)内的频率为1－(0．01＋0．07＋0．06＋0．02)×5＝0．2．(2)第三组的人数为0．06×5×100＝30，第四组的人数为0．2×100＝20，第五组的人数为0．02×5×100＝10，所以第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人．设第三组抽到的3人为A1，A2，A3，第四组抽到的2人为B1，B2，第五组抽到的1人为C．从6名学生中随机选取2名的可能情况有15种：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)．设“第四组2名学生中至少有1名学生被抽中”为事件M，则事件M包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9个．所以，第四组至少有1名同学被抽中的概率P(M)＝915＝35。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用单元质量测评(一)(含解析)新人教A版
第三章 单元质量测评(一)对应学生用书P99 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列函数中没有零点的是( ) A ．f (x )＝log 2x －7 B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋x答案 C解析 由于函数f (x )＝1x 中，对任意自变量x 的值，均有1x≠0，故该函数不存在零点．2．函数f (x )＝x 3－4x 的零点为( ) A ．(0,0)，(2,0)B ．(－2,0)，(0,0)，(2,0)C ．－2,0,2D ．0,2 答案 C解析 由f (x )＝0，得x (x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝0或x ＝±2，故选C. 3．方程ln x ＋x －4＝0的实根所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 设函数f (x )＝ln x ＋x －4(x >0)，故f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．因为f (2)×f (3)＝(ln 2－2)×(ln 3－1)<0，故函数f (x )在区间(2,3)上有零点，即方程ln x ＋x－4＝0在区间(2,3)上有实根，故选B.4．函数f (x )＝1x－ln x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 如图，在同一坐标系中作出y ＝1x与y ＝ln x 的图象：可知f (x )＝1x－ln x 只有一个零点．5．某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午他的体温基本正常(正常体温约为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )答案 C解析 观察选项A 中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B 中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D 中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”的过程．6．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )答案 B解析 B 为同号零点，故不可以用二分法求解．答案为B.7．设f (x )＝2x＋2x －5的零点为x 1，g (x )＝2log 2(x －1)＋2x －5的零点为x 2，则x 1＋x 2＝( )A.52 B ．3 C.72 D ．4 答案 C解析 由题意得2x 1＋2x 1－5＝0,2log 2(x 2－1)＋2x 2－5＝0，∴2x 1－1＝52－x 1,252－x 2＝x 2－1，令t ＝72－x 2，则有2t －1＝52－t .∵方程2x －1＝52－x 有且只有一个零点，∴t ＝x 1，即72－x 2＝x 1，∴x 1＋x 2＝72，故选C.8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S (元)关于x (件)的函数是( )A ．S ＝800＋x 8B ．S ＝800x ＋x8C ．S ＝800x ＋x 8D ．S ＝800x ＋x答案 C解析 由题意知每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8×1元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝800x ＋x8，故选C.9．在下列区间中，函数f (x )＝3x－x －3的一个零点所在的区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析 因为f (1)＝31－1－3<0，f (2)＝32－2－3>0，故f (1)f (2)<0，所以在(1,2)内有一个零点，选C.10．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列区间的( ) A ．(0.6,1.0) B ．(1.4,1.8) C ．(1.8,2.2) D ．(2.6,3.0) 答案 C解析 构造f (x )＝2x－x 2，则f (1.8)＝0.242，f (2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f (x )＝2x －x 2＝0，所以方程2x ＝x 2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．11．若关于x 的方程x 2－x －(m ＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m 的取值范围是( ) A ．－1≤m ≤1 B．m ≥－54C ．m <1D ．－54≤m ≤1答案 D解析 依题意m ＝x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54，当x ＝12时，m 最小值为－54；当x ＝－1时，m最大值为1.所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.选D.12．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.＋p＋q －12 C.pq D.＋p＋q －1答案 D解析 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝＋p＋q －1.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －2)的零点是________． 答案 1或3解析 f (x －2)＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1或x ＝3.14．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T 12.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t 变化的6组数据如下：从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t )＝________.答案 6 320·2－t6(t ≥0)解析 从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为A 0＝320，则经过时间t的剩余质量为A (t )＝A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12tT 12＝320·2－t 6(t ≥0)．15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,0)解析 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上单调递增．由已知得f (0)·f (1)<0，则a (a ＋2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋2>0，解得－2<a <0.16．里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特(C.F.Richter)和古登保(B.Gutenberg)于1935年提出的一种震级标度．里氏震级M 的计算公式是M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．日本东北部海域曾发生里氏9.0级地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6级地震给人的震撼已十分强烈，按照里氏震级M 的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的________倍．答案 1000解析 设里氏6级地震最大振幅为A 6，里氏9级地震最大振幅为A 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧9＝lg A 9－lg A 0，6＝lg A 6－lg A 0，解得lg A 9－lg A 6＝3，即lg A 9A 6＝3，所以A 9A 6＝103＝1000.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，求函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点．解 函数f (x )＝ax －b 的一个零点是3. ∴f (3)＝0，即b ＝3a ，g (x )＝3ax 2＋3ax ， 令g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1， ∴g (x )的零点是x ＝0或x ＝－1.18．(本小题满分12分)在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？解 设每件棉衣日租金提高x 个5元，即提高5x 元，则每天棉衣减少出租6x 件，又设棉衣日租金的总收入为y 元．∴y ＝(50＋5x )×(120－6x )， ∴y ＝－30(x －5)2＋6750∴当x ＝5时，y max ＝6750，这时每件棉衣日租金为50＋5x ＝50＋5×5＝75(元)， ∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1.(1)求函数f (x )的零点；(2)求满足f (x )≤2的x 的取值范围． 解 (1)当x ≤1时，函数无零点．当x >1时，令f (x )＝0，∴1－log 2x ＝0，x ＝2， ∴函数的零点为x ＝2； (2)当x ≤1时，21－x≤2，即x ≥0，∴0≤x ≤1.当x >1时，f (x )＝1－log 2x ≤2，解得x ≥12.又∵x >1，∴x >1. 综上可知，x ≥0.20．(本小题满分12分)载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t 和燃料重量x t 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s 关于x 的函数关系为y ＝k [ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2(其中k ≠0)．当燃料重量为(e －1)m t 时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s 与燃料重量x t 之间的函数关系式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t ，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t ，取e≈2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？解 (1)由题意，得4＝k {ln [m ＋(e －1)m ]－ln (2m )}＋4ln 2， 解得k ＝8，所以y ＝8[ln (m ＋x )－ln (2m )]＋4ln 2＝8lnm ＋xm； (2)由已知，得M ＝m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x . 将y ＝8代入(1)中所得式中，得8＝8ln 479.8479.8－x ，解得x ≈303.3.所以应装载大约303.3 t 燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s ，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道．21．(本小题满分12分)甲商店某种商品4月份(30天，4月1日为第一天)的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如下图(1)所示，该商品日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系如下图(2)所示．(1)写出图(1)表示的销售价格与时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图(2)表示的日销售量与时间的函数关系式Q ＝g (t )，及日销售金额M (元)与时间的函数关系式M ＝h (t )；(2)乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N (元)与时间t (天)之间的函数关系式为N ＝－2t 2－10t ＋2750，比较4月份每天两商店销售金额的大小．解 (1)设销售价格函数是y ＝kt ＋b ，由图(1)知该函数图象过点(0,15)，(30,30)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，30k ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，k ＝12，所以P ＝f (t )＝12t ＋15(0<t ≤30，t ∈N *)．日销售量函数是y ＝at ＋m ，由图(2)知该函数图象过点(0,160)，(30,40)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，30a ＋m ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，a ＝－4.所以Q ＝g (t )＝－4t ＋160(0<t ≤30，t ∈N *)．故M ＝h (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋15(－4t ＋160)＝－2t 2＋20t ＋2400(0<t ≤30，t ∈N *)； (2)由N ＝－2t 2－10t ＋2750(t ∈N *)， 可得M －N ＝30t －350(0<t ≤30，t ∈N *)． 由30t －350<0，知0<t <1123，t ∈N *.即前11天甲商店销售金额比乙商店少，以后甲均比乙多．22．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x ，∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，62－0.02x ，100<x ≤600；(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，22x －0.02x 2，100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2000； 当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6050， ∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6050. 显然6050>2000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．。
2019-2020学年人教A版必修三单元质量评估试卷(三)含解析-(高一数学)
单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的关系是( )A.P(A)≈B.P(A)<C.P(A)>D.P(A)=【解析】选A.根据概率的统计定义可知,当试验次数n不断增大时,事件A发生的频率会趋于一个稳定值,该值的大小反映了事件A发生的可能性的大小,所以事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值.2.从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,下列事件是互斥事件的是( )(1)恰好有1件次品和恰好有两件次品.(2)至少有1件次品和全是次品.(3)至少有1件正品和至少有1件次品.(4)至少1件次品和全是正品.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解析】选D.互斥事件是两个事件不可能同时发生.3.(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), (b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A=“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.4.(2016·临沂高一检测)在区域内任意取一点P(x,y),则x2+y2<1的概率是( )A.0B.-C.D.1-【解题指南】本题为几何概型,首先画出所有可能构成的区域,再画出事件所满足的区域,根据几何概型的概率公式计算.【解析】选C.所有基本事件构成的区域为边长为1的正方形,而满足条件的点构成的区域为圆心在原点,半径为1的圆在第一象限的部分即的圆,所以P=×=.5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是( )A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68【解析】选C.质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率为0.32-0.3=0.02.6.(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种种法,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种,故概率为.【补偿训练】(2016·杭州高一检测)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.设Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的基本事件数为5×3=15,事件“b>a”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的基本事件数m=3,所以P==.7.设一元二次方程x2+bx+c=0,若b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为b,c是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,所以一共有36种情况.由方程有实数根知,Δ=b2-4c≥0,显然b≠1.当b=2时,c=1(1种);当b=3时,c=1,2(2种);当b=4时,c=1,2,3,4(4种);当b=5时,c=1,2,3,4,5,6(6种);当b=6时,c=1,2,3,4,5,6(6种).故方程有实数根共有19种情况,所以方程有实数根的概率是.【补偿训练】把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则方程组只有一个解的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.点(a,b)取值的集合共有6×6=36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax+by=3与x+2y=2相交,即≠,即b≠2a,而满足b=2a的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组只有一个解的概率为=.8.已知直线y=x+b的横截距在[-2,3]范围内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.由题意知b∈[-3,2],所以P(b大于1)==.9.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意得:(x i,y i)(i=1,2,…,n)在如图所示的正方形中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知=,所以π=.10.(2016·石家庄高一检测)在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )A.恰有2件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品【解析】选C.将3件一等品编号为1,2,3;2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5), (3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率为P1=,恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2=,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为P3=1-P2=1-=.11.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 A.任意敲击0到9这十个数字键两次,其得到的所有结果为(0,i)(i=0,1,2,…,9);(1,i)(i=0,1,2,…,9);(2,i)(i=0,1,2,…,9);…;(9,i)(i=0,1,2,…,9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数的结果有(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9).共有9种.故所求概率为.12.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素α,则函数y=xα,x∈[0,+∞)是增函数的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 C.当x依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3时,对应的y的值依次为:3,0,-1,0,3,8,15,所以集合A={-1,0,3,8,15},因为α∈A,所以使y=xα在x∈[0,+∞)上为增函数的α的值为3,8,15,故所求概率P=.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为________.【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6个;其中一个数是另一个两倍的有(1,2),(2,4)两个事件,故概率为=.答案:14.(2016·潍坊高一检测)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从中摸出1个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为________.【解析】由题可知,白球的个数为100×0.23=23,所以黑球的个数为100-23-45=32,所以概率为P==0.32.答案:0.3215.(2016·山东高考)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=<3,即-<k<,所以所求概率P==.答案:【补偿训练】已知函数f(x)=log2x,x∈[1,3],若在区间x∈[1,3]上随机取一点,则使得-1≤f(x0)≤1的概率为________.【解题指南】本题需要根据对数函数的图象准确解出简单的对数不等式,并结合函数的定义域求出不等式的正确解集.【解析】由函数-1≤f(x0)≤1得-1≤log2x0≤1,解得x0∈,又函数f(x)的定义域为x∈[1,3],所以不等式的最终解集为x0∈[1,2],所以-1≤f(x0)≤1的概率为P==.答案:【误区警示】本题易忽略函数的定义域而导致不等式的解集出错,从而导致结果错误.16.已知集合A={-1,0,1,3},从集合A中有放回地任取两个元素x,y作为点M的坐标,则点M落在x轴上的概率为.【解题指南】先列出所有基本事件,再看点M落在x轴上包括哪几个基本事件,根据古典概型概率公式求解.【解析】所有基本事件构成的集合为{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1), (0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3)},其中“点M落在x轴上”的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以P==.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少?【解析】从中取出2粒都是黑子与都是白子互斥,因而从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+=.18.(12分)同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币,计算:(1)恰有一枚出现正面的概率.(2)至少有两枚出现正面的概率.【解析】基本事件有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,正,正)共8个.(1)用A表示“恰有一枚出现正面”这一事件:则A={(正,反,反),(反,反,正),(反,正,反)}.因此P(A)=.(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件,则B={(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,正,正)},因此P(B)==.19.(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率.【解析】在平面直角坐标系中,以x轴和y轴分别表示m,n的值,因为m,n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应,即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域.设事件A表示方程x2-x+m=0有实根,则事件A=,所对应的区域为图中的阴影部分,且阴影部分的面积为,故P(A)==,即关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实根的概率为.20.(12分)(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数.(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.【解题指南】(1)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①一一列举,共15种;②符合条件的结果有9种,所以P==.【解析】(1)应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4} ,{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种,所以事件A发生的概率P==.21.(12分)(2016·武汉高一检测)2020学年全国两会期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访,现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y,且x<y”.(1)共有多少个基本事件?并列举出来.(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率.【解析】(1)共有36个基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3, 5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7), (5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9),共36个.(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A,即事件A 为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且11≤x+y<17,其中x<y”,由(1)可知事件A共含有15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15个.“都是男记者”记作事件B,则事件B为“x<y≤5”,包含:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.故P(A)+P(B)=+=.【误区警示】用列举法列出基本事件时,必须做到不重不漏,且要注意题中要求(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x,y且x<y”,所以列举时易因忽略题中所给关键条件导致出错.22.(12分)(2016·黑龙江高一检测)从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高,据统计被测学生的身高全部在155cm到195cm之间.将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组的人数相同,第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列.频率分布直方图:(1)求下列频率分布表中所标字母的值,并补充完整频率分布直方图.频率分布表:分组频数频率频率/组距……………[180,185) x y z[185,190) m n p……………分别为x,y,求满足:|x-y|≤5的事件的概率.【解析】(1)由频率分布直方图可得前5组的频率是(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,第八组的频率是0.04,所以第六、七组的频率是1-0.86=0.14,所以样本中第六、七组的总人数为7人.由已知得:x+m=7.①因为x,m,2成等差数列,所以x=2m-2,②由①②得:m=3,x=4,所以y=0.08,n=0.06,z=0.016,p=0.012.频率分布直方图如图所示.(2)由(1)知,身高在[180,185)内的有4人,设为a,b,c,d,身高在[190,195]内的有2人,设为A,B.若x,y∈[180,185),则有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况;若x,y∈[190,195],则有AB共1种情况;若x∈[190,195],y∈[180,185)或x∈[180,185),y∈[190,195],则有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况.所以基本事件总数为6+1+8=15种.又事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件总数为6+1=7种,所以P(|x-y|≤5)=.。
2019_2020学年高中数学阶段质量检测三新人教A版必修3
阶段质量检测（三）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A．随机事件的概率总在[0,1]内B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对解析：选C 随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.2．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8解析：选C 法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.3．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为( )A.12B．13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.4．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥解析：选B 因为事件B 是表示“三件产品全是次品”，事件C 是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.5．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使得f (x 0)≤0的概率是( ) A.310B ．15 C.25D.45解析：选A 由f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，由x ∈[－5,5]，区间长度为10，所以所求概率为P ＝310.6．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23 B ．35 C.25D.15解析：选B 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过该项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.7．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.2π－334π－23B ．23π3－3C.32π－23D.2π－332π－23解析：选D 设圆半径为R ，因为阴影部分面积为S 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6R 2－34R 2＝2π－334R 2，勒洛三角形的面积为S ＝S 1＋34R 2＝π－32R 2， 若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率P ＝S 1S ＝2π－332π－23.8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A.3π10B ．3π20C ．1－3π10D ．1－3π20解析：选D ∵82＋152＝172， ∴该直角三角形斜边长为17.设内切圆半径为r ，则有12(8＋15＋17)×r ＝12×8×15，解得r ＝3，则内切圆的面积为π×32＝9π. ∴豆子落在其内切圆外的概率P ＝60－9π60＝1－3π20.9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.4πD.4π－1解析：选 B 要使函数有零点，则Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，a 2＋b 2≥π2，又－π≤a ≤π，－π≤b ≤π，所以基本事件的范围是2π·2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为4π2－π34π2＝1－π4.故选B. 10．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25 B ．710 C.45D.910解析：选C 设被污损的数字是x ，则x ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为x甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x 乙＝15[83＋83＋87＋(90＋x )＋99]＝442＋x 5，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A ，则此时有90＞442＋x5，解得x ＜8，则事件A 包含x ＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P (A )＝810＝45.11．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数分别为17,19,20,21,25,30.日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任选2名，则至少有1名优秀工人的概率为( )A.815B ．49 C.35D.19解析：选C 由题意可知6名工人日加工的零件个数的样本平均数为16×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，因为日加工零件个数大于22的有25,30，所以优秀工人有2名．从该车间6名工人中，任选2名共有15种取法：(17,19)，(17,20)，(17,21)，(17,25)，(17,30)，(19,20)，(19,21)，(19,25)，(19,30)，(20,21)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：(17,25)，(17,30)，(19,25)，(19,30)，(20,25)，(20,30)，(21,25)，(21,30)，(25,30)．由概率公式可得P ＝915＝35.故选C.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B ．736 C.1336D.1936解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．解析：记“任取一球为白球”为事件A ，“任取一球为黑球”为事件B ，则P (A ＋B )＝P (A)＋P (B)＝1020＋520＝34.答案： 3414．在一棱长为6 cm 的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为________．解析：距离顶点小于1 cm 的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm 的球，其体积为4π3，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为1－π162.答案：1－π16215．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________．解析：依题意知，直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1恒有公共点，故|a |12＋12≤1，解得－2≤a ≤ 2.答案：[－2， 2 ]16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为16.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为26＝13.答案：16 13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．解：(1)由题意可得n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a ，c 1)，(a ，c 2)，所以总得分为2分的概率为26＝13.18．(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元或4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.19．(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足m ＋2≤n 的事件的概率为P 1＝316，故满足n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.20．(12分)已知集合Z ＝{(x ，y )|x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]}． (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．解：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2；y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1.则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89.(2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R”为事件B ， ∵x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.21．(12分)某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率．解：(1)依题意，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b ＝0.2.(2)因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生，则第三、四、五组应分别抽取3060×6＝3(名)，2060×6＝2(名)，1060×6＝1(名)．将第三组的3名学生分别记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生分别记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c 1，则从6名学生中随机抽取2名，有{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c 1}，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c 1}，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c 1}，{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，c 1}，共15种不同的取法，其中第三组的3名学生a 1，a 2，a 3没有一名学生被抽取的情况有{b 1，b 2}，{b 1，c 1}，{b 2，c 1}，共3种，故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率P ＝1－315＝0.8.22．(12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1.解得a＝0.03.(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544(人)．(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.005×10＝2(人)，分别记为A，B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.010×10＝4(人)，分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7种．所以所求概率为P(M)＝7 15.。
2019-2020学年人教课标A版高中数学必修三综合质量检测 Word版含解析
姓名，年级：时间：综合质量检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )A．分层抽样 B．抽签抽样C．随机抽样 D．系统抽样[解析］号码顺序以一定的间隔抽取，这样的抽样是系统抽样．［答案］D2．下列程序的含义是( )A．求方程x3＋3x2－24x＋30＝0的根B．求输入x后，输出y＝x3＋3x2－24x＋30的值C．求一般三次多项式函数的程序D．作y＝x3＋3x2－24x＋30的作图程序［解析] 由程序知，输入x后，输出y＝x3＋3x2－24x＋30的值，应选B.［答案] B3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件［解析］甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．[答案] C4．把“二进制”数101101(2)化为“八进制”数是( )A．40（8） B．45(8) C．50(8） D．55(8)[解析] ∵101101(2)＝1×25＋0＋1×23＋1×22＋0＋1×20＝45(10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）＝55（8)．故选D。
[答案] D5．设某中学的高中女生体重y（单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i,y i）(i＝1,2,3，…，n）,用最小二乘法近似得到回归直线方程为错误!＝0.85x－85.71,则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过点（错误!，错误!）C．若该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0。
2019_2020学年高中数学第三章单元质量测评(二)(含解析)新人教A版选修1_1
第三章 单元质量测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒答案 D解析 s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t 4－4t 3＋16t 2′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t －4)(t －8)，令s ′＝0，则有t (t－4)(t －8)＝0，解得t ＝0或t ＝4或t ＝8.2．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (1)<e f (0)，f (2014)>e 2014f (0) B ．f (1)>e f (0)，f (2014)>e 2014f (0) C ．f (1)>e f (0)，f (2014)<e 2014f (0) D ．f (1)<e f (0)，f (2014)<e 2014f (0)答案 D 解析 令g (x )＝f xex ，则g ′(x )＝e xf ′x －e xf x ex 2＝f ′x －f xex<0，∴函数g (x )在R 上单调递减， ∴g (1)<g (0)，g (2014)<g (0)， 即f 1e<f 01，f 2014e2014<f 01，化为f (1)<e f (0)，f (2014)<e 2014f (0)，所以D 项正确．3．函数y ＝2x 3－2x 2在[－1,2]上的最大值为( ) A ．－5 B ．0 C ．－1 D ．8答案 D解析 y ′＝6x 2－4x ＝2x (3x －2)，列表：x －1 (－1,0) 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 23⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 2 y ′＋－＋y－4－8278max 4．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 设f (x )＝2x 3－6x 2＋7， 则f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)． ∵x ∈(0,2)，∴f ′(x )<0.∴f (x )在(0,2)上递减，又f (0)＝7，f (2)＝－1， ∴f (x )在(0,2)上有且只有一个零点，即方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内只有一个根．5．若函数f (x )＝13x 3－ax 2＋ax 在(0,1)内有极大值，在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ，由题意知，f ′(x )＝0在(0,1)，(1,2)内都有根，且f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，由题意知，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a <0，4－3a >0⇒1<a <43，故选A.6．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.7．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞)答案 B解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．8．直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 9．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 答案 C解析 函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，一定有：当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0，函数是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数是增函数，所以C 项正确．10．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．2答案 C解析 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ，∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C.11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．b <c <a答案 B解析 由当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，知f (x )在(－∞，1)上为增函数．又由f (x )＝f (2－x )得c ＝f (3)＝f (－1)，所以c <a <b .12．若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )>－xf ′(x )，则一定有( ) A ．函数F (x )＝f xx 在(0，＋∞)上为增函数 B ．函数F (x )＝f xx在(0，＋∞)上为减函数 C ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数 D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数 答案 C解析 设G (x )＝xf (x )，则G ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0，故G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上递增，故选C.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．曲线y ＝x ＋1x 2在点(1，m )处的切线方程为________． 答案 3x ＋y －5＝0 解析 由题意得m ＝2，y ′＝x 2－2x x ＋1x 4＝－x －2x 3，y ′|x ＝1＝－3， 切线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －5＝0.14．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)解析 ∵y ′＝3x 2－10＝2，∴x ＝±2.又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，∴点P 的坐标为(－2,15)．15．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，令f ′(x )>0，得x >a 或x <－a ，令f ′(x )<0得－a <x <a ，∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ，∵a >0，∴2a 3＋a >0，当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＋a >0，a －2a 3<0，a >0，解得a >22. 16．已知函数y ＝f (x )在定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12∪[0,1]解析 当x <0时，f ′(x )≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12，当x >0时，f ′(x )≤0的解集是(0,1]， 当x ＝0时，xf ′(x )≤0也成立，所以不等式xf ′(x )≤0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12∪[0,1]．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ，(1)当c ＝0时，f (x )在点P (1,3)处的切线平行于直线y ＝x ＋2，求a ，b 的值； (2)若f (x )在点A (－1,8)，B (3，－24)处有极值，求f (x )的表达式． 解 (1)当c ＝0时，f (x )＝x 3－2ax 2＋bx .所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b .依题意可得f (1)＝3，f ′(1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝3，3－4a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.(2)f (x )＝x 3－2ax 2＋bx ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋b .由题意知－1,3是方程3x 2－4ax ＋b ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝4a3，－1×3＝b3，解得a ＝32，b ＝－9，由f (－1)＝－1－2a －b ＋c ＝8，a ＝32，b ＝－9，可得c ＝3，所以f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3. 检验知，符合题意．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a )上的最大值．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有a3≤1且f ′(1)＝－2a ≥0，∴a ≤0.即a 的取值范围为(－∞，0]．(2)依题意，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，即13＋23a －3＝0， ∴a ＝4，∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3，则当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：19．(本小题满分12分)当0<x <π2时，试证：sin x >x －x36.证明 设函数f (x )＝sin x －x ＋x 36，显然f (0)＝0，则f ′(x )＝cos x －1＋x 22＝x 22－2sin 2x2 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 22.又因为0<x <π2，x >sin x ，所以x2>sin x2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 22>0. 故f ′(x )>0，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0，即sin x >x －x 36.20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln (x ＋b )(a >0，b >0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解 (1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln (x ＋1)． 设投入经销B 商品的资金为x 万元(0<x ≤5)， 则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元， 设所获得的收益为S (x )万元， 则S (x )＝2(5－x )＋6ln (x ＋1) ＝6ln (x ＋1)－2x ＋10(0<x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0<x <2时，S ′(x )>0，函数S (x )单调递增； 当2<x ≤5时，S ′(x )<0，函数S (x )单调递减． 所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln (1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点； (2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)，f ′(－1)＝－2a －1＝0，所以a ＝－12.f ′(x )＝－x －21－x ＝x ＋1x －21－x. ∵x <1，∴1－x >0，x －2<0， 因此，当x <－1时f ′(x )>0， 当－1<x <1时f ′(x )<0， ∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)由题意f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立， 即2ax －21－x ≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立，∴a ≤1－x 2＋x在x ∈[－3，－2]上恒成立，∵－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14∈[－12，－6]，∴1－x 2＋x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，－112，∴⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋x min＝－16，a ≤－16.即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3－e x 2＋mx ＋1(m ∈R )，g (x )＝ln x x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，若g (x 1)<f ′(x 2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x 2－2e x ＋m ，Δ＝4(e 2－m )，①当m ≥e 2，Δ≤0，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上单调递增． ②当m <e 2时，Δ>0.令f ′(x )>0，得x <e －e 2－m 或x >e ＋e 2－m ，∴f (x )在(－∞，e －e 2－m )和(e ＋e 2－m ，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得e －e 2－m <x <e ＋e 2－m ，∴f (x )在(e －e 2－m ，e ＋e 2－m )上单调递减．(2)∵g ′(x )＝1－ln x x 2，令g ′(x )＝1－ln xx2＝0得，x ＝e ；令g ′(x )>0得，0<x <e ；令g ′(x )<0得，x >e.∴g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝1e.又f ′(x )＝(x －e)2＋m －e 2，∴当x >0时，f ′(x )min ＝m －e 2，∴∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，g (x 1)<f ′(x 2)⇔g (x )max <f ′(x )min ，∴1e <m －e 2，即m >e 2＋1e.。
2019秋高中数学第三章不等式单元评估验收(三)(含解析)新人教A版必修5
单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( )A.1a <1bB.－a <b C ．a 2<b 2D ．|a |>|b | 解析：A 正确，B ，C ，D 可举反例排除，如对B ，C ，设a ＝－9，b ＝1，对D ，设a ＝－1，b ＝2.答案：A2．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＞－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2} 解析：原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.答案：C3．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：画出可行域：z ＝x －y ⇒y ＝x －z ，由图形知最优解为(0，1)，所以z min ＝－1.答案：C4．下列函数：①y ＝x ＋1x (x ≥2)；②y ＝tan x ＋1tan x ；③y ＝x －3＋1x －3. 其中最小值为2的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，由于x ≥2，因此①的最小值不是2；②中tan x 可能小于零，最小值不是2；③中x －3可能小于零，最小值不是2.答案：A5．若2m ＋4n <22，则点(m ，n )必在( )A ．直线x ＋y ＝1的左下方B ．直线x ＋y ＝1的右上方C ．直线x ＋2y ＝1的左下方D ．直线x ＋2y ＝1的右上方 解析：因为22>2m ＋4n ≥22m ·4n ＝2m2＋n ＋1， 所以m 2＋n ＋1<32， 即m ＋2n <1，所以(m ，n )在x ＋2y ＝1的左下方．答案：C6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2，2]C ．(－2，2]D ．(－∞，－2) 解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立，因此a ＝2满足题意．当a ≠2时，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4（a －2）2－4（a －2）（－4）<0， 解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围是－2<a ≤2.答案：C7．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m >0)在平面区域内取得最优解(最大值)的点有无数多个，则m 的值为( )A ．－720B.720C.12 D ．不存在解析：当直线z ＝mx ＋y (m >0)与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点的坐标都是最优解．因为k AC ＝3－2255－1＝－720， 所以－m ＝－720，即m ＝720. 答案：B8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 mB ．6.8 mC ．7 mD ．7.2 m 解析：设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，所以ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.答案：C9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋1≥0，x －y ≤1，则目标函数z ＝y x －2的取值范围为( ) A ．[－3，3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23 C ．[－1，1] D ．[－2，2]解析：由线性约束条件画出可行域如图所示，其顶点坐标分别为(1，0)，(－1，2)，(－1，－2)．目标函数z ＝yx －2可看作点(x ，y )，(2，0)连线的斜率，结合图形可知，z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23.。
2019_2020学年高中数学第三章不等式单元质量测评新人教A版必修5
第三章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a <0，－1<b <0，则( ) A ．－a <ab <0 B ．－a >ab >0 C ．a >ab >ab 2D ．ab >a >ab 2答案 B解析 ∵a <0，－1<b <0，∴ab >0，a <ab 2<0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B ． 2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y ＞－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 答案 C解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A ．{x |x <－2或x >3}B ．{x |x <－2或1<x <3}C ．{x |－2<x <1或x >3}D ．{x |－2<x <1或1<x <3} 答案 C解析 原不等式可化为(x ＋2)·(x －1)(x －3)>0，如图由穿根法可得该不等式的解集为{x |－2<x <1或x >3}．4．若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab >12B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案 D解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b2＝2.∴ab ≤4.∴1ab ≥14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故A ，B ，C 均错误．故选D ．5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12 D ．a ≤－12答案 A解析 ∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 存在解．6．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4] 答案 A解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －2－－m ，f ，－m －22>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5，m <－2⇒－5<m ≤－4.故选A ．7．已知某线性规划问题的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，3y ≥x ，x ＋y ≤4，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是( )A ．z ＝2x －yB ．z ＝2x ＋yC ．z ＝－12x －yD ．z ＝－2x ＋y答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图：A 中，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最小，此时z 最大；B 中，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最大，此时z 最大；C 中，由z ＝－12x －y 得y ＝－12x －z ，平移直线可得，当直线经过点B 时，截距最大，此时z 最小；D 中，由z ＝－2x ＋y 得y ＝2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3，1)时，截距最小，此时z 最小，满足条件．故选D ．8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴1－x 2y 2≥34≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1.故(1－xy )(1＋xy )有最小值34和最大值1.9．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b答案 A解析 ∵α，β为f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2 与x 轴交点的横坐标．∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根， 令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．∴f (x )图象可由g (x )图象向上移2个单位得到，由图知选A ．10．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2 2D ．4 答案 D解析 设直线l 为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b＝1，故1＝2a ＋1b≥22a ·1b＝22ab，即ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时，等号成立．于是△OAB 的面积为S ＝12ab ≥4.故选D ．11．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年 答案 C解析 设二次函数为y ＝a (x －6)2＋11.又图象过点(4,7)，代入得7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25.设年平均利润为m ，则m ＝y x＝－x －25x＋12≤2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0，且目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(4,1)处取得最大值，则原点O 到直线ax －y ＋17＝0的距离d 的取值范围是( )A ．(417，17]B ．(0,417)C ．⎝⎛⎦⎥⎤1722，17 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，1722答案 B解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0作出可行域，如下图可行域，∵目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (4,1)取最大值， 当a ＝0时，z ＝y 仅在点(0,2)取最大值，不成立； 当a <0时，目标函数z ＝ax ＋y 的斜率k ＝－a >0， 目标函数在(4,1)取不到最大值．当a >0时，目标函数z ＝ax ＋y 的斜率k ＝－a ，小于直线x ＋4y －8＝0的斜率－14，∴a >14.综上，a >14.原点O 到直线ax －y ＋17＝0的距离d ＝171＋a2<417，则原点O 到直线ax －y ＋17＝0的距离d 的取值范围是(0,417)．故选B ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 答案 x ＜y解析 因为x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y .14．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. 答案 2解析 由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2， ∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0， ∴1<x <2，∴m ＝2.15．若不等式x 2<|x －1|＋a 在区间(－3,3)上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 [7，＋∞)解析 由x 2<|x －1|＋a 得a >x 2－|x －1|，令f (x )＝x 2－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，1≤x <3，x 2＋x －1，－3<x <1，∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3上单调递增， ∵f (－3)＝5，f (3)＝7，∴f (x )<7，∴a 的取值范围是[7，＋∞)．故答案为[7，＋∞)． 16．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________． 答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1－52或x >1＋52 解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为解不等式x 2－x －1>0， 由求根公式知，x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜1－52或x ＞1＋52. ∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜1－52或x ＞1＋52. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长．解 设一条直角边长为x cm(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x ) cm ， 面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x ，即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋－x2＝52＋52＝52(cm)．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15对一切x >2恒成立．∴x 2－4x ＋7x －1≥m 对一切x >2恒成立，又x －1>1，x 2－4x ＋7x －1＝x －1＋4x －1－2≥2x －4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)， ∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．19．(本小题满分12分)实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求b －2a －1的取值范围． 解 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，则方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内另一个根在(1,2)内，即为f (x )与x 轴的交点分别位于(0,1)和(1,2)之间，从而有⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0.则点(a ，b )对应的区域为图中三角形区域ABD ，其中A (－3,1)，B (－1，0)，D (－2，0)．而b －2a －1的几何意义为区域内的点(a ，b )与C (1,2)连线的斜率，则有14＝k AC <b －2a －1<k BC ＝1，即b －2a －1的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.20．(本小题满分12分)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在)．而由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，则k OB ＝21＝2.∴z max 不存在，z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方． 因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5. ∴z 的最大值为5，没有最小值． 故z 的取值范围是(1,5]．21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝0，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 恒成立？并求出a ，b ，c 的值．解 已知f (－1)＝a －b ＋c ＝0，①若存在常数a ，b ，c ，使得x ≤f (x )≤12(x 2＋1)恒成立，则令x ＝1，得1≤f (1)≤1.∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝1.②由①②，得b ＝12，a ＋c ＝12，则f (x )＝ax 2＋12x ＋12－A ．∵x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋12x ＋12－a ≥x ，ax 2＋12x ＋12－a ≤12x 2＋恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋12x －a ≤0恒成立．a ．对于不等式ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4a 2－2a ＋14≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －142≤0，∴a ＝14.b ．对于不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋12x －a ≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a －12＜0，Δ＝4a 2－2a ＋14≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －142≤0，∴a ＝14.∴a ＝14时，x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 都成立，∴存在常数a ＝14，b ＝12，c ＝14， 使得不等式x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 都成立． 22．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A ，B 两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用一张A 种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用一张B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解 设A ，B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝2x ＋3y (x ，y ∈N *)．作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图所示．z ＝2x ＋3y 变为y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上的截距为z 3. 当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min＝2×5＋3×5＝25(m2)．因此，两种金属板各取5张时，用料面积最省．。
2019_2020学年高中数学第三章单元质量测评(二)(含解析)新人教A版选修1_2
第三章 单元质量测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i 答案 B 解析7－i 3＋i ＝7－i 3－i 10＝20－10i10＝2－i. 2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i 答案 A解析 ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B 解析a1＋i ＋1＋i 2＝a1－i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a2i ， 由题意可知1－a2＝0，即a ＝1.5．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 答案B 解析 由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以1＋a 2＝2，∵a >0，∴a ＝ 3.6．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.7．已知f (n )＝i n－i －n(i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )|n ∈N }的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个 答案 B解析 f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，由i n的周期性知{f (n )|n ∈N }＝{0，－2i,2i}． 8．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32iD.12－32i 答案 D解析 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12－32i.9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件．由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2i D ．－2－2i 答案 A解析 ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋4b ＋4＝0，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.∴z ＝2－2i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i＝3－i.12．对于任意的复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，下列结论正确的是( ) A ．z －z ＝2a B ．z ·z ＝|z |2C.zz＝1 D ．z 2≥0答案 B解析 因为z ＝a ＋b i ，所以z ＝a －b i ，于是z －z ＝(a ＋b i)－(a －b i)＝2b i ，A 项错误；z ·z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2，B 项正确；若z z＝1，则z ＝z ，即a ＋b i ＝a－b i ，所以b ＝0，于是z 为实数，与已知矛盾，C 项错误；又z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，若ab ≠0，则z 2为虚数，不能与0比较大小，D 项错误，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________．答案 45解析iz 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45. 15．计算(2＋i 15)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i 222＝__________. 答案 2解析 原式＝(2＋i 12·i 3)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2211＝(2－i)－i 11＝2－i ＋i ＝2.16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析 ∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.18．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求1＋i23＋4i22z的值．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，∴z ＝－4＋3i ，∴1＋i23＋4i22z＝2i －7＋24i 2－4＋3i ＝24＋7i4－3i＝3＋4i. 19．(本小题满分12分)在复平面内，A ，B ，C 三点分别对应复数1,2＋i ，－1＋2i.(1)求A B →，A C →，B C →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．解 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.∴O A →，O B →，O C →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴O A →＝(1,0)， OB →＝(2,1)， OC →＝(－1,2)． ∴AB →＝OB →－O A →＝(1,1)， AC →＝OC →－O A →＝(－2,2)， BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)．即A B →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i. (2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝－22＋22＝8，|BC →|＝－32＋1＝10，∴|AB →|2＋|A C →|2＝10＝|B C →|2. 又∵|A B →|≠|AC →|，∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形．20．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解 (1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝－12＋－12＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，得1＋i 2＋a 1＋i ＋b1＋i2－1＋i ＋1＝1－i ，即a ＋b ＋a ＋2ii＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.21．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解 ∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝4－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴4－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．22．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. ∴点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1.。
2020_2021学年高中数学第三章不等式单元质量评估测评2含解析新人教A版必修5
第三章单元质量评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( A ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N解析：因为M －N ＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N . 2．下列命题中正确的是( C ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3 D ．a 2>b 2⇒a >b解析：选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a >b ，但a 2<b 2，所以B 不正确；选项D 中，当a ＝－2，b ＝－1时，a 2>b 2，但a <b ，所以D 不正确．很明显C 正确．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( D )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析：当x ≤1时，由21－x≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，∴满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D ) A ．32－3 B ．－3 C ．6 2 D ．62－3 解析：y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 2＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1＋2x 2＋1－1≥3(22－1)＝62－3.(当且仅当x 2＋1＝2时等号成立)5．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，3x ＋27y＋1的最小值是( D ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．6 D ．7解析：由题意知x ＋3y ＝2,3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ·33y ＋1＝23x ＋3y＋1＝2×3＋1＝7.6．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为( A ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(－2,0)解析：已知函数的定义域为R ，即x 2－2ax －a >0对任意x ∈R 恒成立，∴Δ＝(－2a )2＋4a <0.解得－1<a <0.7．已知0<c <1，a >b >1，下列不等式正确的是( D ) A ．c a>c bB.aa －c >bb －cC ．ba c >ab cD ．log a c >log b c解析：由函数f (x )＝c x(0<c <1)单调递减可得，c a<c b，选项A 错误；∵0<c <1，a >b >1，∴aa －c －bb －c ＝c b －a a －c b －c <0，∴a a －c <b b －c ，选项B 错误；显然ba c >0，ab c>0，且ba c abc＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bc －1，∵a >b >1，∴a b >1，∵0<c <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c －1<1，∴ba c <ab c ，选项C 错误．故选D.8．已知x >1，y >1，且lg x,2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( B ) A ．最小值20 B ．最小值200 C ．最大值20 D ．最大值200解析：由题意得4＝lg x ＋lg y ，所以xy ＝104，所以x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y＝100时取等号，即x ＋y 有最小值200，故选B.9．已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任意一点，则|MN |的最小值是( B )A.55 B.255C ．1 D.172解析：作出可行域及直线y ＝－2x ＋2，如图所示，直线y ＝－2x ＋2与直线2x ＋y －4＝0平行，取直线2x ＋y －4＝0上的点A (2,0)，由点到直线的距离公式得，|MN |的最小值为|2×2＋0－2|22＋12＝255，故选B. 10．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，3x －y －3≤0，x ＋y －1≥0所表示的平面区域为D ，若对任意(x 0，y 0)∈D ，不等式x 0－2y 0＋c ≤0恒成立，则c 的取值范围是( D )A ．(－∞，4]B ．(－∞，2]C ．[－1,4]D ．(－∞，－1]解析：由已知得到可行域如图：由题意可知c ≤－x ＋2y 恒成立，即c ≤(－x ＋2y )min ，设z ＝－x ＋2y ，当目标函数z ＝－x ＋2y 经过A (1,0)时，z 取得最小值，最小值为－1，所以c ≤－1，故选D.11．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，使得1a ＋1b取得最小值的实数对(a ，b )是( A )A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)解析：∵a ，b >0，∴1a ＋1b ＝130(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥130(5＋24)＝310，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b，4a ＋b ＝30时取“＝”．这时a ＝5，b ＝10.12．已知D ＝⎩⎨⎧x ，y⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，3x －y ＋6≥0，给出下列四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋y ≥0；p 2：∀(x ，y )∈D,2x －y ＋1≤0；p 3：∃(x ，y )∈D ，y ＋1x －1≤－4；p 4：∃(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≥2.其中真命题是( D )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 3，p 4D ．p 2，p 4解析：作出可行域，如图阴影部分所示(三角形ABC 及其内部)，其中A (－2,0)，B (0,2)，C (－1,3)．当直线z ＝x ＋y 过点A 时取最小值－2<0；当z ＝2x －y ＋1过点B 时取最大值－1；可行域内的点(x ，y )与点(1，－1)连线的斜率y ＋1x －1的最大值为0＋1－2－1＝－13>－4，同理，y ＋1x －1的最小值为2＋10－1＝－3>－4；可行域内的点(x ，y )到原点的距离的平方的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－0＋2|22＝2，故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y＝2－x－4x(x>0)的值域为(－∞，－2]．解析：当x>0时，y＝2－⎝⎛⎭⎪⎫x＋4x≤2－2x×4x＝－2.当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号．14．某几何体的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则1x＋1y的最小值为2105.解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，底面三角形的直角边长为1，y，有一条侧棱垂直于底面，设该侧棱长为m，则有⎩⎪⎨⎪⎧m2＋y2＝4，m2＋1＝x2，整理得x2＋y2＝5≥2xy，∴xy≤52，∴xy ≤102.∴1x＋1y＝x＋yxy≥2xyxy＝2xy≥2102＝2105，当且仅当x＝y时等号成立．15.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋x2，x≥0，x－x2，x<0.若f(a)>f(2－a)，则实数a的取值范围是a>1.解析：画出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2，x ≥0，x －x 2，x <0表示的图象如图，结合图象可知，函数y＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2，x ≥0，x －x 2，x <0在定义域(－∞，＋∞)内是增函数，则a >2－a ，即a >1.16．若点M (x ，y )是不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤3，y ≤3，x ≤3y表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x －y ＋m ≤0恒成立，则m 的取值范围是m ≤1－2 3.解析：由题意得m ≤－2x ＋y 恒成立，则m ≤(y －2x )min .设z ＝y －2x ，则直线y ＝2x ＋z 在点(3，1)处的纵截距最小，为1－23，所以m ≤1－2 3.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，所以－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根且k <0.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－3×－2＝6，－3＋－2＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66. 所以k <－66.即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－66. 18．(本小题12分)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)由题意可知1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )，又x ，y ∈(0，＋∞)，所以0<x ＋y ≤2，从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x＋1＋y＋122≤4，因此不存在x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5.19．(本小题12分)某咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯分别用奶粉9 g、咖啡4 g、糖3 g，乙种饮料每杯分别用奶粉4 g、咖啡5 g、糖10 g．已知每天使用原料限额为奶粉3 600 g、咖啡2 000 g、糖3 000 g．如果甲种饮料每杯能使该咖啡馆获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，那么每天应配制两种饮料各多少杯，能使该咖啡馆获利最大？解：设每天配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，咖啡馆每天获利z元，则⎩⎪⎨⎪⎧9x＋4y≤3 600，4x＋5y≤2 000，3x＋10y≤3 000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.目标函数z＝0.7x＋1.2y.在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示，作直线l：0.7x＋1.2y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的A点，此时z＝0.7x＋1.2y取得最大值．联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y＝2 000，3x＋10y＝3 000，解得A(200,240)．故每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大．20．(本小题12分)设函数f(x)＝x3＋11＋x，x∈[0,1]．证明：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)34<f(x)≤32.证明：(1)因为1－x＋x2－x3＝1－－x41－－x＝1－x41＋x，由于x∈[0,1]，所以1－x41＋x≤11＋x，即1－x＋x2－x3≤11＋x，所以f(x)≥1－x＋x2.(2)由0≤x ≤1得x ≥x 3，故f (x )＝x 3＋11＋x ≤x ＋11＋x ＝x ＋11＋x －32＋32＝x －12x ＋12x ＋1＋32≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上所述，34<f (x )≤32.21．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16， (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0，∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4，∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立，∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2x －1×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．22．(本小题12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈R ，a >0，b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N *，且f (1)<52.(1)求函数f (x )的解析式；(2)函数f (x )图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ax 2＋1b －x ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c ，∴bx ＋c ＝bx －c ，∴c ＝0.∵a >0，b >0，∴f (x )＝ax 2＋1bx ＝a b x ＋1bx≥2ab 2，当且仅当x ＝1a时，等号成立．∴2a b 2＝2，∴a ＝b 2.由f (1)<52，得a ＋1b <52，即b 2＋1b <52，∴2b 2－5b ＋2<0.解得12<b <2. 又b ∈N *，∴b ＝1，a ＝1，∴f (x )＝x ＋1x.(2)设存在一点(x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上，则它关于(1,0)的对称点(2－x 0，－y 0)也在y ＝f (x )的图象上，则x 20＋1x 0＝y 0，且2－x 02＋12－x 0＝－y 0，消去y 0，得x 20－2x 0－1＝0，解得x 0＝1± 2.∴y ＝f (x )的图象上存在两点(1＋2，22)，(1－2，－22)关于(1,0)对称．。
2020_2021学年高中数学第三章不等式单元质量评估测评1含解析新人教A版必修5
第三章单元质量评估(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合P ＝{x|x 2－2x≥0}，Q ＝{x|1<x≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( C ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2]解析：∵P ＝{x |x (x －2)≥0}＝{x |x ≥2或x ≤0}，∴∁R P ＝(0,2)．又∵Q ＝(1,2]，∴(∁RP )∩Q ＝(1,2)，故选C.2．若M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( A ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N解析：∵M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，∴M >N .3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( A ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0，故选A.4．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( C )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值64D ．最小值12解析：∵x >0，y >0，2x ＋8y＝1，∴1＝2x ＋8y≥22x ·8y.∴xy ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝16时取等号．∴xy ≥64.5．若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋28<0的解集是{x |－7<x <－1}，则实数m 的值是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题意，－7，－1是方程mx 2＋8mx ＋28＝0的两个根，且m >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－7－1＝－8m m ，－7×－1＝28m，即m ＝4.6．函数f (x )＝x ＋4x＋3在(－∞，－2]上( D ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值－1，无最小值解析：∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－(－x )＋－4x＋3≤－2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x，即x ＝－2时，等号成立．∴f (x )有最大值－1，无最小值．7．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，2] B ．(－2,2] C ．(－2,2) D ．(－∞，－2)解析：当a －2＝0时，a ＝2，不等式显然恒成立．当a －2≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4a －22＋16a －2<0，解得－2<a <2.综上可知，－2<a ≤2.故应选B.8．若a >0，b >0，则不等式a >1x>－b 等价于( C )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <0或0<x <1bC ．x <－1b 或x >1aD ．－1a <x <1b解析：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋b >0，1x －a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1b 或x >0，x <0或x >1a，所以x <－1b 或x >1a.9．已知▱ABCD 的三个顶点为A (－1,2)，B (3,4)，C (4，－2)，点(x ，y )在▱ABCD 的内部，则z ＝2x －5y 的取值范围是( B )A ．(－14,16)B ．(－14,20)C ．(－12,18)D ．(－12,20)解析：如右图，当直线y ＝2x 5－z 5过(3,4)时，z 最小，z min ＝－14，当直线y ＝2x 5－z5过(0，－4)时，z 最大，z max ＝20，因此z 的取值范围是(－14,20)．10．已知点O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则cos ∠POQ 取最小值时的∠POQ 的大小为( D )A.π2 B ．π C．2π D.π4解析：作出不等式组的线性规划区域，如右图，可求得A (1,7)，B (1，32)，C (4,3)，由图知∠POQ 为锐角，由余弦函数的单调性知，当∠POQ 最大时，cos ∠POQ 取最小值，即∠POQ ＝∠AOC 时满足条件．由距离公式计算，可得OA 2＝50，OC 2＝25，AC 2＝25，由余弦定理得cos ∠AOC ＝OA 2＋OC 2－AC 22·OA ·OC ＝50＋25－252×52×5＝22，∠AOC ＝π4.11．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为( A )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：由题意知y ＝x ＋3z2.所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz ＋32＝32＋32＝3(当且仅当x 2＝9z 2时等号成立)，所以y 2xz的最小值为3.12．设O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)．若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使得OM →·ON →取得最大值时点N 有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个解析：作出可行域为如图所示的△ABC ，令z ＝OM →·ON →＝2x ＋y .∵其斜率k ＝－2＝k BC ，∴z ＝OM →·ON →＝2x ＋y 与线段BC 所在的直线重合时取得最大值．∴满足条件的点N 有无数个．二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a ＝2x 2＋x ，b ＝x 2－1，则a ，b 中较大的是a .解析：因为a －b ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以a ，b 中较大的是a .14．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为18.解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2，且a >0，b >0.3a ＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a＋9b的最小值为18.15．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是－9.解析：x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝12x －12z ，可知当直线过点A (3,6)时，目标函数z ＝x －2y 取得最小值－9.16．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．解析：由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解：∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12，且z ＝1时取等号．18．(本小题12分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2x >2，x 2－x －2>0.解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x －2x>2，x 2－x －2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2x x >0，x 2－x －2>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋2<0，x －2x ＋1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <0，x >2或x <－1.∴－2<x <－1.∴不等式组的解集为{x |－2<x <－1}．19．(本小题12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)．由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数，∴0<x 2－4x ＋3≤3，∴0≤x <1或3<x ≤4， ∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3<x ≤4}．20．(本小题12分)若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，得(2＋x )y ＝30－x ，又2＋x ≠0，所以y ＝30－x 2＋x >0,0<x <30.(1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时，等号成立，因此xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当x ＝42－2时，等号成立．由y ＝30－x2＋x >0，得x <30.∵x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3(0<x <30)，令x ＋2＝t (2<t <32)，则由函数f (t )＝t ＋32t的性质可知，当2<t <32时，f (t )<f (32)＝33，∴x ＋2＋32x ＋2－3<30，即x ＋y <30. ∴x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．21．(本小题12分)有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a 的2根，长度为b 的3根；按第二种方式切割，可截成长度为a 的3根，长度为b 的1根．(1)现需长度为a 的2根与长度为b 的1根配成一套，问这两种切割方式应满足的比例是多少？(2)如果长度为a 的至少需要50根，长度为b 的至少需要45根，问应如何切割可使钢条用量最省？解：(1)设按第一种切割方式需x 根，按第二种切割方式需y 根，依题意，得2x ＋3y 3x ＋y ＝21，即x y ＝14. 故按第一、第二种切割方式的钢条数目之比为1∶4. (2)依题意，可知线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥50，3x ＋y ≥45，x ，y ∈N .作出其可行域为如图阴影部分中的整点．现欲求目标函数z ＝x ＋y 的最小值，由于直线3x ＋y ＝45与直线2x ＋3y ＝50的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1217，847，使z ＝x ＋y ＝2057，不合题意．于是将过点A 的直线z ＝x ＋y 再向远离原点的方向平移，最先可能经过的整点是可行域内下列最低整点：(10,15)，(11,12)，(12,9)，(13,8)，(14,8)，…，验证可知这些整点中使z ＝x ＋y 的值取得的最小值为21.故按第一、第二种切割方式的钢条数分别为12和9，或13和8时，可使使用的钢条总量最省．22．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a . (1)当a ＝12时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若对于任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，不等式f (x )>1为x 2＋2x －12>0，即2x 2＋4x －1>0，解得x <－1－62或x >－1＋62. 所以不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1－62或x >－1＋62. (2)若对于任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，即a >－x 2－2x 恒成立，只需a >(－x 2－2x )max .因为－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，所以当x ＝1时，－x 2－2x 取得最大值为－3，所以a >－3.所以实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．。
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第三章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a <0，－1<b <0，则( ) A ．－a <ab <0 B ．－a >ab >0 C ．a >ab >ab 2D ．ab >a >ab 2答案 B解析 ∵a <0，－1<b <0，∴ab >0，a <ab 2<0，故A ，C ，D 都不正确，正确答案为B ． 2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y ＞－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 答案 C解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．3．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A ．{x |x <－2或x >3}B ．{x |x <－2或1<x <3}C ．{x |－2<x <1或x >3}D ．{x |－2<x <1或1<x <3} 答案 C解析 原不等式可化为(x ＋2)·(x －1)(x －3)>0，如图由穿根法可得该不等式的解集为{x |－2<x <1或x >3}．4．若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab >12B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案 D解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b2＝2.∴ab ≤4.∴1ab ≥14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故A ，B ，C 均错误．故选D ．5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12 D ．a ≤－12答案 A解析 ∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 存在解．6．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4] 答案 A解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ， 要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －2－－m ，f ，－m －22>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5，m <－2⇒－5<m ≤－4.故选A ．7．已知某线性规划问题的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，3y ≥x ，x ＋y ≤4，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是( )A ．z ＝2x －yB ．z ＝2x ＋yC ．z ＝－12x －yD ．z ＝－2x ＋y答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图：A 中，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最小，此时z 最大；B 中，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最大，此时z 最大；C 中，由z ＝－12x －y 得y ＝－12x －z ，平移直线可得，当直线经过点B 时，截距最大，此时z 最小；D 中，由z ＝－2x ＋y 得y ＝2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3，1)时，截距最小，此时z 最小，满足条件．故选D ．8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值1答案 B解析 ∵x 2y 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 222＝14，当且仅当x 2＝y 2＝12时，等号成立，∴1－x 2y 2≥34≥0，∴34≤1－x 2y 2≤1.故(1－xy )(1＋xy )有最小值34和最大值1.9．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b答案 A解析 ∵α，β为f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2 与x 轴交点的横坐标．∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根， 令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．∴f (x )图象可由g (x )图象向上移2个单位得到，由图知选A ．10．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2 2D ．4 答案 D解析 设直线l 为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b＝1，故1＝2a ＋1b≥22a ·1b＝22ab，即ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时，等号成立．于是△OAB 的面积为S ＝12ab ≥4.故选D ．11．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年 答案 C解析 设二次函数为y ＝a (x －6)2＋11.又图象过点(4,7)，代入得7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25.设年平均利润为m ，则m ＝y x＝－x －25x＋12≤2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0，且目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(4,1)处取得最大值，则原点O 到直线ax －y ＋17＝0的距离d 的取值范围是( )A ．(417，17]B ．(0,417)C ．⎝⎛⎦⎥⎤1722，17 D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，1722答案 B解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0作出可行域，如下图可行域，∵目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (4,1)取最大值， 当a ＝0时，z ＝y 仅在点(0,2)取最大值，不成立； 当a <0时，目标函数z ＝ax ＋y 的斜率k ＝－a >0， 目标函数在(4,1)取不到最大值．当a >0时，目标函数z ＝ax ＋y 的斜率k ＝－a ，小于直线x ＋4y －8＝0的斜率－14，∴a >14.综上，a >14.原点O 到直线ax －y ＋17＝0的距离d ＝171＋a2<417，则原点O 到直线ax －y ＋17＝0的距离d 的取值范围是(0,417)．故选B ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 答案 x ＜y解析 因为x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y .14．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. 答案 2解析 由题意知a >0且1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，∴a ＝2， ∴不等式为2x 2－6x ＋4<0，即x 2－3x ＋2<0， ∴1<x <2，∴m ＝2.15．若不等式x 2<|x －1|＋a 在区间(－3,3)上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 [7，＋∞)解析 由x 2<|x －1|＋a 得a >x 2－|x －1|，令f (x )＝x 2－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，1≤x <3，x 2＋x －1，－3<x <1，∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3上单调递增， ∵f (－3)＝5，f (3)＝7，∴f (x )<7，∴a 的取值范围是[7，＋∞)．故答案为[7，＋∞)． 16．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________． 答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <1－52或x >1＋52 解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为解不等式x 2－x －1>0， 由求根公式知，x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜1－52或x ＞1＋52. ∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜1－52或x ＞1＋52. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长．解 设一条直角边长为x cm(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x ) cm ， 面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x ，即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋－x2＝52＋52＝52(cm)．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4， ∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵f (x )＝x 2－2x －8，当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15对一切x >2恒成立．∴x 2－4x ＋7x －1≥m 对一切x >2恒成立，又x －1>1，x 2－4x ＋7x －1＝x －1＋4x －1－2≥2x －4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)， ∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．19．(本小题满分12分)实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求b －2a －1的取值范围． 解 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，则方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内另一个根在(1,2)内，即为f (x )与x 轴的交点分别位于(0,1)和(1,2)之间，从而有⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0.则点(a ，b )对应的区域为图中三角形区域ABD ，其中A (－3,1)，B (－1，0)，D (－2，0)．而b －2a －1的几何意义为区域内的点(a ，b )与C (1,2)连线的斜率，则有14＝k AC <b －2a －1<k BC ＝1，即b －2a －1的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.20．(本小题满分12分)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在)．而由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)，则k OB ＝21＝2.∴z max 不存在，z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方． 因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5. ∴z 的最大值为5，没有最小值． 故z 的取值范围是(1,5]．21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝0，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 恒成立？并求出a ，b ，c 的值．解 已知f (－1)＝a －b ＋c ＝0，①若存在常数a ，b ，c ，使得x ≤f (x )≤12(x 2＋1)恒成立，则令x ＝1，得1≤f (1)≤1.∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝1.②由①②，得b ＝12，a ＋c ＝12，则f (x )＝ax 2＋12x ＋12－A ．∵x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋12x ＋12－a ≥x ，ax 2＋12x ＋12－a ≤12x 2＋恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋12x －a ≤0恒成立．a ．对于不等式ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4a 2－2a ＋14≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －142≤0，∴a ＝14.b ．对于不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12x 2＋12x －a ≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a －12＜0，Δ＝4a 2－2a ＋14≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －142≤0，∴a ＝14.∴a ＝14时，x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 都成立，∴存在常数a ＝14，b ＝12，c ＝14， 使得不等式x ≤f (x )≤12(x 2＋1)对一切实数x 都成立． 22．(本小题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A ，B 两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用一张A 种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用一张B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解 设A ，B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝2x ＋3y (x ，y ∈N *)．作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图所示．z ＝2x ＋3y 变为y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上的截距为z 3. 当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min＝2×5＋3×5＝25(m2)．因此，两种金属板各取5张时，用料面积最省．。