北师版九年级数学上册基本知识
初三上册数学知识点归纳北师大版
初三上册数学知识点归纳北师大版
一、数的基本概念
1. 数的定义：数是用来表示物体数量的符号。
2. 计数单位：计数单位有个、十、百、千、万等。
3. 数的种类：自然数、真分数、假分数、分数、整数、有理数、无理数等。
二、数论
1. 因数分解：把一个数拆分成几个乘积，这几个乘积就是这个数的因数。
2. 最大公约数：两个或多个数的公约数中最大的一个数叫做这几个数的最大公约数。
3. 最小公倍数：两个或多个数的公倍数中最小的一个数叫做这几个数的最小公倍数。
4. 约分：把一个分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，使分子分母不再有公约数，这称为约分。
三、代数
1. 平方根：一个数的平方根是指这个数的平方等于这个数的数。
2. 平方差：平方差是指两个数的平方之差。
3. 平方和：平方和是指两个数的平方之和。
4. 立方根：一个数的立方根是指这个数的立方等于这个数的数。
四、几何
1. 平面几何：平面几何是指在平面上的几何图形、角、弧、圆等的计算。
2. 空间几何：空间几何是指在三维空间上的几何图形、体积、表面积等的计算。
3. 直角三角形：直角三角形是指三角形中有一个内角为90°的
三角形。
4. 等腰三角形：等腰三角形是指三角形中两条边长相等的三角形。
北师大版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点第一章证明（一）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
北师大版数学九年级上册 分式及其基本性质
在什么情况下，下列各分式无意义？
2
x−3
ab
，
，
.
x
x
−
y
3x＋2
学生活动三 【一起探究】
A
类比分数的基本性质，试着猜想分式
会有哪些基本性质？
B
分式的基本性质：
分式的分子和分母____乘（或除以）一个 ______的整式，
分式的值_____。
A A × M A A ÷M
的基本性质进行变形
1.一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的
工程量是多少？ 3天完成的工程量又是多少？如果乙施工
队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程
量是多少？ b(b<a)天完成的工程量又是多少？
2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为
n km/h，B车比A车每小时多行20 km，那么从甲地到乙地，
A车和B车所用的时间各为多少？
学生活动一 【大家谈谈】
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：
1 3 1 b n
m
, ; , ; ,
5 5 a a m n＋
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样
的两类？
A
定义：一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，
B
其中，A，B都是整式，且B含有字母 . A叫做分式
即 =
， =
.其中，M 是不等于0的整式。
B B × M B B ÷M
做一做：
分式
a−b
b
与
相等吗？还有与它们相等的分式吗？
a(a−b)
ab
如果有，请你写出两个这样的分式.
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
导图系列(5)：九年级上册数学(北师大版)各章知识点思维导图集合
中心对称 两组对角分别相等的四边形
面积 底×高
对角线互相平分的四边形
对角相等， 邻角互补
四边相等的四边形
互相垂直平分； 中心对称
每一条对角线
+
有一组邻边相等的平行四边形
平分一组对角 轴对称 对角线互相垂直的平行四边形
底×高； 对角线乘积
的一半
四个角 都是直角
相等且 互相平分
有三个角是直角的四边形
第五章 投影与视图
第六章 反比例函数
九年级上册数学（北师大版） 思维导图集合
第一章 特殊的平行四边形
图形 边
平行 对边平行 四边形 且相等
菱形
对边平行， 四条边相等
矩形
对边平行 且相等
对边平行， 正方形
四条边相等
第一章 特殊的平行四边形
性质 角
ห้องสมุดไป่ตู้
对角线
对角相等， 邻角互补
互相平分
对称性
判定
两组对边分别相等的四边形 两组对边分别平行的四边形 一组对边平行且相等的四边形
中心对称
+
有一个角是直角的平行四边形
轴对称 对角线相等的平行四边形
长×宽
四个角 都是直角
有一个角是直角的菱形
相等且
中心对称 对角线相等的菱形
互相垂直平分；
+
每一条对角线
轴对称 有一组邻边相等的矩形
平分一组对角
对角线互相垂直的矩形
边长×边长
第二章 一元二次方程
第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似
九年级上册数学知识点归纳总结北师大版
九年级上册数学知识点归纳总结北师大版3.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇三1.直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切。
2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。
3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。
4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。
5.垂直于半径的直线必为圆的切线。
6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。
7.垂直于半径的直线是圆的切线。
8.圆的切线垂直于过切点的半径。
4.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇四单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。
当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。
一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
假如在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项全部的常数都是同类项。
1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。
多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。
单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。
在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。
2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。
3、多项式的恒等对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a 时，假如它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。
性质1假如fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。
性质2假如fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就肯定对应相等。
北师大版数学九年级上册知识点总结
北师大版数学九年级上册知识点总结第一章 证明二一、公理1三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS ”; 2两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS ”; 3两角及其夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA ”; 4全等三角形的对应边相等、对应角相等;推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可简写成“角角边”或“AAS ”;二、等腰三角形1、等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角2等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合三线合一; 等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角或直角,但顶角可为钝角或直角; ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A,底角为∠B 、∠C,则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定1如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等简称：等角对等边; 2有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质：1等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;2三线合一判定：1三条边都相等的三角形是等边三角形2三个角都相等的三角形是等边三角形3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;四、直角三角形一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似;2、常用关系式：由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形;2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形; 三直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL ”五、角的平分线及其性质与判定1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线;2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;定理：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等;3、角的平分线的判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;六、线段垂直平分线的性质与判定1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线;线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等; 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等; 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;七、反证法八、互逆命题、互逆定理1、在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题;2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理;第二章 一元二次方程一、一元二次方程一、一元二次方程定义含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程;二、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数；c 叫做常数项;二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程;当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=；当b<0时,方程没有实数根;2、配方法一般步骤：（1） 方程)0(02≠=++a c bx ax 两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边;（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4） 配方,化成b a x =+2)(5开方;当0≥b 时,b a x ±-=；当b<0时,方程没有实数根;3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法; 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法;补充：一元二次方程根的判别式根的判别式1、定义：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式;2、性质：当ac b 42-＞0时,方程有两个不相等的实数根；当ac b 42-＝0时,方程有两个相等的实数根；当ac b 42-＜0时,方程没有实数根;补充：一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，,那么a b x x -=+21,ac x x =21;第三章证明三一、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;2、平行四边形的性质1平行四边形的对边平行且相等;2平行四边形相邻的角互补,对角相等3平行四边形的对角线互相平分;4平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点;常用点：1若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积;2推论：夹在两条平行线间的平行线段相等;3、平行四边形的判定1定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形5定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah二、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;2、矩形的性质1矩形的对边平行且相等2矩形的四个角都是直角3矩形的对角线相等且互相平分4矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点对称中心到矩形四个顶点的距离相等；对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线;3、矩形的判定1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2定理1：有三个角是直角的四边形是矩形3定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab三、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质1菱形的四条边相等,对边平行2菱形的相邻的角互补,对角相等3菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角4菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点对称中心到菱形四条边的距离相等；对称轴有两条,是对角线所在的直线;3、菱形的判定1定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2定理1：四边都相等的四边形是菱形3定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半四、正方形 3~10分1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形;2、正方形的性质1正方形四条边都相等,对边平行2正方形的四个角都是直角3正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角4正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线;3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证它是菱形;先证它是菱形,再证它是矩形;4、正方形的面积设正方形边长为a,对角线长为bS 正方形=222b a 五、等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形;2、等腰梯形的性质1等腰梯形的两腰相等,两底平行;2等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的两个角互补;3等腰梯形的对角线相等;4等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线;3、等腰梯形的判定1定义：两腰相等的梯形是等腰梯形2定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3对角线相等的梯形是等腰梯形;选择题和填空题可直接用六、三角形中的中位线1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半;3、常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半;结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形;结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;七、有关四边形四边中点问题的知识点：1顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；2顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；3顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；4顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；5顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；6顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；7顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；第四章 视图与投影1、投影投影：物体在光线的照射下,在地面上或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象; 平行投影：太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影; 中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线所形成的投影称为中心投影;2、视点、视线、盲区第五章 反比例函数1、反比例函数的概念一般地如果两个变量x,y 之间的关系可以表示为xk y =k 是常数,k ≠0的形式,那么称y 是x 的反比例函数;反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式;自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数;2、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称;由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0,所以,它的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴;3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的确定确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法;由于在反比例函数xk y =中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式;5、反比例函数中反比例系数的几何意义 过反比例函数)0(≠=k xk y 图像上任一点Px,y 作x 轴、y 轴的垂线PM,PN,垂足分别是M 、N,则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•;k S k xy xk y ==∴=,, ; 第六章 频率与概率概率的求法：1一般地,如果在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A 包含其中的m 个结果,那么事件A 发生的概率为PA=nm 2、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法;3树状图法通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法;当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率;。
北师大版九年级上册数学复 习知识点及例题
性角 质
对 角 线
四个角都是 直角
互相平分且 相等
对角相等
四个角都是直角
互相垂直平分， 且每条对角线平 分一组对角
互相垂直平分且相等,每 条对角线平分一组对角
判定
·有三个角 是直角; ·是平行四 边形且有一 个角是直角; ·是平行四
·四边相等的四 边形； ·是平行四边形 且有一组邻边相 等； ·是平行四边形
·是矩形，且有一组邻 边相等； ·是菱形，且有一个角 是直角。
边形且两条 且两条对角线互 对角线相等. 相垂直。
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形
一．矩形 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】 矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1 矩形的四个角都是直角； 性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的
菱形． 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形
又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有 四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们 性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角 形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等 的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
北师大版九年级数学(上册)重点知识点归纳整理
九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
北师大版初中数学九年级上册第一章知识点
九年级第一章特殊的平行四边形一、菱形知识点1：菱形的概念概念：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形知识点2：菱形的性质1 面积：①底×高②对角线乘积的一半2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：对角相等；邻角互补4 对角线：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：菱形的判定1 四边形＋四条边相等2 平行四边形＋一组邻边相等3 平行四边形＋对角线互相垂直二、矩形知识点1：矩形的概念概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识点2：矩形的性质1 面积：长×宽2 边：对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等，对角线互相平分5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形6 斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点3：矩形的判定1 四边形＋三个角是直角2 平行四边形＋对角线相等三、正方形知识点1：正方形的概念概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形知识点2：正方形的性质1 面积：边长×边长2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：正方形的判定1 从平行四边形出发：平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角2 从矩形出发：矩形＋一组邻边相等矩形＋对角线互相垂直3 从菱形出发：菱形＋一个直角菱形＋对角线相等四、中点四边形知识点1：中点四边形的概念概念：顺次链接任意四边形各边中点所组成的四边形叫中点四边形知识点2：常见的中点四边形1 任意四边形的中点四边形是平行四边形2 平行四边形的中点四边形是平行四边形3 矩形的中点四边形是菱形4 菱形得到中点四边形是矩形5 正方形的中点四边形是正方形。
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
新北师大版九年级上册数学全册课件
新北师大版九年级上册数学全册课件新北师大版九年级上册数学全册课件介绍：本课件是新北师大版九年级上册数学的完整课件，旨在帮助学生更好地掌握数学知识和技能。
本课件包括各章节的重点、难点、例题、练习题和思考题等，是学生自主学习和教师教学的有力辅助工具。
第一章：锐角三角函数学习目标：1、理解锐角三角函数的定义和意义。
2、掌握正弦、余弦、正切的概念和计算方法。
3、会使用锐角三角函数解决实际问题。
重点：1、锐角三角函数的定义和计算方法。
2、使用锐角三角函数解决实际问题。
难点：1、对于锐角三角函数的理解和应用。
2、对于特殊角的三角函数值的记忆和应用。
例题：已知锐角α，求sinα、cosα、tanα的值。
分析：根据特殊角的三角函数值直接计算。
解答： sinα= ，cosα= ，tanα= 。
第二章：概率初步学习目标：1、理解概率的概念和意义。
2、掌握概率的基本计算方法。
3、会使用概率解决实际问题。
重点：1、概率的基本计算方法。
2、使用概率解决实际问题。
难点：1、对于概率的理解和应用。
2、对于概率的加法和乘法法则的理解和应用。
例题：已知一个袋子中有3个红球、2个白球、1个黄球，求取出红球的概率。
分析：根据概率的基本计算方法计算。
解答：取出红球的概率为 = 。
第三章：数据集中趋势及人口数量变化的描述学习目标：1、理解数据集中趋势的意义。
2、掌握计算数据集中趋势的方法。
3、会使用数据集中趋势描述人口数量变化。
重点：1、计算数据集中趋势的方法。
2、使用数据集中趋势描述人口数量变化。
难点：1、对于数据集中趋势的理解和应用。
2、对于人口数量变化的描述方法和技巧。
例题：已知某城市各年龄段人口数量，求该城市人口数量的平均年龄和中位数。
分析：根据平均数和中位数的计算方法计算。
解答：平均年龄为（岁），中位数为（岁）。
新北师大版四年级上册数学全册课件新北师大版四年级上册数学全册课件【内容简析】四年级数学上册是新北师大版教材，本教材根据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的精神，在总结实验教材和教学经验的基础上编写而成。
北师大版数学九年级上册课本知识点
北师大版数学九年级上册课本知识点第一章证明（二）1、（2页）公理三边对应相等的两个三角形全等。
（sss）公理两边及其夹角对应成正比的两个三角形全系列等。
（sas）公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
（asa）公理全系列等三角形的对应边成正比、对应角成正比。
推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（aas）2、（3页）定理等腰三角形的两个底角成正比。
3、（4页）推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习1.证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。
4、（7页）定理存有两个角成正比的三角形就是等腰三角形。
（等角对等边）5、（8页）在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法。
6、（11页）定理存有一个角等同于60的等腰三角形就是等边三角形。
7、（12页）定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
8、（13页）随堂练1.证明：三个角都成正比的三角形就是等边三角形。
9、（16页）定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的一半。
10、（17页）定理如果三角形两边的平方和等同于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
11、（18页）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一个命题就是真命题，它的逆命题却不一定就是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明就是真命题，那么它也就是一个定理，这两个定理称作互逆定理。
12、（23页）定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（“斜边、直角边”或“hl”）13、（26页）定理线段垂直平分线上的的边这条线段两个端点的距离成正比。
14、（27页）定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
北师大版九年级数学上册知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章图形的相似第四章投影与视图第五章反比例函数第六章概率的进一步认识（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。
新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总
北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊平行四边形菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
鹏翔教图3※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程认识一元二次方程．．．．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．．用公式法求解一元二次方程用因式分解法求解一元二次方程一元二次方程的跟与系数的关系应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
北师大版九年级上册数学 知识点复习课件(共46张PPT)
知识点八 位似
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相 交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直 线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影. 投影所在的平面叫做投影面．
投影
投影面
2.中心投影指的是由同一点（知点识光源专）题发出的光线所形成的投影。
中心投影的投射线相交于一点，这 一点称为投影中心。
3.中心投影的特点：
知识专题
1).物体离光源越远，影子越长。
2）.物体方向改变，影子方向随之改变。
3）.光源离物体越近，影子越短。 4）.光源方向改变，影子方向随之改变。
第一章 特殊的平行四边形
本章小结
一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
(2) 反比例函数的性质
k＞0
图象 y
o yk
x
(k≠0) k＜0
y
o
所在象限 性质
一、三象 在每个象
限(x，y 限内，y
同号) 随 x 的增
x
大而减小
二、四象 在每个象
限(x，y 限内，y
北师大版九年级数学上册[全册1]
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北师大版九年级数学上册前言九年级数学上册是初中数学的重要组成部分。
它是全国中学生普及课程的必修课。
本册数学教材分为十个章节，主要内容包括代数、函数、平面几何、三角形、相似形等。
九年级数学的学习不仅仅是为了能够在中考中取得好成绩，更重要的是在日常生活中运用数学思维来解决问题。
第一章有理数有理数是整数、分数及其负数的统称，比如：-3/5，0，1，3.456等。
在这一章中，我们将学习有理数的大小关系，有理数的加减乘除，分数化简和四则运算的综合应用等。
第二章代数初步代数是应用数学中的一个分支学科。
在这一章中，我们将学习代数符号的概念，代数式的基本形式及其运算法则，一元一次方程式和方程式的解法等。
第三章函数函数是现代数学中的一种基本概念。
在这一章中，我们将学习函数的基本概念、函数的图象、简单的函数模型及其应用等。
第四章平面几何初步几何是研究物体的形状、大小以及它们之间的位置关系的学科。
在这一章中，我们主要学习平面几何的基本概念、平面图形的性质、特殊线段的性质及其应用。
第五章三角形的特殊线段三角形是平面内有三个点相连而成的图形。
在这一章中，我们将主要学习三角形的性质，三角形的特殊线段（如垂线、中线、角平分线等），以及它们的性质与应用。
第六章三角形的相似形相似形是指两个几何图形的对应角相等，对应边成比例。
在这一章中，我们将学习相似三角形的性质及其应用，金字塔的性质及应用等。
第七章平移、旋转、对称平移、旋转、对称是初中数学的必修内容。
在这一章中，我们将学习平移、旋转、对称的基本概念、对称中心、对称轴的性质和应用等。
第八章统计图表初步统计学是研究事物数量、质量及其变化规律的一门科学。
在这一章中，我们将学习统计学中的常用统计图表（如折线图、柱状图、饼状图等）的制作和分析方法。
第九章概率初步概率是研究在一定条件下某个事件发生的可能性的数学分支。
在这一章中，我们将学习概率的基本概念、计算方法和应用等。
第十章分式方程和不等式初步分式方程和不等式是在初中数学中较为复杂的内容。
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北师版九年级数学上册基本知识王寨一中周小军一.特殊平行四边形1. 平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义：（1）两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.（2）有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.（3）有一个角是直角的平行四边形叫矩形.（4）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.2.分别从边角、边、对角线、对称性、面积等方面说出平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质.（1）平行四边形：①平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补.②平行四边形的对边平行且相等.③平行四边形的对角线互相平分.④平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.⑤平行四边形的面积等于底乘以高.（2）菱形①菱形的两组对角分别相等，菱形的邻角互补.②菱形的对边平行，四条边都相等.③菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角.④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，对称轴分别是对角线所在的直线.⑤菱形的面积既等于底乘以高，又等于对角线乘积的一半.⑶矩形①矩形的四个角都相等，都等于90º.②矩形的对边平行且相等，邻边垂直.③矩形的对角线相等且互相平分.④矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，对称轴分别是经过每组对边中点的直线.⑤矩形的面积等于两邻边的积.⑷正方形①正方形的四个角都相等，都等于90º.②正方形的对边平行，四条边都相等.③正方形的对角线既相等，又互相垂直平分，还平分每一组对角.④正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点，对称轴对称轴分别是对角线所在的直线和经过每组对边中点的直线.⑤正方形的面积既等于边长的平方，又等于一条对角线平方的一半.3. 分别从角、边、对角线、对称性、等方面来判定平行四边形、菱形、矩形、正方形.⑴平行四边形①两组对角分别相等的四边形是平行四边形.②两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.⑵菱形①有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.②四条边都相等的四边形是菱形.③对角线互相垂直的平行四边形是菱形.④一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.⑤对角线互相垂直平分的四边形是菱形.⑶矩形①有一个角是直角的平行四边形叫矩形.②三个角是直角的四边形是矩形.③四个角都相等四边形是矩形.④对角线相等平行四边形是矩形.⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形.⑷正方形①有一个角是直角的菱形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③对角线相等的菱形是正方形.④对角线垂直的矩形是正方形.⑤一条对角线平分一个内角的矩形是正方形.⑥对角线相等、平分，且垂直的四边形是正方形.⑦对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.4.中点四边形的定义：顺次连结一个四边形各边中点得到的图形叫做这个四边形的中点四边形.5.四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形的从属关系.6. 中点四边形的性质：任意四边形的中点四边形是平行四边形，它与原四边形的对角线关系密切：（1）原四边形的对角线相等，中点四边形是菱形；（2）原四边形的对角线互相垂直，中点四边形是矩形；（3）原四边形的对角线相等且互相垂直，中点四边形是正方形；（4）中点四边形的周长等于原四边形的对角线的和；（5）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半（与原四边形的对角线无关）.7.直角三角形的性质：（1）勾股定理；（2）直角三角形两锐角互余；（3）直角三角形的斜边大于直角边；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）直角三角形中30º所对的直角边等于斜边的一半；（6）直角三角形斜中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30º.8. 直角三角形的判定：（1）直角三角形的定义.（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）勾股定理的逆定理.（4）一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.二.一元二次方程1.一元二次方程的的定义：（1）化简是前提，包括：去分母，去括号，移项，合并同类项.（2）一元：方程中含一个未知数.（3）二次：未知项（数）的最高次数是2，并且二次项的系数不等于0.（4）整式方程：方程的各个部分必须是整式.2.一元二次方程的一般形式：²0（x是未知数，a、b、c是已知数，并且a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.3.配方法解一元二次方程的方法与步骤：（1）移项、合并同类项.将所有未知项移到方程的一边（左边），将所有常数项移到方程的另一边（右边）.（2）化二次项系数为1.方程两边都除以二次项系数.（3）配方.方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程的一边化成一个完全平方式.（4）开平方.当方程另一边是个非负数时，两边同时开平方得方程的解.其中（1）、（2）两个步骤可以交换顺序.4.公式法解一元二次方程的方法与步骤：（1）将方程化成一般形式.（2）计算Δ²-4的值.（3）当Δ²-4≥0时，代入求根公式（当Δ²-4＜0时，方程没有实数根）.5.因式分解法解一元二次方程（1）²0（b＝0，＜0）的形式可用直接开平方发或平方差公式法；（2）²0（0）的形式可用提公因式法.（3）方程两边有公因式时，可用提公因式法.（4）方程两边都是完全平方式时，可用平方差公式法.（5）方程是a²x²±2²=0的形式时，可用完全平方公式法.（6）方程是²＋（）0的形式时，可用十字相乘法.没有特别要求时，一般情况不用配方法，因式分解法首先，公式法万能.6.不解方程，判断一元二次方程根的情况：（1）方程必须化成一般形式.（2）①当Δ=时，方程有两个不相等的实数根.即②当Δ=时，方程有两个相等的实数根，即③当Δ=时，方程没有实数根。
反之，也成立.7.一元二次方程根与系数的关系：（1）方程必须化成一般形式.（2）当Δ²-4≥0时，x₁₂，x₁·x₂.8.一元二次方程的应用：（1）卖冰箱问题；（2）（年均）增长率问题、（一年期定期自动转存）储蓄问题；（3）传染病问题、（计算机）病毒感染问题、握手问题、互赠贺卡问题、（单循环、双循环）比赛问题；（4）田间修路问题；（5）其它类型.三.概率的进一步认识1.古典概型必须具备的两个条件：（1）所有可能出现的结果是有限多个.（2）每一中结果出现的可能性均相同.2.用列表法、树状图法求某些随机事件发生的概率.3.用实验频率估计相应事件发生的概率：当我们重复大量做某一实验时，会发现某一事件发生的频率会稳定在某一常数附近，随着实验次数的增加，这种规律越来越明显，于是我们就估计这一事件发生的概率是这一常数.4.用模拟实验代替实际实验，来估计某一事件发生的概率.四.图形的相似1.两条线段的比.2.比例线段3.比例的性质：（1）基本性质 如果a ∶∶d ，那么.如果，那么a ∶∶d.（2）合比性质 如果d c b a =,那么d d c b b a ±=± （3）等比性质 如果d c b a ==…=n m （…≠0）,那么b a n d b m c a =++++++4.平行线分线段成比例定理及推论.5.平行线分线段成比例定理及推论的基本图形：“A 字型图”、”X 型图”.6.相似多边形的定义、性质，相似比的定义.7.三角形相似的判定定理.8. 三角形相似的基本图形：“A 字型图”、”X 型图”、“A 字型图”变式、“X 型图”变式、“双垂直”、“一线三直角”、“一线三等角”.9. 相似三角形的性质10.黄金分割的定义及黄金比.11.黄金分割常数.12.作线段的黄金分割点.13.利用相似三角形测高：（1）利用阳光下的影子；（2）利用镜子的反射；（3）利用标杆；（4）《海岛算经》与双标杆14.位似多边形、位似三角形的定义.15.位似多边形的性质：（1）位似多边形必是相似多边形，具有相似多边形的所有性质.（2）位似多边形对应点的连线相交于一点（位似中心）.（3）位似多边形对应边平行或在同一条直线.（4）位似多边形位似中心到对应点距离的比都相等，都等于相似比或相似比的倒数.16.利用位似放大或缩小图形（分两种情况）.17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心作一个图形的位似图形.五.投影与视图1.投影的定义. 根据光线的不同，投影分为哪两类？2.中心投影的定义3.如何确定灯泡的位置？4. 在灯光照射下，如何根据一个物体的影子确定另一个物体的影子？5. 灯泡的位置不变，物体的影子长短由物体的高低决定吗？灯泡的位置不变，物体的影子如何随物体距灯泡距离的远近而变化？6.平行投影的定义.7.同一地方、同一物体，不同时刻在阳光照射下，物体影子的方向、长短如何变化的？8.同一地方、同一时刻，不同物体在阳光照射下，物体影子的方向、长短如何变化的？9在阳光照射下，如何根据一个物体的影子确定另一个物体的影子？10.正投影的定义.11.视图与正投影的关系.12圆柱、圆锥、球的三种视图.13.会画一些简单几何体的三种视图.14.因为主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的宽和高，所以画几何体的三种视图要做到：（1）主视图、俯视图的长相等；（2）俯视图、左视图的宽相等；（3）左视图、主视图的高相等.（4）看得见的部分的轮廓线画实线，看不见的部分的轮廓线画虚线.六.反比例函数1.反比例函数的定义.2.反比例函数表达式的三种形式：（1）（k是常数，且k≠0）；（2）·xˉ¹（k是常数，且k≠0）；（3）（k是常数，且k≠0）.3.反比例函数的实质是两变量之积是定值k（k≠0）.4.反比例函数的性质：（1）反比例函数的图象叫双曲线，双曲线无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交.（2）当k＞0时，双曲线分别位于第一、三象限，在每一象限，从左向右图象呈下降趋势，所以当k＞0时，在每一象限y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线分别位于第二、四象限，在每一象限，从左向右图象呈上升趋势，所以当k＜0时，在每一象限y随x的增大而增大.（3）双曲线无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交.（4）k的几何意义：在反比例函数的图象任取一点，过这一点分别作x 轴、y轴的平行线，平行线与坐标轴围成的矩形面积等于.（5）双曲线既是轴对称图象又是中心对称图形，对称轴分别是直线和直线，对称中心是坐标原点.（6）双曲线₁和直线₂x，当k₁·k₂＞0时，两图象有交点，且交点关于原点对称；当k₁·k₂＜0时，两图象没有交点.5.借助双曲线可以解形如k₁k₂的分式不等式.七.三角函数1.在△中，∠90°（1）()()(2)()()(3)()()2.如果∠α﹤90º，那么0﹤α﹤1; 0﹤α﹤1;α＞03.锐角的正弦值随锐角的增大而增大；锐角的余弦值随锐角的增大而减小；锐角的正切值随锐角的增大而增大；4.如果∠∠90º,那么(1) , ·1(2) ²²1；²²1530º=1230º=√3230º=√3345º=√2245º=√2245º=160º=√3260º=1260º=√36.（1）坡度的定义：坡度=（）（）（2）坡度的实质.（3）坡度1：m，表明斜坡的是.7.仰角、俯角.8.。