角形四心问题
三角形四心及其性质总结
三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。
这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。
下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。
一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。
重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。
重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。
2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。
3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。
4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。
二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。
垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。
2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。
3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。
三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。
2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。
3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。
4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。
内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的四心习题及解析
三角形的四心习题及解析一、单选题1. ( )△ ABC 中，若/ A :/ B :/ C = 1 : 2: 3, G 为厶 ABC 的重心，则△ GAB 面积：△ GBC 面积：△ GAC 面 积=(A ) 1: 2:,3( B ) 1 :3 : 2( C )2: 1 : 3 ( D ) 1 : 1: 1。
答案：(D )/■△ GAB 面积：△ GBC 面积：△ GAC 面积=1: 1: 1答案：(C ) 答案：(B )2 22.()如图，△ ABC 中，AB = AC ，两腰上的中线相交与G ,若/ BGC = 90°22， 贝 U BE 的长为多少？ ( A ) 2( B )2^2( C ) 3 ( D )4。
，且BC解析：T AB = AC ，且 GABC 的重心 A BE = CD ■- BG = CG BC 2：2--BG = — == 2*2v'2ABE = 3BG =-皂=32 2又 T / BGC = 90 ° ，BC = 2.23.()如图，等腰△ ABC中，AB = AC = 13，BD = CD = 5，O ABC 的外心,?( A ) 117( B )24119( C ) 121( D ) 123。
242424 G 为△ ABC 的重心解析ABC为等腰三角形，二A D丄BCAD = '•. 132—52=12，连接 OB，令 OD = x ,贝UOB =OA = AD-0D= 12(12 — x) 2= x 2 + 52 x =119故选(B ) 244. ()如图，D 、E 分別为AB 、AC 中点，BE 、CD 交于F,若斜线部分的面积为7，则△ ACD 的面积为多少？( A ) 21( B ) 24( C ) 28( D ) 35。
答案：(A)5. ()直角三角形 ABC 中，/ A = 90°, O 为外心，G 为重心，若AC= 6, AB = 8,则2 4 5 7 OG=?(A)-(B )(C ) -(D )。
微专题 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)
微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0 ．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +AC AC 所在的直线上. AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0 ⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC 的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD =DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC ，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD ，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC ，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC ，由已知得BC =a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC ，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC ⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +AC ACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C 【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，AC AC 为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +AC AC，即AP =λAB AB +AC AC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB +cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B 【解析】因为IB =IA +AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB +cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC )a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +c AC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC=-bc a +b +c AB c +AC b=-bc a +b +c AB AB +AC AC ，所以IA 在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yAC x ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN =NC ,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC ，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A 【解析】PA =PB =PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B 【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA +OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO =( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D 【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA 2，得BH ⋅HC =CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC 2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH ⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB ，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC ，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC =0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC =0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA +5HB +6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB +6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC =0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO =( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC 【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC .故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB 2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与ABAB cos B +AC ACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB 2=12AB2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC =0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF =13λAE +13μAF ，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB AB cos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C=AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C AC cos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +AC AC cos C与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，∴AB AB cos B +AC AC cos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD ，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD ，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE ，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC ，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】C【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA +λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA =2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC ,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC =35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×AD AO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC =36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13 ，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC =0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0 ，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP =OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD ，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab =22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB ，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC)，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO ，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，因此，BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0，D 对.故选：BCD .17.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =14【答案】ABC【解析】有题意可知：OA =OB =OC =1．对于A ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA =-3OB -4OC．两边同时平方得到：4OA 2=9OB 2+16OC 2+24OB ⋅OC．解得OB ⋅OC =-78，故A 正确．对于B ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒2OA -2OB =-5OB -4OC ⇒2AB =5OB +4OC．两边再平方得到：4AB 2=25OB 2+16OC 2+40OB ⋅OC．结合A 可得：AB =62．所以B 正确．对于C ：2OA +3OB +4OC =0 ⇒3BO =2OA +4OC．两边平方得到：9BO 2=4OA 2+16OC 2+16OA OCcos ∠AOC ．解得cos ∠AOC =-1116．同理可得cos ∠AOB =14，cos ∠BOC =-78．∵∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．∴cos2∠C =14<12，所以π3<2∠C <π2，则2π3<4∠C <π，cos2∠A =-78<-22，所以3π4<2∠A <π，∵cos4∠C =2cos 22∠C -1=2×142-1=-78=cos2∠A ，2∠A =4∠C ．∴∠A =2∠C ．故C 正确；由cos2∠A =2cos 2∠A -1=-78，所以cos 2∠A =116，所以sin 2∠A =1516，所以sin ∠A =±154，显然sin ∠A =154，故D 错误．故选：ABC ．18.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG【答案】ABCD【解析】在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示．对于B 选项，根据三角形的重心性质由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA =-2GD ，又D 为BC 的中点，所以GB +GC =2GD ，所以GA +GB +GC =-2GD+GD =0 ，故选项B 正确；对于A 与C 选项，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，∴△AHG ∽△DOG ，∴GH OG =AH OD =AGDG=2，∴GH =2OG ，AH =2OD ，故选项A ，C 正确；对于D ，过点G 作GE ⊥BC ，垂足为E ，∴△DEG ∽△DNA ，则GE AN =DG DA=13，∴△BGC 的面积为S △BGC =12×BC ×GE =12×BC ×13×AN =13S △ABC ；同理，S △AGC =S △AGB =13S △ABC ，选项D 正确.故选：ABCD19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-4【答案】AB【解析】选项A ：因为AO =OD ，所以O 为AD 中点，由题易知AO =OD =12OB +OC ，故A 正确．选项B ：若AO =2OD ，则点O 为△ABC 的重心，(三角形重心的性质)则OB =2EO，故B 正确．选项C ：若AO =3OD ，则OB =OD +DB =14AD +12CB =14×12AB +AC +12AB -AC=58AB -38AC，故C 错误．选项D ：若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OD ⊥BC ，(三角形外心的性质)故OB ⋅BC =OD +DB ⋅BC =-12BC 2=-8，故D 错误．故选：AB20.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC =0B.AG ⋅BC =-73 C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC【答案】ACD【解析】对于A 选项，由垂心的性质可知AH ⊥BC ，则AH ⋅BC=0，A 对；对于B 选项，设D 为BC 的中点，则AG =23AD，AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，所以，AG =23AD =13AB +AC ，所以，AG ⋅BC =13AC +AB ⋅AC -AB =13AC 2-AB 2 =73，B错；对于C 选项，由外心的性质可知OB =OC ，则OD ⊥BC ，∴AO ⋅BC =AD +DO ⋅BC =AD ⋅BC =12AB +AC ⋅AC -AB =12AC 2-AB 2 =72，C 对；对于D 选项，由AH ⎳OD 得AH OD =AGGD=2，所以AH =2OD ，因为OD =OB +BD =OB +12BC =OB +12OC -OB =12OB +OC，所以OH -OA =AH =2OD =OB +OC ，即OH =OA +OB +OC，D 对.故选：ACD .三、填空题21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.【答案】6,-6 【解析】设点C a ,b ，∵G (2,0)是△ABC 的重心，所以，-6+6+a 3=22+4+b 3=0，解得a =6b =-6 ，故点C 的坐标为6,-6 .故答案为：6,-6 .22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA=1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．【答案】①③【解析】由题意可知：OA =OB =OC =1．①2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA =-3OB -4OC ，两边同时平方得到：4=9+24OB ⋅OC +16，解得：OB ⋅OC =-78，故①正确．②2OA +3OB +4OC =0 ，则2OA -2OB =-5OB -4OC ，2BA =-5OB -4OC ，两边再平方得到：4AB 2=25+16+40OB ⋅OC=6．所以|AB =62，所以②不正确．③2OA +3OB +4OC =0 ，4OC =-3OB -2OA ，两边平方得到：16=9+4+12OA ⋅OB =13+12OA OB cos ∠AOB ，cos ∠AOB =14，∠AOB ∈0,π2，同理可得：cos ∠BOC =-78，∠BOC ∈π2,π ，∠AOB =2∠C ，∠COB =2∠A ．故cos2C =14，cos2A =-78，且∠C ∈0,π4 ，∠A ∈π4,π2，cos4C =2cos 22C -1=2×14 2-1=-78=cos2A ，即∠A =2∠C ．故③正确．故答案为：①③23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB=___________．【答案】-72【解析】如图：E ,F 分别为CB ,CA 的中点，则OE ⊥BC ,OF ⊥AC∴OC ⋅AB =OC ⋅CB -CA =OC ⋅CB -OC ⋅CA=OE +EC ⋅CB -OF +FC ⋅CA=OE ⋅CB +EC ⋅CB -OF ⋅CA -FC ⋅CA=-12|CB |2--12|CA |2 =12CA |2- CB |2 =12×9-16 =-72.故答案为：-72.24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.【答案】①②③④【解析】对于①，若△ABC 是钝角三角形，由tan C =-tan (A +B )=-tan A +tan B1-tan A tan B得tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C <0，故①正确，对于②，若△ABC 是锐角三角形，则A +B >π2，有0<π2-B <A <π2且0<π2-A <B <π2，则cos B =sin π2-B<sin A ，同理得cos A <sin B ，故cos A +cos B <sin A +sin B ，故②正确，对于③，由HG ⋅BC =(AG -AH )⋅BC =AG ⋅(AC -AB )=12(AC 2-AB 2)=4，故③正确，对于④，若sin B =25,tan C =34，则sin C =35，sin B <sin C <22，则B <C <π4，故A >π2>C >B ，故④正确，故答案为：①②③④25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN =2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.【答案】596【解析】分别取AB ,AC 的中点E ,F ，连接OE ,OF ，因为O 为△ABC 的外心，∴OE ⊥AB ,OF ⊥AC ，∴AB ⋅OE =0,AC ⋅OF =0，∵BN =2NC ，∴BN =23BC ，∴AN =AB +BN =AB +23BC =AB +23(AC -AB )=13AB +23AC ，∴AO ⋅AB =12AB +EO ⋅AB =12AB 2=92，AO ⋅AC =12AC +FO ⋅AC =12AC 2=252，∴AN ⋅AO =13AB +23AC ⋅AO =13AB ⋅AO +23AC ⋅AO =13×92+23×252=596故答案为：59626.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，则∠A =___________．【答案】π3【解析】首先我们证明一个结论：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，a ,b ,c 为△ABC 的三边长，若a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ,则O 是△ABC 的内心.证明:OB =OA +AB ,OC =OA +AC ,则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ⇔(a +b +c )⋅OA +b ⋅AB +c ⋅AC =0 ,等式两边同时除以a +b +c 得，AO =bc a +b +c AB |AB |+AC |AC | ，AB |AB |表示AB 方向上的单位向量，同理AC |AC |表示AC 方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知bc a +b +c AB |AB |+AC |AC |表示∠BAC 的角平分线方向上的向量，则AO 为∠BAC 的角平分线，同理BO 、CO 分别为∠ABC ,∠ACB 的角平分线，所以O 是△ABC 的内心.于是我们得到本题的一个结论aGA +bGB +cGC =0 ．又∵cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0 ，∴由正弦定理与题目条件可知sin A :sin B :sin C =a :b :c =cos A :cos B :cos C ．由sin A :sin B =cos A :cos B 可得sin A cos B -cos A sin B =sin (A -B )=0，可得A =B ，同理可得B =C ,C =A ，即A =B =C =π3．故答案为：π3.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA =11+OF OA=11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-3228.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC =___________【答案】6-23【解析】解法1：不难发现，△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID =IE =IF =r ，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD =BF =r ，从而AD =2-r ，CF =23-r ，易证AE =AD ，CE =CF ，所以AE =2-r ，CE =23-r ，故AE +CE =2+23-2r =AC =4，从而r =3-1，AD =2-r =3-3，AI ⋅BC =AI ⋅AC -AB =AI ⋅AC -AI ⋅AB =AI ⋅AC ⋅cos ∠IAC -AI ⋅AB ⋅cos ∠IAB=AE ⋅AC -AD ⋅AB =AD AC -AB =2AD =6-23.故答案为:6-23.解法2：按解法1求得△ABC 的内切圆半径r =3-1，由图可知AI在BC 上的投影即为3-1，所以AI ⋅BC =3-1 ×23=6-23.故答案为:6-23.。
专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件(解析版)
三角形”四心“向量形式的充要条件本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：ABC 的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔ABC 的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔ABC 的外心sin 2:sin 2:sin 2C S A B C =⇔sin ABC 的垂心⇔::tan :tan A B C S S S A =ASCS BSA．外心B．内心【答案】B【法一】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，【法二】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ，，，212OBC S a h =⋅ ，312OAC S b h =⋅ ，112OAB S c h =⋅ ，因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△，则233111=0222a h OAb h OBc h OC⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ，即2310a h OA b h OB c h OC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，又因为0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，所以123h h h ==，所以点P 是△ABC 的内心.故选：B【反思】设O 为ABC ∆所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC ∆的内心⇔0aOA bOB cOC ++=.利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.例题2：已知G 是ABC ∆的重心，且满足56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=，求角B【详解】因为G 是ABC ∆的重心，所以0GA GB GC ++=,所以56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，所以sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==，由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，因为(0,)B π∈，所以3B π=.【反思】设G 是ABC ∆的重心,直接利用奔驰定理结论O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=，所以在本例中，已知56sin 40sin 35sin 0AGA BGB CGC ++=可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =，从而得到sin :sin :sin 5:7:8A B C =，再利用正弦定理，余弦定理求解.例题3：设点O 在ABC ∆内部，且5370OA OB OC ++=,则ABC ∆与AOC ∆的面积之比为.【详解】因为点O 在ABC ∆内部，满足奔驰定理0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，且5370OA OB OC ++=，所以::5:3:7A B C S S S =,从而得到::(537):35:1ABC AOC S S ∆=++=【反思】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆,AOC ∆,AOB ∆的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，对于满足条件的选择，填空题，都可以直接使用该结论.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足ASCS BSA ．外心B ．内心【答案】B【详解】由a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅uu r uu u r uuu r 由0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅= 得OA =- 根据平面向量基本定理可得b a S S -=-所以b a S b S a =，c a S cS a=，延长CO 交AB 于E ，延长BO 交AC 则||||b a S AE S BE =，又b a S b S a =，所以||||AE b BE a ==所以CE 为ACB ∠的平分线，同理可得BF 是ABC ∠的平分线，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理A ．25B ．12C ．16【答案】D【详解】解：O 为三角形ABC 内一点，且满足2OA + ∴233()2()()3OA OB OC OB OA OC OB OA OC OA ++=-+-+-⇒．13C A B C S S S S ==++，△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠A ．若230OA OB OC ++=，则:A S S B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，C ．若O 为△ABC 的内心，34OA OB +=设AF m =，tan A ∠又:tan BE AE EC A =∠由AB FC AC BE ⋅=⋅S 的三个内角，以下命题正确的有（A ．若0OA OB OC ++=，则O 为ABC B ．若230OA OB OC ++=，则::A B S S C ．若5π||||2,6OA OB AOB ==∠= ，2OA B ：若2,OE OB OD == 所以AOE DOE S S S == 则::1:2:3A B C S S S =，正确；C ：由题设1225π6ins 2C S =⨯⨯⨯=所以0OF OE OD ++=，即O 为而16C EOF S S =，则6EOF S = ，故所以1391244ABC S =++= ，错误；D ：由BOC BAC π∠+∠=，则OB 同理，||||cos OB OA OB OA BOA ⋅=∠A ．O 为ABC 的外心B ．BOC ∠C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C = D ．:A S S 【答案】BCD【详解】依题意，()OA OB OB OC OB OA OC ⋅=⋅⇔⋅-= 同理OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，则O 为ABC 的垂心，A 错误；AB ，AC 于P ，Q ，由选项2OBC ACB π∠+∠=，OCB ∠又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=A ．O 为ABC 的垂心B ．AOB ACBπ∠=-∠C ．sin :sin :sin ::OA OB OC BAC ABC ACB ∠∠∠=D ．tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=【答案】ABDOB OC ⋅ ，即OA OB OB OC ⋅-⋅ 0CA =，OB CA ⊥ ，AB，正确；因为OA CB ⊥，所以90ADB ∠=o ，BAO Ð因为OB CA ⊥，所以90BEA ∠= ，ABO Ð则(90AOB ABO BAO ππ∠=-∠-∠=-A ．O 为ABC 的垂心B ．C ．:sin :si n :n :si O A A OB O C C B =D ．【答案】ABD【详解】对于A ，OA OB OB OC ⋅=⋅ ，(OB OA ∴⋅由A 可知：AD BC ⊥，BE ⊥AOE C ∴∠=∠，又AOE ∠+∠对于C ，由B 可得：OA OB ⋅= 同理可得：OB OC OB OC ⋅=-⋅对于②：记点P 到AB 、为PBC PAC S PA S PB ++ △△a h b h PA PB c h PC +⋅⋅⋅+。
三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇
模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B （﹣2，3），点C 在x 轴负半轴，OB ＝BC ，点M 为△OBC 的重心，若将△OBC 绕着点O 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。
平面向量与三角形的“四心”问题
平面向量与三角形的“四心”综合问题【例题精讲】例题1 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】由|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|知，O 为△ABC 的外心； 由NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→，所以(P A ―→－PC ―→)·PB ―→＝0， 所以CA ―→·PB ―→＝0，所以CA ―→△PB ―→，即CA △PB ，同理AP △BC ，CP △AB ，所以P 为△ABC 的垂心，故选C.例题2 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y △[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部， 其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.【知识小结】三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2，则点O 是△ABC 的外心．(2)在△ABC 中，若GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，则点G 是△ABC 的重心．(3)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→，λ△(0，＋∞)，则直线AP 过△ABC 的重心． (4)OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→或者|OA ―→|2＋|OB ―→|2＝|OB ―→|2＋|OC ―→|2＝|OC ―→|2＋|OA ―→|2，则点O 为三角形的垂心．(5)|BC ―→|·OA ―→＋|AC ―→|·OB ―→＋|AB ―→|·OC ―→＝0，则点O 为三角形的内心．(6)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→＝OA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|(λ>0)，则直线AP 过△ABC 的内心．【变式练习】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ△(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解析】选C 由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.2．在△ABC 中，|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→，则直线AD 通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心解析：选D △|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，△12|AB ―→|＝34|AC ―→|＝32.设AE ―→＝12AB ―→，AF ―→＝34AC ―→，则|AE ―→|＝|AF ―→|.△AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→＝AE ―→＋AF ―→，△AD 平分△EAF ，△AD 平分△BAC ，△直线AD 通过△ABC 的内心。
三角形的四心问题(最全面精品)
三角形的外心、内心、重心、垂心序号名称定义图形性质1 三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)1.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；2.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2 三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)1.三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一3 三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心1.三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2；2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4 三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心1.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；2.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外AB COIKHEFDAB CMABCDEFGA BCDEFO三角形的外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径. 用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式SR 4abc公式中 是这三角形的三条边，S 为三角形的面积.证明：例题精讲一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径. （用三角函数表示）COCO例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. .③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.ABCODABCOD E ABCOD E三角形的内切圆定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内切圆半径;一般三角形中，r=c b S++a 2(S 为三角形面积）Rt △中，r=2b ca -+（a,b 为直角边，c 为斜边）例题精讲：探索1：如图，在△ABC 中，点O 是内心，∠ABC=50°，∠ACB ＝7０°，求∠BOC 的度数.变式1：在△ABC 中，点O 是内心，∠BAC=50°，求∠BOC 的度数.变式2：在△ABC 中，点O 是内心，∠BOC=120°，求∠BAC 的度数.探索2：.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，它的内切圆半径为r ，你会求△ABC 的面积吗？探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a ，b,斜边为c 求其内切圆的半径ｒ和外接圆半径R.二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形例 已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.2、一般三角形 ①已知三边例 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.②已知两边夹一角例 已知：如图，在△ABC 中，sin ∠B=53,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.ABCOE Dbca A BCO E FDABCOD③已知两角夹一边例 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°,BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(精确到0.1)总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.三角形的重心三角形重心是三角形三条中线的交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方最小.例：已知：△ABC ，E 、F 是AB ，AC 的中点.EC 、FB 交于G. 求证：EG=1/2CGABCO D例：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线.根据重心性质知：例题精讲：⑴求线段长例如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC 的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm.解：⑵求面积例在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积.解：如图，若G 是ABC ∆的重心，且GH ∥BC ,则GH:BC=如图，若G 是ABC ∆的重心，且GE ∥,CB GF ∥AB ,则=∆GEBF四边形S S ABC。
(完整版)三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形四心”定义与性质
三角形四心”定义与性质
一、什么是三角形四心
三角形四心是指三角形的一类特殊的内部点，可以用来证明三角形形状的一些特性。
三角形四心包括内心（Incenter）、外心（Circumcenter）、垂心（Orthocenter）和重心（Centroid）。
二、各心的定义
1、内心（Incenter）
是指经过三条边的交点，是三条边的中线的交点。
内心一定在三角形内，而且和三角形各边中点垂直。
3、垂心（Orthocenter）
是三面垂直（三角形的外角均为90度）时才存在的第四心，它是三个顶点的垂线的交点，也是高的垂线的交点。
垂心的位置可能在三角形内，也可能在三角形外。
三、各心的性质
1、内心的性质
（1）设a，b，c为三角形的边长，I为三角形的内心，则三角形的内接圆半径为：rI＝a×b×c/4S，其中S是三角形的面积。
（2）如果满足外角和的三倍等于内角和，则三角形的内心就与重心等同。
（3）如果三角形的三边呈等腰三角形（即有一条边等于另外两条边的1/2），则三角形的内心会在一条内角垂线上，且离该条边的长度等于另外两条边的1/3。
2、外心的性质
（1）如果三角形满足外角和的三倍等于内角和，则它的外心与重心也会相等。
（2）外心到三角形三边的距离相等，等于三角形外接圆半径，该半径可以用以下公式计算：rO＝a×b×c/4R，其中R是三角形外接圆的半径。
立体几何中三角形的四心问题
立体几何中三角形的四心问题一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心）例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心如图所示，作PO ⊥平面α于O ，连OA 、OB 、OC ，那么∠PAO 、∠PBO 、∠PCO 分别是PA 、PB 、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等.∴Rt ΔPAO ≌Rt ΔPBO ≌Rt ΔPCO. ∴OA ＝OB ＝OC ∴应选B.例2． Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心，∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。
∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9401880==MH PH 例3．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。
解析：∵A 1A=A 1B=A 1C∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156取AB 中点E ，连A 1E∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB∴ 12)2AB (AA E A 2211=-= ∴ 1111120AA C C AA B B S S ==∴ S 侧=396二、内心问题（若P 点到三边AB,BC,CA 的距离相等，则O 是三角形ABC 的 内心）例4．如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ΔABC 内，那么O 是ΔABC 的( )A.垂心B.重心C.外心D.内心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O 到ΔABC 的三边的距离相等，因而O 是ΔABC 的内心，因此选D.说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.质找出与平面平行的直线。
三角形四心定理以及相关证明
三角形四心定理以及相关证明一、引言三角形是几何学中最基本的概念之一，它有着丰富的性质和定理。
本文将重点介绍三角形四心定理，这是关于三角形内部的四个特殊点的定理。
我们将详细讨论这个定理以及相关的证明。
二、什么是三角形四心定理三角形四心定理是指在一个三角形内部存在四个特殊的点，它们被称为三角形的四个心，包括三角形的重心、内心、外心和垂心。
这四个点具有重要的性质和几何意义，它们与三角形的边、角和内部点的关系密切相关。
2.1 重心三角形的重心是三角形内部所有中线的交点，其中中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。
重心被称为三角形的质心，它的坐标可以通过三角形顶点坐标的平均值得到。
2.2 内心三角形的内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
内心到三角形的三条边的距离相等，这个距离被称为内心到三角形边的角平分线的距离。
内心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
2.3 外心三角形的外心是可以通过三角形的任意两个顶点的垂直平分线的交点得到。
外心到三角形的三个顶点的距离相等，这个距离被称为外心到三角形顶点的距离。
外心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
2.4 垂心三角形的垂心是通过三角形的三个顶点和对边的垂直线的交点得到。
垂心到三角形的三边的距离有特殊性质，它们满足垂心到三边距离之和最小。
垂心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
三、三角形四心定理的证明三角形四心定理的证明可以通过利用几何性质和数学推导来完成。
下面我们将分别给出重心、内心、外心和垂心的证明过程。
3.1 重心的证明给定一个三角形ABC，我们可以通过连接三角形的三个顶点和对边中点得到三条中线AD、BE和CF。
我们需要证明这三条中线交于一点G，即三角形的重心。
证明过程如下： 1. 由于D是BC的中点，所以AD平行于BC。
2. 同理，BE平行于AC，CF平行于AB。
3. 根据平行线的性质，得到三角形AGF和三角形ABC相似。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题（一）向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
求证：△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明：由已知+=-，两边平方得·=，
同理·=·=，∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||，即O是△ABC所在平面内一点，
则．
证明：，，
．
点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，
证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）
若与重合，则上式变0．
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
例7若为内一点，，则是的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
变式：已知分别为的边的中点．则．
证明：
．．
变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上OB⊥CA故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
事实上由条件可推出故选答案D
例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下:一． 知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++３)Ｏ是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==（或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++４)O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二． 范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A ，B,C 是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ )（Ａ）外心(B)内心(C)重心（D ）垂心 解析:因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么?没见过!想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
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七、三角形四心问题
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.
证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.
证法2：如图 Θ++
2=+= ∴2=
∴D O A 、、三点共线，且O 分AD
为2：1
∴O 是ABC ∆的重心
（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.
证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA
AC OB ⊥⇔ 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥
⇔O 为ABC ∆的垂心
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心. 证明：b
AC c AB 、Θ分别为方向上的单位向量， ∴b
c +平分BAC ∠, (
λ=∴b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ
∴c
b a b
c AO ++=（b c +) 化简得)(=++++c b c b a ∴=++c b a
（4
）==⇔O 为ABC ∆的外心。
三、例题分析
例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的
例2： O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的
例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P
满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的
四、巩固练习
1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足=++，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为
2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅
3．点O 在ABC ∆内部且满足22=++，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是
4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若++=，则H 是ABC ∆的
5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222=+ 2
22AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的
6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=， 则实数m =
7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12
, 则△ABC 为
8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为。