一类带垂直传染和多类易感者的TB模型分析
传染病模型——精选推荐
3.12传染病模型摘要：本文是一个对传染病的研究问题。
通过把一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
建立数学模型用极限和微积分等数学方法对传染病传播规律进行研究。
关键词：传染病极限和微积分正文1 传染病〔Infectious Diseases〕是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。
病原体中大部分是微生物，小部分为寄生虫，寄生虫引起者又称寄生虫病。
有些传染病，防疫部门必须及时掌握其发病情况，及时采取对策，因此发现后应按规定时间及时向当地防疫部门报告，称为法定传染病。
中国目前的法定传染病有甲、乙、丙3类，共37种医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制。
但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；即使在发达国家，一些常见的传染病也未绝迹，而新的传染病还会出现，如爱滋病（AIDS）等。
有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。
传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人群中实验的方式获得科学数据。
事实上，在人群中作传染病实验是极不人道的。
所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取。
这些数据往往不够全面，难以根据这些数据来准确地确定某些参数，只能大概估计其范围。
基于上述原因，利用数学建模与计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。
2问题提出上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？3 模型分析社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。
病毒传播模型的建模和分析
病毒传播模型的建模和分析随着新冠肺炎疫情的爆发，人们开始关注病毒传播模型的建模和分析。
病毒传播模型是通过建立数学模型来描述一种病毒从一个人传播到另一个人的过程。
这些模型可以用来预测未来的病例数和疫情的发展趋势，从而对公共卫生政策做出决策。
本文将深入讨论一些病毒传播模型的建模和分析方法，以及用于计算病毒传播的参数。
基本假设在研究病毒传播模型之前，我们需要了解一些基本的假设。
首先，我们假设感染者可以将病毒传给其他人，这些人也可以将病毒传给其他人。
其次，每个人只能被感染一次。
最后，我们假设传染过程是随机的，并且每个人在接触病毒后，可以在一段时间内携带病毒，但并不一定表现出症状。
接触率接触率是指某个人在一段时间内和其他人接触的频率。
接触率是病毒传播模型中的一个重要参数，它可以用来预测病例数和疫情的发展趋势。
接触率的计算方法包括调查问卷、传感器技术和社交网络分析。
社交网络分析方法是最常用的方法之一，它通过分析人们之间的联系、交流和兴趣来计算接触率。
物理模型物理模型是建模和分析病毒传播的另一种方法。
在这种方法中，我们将人们视为一个个质点，并将他们在三维空间中的运动建模。
人与人之间的距离越近，接触的可能性就越高。
我们还可以通过模拟一个建筑物或地区的运动，预测病毒在该建筑物或地区的传播情况。
传染模型传染模型是病毒传播模型的核心部分，它用一个数学方程描述病毒在人群中的传播情况。
最常用的传染模型包括SI模型（易感者-感染者模型）、SIR模型（易感者-感染者-康复者模型）和SEIR模型（易感者-潜伏者-感染者-康复者模型）。
这些模型可以帮助我们了解病毒传播的时间和规模，以及在不同的干预措施下，疫情的发展趋势。
分析模型分析模型是对传染模型进行分析的一种数学方法。
通常，我们使用微分方程来描述传染模型，然后使用数值方法或解析方法来解决该微分方程。
解方程可以帮助我们了解一些基本的病毒传染规律。
例如，我们可以使用微分方程来计算感染速度，即感染者每日新增的数量。
传染病传播模型
进而有
N di(t) Ns(t)i(t)
dt
再设初始时刻（t = 0）病人的比例为i0，则由 s(t) + i(t) = 1，得到初值问题
di dt
i(1 i)
i(0) i0
Logistic 模型
初值问题的解为
i(t)
1
1
1 i0
1e t
可画出 i(t) ~ t 和 di/dt ~ i 的图形为 i(t) ~ t 的图形
di/dt ~ i 的图形
于是可知：
① 当 t 时，i1，即所有人终将被传染， 全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是 模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康 者只能变成病人，病人不会再变成健康者。
② 然而，这个模型在传染病流行的前期还是 可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当 i = 1/2时，di/dt 达到最大值 (di/dt)m，这个时刻为
tm
1
ln
1 i0
1
这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量 最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗 卫生部门关注的时刻。
③ 还可以看出，tm 与 成反比。因为日接触 率 表示给定地区的卫生水平， 越小卫生水平
越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推 迟传染病高潮的到来。
模型 2（不考虑出生和死亡的 SIS 模型）
定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当 的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单 的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合 实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修 改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。
模型 1（SI 模型）
假设条件 (1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者 （Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这 两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 (2) 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变， 既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量 单位。
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。
传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。
其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。
本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。
首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。
该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。
我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。
在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。
因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。
其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。
我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。
当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。
对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。
其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。
在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。
最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。
本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。
我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。
具有垂直传染年龄结构的SIS传染病模型的分析
关键词 ： 年龄结构 ； 垂直传染 ； Ｉ ＳＳ传染病模型 ； 基本再生数 ； 平衡点 ； 稳定性
中 图 分 类 号 ： ７ ． ０１ ５ ６ 文献标识码 ： Ａ
Ａｎ Ａｇ － ｔ ｕ ｔ ｒ ｄ Ｓ Ｓ Ｅｐ ｄｅ ｉ ｏ ｅ ｔ ｒ ｉ ａ ａ ｓ ｉｓｏ ｅ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ Ｉ ｉ ｍ Байду номын сангаас Ｍ ｄ ｌｗｉｈ Ｖｅ ｔｃ ｌＴｒ ｎ ｍ ｓ ｉ ｎ ＺＨＯＵ ａ ＹＡＮ ｎ ＢＡＩ ｉｎ ｈ ｎ 。 Ｑｉｎ ， Ｐｉｇ ， ａ ｇ ｏ ｇ Ｊ
第２ ９卷 第 ５期 ２１ ０ １年 １ Ｏ月
石 河子 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ｕｎｌ ｆ ｈｈｚ Ｕｎ ｅｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏ ｒａ ｏ ｉｅｉ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓｉ ｃ） Ｓ ｖ ｔ ｅ
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ ５ １２ ．
Ｏｃ ．２ １ ｔ ０１
Ｋｅ ｏ ｄ ： ｇ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ｖ ｒｉａ ｒ ｎ ｍｉｓｏ ｅ ｉｅ ｃｍｏ ｅ ， ａ ｉ ｅ ｒ ｄ ｃ ｉ ｎ ｎ ｍｂ ｒ ｅ ｕ ｌ ｒ ｍ ， ｔ ｂ ｌ ｙ ｙ ｗ ｒ ｓ ａ ｔｕ ｔ ｒ ｄ； ｅ ｔ ｌｔａ ｓ ｓ ｉ ｎ； ｐ ｄ ｍｉ ｄ ｌ ｂ ｓｃ ｒ ｐ ｏ ｕ ｔ ｕ ｅ ； ｑ ｉ ｂ ｉ ｃ ｏ ｉ ｕ ｓａ ｉｔ ｉ
文 章 编 号 ：０ ７７ ８ （０ １０ —６ ９０ １０ —３ ３ ２ １ ）５０ ４ —６
具 有 垂直 传 染 年 龄 结构 的 Ｓ 染 病 模 型 的分 析 Ｉ Ｓ传
周 茜 闫萍 白江 红 。 ， ，
（ 疆 大学 数 学 与 系统 科 学 学 院 ， 鲁 木 齐 ，３ ０ ６ 新 乌 ８０４）
摘要 ： 研究 了一类具有垂直传染的年龄结构 ＳＳ传染 病模 型。在总人 口规模不 变的假设 下 ， 到了疾病 消亡与否 Ｉ 得
传染病的传播模型
传染病的传播模型传染病是指通过直接或间接接触，人与人之间传播的一类由病原体引起的疾病。
了解传染病的传播模型对于控制和预防疾病的传播具有重要意义。
本文将介绍一些常见的传染病传播模型，并对其特点和应用进行分析。
一、接触传播模型接触传播模型是指病原体通过直接接触传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括密切接触和接触传播。
密切接触是指患者和健康人员之间有较长时间的近距离接触，如同居、护理和工作等。
接触传播是指通过接触患者的血液、体液、呕吐物、粪便等体液传播病原体。
二、空气传播模型空气传播模型是指病原体通过空气传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括飞沫传播和气溶胶传播。
飞沫传播是指通过患者咳嗽、打喷嚏等方式，将含有病原体的液体颗粒释放到空气中，进而被他人吸入而导致感染。
气溶胶传播是指患者排出的微小液滴中的病原体随空气流动传播至他人。
三、血液传播模型血液传播模型是指病原体通过血液传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括输血传播、注射传播和性传播。
输血传播是指通过输血过程中病原体传播至受血者的方式。
注射传播是指共用注射器、针头等器械而导致病原体传播的方式。
性传播是指通过性接触传播病原体的方式，特别是对于性传播病毒如艾滋病病毒等。
四、垂直传播模型垂直传播模型是指病原体通过母婴传播至受感染者的传播方式。
这种传播方式主要包括围产儿传播和胎儿传播，即在婴儿在子宫内感染或在分娩过程中被母亲感染。
传染病的传播模型对于制定疾病防控策略具有重要意义。
根据不同传播模型的特点，可以采取相应的预防措施来降低疾病的传播风险。
例如，对于接触传播模型，需要加强个人卫生和环境卫生措施，如勤洗手、保持通风等。
对于空气传播模型，需要加强呼吸道防护，如佩戴口罩等。
对于血液传播模型，需要加强注射安全和性保护等。
对于垂直传播模型，需要加强孕产妇的健康管理和儿童疫苗接种等。
总之，传染病的传播模型多种多样，了解和掌握不同传播模型的特点对于预防和控制疾病的传播至关重要。
传染病的传播模型与传播效应分析
传染病的传播模型与传播效应分析近年来，传染病的爆发引起了全球的广泛关注。
在传染病的传播过程中，我们需要了解其传播模型和传播效应，以便更好地预测、控制和应对传染病的传播。
本文将对传染病的传播模型与传播效应进行分析和探讨。
1. 传播模型1.1 SI模型SI模型是研究传染病传播最简单的一种模型。
该模型假设人群中只存在感染者和易感者两种状态，即患者可以直接感染其他健康人。
该模型的数学表达方式为dI/dt = βSI，其中I表示感染者的数量，S表示易感者的数量，β表示每个感染者每天能够传染给多少个健康人。
SI模型适用于传染病传播较为缓慢的情况，如传统的感冒等。
1.2 SIR模型SIR模型是比SI模型更为复杂和完善的一种传播模型。
该模型考虑了感染者能够恢复健康并具有免疫力的情况。
SIR模型包含三种状态：易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)。
模型的数学表达方式为dS/dt = -βSI，dI/dt = βSI - γI，dR/dt = γI。
其中，γ表示康复率。
SIR模型适用于病毒性传染病，如流感、麻疹等。
2. 传播效应2.1 基本再生数(R0)基本再生数(R0)是评估传染病传播能力强弱的重要指标。
R0是指在人群中每个感染者平均能够感染的健康人数。
当R0大于1时，传染病将以指数级增长，造成疫情的爆发。
而当R0小于1时，传染病将趋于稳定或消失。
通过计算R0，我们可以评估并预测传染病的传播趋势和规模。
2.2 传播速率传播速率是指感染者每天感染的平均人数。
传播速率直接关系到传染病的传播速度和范围。
传播速率越高，传染病的传播范围就越广，疫情也将更加严重。
2.3 传播距离传播距离是指传染病从一个感染者传播到其他人的最大距离。
传播距离与传染病的传播途径密切相关，如空气传播的传播距离较远，而密切接触传播的传播距离较短。
通过确定传播距离，我们可以制定相应的防控措施，减少传染风险。
传染病的传播模型和传播效应分析对预测和控制疫情具有重要意义。
一类具扩散两种群生态传染病模型分析
一类具扩散两种群生态传染病模型分析生物数学是生命科学与数学交叉的边缘学科,它主要应用数学理论与计算机技术研究生命科学中众多数据的数量关系以及空间形式的问题,探究多样性的生态系统本质特征.通过对生物实验数据的数学模型分析,阐述生物信息规律.众所周知,传染病对人类和其他物种的健康和生存构成了很大威胁.传染病的防治工作关系到亿万人民福祉.传染病动力学是专门研究传染病问题的一门学科.首先,考虑传染病发生的自然环境和社会环境因素,根据疾病传染规律建立符合传染病传播本质特征的数学模型.其次,揭示传染病发生和传播的主要原因,根据影响传染病流行和消退的关键参数,对其未来变化趋势的预判,找出对传染病进行预防的最佳时间和控制的最优化方法,进而为人们制定防治策略提供理论依据.但很多工作只研究了传染病在单个种群间的发生和发展过程,如对SIR模型、SEIR模型的研究.自16世纪以来,种群动力学就一直是生物数学的一个热点研究领域,它主要通过分析生态学中种群与种群之间以及种群与环境之间的关系,来揭示种群个体数量和种群结构之间的规律.在生物数学中有许多关于种群动力学的研究,如对Lotka-Volterra捕食、竞争、共生这类模型的研究.种群间也常有传染病的传播,然而这方面的文章还比较少.本文结合了传染病动力学和种群生态学研究了一类具有捕食关系的两种群间有传染病现象的数学模型,只考虑疾病在捕食者种群间传播而不能由捕食者种群传染给食饵种群.本文探讨了对捕食种群的生存和灭绝起关键作用的参数.首先建立动力系统模型并证明了其解的一致有界性,分析动力系统模型得到了四个非平凡平衡点的存在性条件,并由Huiwitz定理分别证明了它们的局部稳定性.其次构造Lyapunov函数证明了共存平衡点不仅是局部稳定的还是全局稳定的.数值模拟也显示,传染病的接触率、易感染捕食者和潜伏期捕食者的捕获率在种群长时间的渐近行为中起关键作用.接着,通过引入扩散项建立偏微分方程模型来刻画生物种群迁徙的现象.首先证明了其解的一致有界性,对于偏微分方程使用空间分解的方法,得到了其共存平衡解的存在性条件和局部稳定性条件.同时构造Lyapunov函数证明了偏微分方程共存平衡解不但是局部渐近稳定的而且还是全局稳定的.理论结果表明：接触率较大时,传染病蔓延,易感染捕食者种群灭绝.接触率较小时,传染病消退,染病捕食者种群灭绝.接触率适中时,传染病成为地方病.数值模拟也验证了前面得到的理论结果.。
传染病的传播模型与传播规模分析
传染病的传播模型与传播规模分析传染病是指通过病原体在人类或动物之间传播的疾病。
了解传染病的传播模型和传播规模对于疾病的防控具有重要意义。
本文将对传染病的传播模型和传播规模进行分析和探讨。
一、传染病的传播模型传染病的传播模型是为了描述疫情传播情况而建立的数学模型，常用的传播模型有SIR模型、SEIR模型等。
1. SIR模型SIR模型将人群分为三类：易感者(Susceptible)、感染者(Infected)和康复者(Recovered)。
在传染病的传播过程中，一个人可以从易感者转变为感染者，然后康复并具有免疫力。
该模型假设传染病的传播是在人群中直接接触传播的。
2. SEIR模型SEIR模型在SIR模型基础上增加了一个暴露者(Exposed)的分类。
暴露者是指已被病原体感染，但还不具备传染性的个体。
这个模型更加符合真实情况，因为传染病潜伏期的存在使得暴露者可能在该期间传播病原体。
二、传染病的传播规模分析传染病的传播规模是指传染病在人群中的传播范围和程度。
常用的传播规模指标有基本传染数(R0)、感染率和爆发规模等。
1. 基本传染数(R0)基本传染数(R0)是指一个感染者在人群中平均能传染的次数。
当R0大于1时，传染病会以指数增长的方式传播；当R0小于1时，传染病会逐渐消失。
通过计算R0可以评估传染病的传播效果和防控措施的有效性。
2. 感染率感染率是指在特定时间和地点内，被感染的人数占总人口的比例。
感染率反映了传染病在人群中的传播速度和范围。
高感染率意味着传染病的快速传播，需要采取紧急措施来遏制疫情。
3. 爆发规模爆发规模是指传染病在人群中造成的感染人数。
传染病的爆发规模与感染率、传播范围等因素密切相关。
较大的爆发规模将给公共卫生系统和医疗资源带来巨大压力，因此需要及早采取干预措施来控制疫情的蔓延。
结语传染病的传播模型和传播规模分析对于制定有效的防控策略具有重要意义。
通过建立数学模型，我们可以更好地了解传染病的传播方式和规律，从而及时采取相应的措施来控制疫情的蔓延。
一类具有垂直传染的传染病模型的分析
病平衡点 的全局稳定性； 用Ｊｃｂａ 阵研 究 了地方病平衡点的局部稳定性 ，并利 用 Ｍａａ 利 ａｏ ｉ ｎ矩 ｄｂ数 学软件， 通过数值
模 拟 ， 所 建 立 的模 型进 行 了仿 真 ． 对
关 键 词 ： 染病 模 型 传 垂直传染 稳 定性
中图 分 类 号 ： ７ ．３ Ｏ１５１
仃 一
其中， 所有 参数 均为 正 ：
墨 一（ ＋ ｌ ６ （ ＋２ － ６ ６ ｒ ）６ ｒ＋ ） ｑ
平均死亡率系数 ； ： 口出生率系数 ； ： ｂ人 平均传 染率系数 （ 即易感者单位时间内被感染者感染的次
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是系统的修正再生数．
数 ） ｃ 一 个 人 单 位 时 间 内接 触 的人 数 ；ｄ 因病 死 ； ： ：
（ ＋ ＋１Ｅ ｐ Ｅ ｑ ｌ ｒ） ＋ ｂ — ｂ ，
闭集 中对 系统进 行 研究 ， 以证 明 Ａ是 关 于系 统 的 可
， 一， ｄ ｒ）， Ｅ （ ＋ ＋２， ＝ 上
＝ｒ Ｅ＋ｒ ｌ ２
正 向不 变集 ． 系统 在 中有 两个 平衡 点 ：无 病平 衡 点 Ｐ＝ １０ ０ 和地方 病平 衡点 Ｐ （ ｅ ｉ） ｏ（ ，， ） ｓ ， 且 ，
病 者 （ ｆｃｏｓｉｄ－ｉ ａ ） 和 治 愈 者 （ｒａ ｄ Ｉ ｅｔ ｕ ｎｉｖ ｕｌ ｎ ｉ ｄ ｓ Ｔｅｔ ｅ ｉ ｉｄａｓ，分别 简 写 为 ：， ， 总人 口用 Ⅳ 表 ｎ ｖ ｕｌ） ｄｉ ｓ Ｅ，，
示 ， 有 则
Ｎ＝ Ｅ＋Ｉ Ｔ Ｓ＋ ＋
ｓ＝ （ — ）卢 ｓ ｐ ｅ ｇ ｄ ６ １ ｓ— ６ — ６— ， ＿ ｅ＝， ｉ（ ＋｝ｒ）＋ ｂ — ｂ＋ ｉ， ｔ ？ｓ ６ Ｉ １ｅｐ ｅ ｑ ｉｄｅ ｌ 一 ｉ ｃ ＋
传染病模型
模型3（SIS模型） 有些传染病如伤风、痢疾 等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是 病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感 染再变成病人，所以这个模型称SIS模型。 假设 SIS模型的假设条件1，2与SI模型相同， 增加的条件为 :
3．每天被治愈的病人数占病人总数的比例为 常数μ，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被 感染的健康者。显然1/μ是这种传染病的平均传 染期。
到
(7 )
结果分析
t m 与 成反比，因为日接触率 卫生水平，
表示该地区的
以改善
越小卫生水平越高。所
保健设施、提高卫生水 潮的到来。第二，当 人终将被传染，全变为 实际情况。
平可以推迟传染病高 t 时 i 1 , 即所有 病人，这显然不符合
其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈， 人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变 成健康者。
s 0 i0 s
1 s 0
x s0 s
s s0
x
ln
0
x
i0 0, s0 1 i
1
ln( 1
x s0
) 0
x (1
x<<s0
2 s0
2
) 0
P1
0
s
1/
x 2 s 0 ( s 0
1
)
s0
s
s0 - 1/ =
小, s0 1
方程（14）无法求出s(t) 和i(t)的解析解， 我们先作数值计算。
SIR模型
1 di di 1 si i / dt s ds i ds i0 si ss dt 相轨线 i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0 1 s i ( s ) ( s 0 i0 ) s ln s0 相轨线 i ( s )的定义域 i
一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型的全局分析
Ｒａ 一 。
定理 ３ １ 系统 （ ） ． １ 总存在平衡点 ＥｏＯ Ｏ Ｏ Ｅ１ ０ （ ， ， ）， （ａ， ， ｏ ）。当 Ｒ。 ＞１时 ， 还存在平衡 点 Ｅ （ ， ２ ，） ｏ 。当
在捕食系统 中， 假设疾病只在捕 食者种群 中传 播 ， 捕食 将
者 种 群 分 为 两 个 仓 室 ： 感 者 仓 室 （ ）染 病 者 仓 室 （ ） 易 Ｓ， Ｊ 。假 设
一
个易感者被染病者传染后 ， 进入染 病者仓 室 ， 病者不 能恢 染
Ｒ １，ＥＥＥｂ 统１ 存 平 点 （， Ｉ 时 ｏ１２， （还 在 衡 Ｂ老０ ＞ ，， 系 ） Ｐ ，
定ｉ Ｃ ） 。当 Ｒ ＞ １， ２ １且 Ｒ ＜ １时 ， ｏ Ｒ＞ 。 系统 （ ） １ 还存在 ， ） 其 中， ， 平衡 点 Ｅ － ４（ ， ｚ 色 ± 二！生
Ｓ ｋ ｌ － ｄ 一ｆ ） Ｏ （ｃｘ １ ｌ 一 ， Ｉ
Ｌ （ ｃ ＋ 一 ２ 一 Ｏ Ｉｋ２ ）
（） ２
其中， ａ为食饵种群 的内禀增长率 ， ｂ为密度制 约系 数 ， 为捕 Ｃ
食者种群 中易感 者的捕 获率 ，ｚ为捕食 者种 群 中染病 者 的捕 ｃ 获率 ， 通常 Ｃ≥ ｃ， 转化系 数 ， ｚ 忌为 为传 染率 系数 ， 为捕 食 ｄ 者种群 的 自然死 亡率 ， ａ为因病 死亡率 ， ｚ ＋ａ ｄ ＞ ， ｄ— ，ｚ 参 数 ａ ６ ｆ，２ ，， ｌｄ 均为正常数 。 ， ’１Ｃ， 尼 ｄ ， ２ 由系统 （） １ 的第 一个 方程 可得 ｚ 一ｘ（ 一 一ｃＳ ｃＤ ａ － ｚ
。
复， 染病者会 因病死 亡且具有垂直传 播的能力 ， 病影 响捕食 疾 者的捕 获率 ， 但不影 响能量转化率 ， 通常 易感者 的捕获率 不小
具有垂直传播和一般接触的元胞自动机传染病模型
Ａｂ ｔ ｃ ： ｈ ｉ ｏ ｌ ｆ ｈ ｓｗｏ ｋ ｉ ｔ ｒ ｓ ｎ ｉ ｌ ｔ ｅ ｒｔｃ ｌ ｏ ｅ， ａ ｅ ｎ ｃ ｌ ｌ ｒ ｕ ｏ ｔ ， ｏ ｓｍｕ ａ ｅ ｅ ｉ ｅ ｃ ｓ ｒ ｔ Ｔ ｅ ｍａｎ ｇ ａ ｉ ａ ｏ ｔ ｒ ｏ ｐ ｅ ｅ ｔａｓｍｐ ｅ ｈ ｏ ｅｉａ ｄ ｌ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｌ ａ ｔ ｍａａ ｔ ｉ ｌｔ ｐ ｄ ｍｉ ｓ ｍ ｕ ａ
摘
要： 本文主要介绍一种基于元胞 自动机模拟传染病传播的理论模 型。人群被分为三类 ： 易感者 、 染病者和病愈者 ， 每个
元胞状 态代表某 一类人群 。 特别 考虑 的是具有垂直传播和一般接触 的传染病模 型， 并进 一步考虑 了接种疫苗的影响 ， 这种影响 能够降低传染病 的传 播。所提 出的模 型能够作为其他基于真实数据 的模拟 实际传染病模 型算法研 究的基础 。 关键词： 元胞 自动机 ； 染病； 传 垂直传播 ； 接种疫 苗
ｓ ｒ ａ ｎ ｗ ｉ ｈ ｈａ ａ ｔ ｒｓｉ ｆｖｅｔｃ ｌｔａ ｍ ｉｓｏ Ｔｈｅｐｏ ｕｌｔｏ ｓｄｉ ｄｅ ｎｔ ｈｒｅ ｃａ ｓ ｓ ｉ ｅ ｔ ｄ ｍ ｍ ｕ ｚ ｄ ａ ｕ ｃ ｐ— ｐ ｅ ｄｉｇ ｔ ｔ ｅｃ ｒ ｃ ｅ ｔｃ ｏ ｒｉａ ｒ ｎｓ ｓ ｉ ｎ． ｈ ｉ ｐ ａ ｉｎ ｉ ｖｉ ｄ ｉ ｏ ｔ ｅ ｌｓ ｅ ：ｎｆ ｃｅ ，ｉ ｎｉｅ ｎｄ ｓ ｓ ｅ
近年 来， 随着各国、 各地区经济文化等交流 日益密切， 传 染病侵入 到新 的领地 已经成为一 个全球性 问题 。传统意义 上， 大量现有模 拟流行病 的数学模 型是建立在常微分方程 的 基础上 。这些模型有明显的缺点， 就是 它们 忽略 了传播过程
一类具有垂直传染的SEI模型的分析
第２ ９卷 第 ２期
２ ００ ８年 ６月
渤 海 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｉＵｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ｏ ｒ ａ ｆＢｏ ａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ａ ｃｅ ｃ ｉｉｎ） ｙ ｕ
有 时 变年 龄 结 构 的模 型 解 的存 在 性 ， 有 在模 型 还 中添 加脉 冲 ， 时滞 ， 离项 等进行 研究 。本文 采用 隔 归一 化 的方 法 来讨论 总人 口变 动呈 指数 出生 与死 亡， 且人 口因病 死 亡 ， 疾 病潜 伏 期 ， 直传 染 为 有 垂
由式 （ ） ２ 可见 ， ｂ ｄ时 ， 当 ＞ 总人 口可能无 限增 长 ，
局稳定的。
关键词： 平衡 点 ； 部渐 近稳 定 ； 局 渐近 稳 定 ； 局 全 闽值 中图 分类 号 ： ７ Ｏ１ ５ 文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ：６ ３０ ６ （ ０ ８ ０ —１ ００ １ ７ — ５ ９ ２ ０ ） ２０ ７ —３
表 易感 者 类 ， 代 表有 疾病潜 伏期 的一类 ， Ｅ Ｊ代 表
维普资讯
第２ 期
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几类新型传染病模型动力学分析及其研究
几类新型传染病模型动力学分析及其探究专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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几类传染病模型的动力学行为及最优控制问题
几类传染病模型的动力学行为及最优控制问题几类传染病模型的动力学行为及最优控制问题传染病是人类面临的严重公共卫生问题之一，对人类的健康和社会经济发展产生了巨大的影响。
因此，研究传染病的传播机制和防控策略对于有效控制疾病的传播至关重要。
传染病的传播过程是复杂的，涉及人口的动态变化以及病原体在人群中的传播。
为了更好地理解传染病的传播动态和制定最优的防控策略，数学模型和控制论的方法被引入到传染病研究中。
研究不同传染病模型的动力学行为，可以帮助我们更好地理解疾病在人群中的传播方式以及传染速度。
基于传染病传播特性和数学模型的特点，目前研究中常用的传染病模型可以分为SI模型、SIS模型、SIR模型和SEIR模型等。
SI模型假设人群中只有两种状态：易感者（Susceptible）和感染者（Infected）。
在该模型中，易感者可以被感染，感染者不会恢复或死亡，可以一直传染下去。
研究SI模型的动力学行为，可以帮助我们了解疾病在人群中的起始传播速度。
SIS模型引入了感染者的康复机制，即感染者可以康复为易感者。
在该模型中，人群中既有易感者，也有感染者。
传染病的传播方式是双向的，即易感者可以被感染，感染者可以康复为易感者。
研究SIS模型的动力学行为，可以帮助我们更好地了解疾病的持续传播和控制策略。
SIR模型引入了康复者（Recovered）的状态，假设感染者可以康复为免疫者，即不再感染该病。
在该模型中，人群中包含易感者、感染者和康复者三个状态。
研究SIR模型的动力学行为，可以帮助我们理解感染者的康复速度和疾病的传播速度，为制定有效的防控策略提供科学依据。
SEIR模型是在SIR模型的基础上引入了暴露者（Exposed）的状态，假设染病后有一个潜伏期，感染者在此期间被归类为暴露者。
在该模型中，人群中包含易感者、感染者、康复者和暴露者四个状态。
研究SEIR模型的动力学行为，可以帮助我们理解潜伏期对传染病传播速度的影响，并为制定更准确的防控策略提供科学依据。
传染病的传播规律与模型
传染病的传播规律与模型传染病是指通过微生物、寄生虫等病原体在人与人之间传播的疾病，其传播规律受多种因素影响。
为了更好地理解传染病传播的规律，医学、生物学和社会学等领域的研究者们提出了多种数学模型。
这些模型不仅能帮助我们更好地预测传染病的传播趋势，也为制定有效的防控策略提供了理论依据。
一、基本传播规律传染病主要通过个体之间的直接接触、空气传播、食物水源以及虫媒传播等途径传播。
个体的感染力和易感性是决定传染病传播速度的重要因素。
感染力高、易感性低的传染病，在短期内容易爆发并快速传播。
二、SIR模型SIR模型是传染病传播中最基本的数学模型之一，它将人群分为易感者（Susceptibles）、感染者（Infected）以及康复者（Recovered）。
该模型基于人口的易感程度、感染风险以及康复率等参数，用微分方程的形式描述了传染病在人群中的传播过程。
三、SEIR模型与SIR模型不同的是，SEIR模型将人群进一步分为暴露者（Exposed），暴露者是指已经接触到传染病病原体但尚未表现出症状的人群。
这个模型可以更准确地描述传染病的潜伏期，并更好地预测传染病的传播趋势。
四、传染病传播模型的应用传染病传播模型的应用可以帮助决策者在制定防控策略时更准确地估计疫情的发展趋势。
基于数学模型的预测结果，政府可以采取相应的措施来控制疫情的蔓延，包括加强社区管理、提高疫苗接种覆盖率以及加强疫情监测等。
五、传染病传播模型的局限性尽管传染病传播模型为我们提供了重要的理论指导，但它们也存在一些局限性。
首先，模型的建立需要准确的参数估计，但由于数据不完全或不准确，模型结果可能存在一定的误差。
其次，模型无法考虑到人的行为变化和疫苗的推广等外部因素的影响，这也导致模型结果在某些情况下与实际情况存在差异。
六、结语传染病的传播规律与模型研究为我们更好地理解传染病的传播机制提供了理论基础。
SIR模型和SEIR模型是用于描述传染病传播过程的基本数学模型，它们的应用可以辅助决策者在制定防控策略时进行科学预测。
传染病的传播模型与传播速率选择分析
传染病的传播模型与传播速率选择分析随着全球化进程的加速，传染病的传播成为一个全球性的问题。
了解传染病的传播模型和传播速率对于制定有效的防控策略至关重要。
本文将针对传染病的传播模型进行分析，并研究不同传播速率对疾病传播的影响。
一、传染病的传播模型传染病的传播模型通常采用流行病学模型进行描述。
其中最常用的是SIR模型，即易感者(susceptible)、感染者(infected)和康复者(recovered)。
该模型假设人群中的个体可以划分为这三个状态，并且通过接触而进行疾病传播。
SIR模型的基本方程可以表示为：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，β表示传染率，γ表示康复率。
通过该模型，我们可以预测传染病在人群中的传播趋势以及最终的传播结果。
二、传播速率的选择传播速率是指传染病在人群中的传播速度。
传播速率与传染率、康复率以及人群的接触频率等因素有关。
在选择传播速率时，应该考虑以下几个方面：1. 传染性：不同传染病的传染性有差异，应该根据具体疾病的特点来确定传播速率。
例如，传染性较高的疾病可能需要较大的传播速率，以便更准确地预测疫情。
2. 应对能力：传播速率的选择还与人群对疾病的应对能力相关。
如果人群的医疗资源有限，传播速率应该适当调整，以减轻医疗系统负担。
在此基础上，还应考虑传播速率对社会经济发展的影响。
3. 预测准确性：传播速率与传染病的预测准确性密切相关。
较高的传播速率可能意味着更准确的预测结果，从而帮助决策者更好地制定防控策略。
三、传染病传播模型与传播速率的选择分析实例以流行性感冒为例，假设流感的传播周期为5天，传染率为0.03，康复率为0.1。
则选择传播速率为β=0.03可以较好地预测流感的传播情况。
如果将传播速率增加至β=0.05，则预测结果可能会更准确，但这同时也增加了防控的难度。
在选择传播速率时，还需要考虑疾病的传播方式和特点。
例如，空气传播的疾病可能需要较高的传播速率，而通过接触传播的疾病则可以选择适度的传播速率。
布鲁氏菌病的传染动力学模型及传染风险评估
布鲁氏菌病的传染动力学模型及传染风险评估布鲁氏菌病是一种由布鲁氏菌引起的人畜共患传染病，它可以通过直接接触感染源或摄入受感染的动物产品等途径传播给人类。
为了更好地控制和预防该疾病的传播，科学家们使用传染动力学模型来研究布鲁氏菌病的传染机理，并评估传染风险。
本文将关注布鲁氏菌病的传染动力学模型及传染风险评估的相关内容。
传染动力学模型是用来描述疾病传播过程的数学模型。
它基于一些假设，利用数学公式和统计数据来模拟疾病在人群中的传播动态。
在布鲁氏菌病的研究中，传染动力学模型通常将人群划分为不同的类别，如易感者、患病者和康复者等。
通过考虑人群之间的接触频率、感染概率和康复率等参数，模型可以预测疾病的传播速度和程度。
此外，传染动力学模型还可以评估不同的防控策略对疾病传播的影响，为制定公共卫生政策提供科学依据。
布鲁氏菌病的传播风险评估是通过对疫情数据和相关因素进行分析，预测疾病的传播趋势和影响范围。
在传染风险评估中，研究人员通常会考虑人群的易感性、感染源的密度和感染传播的途径等因素。
通过对这些因素进行建模和计算，可以评估不同地区和人群的传染风险，并针对性地采取防控措施。
传染风险评估还可以帮助决策者了解疾病的传播潜力和对公共卫生的威胁程度，从而制定相应的防控策略。
在布鲁氏菌病的传染动力学研究中，研究人员使用了多种不同的数学模型来模拟疾病的传播过程。
其中一种常见的模型是SI模型，它将人群分为两个类别，易感者（Susceptible）和感染者（Infectious）。
这个模型假设易感者在与感染者接触后会被感染，但没有免疫力，感染者可以一直传播疾病。
另一种常见的模型是SIR模型，它增加了一个康复者（Recovered）的类别，在感染后感染者可以恢复并具有免疫力。
这种模型更符合实际情况，能够更好地描述疾病的传播动态。
传染动力学模型的参数估计是研究中的重点之一。
研究人员通过分析大量的疫情数据和实地调查结果，来估计模型中的感染率、康复率和易感者的接触频率等参数。
两种群相互竞争的具有垂直传染的SIS传染病模型
两种群相互竞争的具有垂直传染的SIS传染病模型宋运娜;腾辉;吴红梅;丁爱霞【摘要】研究了一类具有垂直传染率的两种群相互竞争S(易感染者)-I(感染者)-S(易感染者)传染病模型,讨论了平衡点的存在性和全局稳定性,并分析垂直传染及交叉感染对系统本质影响.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2012(032)004【总页数】5页(P25-29)【关键词】垂直传染;竞争种群;稳定性;交叉传染【作者】宋运娜;腾辉;吴红梅;丁爱霞【作者单位】齐齐哈尔医学院高等数学教研室,黑龙江齐齐哈尔161006;齐齐哈尔医学院高等数学教研室,黑龙江齐齐哈尔161006;兰州理工大学理学院,甘肃兰州730050;湖南科技大学理学院,湖南湘潭411201【正文语种】中文【中图分类】O175.1许多传染病给人民生活带来巨大威胁，研究传染病的发病机理、传播媒介、流行趋势刻不容缓．众多学者运用数学模型对传染病进行定性与定量的研究分析．一般多考虑单种群模型，对两个及两个种群以上传染病的模型研究较少．在文献[1-3]的基础上研究两个群相互竞争的具有垂直传染的SIS传染病模型．其中：为种群的规模；分别为种群的易感者与感染者数量；为种群的内禀增长率；为种群容纳量；为种群间相互作用的系数；，分别为种群的出生率和死亡率，其中：；分别为种群内和种群间的疾病传染率；为种群的疾病回复率；为种群的疾病垂直传染率．显然，，并且假设均为正常数．系统（1）可化为4维系统集合为系统的正向不变集．考虑二维竞争系统令，则引理[4] 对于二维竞争系统（3），有（1）时，系统（3）有4个平衡点，，，，其中：点为正平衡点，在区域内为全局渐进稳定的．（2）时，系统（3）有4个平衡点，，，，其中：点为鞍点；在区域为全局渐进稳定；在区域为全局渐进稳定的（见图1）；弧，弧为鞍点的2条分界线且趋于. （3）当时，系统（3）有3个平衡点，，，没有正平衡点，在区域内为全局渐进稳定的．（4）当时，系统（3）有3个平衡点，，，没有正平衡点，在区域内为全局渐进稳定的．这里为的正解．对于系统（2）进行分析，在集合中讨论平衡点的存在性．该系统可能存在以下的平衡点：，．若，系统（2）的平衡点满足方程当时，，从而，，化简得．因为，所以，，又因为，所以.同理，可得.与文献[2]的结论相比较，没有任何的条件就有存在，说明添加垂直传染率的两相互竞争种群间的传染病不存在这样的稳定点，即该种传染疾病必在两个种群间传播，不可能消亡．对于系统（2），或成立时，平衡点存在，关于其他平衡点的存在性有定理1．定理1 若或成立，，则当时，系统（2）存在唯一正平衡点，当时，只有平衡点．其中：；；；；．证明若或成立，由引理可知，存在并且满足系统（3），则系统（2）的平衡点满足方程，因此，有分析系统（4）的第一个方程得.当时，函数是单调增加函数.当时，，因为，所以的根异号，均取正号时，函数单调增加．由系统（4）得，．如果系统（2）的平衡点存在，则系统（4）表达的２条曲线和在平面的第一象限相交．当时，，是在区间内单调增加，向上凹的函数，且.同理是在区间内单调增加，向上凹的函数，且，又因为,，，因此曲线和在第一象限有唯一的交点，则系统（2）存在唯一的正平衡点．当，只有平衡点．对于系统（2）平衡点的稳定性，类似定理1的证明可得到定理2．定理2 对于系统（2）有如下结论：（1）不稳定；（2）当，点在区域内全局渐进稳定；（3）当，点在区域内全局渐进稳定；（4）当，点在区域内全局渐进稳定；（5）当，点在区域内全局渐进稳定；（6）当，时，点在区域内全局渐进稳定；（7）当，时，点在区域内全局渐进稳定；（8）当，时，点在区域内全局渐进稳定；（9）当，时，点在区域内全局渐进稳定；（10）当（或），时，系统（1）在集合，内一直持续生存.其中：；．垂直传染率对两相互竞争种群的传染病传播有极大的影响，与文献[2-3]比较，平衡点变得不稳定，即不存在单种群传染病被完全消亡的情况，交叉传染率对疾病的传播流行起到决定作用，交叉传染率数值大时，两竞争种群中传染病将处在稳定状态，种群内流行病的传染率对疾病的影响不大．[1] Anderson R M．Population Biology of Infectious Disease[M]．New York：Springer，1986[2] 韩丽涛，原三强，马知恩．两种群相互竞争的自治类型的SIS传染病模型[J]．西安交通大学学报，2001，35（8）：864-867[3] 韩丽涛，马知恩，师潭．两种群相互竞争的具有标准传染率的SIS传染病模型[J]．工程数学学报，2003，20（4）：70-74[4] 马知恩．种群生态学的数学模型与研究[M]．合肥：安徽教育出版社，1996。
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第４ ７ 卷
Ｓ ｉ （ ）＝ 一 ｐ ｜ ｓ （ ｔ ） ， （ ） ＋ Ｉ Ｘ Ｃ ｌ ∑ Ｓ ｉ （ ） ＋ Ｒ （ ） ＋ （ １ 一 ｔ ３ ） Ｉ （ ｔ ） ］ 一 Ｉ ｔ Ｓ （
）＝∑ Ｓ （ ｔ ） ） ＋ ８ ｔ ｘ Ｉ （ ｔ ） 一∑ｅ Ｓ （ 一 丁 ） — Ｊ ｒ ） 一 ， （
０ 引言
结 核病 是严 重危 害 人 民群众 健 康 的呼 吸道传 染 病 ， 被 列入 我 国法定 重 大传 染病 ． 结 核病是 可 防可 控 的传
染病 ， 加强健康宣教 ， 普及防治知识 ， 对于提升全民防治意识 ， 形成全社会共同参与 防治工作 的局面 ， 从而有 效 预 防控制 结 核病 传播 流行 将起 到 非常 重要 的作 用 ．
关键词 ： 垂直传染 ； 多类易感者 ； 全局吸引 ； 持续性 中图分 类号 ： ０１ ７ ５ ． ２ 文献标志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ６ ７ １ — ６ ８ ４ １ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １— ０ ０ ５ ９－ ０ ５
Ｄ ＯＩ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ １ — ６ ８ ４ １ ． ２ ０ １ ５ ． Ｏ １ ． ０ １ ３
∑Ｊ ｓ （ ｔ ） ＋ Ｅ （ ｔ ）＋ ， （ ｔ ） ＋ Ｒ （ ｔ ）：１ ．
２ ）疾 病 进行 水平 与垂 直 传播 ， 表示 疾病 的传染 率 ， 本 模 型 中考 虑线 性 发生 率 Ｓ （ ｔ ） Ｉ （ ｔ ） ， ８ （ ０＜ ＜
１ ） 是被垂直传染的染病者类新生儿比例， ｑ ｉ （ ０＜ｑ ＜１ ， ∑ｑ ＝１ ） 是转到易感者类Ｓ ｉ （ ） 的新生儿的比 例
Ｅ＝ ｌ
（ ｉ＝１ ， ２ ， …， ｍ） ．
３ ） 表 示 出生 率 ， 也 表示 自然死 亡率 ， 第ｉ 类 易感 者染 病后 康 复时 间周 期 丁 ， ｉ＝ １ ， ２ ， …， ｍ， 接 种周 期 为
，
每一 次 的接 种率 为 Ｐ （ ０ ＜Ｐ ＜ １ ） ， 接种 对象 为未 染病 的新 生 儿．
杨金根 ， 李 学志
（ 信 阳师 范学 院 数 学 与信息 科学 学 院 河南 信 阳 ４ ６ ４ ０ ０ ０ ）
摘要 ：建立了一类具有垂直 传染和多类易感者 的流行病 脉冲微分 系统 ， 证 明 了系统无病周期 解 的存 在性和全 局吸 引性 ， 并 进一步给 出了系统持 续生存的条件 ．
ｉ ＝１ ｉ ＝１
（ ｆ ） ＝∑ｅ ｓ ｉ （ ｔ — 下 ） 一 ） 一 Ｉ ． ｅ Ｒ （ ｔ ）
垂直传播以及预防接种策略．
１ 模 型
在本 文 中 的流行 病 的传播 基 于下 面 的假设 ． １ ）人群 被划 分 为 ３类 ， 他 们分 别是 易 感者 类 ｓ （ ｔ ） ， 染 病者 类 ， （ ￡ ）和康 复者 类 Ｒ（ ｔ ） ， 其 中易感 者类 ｓ （ ｔ ）
又 被 分成 １ ７ １ ， 类， 记为 ． ｓ （ ｔ ） ， ｉ＝ ｌ ， ２ ， …， ｍ， 总人 Ｅ ｌ 为 常数 １ ， 即
… ，
２ ０ １ ３一Ｑ ｎ一 ０ ５ ８ ．
作者简 介： 杨 金根 （ １ ９ ７ ９一） ， 男， 河南南 阳人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要从事生物数学研究 Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ： ｙ ａ ｎ ￣ ｇ １ ２ ２ １ ＠１ ６ ３ ． ｃ ０ ｍ．
，
郑 州 大 学 学 报 （理 学 版 ） 假定所 有参 数都 是正 常数 ， 疾病 发 展过程 的模 型 可描述 为 ：
收稿 Ｅ ｌ 期： ２ ０ １ ４－ ０ ８— ２ ８
青 年 苎 基 金 拿 曼 资 助 项目 ： 璺 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 ， 编 号１ １ ３ ０ １ ４ ５ ３ ； 河 南 省自 然 科 学 基 金 资 助 项且 ， 编 号１ ３ ２ ３ ０ ０ ４ １ ０ ３ ２ ９ ， １ １ ２ ３ ０ ０ ４ １ ０ ２ ４ ４ ； 信 阳 师 范 学 院
传 统 的结 核模 型一 般 只讨论 疾 病 的水 平 传播 ， 如呼吸、 血液等． 实 际上 ， 肺结 核 可 以垂 直传 播 ， 即母 婴传 播， 如果 母 体有 结 核分 枝杆 菌 ， 很 可 能通 过 子宫 或分 娩时传 染 给孩 子 ． 随着 人们 对传 染病 模 型研究 的深 入 ， 许
第４ ７卷 第 １ 期
２ ０ １ ５年 ３月
郑 州 大 学 学 报（ 理 学 版）
Ｊ ． Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ． （ Ｎ ａ ｔ ． Ｓ ｃ ｉ ． Ｅ ｄ ． ）
Ｖｏ １ ． ４ ７ Ｎｏ ．１ Ｍａ ｔ ． ２０１ ５
一
类 带 垂 直 传 染 和 多类 易 感 者 的 Ｔ Ｂ模 型 分 析
多人开始研究带垂直传染的模型 ， 并取得一定的成果 【 １ Ｉ ２ ］ ． 脉冲接种是控制传染病 的一个有效方法 ， 在每个
接 种 时刻 ， 用很 短 的时 间 给种群 提供 疫 苗 ， 使 一部 分 易感 者 获得 了免疫 力 ， 所 以在传 染 病 模 型 中考 虑 预 防 接 种 因 素是必 要 的 ， 具 有 脉 冲接种 的传 染病 模 型 已有一 些相 关研 究 ｌ ３ Ｉ ４ ］ ． 传 统 的流行 病模 型往 往 只将 易感 者 看 成 一类 ， 并 假设 所 有 的易感 者都 具 有相 同 的感染 率 ［ ５ － ６ ］ ， 这种 假设 是 不合 理 的． 本 文将 建 立一 类肺 结核 模 型 ， 在模型中， 本文 将 易感 人群 按 不 同 的感 染 率分 成 若 干 类 ， 并 考虑 了疾 病 的