函数定义域 教案
函数的定义域学案
1.2.2 函数的定义域及区间表示【学习目标】１.能举例说明区间的几种形式的意义，能准确运用区间或集合表述什么是函数的定义域；2.会求分式型、根式型函数的定义域；３.逐步树立解决函数问题时定义域优先的意识．【学习重点】 区间的概念， 求分式型、根式型函数的定义域．【难点提示】求较为复杂的混合型、复合型的函数的定义域【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1718P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等，都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备前面我们已经学习了函数概念，我们知道，函数的定义域是什么概念中的一个十分重要的因素（链接1），本节课让我们一起来研究函数的定义域问题．为此，先回忆以下知识：１.什么是函数的定义域？2.求函数的定义域是求哪个变量的取值范围？3.根据初中所学我们知道求函数定义域有些什么方法？（链接2）预备演练：解下列不等式（组）3442(2)63(1)2(21)(1);(2)3143;(4).3143653234x x x x x x x x x x x x -≤+--->+⎧⎧>--≥-⎨⎨-≤-+≥+⎩⎩；(3) 问：你能用几种方式来表示上面不等式（组）的解集？还有其它的方式吗？二、学习探究阅读思考 请同学们阅读教材第16页的内容，思考：1.教材区间定义有几种类型？加上还可拓展出几种形式？“∞”是一个数吗？它表示什么含义？2.请用区间表示预备演练中不等式的解集；3143x x -≥-的解集能写成]2,⎡+∞⎣吗？三、典例赏析例１.求函数f （x ）= 12x +的定义域． 思路启迪：该函数的结构是怎样的？使各项有意义的变量x 的取值范围怎样？使函数式有意义的x 的范围怎样确定？解：●解后反思 （1）本例中定义域可以表示出哪些形式？（2）求函数定义域的本质是什么？入手点在哪里？易错点在哪里？●变式练习 请求以下函数的定义域．（1）y =（2）y = （3）y =解：●反思归纳 如果f （x ）是分式形式时，其定义域的约束条件是什么？如果f （x ）是根式形式时，其定义域的约束条件是什么？如果只给出了解析式f （x ），而没有指明定义域，那么函数的定义域是指什么？； 如果f （x ）是由多个式子的和、差、积、商构成时，其定义域是应满足什么条件？ 例2、已知函数y =R ，求实数m 的取值范围．思路启迪：从函数的结构出发，联想“三个二次”的关系，再思考一下m 是否可以为0． 解：●解后反思 （1）该题的入手点在哪里？易错点又在哪里？（2）解题中体现了怎样的数学思想？●变式练习（1）已知函数y =R ，求实数m 的取值范围．解：（2）已知函数211y ax x =++定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：求函数f （x ）的定义域，即求使函数解析式 的自变量的取值范围；变式练习中的反思归纳都清楚了吗？分类讨论思想在求定义域的作用？2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（链接3）五、学习评价１.函数y x =的定义域为（ ）A ．[]4,1-B ．[)4,0-C ．[]0,1D ．[)(]4,00,1-⋃2.函数y =的定义域为 ； 3.若函数y =R ，则实数a 的取值范围是 ；4.求下列函数的定义域： 3(1)();4x f x x =-(2)()f x =26(3)();32f x x x =-+(4)()1f x x =-(5)1y x =-1(6);222y x =++ 解：5.已知函数()f x ={}24,x x x R ≤≤∈，求m 、n 的值．解：6.已知函数212y x x a =-+的定义域和值域都为[]1,b （b ＞1），求a 、b 的值． 解：◆承前启后 我们学习了函数的概念、定义域的求法，函数还有哪些表示法呢？函数1,0,Rx Q y x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð的表达式有什么特点？你能给它取个名字吗？ 六、学习链接链接1. 函数三大要素的重要地位：定义域是灵魂、对应法则是核心、值域是结果； 链接2. 初中学习函数的定义域的概念是：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域，确定函数定义域的方法是：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
第二章第二节函数的定义域教案
城东蜊市阳光实验学校第二章第二节函数的定义域教案教学目的：1．由函数表达式可以求出定义域．2．会求较简单的复合函数的定义域．3．函数的定义域，会讨论求解其中参数的取值范围．教学重点：求函数的定义域的各种方法。
教学难点：抽象函数的定义域。
教学方法：讲练结合。
学法指导：通过例题，结合练习，掌握方法。
教学过程：一、知识点复习：〔1〕给定函数的解析式，求函数的定义域的根据是根本代数式的意义．如分式的、对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的意义等．〔2〕求给定函数解析式的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助于数轴，并且要注意端点值或者者边界值的取舍．〔3〕求复合函数的定义域①复合函数的定义域是先由y=成立的条件确定u的取值范围，再由u的取值范围来确定u=g(x)中x的范围，即为的定义域．②的定义域。
求的定义域，即求u=g(x)的值域．〔3〕一些函数的定义域①分式函数的分母不等于零；②偶次方根的被开方数不小于零；③指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；④三角函数的定义域。
二、例题选讲：〔一〕根底知识扫描1．函数的定义域是〔〕A．[-2，2]B．{－2，2}C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，2)2．函数的定义域是()A．(－3，＋∞)B．[－2，＋∞)C．(－3，－2)D．(－∞，－2]3．函数的定义域为F，函数的定义域为G，那么()A．F∩G= B.F＝GC.F GD.G F5．函数的定义域是{x∣0≤x≤2}，那么的定义域为()A．[0，2]B．[2，4]C．[-2，0]D．无法确定6．函数的定义域为A，函数的定义域为B，那么以下正确的结论是()A．A∪B=BB．A BC．A=BD．A∩B=B7．函数的定义域为。
〔二〕题型分析：题型一：求详细函数的定义域例1：求以下函数的定义域：(1)(2) (3)分析观察所给函数解析式的构造特征，联想根本初等函数的定义域．布列不等式组，解之即得． 例2：函数)1(+=x f y 的定义域是[－2，3]，那么的定义域是()A.B ．[－1，4]C ．[－5，5]D ．[－3，7]分析：例3：的定义域为[－1，1]，求的定义域．分析深化理解函数的定义域是对自变量x 而言的，绝非其它形式。
高中数学教学备课教案函数的定义域与值域
高中数学教学备课教案函数的定义域与值域高中数学教学备课教案函数的定义域与值域介绍：函数是数学中的重要概念，对于高中数学教学来说，理解函数的定义域与值域是非常关键的。
本教案将围绕函数的定义域与值域展开，旨在帮助学生深入理解函数的特性和应用。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是两个集合之间的对应关系，其中一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。
在数学中，我们常以字母f表示函数，用x表示定义域中的元素。
1.2 定义域的确定定义域是函数中可以取得实际意义的自变量的取值范围。
它由函数的解析式、图像、实际问题和常识共同确定。
1.3 值域的确定值域是函数在定义域上所有可能的取值的集合。
通过函数的解析式、图像以及实际问题，我们可以较为准确地确定函数的值域。
二、定义域的常见类型有理函数是指可以表示为两个多项式的比值的函数。
有理函数的定义域通常由其分母的零点确定。
2.2 幂函数及其定义域幂函数是指以x为底数的指数函数，形如f(x) = x^a。
对于幂函数，定义域为实数集。
2.3 指数函数及其定义域指数函数是以一个正实数为底的指数函数，形如f(x) = a^x。
对于指数函数，定义域为实数集。
2.4 对数函数及其定义域对数函数是指以一个正实数为底的对数函数，形如f(x) = loga(x)。
对于对数函数，定义域为正实数集。
三、值域的常见类型3.1 有界函数及其值域有界函数是指在定义域上，函数的值上下都有限制的函数。
值域是一个有限的区间。
3.2 无界函数及其值域无界函数是指函数在定义域上，函数的值没有上下限的函数。
值域为整个实数集。
单调递增函数是指在定义域上，随着自变量的增大，函数值也随之增大的函数。
值域为一个区间。
3.4 单调递减函数及其值域单调递减函数是指在定义域上，随着自变量的增大，函数值反而减小的函数。
值域为一个区间。
结论：通过本教案，我们对高中数学中函数的定义域和值域有了更深入的理解。
定义域是函数自变量的取值范围，它由函数的解析式、图像、实际问题和常识共同确定。
函数的定义域与值域教案
函数的定义域与值域教学设计课题:函数的定义域和值域学科:数学授课教师: 数理19.4胡家华教材:高中必修1第一章第2节一、教学目标:1、知识目标:了解函数定义域和值域的定义，熟悉掌握简单函数定文域和值域的求法，会求抽象函数的定义域2、能力目标提高学生对函数工定义域、值域及相关问题的解题能力和运算能力，使学生准确而快速地求出函数定义域和值域3、情感目标通过由易到难的知识点层层递进和对各类题解题思路解法的不断运用掌握来提高学生的信心，二、教学重难点:求函数的定义域和值域，求抽象函数的定义域三、教学方法1.通过知识回顾引出新课，用学生熟悉的知识快速将学生的思绪从课间带回到课堂上来，同时也便于同学们更快的接受新知识，理解新概念。
2.通过提问和互动，使学生集中注意力，跟上老师的思路在思考和回答的过程中更好的理解和掌握新知识。
3.通过竞赛式随堂练习题，促进学生积极思考问题在解题的过程中不断巩固新知，并且让学生主动回答问题，加深同学的印象，同时提升学生的自信心。
四、教学过程1.知识回顾函数的概念：设A、B为非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：A B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f（x），x∈A（其中X叫做函数的：自变量y叫做函数的函数值）2．新课引入定义域的概念：使函数有意义的自变量的取值范围，叫做函数的定义域。
值域的概念：函数值的集合，就叫做值域（明确“域”即集合，求函数的定义域值域时要表示成集合的形式）思考：上述函数y=f（x）的定义域是多少？f 那么值域呢？是否为B ？讨论得出，定义域为A ，值域不一定为B例: A B A C通过这个例子得出；f ：A →B ，也可以表示成 ： f ：A →C即：函数：定义域 值域进而得出结论：（同时更好的理解定义域与值域的概率）函数的三要素：定义域、对应关系、值域俩个函数相等即：俩个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致。
函数及定义域、值域求法教案
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。
2函数的定义域和值域(教学案)
(2)偶次根式函数中__________________________________
(3)一次函数、二次函数（多项式函数）的定义域为________________（4）实际应用问题的定义域:就是要使得有意义的自变量的取值集合.
例4.已知函数 ， 分别由下表给出
1
2
3
4
2
3
4
1
1
2
3
4
2
1
4
3
（1）函数的 定义域为___________值域为______________
（2）函数的定义域为 ___________值域为______________
（3）f(f(3))=_____, g(g(2))=_______, =；g((f(2))=_______
自我纠错
本节内容个人掌握情况反思：
(5)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是____________________________集合．
典例探究
例1、下列哪个函数与函数y＝x相同？
(1)y＝()2；(2)y＝；
(3)u＝；(4)y＝．
例2、求函数 的定义域.
例3.用长为40cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S( )表示为矩形一边长x(cm)的函数，并求函数的定义域。
（4）当 时， 当f(g(y)=4时，y=
例5．求下列两个函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1．
思想方法总结
课堂练习
1、若 ，则 =
2、已知一个函数的解析式为 它的值域为{1，4}，求此函数的定义域。
函数的定义域和值域教案
函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。
三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。
（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。
比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。
2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。
（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。
（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。
- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。
3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。
请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。
（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。
学案2函数的定义域与值域2
1(t≥0),
2
2
2
∴y∈
-
,
1 2
.
解法二：∵1-2x≥0,∴x≤ , 1
2
∴定义域为-,1 2.∵函数y=x,y=-
12x 在
-
,
1 2
上均为单调递增,
∴y≤
1 1 2 1 1,∴y∈
2
22
-
,
12.
(3)解法一:当x>0时,y=x+ 4≥2
x
取等号;
x 4 =4,当且仅当x=2时,
∴t∈［0,4］, t∈［0,2］,
从而,当x=1时,ymin=2;
当x=-1或x=3时,ymax=4.
故值域为［2,4］.
(2)∵ y 2x 1 2(x - 3) 7 2 7 , 其中 7 ≠0,
x-3 x-3
x-3
x-3
∴y= 2x 1 的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).
x-3
(3)将函数变形为
1.当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有 意义的自变量的取值集合.
2.当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不 仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面 积必须大于零、人数必须为自然数等）.
3.要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结 构特点的函数用什么样的方法求值域.
求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠 在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种 基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么 样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法 ，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法.
1 2
,
1
D.（0,+∞) +lg(1+x)的定义
高中数学人教版《函数的定义域与值域》教案2023版
高中数学人教版《函数的定义域与值域》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解函数的定义域和值域的概念；2. 掌握求解函数的定义域和值域的方法；3. 运用所学知识解决相关问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：函数的定义域和值域的概念及求解方法；2. 教学难点：应用所学知识解决相关问题。
三、教学过程1. 导入新课通过提问引入函数的定义域和值域的概念，为引出本课的教学内容做铺垫。
2. 概念讲解（1）函数的定义域定义域是指函数中自变量可以取值的范围。
根据函数的定义和实际问题，确定自变量取值范围时需要考虑以下几点：- 函数中是否包含分母为零的情况；- 若函数存在根式，要求根式内的式子必须为非负数。
（2）函数的值域值域是指函数的所有可能取值所组成的集合。
要确定函数的值域，一般需要进行以下步骤：- 分析函数的性质，判断函数是增函数还是减函数；- 确定函数的最大值和最小值。
3. 求解示范通过具体的例题，讲解如何求解函数的定义域和值域。
引导学生理解求解过程，并解释每一步的原因和依据。
4. 深化训练组织学生进行一些练习，注重培养学生独立解决问题的能力。
根据学生的解答情况，及时给予指导和反馈。
5. 拓展应用提供一些拓展应用题，让学生将所学知识应用到实际问题中。
鼓励学生思考、分析和解决问题的能力，培养学生的数学建模能力。
6. 归纳总结通过学生讨论、总结，归纳总结本节课的内容，并梳理相关的思维导图或概念框架，帮助学生将知识点整合，加深记忆。
四、课堂小结本节课主要介绍了函数的定义域和值域的概念，并讲解了求解函数定义域和值域的方法。
通过练习与应用，帮助学生巩固所学知识。
五、作业布置1. 完成课后习题；2. 思考并解答一道与函数的定义域和值域相关的问题。
六、教学反思本节课的教学内容与学生的预期目标相符，通过多种教学方法的运用，调动了学生的学习积极性。
在示范求解步骤和培养学生解决实际问题的能力方面，可能还需要进一步加强。
大学函数教案
一、教学目标1. 理解函数的基本概念，掌握函数的定义域和值域。
2. 掌握函数的图像和性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
3. 学会运用函数解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的基本概念2. 函数的定义域和值域3. 函数的图像和性质4. 函数的应用三、教学过程第一课时一、导入1. 回顾初中阶段学习的函数知识，如一次函数、二次函数等。
2. 提出问题：函数在大学阶段的学习中有什么重要性？二、新课讲授1. 函数的基本概念- 函数的定义：给定一个非空数集A，如果按照某个确定的规则f，对于A中的每一个数x，都有唯一确定的数y与之对应，那么我们就说y是x的函数，记作y=f(x)。
- 函数的定义域和值域：定义域是函数中所有自变量的取值范围，值域是函数中所有因变量的取值范围。
2. 函数的图像和性质- 函数的图像：函数的图像可以直观地展示函数的性质。
- 函数的单调性：函数在定义域内，如果对于任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域内是单调递增的；反之，如果f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域内是单调递减的。
- 函数的奇偶性：如果对于定义域内的任意一个数x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f是偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则称函数f是奇函数。
- 函数的周期性：如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的任意一个数x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f是周期函数。
三、课堂练习1. 给定函数f(x)=2x+3，求其定义域和值域。
2. 分析函数f(x)=x^2的单调性、奇偶性和周期性。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课学习的函数知识，如定义域、值域、图像和性质等。
2. 提出问题：如何运用函数解决实际问题？二、新课讲授1. 函数的应用- 应用一：求解实际问题例如，已知某商品的原价为p元，售价为p-0.1p元，求利润y与售价p的关系。
函数定义域教案
函数定义域教案教案标题：函数定义域教案教案目标：1. 理解函数的定义域的概念；2. 能够确定给定函数的定义域；3. 能够解决与函数定义域相关的问题。
教案步骤：引入：1. 引入函数的概念，解释函数是一种输入和输出之间的关系；2. 引入函数定义域的概念，解释函数定义域是指函数输入的所有可能值的集合。
讲解：1. 解释如何确定函数的定义域：a. 对于简单的函数，如多项式函数、有理函数等，定义域通常是实数集合；b. 对于含有根号、对数、指数等特殊函数的函数，需要根据函数的性质确定定义域；c. 强调在确定定义域时需要注意避免分母为零、负数开偶次根号等不合法的操作。
示例：1. 提供一些简单的函数示例，让学生尝试确定函数的定义域；2. 引导学生通过分析函数的特点和限制条件来确定定义域。
练习：1. 提供一些练习题，要求学生确定给定函数的定义域；2. 强调解题过程中需要注意函数的特殊性，如分母为零、根号内为负数等。
总结：1. 总结函数定义域的概念和确定方法；2. 强调函数定义域在解决问题中的重要性。
拓展：1. 引导学生思考函数定义域与函数图像、函数性质之间的关系；2. 提供更复杂的函数定义域问题，让学生进一步巩固和应用所学知识。
教案评估：1. 针对学生的理解情况，可以设计一些选择题、填空题或解答题作为评估；2. 可以通过课堂讨论、小组合作等方式进行评估。
教案扩展：1. 可以引入函数值域的概念，与定义域进行对比，进一步拓展学生的理解；2. 可以设计一些实际问题，让学生应用函数定义域的概念解决实际问题。
函数的定义域和值域教案模板
函数的定义域和值域教案模板【前导部分】（引入概念，简述重要性）函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念。
函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域内能够取到的所有函数值。
了解一个函数的定义域和值域，有助于我们理解函数的性质和应用，能够更好地解决与函数相关的问题。
【正文部分】一、定义域的概念及判定方法在介绍函数的定义域之前，我们先回顾一下函数的定义。
函数是一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起对应关系的规则。
在函数的定义中，自变量是我们输入的元素，而函数值则是和输入元素对应的输出。
1. 定义域的概念函数的定义域是指在这个函数中，自变量可以取哪些值。
在数学中，我们通常用一组数的集合来表示定义域。
2. 判定定义域的方法a. 对于代数式函数，我们需要注意函数中是否存在某些禁止的运算，例如分母为零的情况，以及根号内是负数的情况；b. 对于分段函数，我们则需要考虑每一段函数的定义域，并求取它们的交集。
二、值域的概念及判定方法1. 值域的概念函数的值域是函数在定义域内可以取到的所有函数值所组成的集合。
换句话说，值域是函数在纵坐标上的投影。
2. 判定值域的方法针对不同类型的函数，我们有不同的方法来判定其值域：a. 对于线性函数，我们可以通过函数的斜率来判断值域的范围；b. 对于二次函数，我们可以观察其开口方向和顶点坐标，从而确定值域的区间；c. 对于三角函数，我们则需要根据其周期性、奇偶性等特点来判定值域；d. 对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和对数的取值范围等条件。
【拓展应用】函数的定义域和值域不仅仅在数学中有重要的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
1. 物理学中的应用在物理学中，我们经常需要建立各种物理量之间的函数关系。
函数的定义域和值域在解决物理问题时能够帮助我们确定物理量的取值范围、判断物理规律的适用范围等。
2. 经济学中的应用在经济学中，函数的定义域和值域能够帮助我们确定经济模型中各个变量的取值范围，理解经济规律的限制条件，以及进行经济政策的制定和分析。
函数定义域,值域,解析式教案
授课目的：认识函数三要素，并且掌握求函数三要素的方法。
具体内容:函数的定义域、值域、解析式一、知识点1、定义域的概念和求法2、值域的概念和求法3、映射、对应法则分段函数：1、定义在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数。
它是一类较特殊的函数。
2、分段函数问题例1、市内电话费是这样规定的：每打一次电话不超过3分钟话费为0.18元，超过3分钟而没有超过6分钟话费为0.36元；依次类推。
每次打电话x(0≤x ≤10 )分钟应付话费y 元，写出此函数的解析式并画出图像。
思路分析:由于是分段计费，因此所付话费y 必须用分段函数来表示。
解：依题意应付话费y 的解析式为 0.18(03)0.36(36)0.54(69)0.72(910)x x y x x ≤⎧⎪≤⎪=⎨≤⎪⎪≤⎩<<<< 期函数图像如右图所示 注：本题所列函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，需要用分段函数来表示。
应注意分段函数尽管在各段上的解析式不同，但分段函数是一个函数，而不是几个函数.例2、设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2008）的值。
解：∵2008＞2000，∴f （2008）=f ［f （2008－18）］=f ［f （1990）］=f (1990+13)=f (2003）= f ［f （2003－18）］=f(1985)=1985+13=1998。
练习、o x10 9 3 6 0.540.18 0.72 0.36 y 图3-2-2 [.3[2[1[∈∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩1、(改编题)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x 的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2,当x -2.5,0)时，则函数的解析式为 - x -2.5,-2）答案: f(x)=- x -2,-1)- x -1,0)2、已知f (x)=⎩⎨⎧<+≥-)6)(2()6(5x x f x x 则f (3)= .. 答案23.设函数1122,0(),0x x f x x x --⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是A.（-1，1）B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D. (,1)(1,)-∞-⋃+∞ 答案：D三、本次课后作业：四、学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差五、教师评定：1、 学生上次作业评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差2、 学生本次上课情况评价：○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差。
人B函数学案2 函数的定义域、值域
【分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围， 可考虑列不等式或不等式组. 【解析】（1） 令
x≥0,
1 7x ≥0,
即
x≥0，
1 x≤ , 7
∴0≤x≤17.
∴函数的定义域为 x { |0≤x≤
1 }. 7
返回
（2）
令
x+1≠0, |x|-x>0,
即
x≠-1， x<0，
∴x<0,且x≠-1.
7.因为x=0,1,2,3,4.
所以f(0)=-3,f(1)=-1,f(2)=5,f(3)=15,f(4)=29.
故f(x)的值域为{-3,-1,5,15,29}.
返回
返回
返回
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x 3 . 2 5 x 0
解得-5≤x≤5且x≠±3.
故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}.
返回
学点二
抽象函数的定义域
（1）已知函数f(x)的定义域是［0,4］，求函数f(x+5)的定 义域； （2）已知函数f(x-2)的定义域是［1,+∞)，求函数 义域.
x f( ) 的定 2
（6）由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实 际意义确定.
（7）定义域一般应该用集合或区间表示.后面我们还 要学到一些基本的初等函数,它们对定义域有特殊的要 求,由它们参与的复合函数的定义域又被赋予新的含义, 如对数函数等.
返回
3.求函数的值域的方法有哪些? 求函数的值域是一个比较复杂的问题,虽然给定了函数 的定义域及其对应法则以后,值域就应该完全确定了,但 求值域特别要注意方法,常用的方法有 (1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的 基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最 低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法. (2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充 分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的 值域的方法求函数的值域,这就是配方法. (3)判别式法.将函数视为关于自变量的二次方程,利用 判别式求函数值的范围,常用于求一些“分式”函数、 无理函数等的值域,使用此法要特别注意自变量的取值 范围.
定义域教案
定义域教案一、教学目标：1. 理解函数的概念和定义域的含义；2. 掌握寻找定义域的方法和技巧；3. 能够正确确定函数的定义域；4. 通过多种练习，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学重点：1. 理解函数的概念和定义域的含义；2. 掌握寻找定义域的方法和技巧。
三、教学难点：1. 理解函数的概念和定义域的含义；2. 能够正确确定函数的定义域。
四、教学过程：Step 1 引入新知识1. 激发学生学习兴趣。
引导学生回顾已学过的函数的相关内容，例如函数的性质和图像等。
2. 提问：你知道什么是函数吗？函数有什么特点？3. 引导学生回忆函数的定义，并解释清楚函数的定义域是什么意思。
Step 2 讲解函数的概念和定义域的含义1. 通过示例讲解函数的概念和定义域的含义。
例如：函数$f(x)=2x+1$，解释函数的定义域为实数集。
2. 引导学生思考：如何确定函数的定义域？给出一些方法和技巧。
Step 3 寻找函数的定义域1. 给出一些函数的表达式，让学生通过思考和分析确定函数的定义域。
2. 解答学生的问题，引导学生掌握寻找函数定义域的方法和技巧。
例如：有理式函数的定义域、根号函数的定义域等。
3. 练习：让学生完成一些函数的定义域的题目，检验学生对寻找函数定义域的掌握程度。
Step 4 巩固与拓展1. 综合练习：设计一些综合性的题目，让学生巩固和拓展所学知识。
2. 对学生的解答进行评价和讲解，指出解题的要点和需要注意的地方。
3. 通过讲解一些典型例题，帮助学生更好地理解函数的概念和定义域的含义。
五、教学总结：通过本节课的学习，学生对函数的概念和定义域有了更深入的认识，掌握了寻找函数定义域的方法和技巧。
通过大量的练习，学生的逻辑思维和分析问题的能力也得到了提高。
下节课将进一步学习函数的值域和函数的图像。
高中数学教案：函数定义域的求法
函数定义域的求法教学目标:能够正确理解函数定义域的意义和重要性；掌握对数式函数和复合式函数的定义域的求法，培养学生的观察能力和分析解决问题的能力。
重点：掌握对数式函数和复合式函数的定义域的全限制及求法。
难点：会求由几个部分数学式子组成的复合式函数的定义域。
教学方法：启发式教学，讲练结合教学过程（一）新课导入复习：具体函数的定义域时常有的几种情况:(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是:(2)若f(x)是分式，则函数的定义域是:(3)如果f(x)是偶次根式，如果f(x)是奇次根式，.(4)如果f(x)为代数式的0次幂 ，(5)如果f(x)是三角函数 y =sinx,y =cosx 定义域均为y =tanx 的定义域为（二）讲解新课：由学生回答他们已学的具体函数定义域的求法引出今天要上的新课另外2种定义域的求法。
类型六：f(x)是对数式 (2)23(1)1(1)()log ()log x x f x f x --==例：(2) 2231(2)(3)()log ()log 3)()log x x x x f x f x f x ---+===变式训练1：1) 2) 22(2)(3)(2)3()log 2()log x x x x x x f x f x --+--+==提高题：1））总结：如果f(x)是对数式则真数大于零，底数大于零且不等于1类型七：f(x)是复合式()242032(1)232(2)(23)x y x x y x -=--=--例：; (3)y=log总结：如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各部分集合的交集）训练题2：01)()382)1)3)f x x y a y =+-=<<=（具体解题过程看视频）1)()(21)21f x x y =-+=+提高题：）近几年高考和模拟卷题练习3：5、（2020年高职）的定义域为（ ） 6、（2021年高职）（ ）2017()f x =2、（年高职）已知函数 ）2018()f x x =3、（年高职）已知函数的定义域为（ ）12019()23f x x x =--4、（年高职）已知函数ln()+的定义域为（ ）(,1]A -∞(0,1]B [0,1]C (0,1)D [)(]1,00,1⋃-A []1,1-B (]1,0C (][)+∞⋃-∞-,11,D (]1,0A ()1,0B [)+∞,1C ()+∞,0D [)+∞-,2A (2,)B -+∞[)-2(1,)C ⋃-+∞，-1(2,1)(1,)D --⋃-+∞()+∞,2A [2,)B +∞(,2][3,)C -∞⋃+∞(2,3)(3,)D ⋃+∞x x x f 21)(-=函数的定义域为函数x x x f ln 1)(-=12016()5f x x =-1、（年高职）已知函数的定义域为7、（2018省第三次联考）（ ）（三）小结:1.函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围(2)求定义域的步骤是：①写出使函数式有意义的不等式（组）；②解不等式组；③写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出）2、具体函数的定义域2种情况:(1)如果f(x)是对数式则真数大于零，底数大于零且不等于1.(2)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（四）作业（成绩好的再多做上面2个提高题）(31)(2)011)()212)()l o g 23)()4)()(1)x x f x x f x x f x f x x +-=--=+-==-+课后预习作业：求抽象函数的定义域 [][)()[()]()(35)[()]()(2+2)()[()][()]0,30(21)(1,3)1f x f g x f x f x f g x f x f x f x f g x f h x f x f x ---2一、已知函数的定义域，求函数的定义域例1： 已知函数的定义域为[-1,5]求函数的定义域．二、已知函数的定义域，求函数的定义域例： 已知函数的定义域为，求函数的定义域．三、已知函数的定义域，求函数的定义域例3： 已知函数的定义域为，求函数的定义域．（五）思想方法 感悟提高函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式（组）：对于实际问题的定义域一定要使实际问题.5/22A x x x ⎧⎫≤≠⎨⎬⎩⎭且335(,)(,)222B -∞⋃53/22C x x x ⎧⎫≤≠⎨⎬⎩⎭且55(0,)(,)22D ⋃+∞的定义域为已知函数84615)(--=x x x f。
《函数定义域》公开课教案
《函数定义域》公开课教案函数定义域公开课教案目标本公开课的目标是让学生们理解并能够正确确定函数的定义域。
通过课程的教学，学生应该能够：1. 理解函数的定义域的概念；2. 熟练应用常见函数的定义域求解方法；3. 掌握使用数学符号和语言来表达函数的定义域。
教学方法本公开课将采用以下教学方法来帮助学生理解函数定义域的概念和求解方法：1. 引入：通过生动有趣的例子引出函数定义域的概念和重要性；引入：通过生动有趣的例子引出函数定义域的概念和重要性；2. 讲解：清晰简明地讲解函数定义域的定义和求解方法；讲解：清晰简明地讲解函数定义域的定义和求解方法；3. 示例：通过多个实际函数的例子，演示如何求解函数的定义域；示例：通过多个实际函数的例子，演示如何求解函数的定义域；4. 练：提供一些练题，让学生巩固和应用所学的知识；练习：提供一些练习题，让学生巩固和应用所学的知识；5. 讨论：引导学生讨论不同类型函数的定义域，促进深入理解；讨论：引导学生讨论不同类型函数的定义域，促进深入理解；6. 总结：总结本节课的重点内容，强调函数定义域的重要性和应用。
总结：总结本节课的重点内容，强调函数定义域的重要性和应用。
教学内容本公开课的教学内容包括以下几个方面：1. 函数和定义域的概念介绍；2. 明确函数的定义域边界和限制条件；3. 常见函数的定义域求解方法，如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等；4. 特殊函数的定义域，如分段函数、反函数等；5. 使用数学符号和语言表达函数的定义域。
教学过程本公开课的教学过程如下：1. 引入（5分钟）：- 通过一个有趣的例子引出函数定义域的概念，并解释其重要性。
2. 讲解（10分钟）：- 清晰简明地讲解函数的定义和定义域的概念，以及如何判断函数的定义域。
- 介绍常见的函数和它们的定义域求解方法。
3. 示例（15分钟）：- 通过多个函数的实际例子，演示如何求解函数的定义域。
4. 练（10分钟）：- 提供一些练题，让学生巩固和应用所学的知识。
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课 题：函数定义域
教学目的：
1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；
2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力；
教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法
教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定
二、讲解新课：
求函数定义域的基本方法
我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.
例1 求下列函数的定义域：
① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=211)(. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式
21-x 无意义， 而2≠x 时，分式2
1-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-3
2时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3
2-≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3
2-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式
x -21 同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥2
1x x ∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②214
3)(2-+--=x x x x f
解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x
∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤-≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131
40210432x x x x x x x 且或
4133≥-≤<-->⇒x x x 或或
∴定义域为：{ x|4133≥-≤<-->x x x 或或}
例3 若函数a ax ax y 1
2+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,∴恒成立，01
2≥+-a ax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001
40
2a a a a a 等价于
例4已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
解：f(3)=3×23-5×3+2=14； f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52；
f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2+a.
例5已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]
解：f [g (x )]=（1+x ）2-1=x +2x
例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域
解：要使函数有意义，必须：
4343454
3434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41
(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.
四、小结 本节课学习了以下内容：求函数定义域的基本方法，
五、课后作业：课本第52页习题。