216班用分组与挡板 1.2.2组合(三)
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合课后训练 新人教A版选修23
1.2.2 组合课后训练一、选择题1．6799C C 的值为( )A ．36B ．45C ．120D ．7202．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种3．从5名男同学、4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数有( )个．A ．140B ．100C ．80D ．704．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种5．(2012山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．4846．(2013山东济宁模拟)某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，若至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有__________种．8．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有__________．三、解答题9．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒子放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？10．六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本；(4)平均分成三堆；(5)平均分给甲、乙、丙三人．参考答案1答案：C 解析：67739910101098C +C C C 120321⨯⨯====⨯⨯． 2答案：B 解析：先从4人中选2人选修甲课程，有24C 种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有24C ×22＝24种方法． 3答案：D 解析：(排除法)333954C C C 70--=，故选D ．4答案：B 解析：将标号为1,2的卡片放入一个信封，有13C ＝3种，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有24C ＝6种，共有1234C C ⋅＝3×6＝18种．5答案：C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有31114444C C C C 256=种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有12113434C C C C 216=种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C ．6答案：A 解析：设男生人数为x ，则女生有(6－x )人．依题意可得336C C x -＝16，即x (x －1)(x －2)＋16×6＝6×5×4，于是x (x －1)(x －2)＝2×3×4，即x ＝4．故该小组中女生有2人．7答案：2 520 解析：从10人中选派4人有410C 种方法，对选出的4人具体安排会议有2142C C 种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有4211042C C C 2 520=种． 8答案：10 解析：依题意，就所剩余的1本进行分类：第1类，剩余的是1本画册，此时满足题意的赠送方法有4种；第2类，剩余的是1本集邮册，此时满足题意的赠送方法有24C ＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．9答案：解：一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256种．答案：为保证“恰有一个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1三组，有24C 种分法；然后再从3个盒子中选一个放2个球，其余2个球两个盒子全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法12124432C C C A 144⋅⋅⋅=种． 答案：“恰有一个盒子放2个球”，即另外的3个盒子放2个球，而且每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此“恰有一个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．答案：先从4个盒子中任意拿走两个有24C 种拿法，问题转化为“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有多少种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中，有3142C C ⋅种放法；第二类：有24C 种放法．因此共有312424C C C 14⋅+=种放法．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有24C ·14＝84种．10答案：解：先在六本书中任取一本，作为一堆，有16C 种取法；再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有25C 种取法；再从余下三本中取三本作为一堆，有33C 种取法，故共有分法123653C C C 60⋅⋅=种． 答案：由(1)知，分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的分法亦为123653C C C 60⋅⋅=种．答案：由(1)知，分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种，但每一种分组方法又有33A 种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有12336533C C C A 360⋅⋅⋅=种． 答案：把六本不同的书分成三堆，每堆两本，与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本的区别在于，后者相当于把六本不同的书平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此，设把六本不同的书平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法就有x ·33A 种．而六本书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法可以理解为：三个人一个一个地来取书，甲从六本不同的书中任取出两本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得两本书后，乙再从余下的四本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取两本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有222642C C C 90⋅⋅=种方法，所以32223642A C C C 90x =⋅⋅=，x ＝15，即平均分成三堆有15种分法．答案：由(4)知平均分给甲、乙、丙三人有90种分法．。
【数学】1.2.2《组合》课件(新人教B版选修2-3)
判断下列问题是组合问题还是排列问题? 判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合 的含有 设集合 ，则集合A的含有 组合问题 3个元素的子集有多少个 个元素的子集有多少个? 个元素的子集有多少个 (2)某铁路线上有 个车站，则这条铁路线上 某铁路线上有5个车站 某铁路线上有 个车站， 共需准备多少种车票? 排列问题 共需准备多少种车票 有多少种不同的火车票价？ 有多少种不同的火车票价？ 组合问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和 名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法? 英语两个学习小组，共有多少种分法 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要组合问题 人聚会， 人聚会 握手相互问候，共需握手多少次? 握手相互问候，共需握手多少次 从 个风景点中选出 个安排游览, (5)从4个风景点中选出 个安排游览 个风景点中选出2个安排游览 组合问题 有多少种不同的方法? 有多少种不同的方法 (6)从4个风景点中选出 个,并确定这 个风景 个风景点中选出2个 并确定这 并确定这2个风景 从 个风景点中选出 点的游览顺序,有多少种不同的方法 点的游览顺序 有多少种不同的方法? 排列问题 有多少种不同的方法
组合
排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb
abc abd acd bcd
abc acb abd adb acd adc bcd bdc
cab cba dab dba dac dca dbc dcb
求P 可分两步考虑： 求 A4可分两步考虑：
3 4
3
第一步， C 4 （ = 4）个；
名同学中选出2名 不同的选法有3种 从3名同学中选出 名，不同的选法有 种： 名同学中选出 甲、乙 乙、丙 丙、甲 所选出的2名同学之间并无顺序关系， 所选出的 名同学之间并无顺序关系，甲、乙和 名同学之间并无顺序关系 甲是同一种选法． 乙、甲是同一种选法．
数学：1.2.2《组合(三)》(人教版选修2-3)
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 共有 ___________ 种分法。 将n个相同的元素分成 n，m为正整数）,每 C9 m份（ 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
m 1 n 1
的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数
为
C 种方法 20
3 6
二、不相邻问题插空法
例2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C （A） 8 种（B） 8 种 （C） C11 种 C9 种 （D）
m n m n m m
我们规定：Cn 0 1.
性质1
C C
m n
n m n
性质2
C
m n1
C C
m n
m1 n
一、平均分组与部分平均分组问题
例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）将6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；
（2）将6本书分给三个人，甲一本，乙两本，丙三本； （3）将6本书分给三个人，一人1本，一人2本，一人3本 （4）将6本书平均分给三个人，每人两本 （5）将6本书平均分成三堆，每堆两本；
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 3 不变，共有 C12 2 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 45 种选派方法； 数必须少于男生，有____ 280 种不同分法. （3）分成三组，每组3人，有_______
1.2.2组合(三)
C 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 m1 n1
练习1. 要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至 少选1人，这10个名额有多少种分配方法?
练习2 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至 少1球的放法有多少种？ 练习3 已知方程x+y+z+w=100，求这个方程的正整数解 的个数。
三、不同元素的分配问题
巩固练习：
将6本不同的书按下列要求分发，求各 有多少种不同的方法： （1）按1，2，3的本数分成3组；60 （2）按1，2，3的本数分发给3个人；360 （3）平均分发给3个人；90 （4）平均分成3组； 15 （5）按1，1，4的本数分成3组；15 （6）按1，1，4的本数分发给3个人.90
特殊组合问题
1．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间
的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数
为 C63 20种方法
变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同 的放法有多少种？
五、多面手问题
例5. 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个 人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人} 先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情 况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C 中有2人；④C中有3人。 第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人，
课时作业3 ：1.2.2组合（二）
组合（二）1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有()A．26种B．84种C．35种D．21种2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A．25种B．35种C．820种D．840种3．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有() A．480 B．240C．120 D．964．从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是()A．C27C25B．4C27C25C．2C27C25D．A27A255．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有() A．120种B．48种C．36种D．18种6．(2013·贵阳调研)平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成________个平行四边形．7．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．8．三名医生，六名护士，每位医生带两名护士，去三个学校为学生体检，有________种分配方案．9．在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？10．从－11，－7,0,1,2,3,4,5八个数中，每次选出三个不重复的数作为直线Ax＋By＋C ＝0中的字母A，B，C的值，问斜率k小于零的不同直线有多少条？能力提高11．(2012·高考浙江卷)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种12．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________(用数字作答)．13．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？参考答案1．【解析】选C.从7名队员中选出3人有C 37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法． 2．【解析】选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．【解析】选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25·A 44＝240.4．【解析】选C.先从7名男队员和5名女队员中各选出2名，有C 27C 25种选法，而每种选法都可对应用2种分组方式，故共有2C 27C 25种不同的组队种数．5．【解析】选C.最后必须播放奥运广告有C 12种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C 13种，故满足题意的不同播放方式有C 12C 13A 33＝36(种)．6．【解析】第一步，从m 条中任选2条C 2m ，第二，从n 条中任选2条C 2n ，由分步乘法计数原理得C 2m ·C 2n .7．【解析】第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C 37种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C 34种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C 37C 34＝140(种)不同的安排方案．8．【解析】先给第一名医生分配护士有C 26种不同的方案，再给第二名医生分配护士有C 24种不同的方案，第三名医生只有C 22种不同的方案，分组后再分配学校又有A 33种方法，因此不同的分配方案共有C 26C 24C 22A 33＝540(种)．9．【解析】(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法，所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一：分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与第(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种，所以共有C312－C310＝100种抽法．10．【解析】(1)从－11，－7中选出两个安排A，B，从0,1,2,3,4,5中选出一个安排C，则有C16A22种方法；(2)从1, 2,3,4,5中选出两个安排A，B，从余下的6个数中选出一个安排C，则有C25A22C16种方法．但在(2)中，当A＝1，B＝2，C＝0和A＝2，B＝4，C＝0时两条直线相同，同理，当A ＝2，B＝1，C＝0和A＝4，B＝2，C＝0时两条直线也相同，所以，一共可以组成C16A22＋C25A22C16－2＝130(条)斜率k小于零的直线．11．【解析】选D.满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60 (种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．12．【解析】由题意得，奇数位上全为奇数或全为偶数．若全为奇数，这样的六位数有A22A22＋C12A22C12A22＝20个．若全为偶数，这样的六位数有A22A22＋C12A22C12A22＝20个．故共有20＋20＝40(个)．13．【解析】法一(直接法)：从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位；有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同三位数C34·23·A33个．综上所述，共有不同的三位数：C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．法二(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．。
学案6：1.2.2 组合（一）
1.2.2组合（一）热点考向考点一组合的有关概念例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题：(1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？一点通要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．题组集训1．求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式log a b的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是________问题；若把两个数相乘得到的积有几种，则是________问题．(用“排列”“组合”填空)2．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？考点二有关组合数的计算与证明例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33；(2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1； (3)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m 8.一点通1．组合数公式C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．2．组合数公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！的主要作用：一是计算m ，n 较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．另外，当m >n 2时，计算C m n 可用性质C m n ＝C n －m n 转化，减少运算量．题组集训3．C 410－C 37·A 33＝________.4．若A 3n ＝12C 2n ，则n ＝________.5．解不等式1C 3n －1C 4n ＜2C 5n.考点三 简单的组合问题例3 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．一点通解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．题组集训6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个．7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？方法小结1．排列与组合的异同：参考答案热点考向考点一组合的有关概念例1 解：(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．题组集训1．【答案】排列 组合【解析】从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式log a b 的底数与真数，交换a ，b 的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如2×3与3×2的积是相等的，没有顺序，故为组合问题．2．解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.考点二 有关组合数的计算与证明例2 (1)解：原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明：m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1. (3)解：∵1C m 5－1C m 6＝m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！， 710C m 7＝7×(7－m )！m ！10×7！， ∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！， ∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60， 即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21.而0≤m ≤5，∴m ＝2.∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.题组集训3．【答案】0【解析】原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. 4．【答案】8【解析】∵A 3n ＝n (n －1)·(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)， ∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)．又n ∈N ＋，且n ≥3，∴n ＝8.5．解：n 的取值范围是{n |n ≥5，n ∈N ＋}．∵1C 3n －1C 4n ＜2C 5n， ∴6n (n －1)(n －2)－24n (n －1)(n －2)(n －3)＜240n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4). 又∵n (n －1)(n －2)＞0.∴原不等式化简得n 2－11n －12＜0，解得－1＜n ＜12.结合n 的取值范围，得n ＝5,6,7,8,9,10,11，∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.考点三 简单的组合问题例3 解：(1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．题组集训6．【答案】10【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的含有3个元素的子集，则共有C 35＝10个． 7．解：(1)从10名教师中选出2名去参加会议的选法数就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名，有C26种选法，从4名女教师中选2名，有C24种选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法C26C24＝90种．。
课时作业18：1.2.2 组合
1.2.2组合A基础达标1．由C x＋110＋C17－x10可得不相同的值的个数是()A．1B．2C．3 D．42．若A3m＝6C4m，则m的值为()A．6 B．7C．8 D．93．7名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有()A．18种B．20种C．15种D．35种4．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A．252种B．112种C．20种D．56种5．空间中有6个点，它们任何3点不共线，任何4点不共面，则过其中2点的异面直线共有()A．15对B．30对C．45对D．60对6．从0，1，2，3，4，5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．8．若C m－1n ∶C m n∶C m＋1n＝3∶4∶5，则n－m＝________．9．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余两人每人1本．B能力提升11．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为()A．208 B．204C．200 D．19612．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．13．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．14．(选做题)已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？参考答案A基础达标1．【答案】B【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤10，0≤17－x ≤10，得7≤x ≤9，又因为x ∈N ，所以x 的取值为7，8，9，C x ＋110＋C 17－x10依次取值为46，20，46，故不同数值有2个．2．【答案】B【解析】由A 3m ＝6×C 4m ，得m ！（m －3）！＝6·m ！4！（m －4）！，即1m －3＝14，解得m ＝7. 3．【答案】B【解析】从6名同学中任取3人按身高依题意排在左边有C 36种排法，剩下3人依次排在右边只有1种排法，故不同排法的种数为C 36＝20. 4．【答案】B【解析】按分配到甲宿舍的人数进行分类，则不同的分配方案共有C 27C 55＋C 37C 44＋C 47C 33＋C 57C 22＝112种． 5．【答案】C【解析】考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为求能构成的三棱锥的个数．由于这6个点可构成C 46个三棱锥，故所求异面直线的对数为3C 46＝45.6．【答案】40【解析】先选取3个不同的数，有C 36种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另2个不同的数放在十位和个位上，有A 22种放法，故共有C 36A 22＝40个三位数．7．【答案】2 520【解析】从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种．8．【答案】35【解析】由题意知：⎩⎨⎧C m －1nC m n ＝34，C m nC m ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27. n －m ＝62－27＝35.9．解：(1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．10．解：(1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有C26C24C22＝90种不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60种不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30种不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人，因此只要将分组方法数再乘以甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90种不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360种不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90种不同的分配方法．B能力提升11．【答案】C【解析】任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C34；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C33；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C33，所以可以构成三角形的组数为：C312－3C34－8C33＝200，故选C.12．【答案】24【解析】分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲，共有C24种不同的选法，第二步给第3位同学选课程，必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，第三步给第4位同学选课程，也必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，故共有N＝C24×2×2＝24种不同的选法．13．解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先取后排，有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．14．解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法A14·(C16·C33)A44＝576种．。
1.2.2组合课件人教新课标
A．14
B．16
C．20 D．48
由间接得C63 - C22 *C14 = 16 ， 故选B.
本小题考查分类计算原理、 分步计数原理、组合等问题
3.甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男
同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同
学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
_____.
D
A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种
解不等式
Cn-4 21
<
Cn-2 21
<∵
Cn4 21
n 21
3 (n
4)
Cn3 21
n3 25 n
·2
1
n2 (n
3
)
C C n2 n1 21 21
=
2
1
(n n1
2
)
Cn21
2
∴原不等式可化为 (n 3)(n 2) 1 23 n ,
(25 n)(24 n) n 1
知识要 点
2 组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取
出m个元素的组合数.用符号 Cmn 表示.
注 ：C是英文 combination(组合)的第一 个字母
上面的问题，是求从3个不同元素中取出
2个元素的组合数，记为C23 ，已经算得
C23
=3=
3* 2 2*1
排列与元素的顺序有关，而组合则与 元素的顺序无关 .
ab与ba是相同的排列还是相同的组 合?为什么?
由于组合与顺序无关， ab与ba是相同的组合.
例题1
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元 素的子集有多少个?
课时作业6 ：1.2.2组合（二）
组合（2）一、选择题：1．若3，则n 的值是（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）142．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）（A ）种（B ） 种（C ） 种（D ） 种3．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有（ ）（A ）12种 （B ）34种 （C ）35种 （D ）340种4．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线（ ）（A ）18条 （B ）19条 （C ）20条 （D ）21条5．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，至少有两件一级品的抽法共有（ ）（A ）60种 （B ）81种 （C ）100种 （D ）126种6．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ）（A ）5种 （B ）6种 （C ）63种 （D ）64种二．填空题：7．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有 种。
8．若100种产品中有两件次品，现在从中取3件，其中至少有一件是次品的抽法种数是 种．9．3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 种．10．圆周上有2n 个等分点（n>1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．11．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有 种．12．7个相同的小球，任意放人四个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法共72345n n n C A ---=3254C C 3254C C 55A 3254A A 3254A A 55A有种．参考答案：1．A 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C7．90 8．9604 9．54010．2n(n－1) 11．70 12．20。
(新课程)高中数学1.2.2 组合教案4 新人教A版选修2-3
高中新课程数学（新课标人教A 版）选修2-3《1.2.2 组合》教案4例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）. 例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C ⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）. (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
《1.2.2 组合》PPT课件(部级优课)
例3 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数；
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个；
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有
几个；
(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个． 解： (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数
960（ 4 种)
答 : 共有9604种抽法.
例2.在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产 品中任意抽出3件.
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）至少有1件是次品的抽法有多少种？
（4）恰好有1件是次品再把抽出3件产品放在展台上，排成一 排进行对比展览，共有多少种不同的排法？
解决组合应用题的方法1含有或不含有某些元素的组合问题2至少至多恰好含有几个元素的组合问题3排列与组合的综合应用问题一研究的基本问题二数学思想分类讨论的思想有六种不同的工作分配给6个人担任每个人只担任其中一种工作甲只能担任其中某两项工作而乙不能担任这两项工作
1.2.2 组合
（第二课时）
一、组合知识再现
加，有
C44C
2 6
种选法，所以共有：
C160
C43C63
C44C62
115
种抽调方法．
例题分析
排列、组合的综合应用题
例3 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数； (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个； (3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有 几个； (4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个．
高中数学 1.2.2组合教案 新人教版选修2-3
§1．2．2组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn A 与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 课时安排：2课时 内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程： 一、复习引入：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法12n N m m m =+++L 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法mn C3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示．3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数mm A ，根据分步计数原理得：mn A ＝mn C mm A ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==L 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例4．求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．证明：∵)!(!!m n m n C mn -=111!(1)!(1)!m nm m n C n mn m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m -∴11+⋅-+=m n mn C mn m C例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）.例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种).(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
课件：1.2.2组合--高二下学期
合作交流（二）：组合数的概念和公式
一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组 合数 Cnm．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Amm ． 根据分步计数原理，得到：
Anm Cnm Amm
合作交流（二）：组合数的概念和公式
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
Hale Waihona Puke n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
m, n N *, m n
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
展示点拨
例1：运用公式计算
1C53 2 C64
例2：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中 以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛 时一个足球队的上场队员是11人。问：
区别: 排列有顺序 组合无顺序
合作交流（一）：组合的概念
（3）两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
排列 １）元素相同； ２）顺序相同.
组合 元素相同
展示点拨 判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1) 从2,3,4,5,6中任取两数相加,有多少个不同的结果? 组合问题
(2) 从2,3,4,5,6中任取两数相除,有多少个不同的结果? 排列问题
最后以一首小诗结束本节课的学习：
排列组合两兄弟， 有无顺序辨清晰； 先选后排有条理， 幸运计数就是你。
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
排列问题
(4)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共有多少种不同的火
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合优化练习新人教A版选修2-3(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合优化练习新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合优化练习新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.2 组合优化练习新人教A 版选修2-3的全部内容。
1。
2。
2 组合［课时作业]［A组基础巩固]1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是（）A．C错误!＋C错误!＋C错误!B．C错误!C错误!C错误!C．A错误!＋A错误!＋A错误!D．C错误!解析：分三类:一年级比赛的场数是C错误!，二年级比赛的场数是C错误!，三年级比赛的场数是C2，3，再由分类加法计数原理可求．答案：A2．已知平面内A,B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A．3 B．4C．12 D．24解析：C错误!＝4。
答案：B3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ）A．12种B．10种C．9种D．8种解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C错误!＝2（种）选派方法；第二步,选派两名学生到甲地，另外两名到乙地,共有C错误!＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12（种）．答案:A4．C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!的值为（）A．C错误!B．C错误!C．C420D．C错误!解析：原式＝（C错误!＋C错误!）＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝(C错误!＋C错误!)＋C错误!＋…＋C17，20＝（C错误!＋C错误!)＋…＋C错误!＝C错误!＝C错误!＝C错误!。
1.2.2组合
人教A版选修2—3 精讲细练1.2.2 组合一、知识精讲二、典例细练【题型一】排列、组合问题的判定例题1：判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从0,1,2,3，…,9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从0,1,2,3，…,9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法？(4)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？【解析】(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别为组合问题．(5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．【点评】区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.变式训练：下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④【解析】：C【题型二】利用组合数公式化简、求值及证明例题2：(1)C 58＋C 98100·C 77；:(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；(3)C 1n n +·C 1n n -.【解析】(1)原式＝C 83＋C 1002×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. (2)原式＝2(C 50＋C 51＋C 52)＝2(C 61＋C 52)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)方法一：原式＝C n ＋1n ·C n 1＝(n ＋1)！n ！·n ＝(n ＋1)·n ！n ！·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .方法二：原式＝(C n n ＋C n n －1)·C n n －1＝(1＋C n 1)·C n 1＝(1＋n )n ＝n 2＋n .例题3：解方程：C x ＋2x －2＋C x ＋2x －3＝110A x ＋33.【解析】原方程可化为C x ＋3x －2＝110A x ＋33，即C x ＋35＝110A x ＋33，∴(x ＋3)！5！(x －2)！＝(x ＋3)！10·x ！，∴1120(x －2)！＝110·x (x －1)·(x －2)！， ∴x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3，经检验：x ＝4是原方程的解例题4：解不等式：C 4m m -＞C 61m m --＋C 61m -.【解析】：原不等式可化为C m 4＞C m －15＋C m －16，即C m 4＞C m 6，∴m ！4！(m －4)！＞m ！6！(m －6)！，∴30＞(m －4)(m －5)， 即m 2－9m －10＜0，∴－1＜m ＜10.又∵m ≥7且m ∈N *，∴m ＝7或8或9.【点评】(1)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明；(2)关于组合数的计算问题，一般先依据组合数的性质进行化简，再用组合数的乘积形式计算；(3)多个组合数的和化简为一个组合数的关键在于掌握组合数性质2两边的上、下标的特征，并注意观察和分析待化简的组合式的特征．变式训练1：若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.【解析】：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20，∴C 1820＝C 220＝190.变式训练2：C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________.【解析】：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165.变式训练3：若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合． 【解析】：∴⎩⎨⎧ C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6，7，8，9}．【题型三】利用树形图求解简单的排列问题例题3：从5个不同元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，共有多少种不同的组合？【解析】：要想列出所有组合，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标出来．如图所示．由此可得所有的组合：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，故共有10种．【点评】对于给出的组合问题,要求写出所有组合,一般是将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合标示出来.这样做直观、明了、清楚,可避免重复和遗漏.【题型四】无约束条件的组合问题例题6：(大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种【解析】：分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C41＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)，故选B.【点评】当题目中的问题能构成组合模型，就可运用组合数公式求出其种数．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．变式训练1：(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种 B．35种C．42种 D．48种【解析】：选A.法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C37＝35种选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，故有30种选法．变式训练2：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？(1)A，B，C三人必须入选；(2)A，B，C三人不能入选；(3)A，B，C三人只有一人入选．【解析】(1)只需再从A，B，C之外的9人中选择2人，所以有方法C92＝36(种)．(2)由于A，B，C三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C95＝126(种)．(3)可分两步：先从A，B，C三人中选出一人，有C31种选法；再从其余的9人中选择4人，有C94种选法．所以共有选法C31C94＝378(种)．变式训练3：某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是()A．C25＋C28＋C23B．C25C28C23C．A25＋A28＋A23D．C216【解析】：选A.分三类：一年级比赛的场数是C25，二年级比赛的场数是C28，三年级比赛的场数是C23，再由分类加法计数原理可求．变式训练4：(高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．【解析】：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P＝26＝13.变式训练5：(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种【解析】：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．【题型五】有约束条件的组合问题例题7：“抗震救灾，众志成城”，在我国甘肃舟曲的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解析】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C42种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C64种选法，所以共有C42·C64＝90种抽调方法.4分(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C42·C64种选法；5分②选3名外科专家，共有C43·C63种选法；6分③选4名外科专家，共有C44·C62种选法；7分根据分类加法计数原理，共有C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185种抽调方法.8分方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C106种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C41·C65种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C106－C41·C65－C66＝185种抽调方法.8分(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；9分②有1名外科专家参加，有C41·C65种选法；③有2名外科专家参加，有C42·C64种选法.11分所以共有C66＋C41·C65＋C42·C64＝115种抽调方法.12分变式训练1：现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．(1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？(2)恰有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少一件是次品的抽法有多少种？【解析】：(1)C 29＝9×82＝36(种)． (2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)．(3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．变式训练2：要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．【解析】：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法．【题型六】经典题型——利用排列解决“几何”问题例题8：如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？【解析】：(1)可分三种情况处理：①C1、C2、…、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形；③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形．∴C36＋C16C24＋C26C14＝116(个)．其中含C1点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C46＋C36C16＋C26C26＝360(个)．变式训练1：如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为()A．40 B．48C．56 D．62【解析】：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C35种取法；第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C34种取法；第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C35＋2C34＋4C12＝56(种)．变式训练2：(湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）【解析】：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==，324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不．．相邻．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不．．相邻．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.。
1.2.2组合
例5：12个相同的球分给3个人，每人至少一个， 而且必须全部分完，有多少种分法？
解：将12个球排成一排，一共有11个空隙，将两个隔板 插入这些空隙中，规定两 隔板分成的左中右三部分球 分别分给3个人，每一种隔法 对应一种分法，于是分法 2 的总数为 C11 = 55 种方法。
小结: 将n个相同的元素分成m份(n，m为正整数), 可以用m-1块隔板, 插入n个元素排成一排的n-1 个空隙中，所有的插法数就是分法数, 这种方法 叫隔板法 (插拔法)
例6：有一群孩子外出旅行，回来时准备包车回家，包 车费20元，他们把每个人的钱凑合起来，其中有23人， 每人有0.5元硬币一枚，另外10人，每人有1元硬币一 枚，问有多不同的凑合方法？
解：把所有人的硬币都凑合起来共有 23×0.5+10×1=21.5元，所以多1.5元, 这样问题可转化 为取多余钱的方法数, 即取3个0.5的硬币或取1个0.5硬 3 1 1 币和1个1元硬币的方法数, 则有 C23 种取法. C23 C10
7.剩余法: 在组合问题中,有多少取法, 就有多少种剩 法, 他们是一一对应的, 因此, 当求取法困难时,可转 化为求剩余的方法.
8. 转化法: 对于某些较复杂的, 或较抽象的排列组合 问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的 问题来求解的方法.
另:无序分组问题,有m组的元素个数相同,必须除以
2.捆绑法: 如果某几个元素必须相邻时, 首先可以把这 几个元先进行排列, 然后把这几个元素捆绑在一起看成 一个元素, 再与其它元素进行排列的方法. 3.插空法: 当某几个元素要求不相邻时, 可以先排没有 条件限制的元素, 再将要求不相邻的元素按要求插入已 排好元素的空隙之中的方法. 4.排除法: 在排列或组合问题中“含”与“不含”的问 题，经常先把所有元素进行排列或组合, 然后再去掉含 有不能含的元素的取法数的方法. (注意问题的对立面)
课时作业30：1.2.2 组合(二)
1.2.2组合(二)基础过关1.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种解析从1，2，3，…9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：(1)取出的4个数都是偶数，取法有C44＝1(种)；(2)取出的4个数中有2个偶数、2个奇数，取法有C24C25＝60(种)；(3)取出的4个数都是奇数，取法有C45＝5(种).根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种).答案D2.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A.60种B.20种C.10种D.8种解析四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C35＝10(种).答案C3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114C.115 D.118解析不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝3C210＝115，故选C.答案C4.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种(用数字作答).解析分两类，有4件次品的抽法为C44C146种；有3件次品的抽法有C34C246种，所以共有C44C146＋C34C246＝4 186(种)不同的抽法.答案 4 1865.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为________(用数字作答).解析分两类，第一类：从甲、乙中选1人的方法有C12种，丙没有入选，从剩余的7人中再选2人有C27种方法；第二类：甲、乙两人都入选，丙不入选，从剩余7人中再选1人有C17种方法，故其选取种数为C12C27＋C22C17＝49.答案496.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解把所选取的运动员的情况分为三类.第一类：甲、乙两人均不参赛，有A44＝24(种)；第二类：甲、乙两人有且只有1人参赛，共有C12C34(A44－A33)＝144(种)；第三类：甲、乙两人都参赛，有C24(A44－2A33＋A22)＝84(种).由分类加法计数原理知，所有的参赛方法共有24＋144＋84＝252(种).7.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？解(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况.第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况.第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有A77种情况.所以符合题意的七位数有C34·C45·A77＝100 800(个).(2)在上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34·C45·A55·A33＝14 400(个).(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34·C45·A33·A44·A22＝5 760(个).(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)中，共有C34·C45·A44·A35＝28 800(个).能力提升8.6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4解析任意两位同学之间交换纪念品共要交换C26＝15(次)，如果都完全交换，由列举法可知每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.答案D9.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点最多可以有()A.36个B.72个C.63个D.126个解析此题可化归为：圆上9个点选4个点可组成的每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C49＝126(个).答案D10.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60(种).答案6011.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C23A44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C25C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1 260.答案 1 26012.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.解(1)C512＝792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36(种)不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126(种)不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C13种选法，再从另外的9人中选4人有C49种选法，共有C13C49＝378(种)不同的选法.(5)方法一(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C13C49种；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有C23C39种；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C33C29种.共有C13C49＋C23C39＋C33C29＝666(种)不同的选法.方法二(间接法)12人中任意选5人共有C512种，甲、乙、丙三人都不参加的有C59种，所以，共有C512－C59＝666(种)不同的选法.创新突破13.已知一组曲线y＝13ax3＋bx＋1，其中a为2，4，6，8中的任意一个，b为1，3，5，7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条，它们在x＝1处的切线相互平行，这样的曲线共有多少组？解y′＝ax2＋b，曲线在x＝1处切线的斜率k＝a＋b.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x＝1处切线的斜率的可能取值可分为5类完成.第一类：a＋b＝5，则a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可构成两条曲线，有C22组.第二类：a＋b＝7，则a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可构成三条曲线，有C23组.第三类：a＋b＝9，则a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可构成四条曲线，有C24组.第四类：a＋b＝11，则a＝4，b＝7；a＝6，b＝5；a＝8，b＝3.可构成三条曲线，有C23组.第五类：a＋b＝13，则a＝6，b＝7；a＝8，b＝5.可构成两条曲线，有C22组.故共有C22＋C23＋C24＋C23＋C22＝14(组).。
分点突破式学案3：1.2.2 组合(2)
1.2.2组合（2）参考答案例1.解 需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C 812种选法；第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 47种选法．根据分步乘法计数原理，此人有C 812·C 47＝17 325(种)不同的投资方式．例2. 解 (1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所有共有C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700(种)． (2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506(种)．(3)方法一 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，则有2件次品的抽法为C 22C 198种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604(种)．方法二 抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9604(种)．例3. 解：(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是5388876321C C ⨯⨯==⨯⨯.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成： 第一步，从7个白球中任取4个白球，有47C 种取法； 第二步，把1个红球取出，有11C 种取法． 故不同取法的种数是：47C ·11C ＝47C ＝37C ＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是5277C C =＝7621⨯⨯＝21. 课堂检测1.答案：82.解析：若只有1名队长入选，则选法种数为C 12·C 510；若两名队长均入选，则选法种数为C 410，故不同选法有C 12·C 510＋C 410＝714(种)．答案：7143.解析：第一类，字母C 排在左边第一个位置，有A 55种；第二类，字母C 排在左边第二个位置，有A 24A 33种；第三类，字母C 排在左边第三个位置，有A 22A 33＋A 23A 33种，由对称性可知共有2(A 55＋A 24A 33＋A 22A 33＋A 23A 33)＝480种．答案：4804.解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即21010921C ⨯=⨯＝45(种)． (2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有26C 种方法； 第二类，选出的2名是女教师有24C 种方法．根据分类加法原理，共有26C ＋24C ＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有26C 种，从4名女教师中选2名的选法有24C 种， 根据分步乘法计数原理，共有选法26C ×24C ＝6521⨯⨯×4321⨯⨯＝90(种)．。
20-21版：1.2.2 第2课时 组合的综合应用（步步高）
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点一常见的两类组合问题的解法1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．知识点二组合应用题的解法1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答．2．有限制条件的组合应用题的解法常用解法有：直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类．一、有限制条件的组合问题例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．解(1)C513－C511＝825(种)．(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1(1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为() A．85 B．86 C．91 D．90答案 B解析方法一(直接法)由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为C23＋C14C13＋C24＝21或C27＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.方法二(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C49－C45－C44＝120(种)；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C47－C44＝34(种)．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．答案472解析第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有C14C212＝264(种)．第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理，不同的取法种数为264＋208＝472.二、分组、分配问题命题角度1不平均分组例2(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种分法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少不同的分法？解(1)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60(种)方法．(2)在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360(种)方法．命题角度2平均分组例3(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种分法？(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种分法？解(1)先从6本书中选2本给甲，有C26种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C24种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C22种选法，所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有C 26C 24C 22＝90(种)．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有C 26C 24C 22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A 33种方法．根据分步乘法计数原理，可得：C 26C 24C 22＝x A 33，所以x ＝C 26C 24C 22A 33＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法． 命题角度3 分配问题例4 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法？解 可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有C 26C 24C 22＝90(种)方法；②“1,2,3型”，有C 16C 25C 33A 33＝360(种)方法；③“1,1,4型”，有C 46A 33＝90(种)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法．反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n 组均匀，最后必须除以n ！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 跟踪训练2 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中． (1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)恰有两个空盒，有多少种放法？(5)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ 解 (1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法．(2)这是全排列问题，共有A 44＝24(种)放法．(3)方法一 先将4个小球分为三组，有C 24C 12C 11A 22种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A 34种投放方法，故共有C 24C 12C 11A 22·A 34＝144(种)放法． 方法二 先取4个球中的两个“捆”在一起，有C 24种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A 34种投放方法，所以共有C 24A 34＝144(种)放法．(4)先把4个小球分成两组有C 14C 33＋C 24C 22A 22种方法， 再把2组分配给2个盒子，有A 24种分法，故共有⎝⎛⎭⎫C 14C 33＋C 24C 22A 22·A 24＝84(种)不同的方法． (5)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C 14种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C 14·2＝8(种)放法．与几何有关的组合应用题典例 (1)空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内且任意3点不共线，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( ) A ．205 B ．110 C ．204 D ．200 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205.(2)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对 答案 C解析 方法一 (直接法)如图，在上底面中选B 1D 1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A 1C 1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对，所以全部共有48对．方法二 (间接法)正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C 212－12－6＝48(对)．[素养提升] (1)几何组合应用题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．(2)这类题的解答方法与组合应用题的方法基本一样，也就是把图形中的隐含条件视为有限制条件的组合应用题目．计算时可用直接法，也可用间接法．把一个与几何相关的问题转化为组合问题，体现了数学抽象及数学运算的核心素养．1．从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a ，b ，c ，且a <b <c ，则不同的数组有( )A ．35组B ．42组C ．105组D ．210组 答案 A解析 不同的数组有C 37＝35(组)．2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A ．210种B ．420种C ．56种D ．22种 答案 A解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C 24C 27＋C 14C 27＝210(种)．3．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有( )A ．70种B ．140种C ．120种D ．240种 答案 B解析 从7名志愿者中选6人，有C 67种选法，再把6人平均分两组，有C 36C 33A 22种分法．再把这两组分配给周六、周日两天有A 22种分配方法， 故共有C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140(种)不同的方案． 4．将5名大学生分配到3个乡镇去工作，每个乡镇至少1名大学生，则不同的分配方案有________种． 答案 150解析 先把5名大学生分成3组，有C 15C 14C 33A 22＋C 15C 24C 22A 22种分法，再把这3组分配给3个乡镇，有A 33种方案，故共有⎝⎛⎭⎫C 15C 14C 33A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33＝150(种)不同的分配方案． 5．在平面直角坐标系中，有5条与x 轴平行的直线和6条与y 轴平行的直线，这10条直线能组成________个不同的矩形． 答案 150解析从5条横直线中选2条，以及6条竖直线中选2条，这样的4条直线恰好能组成一个矩形，故共可以组成C25·C26＝150(个)不同的矩形．1．知识清单：(1)有限制条件的组合问题．(2)分组分配问题．(3)与几何有关的组合问题．2．方法归纳：分类讨论、间接法．3．常见误区：平均分组与不平均分组分辨不清、理解不透易错．。
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课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人， 若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中 9 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数 为（ C ） 3 2 3 3 2 3 A.(C8 C7 )(C7 C82 ) B.(C8 C7 ) (C7 C82 ) 3 2 3 1 C.C8 C7 C7 C82 D.C83C72C11 4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）D
C 2C C . m1 m1 m (2) C n C n 2C n m m1 m1 m m m1 m1 ( 1 ) (C n C n C)C n1C nC n1 n ) n ( C m1 m m1 m Cn C n1 C n1 C n m m1 C n2 .C n1 .
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
3 3 D.2C52 A3 A5
小结：(一)解决组合应用题时要注意： 1.准确分析事件的发生、发展过程，弄清要解决的问题是否与取 出的元素的顺序有关，把实际问题抽象成组合问题； 2．对较复杂的组合应用题，要能根据事件的发生、发展过程对解 决问题的办法进行恰当地分类或分步，利用分类计数原理和分 步计数原理解决问题； 3．对有特殊要求的问题，可优先满足特殊要求，即： “优限法”：优先考虑被限制的元素和位置；也可考虑“去杂 法”。
3 100
C 99; 100 99 98
2
3 2 1
3 2
161700
( 2)
2C
3 8
C9 C8 .
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
2 C (C C ) C C 56
例2 求证: m m1 m m1 ( 1 ) Cn1 Cn Cn1 Cn1 ;
3 1 5 (5)方法一：C32C9 C3C94 C30C9 756
方法二：C C C 756 1 4 (6)方法一：C C C C C3C9 666 方法二：C C C 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9
小结：(一)解决组合应用题时要注意： 1.准确分析事件的发生、发展过程，弄清要解决的问题是否与取 出的元素的顺序有关，把实际问题抽象成组合问题； 2．对较复杂的组合应用题，要能根据事件的发生、发展过程对解 决问题的办法进行恰当地分类或分步，利用分类计数原理和分 步计数原理解决问题； 3．对有特殊要求的问题，可优先满足特殊要求，即“优限法”： 优先考虑被限制的元素和位置；也可考虑“去杂法”。 小结： （二）、 1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理 组合应用题的基本思想方法； 2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置； 3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决； 4．需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组 合问题，如：将个人分成组，每组一个人，显然只有种分法， C1 1 1 而不是 3 C2 C1 6 种 。一般地，将个不同元素均匀分成组， m m Cmn C(m 1) m Cm n 有 种分法；
A.C A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
3 3 D.2C52 A3 A5
小结：(一)解决组合应用题时要注意： 1.准确分析事件的发生、发展过程，弄清要解决的问题是否与取 出的元素的顺序有关，把实际问题抽象成组合问题； 2．对较复杂的组合应用题，要能根据事件的发生、发展过程对解 决问题的办法进行恰当地分类或分步，利用分类计数原理和分 步计数原理解决问题； 3．对有特殊要求的问题，可优先满足特殊要求，即“优限法”： 优先考虑被限制的元素和位置；也可考虑“去杂法”。
m 1
n! n! m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]! n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n! m!(n m 1)! m!(n 1 m)! (n 1)! m Cn1 . m![( n 1) m]!
我们规定：Cn 1.
0
定理 1:
C C
m n
nm n
有条件的组合问题
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； C1C 4 378 3 9 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
4 6 4
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
3 1 2 3 C5 C3 C4 A3 1080
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生
体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要 派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加，有多少种选法？
C C C C C C C C
1 12 4 8 2 12 3 8 3 12 2 8 4 12
1 8
C C C
5 20 5 8
5 12
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
1 1 2 1 C52 C4C5 C92 C4 1
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人， 若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中 9 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数 为（ C ） 3 2 3 3 2 3 A.(C8 C7 )(C7 C82 ) B.(C8 C7 ) (C7 C82 ) 3 2 3 1 C.C8 C7 C7 C82 D.C83C72C11 4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）D
(2) C
m1 n m1 n m n m1 n 2
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
1 3 C6C52C3 （1）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； 1 2 3 （2）分给甲、乙、丙3人，甲1本，乙2本，丙3本； 6C5 C3 C
1 2 （3）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； 2 2 2
解: (1) C C C C 3150 2 2 C C6 C4 C 18900 (2)
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2
三、混合问题，先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 次测试是次品。故有： 3C 1 A4 576 种可能。 C
3 7
3 8
⑵
C 21
2 7
我们发现：
C
3 8
C C
2 7
3 为什么呢 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
性质2
证明:
C C
m n
cn cn c n 1
m m
m1 n
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: 5 4095 C
29
例7、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任 意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
法共有多少种?
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
C C A
2 2 6 4
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4
(C C ) (C C ) 1 540
四、分类组合,隔板处理法
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
解：（1）从8双鞋中任取两双，有 C 种不同的取 法； （2）4只鞋子没有成双的取法有：从8双鞋中任取4 C84 种取法；再从这4双鞋中每双取1只，有 双，有 1 C2 种取法。 4 1 4 所以4只鞋子没有成双的取法共有 C 8 C 2 1120 种不同的取法。 （3）从8双鞋子中任取3双，有C 种不同的取法； 再从3双种任取2双，每双任取1只，所以4只中只 有1双的取法有 C C C 672 种不同的取法。
A.C A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3