选修2-3 2.2.1条件概率

难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签
的概率。 解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”
4 则 P (1) P ( A) 10 6 4 P (3) P ( AB ) 10 9
4 3 P (2) P ( AB ) 10 9 4 3 2 P (4) P( ABC ) 10 9 8
解
Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) } Ａ={(男, 男) }，
设 Ｂ= “有男孩” ， 则 Ｂ={(男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) } Ａ= “有两个男孩” ，
B1 =“第一个是男孩”
3 于是得 P B 4
P B1 1 2
4.全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人， 女生20人； 来自北京的（以事件B表示）有20人，其中 男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40 人中，有32名男生，8名女生。求
P( A), P( B), P( A B), P( B A), P ( AB ),
80 100 20 100 12 20 12 80 12 100
P BA 1 1 P BA P A P A | B P ( B) 3 4
1 4
B1 ={(男, 男) , (男 , 女) }
P B1 A 1 P A | B1 P( B1 ) 2
P B1 A P A
学习小结:

思考一: 一个袋中装有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放 回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为 A； 事件“第二次抽到黑球”为 B. ⑴分别求事件 A、B、AB 发生的概率； ⑵求 P ( B | A) 练习1. 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少?
我们知道求事件的概率有加法公式： 若事件 A 与 B 互斥，则 P( A B) P( A) P( B) . 那么怎么求 A 与 B 的积事件 AB 呢?
注: 1.事件 A 与 B 至少有一个发生的事件叫做 A 与 B 的和事件,记为 A B (或 A B ); 2.事件 A 与 B 都发生的事件叫做 A 与 B 的积事件, 记为 A B (或 AB ); 3.若 AB 为不可能事件,则说事件 A 与 B 互斥.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.
2.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) 0.7, P( B) 0.56 所求概率为
6 5 （2）P ( AB ) P( A) P( B A) 0.33 10 9 4 6 （3）P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.27 10 9
思考二.一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品 占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的 概率． 解:设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出 的产品是合格品， 则
P(C ), P(C A), P( A B ), P( AC )
40 100 32 80 12 80 32 100
解：∵事件 A 发生的条件下，事件 B 的概 率即Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空 间缩小到只包含A的样本点 n( AB) 2 P( B | A) n( A) 3

5
B
1 3 4,6
A
2
练习5.考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩， 求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩， 求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率. （假定生男生女为等可能）
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)

B
5
0.56
0.7
A
3.甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）
甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到
P ( AB ) 在刚才问题中,我们发现 P ( B | A) . P ( A) 一般化: 定义：一般地,设 A,B 为两个事件,且 P( A) 0 ,称
P ( AB ) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B P ( B | A) P ( A) 发生的条件概率.
注:⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤1 ; A AB B ⑵几何解释: ⑶可加性： 如果 B和C 互斥， 那么 P ( B C ) | A P( B | A) P(C | A)
1.条件概率
P ( AB ) n( AB ) P ( B A) P ( A) n( A)
2.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间 中, 计算 AB发生 的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间 A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) , A 中样本点数 作业: AB 中样本点数 习题 2.2 P( AB) 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.
练习3 .一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放 回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白 球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二第二次取得白球, 则 6 （1） P ( A) 0.6 10
解 P ( A C ) 0.95, P ( A C ) 1 P ( AC ) 0.05,
P(C ) 0.005, P(C ) 0.995,
P ( C A) P (C ) P ( A C ) P ( C ) P ( A C ) P (C ) P ( A C ) 0.087.
P( A | B) 45%
于是 所以
P( B ) 4%
P( B) 1 P( B ) 96%
P( A) P( AB) P( B) P( A | B)
96% 45% 43.2%
练习4:抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率
j 号产品, 则试验的样本空间为 {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1),(2,3),(2,4) ,,(4,1),(4,2),(4,3)},
A {(1, 2),(1, 3),(1,4),(2,1),(2, 3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,4)}, AB {(1,2), (1,3), ( 2,1), ( 2,3), ( 3,1), ( 3,2)}, 由条件概率的公式得 P ( B A) P ( AB ) 6 12 2 . P ( A) 9 12 3
首先看一个抓阄的问题: 三个阄, 其中一个阄内写着“奖”字, 两个阄 内不写字 , 三人依次抓取,问各人抓到“奖”字阄的 概率是否相同?
解:记 Ai 表示:“第一人抓到有奖字” 的事件，i 1, 2, 3
1 1 1 则有 P ( A1 ) ， P ( A2 ) ， P ( A3 ) 3 3 3 三人抓到“奖”字阄的概率是相同的. 思考：(接上题)如果已经知道第一个人没有抓到“奖” 字，那么最后一名同学抓到“奖”字的概率又是多少？ 不妨记所求概率为 P ( B | A) .由古典概型的知识, n( AB ) 1 不难求得概率为 P ( B | A) n( A) 2
2.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的
概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.
,某 1． 根 据 以 往 的 临 床 记 录 种 诊 断 癌 症 的 试 验 具 有 如 下 的 效 果若 以 A 表 示 事 件 试 验 反 应 : " 为 阳 性 ,以 C 表 示 事 件 被 诊 断 者 患 有 癌 症则 " " ", 有 P ( A C ) 0.95, P ( A C ) 0.95.现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查设 被 试 验 的 人 患 有 癌 的 概 率 为 .005, , 症 0 即 P (C ) 0.005, 试 求 P (C A).
A 组第 2 题
选做作业: 根 ,某 1． 据 以 往 的 临 床 记 录 种 诊 断 癌 症 的 试
验 具 有 如 下 的 效 果若 以 A 表 示 事 件 试 验 反 应 : " 为 阳 性 ,以 C 表 示 事 件 被 诊 断 者 患 有 癌 症则 " " ", 有 P ( A C ) 0.95, P ( A C ) 0.95.现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查设 被 试 验 的 人 患 有 癌 的 概 率 为 .005, , 症 0 即 P (C ) 0.005, 试 求 P (C A).
解: 设A={掷出点数之和不小于10},B={第 一颗掷出6点} n( AB ) 3 1 P( A | B) n( B )
6
2
练习2. 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二 等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设 事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二 次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品; 4 号为二等品. 以 ( i , j ) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第