14.1变量与函数.doc
变量与函数教学设计
14.1.1《变量与函数》执笔：林俊伟（民航子弟学校），青青（石化中学）一．容和容解析【教学容】《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元，教参建议本单元容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍变量与函数的概念，第2课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识函数图象（“看图说话”），第4、5课时画函数图象．本设计是第1课时，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用含x的f x表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学容（将来学的待定系数法才式子()是新的教学容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分容提前到第1课时．【学情分析】变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．二．目标和目标解析【知识目标】（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）．如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y 来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义．教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助几何画板形象演示几何图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念． 五、教学过程 导言：1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？理由：2.我们班中同学A 与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？理由：上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．板书课题：两个__量的关系：说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)指明本节课的学习容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简单的问题． （一）概念的引入1.票房收入问题：每电影票的售价为10元.（1）若一场售出150电影票，则该场的票房收入是 元； （2）若一场售出205电影票，则该场的票房收入是 元； （3）若一场售出310电影票，则该场的票房收入是 元；（4）若一场售出x 电影票，则该场的票房收入y 元，则 y .思考：（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y 随 的变化而变化；（2）当售出票数x 取定一个确定的值时，对应的票房收入y 的取值是否唯一确定？ (例如，当x =150时，y 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．1.一个__量 另一个__量体重 饭量脚印 身高2．如图，是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一数学测试中，（1）13号的成绩为______；（2）17号的成绩为______；（3）18号的成绩为______；（4）23号的成绩为______．思考：（1）测试成绩随________的变化而变化；（2）任意确定一个学号x，对应的成绩f的取值是否唯一确定？(例如，当学号x=13时，所得成绩f的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．3.温度变化问题：如图一，是春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，22时的气温是℃；（2）这一天中，最高气温是℃，最低气温是℃；（3）这一天中，在4时~12时，气温（），在12时~14时气温（），在16时~24时，气温（）.A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？(例如，当t=12时，所得温度T的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．设计意图：这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.（二）概念的定义图一1.上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？ 答：票房收入问题中，涉及票价(10元)、售出票数x 、票房收入y ，票数x 的变化会引起票房收入y 的变化，如图所示：类似的，有：在上面的四个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化， (1) 当t=0点时，T=2;当t=2点时，T=0; (2) 当t=12点时，T=8; 当t=12点1分时，T=8; 当t=12点2分时，T=8; … 当t=14点时，T=8; 情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T 的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T “唯一确定”.反之，当T=8时，所得t 的值为12~14点之间的任一时刻（“多对一”），通过温度T ，不能把时间t “唯一确定”.在这个问题中，我们把温度T 称为时间t 的函数．（但时间t 不是温度T 的函数，因为通过温度T ，不能把时间t “唯一确定”.）一般地，在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做 ； （2）不变的量叫做 ；（3）如果有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有 的值与之对应，称x 是 ，y 是x 的 ；（4）如果当a x =时，b y =，b 叫做当a x =时的函数值.说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．学号x 成绩f时间气温售出票数 票房收入问题回顾指出前面三个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数. 1.“票房收入问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____； （2）________是自变量，y 是x 的函数. 2.“成绩问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____； （2）____________是自变量，y 是x 的函数. 3.“气温变化问题”，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____； （2）____________是自变量，y 是x 的函数. 注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化．．．．．．. 设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，例1 一个三角形的底边为5，这一边上的高h 可以任意伸缩，三角形的面积s 也随之发生了变化.解：（1）面积s 随h 变化的关系式=s __ ，其中常量是 ，变量是 ，是自变量， 是 的函数； （2）当=h 3时，面积=s ______； （3）当=h 10时，面积=s ______；（4）当高由1变化到5时，面积从____ _变化到_____.例2 如果用r 表示圆的半径，半径r 的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半径r 的函数吗？ 分析：并有2S r π=，S 是r 的函数； 并有2C r π=，C 是r 的函数； 并有2d r =，d 是r 的函数．说明：此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系，顺便说明字母“π”是常量，但这并不是本节课的核心念．半径圆直径d半径 圆周长C 半径 圆面积 图二（三）概念巩固1. 购买一些签字笔，单价3元，总价为元，签字笔为x 支，根据题意填表：（1）y 随x 变化的关系式=y ， 是自变量， 是 的函数； （2）当购买8支签字笔时，总价为 元. 2.周末，小8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离s （千米）与时间t （时）的关系如图所示.（1）当12=t 时，____=s ；当14=t 时，____=s ；（2）小从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.图三（3）距离是时间t 的函数吗？（4）***时间是距离的函数吗？设计意图：1.例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.2. 练习二2(4)涉及反函数的知识，不少教师认为超纲不应涉及，本人的实践证明，提出这样的问题更有利于学生理解函数的“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要的是让学生养成逆向思维的习惯．当然，不宜在反函数的概念上作过多的拓展．（四）概念辨析1.两个变量x 、y 满足关系式y x =，填表并回答问题：2.下列各图中，表示y 是x 的函数的有_________________（可以多选）.理解函数概念把握两点：①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系.设计意图：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）.3．你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？（五）小结自变量（确定）函数（值_ 确定）设计意图：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质．（六）作业1. 行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.t（时） 1 2 3 4 5 (10)s（千米）（1）行驶路程随的变化而变化，即s随的变化而变化；（2）当行驶时间t取定一个确定的值时，行驶路程s的取值是否唯一确定？(例如，当t=3时，s的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．2．写出下列问题中的函数解析式，并指出其中的自变量、函数：（1）正方形的面积s与边长x关系式；10m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而（2）秀水村的耕地面积是6变化.解：（1）函数解析式：，是自变量，是的函数；（2）函数解析式：，是自变量，是的函数.3. 一年期的存款利率是4%，本金x（元）100 200 500 1000一年到期后所得的利息y（元）（２）本金x元与一年到期后所得的利息y元之间的关系式是___________________；（３）常量是，变量是，其中是自变量，是的函数.4. 小明、爸爸和爷爷同时从家中出发到同一目的地又立即返回.小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行. 三人的步行速度不等，小明与爷爷骑自行车的速度相等. 下面表示各人行走的路程与时间的关系图中，表示小明的是图( ), 表示爷爷的是图( ), 表示爸爸的是图( )... . …5.一辆汽车从甲地开往乙地，开始3小时以50千米/ 时的速度前进，但因为汽车出现故障，进行维修花去了2小时，接着以75千米/ 时的速度前进，经过2小时到达乙地．（1）请用图象表示汽车行驶的路程与时间的关系．t 1 2 3 4 5 6 7s（2）路程S和时间t具有函数关系吗？如果具有函数关系，请指出其中的自变量与函数．图四设计理念：变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃.因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力.同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人.. word. …。
14.1变量与函数练习(第四课时)
14.1变量与函数第四课时（画图）
◆随堂检测
1、由函数解析式画其图像的一般步骤：① ② ③
2、函数的表示方法有 、 、 三种
3、画函数图象时，我们不能描出图象上所有的点，通常我们描出 个点，然后用 连接这些点。
4、解答点（3，5）在函数1522-=x y 的图像上吗?
5、画出函数22+-=x y 的图象，根据图象回答（1）随着x 的由小变大，y 如何变化（2）当x>1时，y 的取值范围
◆课下作业
1、小强家与学校相距1200米，小强从家以每分钟120米的速度向学校走去。
用S 表示小强到学校的距离，t 表示小强用去的时间，（1）请列出S 随t 变化的函数。
（2）写出自变量的取值范围。
（3）画出函数图象
2、用列表法和解析式法表示多边形的内角m （度）与边数n （条）的函数
3、画出下列函数的图象，并结合图象分别说明y 值随x 值的变化情况。
（1）2x y = （2）x y 6=
4、已知函数y=4-2x 。
（1）画出这个函数的图象 （2）写出图象与x 轴的交点坐标 （3）判断点（2.5，-1）是否在函数图象上
5、某工厂现在年产值35万元，计划今后每年增加2万元。
（1）写出年产值y(万元)与年数x 的函数关系 （2）画出函数图象 （3）求计划7年后的年产值。
14.1.1变量与函数导学案
变量与函说说下列是怎样一个变化过程，并找出其中的变量与常学习目标： 1、能找出问题中的变量与常量。
2、会用一个变量表示另一个变量。
3、了解一种对应关系，能在具体问题中说出谁是谁的函数。
（一）常量、变量：（阅读94---95）在一个变化过程中：数值发生变化的量叫做 ；数值不变的量叫 例 一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶里程为 s 千米;行驶时间为 t 小时。
这是一个里程S 随时间t 变化而变化的过程。
变量是: 常量是 ： 1、 如果一辆汽车从甲地驶向相距120千米的乙地，它的速度为v 千米/小时，行驶的时间为t 2、每张电影票的售价为10元，设一场电影售出票 x 张，票房收入为y 3、 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm ， 每1千克重物使弹簧伸长0.5cm ，设重物的质量为m ，受力后弹簧的长度为L 。
练习2：下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y •表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中。
y xo 练习3：在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x 与y 。
•X/分 1 2 3 4 5 6 ... ... x ... Y/个检测1 ：北京某大商场以1分钟售出2套的速度销售奥运会吉祥物玩具，设经过x 分钟，售出y 套奥运会吉祥物玩具：2 2 x 阅读95---97 函数的概念： 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量 ，y 是x 的函数。
我们可以这样理解；一个变化过程中的两个变量x 、y 满足某种对应关系时，y 就是x 的函这种对应关系就是： 对于x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与其对这是我们判断y 是否为x 的函数重要的依据 例如：在问题1中，由s=60t.得知：当t=1时，S 只能是60，当t=2时S 只能是120，. . . . . . 请你结合问题2、下列图象与你同桌谈谈这种对应关系，并说出谁是自变量，谁是谁的函数。
14.1(2)变量与函数(共2课时)
14.1.1(2)变量与函数学习目标：1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；3、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义；在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式；4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。
学习重点：了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。
学习难点：函数概念的理解；函数关系式的确定学习过程：一、自学解决问题问题一：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含t的式子表示s．__s=_________________t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．二、深入探究，得出结论（一）问题探究：问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y ?１．请同学们根据题意填写下表：2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含x的式子表示y．__y=_________________x的取值范围是这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为L cm,怎样用含m的式子表示L？2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含m的式子表示L．__L=_________________m的取值范围是这个问题反映了_________随_________的变化过程．问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢?怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？关系式：________２．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．３．试用含s的式子表示r．__r=_________________s的取值范围是这个问题反映了___ _ 随_ __的变化过程．问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。
14.1变量与函数 (第1课时)变量
第十四章一次函数
14.1变量与函数（ 课时） 14.1变量与函数（第1课时） 变量与函数
问题一: 问题一
汽车以60千米 时的速度匀速行驶 千米， 汽车以 千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米， 千米 时的速度匀速行驶， 小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示 的式子表示s. 行驶时间为 t 小时，先填下面的表，再试用含 的式子表示
1 s = x(10 − 2x) = x(5 − x) 2
（1）S = 60t （2） y = 10x ） ） （3）l =10+0.5x
(4)r =
1 (5)ms = x(10 − 2x) = x(5 − x) 2
s π
发生变化的量为变量 1、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。 始终不变的量为常量 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。 2、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
y = 10x
问题三: 问题三
在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量， 在一根弹簧的下端挂重物，改变并记录重物的质量，观 并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。 察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果 弹簧长原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长 千克重物使弹簧伸长0.5cm,怎 弹簧长原长为 ， 千克重物使弹簧伸长 怎 样用含重物质量m（单位： ） 样用含重物质量 （单位：kg）的式子表示受力后的弹 单位： 簧长度 l (单位：cm)? 单位
6a2 ， 2、如图 正方体的棱长为 表面积 正方体的棱长为a,表面积 、如图2正方体的棱长为 表面积S=
体积V= 体积
14.1变量与函数练习(第三课时)
14.1变量与函数（第三课时）◆随堂检测1、对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的坐标与坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形，就是这个函数的。
2、某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.右图描述了他上学的情景，下列说法中错误．．的是（）A．修车时间为15分钟B．学校离家的距离为2000米C．到达学校时共用时间20分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米3、小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图象能表示小明离家距离与时间关系的是（）4、由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米3)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )．A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3C．干旱开始时，蓄水量为200万米3D．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米35、（贵州黔东南州）如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（）A.乙比甲先到终点A．/B．C．D．(分钟)B.乙测试的速度随时间增加而增大C.比赛过程中（除去起点终点）两人相遇两次D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．◆课下作业1、如图，一个蓄水桶，60分钟可将一满桶水放干．其中，水位h （cm ）随着放水时间t （分）的变化而变化．放水速度恒定，h 与t 的函数的大致图像为（ ）.2、如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t （分）的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正确的有___________（填序号）．ABCD的边上有一动点P沿3、如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）4、星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y （千米）与时间t （分钟）的关系如图7所示．根据图象回答下列问题： （1）小明家离图书馆的距离是____________千米； （2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； （3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时．5、某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题： (1)根据图中信息，请你写出一个结论； (2)问前15位同学接水结束共需要几分钟?(3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．6、小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是多少？●体验中考1、如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x 时，点R 应运动到（ ）A .B .C .D .(分)A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处2．如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。
教案(二)
第14章一次函数14.1变量与函数(1)教学目标①运用丰富的实例,使学生在具体情境中领悟函数概念的意义,了解常量与变量的含义.能分清实例中的常量与变量,了解自变量与函数的意义.②通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,以提高分析问题和解决问题的能力.③引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.教学重点与难点重点：函数概念的形成过程.难点：正确理解函数的概念.教学准备每个小组一副弹簧秤和挂件,一根绳子.教学设计提出问题:1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶.行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.先填写下面的表,再试着用含t的式子表示s：2.已知每张电影票的售价为10元.如果早场售出150张,日场售出205张,晚场售出310张,那么三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售出x张票,票房收人为y元,怎样用含x的式子表示y?3.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?画面积为20cm2的圆呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?注:(1)让学生充分发表意见,然后教师进行点评.(2)挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景,让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.动手实验1.在一根弹簧秤上悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,填入下表：如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?2.用10dm长的绳子围成矩形.试改变矩形的长,观察矩形的面积怎样变化,记录不同的矩形的长的值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设矩形的长为xdm,面积为Sdm2,怎样用含x的式子表示S?注:分组进行实验活动,然后各组选派代表汇报.通过动手实验,学生的学习积极性被充分调动起来,进一步深刻体会了变量间的关系,学会了运用表格形式来表示实验信息.探究新知(一)变量与常量的概念1.在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上,师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程.其中有些量(时间t、里程s、售出票数x、票房收入y等)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称之为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(千米/时)、票价10(元)等,我们称之为常量.2.请具体指出上面这些问题和实验中,哪些量是变量,哪些量是常量.3.举出一些变化的实例,指出其中的变量和常量.注:分组活动.先独立思考,然后组内交流并作记录,最后各组选派代表汇报.培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识,提高观察、分析、概括和抽象等的能力.(二)函数的概念1.在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出：上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有惟一确定的值.2.分组讨论教科书P.7 “观察”中的两个问题.注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.3.一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有惟一确定的值与其对应,那么,我们就说x 是自变量,y 是x 的函数.如果当x=a 时,y=b,那么,b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.例如在问题1中,时间t 是自变量,里程s 是t 的函数.t=1时,其函数值s 为60,t=2时,其函数值s 为120.同样,在心电图中,时间x 是自变量,心脏电流y 是x 的函数；在人口统计表中,年份x 是自变量,人口数y 是x 的函数.当x=1999时,函数值y=12.52.巩固新知下列各题中分别有几个变量?你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗? 1.右图是北京某日温度变化图2.如图,已知菱形ABCD 的对角线AC 长为4,BD 的长在变化,设BD 的长为x,则菱形的面积为y=21×4×x3.国内平信邮资(外埠,100克内)简表：注:巩固变量与函数的概念,让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系,初步了解函数的三种表示方法.总结归纳1.常量与变量的概念；2.函数的定义；3.函数的三种表示方式.注:通过总结归纳,完善学生已有的知识结构. 布置作业1.必做题：教科书P.18 习题11.1第1题.2.选做题：教科书P.18 习题11.1第2题.3.备选题：(1)下图是某电视台向观众描绘的一周之内日平均温度的变化情况：①图象表示的是哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是函数?②这周哪天的日平均温度最低?大约是多少度?哪天的日平均温度最高?大约是多少度?③14、15、16日的日平均温度有什么关系?④点A表示的是哪天的日平均温度?大约是多少度?⑤说说这一周的日平均温度是怎样变化的.(2)如右图所示,梯形上底的长是x,下底的长是15,高是8.①梯形面积y与上底的长x之间的关系式是什么?并指出其中的变量和常量、自变量与函数.②用表格表示当x从10变到20时(每次增加1),y的相应值.③当x每增加1时,y如何变化?说说你的理由.④当x=0时,y等于多少?此时它表示的是什么?(3)研究表明,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：①上表反映的是哪两个变量之间的关系?指出其中的自变量和函数.②当氮肥的施用量为101千克/公顷时,土豆的产量是多少?如果不施氮肥呢?③根据表中的数据,你认为氮肥的施用量为多少比较适宜?说说你的理由.④简单说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.设计思想变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学,是学生数学认识上的一大飞跃.因此,设计本课时应根据学生的认知基础,创设丰富的现实情境,使学生从中感知变量与函数的存在和意义,体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则,引导学生探究新知,引导学生在观察、分析后归纳,然后提出注意问题,帮助学生把握概念的本质特征,并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析、抽象和概括等能力.同时在引导学生探索变量之间的规律,抽象出函数概念的过程中,要注重学生的过程经历和体验,让学生领悟到、现实生活中存在着多姿多采的数学问题,并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神,提高探索、研究和应用的能力,使学生真正成为数学学习的主人.14.1变量与函数(2)教学目标①理解掌握函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式.②经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.③体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣.教学重点与难点理解函数概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.教学准备计算器、CAI课件.教学设计提出问题1.在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?注:让学生自己动手操作,唤起浓郁的好奇心和求知欲.提出问题,引导学生进入新知识的学习,创造一种探索的情景.2.在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果.问：所按的第三、四两个键是哪个两个键?y是x的函数吗?如果是,写出它的表达式(用含x的式子表示y).注:先让学生动手探索,然后讨论y是否是x的函数,最后师生共同归纳,得出结论.探究新知一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.问题1：写出表示y与x的函数关系的式子.问题2：指出自变量x的取值范围.问题3：汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?学生分组讨论、交流、说出各自得到的结论,最后师生共同归纳,得出：(1)y与x的函数关系式是y=50-0.1x.(2)自变量x的取值范围是O≤x≤500.(3)汽车行驶200km时,油箱中还有30L汽油.教师提示：确定自变量的取值范围时,不仅要考虑到函数关系式必须有意义,而且还要注意问题的实际意义.让学生带着问题开展讨论,在师生互动、合作交流的过程中,学生的思维得到自然发展,在不自觉的学习中掌握了重点,化解了难点,还提高了数学语言表达能力.巩固新知下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.2.秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.注:进一步巩固所学的知识.解决问题我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于800元的部分不收税；月收入超过800元但低于1300元的部分征收5％的所得税……如某人月收入1160元,他应缴个人工资、薪金所得税为：(1160-800)×5％=18(元).1.当月收入大于800元而又小于1300元时,写出应缴所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式.2.某人月收入为960元,他应缴所得税多少元?3.如果某人本月缴所得税19.20元,那么这个人本月工资、薪金是多少元?注:设置富有挑战性的问题,激发学生积极思考,既能巩固所学知识,又能增强趣味性,可以更大限度地发挥学生的想象力.要鼓励学生大胆创新,多角度地认识问题,解决问题,体会数学奥妙与价值,增强创造性地学数学、主动性地用数学的意识.总结归纳通过本节课的学习,我们知道函数是一个非常有用的概念,它是研究现实世界的数量关系变化的一个重要模型.许多生活问题中都存在着函数关系.通过本节课的学习,我们掌握了函数的定义,能根据问题中的条件写出简单的函数关系式和自变量的取值范围,并会求出函数值.注:启发学生思考、归纳总结所学知识,让学生更加明确本节课的知识点.布置作业1.必做题：教科书第18～19页习题11.1第3、4题.2.选做题：教科书P.20 习题11.1第8、9题.3.备选题：(1)地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化.在某个地点y与x之间的关系可以近似用关系式y=35x+20来表示.当x的值分别是2,3,5,7,10,13时,计算相应的温度值y.(2)某弹簧的自然长度为3cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y 增加0.5cm.①计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时弹簧的长度,并填入下表：②你能写出x与y之间的关系式吗?(3)某移动公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长,每部手机每月必须缴月租费50元；另外每通话1分钟交费0.40元.①写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系式.②某手机用户这个月通话时间为152分钟,他应缴费多少元?③如果该手机用户本月预交了200元的话费,那么该用户本月可通话多长时间?设计思想函数是研究现实世界的数量关系变化的一个重要模型.本课设计力求体现从具体问题情境中抽象出数学问题,建立数学模型,获得合理解答的学习过程.由于许多现实问题中都存在着函数关系,因此,本课以数学活动为主线设计,通过学生的动手探索,合作交流,既掌握函数的知识,又丰富和发展自己的数学活动经历与体验,同时在学习中培养良好的情感、态度以及主动参与、合作交流的意识,进一步提高观察、分析、概括和抽象等能力.在教学中,教师要发挥主导作用,为学生创造主动建构的机遇与环境,尽可能把所有学生的积极性和主动性调动起来,使学生在与他人的合作交流中获取新知,并使其个性思维得到发展.不仅要使整个教学过程显得生动紧凑,更主要的是在教师与学生之间、学生与学生之间、学生与知识之间形成一个立体化的信息流通网络,进而产生一种正向效应,促使学生在知识、能力、情感和意志品质等各个方面得到全面和谐的发展.14.1变量与函数(3)教学目标①从学生熟悉的情境出发,经历从图中分析变量之间关系的过程,理解函数图象的意义.会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象进行描述表达,初步认识函数与图象的对应关系.②学会观察图象、识别图象及理解图象所表示的含义.了解图象的意义及其与实际轨道之间的关系和区别.③渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活.培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力.教学重点与难点把实际问题转化为函数图象,再根据图象来研究实际问题.教学准备三角尺、CAI课件.教学设计提出问题下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从下图中得到哪些信息?注:挖掘和利用现实生活中与函数图象有关的背景,让学生在观察背景中认识、理解函数的图象.在学生充分发表自己的意见的基础上,师生共同归纳得出：气温丁是时间t的函数.由图象可知：(1)这一天凌晨4时气温最低(-3℃),14时气温最高(8℃)；(2)从0时至4时气温呈下降状态(即温度随时间的增长而下降),从4时到14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态；(3)我们可以从图象中看出,这一天任一时刻的气温大约是多少；(4)如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多的信息,掌握更多的气温变化规律.探究新知1.有些问题中的函数关系很难列式子表示,但是可以用图象来直观地反映.例如,用自动测温仪记录的图象表示气温与时间的关系.即使对于能列式子表示的函数关系,如果画图表示则会使函数关系更为清晰.2.函数的图象问题：写出正方形的边长x与面积S的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.在学生完成这个问题的解答后,师生共同探讨利用在坐标系中画图的方法来表示S与x 的关系.注:领会和掌握函数图象的意义和画法,培养学生的实践探究能力.注重引导学生观察、归纳、概括.教师在讲解教科书P.10 函数S=x2图象的画法后,指出：一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.通过图象,我们可以数形结合地研究函数.巩固新知做一做：教科书P.16 练习第2题“做一做”解决生活中的数学问题,为的是进一步理解函数图象的意义.引导学生主动参与学习过程,从而培养合作交流能力.解决问题下面的图象反映的过程是：小明从家里出发去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.根据图象回答下列问题：1.菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多少时间?2.小明给菜地浇水用了多少时间?3.菜地离玉米地多远?小明从菜地走到玉米地用了多少时间?4.小明给玉米地锄草用了多少时间?5.玉米地离小明家多远?小明从玉米地走回家的平均速度是多少?注:以课本例题中的实际生活问题为素材,使学生感受到数学来源于生活,激发学生学数学的兴趣.师生共同参与合作,完成几个问题的探讨.体现了以学生为主体,教师成为问题解决的组织者、引导者与合作者这一新课程教学理念.总结归纳围绕下面两点,以师生共同交流的方式进行归纳：(1)函数图象会使函数关系更为清晰,怎样画出函数的图象呢?(2)如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题?注:进一步加深对函教图象的理解.布置作业1.必做题：教科书P.19 习题11.1第5题.2.选做题：教科书P.19 习题11.1第7题.3.备选题：(1)柿子熟了,从树上落下来.下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中的速度变化情况?(2)左下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况：①汽车行驶了多长时间?它的最高时速是多少?②汽车在哪些时间段保持匀速行驶?时速分别是多少?③出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况?④用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.(3)右上图表示的是,小明放学回家途中骑车速度与时间的关系.你能想像出他回家路上的情景吗?设计思想本课设计的学生的数学学习内容都是他们熟知的或发生在身边的事实,是现实而有意义并富有挑战性的.这些内容有利于学生联系实际,主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.通过一些现实生活中用图象来反映的问题实例,让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程.选用学生熟悉的实际生活背景,利用“问题串”的形式引导学生逐步获得图象所传达的信息,逐渐熟悉图象语言.通过创设问题情境,以生活中的“温度的变化”向学生提供形成函数思想的充分的活动机会,激发学生的学习积极性,帮助他们在自主探索与合作交流的过程中真正理解函数图象并形成函数思想.另外,本课在设计中还注意了问题的层次性,由浅入深,逐层递进,从基本问题到简单的开放性问题,以“问题串”的形式让不同的学生都能有所收获,有所成功.这也充分体现了新课程教学面向全体学生,让不同的学生在学习上都能得到发展的目的.14.1变量与函数(4)教学目标①学会用描点法画出简单函数的图象,初步了解函数关系式与函数图象之间的关系. ②渗透数形结合思想,让学生学会函数图象的基本画法.③引导学生积极参与实验与探索活动,体验探索的快乐并从中获得成功的体验.通过细心画图,培养严谨细致的学习作风.教学重点与难点重点：了解画函数图象的一般步骤,会画出简单函数的图象.难点：函数关系式与函数图象之间的对应关系.教学准备三角尺.教学设计提出问题在下列式子中,对于x 的每一确定的值,y 有惟一的对应值,即y 是x 的函数.你能画出这些函数的图象吗?1.y=x+0.5 2．y=x6 注:提出问题,激发学生的求知欲,引导学生探索解决问题的方法,自然而然地引入新课.探究新知1.分组讨论这两个函数图象的画法,然后每人自己动手画出这两个函数的图象,先在组内交流各自所画的图象,然后每组选出一个同学所画的图象在班内交流.看看你画出的图象与教科书上图11.1-6、图11.1-7相同吗?注:培养学生主动参与和合作交流的意识,提高观察、分析、概括和抽象的能力.2.师生共同探讨下列问题：(1)观察函数y=x+0.5的图象,可以看出直线从左向右上升,即当x 由小变大时,y=x+0.5随之增大；观察函数y=x6(x>0)的图象,可以看出曲线从左向右下降,即当x 由小变大时, y=x6随之减小. (2) 归纳用描点法画函数图象的一般步骤.描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表；(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)第二步：描点；(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点)第三步：连线.(按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑的曲线连接起来)讨论交流:教科书P.15 “思考”中的两个问题.巩固新知1.画出函数y=2x-1的图象.判断：点A(-2.5,-4)、点B(1,3)、点C(2.5,4)是否在函数y=2x-1的图象上.2.画出函数y=x2的图象.从图象中观察,当x<0时,y 随x 增大而增大呢,还是y 随x 增大而减小?当x>0时呢?注:理解用图象法表示函数关系.巩固函数图象的画法.总结归纳以问题的形式要求学生思考、交流：1.作函数图象的三个步骤分别是什么?2.如何从图象中了解函数的变化情况?注:加深对函数图象画法的印象.布置作业1.必做题：教科书P.19 第6题.2.选做题：教科书P.20 第10题.3.备选题：(1)画出函数y=3x 的图象.(2)在同一直角坐标系中画出函数y=-x 与y=-x+6的图象；观察这两个图象的位置关系如何.(3)在同一直角坐标系中画出函数y=2x+6与y=-x+6的图象；观察这两个图象的位置关系如何.设计思想本课的引入与新知识的讲解融会贯通,一气呵成.通过开放性问题的提出,充分发挥学生的想象力,拓展学生的思维空间,有助于学生灵活地学习知识.函数的图象的画法,一是通过学生作图,在作图过程中建立数与形的有机结合,培养学生数形结合的思想；二是通过观察、操作、交流、归纳等数学活动,在活动中加深学生对图。
一次函数知识点与范例2
第十四章一次函数14.1 变量与函数1、变量与常量的意义在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）。
数值始终不变的量为常量。
友情提醒：在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个。
常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）。
例1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？1、在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度L（单位：cm）？2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式；3、某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.2、函数的概念一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，则我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，则b叫做当自变量的值为a时的函数值。
注意：1、对函数概念的理解，主要应该抓住以下三点：⑴有两个变量；⑵一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；⑶自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应。
2、函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
3、自身先改变的是自变量,随之而变的是函数。
例1、判断下列变量之间是不是函数关系：（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高。
例2、一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，则油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
新人教版八年级上14.1变量与函数(第二课时)同步练习题及答案
14.1变量与函数（第二课时）◆随堂检测1、函数自变量的取值范围既要满足关系式又要满足实际问题2、在判断变量之间的关系是不是函数关系时，应满足两个特征：①必须有个变量，②给定其中一个变量（自变量）的值，另一个变量（因变量）都有与其相对应。
3. 设地面气温是20°C,如果每升高1km,气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(km)的关系是__________________，其中常量是，变量是。
对于每一个确定的h值都有的t 值与其对应；所以自变量，是因变量，是的函数4、购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元),与铅笔数n(个)的函数关系是___________.5、等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的函数关系式是_______________.◆典例分析例题：如图是一天中一段时间内气温c（摄氏度）随时间t（小时）变化而变化的情况，请问；c是t的函数吗？t是c的函数吗？分析：函数不是数函数是关系函数是变量之间的关系函数是两个变量之间的关系函数是两个变量之间一种特殊的对应关系这种特殊的对应关系：一个自变量的值对应唯一的因变量的值也可以这样理解，如果一个自变量的值对应两个或更多的因变量的值，那么这种变量间的对应关系就不称做函数了。
解：①当t是自变量，c是因变量时，一个t的值只对应一个c的值，所以c是t的函数②当c是自变量，t是因变量时，一个c的值可能对应两个c的值，（如c=15时，t=1或5）所以t不是c 的函数◆课下作业●拓展提高1、周长为10 cm 的等腰三角形,腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系为__________________.2、函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是______________；函数11+=x y 中，自变量x 的取值范围是______________3、一弹簧，不挂重物时，长6cm ，挂上重物后，重物每增加1kg ，弹簧就伸长0.25cm ，但所挂重物不能超过10kg ，则弹簧总长y （cm ）与重物质量x （kg ）之间的函数关系式为__________ _。
对教材“14.1变量与函数”的几点建议
ｌ１ 一
中 小学教予
・ 中学 版） （
初中
题．
三 、解 题 ” “ 要规 范
即在第 １ 课时（ 完成 （ ）２ 两个 问题 ） １ （） 只是 让学生
经 历 和感 觉 一 下 画 函数 图象 的方 法 和 分 析 函数 图象 问
在“４ １３函数 的图象 ” 在讲完 函数 的三种表 １．． 中，
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表、 描点 、 连线 等绘 制 出此图象 的具体 过程 ， 给出 函 后
数 图 象 的 定 义 （ ９ 面 一 ｌｏ面 ） 第 ９ ０ ．
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在 小学 “ 识 长 方 形 ” 时候 ， 生 学 习过 ： 方 形 认 的 学 长 中较 长 的边 叫长 方 形 的 长 ． 里 的 表 示 的 是 长 方 形 这
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教 材 “４ １３ 函 数 的 图象 ” 一 节 的 内容 是 这 样 １ ．． 这 安排的 ： （） 出 函数 Ｓ＝ （ １画 ＞０ 的 图 象 ， 学 生 经 历 列 ） 让
示 长 方 形 的一 边 长 ．
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人教版八年级数学上册第14章
第十四章一次函数§14．1 变量与函数课题§14．1．1 变量教学目标（一）教学知识点１．认识变量、常量．２．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．（二）能力训练要求１．经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．２．逐步感知变量间的关系．（三）情感与价值观要求１．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．２．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．教学重点１．认识变量、常量．２．用式子表示变量间关系．教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．•行驶时间为t小时．__________．３．试用含t的式子表示s．通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题．Ⅱ．导入新课我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、•里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．[活动一]活动内容设计：１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y?２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？设计意图：让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量．教师活动：引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．学生活动：在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．活动结论：１．早场电影票房收入：150×10=1500（元）日场电影票房收入：205×10=2050（元）晚场电影票房收入：310×10=3100（元）关系式：y=10x２．挂1kg重物时弹簧长度： 1×0．5+10=10．5（cm）挂2kg重物时弹簧长度：2×0．5+10=11（cm）挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5（cm）关系式：L=0．5m+10[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，•弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．其次通过尝试运算，猜想探究找出变量间的变化规律，并加以验证，才能保证写出准确无误的关系式．[活动二]活动内容设计：１．要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？２．用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．•记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Ｓcm2．怎样用含有x的式子表示Ｓ？设计意图：进一步熟悉巩固前面总结的探究方法，并学会利用以前所学的一些公式来帮助分析解决问题．教师活动：引导学生熟悉巩固前面所总结的探究方法，提醒他们可以应用有关公式来帮助分析解决问题．学生活动：利用上面总结的经验探究规律，并能利用有关公式顺利完成题目要求．活动过程及结论：１．要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=πr2⇒面积为10cm2的圆半径≈1．78（cm）面积为20cm2的圆半径≈2．52（cm）关系式：r２．因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm．若长为1cm，则宽为5-1=4（cm）据矩形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm2）若长为2cm，则宽为5-2=3（cm）面积Ｓ＝2×（5-2）=6（cm2）……若长为xcm，则宽为5-x（cm）面积 S=x·（5-x）=5x-x2（cm2）[师]从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．Ⅲ．随堂练习１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h•变化关系式，并指出其中常量与变量．解：１．买1支铅笔价值 1×0．2=0．2（元）买2支铅笔价值 2×0．2=0．4（元）……买x支铅笔价值 x×0．2=0．2x（元）所以 y=0．2x其中单价0．2元／支是常量，总价y元与支数x是变量．２．根据三角形面积公式可知：当高h为1cm时，面积Ｓ＝×5×1=2．5cm2当高h为2cm时，面积Ｓ＝×5×2=5cm2……当高为hcm，面积Ｓ＝×5×h=2．5hcm2其中底边长为5cm是常量，面积Ｓ与高h是变量．Ⅳ．课时小结本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．１．确定事物变化中的变量与常量．２．尝试运算寻求变量间存在的规律．３．利用学过的有关知识公式确定关系区．Ⅴ．课后作业课后思考题、练习题．课后反思：§14．1．2 函数教学目标（一）教学知识点１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．２．进一步理解掌握确定函数关系式．３．会确定自变量取值范围．（二）能力训练要求１．经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力．２．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．（三）情感与价值观要求１．积极参与活动、提高学习兴趣．２．形成合作交流意识及独立思考的习惯．教学重点１．进一步掌握确定函数关系的方法．２．确定自变量的取值范围．教学难点认识函数、领会函数的意义．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容．Ⅱ．导入新课我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？年份人口数／亿1984 10．341989 11．061994 11．761999 12．52我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]活动内容设计：１．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：x 1 3 -4 0 101y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？２．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：x 1230-1y 3572-1所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．设计意图：通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．教师活动：引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．学生活动：在教师引导下，１．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．２．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．活动结论：１．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．２．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1这两个键，且每个x•的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1[师]通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定的方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．[活动二]活动内容设计：一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．１．写出表示y与x的函数关系式．２．指出自变量x的取值范围．３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？设计意图：通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．教师活动：注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方法．学生活动：通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌握其一般方法．活动过程及结果：１．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶里程x时耗油为：0.1x油箱中剩余油量为：50-0.1x所以函数关系式为：y=50-0.1x２．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x•代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0．1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500３．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x得： y=50-0．1×200=30汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．Ⅲ．随堂练习下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．１．改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．２．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n•的变化而变化．Ⅳ．课时小结本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力．Ⅴ．课后作业习题14．1．1－1、2、3、4题．课后反思：§14．1．3 函数图象教学目标（一）教学知识点１．学会用列表、描点、连线画函数图象．２．学会观察、分析函数图象信息．（二）能力训练要求１．提高识图能力、分析函数图象信息能力．２．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．（三）情感与价值观要求１．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．２．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识．教学重点１．函数图象的画法．２．观察分析图象信息．教学难点分析概括图象中的信息．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．Ⅱ．导入新课我们先来看这样一个问题：正方形的边长x与面积Ｓ的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并填写下表：x 0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5S大家思考一下，表示x与Ｓ的对应关系的点有多少个？•如果全在坐标中指出的话是什么样子？可以讨论一下，然后发表你们的看法，建议大家不妨动手画画看．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．•上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．[活动一]活动内容设计：下图是自动测温仪记录的图象，•它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？如有条件，你可以用带有温度探头的计算机（器），测试、记录温度和绘制表示温度变化的图象．活动设计意图：１．通过图象进一步认识函数意义．２．体会图象的直观性、优越性．３．提高对图象的分析能力、认识水平．４．掌握函数变化规律．学生活动：在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．活动结论：１．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．２．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．３．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14•时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．５．如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律．[活动二]下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．•其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．根据图象回答下列问题：１．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？２．小明给菜地浇水用了多少时间？３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？４．小明给玉米地锄草用了多长时间？５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？学生活动：在教师引导下，积极思考、大胆参与、探求答案．活动结论：１．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，•小明走到菜地用了15分钟．２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，•小明从菜地到玉米地用了12分钟．４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．５．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，•小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0．08（千米／分钟）．[师]我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？例：在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x 的函数．请画出这些函数的图象．１．y=x+0．5 ２．y=6x（x>0）解：１．y=x+0．5从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值．列表如下：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y …-2.5 -1.5 -0.50.5 1.5 2.5 3.5 …根据表中数值描点（x，y），并用光滑曲线连结这些点．从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0．5随之增大．２．y=6x（x>0）自变量的取值为x>0的实数，即正实数．按条件选取自变量值，并计算y值列表：x …0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4 …y …12 6 4 3 2.42 1.71．5…据表中数值描点（x，y）并用光滑曲线连结这些点，就得到图象．从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y＝6x随之减小．[师]我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤，好吗？[生]由以上例题可以知道：第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．Ⅲ．随堂练习P114练习Ⅳ．课时小结本节通过两个活动，学会了分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．Ⅴ．课后作业习题14．1─5、6、7题．课后反思：§14．1．4 函数的表示方法教学目标（一）教学知识点１．总结函数三种表示方法．２．了解三种表示方法的优缺点．３．会根据具体情况选择适当方法．（二）能力训练要求１．经历回顾思考，训练提高归纳总结能力．２．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力．（三）情感与价值观要求１．积极参与活动，提高学习兴趣．２．形成合作交流意识及独立思考习惯．教学重点１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．２．能按具体情况选用适当方法．教学难点函数表示方法的应用．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要研究的内容．Ⅱ．导入新课我们首先思考刚才提出的第一个问题．说出了三种表示方法的优点，那么他们又各有什么不足之处呢？我们就从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．我们来共同看一个例子．例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高解析式，并画出函数图象．２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？分析：记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系．•我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式来，再画出函数图象，进而预测水位．[师]就上面的例子中我提几个问题大家思考：１．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？３．函数的三种表示方法之间是否可以转?Ⅲ．随堂练习甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是：甲车为：20x 乙车为：25x两车行驶路程差为：25x-20x=5x两车之间距离为：500-5x所以：y随x变化的函数关系式为：y=500-5x 0≤x≤100x 50 60 70 80 …y 250 200 150 100 …Ⅳ．课时小结通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化，为下面学习数形结合的函数做好了准备．Ⅴ．课后作业习题14．1─8、9、11、12题．课后反思：§11．2．1 正比例函数教学目标（一）教学知识点１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．（二）能力训练要求１．经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．２．体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题．３．体会解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新意识．（三）情感与价值观要求１．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．２．形成合作交流、独立思考的学习习惯．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．• 一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？[活动一]。
人教版八年级数学十四章变量与函数
活
想一想
动 30 分 时 间 消 耗 的 热 量 W （焦 ）
588 504
420
336
400
P
如图所示的图象表 示骑车时热量消耗W(焦 示骑车时热量消耗 焦) 与身体质量x 千克 千克)之间 与身体质量 (千克 之间 的函数关系: 的函数关系
252
168
84
0Leabharlann 102030
40
50
60
70
身体质量x 千克 千克) 身体质量 (千克
汽车由丽水开往上海， 汽车由丽水开往上海，丽水和上海相距 丽水开往上海 500公里，汽车的平均速度是 公里， 公里/小时 小时； 公里 汽车的平均速度是100 公里 小时； 与上海的距离 （1）求汽车与上海的距离 （公里）与行驶 ）求汽车与上海的距离s（公里） 时间t（小时）的函数关系式? 时间 （小时）的函数关系式
千克时,对应的函数值 求x=50千克时 对应的函数值。 千克时 对应的函数值。
景宁市民用水的水费的价格是1.6元 立方米 立方米,小红 景宁市民用水的水费的价格是 元/立方米 小红 准备收取她所居住大楼各用户这个月的水费.设用水量 准备收取她所居住大楼各用户这个月的水费 设用水量 立方米,应付水费为 应付水费为m元 在这个问题中 关于n的 在这个问题中,m关于 为 n 立方米 应付水费为 元.在这个问题中 关于 的 函数解析式是________.当小明家月用水量 函数解析式是 m=1.6n 当小明家月用水量 n=15时, 时 函数值是_______,这一函数值的实际意义是 这一函数值的实际意义是 函数值是 24 ________________________.当小明家月付水费 用水量为15立方米 应付水费用24元 立方米,应付水费用 用水量为 立方米 应付水费用 元 当小明家月付水费 m=32元时，n= ________。 元时， 。 元时 20
变量与函数教学设计
14.1.1《变量与函数》一．内容和内容解析【教学内容】《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元，教参建议本单元内容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍变量与函数的概念，第2课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识函数图象（“看图说话”），第4、5课时画函数图象．本设计是第1课时，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容．【教材分析】函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用f x表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待含x的式子()定系数法才是新的教学内容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到第1课时．【学情分析】变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．二．目标和目标解析【知识目标】（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．【目标解析】函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三、教学问题诊断分析【学生已有的知识结构】学生已学习了实数的加减、乘除、乘方与开方的运算，学习了列代数式及求代数式的值，会列一次方程(组)及解方程组，知道字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中具有一些朴素的函数实例，依托学生熟悉的生活实例，引导学生认识抽象的函数的概念符合学生的认知规律．【学生学习的困难】学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系．应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念．函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系（单值对应）．如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y 来说，比较容易研究，从而达到研究的目的.这也是一种化繁为简的转化思想．四、教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义．教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助几何画板形象演示几何图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念．五、教学过程导言：1.《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高．你知道其中的道理吗？ 理由：2.我们班中同学A 与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？理由：上述两个问题中都涉及两个量的关系，这一节课我们研究两个量的关系，研究怎样由一个量来确定另一个量．板书课题：两个__量的关系：说明：从学生的生活入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容．空格中将来填上变量的“变”字．现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关系注一类简单的问题．（一）概念的引入1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是 元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是 元；（3）若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是 元；（4）若一场售出x 张电影票，则该场的票房收入y 元，则 y .思考：（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即y 随 的变化而变化；1.一个__量 另一个__量 体重 饭量 脚印 身高（2）当售出票数x 取定一个确定的值时，对应的票房收入y 的取值是否唯一确定？(例如，当x =150时，y 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．2．如图，是某班同学一次数学测试中的成绩登记表：这一数学测试中，（1）13号的成绩为______；（2）17号的成绩为______；（3）18号的成绩为______；（4）23号的成绩为______．思考：（1）测试成绩随________的变化而变化；（2）任意确定一个学号x ，对应的成绩f 的取值是否唯一确定？(例如，当学号x =13时，所得成绩f 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．3.温度变化问题：如图一，是抚顺春季某一天的气温Ｔ随时间t 变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是 ℃，22时的气温是 ℃；（2）这一天中，最高气温是 ℃，最低气温是 ℃；（3）这一天中，在4时~12时，气温（ ），在12时~14时气温（ ），在16时~24时，气温（ ）.A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随 的变化而变化，即T 随 的变化而变化；（2）当时间t 取定一个确定的值时，对应的温度T 的取值是否唯一确定？(例如，当t =12时，所得温度T 的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．设计意图：这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出常图一量、变量、函数等概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.（二）概念的定义1.上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？答：票房收入问题中，涉及票价(10元)、售出票数x、票房收入y，票数x的变化会引起票房收入y的变化，如图所示：售出票数票房收入类似的，有：学号x成绩f时间气温在上面的四个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如电影票的单价10元……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，(1) 当t=0点时，T=2;当t=2点时，T=0;(2) 当t=12点时，T=8;当t=12点1分时，T=8;当t=12点2分时，T=8;…当t=14点时，T=8;情况（1）（2）中，时间取定一个值时，所得T的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T“唯一确定”.反之，当T=8时，所得t的值为12~14点之间的任一时刻（“多对一”），通过温度T，不能把时间t “唯一确定”.在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数．（但时间t不是温度T的函数，因为通过温度T，不能把时间t “唯一确定”.）一般地，在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做；（2）不变的量叫做；（3）如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，称x是，y是x的；（4）如果当a x =时，b y =，b 叫做当a x =时的函数值.说明：如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述四个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．问题回顾指出前面三个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数.1.“票房收入问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____；（2）________是自变量，y 是x 的函数.2.“成绩问题”中，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____；（2）____________是自变量，y 是x 的函数.3.“气温变化问题”，（1)涉及到的量有 ______________，其中的变量是 ________，常量是____；（2）____________是自变量，y 是x 的函数.注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化．．．．．．. 设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，例1 一个三角形的底边为5，这一边上的高h 可以任意伸缩，三角形的面积s 也随之发生了变化.解：（1）面积s 随h 变化的关系式=s __ ，其中常量是 ，变量是 ，是自变量， 是 的函数；（2）当=h 3时，面积=s ______；（3）当=h 10时，面积=s ______；（4）当高由1变化到5时，面积从____ _变化到_____.例2 如果用r 表示圆的半径，半径r 的变化会引起圆中哪些量发生变化？这些变量是半径r 的函数吗？分析：图二并有2S r π=，S 是r 的函数； 并有2C r π=，C 是r 的函数； 并有2d r =，d 是r 的函数．说明：此两例引导学生体会几何问题中两个变量在动态变化过程中的依存关系，顺便说明字母“π”是常量，但这并不是本节课的核心念．（三）概念巩固1. 购买一些签字笔，单价3元，总价为y 元，签字笔为x 支，根据题意填表：（1）y 随x 变化的关系式=y ， 是自变量， 是 的函数；（2）当购买8支签字笔时，总价为 元.2.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离s （千米）与时间t （时）的关系如图所示.（1）当12=t 时，____=s ；当14=t 时，____=s ；（2）小李从______时开始第一次休息，休息时间为____小时，此时离家______千米.图三（3）距离是时间t 的函数吗？（4）***时间是距离的函数吗？设计意图：1.例题和巩固练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析半径 圆直径d 半径圆周长C 半径圆面积法、列表法、图象法.2. 练习二2(4)涉及反函数的知识，不少教师认为超纲不应涉及，本人的实践证明，提出这样的问题更有利于学生理解函数的“单值对应关系”，有利于学生明确“由哪一个量能唯一确定另一个量”，从而更好地理解自变量与函数的关系，更重要的是让学生养成逆向思维的习惯．当然，不宜在反函数的概念上作过多的拓展．（四）概念辨析1.两个变量x、y满足关系式y x，填表并回答问题：x14916yy是x的函数吗？为什么？2.下列各图中，表示y是x的函数的有_________________（可以多选）.理解函数概念把握两点：①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系.设计意图：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）.3．你能举出涉及两个变量的例子吗？它们具有函数关系吗？（五）小结设计意图：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质．自变量（确定）函数（值_ 确定）（六）作业1. 行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.t（时）12345 (10)s（千米）（1）行驶路程随的变化而变化，即s随的变化而变化；（2）当行驶时间t取定一个确定的值时，行驶路程s的取值是否唯一确定？(例如，当t=3时，s的取值是唯一、还是有多个值？)答：________________．2．写出下列问题中的函数解析式，并指出其中的自变量、函数：（1）正方形的面积s与边长x关系式；（2）秀水村的耕地面积是610m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.解：（1）函数解析式：，是自变量，是的函数；（2）函数解析式：，是自变量，是的函数.3. 一年期的存款利率是4%，本金x（元）1002005001000一年到期后所得的利息y（元）（２）本金x元与一年到期后所得的利息y元之间的关系式是___________________；（３）常量是，变量是，其中是自变量，是的函数.4. 小明、爸爸和爷爷同时从家中出发到同一目的地又立即返回.小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行. 三人的步行速度不等，小明与爷爷骑自行车的速度相等. 下面表示各人行走的路程与时间的关系图中，表示小明的是图( ), 表示爷爷的是图( ), 表示爸爸的是图( ).可编辑5.一辆汽车从甲地开往乙地，开始3小时内以50千米/ 时的速度前进，但因为汽车出现故障，进行维修花去了2小时，接着以75千米/ 时的速度前进，经过2小时到达乙地．（1）请用图象表示汽车行驶的路程与时间的关系．t1234567s（2）路程S和时间t具有函数关系吗？如果具有函数关系，请指出其中的自变量与函数．图四设计理念：变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃.因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律.遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力.同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解决问题.还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使学生真正成为数学学习的主人.精品文档。
14.1变量与函数
h （4）
1 k k 1
k≤1且k ≠－1
解:自变量的取值范围是:
1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的 自变量与函数。 （1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
S=x2
6
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕 地面积y随着人数x的变化而变化
10 y x
(3)长方形的周长是18
半径 r
圆周长c
2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
探索研究 s=(n-2) ×1800 3、n边形的内角和S与边数n的关系式______________; 请同学们根据题意填写下表 边数n
3
1800
4
3600
5
5400
6
7200
﹍
内角和s
4、等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表 180 x y 示为 ______________. 2 请同学们根据题意填写下表 300 400 500 600 顶角x ﹍ 底角y 750 700 650 600
× 2 ＋ 5 =
显示y（计算结果）
填表
x y
1 7
3 11
-4 -3
0 5
101 207
显示的数y是x的函数吗？为什么？
收获心得
输入x (自变量)
函数关系可以表述为： 函数关系
输出y (因变量)
y的值是唯一的
问题1：在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍 v 2 ，其 将滑行s米，一般有经验公式 s 中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时） 计算当v分别为60，100时，相应的滑行距离s是多少？
则:y=_____. 10x
函数(常量与变量)
14.1.1 变量与函数学习目标：1. 从具体实例中理解常量与变量；2. 从具体实例中感受函数是用来描述运动变化的模型，从而理解函数的概念。
学习过程：1. 变量与常量的理解【自主学习】（预设时间：3分钟）例1. 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶时间为t 小时，行驶路程为s 千米，试用含t 的式子表示s ，请填写下表。
思考：这个例题涉及了哪些量，它们之间有什么关系？哪些量是不变的，哪些量是变化的？总结：上述例子有 个变化的量，把这种数值变化的量叫 ；数值没有发生变化的量叫 。
【基础检测】（预设时间：2分钟）（1）购买一些铅笔，单价为0.2元/枝，总价w 随着购买数量n 变化而变化，则w = ， 其中常量是： ，变量是： 。
（2）正方形边长为a ，周长为C ，周长随着边长变化而变化，则C = ， 其中常量是： ，变量是： 。
【互助解疑】若有疑问，各小组针对基础检测题目解疑，并展示。
（预设时间：3分钟）2. 函数概念的理解【自主学习】（预设时间：5分钟）根据例1的学习，请完成下图根据上述分析，不翻书，你能完善函数的概念吗？在一个 过程中，如果有两个变量x 与，对于的每一个确定的值，都有 与其对应，那么我们就说x 是自变量， 是 的函数。
如果当x a =时y b =，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值。
【基础检测】根据函数的概念完成以下题目（预设时间：3分钟）（1）对于53-=x y ，当1x =时y = ，当2x =时y = 。
y 是x 的函数吗，为什么？（2）对于x y =2，当4x =时y = ，当9x =时y = 。
y 是x 的函数吗，为什么？【互助解疑】各小组针对基础检测题目解疑，并展示。
（预设时间：4分钟） 时间t 2 4 5 7 10 …… 路程s【小组讨论】（预设时间5分钟）（1）下表是我国人口数统计表，年份与人口数记作两个变量x 与y ，y 是x 的函数吗，为什么？（2）下图是某地某天的气温图像，时间和温度记作两个变量t 与T ，T 是t 的函数吗，为什么？中国人口数统计表总以用 ， ， 来表示。
详解 14 章 一次函数
第十四章 一次函数14.1 变量与函数14.1.1 变量知能新视窗知识结构学点博览学点1 变量和常量在一个变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，我们称它为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量．理解要点：（1）判断一个量是常量还是变量的方法，需看两个方面：①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况．（2）变量与常量必须存在同一个变化过程中，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的．如：圆的半径R 和周长C 的关系式C=2πR 中，其中C 、R 可取不同数值是变量，而圆周率π和2都保持不变，是常量．（3）在某一个变化过程中，变量、常量都可以有多个，常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）． 学点2 变量与常量的关系常量与变量是相对的，变量是随不同的问题而有所不同，在这个式子中是变量，也许在其它式中就是常量，也就是说一个量是否是变量、常量是相对的，要看具体问题而定。
理解要点：（1）相对性：例如，在汽车行驶中有三个量：路程S ，行驶时间t,速度v ，当速度v 一定时，路程S 与时间t 是变量，速度v 是常量；当行驶时间t 一定时，路程S 与速度v 是变量，行驶的时间是常量;当路程S 一定时，速度v 与时间t 是变量，路程S 是常量．（2）常量也可以是常数，如C=2πR 中π是常数．名师开小灶金考点考点1 判断变化过程中的变量和常量常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它的判别应紧扣定义及相应的实际情境．[例1]指出下列各关系式中的常量与变量（1）圆的面积公式S=πr 2（S 是圆的面积，r 是半径）中，变量是 ，常量是 ． （2）求补角的公式y=180°－x 中，变量是 ，常量是 ． （3）△ABC 的底边是a ，底边的高为h ，则△ABC 的面积S=21ah ，若h 为一定长，则此式中，变量是 ，常量是 ．[点拨]根据变量、常量的定义，抓住“变“与”不变”来解答． [解答]（1）S 和r ，π （2）y 和x ，180° （3）S 和a, 21和h[方法规律]根据实际问题情境，判断“量”的变化与否，数值发生变化的量是变量，否则为常量．考点2 常量和变量的相对性常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是不存在的．[例2]（1）设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V=πR2h在这个式子中，常量和变量分别是什么？（2）设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式是V=πR2h中在这个式子中，常量和变量分别又是什么？[点拨]常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程，并非一成不变。
人教版数学八年级上14.1 一次函数
一次函数
怎样用描点法画函数的图像： 函数的表示方法有三种，列表法、图像法，还有解析法，在中 学都是常见而又重要的表示函数的方法，为了更深入的了解一 个函数的性质，通常我们都是利用其图像的特点来进行分析的， 因为通过图像，我们可以直观的获取函数的信息，所以函数的 图像在函数中具有举足轻重的作用． 一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成，图 像上每一个点的坐标（x,y）代表了函数的一对对应值，它的横 坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与这个自变量对应 的函数值． 用描点法画函数的图像，一般分三步：列表、描点、连线，但 在此过程中需要注意以下五点：
6.(12.0) (1)已知2x－3y=6，则y关于x的函数关系式为 ______________，x关于y的函数关系式为______________．
一次函数
(2)一个弹簧不挂物体时长10cm，挂上物体后，每挂1kg物体，弹簧 就伸长1.5cm． ①如果所挂物体的总质量是x(kg)，那么弹簧伸长的长度y(cm)可表示 为______，在这个问题中，自变量是______，函数是______． ②如果所挂物体的总质量为x(kg)，那么弹簧的总长度y(cm)关于x的 函数关系式为___．这其中__是自变量，__是函数． (3)列函数关系式． ①球的体积V表示半径R的函数关系式为___________． ②圆的面积S是圆的周长C的函数关系式为___________． ③已知等腰三角形的周长为18，则腰长a关于底边长b的解析式为 ___________，在这个问题中自变量的取值范围是___________． ④等腰三角形的顶角a (度)与底角b (度)之间的函数关系为 ___________，自变量的取值范围___________． ⑤等腰三角形的底角β(度)与顶角a (度)的关系为__，自变量的取值范 围是__．列函数关系式时，要分清谁是函数及要求的意义．
变量教学
上面的问题反映了不同事物的变化过程，其中有 些量（例如售出票数x，票房收入y；时间t，路程 s……）的值按照某种规律变化，有些量的值始终 不变（例如汽车行驶的速度60千米/时，电影票的单 价10元……）。 书本第95页
八年级 数学
第十四章 函数
14.1 变量与函数
14.1.1 变
量
剖析
S = 60t
巩固练习 一
1．某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元， 则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是 y=4n 。 其中的变量是n和y 。常量是 4 。 2．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与 单价 a（元）的关系式为 50 。其中的变量 a和n ，常量是 50 。 a 是 C 3.圆的周长公式 2 r ，这里的变量是 r和C ，常量 是 2 。 4．下列表格式是王辉从4岁到10岁的体重情况
y = 10x x只能取正整数 .
S=
1 2
x(10-2x)
x＞0 0＜x＜5 10-2x＞0
上面问题中自变量t或x可以取哪些值？
归纳：使函数有意义的自变量取值的全体， 叫做函数自变量的取值范围．
例： 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角 1 形的面积也随之发生了变化. 5h 解：（1）面积s随高h变化的关系式s = 2 ， 5 h 其中常量是 2 ，变量是 h和s ， 是自变 量， s 是 h 的函数； 7.5 （2）当h=3时，面积s=______， 25 （3）当h=10时，面积s=______； （4）当面积s=10时，高h= 4
书本第96页
（1）下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表
思 考
y
示时间，纵坐标y• 示心脏部位的生物电流，它们是两 表 个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的对应值吗？
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书
设
计
14．1变量与函数
一、常量与变量
二、寻求确定变量间关系式的方法三、随堂练习四、课时 Nhomakorabea结课
后
反
思
变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃。因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律。遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力。同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解决问题。还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的能力，使
课
前
预
习
1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 千米，行驶时间为 小时，先填写下表，再试着用含 的式子表示 。
(小时)
1
2
3
4
5
(千米)
2、要画一个面积S为10 的圆，圆的半径 应取多少？圆面积为 呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径 ？
3.用10cm长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值。计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律。设长方形的长为 cm，面积为S ，怎样用含 的式子表示S？
以提高分析问题和解决问题的能力
情感态度与价值观
引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的
喜悦，建立自信心
教材分析
教学重点
正确理解函数的概念
教学难点
函数概念的形成过程
相关准备
教学程序及教学内容
二级备课
过程
教师活动
学生活动
学生真正成为数学学习的主人。
唐坊镇中学教案专用纸
学科数学主备人董艳授课时间11.8
课题
14.1.1变量与函数
课型
新授
第（1）课时
教
学
目
标
知识与技能
运用丰富的实例，使学生在具体情境中领悟函数概念的意义，了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。
过程与方法
通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，
2、校园里栽下一棵小树高1．8米，以后每年长0．3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数,n的取值范围是
3、在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v=，则这个关系式中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数,自变量的取值范围是
(1)写出表示y与x的函数关系的式子，这样的识字叫做函数解析式。
（2）指出自变量x的取植范围。
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油
在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．
培养学生主动参与、合作交流并能用数学的眼光看待世界的意识，提高观察、分析、概括和抽象等的能力。
4、已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为___________．其中变量是_____、_____，常量是________．自变量是，是的函数,x的取值范围是
5、等腰△ABC中，AB=AC，则顶角y与底角x之间的函数关系式为_____________．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数,x的取值范围是
（二）归纳概念：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是_________，y是x的________．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的_________．
二、师生互动、归纳点拨：
例1：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的
授
课
过
程
教师活动
学生活动
二级备课
三、课堂诊断：
1、若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝ Ｒ3．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，是的函数，R的取值范围是
4.如图所示，用火柴棒摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第四个图形需要_________根火柴棒，第五个图形需要_________根火柴棒，第n个图形需要________根火柴棒。
让学生充分发表意见，然后教师点评。
分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报。
挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情景，让学生经历探索具体情景中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验。
2、同一个问题中的变量之间有什么联系？（请同学们自己分析“问题一”中两个变量之间的关系，进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的关系．）
归纳：上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有________确定的值与其对应。
3、其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间有上述这样的关系．我们来看课本96页思考的两个问题，通过观察、思考、讨论后回答
6、汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Ｑ升与行驶时间t小时的关系是_____________．其中变量是_______、_______，常量是________．自变量是，
是的函数,t的取值范围是
巩固变量与函数的概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系
授
课
过
程
教师活动
学生活动
二级备课
一、小组交流、生生互动：
活动一：思考并完成课本94页的问题2—5。
小结：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________；
在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为________；
活动二：问题引申，探索概念
（一）观察探究：
1、在前面研究的每个问题中，都出现了______个变量，它们之间是相互影响，相互制约的．