数形结合策略在初中数学教学中的运用
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过形状和图形的变化来帮助理解和解决问题的思维方式。
它将数学与几何形状相结合，通过对形状的分析和变换，揭示出数学问题的本质。
在初中数学中，数形结合思想广泛应用于代数、几何和概率的相关知识中。
下面将分别介绍这几个领域中数形结合思想的应用。
1. 代数：代数是数学中重要的一个分支，它研究的是数与数之间的关系和运算。
在代数中，数形结合思想主要应用于代数式的理解和方程的解法。
通过将代数式转化为几何图形，可以帮助学生更好地理解代数式的含义和性质。
对于分式的除法运算，可以用一个长方形来表示被除数和除数，通过形状的变化可以帮助学生理解分式除法的原理。
2. 几何：几何学是研究图形、形状和空间关系的数学学科。
在几何学中，数形结合思想的应用非常广泛。
通过将图形进行平移、旋转和缩放等变换，可以帮助学生理解几何运动的性质和规律。
数形结合思想还可以用于解决几何问题。
通过画图来辅助解决面积、周长和体积等计算问题，可以更直观地理解问题的解题思路。
3. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
在概率中，数形结合思想可以用于模拟随机事件的发生和计算概率。
通过掷硬币和掷骰子等实验，可以直观地模拟和计算各种随机事件的概率。
数形结合思想还可以用于解决排列和组合等问题。
通过画图来辅助计算排列和组合的个数，可以更好地理解问题的解题方法。
数形结合思想在初中数学中的应用非常广泛。
它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
通过将数学与几何形状相结合，数学不再枯燥乏味，而变得有趣和实用。
初中数学教学中应充分发挥数形结合思想的作用，培养学生的数学兴趣和创造力。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
专题七 “数形结合”在初中数学中的运用
专题七“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是当4x =-时，OP =最小所以原点到直线210y x =+的距离为【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：222222222()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说，ABC ∆的三边满足勾股定理，即ABC∆是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为：S =．解：由三边的关系：2222222()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ∆是直角三角形． 所以ABC ∆的面积22221()(2)()2m n mn mn m n =⋅-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ，∴30bx c +=． ∴3c x b=-．31b x c=-． ∵直线y bx c =+与抛物线2y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ， ∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的两个不等实根．∴12b x x a +=，12cx x a=-． ∴12121211bx x b a c x x x x c a++===--．∴312111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于2a b+对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点； 函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y 轴的交点（函数在0x =时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例5．已知正实数x，求y =分析整理为即看作是坐标系中一动点( 0)x ，到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解：y =令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(21)B -，，则y 的最小值为'AB例6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ∆≌CBE ∆，从而ABC ∆是等腰直角三角形，于是：45αβ+=︒．图（1）图（2）例7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为A 、B 、C 、P （P 为动点），则表示P 到A 、B 、C 三点之间的距离之和，即y PA PB PC =++．容易看出：当且仅当点P 和点B 重合时，PA PB PC ++最小，所以4y AB BC =+=最小．例8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．【分析】令2()23f x x kx k =++，其图象与x 轴的横坐标就是方程()0f x =的解．由()y f x =的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：(1)0f ->，(3)0f >，()()02bf f k a-=-≤同时成立，由此即可解得10k-<≤或3k ≥．其中，(1)f -表示1x =-时的函数值．解：令2()23f x x kx k =++，由题意及二次函数的图象可知：(1)0(3)0()0f f f k ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩即222(1)2(1)3032330()2()30k k k k k k k k ⎧-+-+>⎪+⋅+>⎨⎪-+-+≤⎩ 解得：10k -<≤或3k ≥．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．例9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明240b ac ∆=->，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时0a >，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．证明：考查函数2y ax bx c =++， ∵0a >，∴此抛物线开口向上．又∵b a c >+，即0a b c -+<，x∴当1x =-时，二次函数的值(1)0f -<．故抛物线与x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例10．已知：对于满足04p ≤≤的所有实数p ，不等式243x px x p +>+-恒成立，求x 的取值范围．【分析】不等式243x px x p +>+-可以变形为243(1)x x p x -+>--． 考查二次函数22143(2)1y x x x =-+=--和一次函数2(1)y p x =--．原不等式的几何意义是“二次函数1y 的图象在一次函数2y 的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数1y 的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数2y 的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，当0p =，20y =时，是与x 轴重合的一条直线；当4p =，244y x =-+是一条截距为4的直线，它与抛物线1y 的交点坐标为（－1，8）．当实数q 取遍04p ≤≤之内的所有实数时，直线2y 所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数1y 的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到1x <-或3x >，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是1x <-或3x >．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．初三数学“数形结合”习题（1）1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =210y x =+的距离．2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的x面积（用含m 、n 的代数式表示）．3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 5．已知正实数x，求y =6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围． 9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．初三数学“数形结合”习题（2）1．设0k b +=，则直线y kx b =+与抛物线2y kx bx =+的位置关系是（）．A ．有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点C ．没有公共点D ．无法确定2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A ．3、3、11、C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）．A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边－60米4．已知实数a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A ．ab b <B ．ab b >C ．0a b +>D ．0a b -> 5．函数35y x x =-++的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．2 6．已知函数y x =和y =x >的解集为（）．A ．22x -≤<B ．22x -≤≤C ．2x <D ．2x >6题图7题图7．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，4BD =，AD BC =，3cos 5ADC ∠=，则DC =，sin B =．8．在数轴上数a 和3的对应点分别为点A 和点B ，点A 到原点的距离为1.5，则点A 关于点B 的对称点所对应的数是．9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？10．如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E ．求证：tan tan AEB CDE⋅=． 11．如图所示，已知矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），60OAB ∠=︒，以AB 为轴对称后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．12．已知两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标可用公式（122x x +，122y y +）计算．现已知M （－1，2），N （5，14）．（1）计算MN 中点的坐标；（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN 的两个三等分点的坐标？初三数学“数形结合”习题（2）【参考答案】1．B2．D3．B4．D5．A6．A7．6，418．4.5或7.59．2.76米 10．提示：可以作AG BC ⊥于F ，交圆O 于G ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结BD 、CD ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）. 提示:可推得两个三等分点的坐标公式（1223x x +，1223y y +）、（1223x x +，1223y y +）。
数形结合在初中数学教学中的运用例谈
数形结合在初中数学教学中的运用例谈数形结合是指在数学教学中，通过运用几何图形来帮助学生理解和解决数学问题。
它能够提升学生的动手实践能力和直观的几何感，使抽象的数学概念变得具体可见，从而提高学生对数学知识的理解和记忆。
下面将通过几个例子，详细介绍数形结合在初中数学教学中的运用。
例1：分数的乘法在初中数学中，学生需要学习分数的乘法运算。
通常，教师会通过十分十分相乘的方法来解释分数的乘法规则，但是这种方法抽象且难以理解。
为了帮助学生更好地理解分数的乘法，教师可以利用几何图形进行数形结合的教学。
教师可以在黑板上绘制一个矩形，并将其分成若干个小矩形，其中一部分为横向分割，一部分为纵向分割。
然后，教师可以用不同颜色的粉笔标注出各个小矩形的面积，并引导学生寻找分数乘法的规律。
通过这种方法，学生可以直观地看到矩形面积的分割和组合过程，从而更好地理解分数乘法的概念和规则。
例2：代数式的图形展示在初中代数学中，学生需要学习代数式的理解和运算。
通常，学生对于代数式的抽象性特点难以理解和掌握。
为了帮助学生更好地理解代数式，教师可以利用数形结合的方法进行教学。
教师可以让学生绘制一个具体几何图形，如长方形、正方形等，并引导学生根据图形的特点构造相应的代数式。
通过观察几何图形和代数式的对应关系，学生可以更直观地理解代数式的含义和运算法则。
例3：三角形的相似性质在初中几何学中，学生需要学习三角形的相似性质。
相似三角形的判定是一个抽象且复杂的过程，学生容易混淆和理解困难。
为了帮助学生更好地理解三角形的相似性质，教师可以利用数形结合的方法进行教学。
教师可以设计一些具有相似关系的三角形，并通过投影仪将其投影到黑板上，让学生观察各个角度和边长的变化。
通过比较观察和思考，学生可以从图形中找到相似三角形的一些共同特征，从而更好地理解相似三角形的判定条件和性质。
第1讲-数形结合思想在初中数学中的应用
第一讲：数形结合思想在初中数学中的应用【写在前面】数形结合思想是初中数学中的一个重要思想，“数”与“形”就好比数学中的“左右腿”。
全面理解数形结合思想，就需要从“以数助形”和“以形助数”两个方面来体会，另外在相关的函数题型中利用“数形结合思想”解决问题能起到事到功半的效果，本文就从“以形助数”、“以数助形”“函数中数形结合思想的运用”三个方面来探讨数形结合思想在初中数学中的相关应用。
【例题精讲】 一、以数助形从“以数助形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等。
【例题1】两只小虫A 、B 躺在数轴上睡大觉，已知它们之间的距离为10个单位长度，其中小虫A 躺在数+4对应的点上，小虫B 所在的位置绝对值大于6，则小虫B 所在的位置表示的数是（ ） 【思路点拨】本题旨在着重考察数轴上两点之间的距离公式：数轴上点A 代表数1x ，点B 代表数2x ，则A 、B 两点之间的距离21x x d -=。
这个两点之间的距离公式不论是它的推导还是运用都恰到好处的将相关的几何问题进行了代数化。
【例题2】两直线之间的位置关系包括：平行、相交、重合。
在初中数学中研究这种位置关系一般是通过几何作图来研究。
但是如果知道两直线的函数解析式该如何通过代数的方法来研究这两条直线的位置关系呢？例如：直线1l ：11b x a y +=，直线2l ：b x a y +=2，利用代数的方法研究直线1l 、2l 之间的位置关系。
【思路点拨】这个问题实质上就是二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x a y b x a y 的几何意义。
关于二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x a y b x a y 的解有三种情况：①无解；②无数个解；③ 只有一个解。
这三种情况可以转化为直线1l ：11b x a y +=与直线2l ：b x a y +=2的三种位置关系：①平行；②重合；③ 相交。
数形结合在初中数学的应用
数形结合在初中数学的应用
数形结合是初中数学中非常重要的一个概念，它是指在分析解决数学问题时，既可以运用数学知识，也可以利用几何图形来帮助解决问题。
数形结合在初中数学的应用非常广泛，例如：
1.求解面积和体积问题：我们可以通过利用几何图形来求解各种面积和体积问题，例如求解长方形、正方形、圆形、三角形等图形的面积，以及球、圆柱、圆锥等图形的体积。
2.利用相似三角形求解问题：我们可以通过数形结合的方法，利用相似三角形来解决各种数学问题，例如求解直角三角形的斜边长度、求解比例问题等等。
3.利用图形坐标系求解问题：我们可以通过建立图形坐标系，将数学问题转化为几何问题，利用几何图形来解决各种问题，例如求解直线方程、解决距离问题等。
4.利用平面向量求解问题：我们可以通过利用平面向量的性质和特点，来解决各种数学问题，例如求解向量的模长、向量的方向、向量的加减等等。
总之，数形结合在初中数学中的应用是非常广泛的，它能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学知识，提高我们的数学思维和解决问题的能力。
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“数形结合”在初中数学教学中的应用
河的右侧有 Ａ、 Ｂ两个村子 ， 试在河 的左
。
地解一元二次方程和简单 的高次不等式 等． 【 ｌ 试通 过二次 函数 ． 例 】 ） ， 一 的 图象特 点来
比较 下 列 各 数 的 大 小 ： ． １， 一 ２ ） ， ．９， １ ０ （ ．１ ４
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侧建一个商店 ｃ 使 Ａ ＋Ｂ， ｃ ｃ最少？
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分 析 ： 图 １从 图形 上 易 发 现 这 样 规 律 ： 给 两 如 ， 任 个 自变量 ｎ 、 ． 果它 与 原 点 的距 离 越 长 ， ｎ 如 则它 对 应 的 函 数值 越 大 ． 对 给定 的数 有 Ｉ １０ ９ｌ Ｉ． １ ＜ Ｉ ． 一 ． ０ 】 Ｏ ＜ ｌ 一２ １ ＜ ｌ
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用代数对 图形性质进行更为丰富 、 精确 、 深刻地探讨 ，
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对 提 高学 生 发 现 问 题 、 析 问 题 、 决 问 题 的 能 力 大 分 解
有好 处 ．
图 １
把代数式的精确刻 画与几何图形 的直观描述结 合起 来， 从而使几何问题代数化 ， 代数问题几何化 ， 并进而 使抽象思维 和形象思维结 合起来 ， 能够使很多复杂 问
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
浅议数形结合思想在初中数学教学中的运用
． ．
在Ｒ ｔ ＡＭＯ Ｃ中 ， ‘ ． ‘ Ｏ Ｍ＝ １ ， Ｃ Ｍ＝ ２ ＇ － ． ． Ｃ ＭＯ ＝ ６ ０ ￣ ， Ｏ Ｃ ＝ 、 ／ ３． 在Ｒ ｔ ＡＭＣ Ｅ中 ， ‘ ． ‘ ０ Ｃ ＝ ２ ， Ｃ ＭＯ ＝ ６ ０ 。 ． ＭＥ － ４ ．
・
． ．
点 Ｃ、 Ｅ的坐标分别为 （ ０ ， 、 ／ ） ， （ 一 ３ ， ０） ．
￣ Ａ Ｂ ， Ｃ ｒ ＝ ￣ ｃ ｏ ， 试 说 明 Ｅ Ｆ 互 分 。
， Ｊ Ｆ ’ Ｃ ‘
图 ３
这是一道关 于平行 四边形 的数学问题案例 。学生解答 “ Ｂ Ｄ
与 Ｆ 互相平分” 的过程 中，如果直接借助于平行 四边形 的性 质， 很难求 出 “ Ｂ Ｄ与 Ｅ Ｆ互相平分”的结论 。因此 ， 在解答 中学 生需要 运用数形结合思想 ， 借助数学 问题所给予 的条件 ， 再通过 对图形 的分析 ， 从 出采 用 “ 构建法 ”， 通过添 加 “ 连接 ＤＥ 、 Ｂ Ｆ’ 的辅助线 ， 然后借 助平 行四边形性质 ， 采用等量代换 的形 式 ， 求
．
・
．
切线 Ｃ Ｅ的解 析式为 ＇ ， ＝
ｊ
＋ 、 ／ 了．
图 ４
（ ３ ） 设 过点 Ｄ（ ０ ， 一 ３ ） ， “ 蛋 圆”切 线 的解析 式为 ｙ ＝ ｋ ｘ 一 ３
得Ａ ＝ Ｃ Ｆ ． Ｅ Ｂ ＝ Ｄ Ｆ ， 从 而证得 四边形 Ｄ Ｅ Ｂ Ｆ是平行 四边形 ， 求得 “ Ｂ Ｄ与 Ｅ Ｆ互相平分” 这一结论 。 三、 利用数形结合思想解决不等式 问题 例 ４某城市 的出租汽车起步价为 １ ０元 （ 即行驶距离 在 ５ 千米以内都需付 ｌ Ｏ元车费 ） ， 达 到或超过 ５ 千米后 ， 每行驶 １ 千 米加 １ ． ２元 （ 不足 １ 千米也按 １ 千米计算 ） 。现某人乘车从 甲地 到乙地， 支付 车费 １ ７ ． ２ 元， 问从 甲地到乙地的路程大约是多少？
数形结合在初中数学教学中的运用
数形结合在初中数学教学中的运用数学是一门既有抽象性又有实用性的学科，它不仅仅是一门理论学科，更是一门需要与实际生活相结合的学科。
而在初中阶段，数学教学更是要求在抽象概念和实际问题中找到平衡，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
数形结合是数学教学的一种方法，通过结合数学和几何图形，旨在帮助学生更好地理解抽象概念、解决问题和提升数学能力。
本文将探讨数形结合在初中数学教学中的运用方式及其重要性。
1. 利用几何图形解决数学问题在初中数学教学中，通过以几何图形为基础的数学问题，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
教师可以通过几何图形的逻辑性和形状特点，解决数学问题，如利用平行四边形的特性求解面积和周长问题，利用圆的性质解决圆的面积和周长问题等。
通过这种方式，学生不仅能够学习到几何图形的性质，也能够深入理解数学知识，并学会将抽象的数学知识应用于实际生活中。
教师也可以通过数学知识来描述和分析几何图形。
通过坐标系来描述和分析平面图形的位置和性质，通过数学函数来描述和分析曲线图形的规律和特点等。
通过这种方式，学生不仅能够学习到数学知识，也能够更深入地理解几何图形的特性并学会运用数学工具对其进行分析。
数形结合的教学方法还可以帮助学生更好地理解数学概念。
通过在平面直角坐标系中画出函数的图像，可以让学生更直观地理解函数的性质和变化规律；通过画出三角形与圆形的相交图形，可以帮助学生理解三角函数和圆形几何知识的联系等。
这种方式可以让学生在实际操作中更好地理解数学概念，从而提高他们的学习兴趣和学习效果。
二、数形结合在初中数学教学中的重要性1. 培养学生综合能力数形结合的教学方法可以帮助学生培养综合能力。
通过结合数学知识和几何图形，学生需要综合运用逻辑思维、计算能力和图形分析能力等多方面的能力来解决问题。
这种综合能力的培养不仅能够提高学生的数学水平，也能够促进学生在其他学科领域的学习和应用能力。
2. 提升学生的数学兴趣3. 增强学生的问题解决能力1. 设计生动有趣的教学案例在数学教学中，教师可以艺术化地设计生动有趣的教学案例，通过教学案例中的图形化展示和分析，让学生更好地理解数学概念和性质。
浅谈初中数学教学中数形结合思想的运用
浅谈初中数学教学中数形结合思想的运用在初中数学教学中，数形结合思想是一种有效的教学方法，通过将抽象的数学概念与具象的图形相结合，可以提高学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解和应用数学知识。
数形结合思想可以帮助学生形成直观的概念。
数学中有很多抽象的概念，如平行线、垂直线、三角形等，在单纯的文字描述下，学生很难真正理解其含义。
而通过图形的描绘和展示，学生可以更直观地感受到这些概念所代表的几何形状和关系，从而更容易掌握和记忆。
数形结合思想可以帮助学生理解和应用数学知识。
在解决数学问题时，数形结合思想可以帮助学生将问题抽象成几何图形，从而更好地进行分析和推理。
在解决平面几何中的证明问题时，通过画图可以帮助学生找到问题的关键点、线索和方法，推导出正确的结论。
数形结合思想还可以帮助学生学会如何将抽象的数学概念应用到实际生活中，提高他们的问题解决能力和实际应用能力。
数形结合思想可以培养学生的空间思维能力。
在数学学习中，空间思维是非常重要的能力之一。
通过数形结合，在几何形状的转换、相似性、对称性等方面的学习中，可以培养学生的空间想象力和观察能力，提高他们的空间思维能力。
这种能力的培养对于学生解决几何问题和应用数学知识至关重要。
数形结合思想可以激发学生的探究兴趣和创新思维。
通过观察和分析几何图形的特征，学生可以自主发现一些规律和问题的解法，培养他们的探究和创新思维。
在数学教学中，老师可以引导学生思考问题，并鼓励他们尝试不同的解决方法，培养他们的独立思考和解决问题的能力。
数形结合思想在初中数学教学中的运用具有重要的意义。
它可以帮助学生形成直观的概念，理解和应用数学知识；培养学生的空间思维能力；激发学生的探究兴趣和创新思维。
教师在教学中应该积极运用数形结合思想，提供多样的图形材料和实例，创设丰富的情境，激发学生的学习兴趣，并培养他们的数学思维。
学生也应积极配合，主动观察和思考，通过数形结合思想，不断提高自己的数学素养和解决问题的能力。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用
在初中数学教学中，数形结合可以帮助学生理解抽象的数学概念。
例如在教学整数的时候，可以通过图形的方式来直观地展示正数和负数，让学生通过图形更直观地理解正数和负数的关系。
通过画图的方式，学生可以更具体地感知到数的大小和方向，帮助他们更轻松地掌握整数的加减乘除运算规则。
通过数形结合，学生能更深入地理解数学知识，也更容易接受和记忆。
数形结合可以激发学生的学习兴趣，增加学习动力。
基于图形的学习方法可以使学习变得更加生动活泼，从而激发学生的学习兴趣。
通过举一些有趣的例子，使用图形的方式展示数学知识内容时，学生更易产生兴趣，愿意主动参与到课堂讨论和学习中来。
相比于枯燥的书本知识，利用图像进行教学可以让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识，从而更好地提升学习效果。
数形结合还可以培养学生的数学思维和创新能力。
通过观察和分析图形、运用数学知识，学生可以培养出锐利的观察力和敏锐的分析能力。
数形结合的教学方法也可以激发学生的创新意识，启发他们寻找数学和图像之间的新颖联系，培养他们的创新能力。
在教学几何问题时，可以引导学生进行探究性学习，在实际的几何图形中让学生自己发现几何定理的特殊性质，从而激发学生的数学创新能力。
数形结合在初中数学教学中的应用有利于帮助学生更好地理解数学知识，激发学生的学习兴趣，增加学习动力，并培养学生的数学思维和创新能力。
在教学实践中应该积极采用数形结合的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
希望教师们能够加强教学理念的更新和教学方法的探索，不断探索和研究数形结合的更多教学方法和实践经验，为初中数学教学注入更多的活力和新意。
数形结合在初中数学教学中的应用案例研究
数形结合在初中数学教学中的应用案例研究数形结合是指将数学知识与几何形状相结合，通过图形直观地展示和解释数学问题。
在初中数学教学中，数形结合常常被运用于几何和代数的学习中，有助于帮助学生理解抽象的数学概念和原理。
本文将从几何和代数两个方面，介绍数形结合在初中数学教学中的应用案例。
一、几何方面1.面积的计算在教授面积的计算时，可以通过数形结合，让学生将几何形状拆分成矩形、三角形或其他可以计算面积的形状，然后将这些形状的面积相加得到整个图形的面积。
例如，教学三角形的面积时，可以让学生将三角形划分成两个矩形，然后计算这两个矩形的面积并相加，即可得到三角形的面积。
2.图形的相似性在讲解图形的相似性时，可以通过数形结合，让学生观察和比较不同图形的长、宽、角度等属性的关系。
例如，教学三角形的相似性时，可以让学生观察两个三角形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而判断它们是否相似。
3.三角形中的重点线段在教学三角形时，可以将数形结合运用于三角形中的重点线段。
例如，教学三边中位线时，可以先让学生画出三角形，然后通过数形结合的方式，让学生观察三边中点是否共线，如果共线，可以引导学生通过测量和计算，发现这条线段的长度等于三角形中位线的一半。
二、代数方面1.代数式与图形的关系2.方程与图形的关系3.变量与图形的关系综上所述，数形结合在初中数学教学中有着广泛的应用。
通过数形结合，能够帮助学生直观地理解抽象的数学概念和原理，提高他们的数学思维能力和解题能力。
因此，在初中数学教学中合理运用数形结合教学法，能够提高教学效果，激发学生对数学的兴趣和学习动力。
数形结合方法在初中数学中的应用
数形结合方法在初中数学教学中的应用数形结合思想是指在对问题进行研究的整个过程中注意有机结合数与形，在对问题具体的情形斟酌完之后把图形的问题向数量关系的问题方向转变。
抑或是将数量关系的问题向图形问题的方向转变，使复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得具体。
因此在初中数学教学中。
教师应进一步探究如何将数形结合的思想加以积极运用。
使学生不断体会并最终掌握这种数学思想。
一、数形结合方法在初中数学教学中的重要作用数形结合的教学方法之所以被各学校和数学老师接受，是因为通过数形结合的方法，可以使将那些生硬的数学知识形象化、趣味化，能将课堂上学生的注意力集中在老师所讲的知识点上，同时让学生学起来有兴趣，从而提升学生的空间想象力和数学分析能力。
在初中数学教学中，数形结合的思想的作用具体体现在如下几点：第一，对于一些与函数有关的代数题或几何题，应用数形结合的方法求解起来比较容易；第二，对于一些应用题，用图形的方式向学生展示，更便于学生的理解；第三，对于数学方程式，运用函数或者几何图形来求解更方便；第四，与几何相关的函数不等式用数形结合的方法来求解更方便。
二、初中数学教学中数形结合思想的应用策略1.数形结合思想的展开初中阶段的学生，抽象思维能力尚未完全发育成熟，因此，在初中阶段的学习中，特别是对一些抽象数学的概念，有很多学生看到概念却无法理解这个概念所代表的意思，往往学起来显得很被动，如果老师能在教学的过程中，将数形结合起来讲解，那学生学起来就容易得多。
例如，在初中数学中，对于一些方程组，学生解起来比较麻烦，如果老师能结合数轴，通过线的交点来展示，那方程组解起来就方便多了。
此外，在初中数学中，还有一些路程问题、浓度问题，老师能结合图形一起讲解，学生学起来就感觉更容易，思路更清晰。
2.数形结合思想的升华数形结合的方法不仅可以用来解决一般难度的数学题，更重要的是在一些较难的数学知识点的学习上，老师将数与形结合起来讲解，就可以让解题的方法更简便、直观，从而达到立竿见影的效果。
浅析初中数学教学中数形结合思想的应用
浅析初中数学教学中数形结合思想的应用数学教学作为学生学习的重要组成部分，一直备受关注。
数学一直被视为一门“抽象”的学科，但实际上，数学与形状之间有着紧密的联系。
数形结合思想作为数学教学的新理念，正逐渐深入到初中数学教学中。
本文将从数形结合思想的定义、特点以及在初中数学教学中的应用等方面进行浅析。
一、数形结合思想的定义数形结合思想是指在数学教学中将数学的抽象概念与形式思维结合起来，通过形式思维来解决数学问题。
数形结合思想的本质是在数学教学中引导学生通过观察、实验和总结，建立数学结构，并运用结构性思维解决问题。
这种思想不仅克服了数学的抽象性，而且提高了数学对学生的吸引力和学习兴趣，使学生更容易理解和掌握数学知识。
1. 强调形式思维数形结合思想要求学生在学习数学的过程中，不仅要注重数的计算，还要注重通过形象的、具体的形式思维来理解和掌握数学概念和方法。
通过观察和实验，引导学生建立形象思维，从而提高他们的数学思维水平。
2. 培养综合能力数形结合思想要求学生在学习数学的过程中，要注重培养综合素质和综合能力，包括观察能力、分析能力、创新能力等。
通过数学问题的实际应用和形象化的思维方式，培养学生的综合能力，提高他们的数学素养。
3. 强调实践性数形结合思想要求数学教学要贴近生活、贴近实际，引导学生通过观察和实验，建立形象思维，培养实践能力。
通过实际操作，使数学知识更加具体可行，弥补了数学抽象性和理论性的不足。
1. 基本概念的引入在初中数学教学中，可以通过数形结合思想来引入一些基本概念，比如引入正整数的概念时，可以通过实物操作和图形表示，让学生直观感受到正整数的概念和特点。
这样不仅能够使学生更好地理解和掌握知识，还能够增加学生的学习兴趣。
2. 几何问题的解决在初中数学教学中，可以通过数形结合思想来解决一些几何问题。
比如通过实际操作和图形表示，引导学生发现几何图形之间的关系，培养学生的形象思维和综合能力，提高他们的几何问题解决能力。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指数学中的数学问题和几何问题相互转化、相互运用的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下几个方面：一、用几何图形解决代数问题在学习代数知识时，许多问题可以通过几何图形来直观地展现。
在解一元一次方程时，可以通过画图的方式来帮助学生理解方程的意义。
教师可以选取和学生相关的实际问题，用几何图形的方式来解决，这样不仅可以让学生更好地理解代数问题的本质，还可以培养学生的数学建模能力。
在学习几何知识时，代数方法也可以被应用到许多几何问题的解决中。
比如在计算几何图形的面积或周长时，可以通过代数式的运算来得到结果。
这种方法不仅简单直观，而且可以加深学生对代数知识的理解和运用。
三、将数学问题转化为几何问题有些数学问题在代数形式下可能比较抽象，难以理解，而将这些问题转化成几何问题时，学生可能会更容易理解和解决。
比如在概率问题中，可以用几何图形来表示事件的发生，从而让学生更加直观地理解概率的概念和计算方法。
在初中阶段，学生学习的数学知识往往和实际问题有着密切的联系。
几何方法在解决实际问题时，不仅可以用来求解图形的面积、体积等几何问题，还可以帮助学生理解实际问题的本质和解决方法。
比如在解决日常生活中的测量、建模等问题时，几何方法的应用可以让学生更好地理解问题的背后数学原理。
数形结合思想的应用不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以激发学生对数学的兴趣。
但是在教学中，如果不能很好地将数形结合思想融入到教学实践中，可能会达不到理想的效果。
教师在教学中需要灵活地运用数形结合思想，结合具体的教学内容和教学目标，设计出符合学生学习特点的教学方法。
教师需要结合教学内容，合理设计教学活动。
比如在教学一元一次方程时，可以设计一些与生活相关的问题，并通过几何方法来解决，这样可以让学生更好地理解代数方程的实际意义。
教师需要引导学生学会灵活运用数形结合思想。
在解决数学问题的过程中，学生需要通过分析问题，选择合适的数学工具和方法，从而达到数形结合的效果。
数形结合方法在初中数学教学中的运用
数形结合方法在初中数学教学中的运用摘要：初中数学的解题方法多种多样且较难一一理解，而数形结合作为其中很重要的方法之一，在实际教学中的运用也较为广泛，相较于其他解题方法显得更为方便和实用。
在初中的数学教材中，学生学习过很多解题方法，许多方面也都能运用到有关数形结合这一知识点。
从初中数学教学过程中的实际应用来看，通过数形结合在教学过程中实施的方案、策略来引导学生面对数形结合的正确解题思路，从而很容易使教学目标得以顺利达成。
关键词：初中数学，数形结合，教学运用一、初中数学教学中数形结合的指导意义1.数形结合所处的地位现如今的数学领域中，数形结合也可谓是重中之重，“数”与“形”可以看作事物的两个方面的重要属性，可以把数学中难懂抽象的语言、数与数之间的关系同合适的图形相结合，让学生在学习数学的过程中更加得心应手。
数形结合之所以在初中数学教学中这么受欢迎，在于它的运用较为广泛，综合性较强，并且能锻炼学生独立思考的能力，提高学生的实践性和创新能力，它结合了许多初中数学所学的各类知识点，例如：函数、三角形、方程式等知识。
在教学过程中，通过引导学生运用数形结合解决问题，有利于学生不断地开发自己的思维方式，更好的掌握所学知识。
2.数形结合的指导意义（1）数形结合能使问题简易化，将问题的实质性凸显的更加明了，同时让学生更清楚地了解图形和数量间存在的关系。
例如：把复杂的数据问题转化成简易图形，这种方式有利于提高学生的自主思考能力，使学生碰到类似的题目会衍生出同种方法来解决。
例如：当学生学到平方差公式时，利用展开的方法使得（a＋b）（a－b）变成a²－b²，这种展开方式经常会用到，但是学生却不一定明白其中的道理。
教师如果想让学生们更加明白这个公式的话，就需要结合图形来解除学生们的困惑。
在这张图形里，我们可以看到一个不完整的正方形和一个长方形，正方形四条边长都为a，因为它缺少了一小块边长都为b的小正方形，所以这个不完整的正方形的面积就可以写作a²－b²。
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数形结合策略在初中数学教学中的运用
作者：张春明
来源：《黑龙江教育·中学》2019年第03期
数形结合是结合数学实际情况调整数与形的关系，即借助数量、图形将复杂、抽象的数学问题简单化、具体化，进而帮助学生直观地理解问题的实质。
数形结合的思想还可以将理论知识具体化，有助于将数学知识应用于实践。
数学学科知识的抽象性要求学生具备基本的空间想象力，数形结合的思想有助于学生空间想象力的提高。
在初中数学教学中采取数形结合策略有利于拓展学生数学思维，有利于提高教学质量和效率，有利于教学目标的顺利实现。
目前，某些数学教师对数形结合思想持片面认识，完全凭借主观意愿以及多年积累的教学经验来组织教学活动，在一定程度上忽视时代变化以及新课改要求，学生的个体差异、学习基础亦未被考虑在内。
再加上教师自身未充分理解数形结合思想的内涵，导致其在实际教学中对数形结合的低效运用，最终为教学工作的开展增加阻力。
虽然新课程改革理念在初中数学教学中持续推进，但数学教师在实际教学中仍习惯于传统的教学模式，学生主体地位没有得到充分体现，长时间处于被动学习状态，这在一定程度上为数形结合思想的运用增加了难度。
个别教师应用数形结合思想仅仅是为了应付上级检查，流于形式。
之所以会存在这种现象，最大的原因是教师思想守旧，没能从学生的成长出发，认为
数形结合会浪费有限的教学时间。
随着时间的积累，学生学习数学的能动性会受影响，对教师会产生严重依赖，这对数学教学改革深化、数形结合思想推广有不利影响。
数形结合教学策略在以下几方面的运用，可实现数形结合思想的全过程渗透，对师生教与学能力的提高有促进作用，对初中数学教学现状的改善有重要作用，并能为初中数学教学工作的顺利推进提供支持。
一、应用于概念教学
初中阶段数学概念较多，理解难度相对较大，然而数学概念、公式是后续学习的基础，只有掌握、理解数学概念，才能促进教學工作顺利开展。
由于个别概念较抽象，此时运用数形结合思想能够加深学生对概念的印象，并有利于熟记数学概念、理解概念本质。
例如，学习数轴定义时，教师直接画出原点、单位长度、直线方向的数轴，通过数形巧妙结合来补充数学知识，顺利转化数学思想。
数形结合不仅运用于数轴概念，而且还能借助数轴解答相关数学问题，如一元一次不等式解集确定、一元一次不等式组求解时，数形结合——数轴的运用会将数形结合思想发挥到极致，数轴有效性再次彰显。
今后遇到类似问题时，学生能够自然运用数形结合方法，促进数学问题灵活解答，这对理论知识巩固有重要意义。
今后学生学习数学知识能够树立自信心，积极动脑思考、灵活分析，长此以往，有利于学生养成良好的数学学习习惯，掌握有效的解题技巧。
在数学概念中运用数形结合策略，能够提高初中生认知水平，通过知识融合提高其数学学习能力。
又如，锐角三角形定义以直角三角形为铺垫，基于单位圆或者直角坐标系定义任意角三角函数，再次得出结论，数形结合两类思想互相影响、互相渗透。
间接分析可知，无论是代数问题还是几何问题，都能完成数与形的转化。
从另一个角度来讲，数形结合思想能够间接呈现相关数学条件，将内在代数意义与几何意义全面阐述，最终探索途径。
概念教学对其他教学起着引导和奠基作用。
如果在概念教学阶段学生重视程度较弱，则意味着学生对数形结合思想运用的能力有待提高。
数形结合思想通过结合、转换直观图像与数学语言，通过数学思维调节，最终使数学问题迎刃而解。
无论是对教材问题的解答，还是在现实生活中，数形结合思想都具有实用性。
下面具体分析数形结合思想在知识教学、习题教学中的运用。
二、应用于具体知识教学
数形结合策略运用于函数中，主要体现在二次函数和三角函数两方面。
二次函数这一知识点在考试中占有较大比例，同时也是拉大分值差距的重要内容，此外，二次函数在现实生活问题的求解中发挥重要辅助作用。
在初中阶段解答二次函数问题时运用数形结合思想，有利于为高中函数知识的学习奠定基础，有利于锻炼学生的理解能力和分析能力。
例如，教师在数形结合思想引导下建立直角坐标系，引导学生总结函数图像——抛物线的规律和性质，同时有序梳理最值、开口方向等要素间的关系，充分利用已知条件求解，最终使学生意识到数形结合的作用以及现实意义。
在三角函数知识的学习中，学生极易混淆三角函数数值，进而在解题过程中出错。
对此，教师可运用数形结合教学策略。
例如，在学习勾股定理时具体标记三角形各边边长，即数形结合思想的具体体现。
又如，教师讲解例题：学校每月举办一次兴趣问答竞赛，开学后分别举办了以数学、英语、生物为主题的竞赛活动，其中有75人参加了数学竞赛，68人参加了英语竞赛，61人参加了生物竞赛，17人同时参加了数学竞赛和英语竞赛，12人同时参加了数学竞赛和生物竞赛，9人同时参加了英语竞赛和生物竞赛，还有6人共同参与三个竞赛，求参加竞赛的总人数。
具体算法如下：
68+75+61-（17+12+9）+6=204-38+6=172
可知总人数共172人。
运用数形结合思想，学生能够直观地看到集合，即通过图形化语言获得答案，同时，学生能够理解题目内涵，并在短时间内探索到问题实质，对集合产生新的认知。
数形结合思想实用性较强，使学生遇到类似题目时，能够灵活解答。
三、应用于习题教学
在应用题中渗透数形结合思想，能为对应用题持抵触心理的学生提供解题技巧，提高其数学学习兴趣。
例如，某联通公司应用分段计费方式来计算话费，其中，月通话时间（ X ）与话费（ Y ）间的函数关系如图1所示。
一次函数以数形结合的方式呈现，使学生能够及时、准确求出当通话时间为100分钟、200分钟时，分别对应的话费是多少。
学生通过观察图像，能够总结出函数关系式。
当学生认识到了数形结合思想的实用性，再次遇到类似数学问题时，便会主动地运用数形结合思想，有利于提高解决数学问题的综合能力。
数形结合思想的运用不仅对学生自我发展有推动作用，也对打造高效课堂，确保数学教学任务及时完成，深化数学改革，优化教学质量起到推动作用。
网络信息时代悄然而至，在这一时代背景中，多媒体信息技术应用于数学课堂，可动态呈现数形结合思想，对学生空间想象力的提高有重要意义。
例如，在进行“平移与旋转”相关教学时，教师为学生展示形式多样的图片，并发挥视频功能优势，动态放映图形变化过程，不仅是对传统呆板教学模式的创新，而且能够吸引学生注意力。
此外，多媒体设备在数形结合教学策略中发挥的辅助作用，胜过教师千言万语的总结，使学生的学习印象加深，并对其数形结合意识的培养有重要意义。
又如，学生在学习统计知识时，通过在数据分析的基础上画统计图，使数据在统计图中直观呈现，再结合具体问题进行图表分析，最终选定合理决策。
在此过程中，数形结合思想充分体现，符合现阶段数学解题需要，同时也是迎合信息社会发展的表现。
因此，学生应掌握统计图制作技巧，并懂得收集、整理有效数据，进而使现实生活中的部分数学问题能够借助统计图有效解决。
综上所述，当前初中数学教学工作正处于转型的关键时期，在实际教学中应用数形结合思想，能够对传统数学教学方法进行补充和创新，能够将复杂的数学问题简单化。
数形结合策略在初中数学概念、函数、习题等教学中的应用，最终能够提高数学教学的效率和质量。
此外，多媒体设备辅助作用的发挥，有利于营造浓厚的学习氛围，有利于提高学生的数学思维能力。
因此，教师在实际教学中应结合具体情况，巧妙运用、大范围推广数形结合思想，以此深化初中数学教学改革，促进学生全面发展。