高二数学立体几何中的向量方法1

§3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－35v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－14a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12,1,1)， D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN =（12，0，12），设平面A 1BD 的法向量是n=（x ，y ，z ）. n ＝(x ，y ，z)．则n ·DB ＝0，得0,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩ 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又 MN ·n ＝ (12,0，12)·(1，－1，－1)＝0，方法二 ∵ MN= 111111122C N C M C B C C -=-111111()22D A D D DA =-=∴ MN ∥1DA，又∵MN ⊄平面A 1BD.∴MN ∥平面A 1BD.知识点三 利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 是PG 与BC 的公垂线段． 证明 (1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA 、PB 、PC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令PA ＝PB ＝PC ＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．于是 PA＝(3,0,0)，FG ＝(3,0,0)，故 PA＝3FG ，∴PA ∥FG .而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC. 方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．EF＝(0，－1，－1)，EG ＝(0，－1，－1)，设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z)，则有n ⊥EF ，n ⊥PA， ∴0,0,y z x y z +=⎧⎨--=⎩令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)．而显然PA=（3，0，0）是平面PBC 的一个法向量.这样n ·PA = 0,∴n ⊥PA即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直， ∴平面EFG ⊥平面PBC. （2）∵ EG =（1， -1， -1）， PG =（1，1，0）， BC=（0， -3，3），∴ EG ·PG =1-1= 0， EG ·BC=3-3 = 0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，∴EG 是PG 与BC 的公垂线段.知识点四 利用向量方法求角四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线PA 与BC 所成角的余弦值．解 (1)如图所示，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D —xyz ，∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD ⊥面ABCD 得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角． ∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝∴．（2）∵ PA ＝(2,0，－， BC =（-2， -3，0）∴ cos 〈PA ,BC 〉= PA BC PA BC⋅=∴PA 与BC所成角的余弦值为13．正方体ABEF －DCE ′F ′中，M 、N 分别为AC 、BF 的中点(如图所示)，求平面MNA 与平面MNB 所成二面角的余弦值．解 取MN 的中点G ，连结BG ，设正方体棱长为1. 方法一 ∵△AMN ，△BMN 为等腰三角形， ∴AG ⊥MN ，BG ⊥MN.∴∠AGB 为二面角的平面角或其补角．∵,AB AG GB =+，设〈AG ，GB 〉=θ，AB 2＝AG 2＋2AG ·GB＋GB 2，∴1＝2＋2＋2.∴cosθ＝13，故所求二面角的余弦值为13．方法二 以B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B －xyz则M(12，0， 12)，N (12,12,0)， 中点G(12，14，14)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知∠AGB 为二面角的平面角或其补角．∴GA ＝(12，－14，－14)，GB ＝(12，－14，－14)，∴ cos<GA , GB >=GA GBGA GB ⋅113-=-, 故所求二面角的余弦值为13．方法三 建立如方法二的坐标系，∴110,0,AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即110,22110,22x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩取n 1＝(1,1,1)．同理可求得平面BMN 的法向量n 2＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212n n n n⋅13==-,故所求二面角的余弦值为13知识点五 用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．解如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系C －xyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)， B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)， F(2,4,0)，G(0,0,2)．BE ＝(0,2,0)，BF＝(－2,4,0)，设向量 BM⊥平面GEF ，垂足为M ，则M 、G 、E 、F 四点共面，故存在实数x ，y ，z ，使 BM = x BE + y BF+ z BG ，即 BM= x （0，2，0）+y （-2，4，0）+z （-4，0，2） =（-2y -4z ，2x+4y ，2z ）.由BM ⊥平面GEF ，得BM ⊥GE ,BM ⊥EF，于是BM ·GE ＝0，BM ·EF＝0， 即(24,24,2)(4,2,2)0,(24,24,2)(2,2,0)0,y x x y z y z x y z --+⋅-=⎧⎨--+⋅-=⎩即50,320,1,x z x y z x y z -=⎧⎪+++⎨⎪++=⎩，解得 15,117,113,11x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴BM ＝(－2y －4z,2x ＋4y,2z)＝226,,111111⎛⎫⎪ ⎭⎝∴|BM |＝=即点B 到平面GEF的距离为11．考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝4π， OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点． (1)求异面直线AB 与MD 所成角的大小； (2)求点B 到平面OCD 的距离．解 作AP ⊥CD 于点P.如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立平面直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)， P (0，2，0)，D (－2，2，0)， O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设AB 与MD 所成角为θ，∵AB＝(1,0,0)， MD ＝ (－2，2，－1)，∴cos θ =12AB MD AG MD ⋅=⋅．∴θ＝3π．∴AB 与MD 所成角的大小为3π． （2）∵ OP =（0,2，2-）， OD =（-2，2，2-）,∴设平面OCD 的法向量为n = ( x, y , z ),则n ·OP =0， n ·OD= 0.得220,2220,y zx y z⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z=2，解得n = (0,4,2).设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n上的投影的绝对值.∵ OB=（1，0，-2），∴d＝OB nn⋅23=,∴点B到平面OCD的距离为23,1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )A．333) B．333C．(333D．(333答案 DAB＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．AC＝(－1,0,1)，BC＝(0，－1,1)设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)∴0,0,x yx z-+=⎧⎨-+=⎩令x＝1，则y＝1，z＝1∴n＝(1,1,1)单位法向量为：nn±＝±333)．2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°答案 B3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( ) A．1 B．2 C．12D．3答案 B解析因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即m＝2.4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( ) A．α∥βB．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 因v ＝－3u ，∴v ∥u . 故α∥β.5．已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析 设〈AB ，CD 〉=θ， AB ·CD =（AC + CD +DB ·CD= |CD |2= 1，cos θ=12AB CD AB CD ⋅= ,所以θ=60°6．若异面直线l 1、l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( )A ．25-B ．25CD ．5答案 B 解析 设异面直线l与l 的夹角为θ， 则cosθ＝a b a b⋅⋅425==⨯7．已知向量n ＝(6,3,4)和直线l 垂直，点A(2,0,2)在直线l 上，则点P(－4,0,2)到直线l 的距离为________．答案解析 PA=（6，0，0），因为点A在直线l 上， n 与l 垂直，所以点P 到直线l 的距==8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．答案3π或23π，解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1) 则cos 〈n 1，n 212=-〈n 1，n 2〉＝23π．因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为3π或23π．9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为________．答案 11解析 设平面ABC 的一个法向量为n =（x,y,z ）则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()()x,y,z (2,2,3)0,x,y,z (4,0,6)0,⋅--=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 2230,460,x y z x z --=⎧⎨+=⎩2,2,3y x z x =⎧⎪⇒⎨=-⎪⎩令x=1,则n = (1,2, 23-), AD =（-7，-7，7）故所求距离为7731137AD n n ⋅==⨯=,10．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F.(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：PB ⊥平面DEF.证明 (1)如图建立空间直角坐标系，设DC ＝a ，AC ∩BD ＝G ，连结EG ，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，2a ，2a )，G (2a ，2a，0)． 于是PA =（a ，0， -a ）， EG =（2a ，0，2a-）,∴ PA= 2EG ，∴PA ∥EG . 又EG ⊂平面DEB.PA ⊄平面DEB.∴PA ∥平面DEB.(2)由B(a,a,0),得 PB=(a, a, -a),又 DE =（0, 2a ,2a）,∵ PB ·DE =22a 20,2a -= ∴PB ⊥DE.又EF ⊥PB ，EF ∩DE=E ，∴PB ⊥平面EFD.11．如图所示，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小． 解如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D —xyz.则 DA=（1，0，0）， 'CC = (0,0,1).连结BD,B ′D ′. 在平面BB ′D ′D 中, 延长DP 交B ′D ′于H.设 DH = (m,m,1) (m>0),由已知〈DH , DA〉= 60° ,由 DA ·DH = |DA ||DH |cos 〈DH ,DA〉,可得解得m =2，所以DH ＝(2，2，1)，(1) 因为cos 〈DH ,'CC 〉= 00112++⨯=(2) 所以〈DH ,'CC〉= 45° ,即DP 与CC ′所成的角为45° .(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC= (0,1,0).因为cos 〈DH ,DC 〉= 00112++⨯=所以〈DH ,DC〉= 60°,可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30° .12. 如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°. 平面PBD ⊥平面PAC ，(1)求点A 到平面PBD 的距离;(2)求异面直线AB 与PC 的距离.(1)解 以AC 、BD 的交点为坐标原点，以AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （3，0，0），B （0，1，0），C （3-，0，0），D （0， -1，0）， P （3，0，2）.设平面PBD 的一个法向量为n 1=（1，y 1，z 1）.由n 1⊥OB ， n 1⊥OP ，可得n 1=（1，0，32-）. （1）OA =0，0），点A 到平面PBD 的距离, 11OA n d n ⋅=7=, 13.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC = 2a ，BB 1 = 3a ，D 为A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出|AF |；若不存在，请说明理由.解 以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设 AF =λ1AA =λ（0，0，3a ）=（0，0，3λa ）（0<λ<1）， ∵D 为A 1C 1的中点，∴D(2，2a ,3a) 1B D ＝(2a，2a ,3a)－(0,0,3a)＝(2a,2a ， 0)， 1B F 1B B BA AF =++=(0,0,3),0,0)(0,0,3)a a λ-++∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF ⊥1B D , CF ⊥1B F ,110,0,CF B D CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2300,9920,a λλλ⨯=⎧⎨-+=⎩ 解得λ＝23或λ＝13∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且 当λ=13时，|AF |=13,|1AA | = a 当λ=23，|AF | =23,|1AA | = 2a. 14．如图(1)所示，已知四边形ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为 eq \r(3)的等腰梯形．将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图(2)．(1)证明：AC ⊥BO 1；(2)求二面角O —AC —O 1的余弦值．(1)证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 故以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, 、O 1(0,0, ．AC ·1BO ＝－30. 所以AC ⊥BO 1. （2）解 因为1BO ·OC =3-+0.所以BO 1⊥OC.由（1）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC, 1BO 是平面OAC 的一个法向量.设n=（x ，y ，z ）是平面O 1AC 的一个法向量， 由10,0,n AC n O C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩30,0,x y y ⎧-++=⎪⇒⎨=⎪⎩ 取z=得n=（1，0. 设二面角O-AC-O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知θ=〈n,1BO 〉， 所以cos θ= cos 〈n ，1BO 〉=11n BO n BO ⋅= 即二面角O —AC —O 1。