高一数学必修2-1-2
高一数学必修一必修二各章知识点总结
数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合（一）集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性3.集合的表示：（1）常用数集及其记法（2）列举法（3）描述法4、集合的分类：有限集、无限集、空集5.1.子集、真子集、空集；2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集；3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（一）函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.2.常用的函数表示法及各自的优点：○1解析法：必须注明函数的定义域；○2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○3列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)定义域一致.求函数值域方法 :（先考虑其定义域）（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.2. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据.(2) 画法:描点法;图象变换法常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）→B（象集）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2)各部分的自变量的取值情况；(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．（二）函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.定义的变形应用：如果对任意的12,x x D ∈，且21x x ≠有0)()(1212>--x x x f x f 或者2121(()())()0f x f xxx -->，则函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对任意的12,x x D ∈，且21x x ≠有2121()()0f x f x x x -<-或者2121(()())()0f x f xxx --<，则函数)(x f 在区间D 上是减函数. 注意：函数的单调性是函数的局部性质. （2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .3.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f [g (x )]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 4．函数最大（小）值（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（2）利用图象求函数的最大（小）值；（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aa n m nm nm ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；（2）()r s r s a a =),,0(R s r a ∈>；（3）()r r ra b ab =(0,)a r R >∈． （二）指数函数及其性质1．指数函数的概念： 一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2．指数函数的图象和性质（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [（a>1）或 )]a (f ),b (f [(0<a<1)； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =.二、对数函数（一）对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log . 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数N ⇔log N（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Malog M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log)(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式可得下面的结论：（1）b m n b a nam log log =； （2）ab b a log 1log =．（三）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.如：xy 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0a >，且1a ≠．21．幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2．幂函数性质归纳：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）当0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. 2．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标. 即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 3．函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．二、函数的应用解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.数学必修2各章知识点总结第一章 空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）结 构 特 征 性质 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公共顶点. 圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.圆台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.2、空间几何体的三视图三视图定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度. 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 轴平行且长度不变；②原来与y 轴平行的线段仍然与y 轴平行，长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）表面积相关公式 表面积相关公式棱柱 2S S S =+侧全底 圆柱 222S r r h ππ=+全（r ：底面半径，h ：高） 棱锥 S S S =+侧全底圆锥 2S r r l ππ=+全（r ：底面半径，l ：母线长） 棱台S S S S =++侧全上底下底圆台22('')S r r r l r l π=+++全（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长）（2）柱体、锥体、台体的体积公式体积公式体积公式 棱柱 V S h =底高圆柱 2V r h π=棱锥 13V S h =底高圆锥 213V r h π=棱台1('')3V S SS Sh =++圆台221('')3V r rr r h π=++（3）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24Rπ第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系1、空间点、直线、平面之间的位置关系 （1）平面① 平面的概念： 平面是无限伸展的.② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉. 点与直线的关系：点A 在直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l.直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α.（2）平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,ABC ABC α⇒不共线确定平面,l P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.（3）空间直线与直线之间的位置关系公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行①空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. ②异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线③异面直线所成角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]︒，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补. （4）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a α⊂； a ∩α＝A ；a ∥α . （5）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点，记作α∥β.相交——有一条公共直线，记作α∩β＝b.2、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行⇒线面平行) 符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行），用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. *（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行）， *（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）用符号表示为：α∥β，a ⊂β//a α⇒（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a ,β∩γ＝b //a b ⇒3、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.（线线垂直→线面垂直）用符号表示为：l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α⇒l ⊥α性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 用符号表示为：a ⊥α，b ⊥α⇒ //a b②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直→面面垂直）用符号表示为：a ⊂α，α⊥β⇒α⊥β.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直→线面垂直）用符号表示为：αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥⇒a β⊥.4、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角. （2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0.②平面的垂线与平面所成的角：规定为90.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.*垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示.即ta n k α=.斜率反映直线与轴的倾斜程度. 当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在. ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=③设1122(,),A x y B xy ，（），则线段AB 中点坐标公式为1212(,)22x x y y ++ β aαb2、直线的方程（1）直线方程的几种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1 不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2) 和直线y ＝y 1(y 1≠y 2) 截距式 xa ＋yb ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 注意：○1各式的适用范围; ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）.（2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线）①平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=++C y B x A （C 为参数） ②垂直直线系：垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系方程为：000=+-C y A x B （C 为参数） ③过定点的直线系:（ⅰ）斜率为k 的直线系方程为()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；*（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中.3、两直线平行与垂直已知111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否. 4、两条直线的交点0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 相交，交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解. 方程组无解21//l l ⇔； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合5、距离公式：(1)平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离为|P 1P 2|＝222121()()x x y y -+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||P P x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||P P y y =-； (2)平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离为d ＝|Ax0＋By0＋C|\r(A2＋B2).(3)两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(其中A ，B 不同时为0，且C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C1－C2|\r(A2＋B2).第三章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程()()222rb y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x 当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a ，b ，r ；若利用一般方程， 需要求出D ，E ，F.另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3、直线与圆的位置关系：位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法 相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d<r △>0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0（利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长222||d r AB -=（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】；(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定.设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含； 当0=d时，为同心圆.注意：已知两圆相切，两圆心与切点共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点. 5.空间直角坐标系（1）定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O -xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.（2）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)Mxyz（x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）（3）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。
人教版数学高一必修二
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人教版数学高一必修二第一章第二节的笔记可以包括以下几个部分：
1. 基础知识：
定义：包括平面角、直线与平面的位置关系等的基本定义。
性质：理解并掌握平面几何的基本性质，例如平行线性质、垂直线性质等。
2. 重点公式：
平面角公式：计算两个平面之间的夹角。
直线与平面位置关系公式：判断直线与平面是平行、相交还是垂直。
3. 解题方法：
解析法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而求解。
综合法：根据已知的定理、性质等，通过逻辑推理得出结论。
4. 注意事项：
注意图形的绘制，理解图形与公式的对应关系。
注意公式的适用范围和限制条件。
5. 典型例题：
选择题和填空题：针对本节知识的理解和应用进行练习。
解答题：通过实际问题的解答，加深对知识的理解和应用。
6. 课后习题：
对应本节知识，选取有代表性的题目进行练习。
7. 归纳总结：
对本节知识进行总结，梳理知识点之间的联系，形成知识体系。
请注意，这只是一种可能的笔记结构，具体内容应根据个人的学习情况和需求进行调整和补充。
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高一数学必修2目录_高一数学必修二课本目录数学必修2课程是高一学生学习的重要内容。
同学们若想知道必修2课本目录，下面店铺为大家整理了高一数学必修2目录，希望对大家有所帮助!高一数学必修2目录第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆小结复习参考题高一数学必修2知识点1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-1
1.2.1一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数为()①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线；④平行四边形是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析]①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线；④平行四边形是平面图形(原理：两条平行直线确定一个平面)，故只有④正确．2．若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是()A．1个B．2个C．3个D．1个或3个[答案] D[解析]如图(1)所示的三条两两相交直线确定一个平面；如图(2)所示的三条两两相交直线确定三个平面．3．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中()A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线[答案] B[解析]四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A、C错，AB与CD相交于点A时，D错．4．文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是()A.⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B.⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈αC.⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α [答案] B[解析] 点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用“⊂”表示．5．下列说法正确的是( )A ．a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 [答案] D[解析] 如图所示，a ⊂α，b ⊂β，但a ∥b ，故A 错，C 错； 如图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 异面，BC 与DD 1异面，但AA ′与DD 1平行，故B 错，故只有D 选项正确．6．若直线l 上有两个点在平面α外，则( ) A ．直线l 上至少有一个点在平面α内 B ．直线l 上有无穷多个点在平面α内 C ．直线l 上所有点都在平面α外 D ．直线l 上至多有一个点在平面α内 [答案] D[解析] 由已知得直线l ⊄α，故直线l 上至多有一个点在平面α内． 7．下面四个条件中，只能确定一个平面的条件是( ) A ．空间任意三点B ．空间两条直线C．两条平行线D．一条直线和一个点[答案] C[解析]由平面的基本性质可知选C.8．如图所示，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，又AB∩l＝R，设A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上皆错[答案] C[解析]∵C∈β，C∈γ，∴C在平面β与γ的交线上，又R∈AB，AB⊂α，∴R∈γ，又R∈β，∴R在平面β与γ的交线上，∴β∩γ＝CR.二、填空题9．四条线段顺次首尾相连，它们最多可以确定平面的个数为________．[答案] 410．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为__________________________________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为__________________________________________________________．[答案](1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B11．直线a及不在直线a上的不共线三点，可以确定平面的个数是________．[答案]1个、3个或4个12．如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.三、解答题13．△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，如果三条直线AA1、BB1、CC1两两相交，证明：三条直线AA1、BB1、CC1交于一点．[解析]由推论2，可设BB1与CC1，CC1与AA1，AA1与BB1分别确定平面α，β，γ，设AA1∩BB1＝P，则P∈AA1，P∈BB1.∴P∈β，P∈α，又因α∩β＝CC1，则P∈CC1(公理2)，于是AA1、BB1、CC1相交于点P，故三条直线AA1、BB1、CC1共点．点评：空间中证三线共点有如下两种方法：(1)先确定两条直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．(2)先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线各交于一点，再证这两点重合．从而得三线共点．14．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．[解析]如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P 是平面ABCD 与平面BED 1F 的一个公共点， 又B 是两平面的一个公共点， ∴PB 为两平面的交线．15．已知：如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，G 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DG ∶GA ＝2∶3，求证：直线EF 、BD 、HG 交于一点．[解析] 连结EH 、AC 、FG . ∵E 、H 分别为BC 、AB 的中点， ∴EH 綊12AC ，∵DF ∶FC ＝2∶3，DG ∶GA ＝2∶3，∴FG ∥AC ，FG ＝25AC ，∴EH ∥FG 且FH ≠FG ，∴E 、F 、G 、H 四点共面且EF 与GH 不平行． ∴EF 与GH 相交．设EF ∩GH ＝O ，则O ∈GH ，O ∈EF ， ∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊂平面BCD ， ∴O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD .∴平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴O ∈BD ， ∴即直线EF 、BD 、HG 交于一点．16．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c ∩a ＝M ，直线b ∩c ＝N ，又a ∩平面α＝A ，b ∩平面α＝B ，c ∩平面α＝C ，求证：A 、B 、C 三点不共面．[解析]假设A、B、C三点共线，即都在直线l上，∵A、B、C∈α，∴l⊂α.∵c∩l＝C，∴c与l可确定一个平面β.∵c∩a＝M，∴M∈β.又∵A∈β，∴a⊂β，同理b⊂β，∴直线a，b共面，这与已知a，b不共面矛盾．因此，假设不成立，即A、B、C三点不共线．。
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
高一数学必修1-2知识点总结
高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）空集的特性①空集是不含任何元素的集合.②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.③空集单独使用时当集合的，但是放在集合里面又可以当元素使用,如｛Φ｝【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇Φ=A C U UA C U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．o⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法增；若y f =则[()]y f g x =为减．（2）函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[0)、上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作m x f =)(min ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．若0)0(≠f ，则0=x 必不在)(x f 的定义域上③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对． (0,)+∞上为减函p,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b qa->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．高中数学必修1知识点总结第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
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1.1.4 投影与直观图
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
实习作业
1.2.2 空间中的平行关系
本章小结
第二章 平面解析几何初步
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.4 点到直线的距离
2.3.2 圆的一般方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4.2 空间两点的距离公式
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Байду номын сангаас
阅读与欣赏
笛卡儿
后记
第一章 立体几何初步
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1.1 空间几何体
1.1.1
构成空间几何体的基本元素
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1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结 构特征
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0002页 0049页 0087页 0170页 0188页 0223页 0367页 0389页 0460页 0509页 0545页 0562页 0602页 0626页 0684页 0686页
第一章 立体几何初步
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
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1 5 3 OD＝ AD＝ . 3 3 设上底面边长为 x，则 O1D1＝ 过 D1 作 D1H⊥AD 于 H， 5 3 3 则 DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝ － x， 3 6 DH 5 3 3 在△D1DH 中，D1D＝ ＝2 － x ， cos60° 3 6 1 ∴在梯形 B1C1CB 中，S＝ (B1C1＋BC)· D1D， 2 ∴ 20 3 1 5 3 3 ＝ (x＋10)· 2 ， 3 2 3 － 6 x 3 x. 6
∴ 2(a＋b)＝8. 1 ∴SBDD1B1＝ (B1D1＋BD)· D1E 2
1 ＝ × 2(a＋b)×3＝12(cm2)． 2 16． 如图在以 O 为顶点的三棱锥中， 过 O 的三条棱两两交角都是 30° ， 在一条棱上取 A、 B 两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以 A、B 为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧 面无摩擦)，求此绳在 A、B 两点间的最短绳长． [解析] 作出三棱锥的侧面展开图，如图 A、B 两点间最短绳长就是 线段 AB 的长度． 在△AOB 中，∠AOB＝30° ×3＝90° ， OA＝4 cm，OB＝3 cm， 所以 AB＝ OA2＋OB2＝5 cm. 所以此绳在 A、B 两点间的最短绳长为 5 cm. 17．如图，正三棱台 ABC－A1B1C1 中，已知 AB＝10，棱台一个侧 20 3 面梯形的面积为 ，O1、O 分别为上、下底面正三角形中心，D1D 为 3 棱台的斜高，∠D1DA＝60° .求上底面的边长． [解析] 由 AB＝10， 则 AD＝ 3 AB＝5 3， 2
2 7 3 ∴斜高 E1E＝ OO2 . 1＋(OEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱO1E1) ＝ 6
10．正四棱锥 S－ABCD 的所有棱长都等于 a，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面 积为__________． [答案] 1 2 a 2
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1.2.2第3课时一、选择题1．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面[答案] D2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交[答案] A[解析]∵平面α∥平面β，∴α与β没有公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点．3．α和β是两个不重合的平面，下列条件中可判定α与β平行的是()A．l为直线，且l∥α，l∥βB．α内不共线的三点到β的距离相等C．l、m是平面α内的直线，且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β[答案] D[解析]对于A来说：当α∩β＝a，且l⊄α，l⊄β，l∥a时，有l∥α，l∥β，但α与β不平行，所以A错误；对于选项B，平面α与平面β的位置关系也是有两种情形：相交或平行，当平面α内不共线三点在平面β的同侧时，有α∥β；当平面α内不共线的三点在平面β的异侧时，α与β相交，故B不正确；对于C选项，因直线l、m在平面α内不一定相交，由此可知，平面α、β不一定平行，故C不正确．易知D正确．故选D.4．可以作为平面α∥平面β的条件的是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α[答案] D[解析]a∥β，则β中存在a′∥a，则面α内存在b′，使b∥b′，且a′与b相交，a与b′相交，∴α∥β.故选D.5．若平面α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条直线与a平行C．存在无数条直线与a平行D．存在惟一一条与a平行的直线[答案] D[解析]∵α∥β，B∈β，∴B∉α.∵a⊂α，∴B、a可确定平面γ且γ∩α＝a，γ与β交过点B的直线，∴a∥b.∵a、B在同一平面γ内，∴b惟一，即存在惟一一条与a平行的直线．6．下列命题中，错误的是()A．三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面．B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有惟一的一条直线b，使b∥a.C．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥d.D．一条直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行．[答案] D7．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] A8．下列结论中正确的是()A．平行于平面内两条直线的平面，一定平行于这个平面B．一条直线平行于一个平面内的无数条直线，则这条直线与该平面平行C．两个平面分别与第三个平面相交，若交线平行则两平面平行D．在两个平行平面中，一平面内的一条直线必平行于另一个平面[答案] D二、填空题9．给出下列命题①平行于同一直线的两个平面平行．②平行于同一平面的两个平面平行．③正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1与平面A1BC1平行．④四棱台ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1与平面ADD1A1相交．⑤在两个平面内分别有一条直线，这两条直线不平行，那么这两个平面必相交．其中正确结论的序号是__________．[答案]②③④[解析]正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1与平面CDD1C1都与AA1平行，但此两平面交线为CC1，故①错误．②正确．③正确，BC1∥AD1，A1B∥CD1，由两面平行判定定理的推论知，平面A1BC1∥平面ACD1.④正确．棱台是由棱锥截得的，故侧面必相交．⑤错误，如图．故填②③④.10．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．[答案]相交或平行11．下列说法：①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④三个平行平面把两条直线截得线段对应成比例．其中正确的是________．[答案]①④12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________________时，有MN∥平面B1BDD1.[答案]M在线段FH上移动[解析]此时HN∥BD，MH∥DD1，∴平面MNH∥平面BDD1B1，∴MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题13．已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 边AB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明．[解析] 解法一：∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB .在△ACG 中，D 是AC 的中点，且DH ∥AG ，∴H 是CG 的中点．∴FH 是△SCG 的中位线，∴FH ∥SG .又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴SG ∥平面DEF .解法二：∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB .∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，∴EF ∥平面SAB .同理：DF ∥平面SAB ，EF ∩DF ＝F ，∴平面SAB ∥平面DEF ，又∵SG ⊂平面SAB ，∴SG ∥平面DEF .14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，如图所示．(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面；(2)求证：平面AMN ∥平面EFBD .[解析] (1)分别连结BD 、ED 、FB ，由正方体性质知，B 1D 1∥BD .∵E 、F 分别是C 1D 1和B 1C 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，EF 綊12BD . ∴E 、F 、B 、D 四点共面．(2)连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，分别连结P A、QO.∵M1N分别为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF⊂面EFBD，∴MN∥面EFBD.∵PQ綊AQ，∴四边形P AOQ为平行四边形，∴P A∥QO.而QO⊂面EFBD，∵P A∥面EFBD，且P A∩MN＝P，P A、MN⊂面AMN，∴平面AMN∥面EFBD.15．已知三个平面α、β、γ，且α∥γ，β∥γ.求证：α∥β.[解析]解法一：如图，在α内作两相交直线a、b，且过α作平面M与γ交于a′，再过a′作平面N交平面β于a″.∵α∥γ，M∩γ＝a′，N∩β＝a″，∴a∥a′，同理a″∥a′，∴a∥a″，又a⊄β(否则α与β重合)∴a∥β，同理b∥β，又a、b是α内两条相交直线，∴α∥β.解法二：假设αβ，则α与β有公共点，设公共点为P，由已知α∥γ，β∥γ，得知过点P 有两个平面α、β都与γ平行．这与“经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行”矛盾，从而得证．16．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D.若P A＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[解析]因为点P的位置不确定，应分以下三种情况讨论．(1)当点P在α上方时，如图，∵P A∩PB＝P，β∩平面PCD＝CD，α∩平面PCD＝AB，又α∥β，∴AB ∥CD .∴P A PC ＝PB PD. 又P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，∴PC ＝P A ＋AC ＝15.∴PB ＝6×815＝165. ∴BD ＝PD －PB ＝8－165＝245. (2)当点P 在α、β中间时，如图，∵α∥β，∴AB ∥DC .∴△P AB ∽△PCD .∴P A PC ＝PB PD. ∵AC ＝9，P A ＝6，∴PC ＝3.又PD ＝8，∴PB ＝P A ×PD PC ＝6×83＝16. ∴BD ＝8＋16＝24.(3)当点P 在β下方时，由P A <AC 知不可能．∴BD 的长为245或24. 17．在棱长为2cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，问过点A 1作与截面PBC 1平行的截面也是三角形吗？并求该截面的面积．[解析] 设过点A 1与截面PBC 1平行的截面为α，则α与平面PBC 1被平面A 1B 1C 1D 1和ABB 1A 1所截，则交线平行，故在平面A1B1C1D1内，过A1作A1E∥PC1交C1D1于E，则E为C1D1中点，在平面ABB1A1内，过A1作A1F∥PB交AB于F，则F为AB的中点．又截面α与上、下底面的交线平行，∴连结CF为下底面的交线．同理连结CE为α与平面CDD1C1的交线．由A1E綊CF知截面为平行四边形，又A1E＝A1F，∴截面平行四边形为菱形，故其两对角线A1C与EF相互垂直，面积S＝A1C·EF＝6a2，a＝2，∴S＝46cm2.。
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1.1.2 第1课时一、选择题1．下列几何体中是棱柱的个数为()A．1B．2C．3D．42．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱3．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．35．斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形()A．0个B．1个C．2个D．3个6．长方体中共点的三条棱长分别为a、b、c(a<b<c)，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为S a、S b、S c，则()A．S a>S b>S c B．S a>S c>S b C．S b>S c>S a D．S c>S b>S a7．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，则长方体被分成三个几何体中，棱柱的个数是()A．0 B．1 C．2 D．38．下列图形中，不能折成三棱柱的是()二、填空题9．一个棱柱至少有________个面，有________个顶点，有________条棱．10．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．11．若长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm.把这样的两个长方体全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为__________．三、解答题12．长方体的三条棱长之比为1 2 3，全面积为88cm2，求它的对角线长．13．底面是菱形的直平行六面体的高为12cm，两条体对角线的长分别是15cm和20cm，求底面边长．14．正方体的截面可能是什么形状的图形？[分析]本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案．15．如图所示，正三棱柱的底面边长是4cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于点D，若AD的长为2cm，求截面△BCD的面积．1[答案] C[解析]①③⑤为棱柱，故选C.2[答案] A[解析]由几何体对角线的概念可知，选A.3[答案] D[解析]由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：A中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1相似不全等．B中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面．C中直四棱柱底面ABCD是菱形．4[答案] B[解析]甲命题符合平行六面体的定义；乙命题是错误的，因为底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直；丙命题也是错的，因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故选B.5[答案] C[解析]如图所示，在斜四棱柱AC′中，若AA′不垂直于AB，则DD′也不垂直于DC，所以四边形ABB′A′和四边形DCC′D′就不是矩形．6[答案] D[解析]依题意：S a＝a b2＋c2，S b＝b a2＋c2，S c＝c a2＋b2，S2c－S2b＝a2c2＋b2c2－a2b2－b2c2＝a2(c2－b2)>0(∵a<b<c)，∴S c>S b，同理S b>S a，故S c>S b>S a.7[答案] D[解析]三个几何体分别是以△A1AP、梯形P ABE、△EBB1为底的棱柱，故选D.8[答案] C[解析]C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱.9[答案]569[解析]最简单的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．10[答案]①④⑤[解析]将展开图还原为正方体当第六个正方形在①，④，⑤的位置时，满足题意．11[答案]5 5[解析]有以下三种重叠方式：在(1)情形下，对角线长l1＝52＋42＋62＝77；在(2)情形下，对角线长l2＝102＋42＋32＝125；在(3)情形下，对角线长l3＝52＋82＋32＝98，∴最长为l2＝5 5.12[解析]设长方体的三条棱长分别为x cm、2x cm、3x cm，由题意，得2(x·2x＋x·3x＋2x·3x)＝88，解得x＝2.即长方体的三条棱长分别为2cm,4cm,6cm.故它的对角线长为22＋42＋62＝214cm.13[解析]如图所示，由已知得直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，高AA1＝12cm，对角线A1C＝20cm，对角线BD1＝15cm，在△ACA1中，AC＝A1C2－AA21＝202－122＝16cm，在△BDD1中，BD＝BD21－DD21＝152－122＝9cm，又∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且AC、BD互相平行，∴AO＝4cm，BO＝3cm，∴AB＝5cm.14[解析]①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面不能是直角梯形；⑤截面可以是五边形；截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形；⑥截面可以是六边形；截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等； ⑦截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形，特别地可以是正六边形． 对应截面图形如下图中各图形所示．15[解析] 取BC 的中点E ，连结AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∵AE ＝32×4＝23，DE ＝(23)2＋22＝4， ∴S ＝12BC ·ED ＝12×4×4＝8cm 2. ∴截面△BCD 的面积为8cm 2.。
高一数学必修一二知识点总结
高一数学必修一二知识点总结高一数学必修一二知识点总结 1一：函数模型及其应用本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。
主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
2、用函数解应用题的基本步骤是：（1）阅读并且理解题意。
（关键是数据、字母的实际意义）；（2）设量建模；（3）求解函数模型；（4）简要回答实际问题。
常见考法：本节知识在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。
多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。
误区提醒：1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2.在解决实际问题时，首先要明确问题的含义，区分条件和结论，把握关键词和数量，理顺数量关系，然后将书面语言转化为数学语言，建立相应的数学模型。
【典型例题】例1：（1）某种储蓄的月利率是0。
36%，今存入本金100元，求本金与利息的和（即本息和）y（元）与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和（不计复利）。
（2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。
如果存入本金1000元，每期利率2。
25%，试计算5期后的本利和是多少？解：（1）利息=本金×月利率×月数。
y=100+100×0。
36%·x=100+0。
36x，当x=5时，y=101。
8，∴5个月后的本息和为101。
8元。
例2：某民营企业生产a，b两种产品，根据市场调查和预测，a产品的利润与投资成正比，其关系如图1，b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将a，b两种产品的利润表示为投资的函数，并写出m.chayi5 它们的函数关系式。
高一数学必修1(北师大版)同步练习2-1、2-3
2-1、2-3 映 射基 础 巩 固一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( )A ．A ＝B ＝N ＋，对应法则f ：x →y ＝|x －2|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎨⎧1 (x ≥0)0 (x <0) C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] A 中元素2无象，排除A ；C 中一个x 对应两个y ，与映射定义不符，排除C ；D 中元素0无像，排除D ，故只有B 正确．2．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面的命题为真命题的是( )A ．A 中的每一个元素在B 中必有像B ．B 中的每一个元素在A 中必有原像C ．B 中的每一个元素在A 中的原像唯一D ．A 中的不同元素的像必定不同[答案] A[解析] 由映射的定义可知，集合A 中的每一个元素在B 中必有像，故选A.3．已知(x ，y )在映射下的像是(x ＋y ，x －y )，则像(1,2)在f 下的原像为( )A ．(52，32)B ．(－32，12)C ．(－32，－12) D ．(32，－12) [答案] D[解析] 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝－12.4．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列能表示从集合A 到集合B 的映射的是()[答案] D[解析] 对于A ，当x ＝0，y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，不是从A 到B 的映射；对于B ，当x ＝2时y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，也不是从A 到B 的映射；对于C ，当x ＝0时，y ＝1且y ＝2，即集合A 中的一个元素0与集合B 中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，所以是从A 到B 的映射．5．(2012·广州高一检测)下列说法正确的有( )①函数是从定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋1－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈Z )的图像是一条直线．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] B[解析] ①根据定义可知此命题是正确的；②要使f (x )有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≤1， 故x ∈∅，定义中明确指出，函数建立在两个非空数集上，故此命题是错误的；③因为函数y ＝2x 的定义域是Z ，故y ＝2x (x ∈Z )的图像是一些孤立的点，所以此命题是错误的．故应选B.6．下列各组中，集合P 与M 不能建立映射的是( )A ．P ＝{0}，M ＝∅B ．P ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{2,4,6,8}C ．P ＝{有理数}，M ＝{数轴上的点}D ．P ＝{平面上的点}，M ＝{有序实数对}[答案] A[解析] 选项A 中，M ＝∅，故集合P 中的元素在集合M 中无元素与之对应，故不能建立映射．二、填空题7．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{m ，n }，则由A 到B 的一一映射的个数为________．[答案] 2[解析] 由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a ，b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．[答案] 1[解析] 因为f ：x →x ，∴M ＝N ，∴b a＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1. 三、解答题9．已知映射f ：A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y )．(1)求A 中元素(5,5)的像；(2)求B 中元素(5,5)的原像；(3)A 中是否存在这样的元素(a ，b )，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝5，∴(x ＋2y ＋2,4x ＋y )＝(17,25)．∴A 中元素(5,5)的像是(17,25)．(2)设元素(5,5)的原像是(m ，n )，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＋2＝5，4m ＋n ＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1， ∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A 中存在这样的元素(a ，b )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋2＝a ，4a ＋b ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1， ∴A 中存在元素(a ，b )使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).能 力 提 升一、选择题1．已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝32x D ．f ：x →y ＝x[答案] C[解析] 对于A ，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，f ：x →y ＝12x 能构成A 到B 的映射；对于B,0≤13x ≤43，也能构成集合A 到集合B 的映射；对于C,0≤32x ≤6，而[0,6][0,2]，所以不能构成从A 到B 的映射；对于选项D,0≤x ≤2，能构成从A 到B 的映射．2．(2012·东营高一检测)已知集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，若f 是M →N 的映射，且f (a )＝0，则这样的映射共有( )A ．4个B ．6个C ．9个D ．27个 [分析] 通过本题考查映射的概念．同时又加深了像与原像的关系理解，是一道“源于课本，高于课本”的好题．[答案] C[解析]∵f(a)＝0.本题就转化为M＝{b，c}到N＝{－1,0,1}的映射个数问题．当f(b)＝－1时f(c)可以等于－1,0,1三种情况．同理当f(b)＝0或1时，f(c)也各有三种情况．∴共构成9个映射，故选C.二、填空题3．下列对应是集合A到集合B的一一映射的是________(填正确序号)．(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x；(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝13x；(3)A＝{x|0≤x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：x→y＝1 x；(4)A＝{三角形}，B＝R，f：三角形与它面积的对应．[答案](2)[解析](1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．4．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1，2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下A→B的像，且对任意的a ∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素个数是________．[答案] 4[解析]∵|－3|＝3，|－2|＝2，|－1|＝1，∴－3,3→3，－2,2→2，－1,1→1,4→4，B中元素有4个．三、解答题5．下列对应是不是从A 到B 的函数？是不是从A 到B 的映射？(1)A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；(2)A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是圆}，f ：三角形的内切圆；(3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →y ＝1x. [解析] (1)当x ∈N 时，则|x －3|∈N ，即A 中的元素在B 中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，它是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，y ＝10没有意义，即A 中元素0在B 中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？对于关系式x ＝1，显然有x ∈{1}，y ∈R ，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x ＝1”不是y 关于x 的函数．6．从集合A 到B 的映射是f ：x ―→y ＝x 2x ＋1，从集合B 到C 的映射是f ：y ―→z ＝y 2－4y ，则A 中元素1在C 中的像是什么？C 中的元素0对应A 中的原像是什么？[解析] A 中元素1在B 中对应的元素为12×1＋1＝13，B 中元素13在C 中对应的元素是(13)2－4×13＝－119，故A 中元素1在C 中的像是－119. C 中的元素0在B 中的原像是0或4.B 中的元素0在A 中的原像是0；B 中的元素4在A 中的原像是－47，所以C 中的元素0在A 中的原像是0或－47. 7．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像；(2)试探索B 中元素满足什么条件时在A 中存在原像？[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －xy ＝3，x －y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 所以B 中元素(3，－4)在A 中的原像为(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足⎩⎪⎨⎪⎧－xy ＝a ①x －y ＝b ②，由②得y ＝x －b 代入①式并化简，得x 2－bx ＋a ＝0③当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实根，所以，只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原像．。
高一数学人教B版必修4课件：2-1-2 向量的加法
→ |＝60， 在△ADC 中，∠ADC＝90° ，|DC → |＝ |AD―→|2＋|DC―→|2 所以|AC ＝ (20 3)2＋602＝40 3(n mile)． → |＝2|AD → |，所以∠CAD＝60° 因为|AC .
答： 轮船此时位于 A 港东偏北 60° ， 且距 A 港 40 3n mile 的 C 处．
• (3)对于向量求和的三角形法则与平行四边
形法则，要注意它们的应用条件．当两个 向量不共线时，它们是一致的．但当两个 向量共线时，三角形法则仍然适用，而平 行四边形法则就不适用了．向量加法遵循 三角形法则和平行四边形法则，因此，向 量加法的三角形法则和平行四边形法则实 际上就是向量加法的几何意义． • (4)向量加法适合交换律和结合律，这两个 运算律可以推广到多个向量的加法运算．
)
→ A.BC → C.AB
→ B.DA → D.AC
[解析]
→ ＝AB → ，∴DC → ＋BA → ＝0，故选 A. ∵DC
• [答案] A
→ ＋BC → 等于( 3．若 C 是线段 AB 的中点，则AC → A.AB C．0 → B.BA D．以上均不正确
)
• [答案] C
→ 与BC → 模相等而方向相反，因此AC → ＋BC → ＝0. [解析] AC
• [例3] 轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了
→ → 分别表示轮船的两次位移， → [解析 ] 如图， AB 、 BC 则AC 40n mile( 海里 )到达 B处，再由B处沿正北方 向行驶40n mile 到达 处．求此时轮船关于 A → →C →. 表示轮船的和位移， AC ＝AB ＋ BC 港的相对位置． → |＝40， 在△ADB 中，∠ADB＝90° ，∠DAB＝30° ，|AB → |＝20，|AD → |＝20 3. 所以|DB
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一、绪论
1.数学的定义、性质、作用
2.数学竞赛的目的和意义
3.数学在现代社会中的重要地位
二、代数
1. 真算数、有理数及运算法则
2. 方程、不等式及解法
3. 函数与其性质
4. 幂与开方
三、几何
1. 几何图形及其基本性质
2. 直线和圆
3. 空间几何
四、三角函数
1. 圆周率及其应用
2. 三角函数的定义和基本性质
3. 三角函数图像及其绘制
4. 三角函数的应用
五、排列组合
1. 排列组合的定义
2. 排列组合计算公式
3. 应用题
六、数列
1. 等差数列的性质及公式
2. 等比数列的性质及公式
3. 非等差非等比数列
4. 特殊数列和应用题
七、统计
1. 概率的概念
2. 概率分布
3. 变量统计
八、几何初等函数
1. 正弦定理及其应用
2. 椭圆及其方程
3. 椭圆的性质及其应用。
高一数学必修2(人教B版)第一章各节同步检测1-2-2-2
1.2.2第2课时一、选择题1．下列命题(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；(2)若直线a在平面α外，则a∥α；(3)若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；(4)若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案] A[解析]对于(1)，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.∴(1)是假命题．对于(2)，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．∴(2)是假命题．对于(3)，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.∴(3)是假命题．对于(4)，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行．∴(4)是真命题．综上可知，真命题的个数为1个．∴应选A.2．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面P AD.故正确的只有①③，选B.3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B ．都相交且交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点 [答案] D[解析] 当直线与平面平行时，a ∥b ∥c …，当直线与平面α相交时，设l ∩α＝O ，则a 、b 、c ，…是过O 点的直线，故选D. 4．不同直线m 、n 和不同平面α，β，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫n ∥αm ⊂α⇒m ∥n ；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 不共面；④⎭⎪⎬⎪⎫n ∥βm ∥α⇒m ∥n ，其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] ①中m 与n 可能平行，也可能异面，②中可能n ⊂β，③中可能m ∥n ，④中不知道α与β的位置，无法判断m 与n 的关系，故四个命题全不正确．5．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行D ．OB 与O 1B 1不一定平行 [答案] D6．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 [答案] D[解析] 如图所示，设M 、N 、P 、Q 为所在边的中点，则过这四个点中的任意两点的直线都与面DBB 1D 1平行，这种情形共有6条；同理，经过BC 、CD 、B 1C 1、C 1D 1四条棱的中点，也有6条；故共有12条，故选D.7．直线l 与平面α平行，点A 是平面α内的一点，则下列说法正确的是( ) A ．过点A 作与l 平行的直线只能作一条，且在α内 B ．过点A 作与l 平行的直线只能作一条，且在α外C ．过点A 作与l 平行的直线可作无数条，可在α内，也可在α外D ．过点A 不可作与l 平行的直线 [答案] A8．下列四个命题中，正确的个数是( )①AB 是平面α外的线段，若A 、B 到平面α的距离相等，则AB ∥α； ②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ③若直线a ∥直线b ，则a 平行于过b 的所有平面； ④若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则a ∥b . A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[答案] A[解析] ①若AB 与α相交，则AB 上存在两点与α距离相等，故①错误．②由等角定理知，应注意条件中的“方向”，即此两角也可能互补，故②错误．③a 也可能与b 共面，故③错误．④由条件知，a 与b 可异面、相交、平行，故④错．二、填空题9．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则MN 与平面BDC的位置关系是________．[答案] 平行[解析] ∵M ∈AB ，N ∈AD ，AM MB ＝ANND ，∴MN ∥BD ，∵MN ⊄平面BDC ，BD ⊂平面BCD ，∴MN ∥平面BDC . 10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ①与直线AB 平行的平面是________； ②与直线AA 1平行的平面是________； ③与直线AB 1平行的平面是________．[答案] ①面A 1C 1，面CD 1；②面BC 1，面CD 1；③面CD 111．一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是__________________．[答案] l ∥α或l ⊂α[解析] l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等； l ⊂α时，直线l 上所有点与α距离都是0； l ⊥α时，直线l 上只能有两点到α距离相等； l 与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1C 1C 和平面BB 1D 1D 的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．[答案] 平行 平行 [解析] 如图所示，平面AA 1C 1C ∩平面BB 1D 1D ＝OO 1，O 为底面ABCD 的中心，O 1为底面A 1B 1C 1D 1的中心， ∴OO 1∥CC 1.又AC ∥A 1C 1，A 1C 1⊂平面BA 1C 1，AC ⊄面BA 1C 1， ∴AC ∥面BA 1C 1. 三、解答题13．如图，已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .[解析] 作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ， 则PM ∥QN .∴PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQBD .∵AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ .又∵AB ＝CD ，EA ＝BD ，∴PM ＝QN . 故四边形PMNQ 是平行四边形．∴PQ ∥MN . ∵PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ，∴PQ ∥平面CBE .14．已知四面体ABCD 中，M 、N 分别是三角形ABC 和三角形ACD 的重心， 求证：(1)MN ∥面ABD ；(2)BD ∥面CMN .[解析] (1)如图所示，连结CM 、CN 并延长分别交AB 、AD 于G 、H ，连结GH 、MN . ∵M 、N 分别为△ABC 、△ACD 的重心， ∴CM CG ＝CNCH.∴MN ∥GH . 又GH ⊂面ABD ，MN ⊄面ABD ， ∴MN ∥面ABD .(2)连结AM 、AN 并延长分别交BC 、CD 于E 、F ，连结EF .同理MN ∥EF ，又E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴BD ∥EF .∴BD ∥MN .又MN ⊂面CMN ，BD ⊄面CMN ， ∴BD ∥面CMN .15．在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF 綊12BC ，证明：FO ∥平面CDE .[解析] 如图所示，取CD 中点M ，连结OM .在矩形ABCD 中，OM 綊12BC ，又EF 綊12BC .则EF 綊OM ，连结EM ，∴四边形EFOM 为平行四边形，∴FO ∥EM . 又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ， ∴FO ∥平面CDE .16．用平行于四面体ABCD 的一组相对棱AB 、CD 的平面截此四面体，如图所示．(1)求证所得截面MNPQ 是平行四边形；(2)如果AB ＝CD ＝a ，求证四边形MNPQ 的周长为定值．[解析] (1)∵AB ∥平面MNPQ ，平面ABC ∩平面MNPQ ＝MN ，且AB ⊂平面ABC ， ∴AB ∥MN ，同理可得PQ ∥AB . ∴由平行公理可知，MN ∥PQ . 同理可得MQ ∥NP .∴截面四边形MNPQ 为平行四边形． (2)∵由(1)可知，MN ∥AB ，∴MN AB ＝MCAC ，∴AB －MN AB ＝AC －MC AC ＝AMAC. 又MQ ∥CD ，∴AM AC ＝MQ CD ，∴AB －MN AB ＝MQCD. 又AB ＝CD ＝a ，∴MN ＋MQ ＝a ，∴平行四边形MNPQ 的周长为2(MN ＋MQ )＝2a ， ∴四边形MNPQ 的周长为定值.。
人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》
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2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交 线上 D．两个平面一定有公共点
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例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、 平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题 的突破口．
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合， 所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面 与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
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1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把 空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
高中数学必修二目录
高中数学必修二目录高中数学必修二的目录如下：
第一章：不等式
1.1 一次不等式
知识点1：一次不等式的解集
知识点2：一次不等式的性质
知识点3：一次不等式的应用
1.2 二次不等式
知识点1：二次不等式的解集
知识点2：二次不等式的性质
知识点3：二次不等式的应用
第二章：函数概念与初等函数
2.1 函数的概念
知识点1：函数的定义和性质
知识点2：函数的表示方法
2.2 幂函数
知识点1：幂函数的概念与性质
知识点2：常用幂函数的图像与性质
2.3 指数函数
知识点1：指数函数的概念与性质
知识点2：常用指数函数的图像与性质
2.4 对数函数
知识点1：对数函数的概念与性质
知识点2：常用对数函数的图像与性质第三章：三角函数
3.1 弧度制与角度制
知识点1：弧度制与角度制的换算
知识点2：弧度的性质与应用
3.2 正弦函数与余弦函数
知识点1：正弦函数与余弦函数的定义
知识点2：正弦函数与余弦函数的性质与图像
3.3 正切函数与余切函数
知识点1：正切函数与余切函数的定义
知识点2：正切函数与余切函数的性质与图像第四章：平面向量
4.1 平面向量的表示与运算
知识点1：平面向量的定义与表示方法
知识点2：平面向量的运算法则
4.2 平面向量的数量积
知识点1：平面向量的数量积的定义与性质知识点2：平面向量的数量积的应用
4.3 平面向量的叉积
知识点1：平面向量的叉积的定义与性质
知识点2：平面向量的叉积的应用
以上是高中数学必修二的目录，涵盖了不等式、函数概念与初等函数、三角函数以及平面向量等内容。
高一数学必修1教案：2-2-1指数函数 含解析 精品
2.2 指数函数2.2.1 分数指数幂整体设计教材分析“分数指数幂”这一节的主要内容是根式和分数指数幂的概念以及有理数指数幂的运算性质.分数指数是指数概念的又一次推广，教学中应通过多举一些实际例子让学生反复理解分数指数幂的意义，让学生明白分数指数幂不是表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法.或者通过根式和分数指数幂的相互转化来巩固和加深对分数指数幂这一概念的理解. 由于学生已经学习了负整数指数幂，正分数指数幂的概念引入后学生也就不难理解负分数指数幂的意义，在教学过程中，可以引导学生得出 m na=nma1(a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1)这一结论. 三维目标1.理解根式的概念，掌握n 次方根的性质.2.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义.3.掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用公式进行有理数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.4.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充和不断完善的过程，使学生深深体会认识客观世界的一般规律是呈不断上升的趋势，认同科学是在不断地观察、实验、探索和完善中前进的. 重点难点教学重点：正确理解根式以及分数指数幂的概念，根式与分数指数幂的互化，运用分数指数幂进行简单的运算. 教学难点：根式的概念以及分数指数幂的意义. 课时安排 2课时教学过程第一课时 分数指数幂(一)导入新课设计思路一(复习导入)在初中我们已经学过平方根和立方根的概念，我们复习一下平方根和立方根的概念. 平方根的概念：如果x 2=a ，那么我们称x 为a 的平方根；如果x 3=a ，那么我们称x 为a 的立方根.相仿地，我们就有n 次实数方根的概念. 设计思路二(问题导入)在日常生活中，衣服用去污剂洗过以后，要用清水漂洗.假如每次清水漂洗能漂去残留去污剂量的43，写出残留去污剂量y 与漂洗次数x 的函数关系式.若要使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，则至少要漂洗多少次？ (答案：函数关系式是：y=(1-43)x =(41)x，使残留去污剂量不超过漂洗前的1％，至少漂洗4次)推进新课 新知探究根据引入，可以得到如下n 次实数方根的概念： 一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n ＞1,n ∈N *)，那么我们称x 为a 的n 次实数方根(nth root).当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数.这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na ，例如，23=8⇒2=38;(-3)3=-27⇒-3=327-;b 5=7⇒b=57.当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号-n a 表示.正数a 的n 次实数方根我们可以把它们合并而写成±n a (a ＞0)的形式，例如， x 4=4⇒x=±44;y 2=3⇒y=±3.特别需要注意的是，当a 等于0时，0的n 次实数方根等于0.我们把式子n a 叫做根式(radical)，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.对于根式，我们要注意以下几点：(1)关于n 次实数方根的定义：n 次实数方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，将n 次实数方根的概念与平方根、立方根的概念进行对比，不难发现：①在实数范围内，正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数，零的奇数次方根是零，设a ∈R ，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根是n a .②在实数范围内，正数的偶数次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的奇数次方根是零，负数的偶数次方根没有意义.设a≥0，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是±n a . (2)开方与乘方：求a 的n 次方根的运算叫做开方，开方运算与乘方运算是互为逆运算，不能把开方运算与乘方运算混为一谈.例如:求2的四次方，其运算结果是24=16，而求2的四次方根，其运算结果是±42. 应用示例思路1例1 求下列各式的值：(1)33)6(-；(2)2)7(-；(3)44)3(π-；(4)2)(b a -(b ＞a).分析：根式的求值，通常从根式的性质入手.解：(1)33)6(-=-6;(2)2)7(-=|-7|=7;(3)44)3(π-=|3-π|=π-3;(4)2)(b a -=|a-b|=b-a(b ＞a).点评：根式的求值与化简，通常都是运用根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 一般来说，根指数n 为奇数时比较简单，而根指数n为偶数时很容易出现错误，为了避免错误的产生，可以先写成n n a =|a|，然后再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号.例2 化简222y xy x ++.分析：通过观察根式中的被开方式x 2+2xy+y 2是一个完全平方式，因此可以先将x 2+2xy+y 2转化为完全平方，再来根据根式的意义求解. 解：222y xy x ++=2)(y x +=|x+y|=⎩⎨⎧<+--≥++).0(,),0(,y x y x y x y x点评：因为(x+y)2是开平方，所以根据根式的意义，注意讨论x ＋y 的正负.例3 化简下列各式：(1)442+-x x +|1-x|，其中1＜x ＜2；(2)2)(a b b a b a ---∙--|b-a|.解：(1)由根式的性质当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥0,,0,a a a a 可知，442+-x x +|1-x|=2)2(-x +|1-x|=|x-2|+|1-x|.因为x-2＜0,1-x ＜0，所以原式=2-x+x-1=1.(2)要使b a -有意义，必须a-b≥0，所以2)(a b -=a-b,|b-a|=a-b ，所以b a -·b a --2)(a b --|b-a|=(b a -)2-(a-b)-(a-b)=a-b-a+b-a+b=b-a.点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简. 例4 计算： (1)2115141032++++;(2)63121823346+++++.分析：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁.我们可以先将分母因式分解后，再化简.解：(1)2115141032++++=)75)(32(32)75(3)75(232+++=++++2575757751-=--=+ (2)63121823346+++++=)36)(23()3221(6)23(3)23(623346++++=+++++.26)1223(2)121231(2)12)(23(3)3221(6-=-+-=+++=+++++点评：对于分子和分母都带有根号的式子，在化简或计算时一定要注意分子和分母的化简，还要注意将分母有理化.思路2例1 化简下列各式： (1)yxx y ∙; (2)2)2(+a ;(3)246347625---+-.分析：注意观察所给题目的特征，运用根式的性质来解题.另外化简的方向是脱去根号，方法是配方，而且配方的方法也是脱去根号的常用的技巧与手段. 解：(1)yxx y y x x y ∙=∙=1. (2)2)2(+a =|a+2|=⎩⎨⎧-<---≥+).2(,2),2(,2a a a a(3)246347625---+- =222)22()32()23(---+- =|22||32||23|---+- =)22()32()23(---+- =0.点评：(1)在解有关根式的问题时，注意体会根式的运算性质：当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥,0,,0,a a a a 同时与(n a )n =a 进行比较，并且加以区别，不能将二者混为一谈.(2)解题中运用的配方的技巧适用的范围十分广泛，掌握并能熟练地运用这一技巧，从而提高运算能力.例2 已知4x 2－4x －15≤0，化简：25204912422+-+++x x x x .分析：通过已知条件4x 2－4x －15≤0，求出x 的范围，再运用配方的方法以及完全平方公式等来求解.解：∵4x 2－4x －15≤0,∴－23≤x≤25,∴2x ＋3≥0,2x －5≤0, ∴2222)52()32(252049124-++=+-+++x x x x x x ＝|2x ＋3|＋|2x －5|＝2x ＋3＋5－2x ＝8.点评：本例属于有限制条件的根式化简问题，这种题型的一般解题方法是：先求出已知条件对字母的限制范围，在此字母的限制范围内，再依据根式的意义、性质进行化简，如果没有限制条件，则应当对字母进行分类讨论.例3 化简：a aa a a a a -+--⨯+-+-123962322. 分析：对于根式的化简，经常采用配方的方法，运用根式的运算性质来解答.解：a a a a a a a -+--⨯+-+-123962322=a aa a a a -+--⨯---123|3|)2)(1(,因为1-a≥0，2-a ＞0,所以a≤1，所以a-1≤0,a -2＜0,a-3＜0. 原式=a a a aa a a a -+--=-+--⨯--∙-11123321=0.点评：在根式化简时，一要注意根指数是奇数还是偶数，二要注意被开方数的符号也就是被开方数是正数还是负数，特别是被开方数含有字母，必要时要对字母的取值进行讨论或由题目条件得到字母的取值范围，再进一步对题目所给根式化简. 知能训练一、课本第47页练习1. 解答：1.(1)5a ;(2)43a ;(3)57a ;(4)31a.二、补充练习：1.已知a 、b ∈R ,则等式(a-b)·2)(b a -＝－(b －a)2成立的条件是( )A.a ＞bB.a ＜bC.a ＝bD.a≤b 解答：D2.下列运算正确的是( )A.(－a 2)3＝(－a 3)2B.(－a 2)3＝－a 5C.(－a 2)3＝a 5D.(－a 2)3＝－a 6 解答：D 3.设n ∈N *,则81[1－(－1)n ](n 2－1)的值( ) A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 解答：B4.若102x ＝25，则10-x 等于( ) A.-51 B.6251 C.501 D.51 解答：D5.625625++-=________________. 解答：32提示：原式＝322323)32()32(22=++-=++-.6.已知实数a 、b 在数轴上所对应的点分别为A(在原点的左边)、B(在原点的右边)，则222)(b a b a -+-＝___________.解答：－2a7.已知3a ＝2，3b ＝5，则32a －b ＝______________. 解答：54 课堂小结1.本节课的主要内容是根式及根式的运算性质.要求掌握的知识内容比较简单，只要能准确理解根式的概念和掌握根式的运算性质，抓住取值的正负情况，有关根式的问题就能很便捷地解决.2.根式的运算性质中，当n 为偶数时，常常将n n a 先写成|a|的形式，然后再根据a 的正负来确定运算结果，如果a 的正负情况不确定，就必须根据a 的正负情况进行分类讨论.3.配方、分母有理化是解决根式的求值和化简等问题时常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想方法. 作业课本第48页习题2.2(1) 1.设计感想根式的概念及其性质是中学阶段重要的知识点之一.通过课堂教学和学生的习题训练，发现学生在运用这一知识时很容易产生错误，特别是n n a 的解答，学生在解题时常常会忘记对于n 取奇数和偶数时的不同，当n 取偶数时还把它当作奇数时来求解.因此，在教学的过程中，一是要注重知识结构的科学传输即根式的由来；二是要强调严密完整的解题步骤，突出当n 为偶数时，必须将n n a 先写成|a|的形式；三是通过不同形式的例题和习题的讲解和训练，强化这一知识点.(设计者：王国冲)第二课时 分数指数幂(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上节课中，主要学习了根式的概念及根式的性质，请同学们回忆所学内容.(将相关内容归纳板书)1.n 次实数方根;2.根式的概念;3.根式的性质.设计思路二(习题导入) 完成下列习题：1.若x 3=27，则称x 为27的_________次方根，此时x=_________；若a 4=256，则称a 为256的_________次方根，此时a=_________；(3,3;4,4).2.当n 为奇数时，实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________；当n 为偶数时，正实数a 的n 次实数方根有_________个，记作_________.(1,n a ;2,±n a ). 通过上述习题，复习有关根式的概念及性质，由学生归纳总结，然后板书. 推进新课 新知探究 根式的概念看下列变化过程：因为(24)2=28，所以82=24，又因为4=28，所以82=228.类似地有：5103=3510,4165=5416.由上可知：当m 能n 被整除时，就有n m a =a nm . 一般地，我们规定：a nm=n m a (a ＞0，m ，n 均为正整数). 这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 类似负整数指数幂的意义，我们规定：m na=nm a1(a ＞0，m ，n 均为正整数)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 根据规定，分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式，与以前所学的整数指数幂相比，分数指数幂a nm不是nm个a 相乘，而是根式的一种表示方式，因而通过分数指数幂的学习，将指数概念作了推广，即将整数指数推广到了有理数指数. 以前所学的整数指数幂的运算性质仍然保持不变，也就是说原来的整数指数幂的运算性质也推广到了有理数指数的范围，即对于有理数指数幂的运算有如下性质： ①a s ·a t =a s+t ，②(a s )t =a st ， ③(ab)s =a s ·b s其中s 、t ∈Q,a ＞0,b ＞0. 应用示例思路1例1 求下列各式的值： (1)10021;(2)832;(3)923-;(4)(811)43-.分析：本题可以先将底数化成幂的形式，如100=102，然后再根据指数运算性质进行运算.解：(1)10021=(102)21=10212⨯=10.(2)832=(23)32=322⨯=22=4.(3)923-=(32)23-=3-3=271. (4)(811)43-=(3-4)43-=33=27.点评：熟练掌握分数指数幂的运算从最基础的入手，能将简单的数字的幂的形式转化为指数形式进行运算.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(a ＞0)： (1)a 2a ;(2)a a .分析：弄清根式与分数指数幂的关系，从而实现根式与分数指数幂的互化. 解：(1)a 2a =a 2a 21=a212+=a 25.(2)a a =(a a )21=(aa 21)21=(a 23)21=a 43.点评：在实际问题中常常将根式化为分数指数幂进行运算，在转化过程中弄清分数指数幂与根式之间的关系，特别是根指数与分数指数之间的关系尤为重要. 例3 求下列各式的值： (1)65312121132)(ba bab a ∙∙∙∙---;(2)1075325555∙∙;(3)111)(---+ab b a ;(4)2)(b a -(a ＞b). 分析：对于既含有根式又含有分数指数幂的式子，把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算.如果根式中的根指数不同，也化成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质进行计算.解：(1)65312121132)(b a bab a ∙∙∙∙---=653121612131-+---∙ba=a -1=a1. (2)1075325555∙∙=107215325555∙∙=5107215322555=--+.(3)abab b a ab b a ab b a 1111)(111+=+=+---=a+b. (4)2)(b a -=|a-b|=a-b(a ＞b).点评：根式运算或根式与指数的混合运算时通常将根式化为分数指数幂的形式，这样计算较为方便.另外对于(3)还可以有如下解法：11111111111)()()(---------+=+=+ab ab b ab a ab b a =a+b. 例4 已知x 21+x21-=3，求32232322-+-+--xx x x 的值.分析：注意已知条件和所求结论之间的关系，通过将条件作适当的变形、转化，使所给条件和所求结论统一起来，并注意整体代入方法的恰当应用. 解：由x 21+x 21-=3，得x 23+x23-=(x 21+x21-)(x+x -1-1)=(x 21+x21-)[(x 21+x21-)2-3]=3×(32-3)=18，x 2+x -2=(x+x -1)2-2=[(x 21+x 21-)2-2]2-2=47，所以，原式＝318247--=3.点评：这道题可以通过已知x 21+x 21-=3解得x 的值，然后将x 代入计算，但这种解法太繁琐，而用整体思想来考虑，则比较简单.整体代换的思想是常见的数学思想.思路2例1 求下列各式的值： (1)432416⨯;(2)63125.132⨯⨯;(3)433)279(÷-;(4)322aa a ∙(a ＞0).分析：有关根式的运算可以将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关运算.解：(1)432416⨯=[24×(234)21]41=(2324+)41=241314∙=267=622.(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311+-×3613121++=2×3=6.(3)433)279(÷-=(332-323)÷341=332÷341-332÷341=34132--34132-=3125-345=4512533-.(4)322a a a ∙=a 2·a21-·a32-=32212--a=6565a a =(a ＞0).点评：(1)解既含有分数指数幂又含有根式的问题，一般情况下，都统一将根式化为分数指数幂的形式，从而方便计算;(2)在求值运算时，如果只含有根式，但根指数不同，常常将根式化为分数指数幂的形式，运用分数指数幂的运算性质进行相关的运算. 例2 化简下列各式： (1)ab abab ∙∙-312;(2)4332yxx y y x ∙∙.分析：对于有关根式的运算，只要把根式化成分数指数幂的形式，再运用有理数指数的运算性质进行计算. 解：(1)ab abab ∙∙-312=a 31·b 32·(a 21)31·(b21-)31·a 21·b 21=a216132216131+-++∙b=ab;(2)4332y x x y y x ∙∙=81411813413212)()()(+-=∙∙x yx x y y x ·y 834321-+-=x 87·y 81-=y y x 877. 点评：(1)分数指数幂是指数概念的扩充，分数指数幂的意义并不表示相同因式的乘积，而是根式的又一种表示方法；(2)根式与分数指数幂可以相互转化，根式转化为分数指数幂的形式之后，可以运用有理数指数幂的运算性质进行运算；(3)分数指数幂与根式的运算结果不要求形式的统一，但结果要求不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数. 例3 已知3x +3-x =5，求下列各式的值： (1)9x +9-x ;(2)27x +27-x ;(3)3x -3-x .分析：根据已知条件，寻找结论与条件之间的关系，发现可以通过整体变换来解. 解：(1)9x +9-x =(3x )2+(3-x )2=(3x +3-x )2-2·3x ·3-x =52-2=23; (2)27x +27-x =(3x )3+(3-x )3=(3x +3-x )[(3x )2-3x ·3-x +(3-x )2]=(3x +3-x )(9x +9-x -1)=5(23-1)=110;(3)3x -3-x =±=-+±=+∙∙-±=-----299)3(332)3()33(222xx x x x x x x21±.点评：整体思想是常见的数学思想之一，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法，可以将运算过程简化，提高解题效率.另外，对于本题，也可以将3x 看成整体作为一个未知数，先求出3x 的值，然后再代入求解，但这种解法较繁琐，是一种不经济的解法.例4 已知x=278-，y=7117，求333131343233232793yx xyx x y xy x -÷-++的值. 分析：本题可以先将x 、y 代入求值，也可以先将所要求值的式子化简再代入计算. 解：因为x≠0，所以，原式=313131313131323)27(3xy x y x x yx x -⨯-+.又因为x-27y≠0，所以，原式=49)23()32()278()27()3()(22323223331331=-=-=-==-----xy x x y x .点评：在求解本题时，容易出现直接将x 、y 的值代入，进行计算，但这样做不仅运算量大，过程繁杂，而且容易产生错误，不易得到正确的结果.如果先化简，再代入求值，这样解不仅运算方便，而且过程简捷. 知能训练课本第48页练习2、3、4. 答案：2.(1)x 32;(2)x 2y 23;(3)m 23. 3.(1)125;(2)1258;(3)6. 4.(1)a 83;(2)x 3y -2;(3)x 2y 34.课堂小结本节课的重点是分数指数幂的概念及分数指数幂的运算性质，难点是根式与分数指数幂的互化，对于分数指数幂其实质是根式的另一种表示形式，所以根式的运算常常利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算来进行.我们在解题时要注意解题的策略，一般是先化简再求值，同时还要注意一些公式特别是乘法公式的灵活运用，从而使运算过程简化，达到事半功倍的效果. 作业课本第48页习题2.2(1)5，6.设计感想由于学生刚刚接触分数指数以及分数指数幂的运算，特别是一下子还不能马上接受分数指数幂是根式的另一种表示形式，因此造成在计算时经常产生错误的结果，所以在教学时要适当地在分数指数幂与根式的关系上多花一些时间，讲清楚分数指数幂实际上是根式的另一种表示形式；另外，由于将整数指数幂推广到了有理数指数幂，因此，在这方面尤其是计算方面要有比较多的变化形式呈现出来，注意与乘法公式的结合，运用整体思想来解决相关问题.习题详解课本第48页习题2.2(1)1.(1)100;(2)-0.1;(3)x-y;(4)-(2x+y).2.(1)原式=a 31+a41=a127；(2)原式=a814121++=a87；(3)原式=a2332+=a613；(4)原式=2132+a·b 23=a 67b 23.3.(1)1.709 976；(2)46.881 700；(3)11.447 609；(4)58 241.224 3.4.(1)原式=a654332-+=a127；(2)原式=a 4·a 9=a 13；(3)原式=-6a 3231+·b 3131+-=-6a ；(4)原式=(2a 21)2-(3b41-)2=4a-9b21-；(5)原式=(a-a -1)2÷(a-a -1)(a+a -1)=112211+-=+---a a a a a a . 5.因为(a 21-a 21-)2=a-2+a -1=1,所以a 21-a21-=±1.6.(1)x=29.(2)x=24.。
【精编】人教A版数学必修一2-2-1-2对数的运算性质课件-精心整理
④log12，log116
2
2
与
log21126；
⑤lg3
100，13lg100
与
2
lg103.
观察分析以上计算结果，你发现了什么？
本节重点：对数的运算法则 本节难点：对数运算法则中条件的掌握．
1．要准确应用对数的运算法则，关键是①注意用文字 语言叙述法则．②注意指数运算与对数运算性质的比 较．③注意各字母的允许取值范围．
2．指数与对数运算性质对比表
[例1] 用logax，logay，logaz表示：
(1)loga(xy2)；(2)loga(x
再进行计算．
[解析] (1)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an ＝3，则a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12.
(2)∵10a＝2,10b＝3，∴lg2＝a，lg3＝b.
4
4
则 1002a－b＝1002lg2－lg3＝100lg3＝(102)lg3
＝(10lg43)2＝432＝196.
已知lgx＝－2.2219，lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，则x＝ ________.
[答案] 0.006 [解析] lgx＝－2.2219＝－3＋0.7781 ＝－3＋0.3010＋0.4771 ＝lg10－3＋lg2＋lg3＝lg0.006，∴x＝0.006.
[例 5] 已知 lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求 log 2yx的值
[解析] 解法 1：lg 45＝12lg45＝12lg920 ＝12(lg9＋lg10－lg2) ＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2 ＝0.4471＋0.5－0.1505＝0.8266. 解法 2：lg 45＝12lg45＝12lg(5×9) ＝12(lg5＋2lg3)＝12(1－lg2＋2lg3) ＝12－12lg2＋lg3＝0.8266.