安徽省黄山市2013届高三第一次联考数学(文)试题

安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：锥体的体积公式13V Sh=,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（选择题 满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21iai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于A ．12B ．2-C ．13- D ．35.3πα=“”是sin α=“的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.图 图7.定义某种运算a b ⊗,运算原理如图所示，则式子1100(131(2))43lne lg tanπ-⊗+⊗的值为A ．13B ．11C ．8D ．48.在空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AC BD 、的中点，若24CD AB EF AB ==⊥，，则EF 与CD 所成的角为A ．ο90 B ．ο60 C ．ο45D ．ο309.对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为m n 、，如果m n +是偶数，则把1a 乘以2后再减去2；如果m n +是奇数，则把1a 除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数2a ，对2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a .当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为34，则1a的值不可能是A ．0B ．2C ．3D ．410.已知函数()lg()x xfx x a b =+-中，常数101a b a b a b >>>=+、满足，且，那么()1f x >的解集为A ．(01)，B ．(1)+∞，C ．(110)， D ．(10)+∞，第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上. 11.已知向量a 是单位向量，若向量b 满足()0-⋅=a b b ，则b的取值范围是 .12.两圆相交于两点(13)，和(1)m -，，两圆圆心都在直线0x y c -+=上，且m c 、均为实数，则m c += .13.已知a b >，且1ab =，则22a ba b+-的最小值是 .14.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…ka ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“简易数”.则在[12012]，内所有“简易数”的和为 . 15.以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程0.412y x =-+ 中，当解释变量x 每增加1个单位时，则预报变量 y减少0.4个单位； ④对分类变量X 与Y 来说，它们的随机变量2K 的观测值k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.其中正确的命题是： （填上你认为正确的命题序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos2A =m ，cos1)2A -，向量(1=n ，cos1)2A +，且21⋅=-m n .(1)求A 的值； (2)若a =，三角形面积S =，求b c +的值．17．（本小题满分12分）在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80，90)之间的矩形的高，并完成直方图；(2)若要从分数在[80，100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90，100]５ ８00818.（本小题满分12分）设函数329(62)f x x x ax =-+-.(1)对于任意实数x ，'()fm x ≥在15（，]恒成立（其中'()f x 表示()f x 的导函数），求m 的最大值；(2)若方程()0f x =在R 上有且仅有一个实根，求a 的取值范围.19.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面2ABE AE EB BC ===，，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE BE ⊥； (2)求三棱锥D AEC -的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，试在线段CE 上确定一点N20．（本小题满分12分）椭圆22221(0)xy aba b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(P a ，)b 满足212PF F F =．(1)求椭圆的离心率e ； (2)设直线2PF 与椭圆相交于A B 、两点，若直线2PF 与圆22(16(1)x y +=+相交于M N 、两点，且58MN AB=，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）已知函数2()xf x kkx b=-,(，N )b ∈*，满足(2)2f =，(3)2f >.(1)求k ，b 的值；(2)若各项为正的数列{}n a 的前n 项和为nS ，且有14()1n nS f a ⋅-=-，设2nn b a =，求数列{}n n b ⋅的前n 项和nT ；(3)在(2)的条件下，证明：ln(1)n nb b +<.黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测数学试题答案 （文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.11.[01]，12.3 13. 14.203615.③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）解：（1）∵向量2coscos122()A A =-，m ，向量(1cos1)2A =+，n ，且21⋅=-m n .∴221cos sin 222A A -=-， …………………………………………………………………3分 得1cos 2A =-，又(0)A π∈，，所以23A π=. …………………………………………5分（2）112sin sin223ABC S bc A bc π∆===4bc =. ………………………………7分 又由余弦定理得：2222222cos3a b c bc b c bcπ=+-=++.……………………………9分∴216()b c =+，所以4b c +=. …………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分） 解：(1)由茎叶图知，分数在[5060)，之间的频数为2.由频率分布直方图知，分数在[5060)，之间的频率为0.008100.08⨯=所以，参赛总人数为2250.08=(人)．………………………2分分数在[8090)，之间的人数为25271024----=（人）,分数在[8090)，之间的频率为40.1625=，00000得频率分布直方图中[8090)，间矩形的高为0.160.01610=.………4分完成直方图，如图.……………………………………………………………………………6分(2)将[8090)，之间的4个分数编号为1,2,3,4[90,100]；之间的2个分数编号为56和.则在[80100]，之间任取两份的基本事件为：(12),(13),(14),(15),(16),(23),(24),(25),(26),，，，，，，，，， (34),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为:(15),(16),(25),(26),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，，，，共9个. ………………………10分 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是93155=.……………………………………12分18．（本小题满分12分）解：(1)2'()396f x x x =-+, 15x ∈（，]. 法一：'()f x m ≥在15（，]恒成立2396m x x ⇔≤-+在15（，]恒成立.…………………3分 由2233'()3963()24f x x x x =-+=--在15（，]的最小值为34-， 所以,得34m ≤-，即m 的最大值为34-. …………………………………………………6分法二：令()2396g x x x m=-+-，15x ∈（，]. 要使'()f x m ≥在15（，]恒成立，则只需()0g x ≥在15（，]恒成立. 由于()y g x =的对称轴为32x =,当15x ∈（，]时，min ()(32727)60242g x g m =-+-≥=，解得34m ≤-，所以m 的最大值为34-.……………………………………………………6分(2)因为当1x <时, '()0f x >；当12x <<时, '()0f x <；当2x >时, '()0f x >；即()y f x =在(,1)-∞和(2,)+∞单增，在(1,2)单减.()=(1)f x f a =-故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根.得2a <或52a >时，方程()0f x =仅有一个实根.所以5(,2)(,)2a ∈-∞+∞ .………………………………………………………………12分19．（本小题满分13分）证明：（1）∵AD ⊥平面ABE ，且//AD BC∴BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥.………………………………………2分 又∵BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥，且BF 与BC 交于B 点，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ∴AE BE ⊥.………………4分 （2）由第（1）问得AEB ∆为等腰直角三角形，易求得AB，∴1433D AEC E ADC V V --==⨯=.…………………………………………………7分 （3）在三角形ABE 中过M 点作//MG AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作//GN BC 交EC 于N 点，连MN .由比例关系易得13CN CE=.………………………………………………………………9分∵//MG AE MG ⊄，平面ADE ,AE ⊂平面ADE ，∴//MG 平面ADE . 同理，//GN 平面ADE ，且MG 与GN 交于G 点， ∴平面//MGN ADE 平面.………………………………………………………………11分 又MN MGN ⊂平面， ∴//MN ADE 平面.∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.…………………………………………13分 20．（本小题满分12分） (,0)(,0)(0)F c F c c ->、PF F F =所以2c=. …………………………………………………………………2分整理得22()10c c a a +-=，得1c a =-(舍)，或12c a =.所以12e =.……………………………………………………………………………………4分(2)由(1)知2,a c b ==，椭圆方程2223412x y c +=，2PF的方程为)y x c =-．,A B两点的坐标满足方程组2223412)x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 并整理，得2580x cx -=.解得1280,5x x c ==.得方程组的解110x y =⎧⎨=⎩，2285x cy ⎧=⎪⎨⎪=⎩.………………………7分不妨设8(),(0,)5A c B，则165AB c==.于是528MN AB c==.圆心(-到直线2PF的距离d 10分因为222()42MN d +=，所以223(2)164c c ++=，整理得2712520c c +-=. 得267c =- (舍)，或2c =. 所以椭圆方程为2211612xy+=. ……………………………………………………………12分21．（本小题满分14分）解：(1)由 4(2)22229629(3)23f k b k bk b f k b ⎧==⎪-=⎧⎪-⇒⎨⎨-<⎩⎪=>⎪-⎩…①…②，①②5k <*当2k =时，2b =（成立），当1k =时，0b =（舍去）.所以2k =，2b =.…………………………………………………………………………4分(2)2114()4122n n n nna S f S a a ⋅-=⋅=---，即22n n n S a a =+…③.2n ≥时， 21112n n n S a a ---=+…④.所以，当2n ≥时，由③-④可得22112()()n n n n n a a a a a --=-+-，整理得，11()(1)0n n n n a a a a --+--=. 又n a > 得11n n a a --=，且11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即na n=，2nn b =.2nn nb n ∴=⋅. ………………………………………………………………………………7分1231122232(1)22n nn T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，23412122232(1)22nn n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，由上两式相减得123122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅12(12)212nn n +-=-⋅-.1(1)22n n T n +∴=-+. ……………………………………………………………………10分(3)由(2)知2nn b =，只需证ln(12)2nn+<.设()ln(12)2xxf x =+-(1x ≥且x R ∈). 则2ln 22ln 2'()2ln 2(2)01212xxxxxxf x =-=⋅-<++，可知()f x 在[1,)+∞上是递减，max ()(1)ln 320f x f ∴==-<.由*x N ∈，则()(1)0f n f ≤<，故ln(1)n nb b +<. …………………………………………………………………………14分。