高中立体几何总复习

立体几何一1．三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

这是判断直线在平面内的常用方法。

（2）公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。

推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理2和三个推论是确定平面的依据。

（3）公理3、如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。

如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_____条件 （2）给出命题：①若A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α，则 l ⊂α；②若A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β，则α∩β＝AB ；③若l ⊄α ，A ∈l ，则A ∉α ④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，且A 、B 、C 不共线，则α与β重合。

上述命题中，真命题是_____；（3）长方体中ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=6，在线段BD ，A 1C 1上各有一点P 、Q ，在PQ 上有一点M ，且PM=MQ ，则M 点的轨迹图形的面积为_______2．直观图与三视图（1）直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：①使∠x ’0’y ’=45°，x o y '''所确定的平面表示水平平面。

②已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。

如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）（2）已知正A B C ∆的边长为a ，那么A B C ∆的平面直观图A B C '''∆的面积为_____（2）三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3．空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点。

（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。

（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点。

如（1）空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系_____；（2）给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线b a ,，如果a 平行于平面α，那么b 不平行平面α；③两异面直线b a ,，如果⊥a 平面α，那么b 不垂直于平面α；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。

其中正确的命题是_____4．判定线线平行的方法：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（找一线和这两线都平行）（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

5．两直线垂直的判定：转化为证线面垂直； 相交垂直可以考虑勾股定理.6．直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。

其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。

其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。

如（1）下列命题中，正确的是Ａ、若直线a平行于平面α内的一条直线b , 则a// αＢ、若直线a垂直于平面α的斜线b在平面α内的射影，则a⊥bＣ、若直线a垂直于平面α,直线b是平面α的斜线，则a 与b是异面直线Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___________。

7．直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行ααα面∥，面，∥aabba⇒⊄⊂（在平面内找一条直线与已知直线平行：找一平面过已知直线与已知平面相交，则交线就是）②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。

βαβα∥，，∥aa⇒⊂（找一平面过已知直线与已知平面平行）另外，如下方法有时也用：α、β表示平面，a、b表示直线αφα//,aa则=⋂（定义法）：通常反证.（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。

在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。

如（1）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是，A、α⊥β，a⊥βB、α∩β＝b，且a∥bC、a∥b且b∥αD、α∥β且a⊂β（2）正方体ABCD-A１B１C１D１中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA1B1B。

8．直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。

a b a c b c b c O a⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒αα②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。

αα⊥⇒⊥baba,||③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面④βαβαβα⊥⊥，，，面⊥面alaal⇒⊂=（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。

②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

如（1）如果命题“若yyx,⊥∥z，则zx⊥”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____ （2）已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂ⊂α，ｃ⊂αB、a⊥b ，ｂ∥αC、α⊥β，ａ∥βD、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（3）AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF。

9．平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线。

10．两个平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。

一面内找两相交直线与另一平面平行（线面⇒面面）推论：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面的两条直线平行，则这两个平面平行。

②依据垂直于同一直线的两平面平行来判定 .③利用面面平行传递性④采用反证法证明两平面没有公共点.（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

如（1）βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面βα//的条件是A、nm,是α内一个三角形的两条边，且ββ//,//nmB、α内有不共线的三点到β的距离都相等C、βα,都垂直于同一条直线aD、nm,是两条异面直线，βα⊂⊂nm,，且αβ//,//nm（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。

其中正确的序号是___________ （3）正方体ABCD-A １B １C １D １中AB=a 。

①求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；②求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1 ；③求平面AD 1B 1与平面C 1DB 间的距离11．两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（在一个面中找另一个面的一条垂线：在一面内作两面交线的垂线，即为所求）；②定义法：找一个平面与这两个平面都垂直相交，证明两交线交角为直角；（即证二面角的平面角是直角）（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，P 到三个面的距离分别为3、4、5，则OP 的长为_____；（2）在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足___________时，平面MBD ⊥平面PCD ；（3）过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC ＝90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC 。

特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−如（1）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥⇒βα// ②ml //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

其中正确的命题是_____；（2）设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，给出下列四个命题：①若,,,αα⊄⊥⊥b a b a 则α//b ； ②若βαα⊥,//a ，则β⊥a ； ③若βαβ⊥⊥,a ，则α//a 或α⊂a ；④若βα⊥⊥⊥b a b a ,,则βα⊥。

其中正确的命题是_____12．棱柱： （1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。

②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；（2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

如（1）斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，各棱长为a ，A 1B=A 1C=a ，则侧面BCC 1B 1是____形，棱柱的高为_____；（2）下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。