线性代数第2

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自考复习专题:线性代数第2章

自考复习专题:线性代数第2章

第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容,也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。

主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。

在自学考试中,所占比例是各章之最。

按考试大纲的规定,第二章占26分左右。

而由于第三,四,五,六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具,故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。

以改版后的三次考试为例,看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。

2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若,称这样的方程组为齐次方程组。

称数表为该线性方程组的系数矩阵;称数表为该线性方程组的增广矩阵。

事实上,给定了线性方程组,就惟一地确定了它的增广矩阵;反过来,只要给定一个m×(n+1)阶矩阵,就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数,m个方程的线性方程组。

例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵,也可记为为矩阵A第i行,第j列的元素。

注意:矩阵和行列式的区别。

二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,记为O。

例如都是零矩阵。

2.若A的行数m=1,则称为行矩阵,也称为n维行向量。

若A的列数n=1,则称为列矩阵,也称为m维列向量。

3.若矩阵A的行数=列数=n,则称矩阵A为n阶方阵,或简称A为n阶阵。

如n个未知数,n个方程的线性方程组的系数矩阵。

4.称n阶方阵为n阶对角阵。

特别若上述对角阵中,,称矩阵为数量矩阵,如果其中λ=1,上述数量阵为,称为n阶单位阵。

5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。

线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵概念 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a 称为m 行n列矩阵。

简称m n ⨯矩阵,记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,简记为()()m n ij ij m n A A a a ⨯⨯===,,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。

扩展几种特殊的矩阵:方阵 :行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作:A n 。

行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。

相等矩阵:AB 同型,且对应元素相等。

记作:A =B 零矩阵:元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同) 对角阵:不在主对角线上的元素都是零。

单位阵:主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作:E n (不引发混淆时,也可表示为E )(讲义P29—P31)注意矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式通过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数能够不同。

第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和,那么矩阵A 与B 的和记作A B+,规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。

(讲义P33) 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+;()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪ ⎪---⎝⎭设矩阵记,A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠

故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠

根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E

解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算

线性代数-第2章

线性代数-第2章

第2章对阶梯形矩阵进行考察,发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩,并且都等于阶梯形的非零行的数目,并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。

矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩,也不会改变矩阵的列秩。

任取一个矩阵A,通过初等行变换将其化成阶梯形J,则有:A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩,即对任意一个矩阵来说,其行秩和列秩相等,我们统称为矩阵的秩。

通过初等行变换化矩阵为阶梯形,即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。

考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性,则初等列变换也不会改变矩阵的秩。

总而言之,初等变换不会改变矩阵的秩。

因此如果只需要求矩阵A的秩,而不需要求A的列向量组的极大无关组时,可以对A既作初等行变换,又作初等列变换,这会给计算带来方便。

矩阵的秩,同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。

满秩矩阵的行列式不等于零。

非满秩矩阵的行列式必为零。

既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同,则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。

另外,有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答:系数矩阵的秩r等于未知量数目n,有唯一解,r<n,有无穷多解。

齐次线性方程组的解的结构问题,可以用基础解系来表示。

当齐次线性方程组有非零解时,基础解系所含向量个数等于n-r,用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。

通过对具体实例进行分析,可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。

非齐次线性方程组的解的结构,是由对应的齐次通解加上一个特解。

在之前研究线性方程组的解的过程当中,注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用,故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。

矩阵的加法和数乘,与向量的运算类同。

矩阵的另外一个重要应用:线性变换(最典型例子是旋转变换)。

即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。

矩阵的乘法,反映的是线性变换的叠加。

如矩阵A对应的是旋转一个角度a,矩阵B对应的是旋转一个角度b,则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。

《线性代数》第二章矩阵

《线性代数》第二章矩阵
经济数学基础
《线性代数》
第二章 矩 阵
本章重点:
•矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩
阵的秩和逆矩阵
本章难点:
•求逆矩阵
一、矩阵的概念
(一)矩阵的概念
a11 a12 a1n
A


a21
a22

a2n



am1
am2

amn

矩阵表示一张数表;
称为:m×n矩阵
记作:Amn
2
5
4
1

2

【解答】
由(1)(2)两题又验证,
152
10 31
1 0
矩阵乘法的交换律不成立。 即有:AB≠BA。
2 0 11


50

31
(2)11 0
51 30


1 3
2
5

210

am1 am2
在它的每个元素前 添上一个负号,就
得到A的负矩阵
a1n

a2n



amn

类似实数 里的负数.
7、单位矩阵
主对角线上的元素都是1,其余元素
都是0的n阶方阵。 记为:In或I
1 0 0
In

0
1

0
0 0 1
nn
主对角线以外的元素
全为零的方阵
1 1 2 1 2 1
3 3
0
2

2


0
5
1


3 9
3 0
6 6

线性代数第2章矩阵PPT课件

线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列,行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来,并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零,其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法,它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的,且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关,即如果Ax=λx,那么 (kA)x=(kλ)x,其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关,即如果Ax=λx,那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义, 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

《线性代数》第二章参考答案+详解

《线性代数》第二章参考答案+详解
k ( k 1) 2
k 0
k 2 1 0 k k 1 0 1 0 0 k
k 1 0 0
( k 1) k 1
k 1 0
k 1 ( k 1 ) k 1 k 1
所以(AB)2A22ABB2 (3) (AB)(AB)A2B2 吗? 解: (AB)(AB)A2B2
2 A B 0 0 5 2 0 5 0 2 1 6 9 2 因为 A B 2
2 ( A B)( A B) 2
2 0 1 0

3 8 1 0 2 8 A2 B2 4 11 3 4 1 7
故(AB)(AB)A2B2
5 举反列说明下列命题是错误的 (1) 若 A20 则 A0
0 解: 取 A 0 1 则 A20 但 A0 0
(2)
2 1 设 a 1 ,b 2 ,A abT , 3 4
T
求 A100 .
2 解: b a 1 2 4 1 8 . 3

A100 (abT )100 a (bT a )( bT a )bT a (bT a )bT 2 99 a (b a ) b 1 8 1 2 4 3 4 8 2 99 8 1 2 4 . 3 6 12
2 2 a11x12 a22 x2 a33 x3 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a23 x2 x3
1 1 1 1 2 3 2 设 A 1 1 1 B 1 2 4 求 3AB2A 及 ATB 1 1 1 0 5 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 解: 3AB 2 A 31 1 1 1 2 4 21 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 0 5 8 1 1 1 2 13 22 3 0 5 6 21 1 1 2 17 20 2 9 0 1 1 1 4 29 2 1 1 1 1 2 3 0 5 8 A B 1 1 1 1 2 4 0 5 6 1 1 1 0 5 1 2 9 0

线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算

线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算
k 1
p
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作
C = AB.
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
矩阵乘法模型之:A2 2 B2 2
23 2 1 -9 15 -197
矩阵乘积模型之: A2 3 B3 3
例设 例 设
A A0 0
1 1

0
0 1 , 1 ,
这一步很关键 也很巧妙!
计算 A2, A3, An (n>3). 计算 A2, A3, An (n>3).
解 设
A = E + B,
0 1 0 其中 E 为三阶单位矩阵, B 0 0 1 , 0 0 0
设 设 2 5 3 2 2 5 3 2 9 5 1 0 , B 4 5 , C 9 5 . A A 1 0 , B 4 5 , C 4 3. 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
法模型之:A2 2 24 2 2 B2 AB
2 4
4 16 1 2 3 6 8 1 -9 15 -197 0 4 2 4 2 -4 BA 5 -13 -7 0 3 6 1 2
清 空
32 , 16 0 . 0

《线性代数》课件-第2章方阵的行列式

《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学重点:方阵行列式的性质及展开定理,计算典型 的行列式的各种方法.
教学难点:n阶行列式的计算,拉普拉斯定理的应用.
教学时间:6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里,pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t,s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数,
应有l= t+s,于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
(1)D=?(怎么算)?
(2)当D≠0时,方程组是否有唯一解?
(3)若D≠0时,方程组有唯一解,解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1,2,3三个数字可以排6个不重复三位数即:
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具,也是代数学中必不可 少的基本概念,在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的:通过本章的教学使学生了解行列式的概念, 掌握行列式的性质,会计算各种类型的行列式.

线性代数-第二章-向量和向量空间

线性代数-第二章-向量和向量空间

n维单 位坐标 向量组
所以,称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合, 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出,而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时,求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解,
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如:
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行: a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列:
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2

0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注:
(1) 证明过程提供了一种求解空间基(基础 解系)的方法。
(2) 基(基础解系)不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时,解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。

线性代数第2版课件-行列式的展开定理

线性代数第2版课件-行列式的展开定理

行列式的展开定理一、余子式和代数余子式例如11121314212223243132333441424344,a a a a a a a a A a a a a a a a a =21232412313334414344,a a a M a a a a a a =定义C 在n 阶行列式中,把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后,剩下的元素按原来的相对位置排列,形成的n -1阶行列式叫做元素a ij 的余子式,记作M ij .行列式的每个元素分别对应着一个余子式和代数余子式。

()1,i j ij ij A M +=−()1212121A M +=−叫做元素a ij 的代数余子式.例如12-M =引理111212221111 1200nn n nnaa a aA a Aa a a==当aij位于第一行第一列时,即有1111A a M=又从而1111.A a A=()1111111A M+=−11,M=证明引理211121314212223243341424344000a a a a a a a a A a a a a a =例如11121433212224414244.a a a a a a a a a a =()331+−C若A 的第i 行除a ij 外,其余元素都为零,则|A|=a ij A ij.1111100j n ij n nj nn a a a a A a a a =1,11,1,100ij i i j i n n nj nna a a a a a a −−−=把|A|的第i 行依次与第i -1行,第i -2行…第1行对调,()11i −−引理2C 若A 的第i 行除a ij 外,其余元素都为零,则|A|=a ij A ij.证明11111111111111111111111111111000011,,,,,,,,,,,,,,.......................................()()...............................ij j j j n i j i ji i j i j i n i ji i j i j i n nj n n j n j a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a −+−−−−−−−+−+++−+−+−+=−−,..n na 所以|A |=(-1)i+ja ij M ij 再把|A |的第j 列依次与第j -1列,第j -2列…第1列对调,1122i i i i in in A a A a A a A =+++1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++()1,2,,i j n =、定理1:设n 阶矩阵A=(a ij ),则A 的行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即111211212n i i in n n nn a a a a a a A a a a =111211212000n i i inn n nn a a a a a a a a a +++=1112111200n i n n nn a a a a a a a =111212120n i in n n nn a a a a a a a a +证明11i i A a A =111212120000ni inn n nna a a a a a a a ++++=++11i i a A in ina A +22i i a A 12(,,)i n =同理可以证明列的情况。

线性代数第二章,矩阵及其运算

线性代数第二章,矩阵及其运算

a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn , B (bi j )mn 都是m n 矩阵,则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然,
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
,记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A

的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然,
① ( AT )T A ,② ( A B)T AT BT ,③( A)T AT ,④( AB)T BT AT
2. 即使 Amn , Bnm ,则Amn Bnm 是m 阶方阵,而Bnm Amn 是n 阶方阵;
3. 如 果 A , B
都 是n






2
A
1
4
2

B
2
3
4
6
,则
16
AB
8
32 16
,而BA
0 0
0
0

AB BA
综上所述,一般
(即矩阵乘法不满足交换率)。
但是下列性质显然成立:
三、乘法
乘法运算比较复杂,首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为

线性代数第二章矩阵及其运算

线性代数第二章矩阵及其运算

ann 0
0
5. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix).
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix). 即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
(1)
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant),i=1,2,…,m, j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En . 0 0 L 1
4. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix).
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n

线性代数第二章

线性代数第二章

例3
1 11 2 0 4 1 设 A 11 4 56 2 1 5
例4
1 1 2 参 数 ____ 时, 矩 阵 2 1 5 的 秩 最 小 1 10 6 1
例3
1 11 2 2 0 4 1 1 设 A , 求 rA 11 4 56 5 2 1 5 6
1 1 1 例4 令A 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 2 1 1 解:A 0 0 0 3 0 2 1 4 1 1 1 2 0 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0
说 明
(5)n阶矩阵A为满秩矩阵 A可逆 |A 0 | (6)n阶矩阵A为降秩矩阵 rA n |A 0 |
2.矩阵秩的求法 定理 矩阵经初等变换后秩不变 推论1 注: 推论2 若A ≌ B , 则 rA= rB 若rA= rB , A 与B不一定等价
若A 、B是同阶矩阵, 则A ≌ B当且仅当rA= rB
1 A 4 2 2 5 0 3 6 1 4 0 8 1 三阶子式: 4 2 2 5 0 4 0 8
说 明

定义
若在m×n矩阵A中 有一个r阶子式不为0, 而所有r +1阶子式全为0, 则称数r为A的秩. 记为rank(A)=r 或 rA = r
rA=m, 则称A为行满秩矩阵;
五. 矩 阵 的 秩

1. 概念

2.矩阵秩的求法
1. 概念
定义 设A=(aij)m×n , 任取k行k列,1≤k ≤min{m, n}, 位于 这些行列交点处的k2 个元素, 按其在A中原相对 位置构成的k阶行列式称为A的k阶行列式 (1) aij即为A的1阶子式 (2)n阶矩阵A, 其行列式|A|是A的唯一的n阶子式

线性代数第二章 矩阵

线性代数第二章 矩阵

(1)
其中 x1, x2 , , xn 是 n 个未知数,m 是方程的个数,
ai(j i 1, 2, , m,j 1, 2, , n)称为线性方程组的系
数,b1, b2, , bm 称为线性方程组的常数项.
由 n 个数 c1, c2 , , cn组成的有序数组 (c1, c2 , , cn ) 称为方程组(1)的解, 是指当 x1, x2 , , xn 分别用 c1, c2 , , cn 替换后,(1)的每个等式都变成了恒
例1 解线性方程组

x1 2x2 2x1 3x2
x3

x4 x4

2, 3,
x1 x2 x3 2x4 3.
我们就可以只考虑方程组的系数和常数项组成的 一个矩形数阵(后面我们称这种矩形数阵为矩阵), 对于方程组(1),其对应的矩形数阵为
a11 a12 a21 a22
等式. 方程组(1)的解的全体组成一个集合,这个集合
称为方程组(1)的解集合. 求解方程组实质上就是找到方程组的所有解,即求
出它的解集合. 把具有相同解集合的两个方程组称为同解的方程组.
定义1 对线性方程组(1)进行如下三种变形,称 为线性方程组的初等变换:
1)用一个非零数 k 乘以某一个方程; 2)用任意数 k 乘以一个方程加到另外一个方程上; 3)交换两个方程的位置.
1.矩阵的加法
第二章 矩阵
第一节 矩阵的基本概念
一、矩阵的引入
所谓具有 m 个方程 n 个未知数的线性方程组的 一般形式是指
a11x1 a12 x2

a21x1

a22 x2


am1x1 am2 x2

线性代数课件第2章矩阵

线性代数课件第2章矩阵

(2)分配律:A(B C) AB AC, (B C)A BACA
(3)对任意数 有 (AB) ( A)B A(B)
(4)设 A是 m n矩阵 ,则
Em Amn A,mn Amn En Amn
或简记为 EA AE A
即单位矩阵是矩阵乘法的单位元,作用类似
于乘法中的数1. 20
(2)列矩阵 当 n 时1 ,即只有一列的矩阵
b1
B
b2
称为列矩阵或列向量. bm
3
(3)零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零
矩阵,记为O.例如,m n的零矩阵可记为
0 0
0
Omn
0
0
0
0
0
0
(4)方阵 行.数和列数都等于 n的矩阵,称 为 n 阶矩阵或 n阶方阵,记为 A,n
记为
1 0
0
E
En
0
1
0

0
0
1
1
1
1
7
(7)n阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数
k 的 n阶对角阵,称为 n阶数量矩阵,记为
k 0
0
kE
0
k
0

0
0
k
k
k

k
8
2.2 矩阵的运算
9
2.2.1 矩阵的线性运算
1.矩阵的加法
定义2 两个 m n的同型矩阵 A (和aij ) B 的(bij )
A1n A2n Ann
称为矩阵的伴随矩阵.
31
定理1 设 A是 n阶方阵, A为* 的A 伴随矩阵,则
定理2 阶AA方*阵 A可* A逆 A E ,且
n
A A 0

线性代数 第二章 N维向量 第2节

线性代数 第二章 N维向量 第2节
例如 对向量组 1=(0,1)T, 2=(1,1)T, 3=(-2,4)T , =(3,5)T
有 =-41 +52 3
所以是1 , 2 , 3的线性组合。
二、向量组的线性相关与线性无关
定义9
如果对给定向量组A: 1,2 , s ,
存在不全为零的实数 k1, k2 ,ks 使得
k11 k22 kss 0 (1) 则称向量组1,2 , s 线性相关;

2kk1 14kk22
k3 14k3
0
0
3k1
k2
7k3
0
11 1
因为其系数行列式 D= 2 4 14 0
31 7
于是方程组有非零解,即有不全为零的数使(*)成立
所以1 ,2 ,3 , 线性相关。
定理 n个n维向量 1 ,2 , n 线性相关的充要
A 0
a1i
其中
i
a 2i
(2) 若向量组 1 ,2 , m , 线性相关,
则向量组 1,2 , m 也线性相关。
证明 (1)反证 假设 1, 2 , m , 线性相关,
则存在不全为零的数 k1 , k2 ,km 使得
k11 k22 kmm 0

a11
a21
am1 0
k1
a12
a1r 1
k2
所以由定理知:
m 可由 2, 3, m1 线性表示,即 m k22 k33 km1m1
也即 m 0 1 k22 k33 km1m1 因此 m 可由 1, 2, m1 线性表示。
证(2)用反证法 假设 1 可由 2 , 3, m
线性表示,即
1 22 33 m1 m1 mm
向量组 B 线性相关,这与已知矛盾。 于是向量组 A 线性无关。

线性代数第二章 n维向量

线性代数第二章 n维向量

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例4. 设有两个向量组 I: α1=[1, 1], α2=[1, −1], α3=[2, 1], II: β1= [1, 0], β2= [1, 2]. 1 β + 1β , α = 3 β − 1β , 则 α 1= 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 β + 1β , α3= 2 1 2 2 即I可以由II线性表示. 可以由II线性表示 线性表示. 1 α + 1 α +0α , β = 3 α − 1 α +0α , β1= 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 3 II可以由 线性表示. 可以由I 即II可以由I线性表示. 故向量组I II等价 等价. 故向量组I与II等价.
β2 = α2 + 2α3, β3 = α3 + 2α1.
证明: 证明: β1, β2, β3线性无关. 线性无关.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向 组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由 例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由 但 线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例1. n维基本单位向量组
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
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第三章 1向量一、n 维向量1 定义:由n 个数12,,,n a a a 组成的有序数组称为n 维向量,这n 个数都称为该向量的分量,第i 个数称为第i 个分量。

n 维向量写成一行称为行向量。

n 维向量写成一列称为列向量。

分别记为:[]12,,,n a a a 12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦列向量常用,,,a b αβ等表示,行向量常用,,,T T T T a b αβ等表示。

用nR 表示全体n 维向量组成的集合。

2 运算规定:两个向量相等,当且仅当二者的所有分量一一对应相等。

写作:Y X = ⇔ i i y x i =∀,。

设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x X 1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y Y 1为两个n 维实向量,R ∈λ为任意实数,向量的加法为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n ny x y x Y X 11向量与数的乘法为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x X λλλ 13 向量组:由若干个同维列向量(行向量)所组成的集合称为一个向量组。

4 向量组与矩阵第三章 2设矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则矩阵A 可以看作由n 个m 维列向量12,(1,2,,)j j j mj a a a j n a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦所构成,它们组成的向量组:12,,,n a a a 称为矩阵A 的列向量组;同理,矩阵A 又可以看作由m 个n 维行向量12(,,,),(1,2,,)T i i i in b a a a i m == 所构成,它们组成的向量组:12,,,T T T m b b b 称为矩阵A 的行向量组。

一个线性方程组AX b =可以写成:1122n n x a x a x a b +++= ;有限个向量的向量组可以构成一个矩阵。

二、线性关系线性表示:给定向量b 和向量组A :12,,,m a a a ,如果存在一组实数12,,,m λλλ ,使向量1122m m b a a a λλλ=+++ ,则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,也称向量b 能由向量组A 线性表示。

向量b 能由向量组A 线性表示⇔1122n n x a x a x a b +++= 有解。

定理:设向量组12:,,,m A a a a 与向量b 都是n 维向量,记矩阵12(,,,)m A a a a = ,()B A b = ,则向量b 能由向量组A 线性表示的充要条件是()()R A R B =。

第三章 3例 证明向量115b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭能由向量组1231022,1,3346a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性表示,并求出相应的组合系数。

但不能由向量组1a 、2a 线性表示。

解:132143123102110211021213101130113346504080102r r r r r B -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223132102110211001011301020102001100110011r r r r r r -+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以 1232b a a a =+-显然:向量b 不能由向量组1a 、2a 线性表示。

向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性1、定义:设m 维向量组:A 12,,,n a a a ,如果存在一组不全为零的数12,,,n k k k ,使得:11220n n k a k a k a +++= 成立,则称向量组:A 12,,,n a a a 线性相关。

否则称向量组:A 12,,,n a a a 线性无关,即若11220n n k a k a k a +++= ,当且仅当120n k k k ==== 时才成立,则称向量组:A 12,,,n a a a 线性无关。

2 判定定理第三章 4定理:设m 维列向量组:A 12,,,n a a a ,记矩阵12(,,,)n A a a a = , 则向量组:A 12,,,n a a a 线性相(无)关的充要条件是()()R A n <=,即矩阵A 的秩小于(等于)向量组所含向量的个数n 。

推论1:设n 维列向量组:A 12,,,n a a a ,记矩阵12(,,,)n A a a a = , 则向量组:A 12,,,n a a a 线性相(无)关的充要条件是()0A =≠。

推论2:设m 维向量组12,,,n a a a ,若n m >,则m 维向量组12,,,n a a a一定线性相关。

3 一些重要结论:(1) 若向量组的部分组线性相关,则整个向量组线性相关;等价地,若整个向量组线性无关,则向量组的任何部分组线性无关。

(2)向量组12,,,(2)n a a a n ≥ 线性相关的充要条件是:向量组12,,,(2)n a a a n ≥ 中至少有一个向量可由其余的1n -个向量线性表示。

(3) 设向量组12,,,,n a a a b 线性相关,而向量组12,,,n a a a 线性无关,则b 向量一定能由向量组12,,,n a a a 线性表示,而且表达式是唯一的。

例 已知向量组123,,a a a 线性无关,112b a a =+,223b a a =+,331b a a =+, 证明向量组123,,b b b 线性无关。

证:设有123,,k k k 使1122330k b k b k b ++=,即112223331()()()0k a a k a a k a a +++++=,131122233()()()0k k a k k a k k a +++++=,第三章 5因123,,a a a 线性无关,所以有:131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩因其系数行列式10111020011=≠,所以方程组只有零解,即1230k k k ===,所以向量组123,,b b b 线性无关。

例 已知向量1231211,1,0132a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭① 讨论向量组123,,a a a 及向量组12,a a 的线性相关性;② 向量3a 能否由向量组12,a a 线性表示,若能,求向量3a 关于向量组12,a a 的线性组合表示式。

解: 3221312123121121121(,,)110011011132011000r r r r r r r a a a S +---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦123(,,)23R a a a =<,所以向量组123,,a a a 线性相关;而12(,)2R a a =所以向量组12,a a 线性无关。

为了求得向量3a 关于向量组12,a a 的线性组合表示式,将行阶梯形矩阵S 化为行最简形:第三章 6122123121101(,,)011011000000r r a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以312a a a =-+向量组的秩一、向量组的极大无关组1 定义:设向量组0A :12,,,r a a a 是向量组A :12,,,m a a a 的一个部分组① 向量组0A 线性无关;② 向量组A 的任意1r +(如果有的话)个向量都线性相关。

则称向量组0A 是向量组A 的一个极大无关组,极大无关组0A 所含向量的个数称为向量组A 的秩。

记为12(,,,)m R a a a2 极大无关组(一般)不唯一。

3 任意向量组都与它的极大无关组等价4向量组的任意两个极大无关组都是等价的,它们所含向量的个数都相等,都称为向量组的秩。

5(1)设向量组①12,,,s a a a ,②12,,,t b b b ,记矩阵12(,,,)s A a a a = ,12(,,,)t B b b b = ,则向量组②可由①线性表示的充要条件是()(,)R A R A B =。

(2)向量组等价:设有两向量组①12:,,,s A a a a ,②12:,,,t B b b b .若①与②可相互线性表示,则称①与②等价. ①与②等价的充要条件是()()(,)R A R B R A B ==第三章 76设向量组①12:,,,s A a a a ,②12:,,,t B b b b ,若向量组②可由①线性表示,则()()R B R A ≤;若向量组①与②等价,则()()R A R B =。

7 设向量组B :12,,,t b b b 可由向量组A :12,,,s a a a 线性表示,若s t <,则向量组B :12,,,t b b b 线性相关。

等价地:若向量组B :12,,,t b b b 可由向量组A :12,,,s a a a 线性表示,且向量组B :12,,,t b b b 线性无关,则t s ≤。

特别地:若向量组A :12,,,s a a a 与向量组B :12,,,t b b b 都线性无关且可以互相线性表示,则s t =。

8 矩阵的秩矩阵的行秩与列秩定义:矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩;矩阵A 的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩。

定理:矩阵A 行秩与列秩相等,等于矩阵A 的秩。

1. n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是( )(A) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ,使11220s s k k k ααα++≠ .(B)12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.(C)12,,,s ααα 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出. (D)12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.解: “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D).第三章 8对(A):“存在”改为“任意”就正确. 对(B):如123101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中任意两个向量都线性无关,但123,,ααα线性相关. 对(C):123100,,012ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中1α不能由23,αα线性表示,但123,,ααα线性相关.2. 若向量组,,αβγ线性无关;,,αβδ线性相关,则( )(A)α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示(C)δ必可由,,αβγ线性表示. (D)δ必不可由,,αβγ线性表示. 解: ,,αβγ线性无关,得,αβ线性无关;又,,αβδ线性相关,得δ必可由,αβ线性表示,也必可由,,αβγ线性表示.选(C).3.设n 维列向量组1,,m αα (m<n )线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充要条件为()(A )向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示(B )向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示(C )向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价(D )矩阵1(,,)m A αα= 与矩阵1(,,)m B ββ= 等价分析: 向量组1,,m ββ 线性无关⇔向量组的秩1(,,)m r m ββ= ,由定理“若1,,s αα 可由1,,t ββ 线性表出,则11(,,)(,,)s t r r ααββ≤ ”解:用排除法第三章 9(A )为充分但非必要条件:若向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示,则一定可推导出1,,m ββ 线性无关,因为若1,,m ββ 线性相关,则1(,,)m r m αα< ,于是1,,m αα 必线性相关,矛盾。

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