2011届高三数学单位圆与诱导公式
单位圆与三角函数线,诱导公式
课题：三角函数线和诱导公式学习目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
学习重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值。
学习难点：正确地用于单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
自主学习1、单位圆：半径等于的圆叫做单位圆。
2、三角函数线设单位圆的圆心在原点，角a的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交直线OP或其反向延长线于点T，如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），（1）为正弦线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
（2）为余弦线，有向线段的方向是规定与x轴正方向相同为，反之为。
（3）为正切线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
点P的坐标与角a的正余弦的关系为。
点T的坐标与角a的正切的关系为。
（2）（3）（4）注意：三角函数线的位置，三角函数线的方向，三角函数线的正负。
典型例题：例1 分别作出334ππ和-的正弦线、余弦线和正切线。
练习课本P21，练习A ，1例2、在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边的范围，并由此写出角a 的集合。
练习： 1. 利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.52.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b例3、当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 当堂检测：（1）已知角a 的正弦线的长度为单位长度，那么角a 的终边（ ）A 在x 轴上B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上（2）利用正弦线比较a=sin1，b=sin1.2，c=sin1.5的大小关系A a>b>cB a>c>bC c>b>aD b>a>c(3)在02π在（，）内，使得sinx>cosx 成立的角x 的取值范围是（ ）（4）已知角a 的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（ ）A （sina ，cosa ）B （cosa ，sina ）C （sina ，tana ）D （tana ，sina ）课后巩固（1）满足 的a 的集合为 。
单位圆与诱导公式
常用诱导公式公式一： 设α为任意角，终边相同的角的三角函数：sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos αtan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α公式二： 设α为任意角，π+α与α的三角函数： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α公式三： 任意角α与 -α的三角函数：sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos αtan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α公式四：设α为任意角，π-α与α的三角函数：sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos αtan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α公式五：设α为任意角，2π-α与α的三角函数：sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α公式六： π/2±α与α的三角函数：sin （π/2＋α）＝cos α cos （π/2＋α）＝－sin αtan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan αsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin αtan （π/2－α）＝cot α奇变偶不变，符号看象限！单位圆与诱导公式一、选择题1、sin 330°等于（ B ）A.2-B.12-C.12D.22、sin 210°=（ D ）B. C.12 D.12-3、sin (1-920)°等于（ D ）A.12B.12- D. 4、如果1sin()2A π+=-，那么sin(6)A π-为（ B ）A.12B.12-C.2-D.25、当n Z ∈在①s i n 3n ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；②s i n 23n ππ⎛⎫± ⎪⎝⎭；③s i n (1)3n n ππ⎡⎤+-⋅⎢⎥⎣⎦；④c o s 2(1)6n n ππ⎡⎤+-⋅⎢⎥⎣⎦中与sin 3π相等的是（ D ） A.①与② B.①与④ C.②与③ D.③与④6、已知()sin f x x =，下列式子成立的是（ C ）A.()sin f x x π+=B.(2)sin f x x π-=C.()cos 2f x x π-=- D.()()f x f x π-=- 7、设()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中、、、a b αβ为非零常数.若(2010)1f =-，则(2011)f =（ C ）A.-1B.0C.1D.2 8、已知sin (0),()(1)1(0),x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则111166f f ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ C ）A.-1B.2C.-2D.-39、sin 480°的值是（ D ）A.12-B.2-C.12D.210、已知3sin 25α=，4cos 25α=-，那么α的终边在（ D ） A.第一象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限 D.第四象限11、已知sin110°a =，则有cos20°=（ A ）A.aB.a - D.12、已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ B ）A.13B.13-C.3D.3- 二、填空题1、如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭52、已知sin()cos()()sin cos k k y k Z παπααα++=+∈，则y 的值构成的集合是 {}2,2- . 3、若sin 6a πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= -a .4、若(cos )cos2f x x =，则(sin15)°f = 2-. 5、若(cos )cos3f x x =，则(sin30)°f = -1 .6、若α角的终边在直线3yx =-上，则310sin cos αα+= 0 . 三、解答题1、求值：sin1500cos °(1-860)°cos1+395sin(960)°°-.2、已知sin()1αβ+=，求证：sin(2)sin αββ+=. 提示：22k παβπ+=+3、已知(cos )cos17f x x =，证明：(sin )sin17f x x =.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材 北师大版必修4
1.4.3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ） Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ， Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ， 解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ， Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ， 解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，． 故选（Ｂ）．3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 解：()f x Q 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， (0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕQ ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭g ， 又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=L 当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数． 综上所述，23ω=或π22ωϕ==，． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式一课件北师大版必修4
3 ，则 3
5π － cos 6 －θ ＝
3 3 .
解析
5π π cos 6 －θ＝cosπ－6＋θ
π ＝－cos6＋θ ＝－
3 . 3
解析
答案
类型三 例3 化简下列各式.
利用诱导公式化简
sin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解 sin－αcos－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin αcos α ＝ ＝1. －cos αsin α
解答
1＋2sin 290° cos 430° (2) . sin 250° ＋cos 790°
题型探究
类型一 例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°；
给角求值问题
解 cos 210°＝cos(180°＋30°) 3 ＝－cos 30° ＝－ 2 . 11π (2)sin 4 ； 11π 3π 3π π 解 sin 4 ＝sin(2π＋ 4 )＝sin 4 ＝sin(π－4)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
3 ＝－sin(180° －60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
解答
31π － (2)cos . 6
第一章
§4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)
学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
单位圆与诱导公式(第二课时)
1.4.4单位圆与诱导公式（第二课时）主备人：刘红岩导入新课先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出α与2π+α或2π-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题. 新知探究 提出问题以下按两种思路来探究α与2π+α或2π-α的关系. 思路1.先得出α与2π-α的关系. ①先计算sin3π、cos 6π、sin 3π、cos 6π的值(23、21、23,21)，你有什么猜想结论？②怎样验证探究α与2π-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？ ③如何由α与2π-α的关系，得到α与2π+α的关系？图7活动:学生很容易得到如下猜想：cos(2π-α)=sinα,sin(2π-α)=cos α.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、2π、-α,探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角2π-α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，由于角α的终边与角2π-α的终边关于直线y=x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是(y,x)，于是，我们有sinα=y, cos α=x, cos （2π-α)=y, sin(2π-α)=x. 从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα. 教师进一步引导学生，因为2π+α可以转化为π-(2π-α).所以求2π+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα. 思路2.先得出α与2π+α的关系.图8教师引导学生观察图8，设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角2π+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识,可知Rt △OPM ≌Rt △P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a)，且a=cos α, b=sinα.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(2π+α)相等，即sin(2π+α)＝cos α.点P 的纵坐标sinα与点P 1的横坐标cos （2π+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα. 教师进一步引导学生，因为2π-α=π-(2π+α)，所以求2π-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得 sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα. 至此，我们得到了任意角α的三角函数公式 sin(k·2π+α)=sinα，cos （k·2π+α)=cos α. sin(-α)=-sinα，cos （-α)=cos α. sin(π-α)=sinα，cos （π-α)=-cos α. sin(π+α)=-sinα，cos （π+α)=-cos α.sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinα sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2kπ+α(k ∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；2π±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：2π∙k ±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 例题讲解例1求下列函数值：(1)sin(25π+4π);(2)sin(-655π);(3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π. 活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处. 解:(1)sin(25π+4π)＝sin(2π+4π)=cos 4π=22.(2)sin(-655π)=-sin 655π=-sin(8π+67π)＝-sin 67π=-sin(π+6π)=sin 6π=21 (3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π=sin(π6π-)cos 4π+sin(2π-6π)cos (π+4π)=sin 6πcos 4π+(-sin 6π)(-cos 4π)=21×22+21×22＝22.点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-655π)=sin(-10π+65π).以此活化学生的思路. 例2 化简：)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(πααπαπαπαπαπ--∙-∙+-+∙+∙-活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的. 解:原式＝[][])(cos )sin()(sin )cos()cos(sin)(απαπαπαπαπ+-∙-∙--+∙+∙-a=)cos (sin 1)sin ()2cos()cos ()sin (ααααπαα-∙∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∙-∙-=ααsin sin =1. 点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练1.求sin(-870°)的值. 解法一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-21. 解法二:sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-21 点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样： sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-212.已知cos(6π-α)=m(|m|≤1),求sin(32π-α)的值.解:∵-32πα-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α). ∴sin(32π-α)=sin ［6π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx? (1)证明:f(sinx)=f ［cos(2π-x)］=cos ［17(2π-x)］=cos (8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x, 即f(sinx)=sin17x. (2)解:f(cosx)=f ［sin(2π-x)］=sin ［n(2π-x)］=sin(2πn -nx) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-).,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx故所求的整数n=4k+1(k ∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 知能训练课本练习2 1—4. 课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”. 作业1.课本习题1—4 A 组7、8.2.B 组1、2、3.。
高中数学诱导公式大全
【解答】解：（Ⅰ）
sin(2
− ) cos(3
+ ) cos(3 2
+)
=
(−sin )(− cos )sin
=1；
sin(− + )sin(3 − ) cos(− − ) (−sin )sin (− cos )
（Ⅱ） tan 315 + tan 570 = tan(360 − 45) + tan(3180 + 30) = − tan 45 + tan 30 = 3 ．
sin(− + ) tan(3 − )
−sin (− tan )
sin
（4 分） )
（2） f ( ) = 1 ，可得 sin cos 8
=1， 8
(sin + cos )2 = 1 + 1 = 5 ，且 3 ，
44
2
sin 0 ， cos 0 ，
所以 sin + cos 0 ，
5
2
5
【解答】解：因为 sin = 3 ， 5
则 cos(
−
3
)
=
cos(3
−)
=
−
cos(
− ) = −sin
=−3．
2
2
2
5
故答案为： − 3 ． 5
变式 1．已知 sin( + ) = 1 ，则 sin(5 − ) 的值为 1 ．
63
6
3
【解答】解：因为 sin( + ) = 1 ， 63
= sin + cos sin cos
=5 −2
=−
5 2．Biblioteka 5变式 1．已知 f ( ) = sin2 ( − ) cos(2 − ) tan(− + ) sin(− + ) tan(3 − )
数学4.3单位圆与诱导公式
一回忆旧知 做好准备 同学们回忆一下任意角的正弦、 1 同学们回忆一下任意角的正弦、余弦函数 的定义？ 的定义？回忆不起来的翻阅课本相关内容
sin α = y
y P (x,y)
cos α = x
o
x
同学们回忆终边相同的角2kπ 2kπ＋ 2. 同学们回忆终边相同的角2kπ＋α k∈Z） （k∈Z）与α的正弦函数值和余弦函 数值之间的关系？ 数值之间的关系？
sin(2kπ + α ) = sin α
cos( 2 kπ + α ) = cos α
3.你能求sin750° sin930°的值吗？ 3.你能求sin750°和sin930°的值吗？ 你能求sin750
4.利用上述公式， 4.利用上述公式，可将任意角的三角函 利用上述公式 数值，转化为0 数值，转化为00～3600范围内的三角函 数值. 数值.其中锐角的三角函数可以查表计 而对于90 算，而对于900～3600范围内的三角函数 如何转化为锐角的三角函数值， 值，如何转化为锐角的三角函数值，是 我们需要研究和解决的问题. 我们需要研究和解决的问题.
利用公式二、 4 利用公式二、三，你能否得到π-α 与
α的正弦、余弦函数值的关系？ 的正弦、余弦函数值的关系？ 的正弦
sin(π −α ) = − sin( − π ) = −(− sinα ) = sinα α
cos( π − α ) = cos( α − π ) = − cos α
5 哪位同学说说，这些公式有什么特点，如 哪位同学说说，这些公式有什么特点， 何记忆？ 何记忆？ sin(−α) = − sin α 总结： 总结： cos(−α ) = cosα
sin(2kπ + α ) = sin α
单位圆与诱导公式
求 角的三角函数值问题。
4
你能把以上变换的过程，
用三角关系式表示出来吗？
y
5
4
o
P' (- 2 ,- 2 ) 22
P（ 2 ， 2 ） 22
4
x
5 44
、2 、 、 与终边的位置关系？
观察单位圆，
角、2 、 、 与角的正弦、余弦函数值的 关系？
我希望自己能慢慢进步，多看书吧，发现自己好 久没看书了。
2013/11/26
第一次在18班试上的，发现效果不是很好， 便拿着教案找了好几位老师，便改了又改。我 跟小琴老师讲，我上的效果不是很好，她说再 上呀，借班上，后来又上了一次，效果好多了 。但其实可以更好的。我觉得一件事情只要你 用心了，总是会出成效的。
其实这次去参加比赛，真的是学习的，至少在反 复的练习中，在比赛的过程中确是能发现自己 的不足的，平时上课备课真的的特别注意到自 己的问题，不然这次公开课就成了无效公开课 。在此也感谢指导过自己的老师，
y
公式（5）
o
sin sin
cos －cos
例 : sin 2 sin( ) sin 3
3
3
32
P(u,v) x
3. 诱导公式： k 与的三角函数值得关系
sin( 2k) sin 公式（1） cos( 2k) cos （k Z） 公式（4）
2k (k Z), , , 2 的三角函数值,等于 的同 名函数值，前面加上一个把 看成锐角时,原函数值的符号.
即：函数名不变，符号看象限 （2）诱导公式的应用: ①把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角的正
单位圆与诱导公式
单位圆与诱导公式诱导公式(1)角α与－α，2π－α的正弦函数、余弦函数关系：sin(－α)＝________，sin(2π－α)＝________．cos(－α)＝________，cos(2π－α)＝________．(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________．sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α．(3)角α与π－α的正弦函数、余弦函数关系：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________．(4)角α与π2＋α的正弦函数、余弦函数关系：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________． (5)角α与π2－α的正弦函数、余弦函数关系：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________． (6)角α与2k π＋α的正弦函数、余弦函数关系：sin(2k π＋α)＝________，cos(2k π＋α)＝________．1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α等于( ) 3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) 4．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) 5．α和β的终边关于y 轴对称，下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．cos α＝cos βC ．cos(π－α)＝cos βD ．sin(π－α)＝－sin β6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) 7．sin(－300°)＋sin 240°的值等于________．8．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－π6 ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π－π3，(以上各式n ∈Z )其中函数值与sin π3的值相同的是________．(填所有相同代数式的序号)9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝________． 10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 011)＝1，则f (2 012)＝________．11．(1)求值：sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α的值． 12．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，求证：(1)cos(2A ＋B ＋C )＝cos(B ＋C )；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C 2－π4． 13．化简：k ＋π＋θk ＋π－θ]kπ－θk π＋θ(其中k ∈Z )．14．设f (n )＝cos(n 2π＋π4)(n ∈N *)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)的值．。
单位圆与诱导公式(第一课时)
1.4.4单位圆与诱导公式(第一课时)主备人：刘红岩教材分析本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义.在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.教学目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识. 导入新课在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课.或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6π＝-21； sin 32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3π＝-23,等等.教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、65π放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.新知探究提出问题①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ ③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ 活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3π、32π，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，∠MOP=3π,∠MOP′=32π,在直角坐标系的单位圆中，点P 与点P′关于y 轴对称，它们的坐标分别为(21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反. sin 32π＝23＝sin 3π，cos 32π＝-23＝-cos 3π. 这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b)和点P′(-a,b)关于y轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(π-α)=sinα,cos（π-α)=-cosα.图2有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,cos(2π-α)=cosα.图3图4同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(π+α)=-sinα,cos（π+α)=-cosα.图5图6通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性.例题讲解例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导.解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos 32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23. 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解： sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22. 变式训练利用公式求下列三角函数值：(1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′) =cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. (2)sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23 例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--•--+•+οοοο活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180°及360°的前面添加偶数n 或奇数n 或整数(此时需要分类讨论)n ；亦或将角α前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-α-180°)=sin ［-(180°+α)］=sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα,cos(-180°-α)=cos［-(180°+α)］=cos(180°+α)=-cosα, cos(180°+α)=-cosα,sin(360°+α)=sinα.所以，原式=)cos (sin sin cos αααα-••-=1. 点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos (360°+120°) =cos(-45°)-21-sin45°+cos120°=cos45°-21-22+cos(180°-60°) =22-21-22-cos60°=-1.3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos (πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨.解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos (2 003π+β)=asin(2 002π+π+α)+bcos (2 002π+π+β)=asin(π+α)+bcos (π+β)=-asinα-bcosβ=-(asinα+bcosβ),∵f(2 003)=-1,∴asinα+bcosβ=1.∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos (2 004π+β)=asinα+bcosβ=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asinα+bcosβ=1，它是联系已知和未知的纽带.知能训练课本练习1、2.课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力.作业课本习题1—4 4、5、6.设计感想本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题.本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力.（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。
【高中诱导公式大全】高考数学一轮复习资料!
【高中诱导公式大全】高考数学一轮复习资料！公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六π/2±α与α的三角函数值之间的关系：及3π/2±αsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
高中数学《单位圆与诱导公式》导学课件 北师大版必修4课件
若 sin(6 -θ)= 3 ,则 sin( 6 -θ)=
7π 6 π 6 π 6
.
3 3
【解析】sin( -θ )=sin[π +( -θ )]=-sin( -θ )=- .
.. 导. 学 固思
4
已知 sin(π+α)+sin(-α)=-m,求 sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.
【解析】∵sin(π +α )+sin(-α )=-sin α -sin α =-2sin α =-m,∴sin α = ,而
【解析】由诱导公式可知,A 正确;对于 B,cos(α +β )=cos[-(α -β )]=cos(α -β ),故 B 不正确;对 于 C,sin(-α -360°)=sin(-α )=-sin α ,故 C 正 确;对于 D,cos(-α -β )=cos[(α +β )]=cos(α +β ),故 D 正确.
3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°= 0 .
【解析】5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=5×1+2×1-3×(-1)+10×(-1)=0.
4.化简
sin (2π -������ )cos (π +������ )sin (������ -3π ) sin (-������ )sin (π -������ )sin (-������ - )
-sin(π - )cos(π + )+cos(2π - )sin(2π - )=sin cos cos sin = · - · = .
单位圆与诱导公式
单位圆与诱导公式
泗县三中教案、学案：单位圆与诱导公式1
年级高一学科数学课题单位圆与诱导公式1
授课时间撰写人时间
学习重点诱导公式的记忆、理解、运用。
学习难点诱导公式的推导、记忆及符号的判断
学习目标
1. 掌握π＋α、－α、π－α等诱导公式；
2. 能熟练运用诱导公式进行化简与求值教学过程
一自主学习
1写出2kπ＋α的诱导公式(2 kπ+ )= ； cos(2 kπ+ )= ；
2. sin(π＋α)= ；cos(π＋α) = ；
3.仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.
口诀：奇变偶不变，符号看象限. （90度的奇数倍函数名称改变，90度偶数倍函数名称不变，“符号”是把任意角α看成锐角时，所在象限的三角函数值的符号.）
二师生互动
例1求值：（1）sin225°；（2）cos ；
（3） sin(－ )；（4）cos（－）.
变式：求tan（－2040°）的值.
小结：运用诱导公式的格式；注意符号.
例2 化简 .
练1. 已知cos(π＋x)＝0.5，求cos(2π－x)的值.
练2. 化简： .
三巩固练习（）.
A. B. C. B.
2. 下列式子正确的是（）.
A. BD化简 =（）.
A. BD(π－x)＝，则cos(－x)= .
四课后反思
五课后巩固练习求证：2. 已知sin(π+ )= （为第四象限角），求cos(π+ )+tan(－ )的值。
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【答案】
B
π 2 2．设 sin(π －α )＝－ ，且 α ∈ － ，0，则 3 2
tan α ＝( 2 5 A. 5 2 5 C．± 5
) 2 5 B．－ 5 D. 5 2
【解析 】
π α ∈－ ，0， 2
2 ∵ － ＝ sin(π α ) ＝ sin α ， 且 3
【思路点拨】 化简时注意观察题设中的角出现了kπ ，需 讨论k是奇数还是偶数 【自主探究】 当k＝2n(n∈Z)时，
sin(2nπ －α )cos[(2n－1)π －α ] 原式＝ sin[(2n＋1)π ＋α ]cos(2nπ ＋α )
＝ ＝
sin(－αቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)²cos(－π －α ) sin(π ＋α )²cos α －sin α (－cos α ) ＝－1； －sin α ²cos α
)＋cos(α ＋π ) 的值． 7π ＋3sin －α 2 化简已知条件
化简所求三角函数式，用已知表示 代入已知求解
【自主探究】
π ∵cos ＋α 2
π ＝2sinα － ， 2
π ∴－sin α ＝－2sin －α ， 2
1 5 ＝－ . sin α cos α 2
诱导公式在三角形中的应用
在△ABC 中，若 sin(2π －A)＝－ 2sin(π －B)， 3cosA＝－ 2cos(π －B)，求△ABC 的三内角．
【思路点拨】 本题首先利用诱导公式把所给两个等式 化简，然后利用sin2α ＋cos2α ＝1，求出cos A的值，再利 用A＋B＋C＝π 进行求解．
当 k＝2n＋1(n∈Z)时， sin[(2n＋1)π －α ]²cos[(2n＋1－1)π －α ] 原式＝ sin[(2n＋1＋1)π ＋α ]²cos[(2n＋1)π ＋α ] ＝ sin(π －α )²cos α sin α ²cos α ＝ ＝－1. sin α ²cos(π ＋α ) sin α (－cos α )
π 2cos ＋α (k为偶数) 3 综上知，原式＝ －2cosπ ＋α (k为奇数). 3
三角函数式的求值
π 已知 cos ＋α 2 π ＝2sinα － . 2
sin3(π －α 求 5π 5cos －α 2 【思路点拨】
2sin2α －1 2sin2α －1 2sin2 α －(sin2α ＋cos2α ) ＝ ＝ ＝ 10－3 7 7(sin2α ＋cos2α ) sin2α －cos2α tan2α －1 4－1 3 ＝ ＝ ＝ ＝ . 7(sin2α ＋cos2α ) 7(tan2α ＋1) 7³(4＋1) 35
角 2kπ ＋α (k∈Z) 图 示 与 α 角 终 边 的 关 系 角 图 示 与
相同 关于原点对称 关于x轴对称
π ＋α
－α
πy － α 关于 轴对称
－y α 关于直线 ＝x对称
＋α
2.六组诱导公式
组数 角 一 2kπ ＋ α (k∈Z)
sinα cosα
二 π ＋α
-sinα -cosα tanα
三 －α
-sinα cosα tanα
四 π －α
sinα -cosα
五 －α
cosα sinα
六 ＋α
cosα -sinα
正弦 余弦 正切 口决
tanα
tanα
函数名不变 符号看象限
函数名改变 符号看象限
1．sin 330°等于( A．－ 1 C. 2 3 2
) 1 B．－ 2 D. 3 2
【解析】 sin 330°＝sin(360°－30°)＝sin(－30°) 1 ＝－sin 30°＝－ . 2
【方法点评】 1.六个诱导公式和同角三角函数间的关
系是求值的基础． 2．已知一个角的三角函数值，求其他角的三角函数值
时，要注意对角的化简，一般是把已知和所求同时化简，
化为同一个角的三角函数，然后求值．
5π sin ＋α 2 5 2 2．已知 sin α ＝ ，求 tan(α ＋π )＋ 5π 5 cos －α 2
第二节
单位圆与诱导公式
考 纲 点 击
能利用单位圆中的三角函数线推导出±α， π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.利用诱导公式求角的三角函数值或求三 角函数式的值是高考考查的重点. 2.在三角函数式的化简或证明中，间接考 查诱导公式. 3.多以选择、填空的形式考查.
热 点 提 示
1．下列各角的终边与角α 的终边的关系
2 2
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋ 1 1 89 cos 44°)＋ ＝44＋ ＝ . 2 2 2 89 【答案】 2
2
三角函数式的化简
sin(kπ －α )cos[(k－1)π －α ] 化简： (k∈Z)． sin[(k＋1)π ＋α ]cos(kπ ＋α )
∴cos α ＝ 1－sin2α ＝
2 5 1－(－ )2＝ ， 3 3
2 － 3 sin α 2 2 5 tan α ＝ ＝ ＝－ ＝－ . cos α 5 5 5 3
【答案】
B
17π 17π －sin－ 的值是( 3．cos－ 4 4
)
A. 2 C．0
【解析】
2 【答案】 － 3
5．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
【解析】 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289° ＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋ sin2(90°－1°)
22 ＝sin 1°＋sin 2°＋…＋ ＋…＋cos22°＋cos21° 2
【方法点评】 在△ABC中常用的变形结论有：
A B C π ∵A＋B＋C＝π ，2A＋2B＋2C＝2π ， ＋ ＋ ＝ ， 2 2 2 2
∴sin(A＋B)＝sin(π －C)＝sin C， cos(A＋B)＝cos(π －C)＝－cos C，
tan(A＋B)＝tan(π －C)＝－tan C
sin(2A＋2B)＝sin(2π －2C)＝－sin 2C
【特别提醒】 若出现kπ ±α 时，要分k为奇数和偶数讨论． 3．诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终 了．特殊角能求值则求值． 4．化简是一种不指定答案的恒等变形，化简结果要尽可使项 数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无 分式等． 若出现kπ ±α 时，要分k为奇数和偶数讨论．
∴sin α ＝2cos α ，即 tan α ＝2. sin3(π －α ∴ 5π －α 5cos 2 )＋cos(α ＋π ) 7π ＋3sin －α 2
sin3α －cos α ＝ π π 5cos2π ＋ －α ＋3sin4π － －α 2 2 sin3α －cos α ＝ π π － α ＋ α 5cos －3sin 2 2 sin3α －cos α sin2α ²tan α －1 ＝ ＝ 5sin α －3cos α 5tan α －3
【自主探究】
sin A＝ 2sin B 由已知得 3cos A＝ 2cos B
① ②
①2＋②2 得 2cos2A＝1， 即 cos A＝± 2 . 2
2 3 (1)当 cos A＝ 时，cos B＝ ， 2 2 又 A、B 是三角形内角， π π ∴A＝ ，B＝ ， 4 6 7 ∴C＝π －(A＋B)＝ π . 12 2 3 (2)当 cos A＝ 时，cos B＝－ . 2 2 又 A、B 是三角形内角， 3 5 ∴A＝ π ，B＝ π ，不合题意． 4 6 π π 7 综上知，A＝ ，B＝ ，C＝ π . 4 6 12
3k＋1 3k－1 π ＋α ＋cos π －α ，k∈Z. 1．化简：cos 3 3
【解析】
当 k＝2n，n∈Z 时，
π π 原式＝coskπ ＋ ＋α ＋coskπ － －α 3 3 π π ＝cos2nπ ＋ ＋α ＋cos2nπ － －α 3 3 π π ＝cos ＋α ＋cos－ －α 3 3 π π π ＝cos ＋α ＋cos ＋α ＝2cos ＋α . 3 3 3
当 k＝2n＋1，n∈Z 时，
π π 原式＝cos(2n＋1)π ＋ ＋α ＋cos(2n＋1)π － －α 3 3 π π ＝cosπ ＋ ＋α ＋cosπ － －α 3 3 π ＝－cos ＋α 3 π －cos ＋α 3 π ＝－2cos ＋α 3 .
同理sin B>cos C；sin C>cos A， ∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
π π 1．(2009 年湖南)若 x∈0， ，则 2tan x＋tan －x的 2 2
最小值为________．
【解析】
π π ∵x∈0， ，∴tan x>0，∴2tan x＋tan －x＝ 2 2
B．－ 2 D. 2 2
17π 17π －sin－ cos－ 4 4
π π ＝cos－4π － －sin－4π － 4 4 π π π π － － ＝cos －sin ＝cos ＋sin ＝ 2. 4 4 4 4
以上结论在熟练应用的基础上加强记忆．
3．在锐角△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋
cos B＋cos C.
【证明】 ∵△ABC是锐角三角形，
π π π ∴A＋B> ，即 >A> －B>0， 2 2 2