比例线段

例2
已已：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30° △ 中 ＝ ＝ 斜斜AB=4 B AB AC 4 , 求： BC AB 30
A
°
C
想一想： 这个条件如果去掉， 想一想：AB=4这个条件如果去掉，此 这个条件如果去掉 题能不能做？ 题能不能做？
解：∵Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＝30° 中 ＝ ＝ B AB=4 4 1 2 30° ∴BC= AB=2 2 A C
如果作为比例内项的是相同的 线段， 线段，即
a b = b c
或a:b=b:c，那么 ，
线段b叫线段 、 的比例中项。 线段 叫线段a、c的比例中项 叫线段
说明：
a c 1.式式 = 或 a:b=c:d叫叫叫式 式 叫 b d
2.比例式中，项的次序不可任意改变。 比例式中，项的次序不可任意改变。 比例式中 的第四比例项与d是 、 、 如d是a、b、c的第四比例项与 是b、c、 是 、 、 的第四比例项与 a的第四比例项的意义是不同的。 的第四比例项的意义是不同的。 的第四比例项的意义是不同的
a d a 1 d 3 1 = = ∴c=b ∴ = c 2 b 6 2
即线段a、 、 、 成比例 即线段 、c、d、b成比例 想一想:是否还可以写出其他几 想一想 是否还可以写出其他几 组成比例的线段. 组成比例的线段
已知线段a=10mm , b=6cm 例4 已知线段 c=2cm , d=3cm . 想一想:是否还可以写出其他几 想一想 是否还可以写出其他几 组成比例的线段. 组成比例的线段 答:可以. 如:
A
B
AP 5 −1 BP = (= ) AB 2 AP
BP 3 − 5 = 2 AB
已已：A、B两两两两两两两AB=250m 、 两 画在两画画两两两A'B'=5cm 求：图上距离与实际距离的比
(即该地图的比例尺 即该地图的比例尺) 即该地图的比例尺 解：∵ AB=250m=25000cm A'B'=5cm
A'B' 5 1 = = ∴ AB 25000 5000
图上距离与实际距离的比是1:5000 答:图上距离与实际距离的比是 图上距离与实际距离的比是
2 3
AC= AB2-BC2=2 3
AB 4 AC 2 3 3 = = ∴ = =2, 2 BC 2 AB 4
解: ∵Rt ABC中, ∠C=90° ∠A=30° 中 1 2x ∴BC= AB 2 30° 设 BC=X 则 AB=2X A ∴AC= AB2-BC2= 3X
AB 2x ∴ = =2 BC x
练习2: 练习 求下列各题中 a:b 的值 (1)a=2m , b=0.4m ; (2)a=6cm , b=6m ; (3)a=50mm , b=6cm ; (4)a=3m , b=10mm . 答: (1) a:b=5 (3) a:b=5:6 (2) a:b=1:100 (4) a:b=300
例1
a 20毫如 2 毫 = ＝ b 30毫如 3 毫
练习1: 练习 判断. 线段a=2cm , b=30mm那 判断 已知 线段 那 么a,b两条线段的比是 两条线段的比是
a 2 1 = = b 30 15
对吗? 为什么 对吗 为什么? 不对.根据定义 根据定义, 答: 不对 根据定义 在同一长度单位 下,两条线段的长度的比叫做这两条 两条线段的长度的比叫做这两条 线段的比
比例线段
线段的比
定义： 同一长度单位下 定义：在同一长度单位下，两条线 段的长度的比叫做这两条线段的比。 段的长度的比叫做这两条线段的比。
即如如如即即量量毫毫量量线线a、b两 、 两 a m 量量比比比m、n，那那a:b=m:n或 = 。 、 ， 或 b n
a 在a:b或 中，a叫叫两前前，b叫叫两后前 或 叫 叫 b
⇔
或
b d a b c d = , = , = KK a c c d a b
(2)合比性质 a c a±b c±d = 那么 如果 = b d b d
a c a ±b c ±d = = d b d （分母不为0）b 分母不为 ） a c a c = = a ±b c ± d b d
练习3—5： BE CF 如图，已知 = AC ， AB E F AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B C BE CF AB AC AB–BE AC–CF = AC = = AB BE CF BE CF AE AF BE CF = CF = AF BE AE 有没有简单方法？ AE+BE AF+CF AF AB AC AE 有！ = AF = AF = AC . AE AE AB
2.比例线段 比例线段
定义： 四条线段中 定义：在四条线段中，如果其中两条 线段的比等于另外两条线段的比， 线段的比等于另外两条线段的比，那 么这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段 简称比例线段
a c 已知线段a、 、 、 ， 已知线段 、b、c、d，如果 b=d
或a:b=c:d，那么 、b、c、d叫做组 ，那么a、 、 、 叫做组 叫比例外项 成比例的项 线段a、 叫比例外项， 成比例的项。线段 、d叫比例外项， 线段b、 叫比例内项，线段d叫 、 、 叫比例内项 线段 、c叫比例内项，线段 叫a、b、 c的第四比例项。 的第四比例项。
a c m 证明： 设 = = …= =k, b d n 则 a=bk, c=dk, … m=nk, a+c+…+m bk+dk+…nk ∴ = b+d+…+n b+d+…n (b+d+…n)k =k = a . = b+d+…n b
例2、已知 a：b：c=2：5：6， 2a+5b–c 的值. 求 3a–2b+c a b c 解： 设 2 = 5 = 6 = k, 则 a=2k, b=5k, c=6k,
2a+5b–c 4k+25k–6k 23 = . ∴ 3a–2b+c = 6k–10k+6k 2
P 如图:如果点 把线段AB分割成 如果点P把线段 分割成AP和 如图 如果点−把线段 分割成 和PB AP 5 1 BP = 两段 (= ) 是AB和PB的比 两段,其中 其中AP是 和 的比 （AP>PB)两段 其中 AB 2 AP 例中项,那么称这种分割为黄金分割,点 那么称这种分割为黄金分割 例中项 那么称这种分割为黄金分割 点P 5 −1 长 〓 短 黄金分割点〓 即 称为线段AB的 〓 称为线段 的黄金分割点. 0.618 2 长 全 的比值 5 − 1 称为黄金分割 AP与AB的比值 称为黄金分割 与 2 简称黄金数 数(简称黄金数 黄金分割数是一个无理 简称黄金数).黄金分割数是一个无理 长 长=全×0.618 短=长×0.618 全 在应用时常取它的近似值0.618 数,在应用时常取它的近似值 在应用时常取它的近似值
a c = d b
c b = a d
d b =性质： 比例的基本性质
比例的外项之积等于内项之积 比例的外项之积等于内项之积 外项之积等于 a c 如果 a：b =c：d 即 =c： 果 = b d ，那么ad =bc.
特殊地： 特殊地：
2 =ac. a∶b a∶b=b∶c b a c 如果 ad =bc. 则可得到 = b d
3x
B 1x C
AC 3X 3 = = AB 2X 2
如: 线线AB=2m ,BC=300cm , A'B'=4cm B'C'=60mm
AB 2 可知: 可知 = BC 3 A'B' 2 = B'C' 3
AB A'B' ∴ = ' ' BC BC
我我我线线AB, BC, A'B', B'C'为 为 成叫叫线线.简我叫叫线线 简
a c b a 叫叫式比比比 = ， = b d c d
3.和一般的数构成的比例式不同，由线 和一般的数构成的比例式不同， 和一般的数构成的比例式不同 段构成的比例式的各项均为正数。 段构成的比例式的各项均为正数。
已知线段a=10mm , b=6cm 例4 已知线段 c=2cm , d=3cm . 这四条线段是否成比例？为什么? 问：这四条线段是否成比例？为什么 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm
线段a、 已知 线段 、b
a
b
量量量我两量量a=2cm,b=3cm ，那那 a、b两两线线两叫两比量我量量两叫。 、 两 a 2 即 a:b=2:3或 = 或 b 3 如如如如如、毫如毫为线线两量量毫毫， 那那a、b两两线线两叫比比比： 、 两
a 0.02如 2 如 = = b 0.03如 3 如
A
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
等比性质： 等比性质：
如果
a + c +... + m . 那么 =k 不可逆） b + d +... + n （不可逆）
a c m = = ... = = k (b + d +... + n ≠ 0), b d n
a c = …= m = n b d
？
a+c+…+m a = . b+d+…+n b