06弯曲应力new
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第六章 弯曲应力
近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y
弯曲应力
* FS S z bI z
20:01:46
（儒拉夫斯基公式）
式中符号意义：
：截面上距中性轴y处的剪应力
S ：y以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
对于矩形：
* z
yc
h
c
y z b
92
h * * Sz A yc b 2 y y 27
92
36
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
q=0.5KN/m
d 0.8 ，试选择截面直径D；若外径D增加 D
A L=4m
1 2 qL 8
并且
h y , 0; 2
y 0, max
3 FS 2 bh
3 FS 2 A
92
28
弯曲应力/弯曲时的剪应力 实心截面梁的弯曲切应力误差分析
20:01:46
精确解 =
= bI z
1/1
1.12
FS Sz* b 1/2 1.57 1/4 2.30
h
翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽 度按直线规律变化，并与腹板部分 的竖向剪力形成“剪应力流” 。 翼缘部分的剪应力强度计算时一 般不予考虑。
( y)
腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角 上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使 这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的
结果。
My1 1 , Iz
( M dM ) y1 2 Iz
20:01:46
（儒拉夫斯基公式）
式中符号意义：
：截面上距中性轴y处的剪应力
S ：y以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
对于矩形：
* z
yc
h
c
y z b
92
h * * Sz A yc b 2 y y 27
92
36
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
20:01:46
例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa，空心圆截面 的内外径之比 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
q=0.5KN/m
d 0.8 ，试选择截面直径D；若外径D增加 D
A L=4m
1 2 qL 8
并且
h y , 0; 2
y 0, max
3 FS 2 bh
3 FS 2 A
92
28
弯曲应力/弯曲时的剪应力 实心截面梁的弯曲切应力误差分析
20:01:46
精确解 =
= bI z
1/1
1.12
FS Sz* b 1/2 1.57 1/4 2.30
h
翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽 度按直线规律变化，并与腹板部分 的竖向剪力形成“剪应力流” 。 翼缘部分的剪应力强度计算时一 般不予考虑。
( y)
腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角 上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使 这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的
结果。
My1 1 , Iz
( M dM ) y1 2 Iz
《工程力学》教学课件第十二章弯曲应力
简支梁
在均布载荷或集中力作用下，简支梁横截面上的正应力呈线 性分布，最大正应力出现在梁的中性层上。
悬臂梁
在自由端受到集中力或均布载荷作用时，悬臂梁横截面上的 正应力呈非线性分布，最大正应力出现在固定端附近。
叠加原理在复杂载荷下梁正应力计算中应用
叠加原理
当梁受到多个载荷作用时，可以将每个载荷单独作用时产生的弯曲变形和正应力进行叠加，从而得到梁在复杂载 荷作用下的总弯曲变形和正应力。
提高构件的弯曲疲劳强度。
06 弯曲应力实验测定方法
电阻应变片法测量原理及操作步骤
测量原理
基于电阻应变效应，通过测量应变片电阻值变化来推算 出试件应变，进而得到弯曲应力。
操作步骤
粘贴应变片、连接测量电路、加载试件、记录数据。
光弹性法测量原理及优缺点分析
01
02
03
测量原理
利用某些透明材料在偏振 光场中受力产生应力双折 射现象，通过光弹性仪器 分析得到应力分布。
其他截面形状（圆形、工字形等）梁剪应力计算方法
圆形截面梁
对于圆形截面梁，可以采用极坐标方法进行剪应力计算，或者将其等效为矩形截面进行 计算。
工字形截面梁
对于工字形截面梁，由于其截面形状复杂，一般采用数值方法进行剪应力计算，如有限 元法等。
剪应力对梁强度和稳定性影响分析
对强度的影响
剪应力过大会导致梁截面发生剪切破坏 ，从而降低梁的承载能力。
《工程力学》教学课件第十二章弯 曲应力
contents
目录
• 弯曲应力基本概念与原理 • 梁弯曲时正应力计算与分析 • 梁弯曲时剪应力计算与分析 • 弯曲变形与位移计算 • 弯曲强度条件与校核方法 • 弯曲应力实验测定方法
01 弯曲应力基本概念与原理
在均布载荷或集中力作用下，简支梁横截面上的正应力呈线 性分布，最大正应力出现在梁的中性层上。
悬臂梁
在自由端受到集中力或均布载荷作用时，悬臂梁横截面上的 正应力呈非线性分布，最大正应力出现在固定端附近。
叠加原理在复杂载荷下梁正应力计算中应用
叠加原理
当梁受到多个载荷作用时，可以将每个载荷单独作用时产生的弯曲变形和正应力进行叠加，从而得到梁在复杂载 荷作用下的总弯曲变形和正应力。
提高构件的弯曲疲劳强度。
06 弯曲应力实验测定方法
电阻应变片法测量原理及操作步骤
测量原理
基于电阻应变效应，通过测量应变片电阻值变化来推算 出试件应变，进而得到弯曲应力。
操作步骤
粘贴应变片、连接测量电路、加载试件、记录数据。
光弹性法测量原理及优缺点分析
01
02
03
测量原理
利用某些透明材料在偏振 光场中受力产生应力双折 射现象，通过光弹性仪器 分析得到应力分布。
其他截面形状（圆形、工字形等）梁剪应力计算方法
圆形截面梁
对于圆形截面梁，可以采用极坐标方法进行剪应力计算，或者将其等效为矩形截面进行 计算。
工字形截面梁
对于工字形截面梁，由于其截面形状复杂，一般采用数值方法进行剪应力计算，如有限 元法等。
剪应力对梁强度和稳定性影响分析
对强度的影响
剪应力过大会导致梁截面发生剪切破坏 ，从而降低梁的承载能力。
《工程力学》教学课件第十二章弯 曲应力
contents
目录
• 弯曲应力基本概念与原理 • 梁弯曲时正应力计算与分析 • 梁弯曲时剪应力计算与分析 • 弯曲变形与位移计算 • 弯曲强度条件与校核方法 • 弯曲应力实验测定方法
01 弯曲应力基本概念与原理
材料力学第6章-弯曲应力
Chapter Six
Stresses in Bending
第六章 弯曲应力
1
背景材料
本章基本要求 6.1 弯曲正应力 6.2 弯曲切应力 6.3 梁的强度及破坏
6.4 组合变形的应力 本章内容小结
2
背 景
材
料
F
横梁横截面上的应力如 何计算？行车移动时，这种 应力如何变化？
3
汽车在轮轴上的支 承为什么设计为叠板弹 簧的形式？这种结构有 什么优点？
3M max b 44.7 mm 2[ ] 故取 b = 45 mm
27
例6.2 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩 形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b
应成什么比例？
d b h
分析
强度最大
荷载相同时应力水平最低
max
M max W
W 为最大
建立 W 函数关系并求其极值
A
A
dA
z dx
A
1) 第一式：
FN dA
A
A
E
y dA
E
A
y dA
E
Sz 0
x
S z 0 重要结论：中性轴必定过形心
2) 第二式：
E
E
y
E M y z dA y zdA I yz A A
mn ( y ) d
z
dx dx x
mn mn ( y )d d mn d
y
m
d
y
n'
n
m'
Stresses in Bending
第六章 弯曲应力
1
背景材料
本章基本要求 6.1 弯曲正应力 6.2 弯曲切应力 6.3 梁的强度及破坏
6.4 组合变形的应力 本章内容小结
2
背 景
材
料
F
横梁横截面上的应力如 何计算？行车移动时，这种 应力如何变化？
3
汽车在轮轴上的支 承为什么设计为叠板弹 簧的形式？这种结构有 什么优点？
3M max b 44.7 mm 2[ ] 故取 b = 45 mm
27
例6.2 欲把直径为 d 的圆木锯成承受竖直方向荷载的矩 形截面梁，若要使梁具有最大的强度，矩形的高 h 和宽 b
应成什么比例？
d b h
分析
强度最大
荷载相同时应力水平最低
max
M max W
W 为最大
建立 W 函数关系并求其极值
A
A
dA
z dx
A
1) 第一式：
FN dA
A
A
E
y dA
E
A
y dA
E
Sz 0
x
S z 0 重要结论：中性轴必定过形心
2) 第二式：
E
E
y
E M y z dA y zdA I yz A A
mn ( y ) d
z
dx dx x
mn mn ( y )d d mn d
y
m
d
y
n'
n
m'
课件：第六章 弯曲应力
A y0dA 0
同理:
Iz Iz0 a2 A I y I y0 b2 A
Page
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
16
思考：下列计算是否正确？ 其中C是截面形心。
IZ2 IZ1 Aa2
•C
解：不正确。
z1
a
因为 Z1 不是形心轴
z2
Page
17
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
( y) 1 dF
b dx
l F dA
My
Iz
M Iz
y * dA
ydA Sz ( )
MSz ( )
Iz
Sz()－面积 对中性轴 z 的静矩
l
( y) Sz ( ) dM
bIz dx
( y) FSSz ( )
I zb Page
1
2
M
M dM
y
FS
FS
y* mn
1
2
x
dx
d
l 2 0
0.002
3
x l
4(
x l
)2
dx
l l 2
0.002 1
x l
dx
0.002
3l 2
( x )2 l
l
4l 3
(
x l
)3
2 0
0.002 x
x2 l
2l
l
2 103 m 3
2
Page
29
作业
6-1 6-3 6-8 A-8
Page
30
§6-3 对称弯曲切应力
解：1. 问题分析
已知=(D+d)/2, E, 截面尺寸，可应
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
s t,max
My t ,max Iz
s c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy b/2 6
dA s * FN1 m'
B1 d F
S
A y m dx
B
* F n N2
* N1
而横截面上纵向力的大小为
* N1
My1 M F * s1 d A * dA A A Iz Iz
M * A* y1 d A I z S z
面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩
F
* N2
(M d M ) M dM * *s 2 d A * y1 d A Sz A A Iz Iz
Fs
根据前面的分析
* FS S z t I zb
矩形截面梁弯曲切应力计算公式
* FS S z t I zb
z y1 y y
其中：
FS→ 横截面上的剪力；
dA
Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；
b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；
中性轴的静矩
* → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对 Sz
例 截面为T字形的铸铁梁如图所示，欲使梁内最大拉应力与最 大压应力之比为1：3，试求水平翼缘的合理宽度b。 解： 1) 中性轴的位置： s max y1 1 s max y 2 3 y1 y2 400 y2 300mm y1 100mm 2) 求b： (中性轴必过形心) y A yc 2 A2 SZ 0 yc c1 1 0 A1 A2 340 60 b (y 1 30) 340 30(y 2 )0 2 b 316 mm
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
材料弯曲应力(new)
A
4m
B
20kN / m
解:作内力图
A
4m
FS 40kN
B
40kN
M
40kN .m
解： FS max 40kN,
由正应力强度条件：
max
M max [ ] Wz
Mmax 40kN m
得 d 137mm
40 103 6 即 160 10 d3 32
例4.图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当
最大正应力为最小时的支座位置。
q a a
只有支座处截面与跨
中截面之弯矩的绝对
l
值相等，才能使该梁
的最大弯矩的绝对值 为最小，从而使其最 大正应力为最小。?
解：请同学画弯矩图
ql 2 qla qa 2 8 2 2
a 0.207 l
q
l
M
0.0214ql
2
P
l 2 l 2 l 2
a 2
P
a 2 l 2
M
Pl / 4
M
l a 2 Pl / 8
★对于[t]= [c]的材料，可用与中性轴对称的截
面，使截面上、下边缘σtmax= σcmax ★对于[t]≠[c]的材料，如铸铁[t]＜[c]，宜用 中性轴偏于受拉边的截面。
例6.图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa， 许用压
应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6 m4， 试校核此梁的
强度。
A
4 kN 52 B C D 88 1m 1m 1m
9 kN
C
z
2.5kN 10.5kN 解：作弯矩图 2.5kN.m M 4kN.m
C截面：
4m
B
20kN / m
解:作内力图
A
4m
FS 40kN
B
40kN
M
40kN .m
解： FS max 40kN,
由正应力强度条件：
max
M max [ ] Wz
Mmax 40kN m
得 d 137mm
40 103 6 即 160 10 d3 32
例4.图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当
最大正应力为最小时的支座位置。
q a a
只有支座处截面与跨
中截面之弯矩的绝对
l
值相等，才能使该梁
的最大弯矩的绝对值 为最小，从而使其最 大正应力为最小。?
解：请同学画弯矩图
ql 2 qla qa 2 8 2 2
a 0.207 l
q
l
M
0.0214ql
2
P
l 2 l 2 l 2
a 2
P
a 2 l 2
M
Pl / 4
M
l a 2 Pl / 8
★对于[t]= [c]的材料，可用与中性轴对称的截
面，使截面上、下边缘σtmax= σcmax ★对于[t]≠[c]的材料，如铸铁[t]＜[c]，宜用 中性轴偏于受拉边的截面。
例6.图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa， 许用压
应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6 m4， 试校核此梁的
强度。
A
4 kN 52 B C D 88 1m 1m 1m
9 kN
C
z
2.5kN 10.5kN 解：作弯矩图 2.5kN.m M 4kN.m
C截面：
材力06弯曲应力详解
M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图
工程力学教学课件 第6章 弯曲应力 PPT资料共79页
第六章 弯曲应力
1
目录
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
2
目录
第六章 弯曲应力
§6–1 概述 §6–2平面图形的几何性质 §6–3 弯曲正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 梁的强度计算 §6–6 提高梁强度的主要措施 §6–7 弯曲中心 §6–8 组合梁
3
胶 缝 F Is1 zS bz *616 30 6 0 1 0 4 2 3 6 0 0 40 0 1 21.1M 1 P
36
§6–5 梁的强度计算
梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 对于等截面梁
⒈ 正应力强度条件：
max
Mmax Wz
上边缘。
26
30
P=50kN
P=20kN
A
DB
C
0.3m 0.3m 0.2m
5.5kN.m
⊕
C
z
y1 y2
38.2mm 71.8mm
110
○－
Iz 5.73 16 0mm 4
D截c ,面m : aM x Iz D y 2 5 4.7 kN5 .m.5 1 3 6 1 0 1 30 1 0 27.8 1 1 3 0 1 6 0 6.9 8 MP
⊕
○－
z
C
110
z1
4kN.m
解：画梁的弯矩图； 确定中性轴的位置。
y111 130 1 0 1 30 5 0 3 3 0 0 8 8 0 0 7 03.2 8 mm
y211 y0 17.8 1mm
1
目录
回顾与比较
内力
应力
F
A
T
IP
M
?
?
FAy
FS
2
目录
第六章 弯曲应力
§6–1 概述 §6–2平面图形的几何性质 §6–3 弯曲正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 梁的强度计算 §6–6 提高梁强度的主要措施 §6–7 弯曲中心 §6–8 组合梁
3
胶 缝 F Is1 zS bz *616 30 6 0 1 0 4 2 3 6 0 0 40 0 1 21.1M 1 P
36
§6–5 梁的强度计算
梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 对于等截面梁
⒈ 正应力强度条件：
max
Mmax Wz
上边缘。
26
30
P=50kN
P=20kN
A
DB
C
0.3m 0.3m 0.2m
5.5kN.m
⊕
C
z
y1 y2
38.2mm 71.8mm
110
○－
Iz 5.73 16 0mm 4
D截c ,面m : aM x Iz D y 2 5 4.7 kN5 .m.5 1 3 6 1 0 1 30 1 0 27.8 1 1 3 0 1 6 0 6.9 8 MP
⊕
○－
z
C
110
z1
4kN.m
解：画梁的弯矩图； 确定中性轴的位置。
y111 130 1 0 1 30 5 0 3 3 0 0 8 8 0 0 7 03.2 8 mm
y211 y0 17.8 1mm
弯曲应力-材料力学
已知：弯矩M、横截面的惯性矩Iz、许用应力[]。求：判断不等号。
max
Mymax Iz
工程力学 Engineering Mechanics
典型例题
例1 图示矩形截面梁，梁上载荷q=100kN/m，梁跨度l=6m，截面尺寸：
b=400mm，h=600mm，材料许用应力[]=100MPa，试判断该梁是否安全。
弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax Iz
弯曲正应力适用范围 细长梁的纯弯曲或横力弯曲 横截面惯性积Iyz=0 弹性变形阶段
工程力学 Engineering Mechanics
YA
2m
2m YB
B 2m
20 b
90
c
z
a
50
解：（3）求解正应力
My Iz
惯性矩
Iz
1 12
50 903
3.0375106 mm4
弯矩
M 10kN.m
典型例题
例1 求图示矩形截面梁指定截面上对应点的正内力。
10kN
1
A
YA
2m
2m YB
B 2m
20 b
90
c
z
a
50
解：（3）求解正应力
M max
1 8
ql 2
1 8
q
62
q
533.3kN/m
练习1
受均布载荷作用的简支梁如图，求 ① 1-1截面上1、2两点的正应力； ② 1-1截面上的最大正应力； ③ 全梁的最大正应力； ④ 已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。
max
Mymax Iz
工程力学 Engineering Mechanics
典型例题
例1 图示矩形截面梁，梁上载荷q=100kN/m，梁跨度l=6m，截面尺寸：
b=400mm，h=600mm，材料许用应力[]=100MPa，试判断该梁是否安全。
弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax Iz
弯曲正应力适用范围 细长梁的纯弯曲或横力弯曲 横截面惯性积Iyz=0 弹性变形阶段
工程力学 Engineering Mechanics
YA
2m
2m YB
B 2m
20 b
90
c
z
a
50
解：（3）求解正应力
My Iz
惯性矩
Iz
1 12
50 903
3.0375106 mm4
弯矩
M 10kN.m
典型例题
例1 求图示矩形截面梁指定截面上对应点的正内力。
10kN
1
A
YA
2m
2m YB
B 2m
20 b
90
c
z
a
50
解：（3）求解正应力
M max
1 8
ql 2
1 8
q
62
q
533.3kN/m
练习1
受均布载荷作用的简支梁如图，求 ① 1-1截面上1、2两点的正应力； ② 1-1截面上的最大正应力； ③ 全梁的最大正应力； ④ 已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。
第六章 弯曲应力
100
z
A2 100 10 A1 A4 10 20 20
A 2、求对个部分自身形心 轴的惯性矩 I z i yi2dA, i 1, 2, 3,4
A
yc
yci Ai
i 1
4
z0
A3
y
3、求对全截面形心轴惯性矩
I z I z i ( I z0 i ai2 Ai )
Page
3
第六章 弯曲应力 §6-1 引言 一、 历史回顾
伽利略：关于力学和局部运 动的两门新科学的对话和数 学证明，1638.
A C
B
Page 4
F
第六章 弯曲应力 •伽利略开创性研究的评述
1. 开创性
建立了“实验观测——假设 ——分析与推导”的现代科 学研究方法 2. 局限性 静力不平衡——19世纪初才 由L.Poinsot以静力学公理明确 阐明刚体上力系的简化与平衡 无中性轴概念——受当时实 验观测的局限
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（11）
刚性接头：受力时不变形的接头。既传力，又传力偶。 刚架：用刚性接头连接的弹性杆系结构 刚架的内力及其符号： •轴力、扭矩和剪力的符号具有坐标不变性。 •弯矩图的符号坐标相关。弯矩图位置具有坐标不变性。 刚架内力图的画法：
将刚架拆为分段的梁（杆），分别绘图后再组合。
曲杆内力图的画法： 一般由内力方程绘图。
Page 9
第六章 弯曲应力 §6-2 弯曲正应力 一、实验观测与假设（动画） 1. 外部变形观测 •纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长 •横向线：保持直线，与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应 2. 内部变形假设 •平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 •单向受力假设
z
A2 100 10 A1 A4 10 20 20
A 2、求对个部分自身形心 轴的惯性矩 I z i yi2dA, i 1, 2, 3,4
A
yc
yci Ai
i 1
4
z0
A3
y
3、求对全截面形心轴惯性矩
I z I z i ( I z0 i ai2 Ai )
Page
3
第六章 弯曲应力 §6-1 引言 一、 历史回顾
伽利略：关于力学和局部运 动的两门新科学的对话和数 学证明，1638.
A C
B
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F
第六章 弯曲应力 •伽利略开创性研究的评述
1. 开创性
建立了“实验观测——假设 ——分析与推导”的现代科 学研究方法 2. 局限性 静力不平衡——19世纪初才 由L.Poinsot以静力学公理明确 阐明刚体上力系的简化与平衡 无中性轴概念——受当时实 验观测的局限
第六章 弯曲应力
上一讲回顾（11）
刚性接头：受力时不变形的接头。既传力，又传力偶。 刚架：用刚性接头连接的弹性杆系结构 刚架的内力及其符号： •轴力、扭矩和剪力的符号具有坐标不变性。 •弯矩图的符号坐标相关。弯矩图位置具有坐标不变性。 刚架内力图的画法：
将刚架拆为分段的梁（杆），分别绘图后再组合。
曲杆内力图的画法： 一般由内力方程绘图。
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第六章 弯曲应力 §6-2 弯曲正应力 一、实验观测与假设（动画） 1. 外部变形观测 •纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长 •横向线：保持直线，与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应 2. 内部变形假设 •平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 •单向受力假设
材料力学弯曲应力PPT课件
M
Fl
F 解：1.画梁的剪力图和弯矩图
按正应力计算
max
M max Wz
6F1l bh2
F1
bh2
6l
107 100 1502 109 6
3750N
3.75kN
按切应力计算
max 3FS / 2A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 2106 100150106 / 3 10000N 10kN 35
截面为bh=30 60mm2 的矩形
求:1截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力max; (2) 截面横放时的最大正应力max
b
解: M Fa 5103 0.18 900Nm
竖放时
横放时
IZ
bh3 12
30 603 12
54cm 4
y 20mm : M y 33.3MPa
主要公式:
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EIZ
My
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率
11
§5.2 纯弯曲时的正应力
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力
My
IZ
•横截面惯性积 Iyz =0
•弹性变形阶段 ( p )
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲近似使用
12
试校核梁的强度。
分析： 非对称截面,要寻找中性轴位置 作弯矩图,寻找需要校核的截面
要同时满足 t,max t , c,max c
25
例题
解：（1）求截面形心
52
z1 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
六弯曲应力专业知识
= 0.045m
2.计算截面对中性轴旳惯性矩
I1z
=
(0.120m)(0.020m3 ) 12
+ (0.120×0.020m2 )(0.045m
- 0.010m)2
=
3.02×10-6 m4
I2z
=
(0.020m)(0.120m3 ) 12
+ (0.120×0.020m2 )(0.080m - 0.045m)2
3、推论
梁在弯曲变形时， 接近凹边旳纵向纤维 缩短，接近凸边旳纤 维伸长，根据变形旳 连续性，其中必有一 层纵向纤维既不伸长 也不缩短,即保持原来 旳长度，这一纵向纤 维层称为中性层。
中性层与横截面旳交线称为中性轴。
4、几何分析
ρ ：变形后中性层旳曲率半径。
4、几何分析 ρ ：变形后中性层旳曲率半径。
例：图示钢制矩形截面简支梁，已知：P =6kN，
截面宽度 b =30mm，高度 h =60 mm，试求梁竖放
和横放时梁内最大正应力，并分别画出应力沿截面
高度旳分布图。
RA
解：求支承反力，作弯矩图；
M
RA
RB
P 2
3kN
Mmax 900N m
竖放时：
max
M max W
M max bh2 / 6
Iz = I1z + I2z = 3.02×10-6 m4 + 5.82×10-6 m4 = 8.84×10-6 m4
3.计算最大弯曲正应力
截面B-B旳弯矩大小为：
M B = F ×0.400m = (15×103 N)(0.400m) = 6000N • m
在截面B旳上下边沿处，分别作用有最大拉应力与最大压应力
弯曲时的应力
( y )d d y d
纯弯曲时的正应力
O y
O b dx
x
b
y
2.物理关系
[ p ]
E
E
y
纯弯曲时的正应力
2.静力关系 z x
y z
N
A dA
y
M y zdA A M z A ydA
My 0 Mz 0
Q db 1 d 2 QS * Qt db 1 d 2 2 2 4 y I 2 2 4 y It It 2 2
q =t
剪切中心的概念
剪切中心的概念
弯曲切应力
第6章
弯曲时的应力
梁的强度设计
正应力强度条件
[ L ] [ Y ]
max
M max [ ] W
[ L ] [ Y ]
M m ax [ Y ] ( Y ) m ax W 1 M m ax ( L ) m ax [ L ] W2
薄壁杆件截面切应力沿边线的切线方向薄壁杆件截面切应力沿边线的切线方向形成切应力流形成切应力流tdxdadf薄壁杆件截面切应力分布薄壁杆件截面切应力分布tdxdadf切应力公式应用切应力公式应用弯曲中心弯曲中心切应力公式应用切应力公式应用弯曲中心弯曲中心合力切应力公式应用切应力公式应用弯曲中心弯曲中心66梁的强度设计梁的强度设计66正应力强度条件正应力强度条件
合 理 布 置 载 荷
第6章
弯曲时的应力
梁的合理截面
采用合理的截面形状，提高W
M max [ ]W
W/A较大的截面较为合理
弯曲时的应力
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横力弯曲梁段在哪？ 最大正应力在哪？ 最大切应力在哪？
26
§I-3
惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
2.平行移轴公式
一、平行移轴公式
1.公式推导
I x I x a2 A
C C
3.注意：
2 Iy Iy b A I xy I x y abA
C C
①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对 形心轴的惯性矩最小； ②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以 它们是有正负的。 二、组合图形的惯性矩：
I x I xi
i 1
n
，I y I y i ，I xy I xy i
i 1 i 1
n
n
27
已知： I x C 、I y C 、I x C y C ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy y b yC x
3
b/2 b/2
又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。
24
h/2
bh I x A y d A h / 2 y ( b d y ) 12
2 h/ 2 2
y
dA
dy
x
C
例I4 求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径
轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Iρ。 解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为处作宽度为d的薄圆环，其面 积dA=2d，则
y1=|AC| =|AD||EB| =ycosxsin 同理，利用： x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos+ysin 得到
Ix Iy Ix Iy I y1 cos2 I xy sin a 2 2 Ix Iy I x1 y 1 sin2 I xy cos2 2
④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩;
⑤如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为 平面体对x、y、原点的转动惯量。
23
例I3 求图示矩形对通过其形心且与边 平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。
解：平行x轴取一窄长条， 其面积为dA=bdy，则
h/2
y
3
同理可得
hb Iy 12
§I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
1.极惯性矩：
I p dA
2 A
y dA y x O
I p 为图形对一点的极惯性矩；
2.惯性矩：
I x A y 2 dA 分别为图形对x、y轴 的惯性矩； 2 I y Ax dA
3.惯性积：
x
I xy A xydA 为图形对x、y一对正交轴的惯性积；
O
x
I x 1 A( ycos xsin ) 2 dA A( y 2 cos2 2xysin cos x 2 sin 2 )dA I x cos2 2I xy sin cos I y sin 2
13
•Be quiet! Let us begin to have lesson!
14
M:由坐标原点量出的 x 处横截面的弯矩值；
My IZ
y:由中性轴z量出的点
（平行中性轴的直线） 的y向坐标值；
Iz:横截面面积对中性
轴z的二次矩值。
15
弯曲正应力在横截面上的分布规律 M
max
max
M (拉) WZ
z
z
z
M x
My ( y任意) IZ
M
x
M
max
M (压) WZ
1）平行于中性轴的直线上的正应力方向相同，数值相等； 2）平行于对称轴的直线上的正应力方向相同，数值呈线性 规律分布； 3）中性轴上的正应力数值为零；平行于中性轴的上下边缘 17 取得最小（最大）值。
I x Ay 2dA (a y ) 2 dA (a 2 2ay y 2 )dA C C C A A
xC
dA
2 dA a 2 AdA 2a A y CdA Ay C
2 dA I AdA A， A y CdA 0， A y C xC
1 1 1
Ix Iy
Ix Iy
3.注意：是x轴与x1轴的夹角，由x轴 逆时针转到x1轴时的为正。
31
I x1 y 1 。 已知：Ix、Iy、Ixy、，求 I x 1 、I y 1、
y y1 x1 dA A C y E x B D y1 x1
2 dA I x 1 A y 1
第五章
弯曲应力
1
目录
回顾与比较 内力 应力
F A
T IP
M FS
目录
FAy
? ?
2
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲时梁的正应力 §5-2 横力弯曲时梁的正应力
§5-3 梁横截面的切应力 §5-4 提高梁强度的主要措施
目录
3
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
(1 4 ) WZ
D 3
(1 4 )
附录I 平面图形的几何性质
§I1 截面的静矩和形心的位置
1.静矩
Sx Sy
y
ydA xdA
A A
dA
C y yC x O xC
y d A 2.形心 yC A A xd A A xC A
3.形心与静矩 yC S x S x y C A A 的关系 或 Sy S y xC A
ห้องสมุดไป่ตู้
x
xC
A
图形对某轴的静矩 为零，则该轴一定过图 形的形心；某轴过图形 的形心，则图形对该轴 的静矩为零。 19
4、组合图形的形心与静矩
（2）组合图形的形心 Ai yCi Sx yC S S A y xi i Ci x Ai Ai x S y Ai xCi S y S yi Ai xCi C Ai Ai 例I1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐 标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x 轴平行的窄条， d A 2 r 2 y2 d y （1）组合图形的静矩
4
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
一、变形几何关系
5
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
6
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
7
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长 度不变 －－中性层
C
yC y a
xC
I x I xC a2A 同理： I y I y C b 2 A
O
x
I xy A xydA A(b xC )(a y C )dA A(ab axC by C xC y C )dA
ab AdA a AxCdA b Ay CdA AxC y CdA
2 3 2 2 S y d A y ( 2 r y ) d y r 0 所以 x A 3
r
y
dA
yC O
dy
S x 2r 3 / 3 4r yC 2 A r / 2 3
C r
y x 20
例I2 求图示图形的形心。
y y1
解：将此图形分别为I、II、III三 部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线 取为x轴，则
29
30 C2 2 y2 C C1 y1 zC2 zC zC1 30 5
1
z
5 yC 再求截面对形心轴的惯性矩：
3 3 30 5 5 30 I yC 11560mm 4 12 12
求T形截面对形心轴的惯性矩 先求形心的位置： 取参考坐标系如图，则： zC 0 A i y i A1 y 1 A 2 y 2 23.75mm yC A1 A 2 Ai y C、z C即截面的形心轴。
y
y
物理关系
E E My 1 M 静力学关系 IZ EI Z
1
为曲率半径
为梁弯曲变形后的曲率
12
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
正应力分布
My IZ
My max max IZ IZ WZ ymax
max
M WZ
min
目录
M WZ
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
8
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
二、物理关系
胡克定理
E
E
y
9
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
三、静力学条件
10
目录
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
三、静力学条件
E
y
M EI Z
11
目录
1
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
正应力公式
变形几何关系
y
y
§5-1 纯弯曲时梁的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y 2 dA
A
WZ
IZ y max
圆截面 空心圆截面 I Z 矩形截面 空心矩形截面
IZ
d 4
64
3
WZ
d 3
32