(完整版)高中物理相遇和追及问题(完整版)

、考点、热点回顾一、追及问题1. 类型图象 说明匀加速追匀速①t=t 0 以前，后面物体与 前面物体间距离增大②t=t 0 时，两物体相距最 远为 x 0+Δx③t=t 0 以后，后面物体与前面物体间距离减小④能追及且只能相遇一 次匀速追匀减速匀加速追匀减速2. 速度大者追速度小者度大者追速度小者 开始追及时， 后面物体与 前面物体间的距离在减小， 当 两物体速度相等时，即 t=t0 时刻：① 若Δ x=x0, 则恰能追 及，两物体只能相遇一次， 这相遇追及问题匀减速追匀速也是避免相撞的临界条件② 若Δ x<x0, 则不能追 及，此时两物体最小距离为x0- Δ x③ 若Δ x>x0, 则相遇两次，设t1 时刻Δ x1=x0, 两物体第一次相遇 ，则 t2 时刻两物体第 二次相遇① 表中的Δ x 是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移； ② x 0是开始追及以前两物体之间的距离； ③ t 2-t 0=t 0-t 1;④ v 1 是前面物 体的速度， v 2是后面物体的速度 . 二、相遇问题这一类 : 同向运动的两物体的相遇问题 , 即追及问题 .第二类 : 相向运动的物体 , 当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇 . 解此类问题首先应注意先画示意图 , 标明数值及物理量 ; 然后注意当被追赶的物体做匀 减速运动时 , 还要注意该物体是否停止运动了 .求解追及问题的分析思路(1) 根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物 体运动时间之间的关系．(2) 通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式．追 及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．(3)寻找问题中隐含的临界条件．例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等 时有最大距离； 速度大者减速追赶速度小者， 在两物体速度相等时有最小距离，等等． 利用 这些临界条件常能简化解题 过程．(4)求解此类问题的方法， 除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外， 还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．相遇问题相遇问题的分析思路：匀速追匀加速匀减速追匀加速相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形， 其主要条件是两物体在相遇处的位置 坐标相同．(1) 列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系． (2) 利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系． (3)寻找问题中隐含的临界条件．(4) 与追及中的解题方法相同．【例 1】物体 A 、B 同时从同一地点， 沿同一方向运动， A 以 10m/s 的速度匀速前进， B 以2m/s 2 的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求 A 、 B 再次相遇前两物体间的最大距离．【 解析一 】 物理分析法A 做 υA ＝10 m/s 的匀速直线运动，B 做初速度为零、加速度 a ＝2 m/s 2的匀加速直线运动．根据题意，开始一小段时间内， A 的速度大于 B 的速度，它们间的距离逐渐变大，当 B 的速度加速到大于 A 的速度后，它们间的距离又逐渐变小； A 、B 间距离有最大值的临界条 件是 υA ＝ υB ．①设两物体经历时间 t 相距最远，则 υA ＝ at ② 把已知数据代入①②两式联立得 t ＝5 s 在时间 t 内， A 、B 两物体前进的距离分别为 s A ＝ υA t ＝10×5 m ＝ 50 m1 2 1 2s B ＝ at 2＝ ×2×52 m ＝ 25 m22A 、B 再次相遇前两物体间的最大距离为Δ s m ＝ s A － s B ＝ 50 m －25 m ＝ 25 m解析二 】 相对运动法因为本题求解的是 A 、B 间的最大距离，所以可利用相对运动求解．选 B 为参考系，则 A2 相对 B 的初速度、末速度、加速度分别是 υ0＝10 m/s 、υt ＝υA －υB ＝0、a ＝－ 2 m/s ．22 根据 υt 2－υ0＝2as ．有 0－ 102＝2× (-2) ×s AB 解得Ａ、 B 间的最大距离为 s AB ＝25 m ． 解析三 】 极值法11物体 A 、 B 的位移随时间变化规律分别是 s A ＝10t ，s B ＝2at 2＝2×2×t 2 ＝t 5.B 间 的 距 离 Δs ＝10t －t 2， 可 见 ，4×（ －1）×0－ 102 4×（－1） m ＝25 m【解析四 】 图象法根据题意作出 A 、B 两物体的 υ-t 图象，如图 1-5-1 所示．由图可知，B 再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA ＝υB ，得 t 1＝5 s A 、 B 间 距 离 的 最 大 值 数 值 上 等 于 ΔO υA P 的 面 积 ， 1 Δs m ＝ 2×5×10 m ＝ 25 m ．【答案 】25 m【点拨 】相遇问题的常用方法(1) 物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，典型例题且最大值为按(解法一)中的思Δ s m ＝ A 、即设甲、乙两车行驶的总路程分别为 s 、 s ′，则有路分析．(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．(3) 极值法：设相遇时间为 t ，根据条件列方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别 式进行讨论，若△> 0，即有两个解，说明可以相遇两次；若△＝ 0，说明刚好追上或相碰；若△< 0，说明追不上或不能相碰．(4) 图象法：将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解．拓展如图 1-5-2 所示是甲、乙两物体从同一地点，沿同一方向做直线运动的 υ－ t 图象，由图象可以看出 ( 〕A ．这两个物体两次相遇的时刻分别是 1s 末和 4s 末B ．这两个物体两次相遇的时刻分别是 2s 末和 6s 末C ．两物体相距最远的时刻是 2s 末D ． 4s 末以后甲在乙的前面【解析 】从图象可知两图线相交点 1s 末和 4s 末是两物速度相等时刻，从 4s 末两物相距最远，到 6s 末追上乙．故选 B ． 答案 】 B的加速度大小减小为原来的一半。

求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

【思路点拨】 解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程， 再根据两车加 速度的关系，求出两车路程之比。

【精讲精析】 设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻 t 0)的速度为 v ，第一段时间间隔内行驶 的路程为 s 1，加速度为 a ，在第二段时间间隔内行驶的路程为 s 2，由运动学公式有，v=a t 0 ①12 s1=2a t 0 ②12s 2=v t 0＋ 2 2a t 02 ③设汽车乙在时刻 t 0的速度为 v ′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为 s 1′、 s 2′， 同理有，v ′=2a t 0 ④ 12s 1′=2 2a t 02⑤12s 2′ =v ′ t 0＋ 2 a t 02 ⑥实战演练 1】(2011·新课标全国卷)甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。

在第一段时间间隔内， 两辆汽车的加速度大小不变， 汽车乙的加速度大小 是甲的两倍； 在接下来的相同时间间隔内， 汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍， 汽车乙 到 2s 末追上，从 2s 开始是甲去追乙，在 0→2s ，乙追赶甲s= s 1＋ s 2⑦s ′ = s 1′＋ s 2′ ⑧ 联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为s5= s ′ =7答案： 57路上自西向东运动，开始时刻两车平齐，相对于地面的 v － t 图象如图所示，关于它们的运v 0向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动v 0向西做匀减速运动，后做匀加速运动C ．根据 v －t 图象可知，开始乙车在前，甲车在后，两车距离先减小后增大，当乙车速 度增大到 v 0 时，两车恰好平齐D ．根据 v －t 图象可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离先增大后减小，当乙车速 度增大到 v 0 时，两车恰好平齐【答案】 A【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初速度v 0 向西做减速运动，速度减为零之后， 再向东做加速运动，所以 A 正确； 乙车中的乘客以乙车为参 考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速度 v 0 向东做减速运动，速度减为零之后，再向西 做加速运动，所以 B 错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以 C 、 D 错误．考点 2 相遇问题相遇问题的分析思路：相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形， 其主要条件是两物体在相遇处的位置 坐标相同．(1) 列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系． (2) 利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系． (3) 寻找问题中隐含的临界条件． (4)与追及中的解题方法相同．【例 2】 甲、乙两物体相距 s ，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度 为 a 1 的匀加速直线运动， 乙在后做初速度为 υ0，加速度为 a 2 的匀加速直线运动， 则 ( )实战演练 2】(2011 ·安徽省级示范高中名校联考 )甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公B ．乙车中的乘客说，甲车先以速度A ．若 a 1＝ a 2，则两物体可能相遇一次B ．若 a 1> a 2，则两物体可能相遇二次C ．若 a 1< a 2，则两物体可能相遇二次D ．若 a 1> a 2，则两物体也可相遇一次或不相遇1 2 1 2解析 】 设乙追上甲的时间为 t ，追上时它们的位移有 υ0t ＋21a 2t 2－ 21a 2t 2＝ s2上式化简得： （ a 1－ a 2）t －2υ0t ＋ 2s ＝ 02υ0± 4υ0 －8s （a 1－ a 2）2（a 1－ a 2）（1） 当 a 1> a 2时，差别式“△”的值由 υ0、a 1、a 2、s 共同决定，且 △< 2υ0，而△的值 可能小于零、等于零、大于零，则两物体可能不相遇，相遇一次，相遇两次，所以选项B 、D 正确．显然，△一定大于零．且 △> 2υ0，所以 t 有两解．但 t 不能为负值，只有一解有物理意 义，只能相遇一次，故 C 选项错误．（3） 当 a 1＝ a 2时，解一元一次方程得 t ＝s / υ0 ，一定相遇一次，故 A 选项正确．答案 】A 、 B 、 D点拨 】注意灵活运用数学方法，如二元一次方程△判别式．本题还可以用 求解。