(刚体定轴转动部分) 共23页PPT资料
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5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
刚体的定轴转动
第一节 刚体运动的描述
图5- 4 刚体的角量描述
第二节 刚体的定轴转动定律
一、 力对转轴的力矩
对于刚体的定轴转动而言，若 作用在刚体上p点的力F在转动平面 内，力的作用点p相对于转轴的位 矢为r，力臂为d，则力F对转轴的 力矩为
M=r×F 其中，力矩的大小M=Frsin θ 如图5-5所示.
图5- 5 力在转动平面内
第一节 刚体运动的描述
图5- 1 刚体的平动
第一节 刚体运动的描述
2. 刚体的转动
刚体在运动过程中，如果其上所有的点都绕同一条直线做圆 周运动，那么这种运动称为转动，这条直线称为转轴.如果转轴的 位置或方向随时间变化，那么这种转动称为非定轴转动；如果转 轴的位置或方向是固定不动的，那么这种转动称为定轴转动.
第一节 刚体运动的描述
一、 刚体的平动和转动
1. 刚体的平动
刚体在运动过程中,如果其上任意两点间所连的直线始终保持平 行,那么这种运动称为刚体的平动.例如,汽缸中活塞的运动、车床上 车刀的运动、升降机运动等,都属于平动.显然,刚体做平动时,刚体上 任意一条直线在刚体平动过程中始终保持平行,如图5-1所示.直线上 所有的点应有完全相同的位移、速度和加速度.在平动过程中,刚体上 所有点的运动是完全相同的，它们都具有相同的位移、速度和加速 度.因此，可以用刚体上任意一点的运动来代表整个刚体的平动.前面 质点运动的描述和质点力学的规律，实际上是刚体的平动规律.
第一节 刚体运动的描述
一般物体在外力作用下，其形状和大小都要发生变 化.但如果在外力作用下，物体的形状和大小保持不变， 即物体内任意两点之间的距离不因外力而改变，这样的物 体称为刚体.刚体可以看成由无数个连续分布的质点组成 的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元，这样刚体的 每个质量元都服从质点力学规律.不同于质点，刚体这个 特殊的质点系的力学规律有自己特殊的表现形式.
刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件
第二节 转动惯量
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
胡盘新主编《普通物理学简明教程》-03刚体的定轴转动ppt课件
(2) 开始上升后,5 秒末滑轮的角速度
百
(3) 在这5 秒内滑轮转过的圈数。
川
(4) 开始上升后,1 秒末滑轮边缘上
一点的加速度(不打滑) 。
道
r致
远
解: (1) 轮缘上一点的切向加速度与
物体的加速度相等
a
r
0.8rads2
a
海南大学
第第三三章章 刚刚体体的的定转轴动转动
§3-1 刚体的平动、转动和定轴转动
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
儋 海
大宝
纳州
道岛
百 立 川
致 生
远
业
根
华海南热南带大农业学大学
第第三三章章 刚刚体体的的定转轴动转动
三、刚体的定轴转动
§3-1 刚体的平动、转动和定轴转动
•定轴转动：
儋 海
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆 大宝
纳州 周运动，且在相同时间内转过相同的角度。 道岛
第第三三章章 刚刚体体的的定转轴动转动
§3-1 刚体的平动、转动和定轴转动
§3-1 转动动能 转动惯量
一、刚体
儋 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 海 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点
大宝
纳州 组）
道岛
百 立
刚体最简单的运动形式：平动、转动 .
川
致 生
远
业
根
工s03-平动
§3-1 刚体的平动、转动和定轴转动
➢ 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运
动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
儋 海
大宝
纳州
道岛
百 立 川
致 生
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动
G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k
第五章刚体的基本运动PPT课件
第五章 刚体的基本运动
第一节 刚体的平动
第二节 刚体绕定轴转动
第三节 轮系的传动比
本章重点：
1、平动刚体上点的速度、加速度的计算；
2、定轴转动刚体角速度、角加速度的计算；
3、转动刚体上点的速度、加速度的计算。
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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7
三、刚体绕定轴转动运动描述 1. 刚体的转动方程
过轴z作固定平面A、与刚体固连的转动平面B，两平面间的夹角用 表示，称为刚体的转角。当刚体转动时，随时间 t 变化， f(t) ，
该方程称为刚体的转动方程。
：
转角的符号规定：迎z 轴的正向看， 逆时针转向为正，反之为负；或用右手 法则确定。
8
2. 角速度和角加速度
角速度
单位为rad/s(弧度/秒)。
角加速 单位为rad/s2(弧度/秒2)。
角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢，
角速度与转速之间的关系是：
2πn πn
(2) 0，等于常量，0 t
12
例5-2 杆AB以匀速v运动，通过套筒A带动OC杆绕定轴转动。
开始时 0 ，试求 时，(1)摇杆OC的角速度、角加速度。 4
（2）设杆OC长d，杆端C点的速度和加速度。
解：（1）求角速度、角加速度
由几何关系可得：tan vt
l
等号两边同时对时间 t 求导， sec2d v
tana
第一节 刚体的平动
第二节 刚体绕定轴转动
第三节 轮系的传动比
本章重点：
1、平动刚体上点的速度、加速度的计算；
2、定轴转动刚体角速度、角加速度的计算；
3、转动刚体上点的速度、加速度的计算。
1
整体概况
概况一
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概况二
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02
概况三
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7
三、刚体绕定轴转动运动描述 1. 刚体的转动方程
过轴z作固定平面A、与刚体固连的转动平面B，两平面间的夹角用 表示，称为刚体的转角。当刚体转动时，随时间 t 变化， f(t) ，
该方程称为刚体的转动方程。
：
转角的符号规定：迎z 轴的正向看， 逆时针转向为正，反之为负；或用右手 法则确定。
8
2. 角速度和角加速度
角速度
单位为rad/s(弧度/秒)。
角加速 单位为rad/s2(弧度/秒2)。
角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢，
角速度与转速之间的关系是：
2πn πn
(2) 0，等于常量，0 t
12
例5-2 杆AB以匀速v运动，通过套筒A带动OC杆绕定轴转动。
开始时 0 ，试求 时，(1)摇杆OC的角速度、角加速度。 4
（2）设杆OC长d，杆端C点的速度和加速度。
解：（1）求角速度、角加速度
由几何关系可得：tan vt
l
等号两边同时对时间 t 求导， sec2d v
tana
第四章 刚体力学的定轴转动
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
刚体的定轴转动
r1
r2
d
f1
内力中任一对作用力与反作用力大小 相等，方向相反，则任一对作用力与反作 用力的力矩相加为零。
f r sin 0 F r sin f r sin (
合内力矩
i i
i i i
f2
2
i
i i
i
刚体定轴转动的转动定律
M J
mi ri )
dV 2rdr
2 R2
1
J r dV R 2r dr
3
l
R1
R2
1 4 4 R2 R1 2
1 mR12 R22 2
1 2 2 2 2 l R2 R1 R1 R2 2
小结：
10.刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给 定转轴的分布情况。 (1) 与刚体的质量有关 （2) 在质量一定情况下，还与质量的分布有关， 亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关。 (3) 转动惯量与转轴的位置有关 20.Ｊ的单位: SI 千克·米2(kg·m2) ；
ω v
动平 面 转
ω
0
θ
P
X
方向：当刚体转动加快时角加速度方向与角速度 方向相同；当刚体转动减慢时两者方向相反。
d d 2 2 dt dt
ω
与 方向相同
设向上为正方向
角速度增量 2 1
ω2 ω1
当刚体转动加快ω 2＞ω 1，则Δ ω ＞0，β 为正值，方向向上； 当刚体转动减慢ω 2＜ω 1，则Δ ω ＜0，β 为负值，方向向下。 若角加速度为恒矢量，这种变 速转动称为匀变速转动 0 t 运动方程：
刚体的定轴转动力矩课件
大小
力矩的大小与力的大小、力臂长 度以及力和转动轴之间的夹角有
关。
转动效应
力矩能够使刚体绕固定轴转动， 改变刚体的角速度和角动量。
定轴转动力矩的应用
机械传动
在机械传动中，如齿轮、蜗轮等，定轴转动力矩 是实现能量传递和运动转换的关键因素。
航空航天
在航空航天领域，定轴转动力矩用于控制飞机的 飞行姿态和稳定飞行状态。
平衡条件
为了保持刚体的定轴转动，必须满足力矩平衡条件，即重力矩与阻力矩相等。
实例分析
以钟摆为例，钟摆在重力作用下绕轴转动，为了保持钟摆的定轴转动，钟摆的长度和重 力的作用点必须满足一定的条件，否则钟摆会发生摆动。
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力矩平衡条件
对于旋转机械，力矩平衡是保持机械稳定运转的重要条件，即作用 在刚体上的所有力矩之和为零。
实例分析
以电动机为例，电动机在运转过程中，作用在电动机转子上的电磁力 矩与转子受到的阻力矩平衡，使得电动机能够稳定运转。
刚体在重力作用下的定轴转动
重力对刚体的作用
重力是作用在刚体上的恒力，当刚体在重力作用下绕轴转动时，重力会产生一个力矩。
刚体的动态平衡
总结词
刚体在运动状态下，受到的力矩和力矩的冲量之和为零。
详细描述
刚体的动态平衡是指刚体在运动状态下，受到的力矩和力矩的冲量之和为零。这意味着作用在刚体上 的所有力矩和力矩的冲量在某一时间段内相互抵消，使刚体保持匀速直线运动或匀速转动状态。
刚体的稳定性和失稳条件
总结词
刚体在受到微小扰动后能恢复到原来的平衡状态的性质。
刚体的分类
可分为固定刚体和活动刚 体。
刚体的定轴转动
定轴转动定义
刚体绕某一固定轴线作转动。
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1 2
J 25
由3~5得：
,
2gR2hco2sR gsin 6 00
oR
M
mg
1 g h4 3R 2R 2
P和x轴重合时，由转动定律
M J
MmgR g
J 2mR 2 2R
8
例、一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量为 m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2
oR 1
1
M1
加速度也相同。
A
A B C D
a A a B a C a D a
m2
D
m1
两滑轮的线速度相同，等于绳的速度 R 11R 22
两滑轮的切向加速度相同，等于绳的加速度R 11R22a
静
悬
弹碰
忽略摩擦
满足什么条件时，小球（视为 质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小 球恰好静止。直棒起摆角速度
对摆球、直棒系统 小球下摆阶段 弹碰阶段 角动量守恒
弹碰过程能量守恒
联立解得
0.577
1.861
13
例：均匀直杆质量为m，长为l ，初始时水平静止，
AO=l /4 ,轴光滑。
只解有：求重（杆（力2+1）地）（轴球保杆对系守下杆统内摆作.力用角）力后势，N能角零速?点度N ANl ?o
的角速度、角加速度及B端的加速度的大小。
解： 由机械能守恒定律求角速度：
A B势能零点 系统：棒、地球
J 1 ml 2 3
0
0
1J2
2
mgl sin
2
mg
3g sin d3gcos
B端的加速度：
at l
l
3gcos
2
dt 2l
anl23gsi n
o
M
x
mvcRos J02
J 1MR2 m R22mR23
2
由 1~3得： 02 2R gh co s4
7
y
m
P
o
M
P转到x轴时圆盘的ω=? β=?
对M、m、地球系统，机械能守恒
令 P和x轴重合时，Ep 0
x
则：
1 2
J
2 0
mgsRin
对O轴，系统所受的外力矩为：
M Rm g
R
m 2
g
1 2
Rmg
v
则系统对O轴的角动量为: J 1 m R2
m
L Rm uv R m v J
m 2
13mRvmRu 2
2 4
v R
角动量定理：M
8
dL
1Rmgd13mRvmRu
习题课
（刚体定轴转动部分）
1
注意以下几个问题 ！
(1) 粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）
它们的角速度和角加速度均相同，
盘边缘的线速度和切向加速度不同。
如图，在r处:
or
r at r
在R处：
R
R at R
2
（2）用一根绳连接两个或多个刚体
BC
同一根绳上各点的速度相同， M 2 o 2 R 2
的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物
上升的加速度是多少？ 设重物上升的加速度是 a
解法1：则人相对于地面的加速度是 a
Rom 4
T1Leabharlann T2T1v T2
m
m 2
滑轮转动的线加速度是 a
mm T2 2 g 2 a mgT1 ma
(T1T2)RJ1 8m2R R a1 8mR
解： 由转动定律： MJ
M M J 1 mR 2 2
m, M相同，
铁 木
R
2 木
R
2 铁
1
铁 木
由题意，初始时刻的角速度相同 因此，铁圆板先停
5
例.如图，一均匀细棒AB长为 l,质量为m，A端挂在一
光滑的水平轴上使之可以在竖直平面内自由摆动。今
将棒拉成水平，然后松手让它下落。求棒下摆 角时
aBat2an 22 3gco 2 s4si2 n
6
例.如图，匀质圆盘M静止，有一粘土块m从高h处下落
，与圆盘粘在一起。已知M=2m,θ=60˚；求碰撞后瞬间圆
盘的ω0=? P转到x轴时圆盘的ω=? β=?
m
y h
P
解：m下落
mgh 1 m2 v2g h1
2 碰撞 t 极短，对 m +盘系统，冲力远 大于重力，故重力对O力矩可忽略，角 动量守恒：
mg
mg 2
a 4 g 13
9
例、一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量为
m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2
的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物
上升的加速度是多少？解法2：选人、滑轮与重物为系统
设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升的速度
R o m 4
两个圆盘的角速度和角加速度不相等。1 2 1 2
跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
TA TB TC TD 但 TB TC
3
例. 如图，转轮A、B可分别独立地绕O轴转动。
A、B轮的质量分别为 mA 10kg和mB 20kg，
半径分 rA和 r别 B 。为 现fA 用 和 fB分 力别拉系 的细绳且使绳滑与动轮。间 A为 、 无 B使 两轮边
处切向加 ,相 速 应 度 的 fA 、 相 fB 拉 之 同 力 比为
rB 解：A、B滑轮视为两个刚体
o
rA
fB
fA
at
r
r
M J
r
fr 1 mr
2
2f m
atA atB
2
2 fA 2 fB
mA
mB
fA mA 1 fB mB 2
4
例.现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆板各一个。 令其各自绕通过圆板中心且与圆板垂直的光滑轴转动。 设其角速度也相同。某时刻起两者受到同样大小的阻 力矩，问：哪种质料的圆板先停止转动？
dt 2
dt 8
du 0 dt
dv 4 a g 10
dt 13
例：如图。大球体被挖去
一个小球，求剩余部分的 转动惯量(对如图所示的轴)
R
a
J球J剩J小 球
J剩J球J小 球
J球
2 5
MR2
J小 球 [5 2m a2m (Ra)2]
11
A 例 关于力矩有以下几种说法，其中正确的是（ ）。
（A）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 （B）内力矩会改变刚体对某个定轴的角动量。 （C）角速度的方向一定与外力矩的方向相同。 （D）质量相等、形状和大小不同的两个刚体，在相 同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。
12
匀质直棒与单摆 小球的质量相等 两者共面共转轴
水 平 静 止 释 放